Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học hình học 9 (2018)

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi <strong>dưỡng</strong> kiến thức Toán - Lý - Hóa <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 

NGUYỄN THANH HẢI 

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ 

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC 9 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÝ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Thái Nguyên, năm 2018 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial








ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 

NGUYỄN THANH HẢI 

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ 

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC 9 

Ngành: Lý luận và phương pháp dạy <strong>học</strong> bộ môn Toán <strong>học</strong> 

Mã số: 8 14 01 11 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 

Cán bộ hướng dẫn khoa <strong>học</strong> : TS. Trần Luận 






Thái Nguyên, năm 2018 








Lời cam đoan 




Tôi xin cam đoan luận văn "<strong>Bồi</strong> <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> 

<strong>trung</strong> <strong>học</strong> <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> trong dạy <strong>học</strong> hình <strong>học</strong> 9" là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các 

số liệu, kết quả nêu trong Luận văn là <strong>trung</strong> thực và chưa từng được ai công bố trong 

bất kì công trình nào khác. Mọi sự giúp đỡ <strong>cho</strong> việc thực hiện luận văn này đã được 

cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. 

Ngày … tháng … năm 2018 

Khoa Toán 

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 

Học viên 

Nguyễn Thanh Hải 

Ngày … tháng … năm 2018 

Cán bộ hướng dẫn 

TS. Trần Luận 






i 








Lời cảm ơn 




Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Luận, người thầy đã tận tình 

hướng dẫn em trong suốt quá trình làm Luận văn. 

Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Khoa sau Đại <strong>học</strong>, Phòng Đào 

tạo trường Đại <strong>học</strong> Sư phạm – Đại <strong>học</strong> Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi <strong>cho</strong> em trong 

suốt quá trình <strong>học</strong> tập và làm luận văn. 

Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Tổ Toán, trường THCS Thống Nhất 

– Huyện Hưng Hà – Tỉnh Thái Bình cùng các đồng nghiệp, các em <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> đã giúp 

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tìm hiểu thực tế và tổ chức thực nghiệm 

Luận văn. 

Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác 

giả mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn. 

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 

Học viên 

Nguyễn Thanh Hải 






ii 











MỤC LỤC 

Trang 

Lời cam đoan ........................................................................................................ i 

Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii 

MỤC LỤC .......................................................................................................... iii 

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ................................................................. iv 

DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................. v 

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 7 

1. Lý do chọn <strong>đề</strong> tài ............................................................................................. 7 

2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 8 

3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................. 8 

5. Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................................... 8 

6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 9 

7. Đóng góp của luận văn .................................................................................... 9 

8. Cấu trúc của luận văn .................................................................................... 10 

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 11 

1.1. Về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> .................................................................... 11 

1.1.1. Dạy <strong>học</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> ....................................................................... 11 

1.1.2. Quá trình <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> ..................................................................... 14 

1.1.3. Năng <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> ...................................................................... 16 

1.2. Phân tích nội dung, chương trình Hình <strong>học</strong> 9............................................. 20 

1.2.1. Vị trí và mục tiêu dạy <strong>học</strong> Toán 9 ............................................................ 21 

1.2.2. Yêu cầu về kiến thức kỹ <strong>năng</strong> của chương trình Toá n 9 ......................... 21 

1.3. Cơ hội hình thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> 

<strong>trung</strong> <strong>học</strong> <strong>cơ</strong> trong dạy <strong>học</strong> hình <strong>học</strong> 9 .............................................................. 26 

1.4. Thực trạng bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> THCS 


trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> ở trường THCS hiện nay ............................................. 31 

1.4.1. Đối với GV .............................................................................................. 31 





iii 











1.4.2. Đối với HS ............................................................................................... 32 

1.5. Kết luận chương 1 ........................................................................................ 35 

Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT 

VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG DẠY HỌC HÌNH 

HỌC 9 ................................................................................................................ 36 

2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp sư phạm ........................................... 36 

2.1.1. Định hướng 1 ........................................................................................... 36 

2.1.2. Định hướng 2 ........................................................................................... 36 

2.1.3. Định hướng 3 ........................................................................................... 37 

2.1.4. Định hướng 4 ........................................................................................... 37 

2.2. Các biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> 

Hình <strong>học</strong> 9 .......................................................................................................... 38 

2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ <strong>năng</strong> đọc hiểu và vẽ hình ............................. 38 

2.2.2. Biện pháp 2: Tăng cường dạy <strong>học</strong> phân hóa ........................................... 44 

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ <strong>năng</strong> dự đoán, quan sát ................................ 51 

2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ chung ......................... 56 

2.2.5. Biện pháp 5: Hình thành tri thức phương pháp ....................................... 65 

2.2.6. Biện pháp 6: Rèn luyện kỹ <strong>năng</strong> khai thác, nghiên cứu sâu lời <strong>giải</strong> ....... 71 

2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 82 

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................... 83 

3.1. Mục đích và nội dung thực nghiệm ............................................................ 83 

3.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 83 

3.3. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................. 84 

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................ 84 

3.3.2. Phương pháp thực nghiệm ....................................................................... 84 

3.4. Kết quả thực nghiệm ................................................................................... 87 


3.4.1. Phân tích định tính kết quả thực nghiệm ................................................. 87 

3.4.2. Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm. ............................................. 88 





iv 











3.4.3. Kết luận chung về thực nghiệm ............................................................... 90 

3.5. Kết luận chương 3....................................................................................... 90 

KẾT LUẬN ....................................................................................................... 91 

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 92 

PHỤ LỤC .......................................................................................................... 95 






v 








DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 




Viết tắt 

CH 

GQVĐ 

GS 

GV 

HS 

NXB 

SBT 

SGK 

THCS 

Tr 

TS 

XHCN 

Viết đầy đủ 

Câu hỏi 

Giải <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Giáo sư 

Giáo viên 

Học <strong>sinh</strong> 

Nhà xuất bản 

Sách bài tập 

Sách giáo khoa 

Trung <strong>học</strong> <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> 

Trang 

Tiến sĩ 

Xã hội chủ nghĩa 






iv 








DANH MỤC CÁC BẢNG 




Bảng 1.1. Mức độ thích <strong>học</strong> môn Toán ..............................................................32 

Bảng 1.2. Phân môn thích <strong>học</strong> nhất trong môn Toán .........................................33 

Bảng 1.3. Hoạt động của HS trong giờ Hình <strong>học</strong> ...............................................33 

Bảng 1.4. Cảm nhận của HS trong giờ Hình <strong>học</strong> ...............................................34 

Bảng 1.5. Khó khăn đối với bài toán chứng minh Hình <strong>học</strong> ..............................34 

Bảng 3.1. Điểm bài kiểm tra số 1- lớp thử nghiệm ............................................83 

Bảng 3.2. Điểm bài kiểm tra số 1- lớp đối chứng ...............................................84 

Bảng 3.4. Điểm bài kiểm tra số 2 - lớp thực nghiệm ..........................................88 

Bảng 3.5. Điểm bài kiểm tra số 2 - lớp đối chứng ..............................................88 






v 








DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ 




Sơ đồ 1.1. Các thành tố của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ .....................................................20 

Sơ đồ 2.1. Sơ đồ câu hỏi dẫn dắt tìm lời <strong>giải</strong> ......................................................46 

Sơ đồ 2.2. Sơ đồ khái quát hóa ...........................................................................62 

Sơ đồ 2.3. Sơ đồ đặc biệt hóa .............................................................................64 

Biểu đồ 3.1. Đa giác đồ điểm kiểm tra sau thực nghiệm ....................................89 

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ hình cột biểu thị điểm kiểm tra sau thực nghiệm .............89 






vi 











1. Lý do chọn <strong>đề</strong> tài 

MỞ ĐẦU 

Mục tiêu giáo dục trong thời đại mới là không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ 

những kiến thức, kỹ <strong>năng</strong> có sẵn <strong>cho</strong> HS mà điều đặc biệt quan trọng là phải trang bị 

<strong>cho</strong> HS cách <strong>học</strong> và bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>cho</strong> HS <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> sáng tạo, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. Nghị <strong>quyết</strong> 

Trung ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo khẳng định: 

“Chuyển mạnh quá trình giáo dục chủ yếu từ trang bị kiến thức kĩ <strong>năng</strong> sang phát triển 

toàn diện <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> và phẩm chất của người <strong>học</strong>. Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương 

pháp dạy và <strong>học</strong> theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và 

vận dụng kiến thức, kĩ <strong>năng</strong> của người <strong>học</strong>; khắc phục lối truyền thụ một chiều ghi nhớ 

máy móc. Tập <strong>trung</strong> dạy cách <strong>học</strong>, cách nghĩ, khuyến khích tự <strong>học</strong>, tạo <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> để người 

<strong>học</strong> tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ <strong>năng</strong>, phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>” [7]. 

Ở nhiều nước trên thế giới, các nhà giáo dục toán <strong>học</strong> đã nhấn mạnh rằng giáo 

dục toán <strong>học</strong> phải lấy việc nâng cao <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ làm trọng tâm và được thể hiện 

rõ trong quan điểm trình bày kiến thức và phương pháp dạy <strong>học</strong> thông qua chương trình 

và SGK. 

Nghiên cứu về mối quan hệ giữa nội dung môn toán ở trường phổ thông Việt 

Nam và các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chung cần hình thành và phát triển <strong>cho</strong> HS, Trần Kiều [10] xác 

định <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ là một trong 6 <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> đặc thù môn toán cần hình thành và phát 

triển <strong>cho</strong> HS. 

Như vậy, GQVĐ có ý nghĩa quan trọng trong giảng dạy toán và được đưa vào 

chương trình giảng dạy toán của nhiều nước trên thế giới. Năng <strong>lực</strong> GQVĐ là một <strong>năng</strong> 

<strong>lực</strong> quan trọng cần hình thành và phát triển <strong>cho</strong> HS trong dạy <strong>học</strong> toán. Do đó, bồi 

<strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy <strong>học</strong> toán ở nhà trường 

phổ thông nước ta hiện nay. 

Đối với chương trình toán THCS, HS được <strong>học</strong> về số <strong>học</strong>, đại số và hình <strong>học</strong>. 

Riêng hình <strong>học</strong> là một phân môn rất khó với lứa tuổi HS THCS vì tính trừu tượng của 

hình <strong>học</strong> khá cao. Ở cấp <strong>học</strong> này, hình <strong>học</strong> suy diễn đã thay thế hình <strong>học</strong> quy nạp – 


thực nghiệm. Phần lớn HS hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trong việc <strong>học</strong> tập hình <strong>học</strong>, 





7 











từ phần nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên <strong>đề</strong>, ... đến kỹ <strong>năng</strong>, kỹ xảo 

hoàn thiện các lập luận, suy luận. 

Đối với các bài toán về hình <strong>học</strong>, các em thường không biết bắt đầu từ đâu, <strong>giải</strong> 

<strong>quyết</strong> bằng cách nào <strong>cho</strong> đúng. Chính vì vậy, việc bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS 

là rất cần thiết. 

Xuất phát từ tầm quan trọng của môn Toán nói chung, Hình <strong>học</strong> 9 và tình hình 

thực tế của nhà trường, yêu cầu đổi mới phương pháp dạy và <strong>học</strong> của Bộ Giáo dục và 

Đào tạo, với mong muốn giúp HS <strong>học</strong> tốt hơn để có nền tảng kiến thức toán <strong>học</strong> vững 

chắc trước khi vào <strong>trung</strong> <strong>học</strong> phổ thông nên tôi đã lựa chọn nghiên cứu <strong>đề</strong> tài: “<strong>Bồi</strong> 

<strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>trung</strong> <strong>học</strong> <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> trong dạy <strong>học</strong> hình 

<strong>học</strong> 9” 

Hình <strong>học</strong> 9. 

2. Mục đích nghiên cứu 

Đề xuất một số biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS trong dạy <strong>học</strong> 

3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 

3.1. Khách thể nghiên cứu: Hoạt động dạy <strong>học</strong> môn Hình <strong>học</strong> 9 ở trường THCS 

3.2. Đối tượng nghiên cứu: Cấu trúc <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ của HS và các biện 

pháp sư phạm bồi <strong>dưỡng</strong> những yếu tố này <strong>cho</strong> HS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

3.3. Phạm vi nghiên cứu: Nội dung chương trình Hình <strong>học</strong> 9. 

4. Giả thuyết khoa <strong>học</strong> 

Nếu xác định được yếu tố <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ cần trang bị <strong>cho</strong> HS và xây dựng 

được các biện pháp sư phạm phù hợp thì có thể tăng cường bồi <strong>dưỡng</strong> yếu tố <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> 

GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS thông qua dạy <strong>học</strong> hình <strong>học</strong> 9. 

5. Nhiệm vụ nghiên cứu 

5.1. Nghiên cứu <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> lý luận về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ, đặc điểm tư duy của HS 

THCS và các phương pháp dạy <strong>học</strong> nhằm phát huy tính tích cực nhận thức của HS. 

5.2. Phân tích đặc điểm nội dung, chương trình môn Toán nói chung và Hình 

<strong>học</strong> 9 nói riêng ở trường THCS . Khảo sát thực tiễn bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> 


HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9 

5.3. Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm bồi <strong>dưỡng</strong> một số yếu tố <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> 





8 











GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

5.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của 

các biện pháp sư phạm đã xây dựng. 

6. Phương pháp nghiên cứu 

6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các văn bản có liên quan 

đến nhiệm vụ dạy <strong>học</strong> ở trường THCS . Nghiên cứu các tài liệu triết <strong>học</strong>, tâm lí <strong>học</strong>, 

giáo dục <strong>học</strong> và lí luận dạy <strong>học</strong> bộ môn toán có liên quan đến <strong>đề</strong> tài; Nghiên cứu chương 

trình, sách giáo khoa (SGK), sách bài tập (SBT), sách giáo viên toán 9 ở trường THCS. 

Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về nội dung toán ở trường THCS của Việt Nam. 

6.2. Phương pháp điều tra và quan sát: Sử dụng phiếu điều tra để tìm hiểu về 

thực trạng bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS. Trao đổi với các chuyên gia, GV 

giảng dạy toán THCS, đặc biệt là GV có thâm niên giảng dạy Toán 9, dạy và dự giờ 

một số giờ Hình <strong>học</strong> 9 ở trường THCS để tìm hiểu thực tế về việc dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9 

theo hướng tăng cường bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS. 

6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để 

xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm được <strong>đề</strong> xuất. Đánh giá kết 

quả bằng phương pháp thống kê toán <strong>học</strong> trong khoa <strong>học</strong> giáo dục. 

7. Đóng góp của luận văn 

7.1. Về mặt lí luận 

- Làm rõ những <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ và các thành tố của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

- Đưa ra các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> thành tố của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ của HS THCS và xây dựng 

được một số biện pháp sư phạm bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>cho</strong> HS THCS <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ thông qua 

dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

- Luận văn đã <strong>đề</strong> xuất một cách thức đổi mới phương pháp dạy <strong>học</strong> toán trong 

xu hướng đổi mới của thời đại và nỗ <strong>lực</strong> đổi mới của toàn ngành hiện nay. 

7.2. Về mặt thực tiễn 

- Bước đầu kiểm nghiệm được tính khả thi bằng thực nghiệm sư phạm những 

biện pháp sư phạm đã xây dựng. 


- Đóng góp vào quá trình hình thành và phát triển tri thức ở HS. 

- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo <strong>cho</strong> <strong>sinh</strong> viên, GV các trường THCS. 





9 











8. Cấu trúc của luận văn 

Mở đầu 

Chương I: Cơ <strong>sở</strong> lý luận và thực tiễn. 

Chương II: Một số biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong 

dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

Chương III: Thực nghiệm sư phạm. 

Kết luận 

Tài liệu tham khảo 






10 











Chương 1 

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 

1.1. Về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

1.1.1. Dạy <strong>học</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Ở Việt Nam, có nhiều công trình nghiên cứu về dạy <strong>học</strong> GQVĐ, như của Nguyễn 

Bá Kim - Vũ Dương Thụy [12], Nguyễn Hữu Châu [1], Bùi Văn Nghị [16], Nguyễn Văn 

Cường [6], … Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy [12] <strong>cho</strong> rằng trong dạy <strong>học</strong> GQVĐ, thầy 

giáo tạo ra những tình huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, điều khiển HS phát hiện <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, hoạt động tự giác 

và tích cực để GQVĐ và thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện kĩ <strong>năng</strong> và đạt được 

những mục đích <strong>học</strong> tập khác. Trong dạy <strong>học</strong> GQVĐ cần phải làm rõ các khái niệm: Vấn 

<strong>đề</strong>, tình huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> và dạy <strong>học</strong> GQVĐ. 

1.1.1.1. Vấn <strong>đề</strong> trong dạy <strong>học</strong> toán 

Nguyễn Bá Kim [11] <strong>cho</strong> rằng: “Một bài toán được gọi là một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> nếu chủ 

thể chưa biết một thuật <strong>giải</strong> nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài 

toán”. Polya [19] <strong>cho</strong> rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức 

phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt 

được ngay” và <strong>giải</strong> bài toán tức là tìm ra phương tiện đó. Từ những quan niệm này <strong>cho</strong> 

thấy, bài toán là: Một yêu cầu đặt ra <strong>cho</strong> chủ thể; Chủ thể chưa có trong tay cách <strong>giải</strong>; 

Chủ thể nhận thức được sự cần thiết, ý nghĩa của nó và mong muốn tìm ra cách <strong>giải</strong> 

<strong>quyết</strong>; Chủ thể tích cực suy nghĩ tìm kiếm phương tiện <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> nó. 

Nguyễn Văn Cường [6] khẳng định: “Vấn <strong>đề</strong> là những câu hỏi hay nhiệm vụ đặt 

ra mà việc <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> chúng chưa có quy luật sẵn cũng như những tri thức, kỹ <strong>năng</strong> sẵn 

có chưa đủ <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> mà còn khó khăn, cản trở cần vượt qua” và ông nêu ra ba thành 

phần đặc trưng một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> là “Trạng thái xuất phát: không mong muốn; Trạng thái 

đích: trạng thái mong muốn; Sự cản trở”. Ông phân biệt <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> khác với nhiệm vụ 

thông thường ở chỗ khi <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> một nhiệm vụ thì đã có sẵn trình tự và cách thức 

<strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>, cũng như những kiến thức kỹ <strong>năng</strong> đã có đủ để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> nhiệm vụ đó. 

Phan Anh Tài [23] quan niệm: “Vấn <strong>đề</strong> trong dạy <strong>học</strong> toán phổ thông là bài 


toán (theo nghĩa rộng) đặt ra <strong>cho</strong> người <strong>học</strong>, mà tại thời điểm đó người <strong>học</strong> chưa 

biết lời <strong>giải</strong> và thỏa mãn các điều kiện: i) Bài toán chưa có một thuật <strong>giải</strong> đã biết để 





11 











<strong>giải</strong> nó. ii) Người <strong>học</strong> có sẵn những kiến thức, kĩ <strong>năng</strong> sử dụng thích hợp và có nhu cầu 

<strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>”. Quan niệm này chỉ ra <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> có 3 đặc điểm: Bài toán chưa có thuật <strong>giải</strong>, 

HS có đủ kiến thức kĩ <strong>năng</strong> cần thiết để <strong>giải</strong> và có mong muốn <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. Như vậy, 

một bài toán đặt ra nếu đã có thuật <strong>giải</strong>, đã biết cách <strong>giải</strong> thì không được gọi là <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>; 

một bài toán đặt ra nếu HS chưa có sẵn một cách <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> và các kiến thức kĩ <strong>năng</strong> 

hiện có của HS không đủ để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> bài toán này thì cũng không gọi là <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>; một 

bài toán đặt ra mà HS chưa có thuật <strong>giải</strong> và có đủ kiến thức kĩ <strong>năng</strong> để <strong>giải</strong> nhưng bản 

thân HS không muốn <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> thì cũng không phải là <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. 

Như vậy, <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mang tính chất tương đối, cùng một bài toán có thể đối với HS 

này là <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> nhưng HS khác lại không là <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> và trong tình huống này là <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

trong tình huống khác lại không là <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. Vấn <strong>đề</strong> trong toán <strong>học</strong>, gồm: Vấn <strong>đề</strong> thuần 

túy toán <strong>học</strong>; Vấn <strong>đề</strong> ứng dụng. Các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> khác nhau được <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> theo nhiều cách 

khác nhau. Ở nội dung toán THCS, <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> xuất hiện trong tất cả các tình huống dạy 

<strong>học</strong> điển hình: dạy <strong>học</strong> khái niệm, dạy <strong>học</strong> định lý, dạy <strong>học</strong> quy tắc phương pháp, dạy 

<strong>học</strong> <strong>giải</strong> bài tập dưới dạng những câu hỏi xây dựng khái niệm, câu hỏi chỉ ra thuộc tính 

đặc trưng của khái niệm, yêu cầu thực hiện thao tác để phát hiện ra định lý và tính chất, 

bài toán có thuật toán, bài toán chưa có thuật <strong>giải</strong>, bài toán tìm tòi, bài toán chứng 

minh... 

niệm: 

Từ phân tích các quan niệm về “bài toán” và “<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>”, trong luận văn quan 

Bài toán trong dạy <strong>học</strong> toán THCS là một yêu cầu đặt ra, HS nhận thức được 

sự cần thiết, mong muốn và tích cực suy nghĩ tìm cách thức để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. 

Vấn <strong>đề</strong> trong dạy <strong>học</strong> toán THCS là một bài toán mà HS chưa biết cách <strong>giải</strong> 

<strong>quyết</strong> nhưng có đủ kiến thức và kĩ <strong>năng</strong> cần thiết để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. 

1.1.1.2. Tình huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Trong dạy <strong>học</strong> GQVĐ ta quan tâm đến tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> (tình huống <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>), 

theo Nguyễn Bá Kim [11]: “Tình huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> là một tình huống gợi ra <strong>cho</strong> HS những 

khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả <strong>năng</strong> vượt qua, nhưng không 


phải ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình 





12 











tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn 

có” . 

Trần Kiều [9] <strong>cho</strong> rằng: Tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> là những lúng túng về lý thuyết và 

thực hành để GQVĐ, tức là vào thời điểm đó vào tình huống đó thì những kiến thức và kĩ 

<strong>năng</strong> vốn có chưa đủ để tìm ra ngay lời <strong>giải</strong>; Tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> luôn luôn chứa đựng một 

nội dung cần xác định, một nhiệm vụ cần <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>, một vướng mắc cần tháo gỡ, và kết quả 

của việc nghiên cứu và <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> sẽ là những tri thức mới, nhận thức mới, hoặc phương 

thức hành động mới đối với chủ thể; Tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> được cấu thành bởi ba thành 

phần (Nhu cầu nhận thức hoặc hành động của người <strong>học</strong>; Sự tìm kiếm những tri thức và 

phương thức hành động chưa biết; Khả <strong>năng</strong> trí tuệ của chủ thể, thể hiện ở <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> và kinh 

nghiệm). 

Nguyễn Bá Kim [11] <strong>cho</strong> rằng tình huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> phải thỏa mãn ba điều kiện: 

Tồn tại một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, Gợi nhu cầu nhận thức, Gây niềm tin ở khả <strong>năng</strong>. 

Từ những quan điểm trên, luận văn quan niệm: Tình huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> là tồn tại một 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, HS mong muốn <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> và HS có niềm tin là sẽ <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> được. Tình huống <strong>vấn</strong> 

<strong>đề</strong> trong dạy <strong>học</strong> toán THCS có thể là tình huống xuất phát từ quá trình <strong>học</strong> tập của cá nhân 

HS, có thể xuất phát đời sống thường ngày của HS, gia đình, cộng đồng, tình huống khoa 

<strong>học</strong> mà ta dùng kiến thức toán THCS để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>; việc hiểu và <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> các tình huống 

này sẽ đạt được kiến thức, kĩ <strong>năng</strong> và phương pháp. 

1.1.1.3. Dạy <strong>học</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Dạy <strong>học</strong> GQVĐ là một quan điểm dạy <strong>học</strong> tích cực được đặc biệt chú ý. Quan 

điểm dạy <strong>học</strong> này được hình thành dựa trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> nghiên cứu lý thuyết nhận thức vận 

dụng vào quá trình dạy <strong>học</strong> nhằm phát triển khả <strong>năng</strong> nhận thức của HS, đặc biệt là khả 

<strong>năng</strong> tư duy và <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Quá trình dạy <strong>học</strong> GQVĐ được tổ chức theo cấu trúc của quá trình GQVĐ và 

sự tham gia của HS ở những mức độ tự <strong>lực</strong> khác nhau, ở mức độ cao nhất là tự <strong>lực</strong> nhận 

biết và GQVĐ [6]. Dạy <strong>học</strong> GQVĐ có thể được vận dụng trong dạy <strong>học</strong> các tình huống 

điển hình như: dạy <strong>học</strong> khái niệm, dạy <strong>học</strong> định lí, dạy <strong>học</strong> <strong>giải</strong> bài tập. 


Nghiên cứu [11] chỉ ra ba đặc trưng của dạy <strong>học</strong> GQVĐ: HS được đặt vào một tình 

huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>; HS hoạt động tích cực, tận <strong>lực</strong> huy động tri thức và khả <strong>năng</strong> của mình 





13 











để GQVĐ; Mục đích dạy <strong>học</strong> không phải chỉ là làm <strong>cho</strong> HS lĩnh hội kết quả của quá trình 

GQVĐ, mà còn ở chỗ làm <strong>cho</strong> họ phát triển khả <strong>năng</strong> tiến hành những quá trình như vậy, 

nghĩa là HS không chỉ <strong>học</strong> kết quả của việc <strong>học</strong> mà trước hết là <strong>học</strong> bản thân việc <strong>học</strong>. 

Theo Bernd Meier và Nguyễn Văn Cường [6] trong dạy <strong>học</strong> GQVĐ: HS được 

đặt trong một tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, đó là tình huống chứa đựng mâu thuẫn nhận thức, 

thông qua việc GQVĐ, giúp HS lĩnh hội tri thức, kỹ <strong>năng</strong> và phương pháp nhận thức. 

Nguyễn Bá Kim [11] <strong>cho</strong> rằng: Trong dạy <strong>học</strong> GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình 

huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, điều khiển HS phát hiện <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, 

sáng tạo để GQVĐ, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ <strong>năng</strong> và đạt được những 

mục tiêu <strong>học</strong> tập khác. 

Như vậy, trong dạy <strong>học</strong> GQVĐ điều quan trọng nhất không phải là việc tìm 

kiếm câu trả lời đúng, mà là việc làm thế nào một người đi đến được câu trả lời đúng. 

GQVĐ tập <strong>trung</strong> vào quá trình chứ không phải là sản phẩm. Dạy <strong>học</strong> GQVĐ có một 

mục tiêu là hình thành <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ, một <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> có vị trí quan trọng để con người 

có thể thích ứng với sự phát triển của xã hội tương lai. 

1.1.2. Quá trình <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Trần Kiều [9] chia quá trình GQVĐ thành ba giai đoạn: Sự xuất hiện của chính 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> và những kích thích đầu tiên thúc đẩy chủ thể GQVĐ; Chủ thể nhận thức sâu 

sắc và chấp nhận <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>; Quá trình tìm kiếm lời <strong>giải</strong> <strong>cho</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đã được 

chấp nhận <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>, lý <strong>giải</strong>, chứng minh, kiểm tra. 

Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy [12], chia quá trình GQVĐ thành ba bước: 

Bước 1. Tri giác <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>: Tạo tình huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>; Giải thích và chính xác hóa 

để hiểu đúng tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>; Phát biểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> và đặt mục đích GQVĐ đó. 

Bước 2. GQVĐ: Phân tích <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và 

cái phải tìm; Đề xuất và thực hiện hướng <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>, có thể điều chỉnh, thậm chí bác bỏ 

và chuyển hướng khi cần thiết. Trình bày cách GQVĐ. 

Bước 3. Kiểm tra và nghiên cứu lời <strong>giải</strong>: Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp thực 

tế của lời <strong>giải</strong>; Kiểm tra tính hợp lí hoặc tối ưu của lời <strong>giải</strong>; Tìm hiểu những khả <strong>năng</strong> 


ứng dụng kết quả; Đề xuất những <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát 

hóa, lật ngược <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, ... và <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> nếu có thể. 





14 











Nguyễn Văn Cường [6] mô tả cấu trúc của quá trình GQVĐ gồm ba bước sau: 

Bước 1: Nhận biết <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>: Phân tích tình huống đặt ra, nhận biết được <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. 

Bước 2: Tìm các phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>: Tìm các phương án khác nhau để GQVĐ, 

so sánh, liên hệ với những cách GQVĐ tương tự đã biết cũng như tìm các phương án 

<strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> mới. Khi có khó khăn hoặc không tìm ra phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> thì cần trở lại 

việc nhận biết <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> để kiểm tra lại việc nhận biết và hiểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. 

Bước 3: Quyết định phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>: Các phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> đã được 

tìm ra cần được phân tích, so sánh và đánh giá xem có thể thực hiện được việc GQVĐ 

hay không. Nếu có nhiều phương án có thể <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> thì cần so sánh để xác định 

phương án tối ưu. Nếu việc kiểm tra các phương án đã <strong>đề</strong> xuất đưa đến kết quả là không 

<strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> được <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> thì cần trở lại giai đoạn tìm kiếm phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. Khi đã 

<strong>quyết</strong> định được phương án thích hợp, <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> được <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> tức là đã kết thúc việc 

GQVĐ. 

Theo Bùi Văn Nghị [16], quá trình dạy <strong>học</strong> phát hiện và GQVĐ có bốn bước sau: 

- Phát hiện <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>: Tạo tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, phát hiện những dạng nảy <strong>sinh</strong>, 

phát hiện <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> cần <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. 

GQVĐ. 

- Tìm <strong>giải</strong> pháp: Đề xuất các giả thuyết, lập kế hoạch GQVĐ, thực hiện kế hoạch 

- Trình bày <strong>giải</strong> pháp: Khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đã nêu. 

- Nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp: Tìm hiểu những khả <strong>năng</strong> ứng dụng kết quả, <strong>đề</strong> xuất 

những <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới có liên quan. 

Có nhiều cách phân chia song cách phân chia của Polya là chung nhất. Polya 

<strong>cho</strong> rằng quá trình GQVĐ bốn giai đoạn không thể tách rời là: 1. Hiểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>; 2. Xây 

dựng kế hoạch; 3. Thực hiện kế hoạch; 4. Rà soát và kiểm tra. GQVĐ không đơn giản 

là thực hiện thứ tự bốn giai đoạn, ta có thể chuyển qua các giai đoạn nếu thích hợp. 

Giai đoạn 1 và 2 được lặp đi lặp lại trong quá trình GQVĐ. Khi thực hiện kế hoạch đưa 

ra, phải liên tục kiểm tra sự tiến triển của nó, để xác định xem việc thực hiện kế hoạch 

có hướng tới <strong>giải</strong> pháp đúng không. Nếu kế hoạch đặt ra không thành công thì phải 

<strong>quyết</strong> định làm gì tiếp theo. 


bước sau: 

Từ các cách phân chia trên, chúng tôi quan niệm: Quá trình GQVĐ gồm bốn 





15 











Bước 1. Tìm hiểu và nhận biết <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. Trong bước này HS tìm hiểu tổng thể <strong>vấn</strong> 

<strong>đề</strong>, xác định rõ thông tin đã <strong>cho</strong> và thông tin cần tìm. Huy động các kiến thức và thông 

tin mình có liên quan đến <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, sử dụng các cách thăm dò để biến đổi thông tin tìm 

ra các thông tin mới cần thiết. 

Bước 2. Tìm <strong>giải</strong> pháp. Tổ chức và sử dụng các thông tin có được, đó chính là 

sự tích hợp thông tin và các kiến thức đã có, đưa ra phán xét và <strong>quyết</strong> định sử dụng 

thông tin nào, đưa ra giả thuyết về cách GQVĐ dựa trên các thông tin này. 

Bước 3. Thực hiện <strong>giải</strong> pháp. Quá trình này bao gồm xác định mục tiêu của <strong>vấn</strong> 

<strong>đề</strong>, lập kế hoạch <strong>cho</strong> các mục tiêu và các bước cụ thể theo giả thuyết đã đưa ra từ trước 

để đưa ra được một <strong>giải</strong> pháp. 

Bước 4. Nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp. Rà soát lại <strong>giải</strong> pháp đã được thực hiện và 

xem xét đánh giá liệu một cách tiếp cận khác có thể phù hợp hơn, hay liệu <strong>giải</strong> pháp 

như thế có đúng hay không, hay có nên xem xét lại các giả thuyết ban đầu, hay có thể 

đưa ra các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới. 

Hai bước đầu là quá trình hấp thụ kiến thức và hai bước sau là quá trình ứng 

dụng kiến thức. 

1.1.3. Năng <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

1.1.3.1. Năng <strong>lực</strong> 

Năng <strong>lực</strong> được nhiều nhà tâm lý <strong>học</strong>, nhà triết <strong>học</strong>, nhà giáo dục <strong>học</strong> trong và 

ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chương trình giáo dục phổ thông ở Việt Nam sau 

năm 2015 theo định hướng hình thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>. Khái niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> được 

hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau: 

Theo quan điểm di truyền <strong>học</strong>, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phụ thuộc vào yếu tố bẩm <strong>sinh</strong> của di 

truyền và yếu tố môi trường sống của con người và xem nhẹ yếu tố giáo dục. Các nhà 

tâm lí <strong>học</strong> Mác xit không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm <strong>sinh</strong> di truyền đối với 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và <strong>học</strong> tập trong việc hình thành <strong>năng</strong> 

<strong>lực</strong>. Có thể hiểu, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> là những đặc trưng tâm lí của cá nhân thích hợp để hoàn 

thành có kết quả tốt hoạt động nào đó. 


Nhấn mạnh đến tính mục đích của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>, Phạm Minh Hạc định nghĩa: “Năng 

<strong>lực</strong> chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc 





16 











tính tâm lý của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất 

định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [8]. 

Nguyễn Văn Cường [6] <strong>cho</strong> rằng: “Năng <strong>lực</strong> là khả <strong>năng</strong> thực hiện có trách 

nhiệm và hiệu quả các hành động, <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> các nhiệm vụ, <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> trong những tình 

huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> hiểu 

biết, kỹ <strong>năng</strong>, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động”. Theo quan 

niệm này <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> là khả <strong>năng</strong> kết hợp của các yếu tố tri thức, kĩ <strong>năng</strong>, kĩ xảo, kinh 

nghiệm, thái độ tích cực, tinh thần trách nhiệm để thực hiện hoàn thành các nhiệm vụ, 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> trong các tình huống thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội và cá nhân. 

Từ những nghiên cứu về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>, luận văn quan niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> của HS trong 

<strong>học</strong> toán như sau: Năng <strong>lực</strong> của HS trong <strong>học</strong> toán là khả <strong>năng</strong> huy động kiến thức, kĩ 

<strong>năng</strong>, kinh nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác như ý chí, niềm tin… của HS đáp 

ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công các nhiệm vụ trong hoạt động <strong>học</strong> 

tập toán. 

Như vậy, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> có các đặc điểm sau: 

- Năng <strong>lực</strong> là khả <strong>năng</strong> của mỗi HS, nên đặc thù tâm lí, <strong>sinh</strong> lí, yếu tố bẩm <strong>sinh</strong> 

của mỗi HS và yếu tố xã hội sẽ ảnh hưởng đến <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> của HS. Năng <strong>lực</strong> của mỗi HS 

được hình thành và phát triển sẽ có sự khác biệt nhất định và phụ thuộc vào chương 

trình, phương pháp, hình thức dạy <strong>học</strong>, ... 

- Năng <strong>lực</strong> gắn liền với hoạt động cụ thể. Ví dụ trong lĩnh vực <strong>học</strong> tập <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> 

của HS được thể hiện thông qua việc vận dụng kiến thức, kĩ <strong>năng</strong>, kinh nghiệm, thái 

độ để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> các nhiệm vụ. Năng <strong>lực</strong> của mỗi HS được bộc lộ thông qua các hoạt 

động nên để chứng minh <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> của một HS trong một lĩnh vực nào đó phải xem xét 

các hoạt động của HS trong lĩnh vực đó. 

1.1.3.2. Năng <strong>lực</strong> toán <strong>học</strong> 

Năng <strong>lực</strong> toán <strong>học</strong> là một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mà ở nhiều nước trên thế giới <strong>đề</strong>u có sự quan tâm 

đặc biệt cả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú ý đến việc phát 

hiện và bồi <strong>dưỡng</strong> HS có <strong>năng</strong> khiếu về Toán. Đến nay vẫn chưa có được định nghĩa thống 


nhất về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> Toán. Theo nghiên cứu của Trần Luận [14] về cấu trúc <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>, khái 

niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> toán <strong>học</strong> được <strong>giải</strong> thích trên hai phương diện: 





17 











+ Như là <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> sáng tạo (khoa <strong>học</strong>) - <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> hoạt động khoa <strong>học</strong> toán <strong>học</strong> mà 

hoạt động này tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với 

loài người, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội. 

+ Như là <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>học</strong> tập - <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> nghiên cứu (<strong>học</strong> tập, lĩnh hội) toán <strong>học</strong> (trong 

trường hợp này là giáo trình toán phổ thông), lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các 

kiến thức, kỹ <strong>năng</strong> tương ứng. 

Trần Luận [14] <strong>đề</strong> xuất sơ đồ cấu trúc <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> toán <strong>học</strong> của HS gồm hai nhóm: 

Năng <strong>lực</strong> trí tuệ chung và <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> toán <strong>học</strong> đặc thù. Theo ông, sơ đồ cấu trúc <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> 

toán <strong>học</strong> vừa nêu chỉ mới dừng ở nghĩa hẹp của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>. Trên thực tế, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> cần 

được hiểu theo nghĩa rộng là có thể bao gồm cả nhóm thành phần trí tuệ, cảm xúc, ý 

chí và thể chất. 

Từ những nghiên cứu về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> toán <strong>học</strong>, có thể thấy: 

- Năng <strong>lực</strong> toán <strong>học</strong> là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của HS, giúp 

họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ <strong>năng</strong>, 

kĩ xảo trong môn Toán. 

- Năng <strong>lực</strong> Toán <strong>học</strong> được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn 

liền với) các hoạt động của HS nhằm <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> những nhiệm vụ <strong>học</strong> tập trong môn 

Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, <strong>giải</strong> bài 

toán,… 

1.1.3.3. Năng <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Nguyễn Anh Tuấn [29], đưa ra quan niệm: “Năng <strong>lực</strong> phát hiện và GQVĐ của HS 

trong <strong>học</strong> toán là một tổ hợp <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> bao gồm các kĩ <strong>năng</strong> (thao tác tư duy và hành động) 

trong hoạt động <strong>học</strong> tập nhằm phát hiện và <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> những nhiệm vụ của môn toán”. Và 

chỉ ra hai nhóm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> thành tố là: Nhóm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát hiện <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> trong toán <strong>học</strong> và 

Nhóm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ trong toán <strong>học</strong>. 

Nguyễn Thị Hương Trang [28], nghiên cứu <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> toán theo hướng phát hiện 

và GQVĐ một cách sáng tạo, đưa ra quan niệm về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát hiện và GQVĐ: “Đó là 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tập <strong>trung</strong> vào việc tìm kiếm và áp dụng chiến lược GQVĐ bằng con đường có mục 


tiêu, đòi hỏi tư duy phê phán và cách tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả”. 

Từ Đức Thảo [25], nghiên cứu về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát hiện và GQVĐ, vận dụng vào 





18 











thực tiễn dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> ở trường THPT, <strong>cho</strong> rằng: “Năng <strong>lực</strong> phát hiện và GQVĐ 

của HS trong Hình <strong>học</strong> là một tổ hợp các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> thể hiện ở kĩ <strong>năng</strong> (thao tác tư duy 

và hành động) trong hoạt động <strong>học</strong> tập nhằm <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> có hiệu quả những nhiệm vụ 

của Hình <strong>học</strong>” 

Phan Anh Tài [23], <strong>cho</strong> rằng: “Năng <strong>lực</strong> GQVĐ của HS trong <strong>học</strong> toán là tổ hợp 

các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> được bộc lộ qua các hoạt động trong quá trình GQVĐ”. 

Trong luận văn này tôi quan niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ trong <strong>học</strong> toán của HS như 

sau: Năng <strong>lực</strong> GQVĐ của HS là khả <strong>năng</strong> huy động kiến thức, kĩ <strong>năng</strong>, kinh nghiệm và 

các phẩm chất cá nhân khác của HS để thực hiện hoạt động GQVĐ khi phải đối mặt 

với các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> trong <strong>học</strong> toán mà ở đó con đường tìm ra lời <strong>giải</strong> không rõ ràng ngay 

lập tức. 

1.1.3.4. Các thành tố của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Tiếp cận quá trình GQVĐ trong dạy <strong>học</strong> toán, Phan Anh Tài [23] <strong>cho</strong> rằng <strong>năng</strong> 

lự̣c GQVĐ của HS trong dạy <strong>học</strong> toán phổ thông được cấu thành bởi các thành tố sau: 

Năng <strong>lực</strong> hiểu VĐ, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát hiện và triển khai <strong>giải</strong> pháp GQVĐ, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> trình 

bày <strong>giải</strong> pháp GQVĐ, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát hiện <strong>giải</strong> pháp khác để GQVĐ và <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát 

hiện <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới. 

thành tố sau: 

Tiếp cận theo quá trình GQVĐ, luận văn quan niệm <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ gồm có 4 

*) Năng <strong>lực</strong> hiểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>: Là khả <strong>năng</strong> của cá nhân xác định và hiểu được vai trò 

của các thông tin đưa ra, đưa ra các phán xét có <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong>, gắn kết các thông tin và các kiến 

thức đã biết. Năng <strong>lực</strong> hiểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> gồm các thành phần: <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> nhận dạng và phát 

biểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, Năng <strong>lực</strong> xác định và <strong>giải</strong> thích thông tin (bao gồm hiểu ngôn ngữ diễn 

đạt của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> và toán <strong>học</strong> hóa <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>). 

*) Năng <strong>lực</strong> tìm ra <strong>giải</strong> pháp: Là khả <strong>năng</strong> của cá nhân sử dụng các thông tin và 

kiến thức đã biết để rút ra những kết luận và đưa ra những <strong>quyết</strong> định đi đến <strong>giải</strong> pháp. 

Năng <strong>lực</strong> tìm <strong>giải</strong> pháp gồm các thành phần: <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> thu thập và đánh giá thông tin 

(là khả <strong>năng</strong> phân tích mối liên hệ giữa các đối tượng), <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> xác định cách thức 


GQVĐ (là khả <strong>năng</strong> định hướng kết nối các kiến thức, kĩ <strong>năng</strong> đã có với cái cần tìm). 

*) Năng <strong>lực</strong> thực hiện <strong>giải</strong> pháp: Là khả <strong>năng</strong> của cá nhân sắp xếp các thông tin 





19 











và các kiến thức đã biết để triển khai <strong>giải</strong> pháp; <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> này gồm hai thành phần là 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> xây dựng kế hoạch và <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> trình bày <strong>giải</strong> pháp và điều chỉnh. 

*) Năng <strong>lực</strong> nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp: Là khả <strong>năng</strong> của cá nhân xem xét, kiểm 

nghiệm để đưa ra <strong>giải</strong> pháp mới và <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> các thông tin có được từ 

GQVĐ. Năng <strong>lực</strong> nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp gồm các thành phần: <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>đề</strong> xuất <strong>giải</strong> 

pháp mới, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> xây dựng <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> vận dụng <strong>giải</strong> pháp vào tình huống 

mới, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát triển <strong>giải</strong> pháp. 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Sơ đồ sau đây mô tả các thành tố của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ: 

Quá trình GQVĐ 

Tìm hiểu và nhận biết <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Tìm <strong>giải</strong> pháp 

Thực hiện <strong>giải</strong> pháp 

Nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp 

Thành tố <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ 

Năng <strong>lực</strong> hiểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Năng <strong>lực</strong> tìm ra <strong>giải</strong> pháp 

Năng <strong>lực</strong> thực hiện <strong>giải</strong> pháp 

Năng <strong>lực</strong> nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp 

Sơ đồ 1.1. Các thành tố của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ 

1.1.3.5. Mối quan hệ giữa hoạt động <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> và <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> 

Năng <strong>lực</strong> không mang tính chung chung, khi nói về <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> là gắn với một hoạt 

động cụ thể nào đó, chẳng hạn <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> Toán <strong>học</strong> của hoạt động <strong>học</strong> tập hay nghiên 

cứu Toán <strong>học</strong>, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> giảng dạy của hoạt động giảng dạy, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ trong dạy 

<strong>học</strong> Toán của hoạt động GQVĐ trong dạy <strong>học</strong> Toán,... Giữa hoạt động GQVĐ và <strong>năng</strong> 

<strong>lực</strong> GQVĐ có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ được thể hiện thông qua 

kết quả của hoạt động GQVĐ và hoạt động GQVĐ làm bộc lộ <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. Như 

vậy, để hình thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ cần phải <strong>cho</strong> HS được thực hiện các 


hoạt động GQVĐ. 

1.2. Phân tích nội dung, chương trình Hình <strong>học</strong> 9 





20 











1.2.1. Vị trí và mục tiêu dạy <strong>học</strong> Toán 9 

* Vị trí của dạy <strong>học</strong> toán: 

- Thứ nhất, môn toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung 

của giáo dục phổ thông. Môn toán góp phần phát triển nhân cách. Cùng với việc tạo 

điều kiện <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ <strong>năng</strong> toán <strong>học</strong> cần thiết, 

môn toán còn có tác dụng góp phần phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> trí tuệ chung như phân tích, 

tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,... rèn luyện những đức tính cẩn thận, chính 

xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi <strong>dưỡng</strong> óc thẩm mĩ. 

- Thứ hai, môn toán cung cấp vốn văn hóa toán phổ thông một cách có hệ thống 

và tương đối hoàn chỉnh, bao gồm kiến thức, kĩ <strong>năng</strong>, phương pháp tư duy. 

- Thứ ba, môn toán là công cụ giúp <strong>cho</strong> việc dạy <strong>học</strong> và <strong>học</strong> các môn khác. 

- Thứ tư, trong thời kì phát triển mới của đất nước môn toán càng có ý nghĩa 

quan trọng hơn. 

* Mục tiêu dạy <strong>học</strong> toán: 

Mục tiêu dạy <strong>học</strong> môn toán nằm trong mục tiêu giáo dục nói chung được 

nêu ra trong Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005: 

“Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> phát triển toàn diện về đạo đức, 

trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ <strong>năng</strong> <strong>cơ</strong> bản, phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> cá nhân, tính <strong>năng</strong> 

động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam XHCN, xây dựng tư cách 

và trách nhiệm công dân; chuẩn bị <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> tiêp tục <strong>học</strong> lên hoặc đi vào cuộc sống 

lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. 

1.2.2. Yêu cầu về kiến thức kỹ <strong>năng</strong> của chương trình Toá n 9 

+ Về kiến thức: Yêu cầu <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> phải nhớ, nắm vững, hiểu rõ các kiến thức 

<strong>cơ</strong> bản trong chương trình SGK, đó là nền tảng vững chắc để có thể phát triển <strong>năng</strong> 

<strong>lực</strong> nhận thức ở cấp cao hơn. 

+ Về kỹ <strong>năng</strong>: Biết vận dụng các kiến thức đã <strong>học</strong> để trả lời câu hỏi, <strong>giải</strong> bài 

tập, làm thực hành; có kỹ <strong>năng</strong> tính toán, vẽ hình, dựng biểu đồ… 

+ Kiến thức, kỹ <strong>năng</strong> phải dựa trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>, trí tuệ <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> 


ở các mức độ từ đơn giản tới phức tạp. 

+ Mức độ cần đạt được về kiến thức được xác định theo 6 mức độ: nhận biết, 





21 











thông hiểu, vận dụng, phân tích, đánh giá và sáng tạo: 

a) Nhận biết: Là sự nhớ lại các dữ liệu, thông tin đã có trước đây; nghĩa là 

có thể nhận biết thông tin, ghi nhớ, tái hiện thông tin, nhắc lại một loại dữ liệu, từ 

các sự kiện đơn giản đến các lý thuyết phức tạp. 

b) Thông hiểu: Là khả <strong>năng</strong> nắm được hiểu được ý nghĩa của các khái niệm, 

sự vật hiện tượng; là mức độ cao hơn nhận biết nhưng là mức độ thấp nhất của việc 

thấu hiểu sự vật hiện tượng. 

c) Vận dụng: Là khả <strong>năng</strong> sử dụng các kiến thức đã <strong>học</strong> vào một hoàn cảnh 

cụ thể mới: vận dụng nhận biết, hiểu biết thông tin để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đặt ra. 

d) Phân tích: Là khả <strong>năng</strong> phân chia một thông tin ra thành các phần thông 

tin nhỏ sao <strong>cho</strong> có thể hiểu được cấu trúc, tổ chức của nó và thiết lập mối liên hệ 

phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng. 

e) Đánh giá: Là khả <strong>năng</strong> xác định giá trị của thông tin: Bình xét, nhận định, 

xác định được giá trị của một tư tưởng, một nội dung kiến thức, một phương pháp. 

Đây là một bước mới trong việc lĩnh hội kiến thức được đặc trưng bởi việc đi sâu 

vào bản chất của đối tượng, sự vật, hiện tượng. 

f) Sáng tạo: Là khả <strong>năng</strong> tổng hợp, sắp xếp, thiết kế lại thông tin; khai thác, bổ 

sung thông tin từ các nguồn tư liệu khác để sáng lập một hình mẫu mới 

* Kiến thức trọng tâm cần đạt được theo yêu cầu của chuẩn kiến thức 

kĩ <strong>năng</strong> của chương trình Toán 9: 

Đảm bảo dạy và <strong>học</strong> đủ chương trình của môn Toán lớp 9 như phân phối 

chương trình của Bộ đã quy định và phải dạy <strong>học</strong> đầy đủ kiến thức <strong>cơ</strong> bản, trọng 

tâm đã nêu ra trong SGK Toán 9 [3], [4]. 

- Về kiến thức và kĩ <strong>năng</strong> thực hành, yêu cầu HS tối thiểu phải đạt được 

những kiến thức và kĩ <strong>năng</strong> đã được cụ thể hóa ở phần mục tiêu. 

* Yêu cầu cụ thể đối với từng nội dung kiến thức trong chương trình Hình 

<strong>học</strong> 9 như sau: 

I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 


1.1. Một số hệ thức trong tam giác vuông. 

Về kiến thức: Hiểu cách chứng minh các hệ thức. 





22 











Về kĩ <strong>năng</strong>: Vận dụng được các hệ thức đó để <strong>giải</strong> toán và <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> một số 

trường hợp thực tế. 

1.2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. Bảng lượng giác. 

Về kiến thức: 

- Hiểu các định nghĩa: sin, cos, tan, cot. 

- Biết mối liên hệ giữa tỉ số lượng giác của các góc phụ nhau. 

Về kĩ <strong>năng</strong>: 

- Vận dụng được các tỉ số lượng giác để <strong>giải</strong> bài tập. 

- Biết sử dụng bảng số, máy tính bỏ túi để tính tỉ số lượng giác của một góc 

nhọn <strong>cho</strong> trước hoặc số đo của góc khi biết tỉ số lượng giác của góc đó. 

1.3. Hệ thức giữa các cạnh và các góc của tam giác vuông (sử dụng tỉ số 

lượng giác). 

Về kiến thức: Hiểu cách chứng minh các hệ thức giữa các cạnh và các góc 

của tam giác vuông. 

Về kĩ <strong>năng</strong>: Vận dụng được các hệ thức trên vào <strong>giải</strong> các bài tập và <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> 

một số bài toán thực tế. 

vuông. 

được. 

1.4. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

Về kiến thức: Nắm vững các hệ thức giữa các cạnh và các góc của tam giác 

Về kĩ <strong>năng</strong>: Biết cách đo chiều cao và khoảng cách trong tình huống có thể 

II. ĐƯỜNG TRÒN 

2.1. Xác định một đường tròn. 

- Định nghĩa đường tròn, hình tròn. 

- Cung và dây cung. 

- Sự xác định một đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác. 


HS Hiểu : 


+ Định nghĩa đường tròn, hình tròn. 

+ Các tính chất của đường tròn. 





23 











+ Sự khác nhau giữa đường tròn và hình tròn. 

+ Khái niệm cung và dây cung, dây cung lớn nhất của đường tròn. 


- Biết cách vẽ đường tròn qua hai điểm và ba điểm <strong>cho</strong> trước. Từ đó biết 

cách vẽ đường tròn ngoại tiếp một tam giác. 

- Ứng dụng: Cách vẽ một đường tròn theo điều kiện <strong>cho</strong> trước, cách xác định 

tâm đường tròn. 

2.2. Tính chất đối xứng. 

- Tâm đối xứng. 

- Trục đối xứng. 

- Đường kính và dây cung. 

- Dây cung và khoảng cách đến tâm. 


Hiểu được tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó, bất kì đường 

kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. Hiểu được quan hệ vuông góc giữa 

đường kính và dây, các mối liên hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây. 


Biết cách tìm mối liên hệ giữa đường kính và dây cung, dây cung và khoảng 

cách từ tâm đến dây. 

2.3. Ví trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, của hai đường tròn. 


- Hiểu được vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, của hai đường 

tròn qua các hệ thức tương ứng (d < R, d > R, d = r + R, …). 

- Hiểu điều kiện để mỗi vị trí tương ứng có thể xảy ra. 

- Hiểu các khái niệm tiếp tuyến của đường tròn, hai đường tròn tiếp xúc 

trong, tiếp xúc ngoài. Dựng được tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm <strong>cho</strong> 

trước ở trên hoặc ở ngoài đường tròn. 

- Biết khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác. 



- Biết cách vẽ đường thẳng và đường tròn, đường tròn và đường tròn khi số 





24 











điểm chung của chúng là 0, 1, 2. 

- Vận dụng các tính chất đã <strong>học</strong> để <strong>giải</strong> bài tập và một số bài toán thực tế. 

III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 

3.1. Góc ở tâm. Số đo cung. 

- Định nghĩa góc ở tâm. 

- Số đo của cung tròn. 

Về kiến thức: Hiểu khái niệm góc ở tâm, số đo của một cung. 

Về kĩ <strong>năng</strong>: Ứng dụng <strong>giải</strong> được bài tập và một số bài toán thực tế. 

3.2. Liên hệ giữa cung và dây. 

Về kiến thức: Nhận biết được mối liên hệ giữa cung và dây để so sánh được 

độ lớn của hai cung theo hai dây tương ứng và ngược lại. 

bị chắn. 

Về kĩ <strong>năng</strong>: Vận dụng được các định lí để <strong>giải</strong> bài tập. 

3.3. Góc tạo bởi hai cát tuyến của đường tròn. 

- Định nghĩa góc nội tiếp. 

- Góc nội tiếp và cung bị chắn. 

- Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. 

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn. 

- Cung chứa góc. Bài toán quỹ tích “cung chứa góc”. 


- Hiểu khái niệm góc nội tiếp, mối liên hệ giữa góc nội tiếp và cung 

- Nhận biết được góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. 

- Nhận biết được góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn, biết 

cách tính số đo của các góc trên. 

- Hiểu bài toán quỹ tích “cung chứa góc” và biết vận dụng để <strong>giải</strong> những bài 

toán đơn giản. 

Về kĩ <strong>năng</strong>: Vận dụng được các định lí, hệ quả để <strong>giải</strong> bài tập. 

3.4. Tứ giác nội tiếp đường tròn. 


Về kiến thức: Hiểu định lí thuận và định lí đảo về tứ giác nội tiếp. 

Về kĩ <strong>năng</strong>: Vận dụng được các định lí trên để <strong>giải</strong> bài tập về tứ giác nội 





25 











tiếp đường tròn. 

3.5. Công thức tính độ dài đường tròn, diện tích hình tròn. Giới thiệu hình 

quạt tròn và diện tích hình quạt tròn. 

Về kiến thức: Hiểu được công thức tính độ dài đường tròn, diện tích hình 

tròn và diện tích hình quạt tròn. 

Về kĩ <strong>năng</strong>: Vận dụng được công thức tính độ dài đường tròn, độ dài cung 

tròn, diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn để <strong>giải</strong> bài tập. 

cầu. 

IV. HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN, HÌNH CẦU 

Hình trụ, hình nón, hình cầu. 

- Hình khai triển trên mặt phẳng của hình trụ, hình nón. 

- Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ, hình nón, hình 

Về kiến thức: Qua mô hình, nhận biết được hình trụ, hình nón, hình cầu và 

đặc biệt là các yếu tố: đường <strong>sinh</strong>, chiều cao, bán kính có liên quan đến việc tính 

toán diện tích và thể tích các hình. 

Về kĩ <strong>năng</strong>: Biết được các công thức tính diện tích và thể tích các hình, từ đó 

vận dụng vào việc tính toán diện tích, thể tích các vật có cấu tạo từ các hình nói 

1.3. Cơ hội hình thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> 

<strong>trung</strong> <strong>học</strong> <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> trong dạy <strong>học</strong> hình <strong>học</strong> 9 

Phạm Đức Quang [20] khẳng định: Trong các môn <strong>học</strong>, những nội dung và hoạt 

động <strong>học</strong> tập <strong>cơ</strong> bản được liên kết với nhau cùng hướng vào hình thành các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>. 

Năng <strong>lực</strong> GQVĐ trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9 được thể hiện ở khả <strong>năng</strong> liên kết nội dung 

kiến thức hình <strong>học</strong> thông qua hoạt động <strong>học</strong> tập để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> các tình huống vận dụng 

kiến thức hình <strong>học</strong>. Để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> được tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, đòi hỏi HS phải: Nhận 

dạng được các yếu tố; Nhận thức được mô hình, cấu trúc của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>; Thu thập và đánh 

giá thông tin; Kết nối kiến thức, kĩ <strong>năng</strong> <strong>đề</strong> xuất cách thức GQVĐ; Thực hiện <strong>giải</strong> pháp 

và Nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp. 

Sau đây là minh họa phân tích <strong>cơ</strong> hội phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> hiểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> và <strong>năng</strong> 

<strong>lực</strong> tìm <strong>giải</strong> pháp. 


Ví dụ 1.1. Tìm tập hợp những điểm M trong ABC, sao <strong>cho</strong> tổng diện tích các 

MAB và MAC bằng diện tích của MBC. 





26 











- Trong bối cảnh trên nảy <strong>sinh</strong> 

tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> là tìm tập hợp 

điểm M. Trong thực tiễn không ít HS 

lúng túng trong việc tìm lời <strong>giải</strong> vì không 

biết phải bắt đầu từ đâu. Giúp HS vượt 

qua khó khăn này chính là tạo <strong>cơ</strong> hội 

<strong>cho</strong> HS phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Hình 1.1 

- Tìm hiểu và nhận dạng <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, HS cần phân tích đặc điểm của tình huống: 

+ Xác định được đối tượng đã <strong>cho</strong>: Điểm M nằm trong tam giác ABC và tổng 

diện tích các MAB và MAC bằng diện tích của MBC. 

+ Giải thích rõ được đối tượng : Tam giác ABC cố định. M là một điểm bất kì 

nằm trong tam giác ABC. SMAB + SMAC +SMBC = SABC 

+ Xác định được cấu trúc của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>: Tìm tập hợp điểm M nằm trong tam giác 

ABC thỏa mãn SMAB + SMAC = SMBC 

Từ xác định, <strong>giải</strong> thích nội hàm các đối tượng, giúp hiểu các yếu tố đã <strong>cho</strong> và 

yếu tố cần tìm, nhận dạng được cấu trúc của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> giúp HS phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> hiểu 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. 

tin: 

- Tìm <strong>giải</strong> pháp, từ đặc điểm của tình huống, HS thu thập, đánh giá, kết nối thông 

+ Thu thập, lựa chọn thông tin: Tìm tập hợp điểm nằm trong tam giác. Tìm các 

điều kiện tương đương với giả thiết: SMAB + SMAC +SMBC = SABC và SMAB + SMAC = 

SMBC tương đương với SABC = 2 SMBC 

+ Thu thập, lựa chọn, đánh giá, kết nối kiến thức liên quan đã biết: Điểm M nằm 

trong ABC sao <strong>cho</strong> SABC = 2.SMBC 

+ Đánh giá thông tin: 

Nếu kẻ AH BC và MK BC thì SABC = 2.SMBC AH 

2. MK 

+ Xác định cách thức <strong>giải</strong>: Mong đợi của GV ở đây là HS của mình thay đổi giả 


thiết, phát biểu được bài toán tương đương với bài toán ban đầu có liên quan tới yếu tố 

cố định là diện tích của ABC như sau: Tìm tập hợp những điểm M trong ABC, sao <strong>cho</strong> 

SABC = 2 SMBC. 





27 











Kẻ AH BC và MK BC. Gọi I là <strong>trung</strong> điểm của AH. Qua I kẻ đường thẳng 

// BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Khi đó SABC = 2.SMBC AH 

2. MK .Từ đó dễ 

dàng suy ra tập hợp điểm M thuộc đoạn thẳng EF. 

Từ hiểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, xác định việc phải làm, cách phải nghĩ và dẫn đến đánh giá các 

thông tin, kết nối với các kiến thức đã có, xác định cách thức QGVĐ, <strong>đề</strong> xuất <strong>giải</strong> pháp, 

từ đó giúp phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tìm <strong>giải</strong> pháp. 

Như vậy: Nhờ diễn đạt lại hình thức bài toán “Tìm tập hợp những điểm M trong 

ABC, sao <strong>cho</strong> SABC = 2 SMBC”, HS <strong>giải</strong> bài toán một cách đơn giản. Hoạt động bổ sung 

yếu tố phụ để tạo các đối tượng <strong>trung</strong> gian nhằm kết nối các tri thức đã biết với tri 

thức cần tìm 

- Thực hiện <strong>giải</strong> pháp và nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp: Sau khi tìm được <strong>giải</strong> pháp 

HS tiến hành thực hiện <strong>giải</strong> pháp; Suy ngẫm về cách thức tiến trình <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> và <strong>đề</strong> 

xuất tình huống vận dụng. Cụ thể, “Tìm tập hợp những điểm M trong ABC, sao <strong>cho</strong> 

S 

S 

ABC 

ABMC 

2 .” 

Nội dung hình <strong>học</strong> 9 ở THCS có thể tạo ra <strong>cơ</strong> hội để hình thành và phát triển 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS do tính ứng dụng của hình <strong>học</strong> trong lượng giác và có thể gắn 

kết kiến thức hình <strong>học</strong> với các bối cảnh nảy <strong>sinh</strong> tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. Mỗi chủ <strong>đề</strong> 

trong hình <strong>học</strong> 9 <strong>đề</strong>u có những <strong>cơ</strong> hội để hình thành <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ, cụ thể: 

*) Cơ hội hình thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> hiểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

+ Tình huống chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: Hiểu hai đoạn thẳng bằng 

nhau là: hai đoạn thẳng có cùng số đo; cùng bằng đoạn thẳng thứ ba; hai cạnh bằng 

nhau trong các hình đặc biệt (hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, …); hai bán 

kính của một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau,…; 

+ Tình huống chứng minh hai góc bằng nhau: Hiểu chúng là hai góc tương ứng 

của hai hình bằng nhau, đồng dạng; chúng cùng phụ, bù hoặc bằng góc thứ ba hoặc 

chúng có số đo bằng nhau; chúng là hai góc bằng nhau trong các hình đặc biệt; chúng 

là hai góc nội tiếp chắn cùng một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau; chúng là hai góc 


so le trong hoặc đồng vị…; 

+ Tình huống chứng minh hai đường thẳng song song: Hiểu chúng cùng song 





28 











song hoặc vuông góc với đường thẳng thứ ba; Hiểu được mối liên hệ giữa hai đường 

thẳng song song với định lý Ta-Lét và định lí về hai đoạn thẳng tỉ lệ; Hiểu được mối 

liên hệ giữa hai đường thẳng song song với các hình đặc biệt (hình vuông, hình chữ 

nhật, hình thoi, hình thang…) ; Hiểu được mối liên hệ giữa hai đường thẳng với đường 

thẳng thứ ba tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau;… 

+ Tình huống chứng minh ba điểm thẳng hàng: Hiểu được mối quan hệ giữa 

đường kính và tâm đường tròn; Hiểu định lí “hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” trong việc 

chứng minh ba điểm thẳng hàng; 

+ Tình huống chứng minh ba đường thẳng đồng quy: Hiểu mối quan hệ giữa 

chúng với những đường đặc biệt trong tam giác (ba đường <strong>trung</strong> tuyến, ba đường phân 

giác, ba đường cao, ba đường <strong>trung</strong> trực) Hiểu được quy tắc một đường thẳng đi qua 

giao điểm của hai đường thẳng còn lại thì chúng sẽ đồng quy. 

+ Tình huống chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn: Hiểu 

khái niệm về tiếp tuyến của đường tròn, dấu hiệu chứng minh tiếp tuyến của đường 

tròn. Hiểu nếu biết đường thẳng và đường tròn có 1 giao điểm ta chỉ cần chứng minh 

đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. 

+ Tình huống chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, chứng minh tứ 

giác nội tiếp: Hiểu đặc điểm của tứ giác nội tiếp; tính chất điểm thuộc đường tròn; Hiểu 

tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó 

nội tiếp. 

+ Tình huống chứng minh hệ thức trong hình <strong>học</strong>: Hiểu các hệ thức liên hệ giữa 

cạnh và góc trong tam giác vuông, các hệ thức về cạnh và đường cao, hình chiếu trong 

tam giác vuông, Nhận dạng bài toán thuộc dạng chứng minh hay tìm điều kiện. 

+ Tình huống chứng minh điểm cố định: Hiểu cách di chuyển các điểm di động 

đến các vị trí đặc biệt để phán đoán ra điểm cố định và chứng minh điều phán đoán; 

Hiểu mối liên hệ giữa các yếu tố cố định để tìm ra yếu tố cố định cần tìm. 

*) Cơ hội hình thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tìm ra <strong>giải</strong> pháp: 

+ Phân tích mối liên hệ giữa các tính chất về góc trong tam giác, tứ giác, các 

hình bằng nhau. Từ đó <strong>đề</strong> xuất ra các <strong>giải</strong> pháp về tính số đo góc, chứng minh góc bằng 


nhau… 

+ Phân tích mối liên hệ giữa các tính chất về cạnh và đường cao trong tam giác 

vuông. Từ đó <strong>đề</strong> xuất ra các <strong>giải</strong> pháp về tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác, chứng 





29 











minh tam giác đồng dạng … 

+ Phân tích mối liên hệ giữa các tính chất của tiếp tuyến cắt nhau, định hướng 

kết nối với các kiến thức đã biết và <strong>đề</strong> xuất <strong>giải</strong> pháp phù hợp. 

+ Phân tích đặc điểm, mối liên hệ giữa đường kính và dây cung trong đường 

tròn. Từ đó lựa chọn cách làm hợp lí trong chứng minh đoạn thẳng bằng nhau. 

*) Cơ hội hình thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> thực hiện <strong>giải</strong> pháp: 

+ Xây dựng kế hoạch và trình bày bài toán tính số đo góc, số đo cạnh; bài toán 

liên quan đến các tính chất của tam giác, tứ giác, đường tròn. 

+ Xây dựng kế hoạch và trình bày bài toán ứng dụng hình <strong>học</strong> trong đại số, hình 

<strong>học</strong>, lượng giác. 

*) Cơ hội hình thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> nghiên cứu sâu <strong>giải</strong> pháp: 

+ Đề xuất cách tính độ dài đoạn thẳng khác, cách tính số đo góc khác; Áp dụng 

<strong>giải</strong> pháp vào các bài toán tính khác. 

+ Đề xuất cách <strong>giải</strong> khác về hình <strong>học</strong> 9; tìm các cách chứng minh <strong>cho</strong> bài toán; 

Đề xuất bài toán mới; Áp dụng <strong>giải</strong> pháp vào các bài toán khác. 

+ Áp dụng <strong>giải</strong> pháp vào các bài toán hình <strong>học</strong> khác; Xây dựng phương pháp 

<strong>giải</strong> một số dạng bài toán hình <strong>học</strong>. 

Trong bối cảnh vận dụng kiến thức hình <strong>học</strong>, chứa đựng nhiều tình huống có 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, quá trình HS tìm kiếm con đường GQVĐ, đã tạo ra <strong>cơ</strong> hội để hình thành và 

phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Ví dụ 1.2. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là 

trực tâm của tam giác ABC. Vẽ OM vuông góc BC (M khác B,C). 

Chứng minh rằng AH = 2OM. 

GV gợi ý để HS tìm được cách vẽ hình phụ và <strong>giải</strong> bài toán: 

- Để chứng minh AH = 2OM, gợi <strong>cho</strong> ta nghĩ đến quan hệ giữa OM và AH như 

thế nào? (OM là đường <strong>trung</strong> bình của một tam giác có cạnh thứ ba là AH). 

- Muốn tạo ra tam giác có cạnh thứ ba là AH và đường <strong>trung</strong> bình là OM ta 

làm thế nào? (Đường kính đi qua A (vì O là tâm đường tròn nên gợi <strong>cho</strong> ta suy nghĩ 

đến đoạn thẳng nào nhận O làm <strong>trung</strong> điểm)). 






30 











GV: Quan hệ đó là cở <strong>sở</strong> để giúp chúng ta vẽ thêm 

yếu tố phụ là đường kính AOD (qua A) rồi <strong>giải</strong> bài toán 

(Hình 1.2). 

Khai thác kết quả bài toán để tìm lời <strong>giải</strong> khác hay 

phát triển bài toán mới, chẳng hạn: 

GV có thể gợi ý để HS tìm được các cách vẽ hình 

phụ khác, chẳng hạn: 

Cách 2: Vẽ đường kính BOE. 

Cách 3: Vẽ ON vuông góc với AC. 

Phát triển bài toán mới 

GV: Đây là một tính chất “đẹp” của trực tâm tam giác, giúp <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> khá nhiều 

bài toán. Chẳng hạn, bài toán đường thẳng Ơ-le… 

Bài toán: Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H và G tương 

ứng là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng (đường 

thẳng Ơ-le). 

Như vậy <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9 được thể hiện ở khả <strong>năng</strong> 

liên kết nội dung kiến thức hình <strong>học</strong> thông qua hoạt động <strong>học</strong> tập để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> các tình 

huống vận dụng kiến thức hình <strong>học</strong>. 

1.4. Thực trạng bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> THCS 

trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> ở trường THCS hiện nay 

1.4.1. Đối với GV 

Ở THCS, môn Toán là một trong những môn <strong>học</strong> luôn được chú trọng và cũng 

là môn <strong>học</strong> trừu tượng. Hình <strong>học</strong> là một bộ phận của môn Toán, trong đó sự trừu tượng 

được thể hiện rõ hơn so với phần Đại số. Đặc biệt, với các bài toán như: vẽ thêm đường 

phụ để chứng minh, có bất đẳng thức hình <strong>học</strong> hay cực trị hình <strong>học</strong>, … Đối với phân 

môn Hình <strong>học</strong>, phần lý thuyết ít nên việc truyền thụ kiến thức của GV đến HS sẽ gặp 

nhiều khó khăn. Để hiểu rõ thực trạng tôi đã tiến hành phỏng <strong>vấn</strong> và dự giờ một số tiết 

hình <strong>học</strong> của GV dạy toán ở THCS và khảo sát đối với HS THCS. Kết quả <strong>cho</strong> thấy 

một số tồn tại trong việc dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> ở trường THCS như sau: 

- Thiên về cung cấp lời <strong>giải</strong> <strong>cho</strong> HS tiếp thu một cách thụ động, chưa chú trọng 

B 

H 

A 

M 

O 

Hình 1.2 


D 

C 





31 











hướng dẫn HS chiếm lĩnh kiến thức. 

- Thường bằng lòng và kết thúc công việc <strong>giải</strong> bài toán hình <strong>học</strong> khi đã tìm được 

một cách <strong>giải</strong> nào đó, chưa chú ý hướng dẫn HS suy nghĩ tìm tòi cách <strong>giải</strong> khác, cách 

<strong>giải</strong> hay hơn hoặc khai thác thêm ở bài toán vừa <strong>giải</strong> để phát huy tư duy linh hoạt và 

sáng tạo của HS; thường chú ý số lượng hơn là chất lượng bài <strong>giải</strong>. 

- Đôi lúc chú trọng mặt <strong>đề</strong> cao và coi nhẹ mặt bảo đảm cái <strong>cơ</strong> bản theo yêu cầu 

của chương trình theo chuẩn kiến thức kỹ <strong>năng</strong>; thích <strong>cho</strong> HS <strong>giải</strong> những bài toán khó, 

bài toán lạ trong khi còn nhiều HS vẫn lúng túng với những bài toán rất <strong>cơ</strong> bản. 

- Đối với các định lý, GV thường <strong>cho</strong> HS công nhận nội dung của định lý mà 

không chứng minh 

1.4.2. Đối với HS 

Qua điều tra, khảo sát 128 HS lớp 9 của trường THCS Thống Nhất của huyện 

Hưng Hà, tỉnh Thái Bình về thái độ, ý thức <strong>học</strong> tập môn Toán nói chung và phân môn 

Hình <strong>học</strong> 9 nói riêng ở trường Trung <strong>học</strong> <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> hiện nay, kết quả thu được như sau: 

Câu hỏi 1: Em có thích môn Toán không? 

Tổng số HS 

128 

Bảng 1.1. Mức độ thích <strong>học</strong> môn Toán 

Phương án trả lời 

Số HS lựa chọn phương 

án 

Tỉ lệ (%) 

Rất thích 13 10,2 

Thích 46 35,9 

Bình thường 45 35,2 

Không thích 24 18,7 

Ý kiến khác 0 0 

Với câu hỏi 1 tôi thấy rằng có khoảng 50% số HS có hứng thú <strong>học</strong> môn Toán. 

Tuy nhiên, số HS không thích <strong>học</strong> Toán hoặc chưa thích chiếm tỉ lệ vẫn cao (50%). Từ 

đó <strong>cho</strong> thấy việc tạo hứng thú <strong>cho</strong> HS khi dạy <strong>học</strong> môn Toán hiện nay vẫn còn hạn chế. 

Câu hỏi 2: Trong các phân môn của môn Toán em thích <strong>học</strong> phân môn nào hơn? 






32 












128 

Bảng 1.2. Phân môn thích <strong>học</strong> nhất trong môn Toán 


Số HS lựa chọn phương 

án 

Tỉ lệ (%) 

Đại số 103 80,5 

Hình <strong>học</strong> 25 19,5 

Tiếp tục khảo sát đối với HS trong môn Toán, qua câu hỏi số 2 tôi nhận thấy 

rằng đa số HS <strong>đề</strong>u thích <strong>học</strong> Đại số hơn Hình <strong>học</strong>. 

Tổng số 

HS 

128 

Câu hỏi 3: Trong giờ <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong>, cách <strong>học</strong> của em là gì? 

Bảng 1.3. Hoạt động của HS trong giờ Hình <strong>học</strong> 


Số HS lựa chọn 

phương án 

Tỉ lệ 

(%) 

Lắng nghe GV giảng bài và ghi chép 90 70,3 

Trao đổi, thảo luận với bạn bè và thầy cô 

để tìm hướng <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

Tự <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> dựa trên kiến thức 

đã <strong>học</strong> 

25 19,5 

5 3,9 

Ý kiến khác 8 6,3 

Qua câu hỏi số 3 tôi thấy khoảng 70% số HS chỉ nghe GV giảng bài và ghi chép 

một cách thụ động. Số HS trao đổi, thảo luận với bạn bè và thầy cô trong giờ <strong>học</strong> 

vẫn còn ít. Một số ít HS giỏi lựa chọn cách tự <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> kiến thức 

đã có. Điều này phản ánh sự tác động qua lại giữa GV và HS trong giờ Hình <strong>học</strong> 

chưa nhiều. 

Câu hỏi 4: Cảm nhận của em trong giờ Hình <strong>học</strong> là gì? 






33 












128 

Bảng 1.4. Cảm nhận của HS trong giờ Hình <strong>học</strong> 



phương án 

Tỉ lệ 

(%) 

Giờ <strong>học</strong> lôi cuốn hấp dẫn 26 20,3 

Giờ <strong>học</strong> bình thường 61 47,7 

Giờ <strong>học</strong> tẻ nhạt 9 7,0 

Còn nhiều <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> chưa hiểu nhưng 

chưa được GV <strong>giải</strong> đáp 

32 25,0 


Với câu hỏi số 4 nhằm khảo sát về cảm nhận của HS đối với giờ hình <strong>học</strong>, tôi 

nhận thấy rằng: Tỉ lệ HS còn nhiều <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> chưa được <strong>giải</strong> đáp vẫn còn cao, đa số HS 

cảm nhận giờ <strong>học</strong> bình thường. Phân tích phiếu điều tra tôi thấy: số HS cảm thấy giờ 

<strong>học</strong> lôi cuốn, hấp dẫn <strong>đề</strong>u là những HS thích môn Toán và phân môn Hình <strong>học</strong> hoặc 

trao đổi, thảo luận với bạn bè, thầy cô trong các câu hỏi số 1, 2, 3; còn số HS cảm thấy 

giờ <strong>học</strong> bình thường hầu hết <strong>đề</strong>u <strong>cho</strong> câu trả lời “lắng nghe GV giảng bài và ghi chép” 

trong câu hỏi số 3. 

Câu hỏi 5: Khó khăn của em đối với một bài toán chứng minh Hình <strong>học</strong> là gì? 


128 

Bảng 1.5. Khó khăn đối với bài toán chứng minh Hình <strong>học</strong> 



phương án 

Tỉ lệ (%) 

Đọc hiểu <strong>đề</strong> bài 15 11,7 

Vẽ hình 17 13,3 

Phân tích bài toán 89 69,5 

Trình bày lời <strong>giải</strong> 7 5,5 


Câu hỏi số 5 nhằm điều tra về khó khăn của HS khi gặp các bài toán chứng minh 

Hình <strong>học</strong>, chứng minh các định lý Hình <strong>học</strong>, tôi thấy rằng: hầu như HS <strong>đề</strong>u gặp khó 

khăn trong các khâu đọc hiểu <strong>đề</strong> bài, vẽ hình, phân tích bài toán cũng như trình bày lời 


<strong>giải</strong>. Tuy nhiên số HS gặp khó khăn trong khâu phân tích một bài toán chứng minh 

chiếm tỉ lệ cao nhất (70%), số HS này trùng với số HS lắng nghe ghi chép bài ở câu 





34 











hỏi số 3; khoảng 25% số HS gặp khó khăn ngay trong bước đầu tiên (đọc hiểu <strong>đề</strong> bài 

và vẽ hình). 

Quá trình nghiên cứu lý luận và khảo sát thực tiễn dạy <strong>học</strong> GQVĐ ở 

trường THCS, tôi nhận thức một số khó khăn chủ yếu sau đây: 

- Khó khăn trong việc thu hút đầy đủ HS cả lớp vào việc tự mình độc lập 

GQVĐ. Khó khăn này trước hết là do GV chưa tạo được tình huống thu hút mọi 

HS vào hoạt động nhận thức nhằm <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> một nhiệm vụ có tính <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. Điều 

đó phụ thuộc <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> sư phạm của người GV, họ chưa quan tâm đúng mức việc 

tạo ra <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> từ kiến thức trong nội dung môn Toán và <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> được chọn lọc từ 

nhu cầu thực tiễn. 

- Khó khăn bộc lộ ở chỗ HS chưa được chuẩn bị tốt <strong>cho</strong> việc độc lập GQVĐ, 

trình độ nhận thức của HS trong lớp khác nhau, số HS có thể tự giác, tích cực, độc lập 

GQVĐ chỉ ở mức độ thiểu số. 

- Việc đặt ra <strong>giải</strong> pháp khắc phục khó khăn nói trên và để phát triển tư duy 

phê phán <strong>cho</strong> HS, huy động tối đa tiềm <strong>lực</strong> của tập thể HS là yêu cầu cấp bách và 

đòi hỏi sự nỗ <strong>lực</strong> cao của mỗi GV. 

1.5. Kết luận chương 1 

Trong chương 1, Luận văn đã hệ thống hóa các quan điểm của một số tác giả về 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong>, <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, GQVĐ, cấu trúc <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ; <strong>Bồi</strong> <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> 

HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. Năng <strong>lực</strong> Toán, các mức độ của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> Toán, 

GQVĐ trong dạy <strong>học</strong> Toán. Luận văn góp phần làm sáng tỏ <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> lý luận và thực tiễn 

của việc bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> môn Hình <strong>học</strong> 9. 

Qua phân tích nội dung, chương trình Toán 9, Hình <strong>học</strong> 9 cũng như chỉ ra 

thực trạng bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9 hiện 

nay đã khẳng định <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> thực tiễn, sự cần thiết của việc bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ; 

góp phần nâng cao chất lượng dạy <strong>học</strong>, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS. Đây sẽ là <strong>cơ</strong> 

<strong>sở</strong> để đưa ra những biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> 







35 











Chương 2 

MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC 9 

2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp sư phạm 

Để bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9, cần 

đưa ra những biện pháp phù hợp, <strong>cơ</strong> bản đảm bảo theo một số nội dung định hướng sau 

đây: 

2.1.1. Định hướng 1: Hệ thống các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng góp phần 

phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS, đồng thời cũng góp phần quan trọng vào việc làm 

<strong>cho</strong> HS nắm vững các tri thức, kĩ <strong>năng</strong> của môn <strong>học</strong>. 

Một trong những định hướng <strong>cơ</strong> bản của việc đổi mới giáo dục của nước ta hiện 

nay là chuyển từ nền giáo dục mang tính hàn lâm, kinh viện, xa rời thực tiễn sang một 

nền giáo dục chú trọng việc hình thành <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> hành động, phát huy tính chủ động, 

sáng tạo của người <strong>học</strong>. Định hướng quan trọng trong đổi mới PPDH là phát huy tính 

tích cực, tự <strong>lực</strong> và sáng tạo, phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> hành động, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> cộng tác làm việc 

của người <strong>học</strong>. Đó cũng là những xu hướng quốc tế trong cải cách phương pháp dạy 

<strong>học</strong> ở nhà trường phổ thông. 

Việc sử dụng phương pháp dạy <strong>học</strong> gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy <strong>học</strong>. 

Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ 

chức thích hợp như <strong>học</strong> cá nhân, <strong>học</strong> nhóm; <strong>học</strong> trong lớp, <strong>học</strong> ở ngoài lớp… Cần 

chuẩn bị tốt về phương pháp đối với các giờ thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện 

kỹ <strong>năng</strong> thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú <strong>cho</strong> người 

<strong>học</strong>. 

Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy <strong>học</strong> môn <strong>học</strong> tối thiểu đã quy 

định. Có thể sử dụng các đồ dùng dạy <strong>học</strong> tự làm nếu xét thấy cần thiết với nội dung 

<strong>học</strong> và phù hợp với đối tượng <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Tích cực vận dụng công nghệ thông tin trong 

dạy <strong>học</strong>. 

2.1.2. Định hướng 2: Hệ thống các biện pháp phải thể hiện tính khả thi, 


có thể thực hiện được trong quá trình dạy <strong>học</strong>. 

Việc đổi mới phương pháp dạy <strong>học</strong> theo định hướng phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> thể hiện 





36 











qua bốn đặc trưng <strong>cơ</strong> bản sau: 

+ Một, dạy <strong>học</strong> thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động <strong>học</strong> tập, giúp <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> 

tự khám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thức được sắp 

đặt sẵn. GV là người tổ chức và chỉ đạo HS tiến hành các hoạt động <strong>học</strong> tập phát hiện 

kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã biết vào các tình huống <strong>học</strong> tập hoặc 

tình huống thực tiễn… 

+ Hai, chú trọng rèn luyện <strong>cho</strong> HS biết khai thác SGK và các tài liệu <strong>học</strong> tập, 

biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát hiện kiến thức 

mới… Định hướng <strong>cho</strong> HS cách tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái 

quát hoá, tương tự, quy lạ về quen… để dần hình thành và phát triển tiềm <strong>năng</strong> sáng 

tạo. 

+ Ba, tăng cường phối hợp <strong>học</strong> tập cá thể với <strong>học</strong> tập hợp tác, lớp <strong>học</strong> trở thành 

môi trường giao tiếp GV – HS và HS – HS nhằm vận dụng sự hiểu biết và kinh nghiệm 

của từng cá nhân, của tập thể trong <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> các nhiệm vụ <strong>học</strong> tập chung. 

+ Bốn, chú trọng đánh giá kết quả <strong>học</strong> tập theo mục tiêu bài <strong>học</strong> trong suốt tiến 

trình dạy <strong>học</strong> thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp <strong>học</strong>). Chú trọng phát 

triển kỹ <strong>năng</strong> tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> với nhiều hình thức như 

theo lời <strong>giải</strong>/đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác định tiêu chí để có thể phê phán, 

tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các sai sót. 

2.1.3. Định hướng 3: Hệ thống các biện pháp không chỉ sử dụng trong dạy <strong>học</strong> 

Toán <strong>học</strong> nói riêng, mà còn có thể sử dụng trong quá trình dạy <strong>học</strong> nói chung và có thể 

vận dụng trong thực tiễn. 

Đối với việc vận dụng dạy <strong>học</strong> GQVĐ: Dạy <strong>học</strong> GQVĐ (dạy <strong>học</strong> nêu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, 

dạy <strong>học</strong> nhận biết và GQVĐ) là quan điểm dạy <strong>học</strong> nhằm phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tư duy, 

khả <strong>năng</strong> nhận biết và GQVĐ. Người <strong>học</strong> được đặt trong một tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, đó 

là tình huống chứa đựng mâu thuẫn nhận thức, thông qua việc GQVĐ, giúp HS lĩnh 

hội tri thức, kỹ <strong>năng</strong> và phương pháp nhận thức. Dạy <strong>học</strong> GQVĐ là con đường <strong>cơ</strong> bản 

để phát huy tính tích cực nhận thức của HS, có thể áp dụng trong nhiều hình thức dạy 

<strong>học</strong> với những mức độ tự <strong>lực</strong> khác nhau của HS. Các tình huống có <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> là những 


tình huống khoa <strong>học</strong> chuyên môn, cũng có thể là những tình huống gắn với thực tiễn. 

2.1.4. Định hướng 4: Trong quá trình thực hiện các biện pháp, cần quan tâm 





37 











đúng mức tới việc tăng cường hoạt động <strong>cho</strong> người <strong>học</strong>, phát huy tối đa (trong chừng 

mực có thể) tính tích cực, độc lập <strong>cho</strong> người <strong>học</strong>. 

Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người <strong>học</strong>, hình thành và phát 

triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> tự <strong>học</strong> (sử dụng SGK, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin…), trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> 

đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy. Có thể chọn lựa một 

cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp đặc thù của môn <strong>học</strong> để thực 

hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào cũng phải đảm bảo được nguyên 

tắc “HS tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của GV”. 

Hình <strong>học</strong> 9 

2.2. Các biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> 

2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ <strong>năng</strong> đọc hiểu và vẽ hình 

2.2.1.1. Mục đích biện pháp 

Biện pháp này rèn luyện <strong>cho</strong> HS cách thức đọc hiểu và vẽ hình đúng. HS biết 

sử dụng các dụng cụ vẽ hình, kiểm tra hình vẽ nhờ dụng cụ, vẽ hình xuôi ngược để rèn 

kỹ <strong>năng</strong> vẽ hình. Biết gắn <strong>đề</strong> bài với các kiến thức đã <strong>học</strong>, từ đó chuyển thành thao tác 

tư duy để vẽ hình. 

Biện pháp tập <strong>cho</strong> HS thói quen muốn hình vẽ chính xác trước hết phải nắm 

<strong>đề</strong> bài thật chắc, bài <strong>cho</strong> gì, cần làm gì, tức phân biệt rõ giả thiết và kết luận. 

2.2.1.2. Cơ <strong>sở</strong> của biện pháp 

Biện pháp này phù hợp với các định hướng đã nêu ở trên. 

Thực tế <strong>cho</strong> thấy trong bài toán hình <strong>học</strong> vẽ hình là công việc khó đối với HS, 

thậm chí ngay ở những bài hình mà việc vẽ hình không khó, HS vẫn có thể mắc sai lầm. 

Nguyên nhân là do chưa hiểu chính xác <strong>đề</strong> bài, chưa biết xác định rõ <strong>đề</strong> bài <strong>cho</strong> gì, yều 

cầu làm gì trong vẽ hình hoặc sử dụng các dụng cụ, thao tác chưa chính xác hay vẽ hình 

còn cẩu thả, … dẫn đến việc gặp trở ngại trong định hướng chứng minh. Vì vậy việc rèn 

luyện kỹ <strong>năng</strong> đọc hiểu và vẽ hình là bước quan trọng đầu tiên trong việc chứng minh 

một bài toán hình <strong>học</strong>. 


2.2.1.3. Tổ chức thực hiện biện pháp 

Khả <strong>năng</strong> vẽ hình không phải HS nào cũng có, trong khi <strong>học</strong> phân môn Hình 





38 











<strong>học</strong> một yếu tố quan trọng hàng đầu là đọc hiểu <strong>đề</strong> bài và vẽ hình. Thế nhưng vẽ ra 

sao? Yếu tố nào trước, yếu tố nào sau? Ký hiệu như thế nào? Cần những dụng cụ nào? 

… Để làm tốt khâu này, HS cần có một quá trình rèn luyện dưới sự hướng dẫn của 

GV từ lúc các em bắt đầu làm quen với kiến thức mới. 

Khi vẽ hình cần rèn luyện <strong>cho</strong> HS kỹ <strong>năng</strong> vừa đọc vừa vẽ, cần bổ sung các 

yếu tố phụ và biểu diễn các ngôn ngữ sang kí hiệu hình <strong>học</strong>. 

Về phía GV nên sử dụng phấn màu, trình bày hợp lý các điểm, các đoạn 

thẳng, đường thẳng đặc biệt, … để giúp HS dễ phát hiện kiến thức từ hình vẽ. 

Để đạt được những yều cầu trên, GV cần rèn luyện <strong>cho</strong> HS các kỹ <strong>năng</strong> như: 

* Rèn luyện <strong>cho</strong> HS thói quen phải đọc kĩ <strong>đề</strong> bài. Biết gắn <strong>đề</strong> bài với các kiến 

thức đã <strong>học</strong>, từ đó chuyển thành thao tác tư duy để vẽ hình. 

Ví dụ 2.2.1. Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao <strong>cho</strong> 

OA








lần đầu chỉ là phác họa, không đảm bảo chính xác nội dung của bài toán, từ hình vẽ đó 

phân tích số liệu của bài <strong>cho</strong> trên hình rồi mới tiến hành vẽ hình chính xác được. 

Ví dụ 2.2.2. Cho ABC. Vẽ đoạn thẳng AD AB, 

AD AB (D và C nằm khác 

phía với AB). Vẽ đoạn thẳng AE AC, 

AE AC (E và B nằm khác phía với AB). Biết 

DE = BC. Tính BAC ? 

GV hướng dẫn HS vẽ hình: 

- Để vẽ được chính xác bài này cần 

vẽ phác họa ra nháp trước. Thực tế khi gặp 

bài này phần lớn HS vẽ hình chưa chính 

xác, một số em không vẽ được hình từ đó 

không làm được bài. 

Mấu chốt của bài này là cần tính được 

Hình 2.1 

BAC 90 o . Thật vậy, từ hình vẽ phác họa 

ta có ngay: ABC 

ADE( c. c. c) 

. Mà BAD CAE 

90 O . Nên BAC DAE 

90 O . Từ đó 

ta vẽ được ABC có A 90 o . 

* Rèn luyện <strong>cho</strong> HS cách đọc hình vẽ, từ các dấu hiệu, kí hiệu trên hình giúp 

HS liên hệ với các kiến thức đã <strong>học</strong> để trả lời theo yêu cầu của GV và từ đó rút ra 

một số khái quát mang tính thực tế linh hoạt khi <strong>giải</strong> các bài tập có nội dung tương 

tự. 

<strong>cơ</strong> bản như : 

* Rèn luyện các thao tác vẽ hình <strong>cơ</strong> bản, thực hiện các bài toán dựng hình 

+ Đặt đoạn thẳng trên tia 

+ Đặt góc trên một nửa mặt phẳng 

+ Vẽ tia phân giác của một góc 

+ Vẽ đường <strong>trung</strong> trực của một đoạn thẳng 

+ Vẽ tam giác biết các yếu tố về cạnh, về góc, …. 

Ví dụ 2.2. 3. Cho tia Ox. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia 


o 

o 

Oy, Oz sao <strong>cho</strong> xOy 100 , xOz 50 . 

a) Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy không? Vì sao? 





40 











b) Tính yOz ? So sánh yOz và xOz 

Đối với bài tập này cần rèn luyện <strong>cho</strong> HS một số kĩ <strong>năng</strong> vẽ hình như: vẽ tia, 

vẽ góc, vẽ hai góc trên cùng một nửa mặt phẳng. 

đường tròn. 

Ví dụ 2.2.4. Cho một đường tròn chưa đánh dấu tâm. Hãy xác định tâm của 

Đối với bài toán này, GV chú ý <strong>cho</strong> HS tính 

chất: Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa 

đường tròn bằng 90 o . 

Do đó ta có thể dùng êke và vẽ hai góc nội 

tiếp 90 O 

O 

ABC , DEF 90 , AC EF=O 

* Rèn luyện kỹ <strong>năng</strong> vẽ hình phụ trong chứng minh hình <strong>học</strong>. 

Hình 2.2 

Khi <strong>giải</strong> một bài toán chứng minh hình <strong>học</strong>, có nhiều bài cần phải vẽ thêm hình 

phụ mới chứng minh được. Vậy vẽ hình phụ như thế nào và vẽ nhằm mục đích gì? Đó 

là điều người <strong>học</strong> cần phải biết được đối với mỗi bài toán cụ thể. Không thể có một 

phương pháp chung nào <strong>cho</strong> việc vẽ hình phụ trong một bài toán chứng minh hình <strong>học</strong>. 

Những điểm cần lưu ý khi vẽ hình phụ: 

+ Vẽ hình phụ phải có mục đích, không vẽ tùy tiện. Phải nắm thật vững <strong>đề</strong> bài, 

định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ <strong>cho</strong> mục 

đích chứng minh của mình. 

khác nhau. 

<strong>cho</strong> trước. 

+ Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân thủ theo các quy tắc dựng hình <strong>cơ</strong> bản. 

+ Với một bài toán, dựng các hình phụ khác nhau thì cách chứng minh sẽ 

Một số loại đường phụ thường vẽ như: 


+ Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng <strong>cho</strong> trước. 

+ Vẽ thêm đường thẳng song song với đoạn thẳng <strong>cho</strong> trước từ một điểm 

B 

D 

F 





41 













+ Từ một điểm <strong>cho</strong> trước vẽ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng 

+ Nối hai điểm <strong>cho</strong> trước hoặc xác định <strong>trung</strong> điểm của một đoạn thẳng 

+ Dựng đường phân giác của một góc <strong>cho</strong> trước 

+ Dựng một góc bằng góc hoặc bằng nửa góc <strong>cho</strong> trước 

+ Dựng tiếp tuyến đi qua một điểm <strong>cho</strong> trước của đường tròn 

+ Dựng tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm khi có hai đường 

tròn giao nhau hoặc hai đường tròn tiếp xúc <strong>cho</strong> trước. 

vẽ hình phụ. 

- Kĩ <strong>năng</strong> <strong>giải</strong> bài tập chứng minh trong chương đường tròn (hình <strong>học</strong> 9) bằng 

+ Kĩ <strong>năng</strong> 1: Trong một đường tròn nếu có <strong>trung</strong> điểm của một dây cung thì 

phải chú ý nối <strong>trung</strong> điểm đó với tâm. (1a) 

chú ý hạ đường vuông góc đến dây. (1b) 

Trong một đường tròn muốn có <strong>trung</strong> điểm của một dây ta cần 

+ Kĩ <strong>năng</strong> 2: Những bài tập có tiếp tuyến với đường tròn ta chú ý nối tâm với 

tiếp điểm. (2a) 

Bài toán có hai tiếp tuyến cắt nhau ta chú ý nối giao điểm của hai 

tiếp tuyến đó với tâm hoặc nối hai tiếp điểm. (2b) 

+ Kĩ <strong>năng</strong> 3: Bài toán có hai đường tròn cắt nhau ta chú ý nối tâm và vẽ thêm 

dây chung của chúng 

+ Kĩ <strong>năng</strong> 4: Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta chú ý kẻ thêm tiếp 

tuyến chung trong hoặc kẻ thêm đường nối tâm. 

Ví dụ 2.2.5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia 

vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). 

Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, 

nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C, D. Chứng minh rằng 

Áp dụng kĩ <strong>năng</strong> 2a ta nối tâm O với tiếp 

điểm M thì OM vuông góc với CD tại M vì tiếp 

tuyến CA cắt tiếp tuyến CM tại giao điểm C nên 

COD 90 o . 


M 





42 

C 











OC là tia phân giác của AOM . Vì tiếp tuyến DM 

cắt tiếp tuyến DB tại giao điểm D nên OD là tia 

phân giác của BOM . Mà 

o 

AOM BOM 180 COD 90 

o 

Hình 2.3 

Ví dụ 2.2.6. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia 

vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). 

Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, 

nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh đường kính CD tiếp xúc với AB. 

Áp dụng kĩ <strong>năng</strong> 2a nối M với tâm O. 

Áp dụng kĩ <strong>năng</strong> 2b ta nối CO, DO. 

Theo ví dụ trên 

<strong>trung</strong> điểm của CD. 

COD 90 o . Gọi I là 

Ta có IO = IC = ID và hình thang 

ABCD, OA = OB, ID = IC nên OI là đường 

<strong>trung</strong> bình. Do đó OI // DB. 

Mà DB AB IO AB O . Từ đó 

ta có điều phải chứng minh. Hình 2.4 

2.2.1.4. Lưu ý cách thực hiện biện pháp 

GV nên rèn kỹ <strong>năng</strong> đọc hiểu và vẽ hình ngay từ lúc HS bắt đầu làm quen với 

từng kiến thức mới. 

GV cần bổ sung các yếu tố phụ và biểu diễn ngôn ngữ sang kí hiệu hình <strong>học</strong>. 


C 

A 

M 

I 

O 

B 





43 











2.2.2. Biện pháp 2: Tăng cường dạy <strong>học</strong> phân hóa 


Dạy <strong>học</strong> phân hóa xuất phát từ sự biện chứng của thống nhất và phân hóa, từ 

yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục tiêu dạy <strong>học</strong> đối với tất cả mọi HS, đồng thời 

khuyến khích phát triển tối đa và tối ưu những khả <strong>năng</strong> của cá nhân. 

Tăng cường dạy <strong>học</strong> phân hóa theo các mức độ, cấp độ khác nhau trong các 

nhóm đối tượng khác nhau và trong cùng một lớp nhằm mục đích tạo ra môi trường 

phù hợp với trình độ của từng HS giúp các em có nhiều <strong>cơ</strong> hội chủ động, độc lập phát 

hiện và GQVĐ. 



Biện pháp này dựa trên nghiên cứu của L.X. Vưgôtxki [30]: mỗi trẻ em có “vùng 

phát triển gần nhất” và ý kiến của L.X. Xôlôvaytrich [31, tr.31]: “Việc dạy chỉ có tác 

dụng tốt khi nó đi trước sự phát triển một chút”. Muốn vậy, tình huống tạo <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đặt 

ra phải ở mức độ: đủ để kích thích hoạt động nhận thức của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> theo ý định của 

giáo viên, tức là thuộc vùng phát triển gần nhất của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Theo hướng này, đó là 

một tình huống tâm lí được xuất hiện nhờ tác động của các quá trình và hành động phản 

ánh: tri giác, nhớ lại, ngạc nhiên, hứng thú,… ở mỗi cá nhân <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>. Ứng với mỗi 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> có một giới hạn tương thích với tính lôgic của nó. Nếu sử dụng hệ thống câu hỏi 

bài toán nâng cao tăng dần mức độ khó khăn thì sẽ có khả <strong>năng</strong> làm bộc lộ những tình 

huống ngày càng tới giới hạn định sẵn của nội dung <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. Khi những tình huống này 

xuất hiện ở nhiều HS thì tác dụng gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> được nâng cao giúp các em phát hiện, thể 

hiện được <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> trong bài toán. 

Theo Nguyễn Bá Kim [11] việc kết hợp giữa giáo dục diện “đại trà” với giáo 

dục “mũi nhọn” , giữa “phổ cập” với “nâng cao” trong dạy <strong>học</strong> Toán ở trường phổ 

thông cần được tiến hành theo các tư tưởng chủ đạo sau: 

(i) Lấy trình độ phát triển chung của HS trong lớp làm nền tảng. 

Việc dạy <strong>học</strong> toán phải lấy trình độ phát triển chung và điều kiện chung của HS 


trong lớp làm nền tảng, phải hướng vào những yêu cầu thật <strong>cơ</strong> bản. Nội dung và phương 

pháp dạy <strong>học</strong> trước hết phải phù hợp với trình độ và điều kiện chung này. 





44 











(ii) Sử dụng những biện pháp phân hóa đưa diện HS yếu kém lên trình độ chung. 

Cố gắng làm sao để những HS yếu kém đạt được những tiền <strong>đề</strong> cần thiết để có 

thể hòa vào <strong>học</strong> tập đồng loạt theo trình độ chung. 

(iii) Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hóa giúp HS khá, giỏi đạt 

được những yêu cầu nâng cao trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> đã đạt được những yêu cầu <strong>cơ</strong> bản. 

Dạy <strong>học</strong> phân hóa có thể được thể hiện theo hai hướng: 

- Phân hóa nội tại (còn gọi là phân hóa trong), tức là dùng những biện pháp 

phân hóa thích hợp trong một lớp <strong>học</strong> thống nhất với cùng một kế hoạch <strong>học</strong> tập, cùng 

một chương trình và SGK 

- Phân hóa về tổ chức (còn gọi là phân hóa ngoài), tức là hình thành những nhóm 

ngoại khóa, lớp chuyên, giáo trình tự chọn. 

Vì thế GV cần dựa vào tư tưởng này theo cách giúp <strong>cho</strong> mỗi HS có được hiểu 

biết chín chắn hơn, sâu sắc hơn. Nếu những ý kiến và niềm tin ban đầu của HS bị phớt 

lờ, sự hiểu biết mà họ phát triển được có thể rất khác so với những gì chúng ta muốn 

truyền đạt. 

Trong dạy <strong>học</strong> nói chung và trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> nói riêng, GV cần hiểu 

được ý nghĩa của những nghiên cứu trên, để áp dụng hợp lí vào dạy <strong>học</strong> đạt hiệu quả 

nhất. 


* Khi dạy <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> yếu kém môn toán: Tạo hứng thú qua từng cấp độ câu hỏi. 

Trong môi trường giáo dục, một trong những <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> làm <strong>cho</strong> chúng ta quan 

tâm nhiều nhất và cũng là <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> khó <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> đó là nâng cao chất lượng của HS 

yếu kém . 

Theo chúng tôi, HS yếu kém do hai nguyên nhân <strong>cơ</strong> bản sau: 

1) Do hoàn cảnh gia đình tác động đến tâm <strong>sinh</strong> lý HS, sự có hạn của trình độ 

nhận thức lứa tuổi. 

2) Do hổng kiến thức ở lớp dưới dẫn đến lạ lẫm, thụ động mất hết hứng thú khi 

tiếp nhận kiến thức mới. 


Như vậy, để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> HS yếu kém thì nhất thiết phải <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> hai 

nguyên nhân trên. 





45 











Do đó với đối tượng HS này trước hết cần phải thổi <strong>cho</strong> các em một “luồng 

<strong>sinh</strong> khí” bằng các câu hỏi vừa phải, phù hợp với kiến thức, tư duy của các em để các 

em có thể trả lời được nhằm lấy lại niềm tin, kích thích sự hứng thú <strong>học</strong> hỏi, tính tò 

mò, từ đó mới có thể phát huy được tính tích cực, tự giác chủ động tiếp nhận tri thức 

và độc lập hoạt động. 

Nhằm đưa ra một phương án để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> trên với tư tưởng “dễ hoá” 

các câu hỏi, bài toán bằng các câu hỏi có tính chất gợi mở nhằm tạo hứng thú <strong>cho</strong> HS 

yếu kém nên câu hỏi có thể xây dựng theo cấu trúc các bước: 

1. Câu hỏi có tính chất tóm tắt dữ liệu. 

Những câu hỏi loại này đặt ra với mục đích là HS chắc chắn sẽ trả lời được 

một số ý và thông qua việc tìm câu trả lời, câu hỏi ngầm hướng HS phân tích kỹ càng 

<strong>đề</strong> bài bằng cả tư duy lẫn trực quan, qua đó tiếp cận sát với yêu cầu đặt ra và như vậy 

câu hỏi này thu được các kết quả sau: 

a) HS nắm được nội dung bài toán. 

b) HS thấy hứng thú vì tự mình trả lời được. 

c) Qua việc trả lời câu hỏi, giáo viên có thể củng cố lại kiến thức liên quan và 

tập <strong>cho</strong> các em tư duy quan sát, liên tưởng, liên hệ,... 

2. Câu hỏi có tính dẫn dắt tìm lời <strong>giải</strong>. 

Dạng câu hỏi này có thể mô tả bằng sơ đồ sau: 

Vấn <strong>đề</strong> 

CH1 

CH2 

CH1.1 

CH1.2 

CH2.1 

CH2.2 

GQVĐ 

GQVĐ 

Sơ đồ 2.1. Sơ đồ câu hỏi dẫn dắt tìm lời <strong>giải</strong> 

GQVĐ 

Như vậy, mỗi bước <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> lại trở thành một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới với yêu cầu kiến 

thức, tư duy thấp hơn, phù hợp với trình độ HS yếu kém và sau khi <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> các <strong>vấn</strong> 


<strong>đề</strong> mở các em có thể tổng hợp các kết quả từ đó trả lời ngay <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đặt ra được coi là 

khó, do đó tạo <strong>cho</strong> HS cảm giác thích thú, nhẹ nhõm khi thấy được thực ra yêu cầu 





46 











không khó, từ đó thay đổi cách suy nghĩ tự tin khi đứng trước một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, một bài toán. 

các kết quả . 

Với hình thức này chúng ta thu được các kết quả: 

a) Rèn luyện được tư duy suy luận lôgic, tư duy tổng hợp thông qua việc liên hệ 

b) Tạo được niềm tin từ đó phát huy tính tự giác, chủ động tiếp nhận kiến thức 

và ham muốn <strong>học</strong> hỏi. 

3. Câu hỏi có tính tái hiện quá trình <strong>giải</strong> 

Loại câu hỏi này yêu cầu HS hệ thống lại quá trình <strong>giải</strong> nhằm ghi nhớ, hiểu quy 

trình <strong>giải</strong> và có được cảm giác như chính mình đã hoàn thành bài <strong>giải</strong>. 

Ví dụ 2.2.7. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM 

và AN với đường tròn (M, N thuộc đường tròn (O)). Từ O kẻ đường vuông góc với 

OM cắt AN tại S. Chứng minh SO = SA. 

Giải: 

MAO OAN (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 

AM OM (tính chất tiếp tuyến) 

SO OM 

(gt) 

SO // MA SOA OAM (2) (hai góc so le trong) 

Từ (1) và (2) NAO SOA . Suy ra tam giác SOA cân tại S SO = SA 

Như vậy để <strong>giải</strong> được bài toán HS phải nắm được các kiến thức về tiếp tuyến và 

hai đường thẳng song song đồng thời phải tháo gỡ hai mắt xích quan trọng là: 

+ SO // MA 

+ NAO SOA 

Hình 2.5 


Do đó ta có thể làm <strong>cho</strong> bài toán trở nên dễ hơn bằng các câu hỏi gợi ý: 





47 











CH1: Dựa vào hình vẽ hãy chỉ ra các yếu tố biết được từ giả thiết ? (câu hỏi 

tóm tắt dữ kiện). 

HS chỉ ra được: 

+ AM, AN là các tiếp tuyến 

+ SO OM 

CH2: Hãy nêu các yếu tố mà em biết được thông qua giả thiết và hình vẽ (câu 

hỏi tiếp cận bài toán). 

dắt lời <strong>giải</strong>). 

Hy vọng rằng HS chỉ ra được: 

AM OM; 

AN ON (Tiếp tuyến vuông góc với bán kính qua tiếp điểm) 

AM AN; 

MAO NAO (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 

SO // AM (cùng vuông góc OM) 

SOA OAM (hai góc so le trong) 

CH3: SO = SA <strong>cho</strong> ta nghĩ đến điều gì? (câu hỏi định hướng). 

CH4: Có thể chứng minh tam giác 

CH5: Có nhận xét gì về góc OAS và góc OAM? 

CH6: AM OM, SO OM rút ra điều gì? 

CH7: SO // AM <strong>cho</strong> ta kết luận gì? 

CH8: Như vậy tam giác SOA có tính chất gì? 

CH9: Kết luận trên <strong>cho</strong> ta khẳng định nào? 

SOA cân bằng cách nào? (câu hỏi dẫn 

CH10: Trong chứng minh trên để chứng minh SO = SA ta đã chứng minh 

các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> nào? (câu hỏi nhằm tái hiện quá trình <strong>giải</strong>). 

Ví dụ 2.2.7. Đối với HS yếu kém trong bài: Tính chất hai tiếp tuyến cắt 

nhau (§6 – Toán 9 tập 1, tr113) chúng ta có thể xây dựng bài tập củng cố định lí 

về hai tiếp tuyến cắt nhau như sau: 

Trong (Hình 2.6) <strong>cho</strong> biết AB, AC theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B, tại C 

của đường tròn (O). Hãy điền vào chỗ chấm: 






48 











AB = ………; 

OAB ……..; 

AOB ……..; 

Hình 2.6 

HS yếu kém chưa thực sự nắm được những nội dung kiến thức trọng tâm ngay 

trong tiết <strong>học</strong> chính khóa. Vì vậy, GV cần đưa ra bài tập với mức độ yều cầu nâng dần, 

phù hợp với trình độ xuất phát của HS yếu kém để giúp các em củng cố vững chắc nội 

dung kiến thức trọng tâm của tiết <strong>học</strong>. 

Khi được luyện tập đi luyện tập lại một dạng toán nào đó, HS yếu kém sẽ ghi 

nhớ được nội dung kiến thức và phương pháp <strong>giải</strong> các bài toán đó, giúp <strong>cho</strong> việc luyện 

tập rèn luyện kỹ <strong>năng</strong>, kỹ xảo ngày càng hiệu quả hơn. 

* Khi dạy <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> khá, giỏi môn toán 

Để có thể khai thác tốt các bài toán trước hết cần phải <strong>giải</strong> được bài toán và 

cần trang bị một số <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> huy động kiến thức. Cụ thể cần phải có các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> 

sau đây : 

cấu trúc : 

bài toán. 

1. Năng <strong>lực</strong> chuyển đổi bài toán về bài toán tương đương. 

2. Năng <strong>lực</strong> tương tự hoá. 

3. Năng <strong>lực</strong> khái quát hoá. 

4. Năng <strong>lực</strong> quy lạ về quen. 

5. Năng <strong>lực</strong> phát hiện và ứng dụng thủ thuật trong việc thiết kế bài toán mới. 

6. Năng <strong>lực</strong> dự đoán, phán đoán. 

Hệ thống CH trong dạy <strong>học</strong> nội dung khai thác bài toán có thể xây dựng theo 

1. Câu hỏi tạo tình huống, gợi tính tò mò. 

2. Câu hỏi huy động khả <strong>năng</strong> quan sát, liên tưởng, phân tích đặc điểm 


3. Câu hỏi định hướng hoạt động dự đoán, phán đoán, xây dựng bài toán. 

4. Câu hỏi dẫn dắt quy trình kiểm nghiệm dự đoán. 





49 











Ví dụ 2.2.8. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, 

By cùng phía với nửa đường tròn đã <strong>cho</strong>. Trên tia Ax lấy điểm C sao <strong>cho</strong> AC R . Từ 

C vẽ một tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn, tiếp xúc với nửa đường tròn tại M, 

cắt By tại D. Tìm vị trí của C sao <strong>cho</strong> diện tích của tứ giác ABDC nhỏ nhất (Hình 

2.7). 

tố nào (BD) 

- Câu hỏi tạo tình huống, gợi tính tò mò: 

? Diện tích của tứ giác ABDC nhỏ nhất khi nào 

- Câu hỏi huy động khả <strong>năng</strong> quan sát, liên tưởng, phân tích đặc điểm bài toán. 

? Tứ giác ABDC là hình gì (Hình thang vuông) 

? Từ giả thiết đã <strong>cho</strong>, để tính diện tích của tứ giác ABDC ta cần phải tính yếu 

- Câu hỏi định hướng hoạt động dự đoán, phán đoán, xây dựng bài toán. 

Bằng cách nhìn bài toán dưới góc độ đại số và vận dụng điều kiện có nghiệm 

của phương trình bậc hai. Nếu đặt AC a R, 

hãy tính diện tích của tứ giác ABDC 

theo a, R ? 

? Hãy tính độ dài đoạn thẳng BD theo a, R. 

Xây dựng bài toán: 

Nối O với C, O với D, ta có: ACO 

MCO (cạnh huyền và một cạnh góc 

nhọn bằng nhau). Suy ra OC là phân giác của góc AOM. 

Tương tự, OD là phân giác của góc BOM. Suy ra 

OC OD. 

Do đó: AOC BDO (góc có cạnh tương ứng vuông góc). 

Vì vậy 

AOC 

BDO 

2 

OAOB . AC. BD BD R . a 

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông, có diện tích là: 

x 

C 

A 

a 

M 

1 

O 

Hình 2.7 


R 

1 

y 

D 

B 





50 











Do đó 

2 

R 

2 

. 

a 

 

R 

AC BD AB a Ra R 

S 

2 2 a 

2 3 

Ra Sa R 0 (*). 

2 3 

Ta cần tìm vị trí của C sao <strong>cho</strong> diện tích của tứ giác ABDC nhỏ nhất nên phương 

trình (*) có nghiệm: 

 

Nên 

2 4 2 4 

S 4R 0 S 4R . Do đó 

min S 2 

2 

R (khi và chỉ khi 

2 4 

min S 4R (khi và chỉ khi 

2 

2R 

a R AC R ). 

2R 

- Câu hỏi dẫn dắt quy trình kiểm nghiệm dự đoán 

? Khi AC = R thì diện tích của tứ giác ABDC sẽ thế nào 

2.2.2.4. Lưu ý khi thực hiện biện pháp 

. 

S 

a ). 

2R 

Để thực hiện tốt biện pháp GV cần phải nắm vững <strong>học</strong> <strong>lực</strong> của từng HS và 

tâm lý lứa tuổi. 

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ <strong>năng</strong> dự đoán, quan sát 


Rèn luyện <strong>cho</strong> HS khả <strong>năng</strong> tìm tòi, dự đoán được những tính chất, những 

quy luật của hiện thực khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. 

Luyện tập <strong>cho</strong> HS kỹ <strong>năng</strong> dự đoán, suy đoán và quan sát (thông qua thực 

nghiệm, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa) 



Ta đã biết phép chứng minh một mệnh <strong>đề</strong> T là một dãy mệnh <strong>đề</strong> T1T2…Tn – 1TnT (*) 

Ta thường gọi Ti trong (*) và các quy tắc suy luận được sử dụng là có căn cứ để chứng 

minh T và biết lập luận có căn cứ là một yêu cầu quan trọng trong dạy <strong>học</strong> Toán. Trong 

các căn cứ đó Ti được nêu ra rõ ràng, nhưng các quy tắc suy luận thường ở dạng tiểm 

ẩn. Khi đó người làm Toán thường xét xem các quan hệ, tính chất đặc điểm, …trên <strong>cơ</strong> 


<strong>sở</strong> quan sát, dự đoán một số trường hợp cụ thể, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái 

quát hóa, … để có những quy tắc suy luận <strong>cho</strong> hợp lý. Quá trình này chủ yếu nằm trong 

giai đoạn dự đoán. 





51 











Đặc trưng của dự đoán là tính “bấp bênh” của kết quả đạt được từ quan sát 

thực nghiệm. Chính sự bấp bênh này làm nảy <strong>sinh</strong> nhu cầu phải <strong>giải</strong> thích để thuyết 

phục người khác và từ đó tạo động <strong>cơ</strong> suy luận và chứng minh. Sau khi vẽ hình chính 

xác cần quan sát trên hình vẽ đã có thể hiện đầy đủ giả thiết trên hình vẽ chưa. Trên 

<strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có của HS để định hướng việc 

tìm tòi cách chứng minh. 

Dự đoán không những giúp phát hiện ra <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới mà trong việc chứng minh 

hình <strong>học</strong> còn giúp giảm được những bước đi mày mò, vòng vèo, giúp ta biết căn cứ vào 

dữ liệu và mục đích cần chứng minh để có được dự đoán chính xác. 


* Từ thực nghiệm (quy nạp) để dự đoán: 

o 

o 

Ví dụ 2.2.9. Cho đoạn thẳng AB và góc 0 

180 . Tìm quỹ tích các 

điểm M thỏa mãn AMB 

Hoạt động thực nghiệm để dự đoán: Vẽ ba 

điểm N1, N2, N3 sao <strong>cho</strong> 

AN B AN B AN B . 

1 2 3 

90 O 

Chứng minh các điểm N1, N2, N3 nằm trên 

đường tròn đường kính AB (Hình 2.8). Hình 2.8 

Ngoài ra GV có thể sử dụng một số phần mềm hỗ trợ việc tìm quỹ tích như 

geogebra, cabri geometry, … để giúp HS nhận ra quỹ tích điểm M trong trường hợp 

90 o . Khi đó nhờ hình ảnh trực quan HS dễ dàng nhận biết được quỹ tích. Hoặc GV 

có thể hướng dẫn HS trải nghiệm trên phần mềm để tự HS phát hiện ra quỹ tích điểm 

M. 

* Dự đoán thông qua so sánh: 

Ví dụ 2.2.10. Xét bài toán “Chứng minh rằng nếu các góc của ABC thỏa 

mãn hệ thức tan A sin B 

thì ABCvuông hoặc cân”. 

tan C sin C 


Xuất phát từ chỗ quan sát thấy vai trò của các góc B và C bình đẳng với nhau 

trong đẳng thức đã <strong>cho</strong>, ta có thể dự đoán rằng: nếu ABC là tam giác cân thì B C ; 

còn nếu ABCvuông thì phải vuông ở A vì nếu vuông ở B thì do vai trò của góc B và 





52 








góc C như nhau thì 

ABC cũng sẽ vuông ở C, đó là điều vô lí. Như vậy, ta đã định 




hướng mục tiêu của phép chứng minh là B 

C hoặc A 90 o . 

* Dự đoán dựa vào đặc biệt hóa: Đặc biệt hóa là việc chuyển từ việc nghiên 

cứu một tập hợp đối tượng đã <strong>cho</strong> sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong 

tập đã <strong>cho</strong>. 

Ví dụ 2.2.11. Cho (O), trên đường kính AB kéo dài lấy một điểm M. Từ M kẻ 

tiếp tuyến MT, từ T vẽ dây cung TR vuông góc với AB. Trên cát tuyến đi qua M cắt dây 

cung TR ở P lấy điểm Q sao <strong>cho</strong> MP.MQ= - MT 2 . Tìm quỹ tích Q khi P chạy trên đoạn 

TR. 

Dự đoán: 

Ta xét một điểm Q’ trên Mx mà 

MP.MQ’= MT 2 . 

Nếu biết Q’ ta có thể suy ra quỹ 

tích của Q vì -MT 2 < 0 thì Q và Q’ đối 

xứng với nhau qua M. 

Hình 2.9 

Xét đẳng thức MP.MQ’= MT 2 có M, T cố định nên khi di động trên MT thì kéo 

theo sự di động của Q’. Ta có thể dự đoán được một số vị trí của Q’ khi P di chuyển 

trên TR nhờ vào xét các trường hợp đặc biệt sau: 

trùng O 

- Khi P trùng T thì MP.MQ’= MT.MQ’= MT 2 . Do đó Q’ trùng T. 

Vậy T là điểm thuộc quỹ tích. 

- Khi P trùng R thì MP.MQ’= MR.MQ’= MT 2 . Do đó Q’ trùng R. 

Vậy R là điểm thuộc quỹ tích. 

- Khi P trùng I I AB TR 

thì MT 2 = MI.MO, ( OTM vuông tại T) nên Q’ 

Vì O, T, R không thẳng hàng nên quỹ tích không thể là đường thẳng. Nếu quỹ 


tích Q’ là cung tròn thì phải đi qua ba điểm T, O, R. Từ đó ta quan sát tiếp để dự đoán 

liệu có cung tròn nào trùng với cung tròn này hay không. 

Có thể có hai cung tròn: một là cung tròn nhận TR làm đường kính, hai là đường 

M 

E 





53 











tròn nhận OM làm đường kính (ta chú ý đến những điểm cố định). Q’ không thể nằm 

trên đường tròn đường kính TR được vì khi đó TQ ' R 90 O . Điều này vô lí vì điểm M 

trên AB kéo dài được chọn tùy ý. Khả <strong>năng</strong> thứ nhất không xảy ra nên ta tập <strong>trung</strong> vào 

khả <strong>năng</strong> thứ hai. Vì OM cố định nên ta nghĩ tới MQ ' O 90 O 

. Giả sử điều này xảy ra 

thì 

PIO 90 O . Từ đó tứ giác PIOQ’ nội tiếp trong một đường tròn nào đó. 

Qua phân tích trên ta thấy để <strong>giải</strong> bài toán này ta thử xem xét các giả thiết đã 

<strong>cho</strong> tứ giác PIOQ’ có nội tiếp trong một đường tròn hay không? Để ý rằng MT 2 = 

MI.MO, nhưng theo giả thiết MP.MQ’= MT 2 . Do đó MP.MQ’= MI.MO. Từ đó tứ giác 

PIOQ’ nội tiếp trong đường tròn đường kính PO ( PIO 90 O ). Rõ ràng Q’ nhìn OM cố 

định dưới một góc vuông. Quỹ tích Q’ là đường tròn đường kính OM. Vì P di chuyển 

trên TR nên Q’ nằm trên cung TOR (từ đường tròn đường kính OM). Từ quỹ tích này suy 

ra quỹ tích Q là cung tròn đối xứng với cung TOR qua điểm M. 

* Từ tương tự để dự đoán: Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói 

tương tự là giống nhau ở mức độ xác định hơn và mức độ được phản ánh bằng khái 

niệm. 

Ví dụ 2.2.12. Chứng minh định lý góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn: “Số đo 

của góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn”. 

GV hướng dẫn HS dựa vào kiến thức đã biết về góc ngoài của tam giác và số đo 

của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn để chứng minh định lý: 

- Trường hợp 1: Hai cạnh của góc là cát tuyến. 

BAC là góc ngoài của AEC nên: 

1 

1 

BAC ACD BEC, 

BAC sđ BC, 

ACD sđ 

2 

2 

AD 

1 1 

BEC BAC ACD sđ BC sđ AD 

2 2 

1 

BEC (sđ BC sđ AD ) 

2 


Hình 2.10 a 





54 











- Trường hợp 2: Một cạnh là cát tuyến, 

một cạnh là tiếp tuyến. Ta có: 

1 

1 

BAC ACE BEC, 

BAC sđ BC, 

ACE sđ AC 

2 

2 

1 1 

BEC BAC ACE sđ BC sđ AC 

2 2 

1 

BEC (sđ BC sđ AC ) 

2 

Hình 2.10 b 

- Trường hợp 3: Hai cạnh <strong>đề</strong>u là tiếp tuyến 

Tương tự ta chứng minh được: 

1 

AEC ( sđ AmC sđ AnC ) 

2 

Hình 2.10 c 

* Dự đoán bằng tổng quát hóa: Tổng quát hóa là chuyển khái niệm, tính 

chất từ tập hợp này sang tập hợp rộng hơn, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay 

trên tập đó. 

Ví dụ 2.2.13. Cho góc BAC nội tiếp đường tròn (O). Tìm mối liên hệ giữa số 

đo góc nội tiếp và số đo của cung bị chắn. 

Trường hợp 1: 

O nằm trên một cạnh của BAC . Áp dụng định lý về góc 

ngoài của OAC cân ta có: 

BOC chắn cung nhỏ BC nên 


1 

BAC BOC , mà góc ở tâm 

2 

1 

BAC sđ BC 

2 

Tâm O nằm trong góc BAC. Kẻ đường kính AD ta có: 

BAD DAC BAC ,sđ BD +sđ DC =sđ BC . Theo trường 

hợp 1 ta có: 

1 

BAD sđ BD ; 

2 

1 

DAC sđ DC . Cộng vế 

2 

C 

Hình 2.11 

a C 


B 

Hình 2. 11 b 





55 











với vế ta có 


1 

BAC sđ BC . 

2 

Tâm O nằm bên ngoài góc BAC. Kẻ đường kính AD ta 

có: BAD BAC DAC , sđ BD +sđ BC =sđ DC . Theo 

trường hợp 1 ta có: 

Trừ vế với vế ta có 

1 

BAD sđ BD ; 

2 

1 

BAC sđ BC . 

2 

1 

DAC sđ DC . 

2 

Như vậy, tổng quát <strong>cho</strong> cả ba trường hợp ta có định lý về góc nội tiếp và số đo của 

cung bị chắn: “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị 

chắn”. 

Qua các biện pháp trên đây, chúng ta nhận thấy, bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ 

cũng giống như việc bồi <strong>dưỡng</strong> tri thức phương pháp tìm đoán. Do đó, tôi xin trích dẫn 

nhận xét của các tác giả Nguyễn Bá Kim,Vũ Dương Thụy [12]: “Những quy tắc, 

phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> chứ không phải là những 

thuật toán đảm bảo chắc chắn dẫn tới thành công. Vì vậy, hướng dẫn HS sử dụng chúng 

ta cần rèn luyện tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi 

phương pháp khi cần thiết. Sẽ không có gì đáng sợ nếu HS không thành công khi áp 

dụng một quy tắc, phương pháp tìm đoán nào đó. Điều quan trọng là tới mức độ nào, 

họ phải biết phát hiện sự lầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng dẫn đến 

thành công”. 


Để thực hiện tốt biện pháp này đặc biệt là những dạng bài tập liên quan đến tìm 

quỹ tích GV nên ứng dụng công nghệ thông tin vào trong giảng dạy. GV hướng dẫn 

HS trải nghiệm trên phần mềm để tự HS phát hiện ra kết quả. 

2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ chung 


Hình 2. 11 c 


Rèn luyện những hoạt động trí tuệ chung tức là GV rèn luyện <strong>cho</strong> HS những 

hoạt động trí tuệ chung như: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,… 

thường xuất hiện như những hoạt động thành phần trong chứng minh bài toán hình <strong>học</strong>. 

C 

B 





56 








Từ đó bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS. 






+ Phân tích – tổng hợp: 

Phân tích là tách một hệ thống thành các vật, một vật thành các bộ phận. Phân 

tích còn là việc tìm mối liên hệ giữa cái phải tìm với cái đã <strong>cho</strong>, giữa cái chưa biết với 

cái đã biết. 

Tổng hợp là liên kết các bộ phận thành một vật, các vật thành một hệ thống. Tổng 

hợp còn là việc tìm mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết, giữa cái đã <strong>cho</strong> và cái 

phải tìm. 

Trong quá trình <strong>học</strong> tập môn Toán của HS để HS hiểu sâu kiến thức, hình thành 

kỹ <strong>năng</strong>, vận dụng kiến thức vào thực tiễn một cách sáng tạo, phát triển trí tuệ và bồi 

<strong>dưỡng</strong> tư duy sáng tạo thì bài tập toán là phương tiện <strong>cơ</strong> bản. Điều này <strong>cho</strong> thấy, muốn 

bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> hình <strong>học</strong> thì không thể không 

rèn luyện <strong>cho</strong> HS hoạt động phân tích và tổng hợp. 

+ Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn hơn tập 

hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp 

xuất phát. 

+ Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã <strong>cho</strong> sang 

việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã <strong>cho</strong>. 


Phân tích – tổng hợp: 

- Phân tích bài toán tìm cách <strong>giải</strong>: 

+ Nêu rõ giả thiết và kết luận, tìm mối liên hệ giữa chúng. 

+ Phân tích yếu tố phải tìm và yếu tố đã <strong>cho</strong>, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đó, 

chia bài toán ra các trường hợp khác nhau, sau đó xét từng trường hợp riêng. 

+ Có thể phân tích chia bài toán thành nhiều bài toán bộ phận mà cách <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> 


các bài toán bộ phận này đơn giản hơn, hay đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết 

cách <strong>giải</strong>. 





57 











- Tổng hợp định hưóng <strong>cho</strong> phân tích: 

+ Tổng hợp các trường hợp riêng lẻ vừa xét, liên kết các yếu tố, mối quan hệ 

giữa các yếu tố vừa phân tích rút ra kết luận mới. 

+ Tổng hợp các bước <strong>giải</strong> của các bài toán bộ phận vừa phân tích liên kết thành 

lời <strong>giải</strong> của bài toán. 

+ Tổng hợp các kết qủa đã biết, xem xét bài toán có những cách <strong>giải</strong> nào, định 

hướng <strong>cho</strong> phân tích bài toán, liên hệ với những kiến thức đã biết cần huy động để <strong>giải</strong> 

bài toán. 

- Tổng hợp - trình bày lời <strong>giải</strong> bài toán: Tổng hợp các kết quả của hoạt động 

phân tích có được lời <strong>giải</strong> và trình bày lời <strong>giải</strong> của bài toán. Sau đó tiếp tục mở rộng 

phát triển bài toán ở khía cạnh tổng hợp kết quả đã có của bài toán định hướng <strong>cho</strong> hoạt 

động phân tích tiếp theo để có lời <strong>giải</strong> khác hay có bài toán mới hay khái quát thành tri 

thức phương pháp. 

Trong hoạt động chứng minh, trước hết phải quan sát một cách tổng hợp để nhận 

dạng bài toán thuộc loại gì cần huy động những kiến thức nào, phân tích cái đã <strong>cho</strong> và 

cái phải tìm, phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố hoặc phân tích ra nhiều bước chứng 

minh nhỏ, chia ra các trường hợp khác nhau, <strong>giải</strong> các bài toán nhỏ đó, sau đó tổng hợp 

lại để được lời <strong>giải</strong> của bài toán, rồi tiếp tục khai thác phát triển bài toán đã <strong>cho</strong>. Như 

vậy, HS vừa được rèn luyện hoạt động phân tích và tổng hợp vừa được rèn luyện kỹ 

<strong>năng</strong> toán <strong>học</strong>. 

Ví dụ 2.2.14. Bài 37 SKG Toán 9 tập 1 trang 123. 

Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn 

nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC = BD. 

+ Tổng hợp định hướng <strong>cho</strong> phân tích: Đây là bài toán thuộc dạng chứng minh 

hai đoạn thẳng bằng nhau. Có thể liên tưởng đến việc chứng minh hai tam giác bằng 

nhau có chứa hai đoạn thẳng AC và BD, hai tam giác đồng dạng, dựa vào kiến thức về 

đường tròn hay thay thế tương đương, …. 

+ Phân tích bài toán tìm cách <strong>giải</strong>: Từ những định hướng trên ta phân tích, tách ra 


từng yếu tố, khía cạnh riêng biệt của bài toán để tìm ra mối liên hệ với điều phải chứng 

minh. 





58 
















59 











Hướng 1: 

Ta có : OAC và OBD là những tam giác cân và 

AC, BD là hai cạnh của OAC và OBD , ta sẽ liên 

tưởng đến việc chứng minh 

không? Rồi suy ra AC = BD . 

OAC = OBD 

được 

Xét OAC và OBD 

có: OAC OBD, 

OCA ODB . 

Phải chứng minh AC = BD (cặp cạnh xen giữa), điều 

này không thể chứng minh được nên không chứng 

minh được 2 tam giác này bằng nhau (loại hướng 

<strong>giải</strong> này) 

Nhưng lại chứng minh được OAB 

ODC . 

AC OA 

Suy ra 1 AC BD 

BD OB 

Hình 2. 12 

Cách phân tích này, ta đã tách ra các yếu tố liên hệ với 2 tam giác đồng dạng để đi 

đến điều phải chứng minh. 

Hướng 2: 

Phân tích bài toán hướng tới việc thay thế tương đương. Phân tích tách ra các yếu tố đã 

<strong>cho</strong> ta có: AC = AD – DC; BD = BC – DC nên có thể thay việc chứng minh AC = BD 

AD AD OA 

bằng việc chứng minh AD = BC hay 1 1. Điều này hoàn toàn tương 

BC BC OB 

tự như cách phân tích ở trên, tức là gợi <strong>cho</strong> HS nghĩ đến việc phải chứng minh hai tam 

giác OAC và ODB 

đồng dạng với nhau và đi đến điều phải chứng minh. 

Hướng 3: 

Phân tích bài toán hướng đến việc sử dụng kiến thức về đường tròn. Phân tích tách ra 

những yếu tố đã <strong>cho</strong> có liên quan đến định lý về đường kính vuông góc với dây cung 

ta có: AB và DC là dây cung của các đường tròn (O,R) và (O, r), gợi <strong>cho</strong> HS suy nghĩ 

phải kẻ OH AB, 

H AB đi đến điều phải chứng minh. 

+ Tổng hợp trình bày lời <strong>giải</strong>: 


A 

B 





60 








(1) 

Cách 1: Theo giả thiết ta có: OAD cân tại O (OA = OD = R) OAC 

ODB, 




OBC cân tại O (OB = OC = r) OCA 

OBD, 

(2) 

Từ (1) và (2) AOC DOB AOC DOB AC DB, 

Cách 2: Vẽ OH AB, 

H AB . Theo định lý đường kính vuông góc với dây 

cung, ta có: HA = HB; HD = HC suy ra HA – HC = HB – HD. Vậy AC = BD. 

Như vậy, nhờ phân tích và tổng hợp HS không những <strong>giải</strong> được bài toán mà còn 

tìm được nhiều cách <strong>giải</strong> bài toán bằng cách nhìn nhận bài toán dưới những khía cạnh 

khác nhau để tách ra những yếu tố riêng biệt tạo nên mối liên hệ giữa giả thiết với điều 

phải chứng minh. Qua đó HS từng bước được rèn kỹ <strong>năng</strong> vận dụng kiến thức và các 

phương pháp <strong>giải</strong> toán vào <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> bài toán trong những tình huống cụ thể. Đây là 

yếu tố quan trọng giúp HS hiểu sâu kiến thức, từ đó nâng cao khả <strong>năng</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS. 

Điều này chứng tỏ tầm quan trọng của hoạt động phân tích và tổng hợp trong 

bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> hình <strong>học</strong> 9. 

Ví dụ 2.2.15. Bài 58 SGK Toán 9 Tập 2 trang 90. 

Cho ABC<strong>đề</strong>u. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao 

1 

<strong>cho</strong> DB =DC và DCB ACB. 

Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. 

2 

+ Tổng hợp định hướng <strong>cho</strong> phân tích: Có 

nhiều cách chứng minh một tứ giác là tứ giác nội 

tiếp, với điều kiện của <strong>đề</strong> bài ta có thể tìm mối 

liên quan giữa giả thiết và kết luận để đưa về bài 

toán chứng minh tứ giác có tổng số đo hai góc 

đối diện bằng 180 o , tức là chứng minh 

ABD ACD 

180 O . (Hình 2. 13) Hình 2. 13 

Phân tích bài toán tìm cách <strong>giải</strong>: Từ định hướng trên ta phân tích, tách ra từng 

yếu tố, khía cạnh riêng biệt của bài toán để tìm ra mối liên hệ với điều phải chứng 


minh. 

Chứng minh tứ giác ABCD có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180 o , tức là chứng 

D 





minh: 

ABD ACD 

180 O 

tức là B1 B2 C1 C2 180 O 

. Theo giả thiết ta có: 

61 











O 1 

O 

B2 C2 60 ; B1 C1 C2 

30 nên ta có điều phải chứng minh. 

2 

+ Tổng hợp – trình bày lời <strong>giải</strong> bài toán: Tổng hợp kết quả của bước phân tích 

bài toán ta có lời <strong>giải</strong> sau: 

O 1 

O 

Theo giả thiết có ABC <strong>đề</strong>u nên B 2 

C 2 

60 ; B 1 

C 1 

C 2 

30 nên có 

2 

B B C C hay ABD ACD 

180 O . Vậy tứ giác ABCD nội tiếp. 

1 2 1 2 

180 O 

Khái quát hóa: 

Muốn khái quát hóa, thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện 

với nhau. Để bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>cho</strong> HS <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> khái quát hóa đúng đắn, cần luyện <strong>cho</strong> HS 

biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện tượng, sau 

những chi tiết khác nhau, nhìn thấy cái bản chất bên trong của các hiện tượng, sau cái 

hình thức bên ngoài đa dạng. Muốn vậy, một điều kiện rất quan trọng là GV phải biết 

phối hợp những dấu hiệu không bản chất của khái niệm, hiện tượng đang nghiên cứu 

và giữ không đổi những dấu hiệu bản chất. 

Trong “Phương pháp dạy <strong>học</strong> môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ 

Dương Thụy [11] đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển hóa từ một tập hợp đối tượng 

sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc 

điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát”. 

đồ: 

Những dạng khái quát hóa thường gặp trong môn Toán có thể biểu diễn theo sơ 


Sơ đồ 2.2. Sơ đồ khái quát hóa 

Như vậy có hai con đường khái quát hóa: Con đường thứ nhất trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> so sánh 





62 











những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh những trường 

hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ 

một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau. 

Ví dụ 2.2.16. Ở lớp 9, đối với định lý: “Trong hình tròn, số đo của một góc nội tiếp 

bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung”. Chúng ta có 3 trường hợp 

Tâm O1 nằm trên một cạnh của góc (Hình 2. 14 a). 

Tâm O2 nằm trên một cạnh của góc (Hình 2. 14 b). 

Tâm O3 nằm trên một cạnh của góc (Hình 2. 14 c). 

Hình 2.14a Hình 2.14b Hình 2.14c 

Trong ba trường hợp trên chúng ta <strong>đề</strong>u chứng minh được góc nội tiếp bằng một 

nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Từ đó bằng khái quát hóa chúng ta đi 

đến quy luật phổ biến với mọi góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung nói chung. 

Định lý được rút ra nhờ khái quát hóa dựa trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> phân tích ba trường hợp riêng lẻ 

có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp đó thôi). 

Đặc biệt hóa: 

Theo G. Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng 

đã <strong>cho</strong> sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã <strong>cho</strong>”. Những 

dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn Toán có thể được biểu diễn theo sơ đồ: 






63 











Sơ đồ 2.3. Sơ đồ đặc biệt hóa 

Ví dụ 2.2.17. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý của tam 

giác <strong>đề</strong>u đến các cạnh của nó là không đổi. 

đây là gì? 

Trước hết ta sẽ tìm khoảng cách không đổi ở 

Ta chọn một vị trí đặc biệt của M. Cho M 

trùng với A (Hình 2.15) ta có tổng khoảng cách cần 

tìm là AH. Lại xét một trường hợp đặc biệt khác của 

M nằm trên cạnh AC (không trùng với các đỉnh). 

Cần chứng minh MK + MJ = AH. 

Tương tự: Kẻ ML //BC, 

ML AH M M H MJ , AM MK (do ALM 

O O O 

<strong>đề</strong>u) MK MJ AM 

O MOH AH 

Trong trường hợp tổng quát M thuộc miền 

trong tam giác (Hình 2.16). Tương tự như trường 

hợp đặc biệt trên ta vẽ PQ qua M và song song với 

BC, PQ cắt AH tại L. Vận dụng trường hợp đặc biệt 

trên <strong>cho</strong> APQ ta có MI + MK = AL còn MJ = LH 

từ đó có điều phải chứng minh. 

Hình 2.15 


Hình 2.16 





64 












Ngoài việc bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ trong các tiết dạy chính khóa vào buổi 

sáng, GV có thể sử dụng biện pháp trên dạy <strong>học</strong> <strong>cho</strong> HS trong các tiết dạy tự chọn (vào 

buổi chiều). 

2.2.5. Biện pháp 5: Hình thành tri thức phương pháp 


Hình thành tri thức phương pháp <strong>cho</strong> HS trong quá trình chứng minh hình <strong>học</strong>. 

Qua đó phát triển ở HS một loại hình tư duy quan trọng – tư duy thuật toán, vừa <strong>cho</strong> 

phép phát triển ở HS các <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> và phẩm chất tư duy độc lập và sáng tạo. Góp phần 

bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS. 



Tri thức phương pháp là tri thức về phương pháp tiến hành <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> một kiểu 

nhiệm vụ nào đó. Tri thức phương pháp luôn gắn liền với hai loại phương pháp khác 

nhau: Phương pháp có tính thuật toán và phương pháp tìm đoán. 

Dạy <strong>học</strong> tri thức phương pháp có tính thuật toán không chỉ bó hẹp trong việc 

dạy <strong>học</strong> vận dụng các thuật toán đã biết mà bao hàm cả dạy <strong>học</strong> khám phá các thuật 

toán, tìm thuật toán tối ưu, …Do đó, dạy <strong>học</strong> tri thức phương pháp có tính thuật toán 

và tri thức phương pháp tìm đoán <strong>đề</strong>u góp phần rèn luyện các thao thác tư duy (phân 

tích, tổng hợp, so sánh, …) và phát triển các phẩm chất tư duy (tính độc lập, tính linh 

hoạt, …), chứ không phải tạo ra ở HS tính dập khuôn máy móc. Như vậy, định hướng 

trực tiếp <strong>cho</strong> hoạt động và ảnh hưởng quan trọng tới việc bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ 

<strong>cho</strong> HS. 


* Rèn luyện tri thức về các quy tắc kết luận logic thường dùng 

Những quy tắc kết luận logic thường không được trình bày một cách tường 

minh trong nội dung môn Toán ở trường phổ thông, HS lĩnh hội chúng một cách ẩn 

tàng thông qua những trường hợp cụ thể. Thường dùng nhiều nhất là quy tắc có sơ đồ 


A B, 

A 

B 

. Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc kết luận logic thường 

dùng trên, GV cần quan tâm dùng những ví dụ cụ thể bác bỏ những sai lầm do HS 





65 











A B, B A B, 

A 

thường hay ngộ nhận như , . Mặt khác cần rèn luyện <strong>cho</strong> HS những 

A B 

hoạt động ăn khớp với các quy tắc đó. Theo tư tưởng của Walsch, Nguyễn Bá Kim 

chỉ rõ: “Một con đường có hiệu quả để phát triển ở HS <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chứng minh toán <strong>học</strong> 

là tạo điều kiện <strong>cho</strong> họ tập luyện đúng đắn những hoạt động ăn khớp với một chiến 

lược <strong>giải</strong> toán chứng minh hình <strong>học</strong>. Chiến lược này kết tinh ở HS như một bộ phận 

kinh nghiệm mà họ thu lượm được trong quá trình <strong>giải</strong> những bài toán như vậy”. 

Theo đó, GV cần luôn luôn lặp đi, lặp lại một cách có dụng ý những chỉ dẫn 

hoặc những câu hỏi như: 

xảy ra. 

+ Hãy vẽ một hình theo những dữ kiện của bài toán. Những khả <strong>năng</strong> nào có thể 

+ Giả thiết nói gì? Bài toán còn có thể phát biểu dưới dạng như thế nào? 

+ Từ giả thiết suy được ra điều gì? Những định lý nào có giả thiết giống hoặc 

gần giống với giả thiết của bài toán? 

+ Kết luận nói gì? Điều đó còn được phát biểu như thế nào? 

+ Đã biết bài toán nào tương tự hay chưa? 

+ Có cần kẻ thêm đường phụ hay không? 

+… 

Nhờ vậy, trong quá trình <strong>học</strong> tập, HS sẽ ý thức được những câu hỏi hoặc chỉ dẫn 

của GV lặp đi, lặp lại nhiều lần, sẽ dần lĩnh hội và vận dụng chúng để <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> bài 

toán chứng minh hình <strong>học</strong>. 

Ví dụ 2.2.18. Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. 

Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp AOB 

; COD 

tiếp xúc ngoài với nhau. 


Hình 2. 17 

Phân tích: Để chứng minh các đường tròn ngoại tiếp AOB 

; COD tiếp xúc ngoài với 





66 











nhau, ta cần chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng và MN = MO + ON, tức là đoạn 

nối tâm bằng tổng hai bán kính (Hình 2. 17). 

GV cần lưu ý với HS rằng hai tam giác bằng nhau thì bán kính của hai đường 

tròn ngoại tiếp tam giác bằng nhau. Ta có lời <strong>giải</strong>: 

Gọi M, N lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp AOB 

; COD . Ta có 

AOD 

COB . Do đó các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này bằng nhau: MO = 

MD = NO = NB (1) 

MDO NBO MOD NOB . Từ đó 3 điểm M, O, N thẳng hàng (2) 

Từ (1) và (2) ta có: MN = MO + ON, tức là đoạn nối tâm bằng tổng hai bán 

kính nên các đường tròn (M), (N) tiếp xúc ngoài với nhau. 

Như vậy qua việc chứng minh trên ta đã nhấn mạnh và làm nổi bật <strong>cho</strong> HS quy 

tắc kết luận logic rất thông dụng 

thể bác bỏ những sai lầm do HS ngộ nhận 

A B, 

A 

, GV cần quan tâm dùng những ví dụ cụ 

B 

A B, B A B, 

A 

, . Ví dụ: Nếu hai tam 

A B 

giác bằng nhau thì bán kính hai đường tròn ngoại tiếp của chúng bằng nhau. Điều 

ngược lại chưa chắc đúng, nếu hai đường tròn bằng nhau, hai tam giác nội tiếp chúng 

chưa chắc bằng nhau. Hoặc định lý: Đường nối tâm vuông góc với dây tại <strong>trung</strong> điểm 

của dây cung. Nhưng mệnh <strong>đề</strong> đảo lại không tồn tại vì đường nối tâm đi qua <strong>trung</strong> 

điểm của dậy cung chưa chắc vuông góc với dây cung đó. 

* Hình thành những tri thức về những phương pháp suy luận, chứng minh 

như suy xuôi, suy ngược, quy nạp toán <strong>học</strong> hoặc chứng minh bằng phản chứng. 

Ví dụ 2.2.19. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta lấy theo thứ tự các 

điểm D và E trên các đoạn thẳng BA và CA sao <strong>cho</strong> BD = CE. Gọi M, N là <strong>trung</strong> điểm 

của BC và DE, đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh: 

NPB MQC 






67 











Hình 2. 18 

Phân tích lời <strong>giải</strong>: 

Gọi O là <strong>trung</strong> điểm của DC, khi đó muốn chứng minh NPB MQC ta chứng 

minh QPA MQC (1) 

Muốn chứng minh (1) ta chứng minh QPA NMO, 

MQC MNO (2). 

Muốn chứng minh (2) ta chứng minh ON//QC và OM//AB (3). 

Muốn chứng minh (3) ta chứng minh OD = OC và ND = NE, OD = OC 

và MB = MC (4) 

Vì O là <strong>trung</strong> điểm DC và MB = MC, ND = NE nên (4) đã biết. Vậy muốn <strong>giải</strong> 

bài toán trên ta xuất phát từ (4) trình bày ngược lên (1). 

Như vậy, trong khi tìm tòi lời <strong>giải</strong> bài toán chứng minh hình <strong>học</strong> ta thường sử 

dụng sơ đồ phân tích ngược. Tức là để chứng minh mệnh <strong>đề</strong> A của bài toán ta rất khó 

khăn trong việc tìm tòi lời <strong>giải</strong> thông qua sơ đồ phân tích thuận. Ta có thể phân tích 

tìm tòi lời <strong>giải</strong> bài toán bắt đầu từ kết quả cần chứng minh. 

* Tập luyện <strong>cho</strong> HS nắm được cấu trúc và yêu cầu của một phép chứng minh 

Mục tiêu: Hình thành và phát triển <strong>cho</strong> HS kỹ <strong>năng</strong> xác định giả thiết, kết luận 

và xác định quy tắc suy luận được sử dụng trong chứng minh bài toán hình <strong>học</strong>. 

Liên hệ với ba bộ phận cấu thành của chứng minh, cần nhấn mạnh ba yêu cầu 

sau để đảm bảo rằng chứng minh là đúng: 

+ Luận <strong>đề</strong> không được đánh tráo. 

+ Luận cứ phải đúng. 

+ Luận chứng phải hợp logic. 

Như vậy để HS có thể thực hiện được việc chứng minh thì trước hết phải nắm 


được giả thiết, kết luận của định lý, sau đó xác định được phương pháp chứng minh. 

Đồng thời để chứng minh đó là đúng thì đảm bảo không được đánh tráo luận <strong>đề</strong> cần 

chứng minh, những căn cứ đưa ra phải đúng và phép suy luận mà HS sử dụng phải 





68 











chính xác. Tuy nhiên, <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> này không được dạy một cách tường minh <strong>cho</strong> HS phổ 

thông. 

Cách thực hiện biện pháp: Thường xuyên tập luyện <strong>cho</strong> HS hoạt động ghi giả 

thiết và kết luận của các bài toán. Coi việc ghi giả thiết và kết luận của bài toán là yêu 

cầu bắt buộc khi <strong>giải</strong> toán. 

Thông qua hoạt động ghi giả thiết, kết luận giúp HS xác định rõ luận <strong>đề</strong>, luận 

cứ, luận chứng. 

Ví dụ 2.2.20. Cho ABC<strong>đề</strong>u. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy 

điểm D sao <strong>cho</strong> DB =DC và 

Giả thiết 

Kết luận 

1 

DCB ACB . Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. 

2 

ABC<strong>đề</strong>u, BD = DC, 

1 

DCB ACB 

2 

Tứ giác ABCD nội tiếp 

Luận <strong>đề</strong>: Tứ giác ABCD nội tiếp 

Luận cứ: ABC<strong>đề</strong>u, BD = DC, 

1 

DCB ACB 

2 

O 

Luận chứng: ABC<strong>đề</strong>u A B C 60 , BD DC DBC cân tại D, 

1 

DCB ACB DCB 30 

2 

o 

Ví dụ 2.2.21. Cho ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI, BK, CL của 

tam giác ấy. Gọi H là trực tâm của tam giác. 

a) Chứng minh LBH LIH KIH KCH 

b) Chứng minh KB là tia phân giác của LKI 

Giả 

thiết 

Kết 

luận 

ABC nhọn, 

AI BC, BK AC, 

CL AB 

AI BK CL H 

a) LBH LIH KIH KCH 

b) KB là tia phân giác của LKI 

Hình 2.19 


Hình 2.20 

Luận <strong>đề</strong>: LBH LIH KIH KCH , KB là tia phân giác của LKI 

B 

L 

A 

I 

H 

K 



C 



69 











Luận cứ: ABC nhọn, AI BC, BK AC, CL AB; 

AI BK CL H 

-Thường xuyên tập luyện <strong>cho</strong> HS phân tích các bước trong chứng minh để HS 

nắm được các quy tắc kết luận logic được sử dụng một cách tàng ẩn trong mỗi bước 

chứng minh. 

- GV cần có ý thức phát hiện và sửa chữa những sai lầm của HS trong <strong>giải</strong> toán 

chứng minh. Khi sửa chữa những sai lầm đó của người <strong>học</strong> cần chỉ rõ sai lầm đó vi 

phạm yêu cầu nào trong ba yêu cầu trên. 

Sai lầm chưa xuất hiện: Ở quy trình này GV cần nghiên cứu trước bài toán, có 

thể đưa ra các dự báo trước các sai lầm, thể hiện các chú ý trước <strong>cho</strong> HS. 

Sai lầm xuất hiện trong lời <strong>giải</strong> của HS: Ở quy trình này GV theo dõi thấy sai 

lầm GV gợi ý để HS tự tìm ra sai lầm HS tự tìm ra sai lầm GV gợi ý chỉnh 

lời <strong>giải</strong> HS thể hiện lời <strong>giải</strong> đúng Gv tổng kết và nhấn mạnh sai lầm mắc phải. 

Có khi GV cần đưa ra lời <strong>giải</strong> đúng để HS tự đối chiếu và tìm ra sai lầm của 

lời <strong>giải</strong>, đây cũng là một gợi ý để HS tìm ra sai lầm của lời <strong>giải</strong>. Có khi GV đưa ra lời 

<strong>giải</strong> sai, yêu cầu HS nhận dạng dấu hiệu tìm ra sai lầm. 

Ví dụ 2.2.22. Cho đường tròn (O; R) có BC là một dây cung cố định và điểm 

A chạy trên đường tròn đó. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Hỏi khi 

điểm A chạy trên đường tròn (O; R) thì điểm I di chuyển như thế nào. 

đổi 

Lời <strong>giải</strong> của một HS như sau: 

Do BC cố định nên BAC không 

O 

ABC ACB 180 

 

O 

IBC ICB 90 

2 

O 

BIC 90 

2 

Hình 2. 21 

Do BC cố định nên khi A chạy trên (O; R) thì I luôn nhìn đoạn BC một góc bằng 

90 

o 

 

dựng trên đoạn BC. 

2 






70 











(*) Nhận xét : 

- Lời <strong>giải</strong> đã sai lầm ngay ở câu khẳng định đầu “Do BC cố định nên BAC 

không đổi”. Rõ ràng dây cung BC thì cố định nhưng sẽ xác định lên hai cung, cung lớn 

BC và cung nhỏ BC (chỉ trừ trường hợp đặc biệt khi dây cung BC là đường kính). 

BC và 

Do đó BAC cũng nhận hai số đo khác nhau, nếu BAC khi A thuộc cung lớn 

BAC 180 o 

khi A thuộc cung nhỏ BC. 

Trường hợp A thuộc cung lớn BC, như trong lời <strong>giải</strong> trên ta tính được 

BIC 90 o 

không đổi 

o 

Trường hợp A thuộc cung nhỏ BC ta tính được BIC 180 

 

2 

Vậy kết luận đúng của bài toán phải là: 

- Nếu A chạy trên cung lớn BC thì I chạy trên cung chứa góc 90 

đoạn BC, thuộc nửa mặt phẳng BC chứa cung lớn BC. 

Nếu A chạy trên cung nhỏ BC thì I chạy trên cung chứa góc 180 

đoạn BC thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung nhỏ BC. 


o 

o 

 

dựng trên 

2 

 

dựng trên 

2 

Ngoài việc bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ trong các tiết dạy chính khóa vào buổi 

sáng, GV có thể sử dụng biện pháp trên dạy <strong>học</strong> <strong>cho</strong> HS trong các tiết dạy tự chọn (vào 

buổi chiều). 

2.2.6. Biện pháp 6: Rèn luyện kỹ <strong>năng</strong> khai thác, nghiên cứu sâu lời <strong>giải</strong> 


Thực hiện biện pháp này nhằm giúp HS biết vận dụng các biện pháp một cách 

thích hợp. Người <strong>học</strong> sẽ tìm được <strong>giải</strong> pháp tối ưu và khai thác, phát triển được nhiều 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới hấp dẫn, thú vị. Qua đó, phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ của HS. 


Biện pháp này phù hợp với các định hướng đã nêu ở trên 


Mỗi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> thường có nhiều phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. Khi có được một phương án, 

chúng ta không vội thỏa mãn mà hãy tiếp tục phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố 

đã <strong>cho</strong>, yếu tố cần tìm đã được vận dụng trong lập luận của lời <strong>giải</strong>. Xoay xở, tìm tòi, 





71 











liên tưởng và huy động nhiều kiến thức có liên quan một cách hợp lý, có khi lại <strong>cho</strong> 

chúng ta những phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> khác sáng tạo hơn, ngắn gọn hơn. G. Polya đã 

đưa ra lời khuyên <strong>cho</strong> người <strong>học</strong> toán rằng: “Ngay cả khi lời <strong>giải</strong> ta tìm được đã là tốt 

rồi thì tìm được một lời <strong>giải</strong> khác cũng có lợi. Thật sung sướng khi kết quả tìm được 

xác nhận nhờ hai lý luận khác nhau. Có được một chứng cớ rồi, chúng ta còn muốn tìm 

thêm một chứng cớ nữa, cũng như chúng ta muốn sờ vào một vật mà ta đã trông thấy” 

[19]. 

Giai đoạn nhìn lại <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> là cách tự đánh giá tốt nhất cần dạy <strong>cho</strong> HS; bởi nó 

không chỉ đánh giá tính hợp lý của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mà còn đánh giá hoạt động tư duy của chính 

người <strong>học</strong>. Đây là khâu quan trọng để thầy giáo chú ý phát triển tư duy <strong>cho</strong> HS từ: tư 

duy tích cực tư duy độc lập tư duy sáng tạo. Mặt khác, thực hiện tốt giai đoạn 

nhìn lại <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, đặc biệt là tìm nhiều phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> và khai thác, phát triển sáng 

tạo <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> còn giúp <strong>cho</strong> HS phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 


Theo tác giả Nguyễn Hữu Châu [2], giai đoạn xem xét và mở rộng <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đóng 

vai trò quan trọng thúc đẩy việc <strong>học</strong> toán, bao gồm các hoạt động sau: khám phá sâu 

hơn <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, mở rộng <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, phát triển phương pháp <strong>giải</strong>, phát triển quá trình; phát 

triển khả <strong>năng</strong> tự phản ánh. 

Giáo sư Ngô Bảo Châu [32] <strong>cho</strong> rằng: giai đoạn “Nhìn lại <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>” trong sơ đồ 

của G. Polya là bước đem lại nhiều “khoái cảm” nhất khi làm toán đối với ông. Giáo 

sư đã đưa ra lời khuyên <strong>cho</strong> người <strong>học</strong> toán là: Không bao giờ nên bỏ qua bước này. 

Đặc biệt, nhìn lại <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> giúp người <strong>học</strong> có thể tìm ra con đường ngắn nhất để đi đến 

gần hơn nữa với chân lý toán <strong>học</strong>. Đấy cũng chính là điều sẽ giúp bạn có thể <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> 

được các bài toán khác trong tương lai. 

Do đó, để bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS qua giai đoạn “Nhìn lại <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>”, 

theo tôi có thể tiến hành theo các cách sau: 

* Yêu cầu HS tìm nhiều cách <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> khác nhau <strong>cho</strong> một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, từ đó chọn 

được cách <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> sáng tạo, hiệu quả 

Việc HS đưa ra nhiều hướng <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đòi hỏi các em phải huy 

động một lượng lớn kiến thức và phương pháp. Hơn nữa, đưa ra nhiều ý tưởng <strong>cho</strong> 


một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> sẽ dẫn đến không bị bó khung bởi suy nghĩ đơn điệu hay theo cách đã 

định sẵn, phá bỏ được “sức ỳ tâm lý” của bản thân. 





72 











Để kích thích người <strong>học</strong> tìm nhiều lời <strong>giải</strong> <strong>cho</strong> một bài toán, thầy giáo nên 

thường xuyên nói với HS của mình những câu như: “Phương pháp này hay đấy, nhưng 

các em thử nghĩ xem còn có phương pháp nào tốt hơn nữa không”. Mặt khác, với các 

đối tượng HS khác nhau, GV nên thường xuyên có sự gợi ý, đặt câu hỏi phù hợp nhằm 

giúp các em nghiên cứu sâu hơn <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, tìm ra nhiều phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> và dần dần 

những câu hỏi đó sẽ do chính các em tự đặt ra <strong>cho</strong> bản thân mình. Muốn tìm được nhiều 

phương án GQVĐ, người <strong>học</strong> phải biết thực hiện những liên tưởng phù hợp với <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

cần <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. GV cần tạo điều kiện để giúp HS có nhiều sự liên tưởng hiệu quả, biết 

vận dụng linh hoạt những kiến thức đã <strong>học</strong>, biết xem xét đối tượng dưới nhiều khía 

cạnh khác nhau... Qua đó, giúp các em bước đầu rèn luyện tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn 

và độc đáo, đây là các yếu tố tư duy sáng tạo. Hơn nữa, trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> tập hợp nhiều lời 

<strong>giải</strong> khác nhau <strong>cho</strong> một bài toán, người <strong>học</strong> có thể so sánh các lời <strong>giải</strong>, nhờ đó tìm được 

lời <strong>giải</strong> mới lạ nhất, hay nhất, ngắn gọn nhất; đồng thời thông qua đó cũng tập <strong>cho</strong> HS 

phương pháp nghiên cứu một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đa dạng hơn, cách tiếp cận phong phú hơn. 

Chẳng hạn: 

Ví dụ 2.2.22. Yêu cầu HS vận dụng biện pháp nhìn bài toán sau dưới nhiều góc 

độ để <strong>giải</strong> bài toán sau bằng nhiều cách: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. 

Vẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đã <strong>cho</strong>. Trên tia Ax lấy điểm C 

sao <strong>cho</strong> AC R . Từ C vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp xúc với nửa đường tròn 

tại M, cắt By tại D. Tìm vị trí của C sao <strong>cho</strong> diện tích của tứ giác ABDC nhỏ nhất (Hình 

2. 22). 

x 

C 

A 

a 

M 

1 


O 

Hình 2.22 

R 

1 

y 

D 

B 





73 











Cách 1: Bằng cách nhìn bài toán dưới góc độ đại số và vận dụng điều kiện có 

nghiệm của phương trình bậc hai, GV gợi ý, đặt AC a R, 

hãy tính diện tích của tứ 

giác ABDC theo a, R. 

GV hướng dẫn HS tìm tòi lời <strong>giải</strong> qua các câu hỏi gợi ý: 

- Tứ giác ABDC là hình gì? (Hình thang vuông) 

- Từ giả thiết đã <strong>cho</strong>, để tính diện tích của tứ giác ABDC theo a, R, ta chỉ cần 

tính độ dài đoạn thẳng nào? (BD theo a, R). 

Từ đó, HS biết vẽ hình phụ, tìm BD theo a, R, bằng cách: Nối O với C, O với 

D. Suy ra OC là phân giác của góc AOM. 

Tương tự, OD là phân giác của góc BOM. Suy ra 

OC OD. 

Do đó: AOC BDO (góc có cạnh tương ứng vuông góc). 

Vì vậy AOC 

BDO 

2 

OAOB . AC. BD BD R . a 

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông, có diện tích là: 

2 

R 

2 

. 

a 

 

R 

AC BD AB a Ra R 

S 

2 2 a 

Do đó 

2 3 

Ra Sa R 0 (*). 

2 3 

Ta cần tìm vị trí của C sao <strong>cho</strong> diện tích của tứ giác ABDC nhỏ nhất nên phương 

trình (*) có nghiệm: 

 

Nên 

2 4 2 4 

S 4R 0 S 4R . Do đó 

min S 2 

2 

R (khi và chỉ khi 

. 

2 4 

min S 4R (khi và chỉ khi 

2 

2R 

a R ). 

2R 

Cách 2: GV hướng dẫn HS <strong>giải</strong> bài toán dưới góc độ hình <strong>học</strong> như sau: 

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được 

AC BD CD. 

Nên tứ giác ABDC là hình thang vuông có diện tích là: 

AC BD. 

AB 

2 

S CD. R AB. R 2 R , 

2 

do đó 

S 

a ). 

2R 

CA CM; DB DM 

, 

min S 2R 

do đó 

(khi và chỉ khi 


CD CA ACMO là hình chữ nhật (cũng là hình vuông)) AC OM R. 

2 





74 











Như vậy, thông qua việc khám phá sâu hơn <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, HS đã tìm được nhiều 

phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>, từ đó có thể lựa chọn phương án hiệu quả và phát triển khả <strong>năng</strong> 

vận dụng các các biện pháp vào các tình huống cần <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. 

* Hướng dẫn HS vận dụng phương pháp, kết quả đã biết; khai thác, xây dựng 

các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới, hệ thống các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> có liên quan 

Việc tìm được phương án <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, hơn thế nữa là tìm được nhiều 

phương án để có thể chọn phương án tối ưu là rất quan trọng trong quá trình <strong>học</strong> tập 

môn Toán của HS. Nhưng khả <strong>năng</strong> <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> của các em sẽ hiệu quả hơn và 

tốt hơn nhiều, nếu sau khi <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> xong một <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> các em vẫn tiếp tục suy nghĩ và 

trăn trở với nó để khai thác, phát triển các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới có liên quan. 

Quá trình thực hiện bước khai thác, phát triển <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> không dễ dàng đối với 

người <strong>học</strong>. Bởi vậy, trước hết GV cần giúp HS khai thác, phát triển <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> theo các câu 

hỏi, gợi ý của G. Polya, đó là: Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp <strong>cho</strong> một 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> khác không? Hãy phát biểu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> khi thay đổi một số điều kiện của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> ban 

đầu? Hãy mở rộng, phát triển <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, bằng cách: xét các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> tương tự, các trường 

hợp đặc biệt, tổng quát hay đảo ngược…? Những câu hỏi này trước hết là do GV đặt 

ra <strong>cho</strong> HS, lâu dần chính các em sẽ tự đặt ra để khai thác, phát triển <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. Khi các em 

tự mình đặt câu hỏi và trả lời được các câu hỏi một cách độc lập, chủ động thì <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> 

GQVĐ của các em đã phát triển. 

mới. 

Những cách thức cần tiến hành, đó là: 

- Tập <strong>cho</strong> HS biết vận dụng phương pháp, kết quả đã biết vào tình huống nhận thức 

Khi GQVĐ mới chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến thức cũ, những 

cái đã biết từ trước, những khía cạnh “bổ ích”, đó có thể là: kết quả hay phương pháp 

của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đã <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. G. Polya <strong>cho</strong> rằng, “Khi trình bày lời <strong>giải</strong> bài toán hãy nêu 

bật khía cạnh bổ ích của nó. Một khía cạnh nhất định của lời <strong>giải</strong> có thể gọi là “bổ 

ích”, nếu nó đáng được bắt chước, tức là nếu có thể sử dụng nó không chỉ đối với 

việc <strong>giải</strong> một bài toán nào đó, mà cũng có thể sử dụng nó đối với việc <strong>giải</strong> các bài 


toán khác và đặc điểm đáng chú ý nào càng hay được sử dụng thì phải xem nó là càng 

bổ ích… Khi nêu bật, có hiệu quả, một đặc điểm có thể biến lời <strong>giải</strong> của bạn thành 





75 











lời <strong>giải</strong> có tính chất điển hình, thành phương pháp bổ ích mà khi bắt chước <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> 

có thể <strong>giải</strong> được nhiều bài toán bổ ích khác”[19]. Từ đó, tác giả đã rút ra một quy tắc 

trong DH là: Hãy tìm trong bài toán của mình những gì có thể có ích khi <strong>giải</strong> bài toán 

khác. Theo tình huống cụ thể đã <strong>cho</strong>, hãy cố gắng phát hiện phương pháp chung [19]. 

Việc vận dụng phương pháp của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đã <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> tỏ ra khá hữu hiệu trong nhiều 

tình huống nhận thức mới phức tạp nếu người <strong>học</strong> nhận ra được mối liên hệ giữa <strong>vấn</strong> 

<strong>đề</strong> đã biết và <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> cần <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong>. Đặc biệt, nếu HS có thói quen khai thác, vận dụng 

phương pháp <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> thì các em có thể <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> được một lớp các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> tương 

tự, tổng quát; đây là những lớp các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> <strong>cơ</strong> bản trọng tâm trong chương trình của 

người <strong>học</strong>. 

Để vận dụng được các biện pháp HS cần phải liên tưởng đưa <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> cần <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> 

về dạng có liên quan đến <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đã biết để có thể sử dụng phương pháp hay kết quả đã có. 

Nếu được thực hiện thường xuyên sẽ giúp HS thành thạo và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Từ đó, các em sẽ chủ động để độc lập chiếm lĩnh kiến thức, độc lập chiếm lĩnh tài liệu <strong>học</strong> 

tập. 

Ví dụ 2.2.23. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. 

Chứng minh rằng: 

Theo phương pháp trên, đẳng thức cần chứng 

minh đã gợi <strong>cho</strong> người <strong>giải</strong> bài toán cách bổ sung hình 

phụ là điểm E trên tia AD (Hình 2.23), sao <strong>cho</strong>: 

AD. AE AB. AC ; AD. DE DB. DC. 

Từ 

ABD AEC 

Suy ra điểm E cần bổ sung là giao của AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác 

ABC. Nên việc chứng minh 

giác đồng dạng. 

2 

AD AB AC DB DC 

AB AE 

AD. AE AB. AC; 

 

AD AC 

. . . 

ADDE . DB. 

DC 

không mấy khó khăn nhờ sử dụng tam 

Như vậy, sử dụng phương pháp trên chúng ta đã bổ sung được hình phụ thích 

hợp và <strong>giải</strong> được nhiều bài toán tương tự trong các trường hợp riêng. 

B 

A 

D 

E 

Hình 2.23 


C 





76 











- Hướng dẫn HS khai thác các yếu tố đã <strong>cho</strong>, các yếu tố cần tìm của <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> để 

xây dựng chuỗi các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> liên quan 

Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào?”, G. Polya [19] <strong>cho</strong> rằng: 

“Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó 

đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với 

chúng ta”. Và ông cũng đã khẳng định, “Thật khó mà <strong>đề</strong> ra được một bài toán mới, 

không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với một 

bài toán trước đó đã <strong>giải</strong>”. Do vậy, điều quan trọng là với mỗi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, GV nên tạo <strong>cho</strong> 

HS thói quen khắc sâu <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đã <strong>học</strong> để khai thác <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới, phát triển được chuỗi <strong>vấn</strong> 

<strong>đề</strong> có liên quan từ dễ đến khó một cách có hệ thống giúp HS dễ dàng áp dụng khi cần 

thiết và các em có <strong>cơ</strong> hội đào sâu kiến thức, kiến tạo nên một số <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> mới từ đó góp 

phần bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>cho</strong> các em <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Ví dụ 2.2.24. 

Xét bài toán xuất phát (Bài tập 20 trang 76, Sách Bài tập Toán 9, Tập 2): Cho 

tam giác <strong>đề</strong>u ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên 

MA lấy điểm D sao <strong>cho</strong> MD = MB. 

a) Tam giác MBD là tam giác gì ? 

b) So sánh hai tam giác BDA và BMC. 

c) Chứng minh MA = MB + MC. 






77 











Đây là bài toán rất quen thuộc, lời <strong>giải</strong> có 

trong sách bài tập Toán 9, tập 2 và nhiều tài liệu 

khác, kết quả cụ thể là (Hình 2. 24a): 

a) MBD là tam giác <strong>đề</strong>u. 

b) BDA = BMC. 

c) MA = MB + MC. 

Như vậy, khi tam giác ABC <strong>đề</strong>u và M là một 

điểm trên cung nhỏ BC thì MA MB MC 

. Do đó, 

nếu tam giác ABC cân tại A A 60 

o và M là một 

điểm trên cung nhỏ BC thì mối quan hệ giữa MA và 

MB MC 

Bài toán 1. Cho tam giác ABC cân tại A A 60 o 

điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Chứng minh : nếu 

A 60 o thì MA MB MC 

. 

- Khi tam giác ABC <strong>đề</strong>u và M là một điểm 

trên cung nhỏ BC thì 

MA MB MC 

. Ngược lại, 

khi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là 

một điểm thuộc cung nhỏ BC sao <strong>cho</strong> 

MA MB MC 

<strong>đề</strong>u hay không? 

thì có kết luận được tam giác ABC 

Trong trường hợp này, giả thiết 

MA MB MC 

như thế nào? 

Bằng cách vẽ hình phụ là tam giác <strong>đề</strong>u AB’C’, 

(Hình 2. 24b) ta dễ dàng thấy được MA MB ' MC 

' 

Do đó: 

Nếu 

Nếu 

Ta có: 

A 60 o thì 

MB MC MB ' MC ' MA 

A 60 o thì 

MB MC MB ' MC ' MA 

suy ra tam giác ABC <strong>đề</strong>u là không 

 

B 

B' 

B 

M 

D 

A 

Hình 2.24a 

M 

A 

N 

, nội tiếp đường tròn (O), M là 

A 60 o thì MA MB MC 

; nếu 

O 

O 

Hình 2.24b 


B 

M 

E 

A 

H 

O 

Hình 2. 24c 

N 

C 

C' 

C 

A' 

C 





78 











đúng. Thật vậy, xét tam giác <strong>đề</strong>u BCA’ ta có: 

MA' MB MC 

(Hình 2. 24c). 

Vẽ hình phụ bằng cách lấy A đối xứng với A’ qua đường kính MN, suy ra 

MA = MA’ (tính chất đối xứng). Do đó, với tam giác ABC không <strong>đề</strong>u ta vẫn có 

MA MB MC 

. 

Để xây dựng bài toán ngược lại trong tình huống này ta có thể bổ sung thêm 

điều kiện <strong>cho</strong> điểm A. Ta phát biểu bài toán như sau: 

Bài toán 2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm 

thuộc cung nhỏ BC. Chứng minh rằng nếu MA MB MC thì ABC <strong>đề</strong>u. 

Chứng minh: Vì tam giác ABC cân tại A nên MA 

là phân giác của góc BMC (Hình 2. 24d). Do đó: 

MBI 

MAC 

MB. AC MABI 

. 

MB MA 

 

BI AC 

(1). 

MC MA 

MCI MAB 

CI AB 

MC. AB MACI 

. (2). 

Vì AB AC nên từ (1) và (2) suy ra: 

( ) . 

MB MC AC MA BI IC MA BC 

Kết hợp với MA MB MC ta được AC BC 

suy ra điều phải chứng minh. 

Từ bài toán xuất phát ta có: MA + MB MC 2. MA 4. R (R là bán kính 

đường tròn ngoại tiếp tam giác <strong>đề</strong>u ABC). Dựa vào điều này, ta có bài toán sau: 

Bài toán 3. Cho tam giác <strong>đề</strong>u ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; M là một 

điểm thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí M để: 

a) Tổng MA + MB MC đạt giá trị lớn nhất? 

b) Chu vi của tam giác MBC đạt giá trị lớn nhất? 

B 

M 

I 

A 

O 

Hình 2. 24d 

A( O) 


C 

và 





79 











Vẽ hình phụ là đường kính AH2 (Hình 2. 24e) 

dễ dàng suy ra: MA AH 2 

. 

Do đó: MA MB MC 2AH 4R 

. 

Từ bài toán 1, nếu kết hợp với bất đẳng thức 

Cô-si thì ta có kết quả: 

2R MA MB MC 2 MB. 

MC . 

Dấu “=” xảy ra khi M nằm chính giữa cung nhỏ 

BC. Từ đó ta có bài toán: 

Bài toán 4. Cho tam giác <strong>đề</strong>u ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định; M là một 

điểm thuộc cung nhỏ BC. Tìm giá trị lớn nhất của tích MA.MB.MC? 

Nếu gọi E là giao điểm của MA và BC (Hình 2. 24e), ta có: 

BME 

MB MA MB MC 

AMC 

 

ME MC MC 

1 MB MC 1 1 

Suy ra: . 

ME MB. 

MC MB MC 

Từ đó ta có bài toán: 

Bài toán 5. Cho tam giác <strong>đề</strong>u ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm 

thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: 

1 1 1 

. 

ME MB MC 

Khai thác kết quả bài toán 3, nếu gọi H2 là điểm 

chính giữa cung BC (Hình 2. 24e) thì 

AF BC, AMF 90 O 

. 

khi 

Suy ra: AM AF, 

AE AH 

. 

Do vậy 

1 1 

 

ME FH 

(không đổi). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ 

M F. Từ đó ta có được bài toán như sau: 


thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để 

nhỏ nhất? 

ME AM AE AF AH FH 

2 

B 

M 

E 

A 

O 

H 2 

H 

Hình 2. 24e 


1 1 

 

MB MC 

C 

đạt giá trị 





80 











Ta lại thấy rằng khi M trùng với F thì 

thêm bài toán thú vị sau: 

cũng đạt giá trị nhỏ nhất. Từ đó ta có 


thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để 

giá trị nhỏ nhất? 

và khó sau: 

Tương tự cách <strong>giải</strong> bài toán 5, kết hợp với kết quả bài toán 1, ta có bài toán hay 

Bài toán 8. Cho tam giác ABC cân tại A ( A 60 O ), nội tiếp đường tròn (O), M là 

điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Chứng minh 

rằng: Nếu 

1 1 1 

A 60 O thì ; nếu A 60 O thì 

ME MB MC 

Bài toán này được <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> nhờ vận dụng biện pháp phân nhỏ thành hai bài 

toán thành phần, đó là: 

(i) Bài toán 1; 

(ii) Cho tam giác ABC cân tại A ( A 60 O ), nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất 

kỳ trên cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. 

Chứng minh rằng: BME AMC (hoặc BMA MEC ). 


- <strong>Bồi</strong> <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9 qua việc 

tìm nhiều lời <strong>giải</strong> <strong>cho</strong> bài toán để lựa chọn được phương án tối ưu đòi hỏi HS phải có 

ý thức phân tích <strong>giải</strong> pháp, phát hiện ra sai lầm, cải tiến, khắc phục những chướng ngại, 

khó khăn trong <strong>giải</strong> pháp đã có, tìm <strong>giải</strong> pháp tối ưu hơn ăn khớp với một số biện pháp 

nào đó cần hình thành và khắc sâu. 

- Việc khai thác, phát triển các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đòi hỏi HS phải biết khéo léo phân chia 

<strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, tách biệt những chi tiết không bản chất, thay đổi các bộ phận để có được <strong>vấn</strong> 

<strong>đề</strong> mới thú vị, hấp dẫn. 

- Biện pháp rèn luyện kỹ <strong>năng</strong> khai thác, nghiên cứu sâu lời <strong>giải</strong> được chú 

trọng áp dụng vào giảng dạy trong các tiết luyện tập, ôn tập chương và các tiết dạy 

tự chọn. 

1 

MA 

1 1 1 

 

MA MB MC 

1 1 1 . 

ME MB MC 


đạt 





81 












Từ <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> lý luận và <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> thực tiễn đã xác định trong chương 1, xuất phát từ lý 

luận chung, nội dung chủ yếu của chương này đã nghiên cứu, định hướng xây dựng các 

biện pháp và <strong>đề</strong> xuất các biện pháp sư phạm để bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS 

THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

Trong từng biện pháp, luận văn đã chỉ ra <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong>, cách thức thực hiện và ví dụ, 

bài tâp Hình <strong>học</strong> 9 minh họa <strong>cho</strong> việc áp dụng biện pháp đó để từng bước bồi <strong>dưỡng</strong> 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS. 

Các biện pháp này không tách rời nhau mà có mối liên hệ mật thiết với nhau 

trong quá trình dạy <strong>học</strong>. Vì vậy, muốn bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS một 

cách hiệu quả nhất cần tiến hành một cách đồng bộ các biện pháp sư phạm đã xây dựng 

trên đây. 

Kết quả bước đầu <strong>cho</strong> thấy các biện pháp đưa ra đã tạo được sự hứng thú <strong>cho</strong> 

HS, đồng thời giúp nâng cao hiệu quả <strong>học</strong> tập, nâng cao kĩ <strong>năng</strong>, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> 

HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

Đây là <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> để tổ chức thực hiện nghiên cứu sư phạm, kiểm chứng tính hiệu 

quả của các biện pháp đã chỉ ra. 






82 











3.1. Mục đích thực nghiệm 

Chương 3 

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi 

và tính hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã được <strong>đề</strong> xuất nhằm bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> 

<strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

3.2. Nội dung thực nghiệm 

Thực nghiệm được tiến hành tại một số tiết dạy chính khóa và tiết dạy tự chọn 

của chương trình Hình <strong>học</strong> 9. Thực nghiệm được triển khai tại trường THCS Thống 

Nhất, huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình. 

Đối với lớp đối chứng: Tiến hành giảng dạy bình thường. 

Đối với lớp thực nghiệm: Tiến hành giảng dạy có áp dụng các biện pháp bồi 

<strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Trước khi tiến hành thực nghiệm, tôi có một bài kiểm tra với thời lượng 45 phút 

đối với cả hai lớp 9A và 9B của trường THCS Thống Nhất, huyện Hưng Hà, tỉnh Thái 

Bình. 

9A 

Sĩ số: Lớp 9A có 40HS, lớp 9B có 40HS. 

Chúng tôi chấm bài và tổng hợp điểm kiểm tra, thu được bảng số liệu: 

Bảng 3.1. Điểm bài kiểm tra số 1- lớp thực nghiệm 

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Số HS 0 0 2 3 8 7 6 6 5 3 0 

Tỉ lệ 

(%) 

0,00 0,00 5,00 7,50 20,00 17,50 15,00 15,00 12,50 7,50 0,00 


Điểm 

<strong>trung</strong> 

bình 

5,63 





83 











9B 

Bảng 3.2. Điểm bài kiểm tra số 1- lớp đối chứng 

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Số HS 0 

Tỉ lệ 

(%) 

0 2 4 5 8 8 6 5 2 0 

0,00 0,00 5,00 10,00 12,50 20,00 20,00 15,00 12,50 5,00 0,00 

Điểm 


bình 

5,60 

Kết quả <strong>cho</strong> thấy điểm của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> 2 lớp tương đương nhau, lớp 9A có điểm cao hơn 

1 chút so với lớp 9B. 

Trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> đó, tôi <strong>đề</strong> xuất được thực nghiệm tại lớp 9A và lấy lớp 9B làm 

lớp đối chứng. 

3.3. Tổ chức thực nghiệm 

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm 

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THCS Thống Nhất, 

huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình. 

+ Lớp thực nghiệm: 9A 

+ Lớp đối chứng: 9B 

Thời gian thực nghiệm được tiến hành vào khoảng từ tháng 12 năm 2017 

đến tháng 3 năm 2018. 

+ Ở lớp thực nghiệm: Để <strong>cho</strong> thuận tiện trong việc thực hiện <strong>đề</strong> tài tôi đã trực 

tiếp soạn giáo án và giảng dạy theo định hướng đã nêu trong luận văn. 

+ Lớp dạy lớp đối chứng: Do cô giáo Phạm Thị Kim Oanh giảng dạy. 

+ Ở lớp đối chứng, GV giảng dạy bình thường theo giáo án của họ. Phần nội 

dung kiến thức cần truyền tải tới HS ở cả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là giống 

nhau. 

3.3.2. Phương pháp thực nghiệm 


3.3.2.1. Phương pháp điều tra 

Điều tra về khả <strong>năng</strong> áp dụng các biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ 

của GV <strong>cho</strong> HS trong qua dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 





84 











Điều tra GV và HS về số giờ giảng có áp dụng các biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9; Hiệu quả của việc áp dụng các biện 

pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

3.3.2.2. Phương pháp quan sát giờ <strong>học</strong> thực nghiệm 

Tất cả các giờ <strong>học</strong> ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng <strong>đề</strong>u được quan sát và ghi 

chép về các hoạt động của GV và HS gồm những nội dung như sau: 

- Mức độ hứng thú, tích cực <strong>học</strong> bài và hiểu bài, vận dụng làm bài tập thông 

qua kết quả kiểm tra bài cũ. 

- Tiến trình lên lớp của GV, sự điều khiển và gợi ý <strong>cho</strong> các hoạt động của HS. 

- Sự hứng thú, tích cực của HS trong giờ <strong>học</strong>, sự tập <strong>trung</strong> và nghiêm túc, 

số lượng và chất lượng của các câu trả lời, các kết quả <strong>giải</strong> làm tập của HS trong 

giờ <strong>học</strong>. 

- Mức độ đạt được của các mục tiêu bài dạy thông qua các câu hỏi của GV trong 

phần củng cố, vận dụng. 

- Khả <strong>năng</strong> lĩnh hội kiến thức của HS (qua kết quả của các bài kiểm tra). 

Sau mỗi tiết dạy trao đổi với GV và HS, lắng nghe các ý kiến góp ý để rút kinh 

nghiệm <strong>cho</strong> bài dạy <strong>học</strong> sau cũng như <strong>cho</strong> <strong>đề</strong> tài nghiên cứu. 

3.3.2.3. Phương pháp thống kê toán <strong>học</strong> 

Sau một thời gian thực nghiệm, tôi chuẩn bị bài kiểm tra với lượng kiến thức 

nằm trong chương trình và thời gian làm bài 45 phút dùng <strong>cho</strong> HS cả hai lớp. Việc 

kiểm tra này giúp tôi nắm bắt được tình hình <strong>học</strong> tập của HS, đồng thời tìm hiểu được 

mức độ tiếp thu bài, hiểu bài, nắm bắt và vận dụng kiến thức để thực hiện <strong>giải</strong> bài tập 

liên quan của HS mà không có yếu tố khách quan tác động như có thời gian ôn luyện 

bài, <strong>học</strong> hỏi bạn... 

Sử dụng phương pháp thống kê toán <strong>học</strong> để xử lý kết quả các bài kiểm tra, so 

sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm từ đó rút ra kết luận về tính khả 

thi của việc dạy <strong>học</strong> bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 

9. 






85 











3.3.2.4. Phương thức đánh giá kết quả thực nghiệm 

- Đánh giá định tính kết quả thực nghiệm 

Phát phiếu điều tra <strong>cho</strong> HS và GV về giờ dạy thực nghiệm trên lớp và về việc 

tự <strong>học</strong>, nắm bắt, vận dụng kiến thức của HS khi áp dụng các biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9, qua đó nhận biết sự thay đổi về 

tính tích cực, khả <strong>năng</strong> nắm bắt, vận dụng kiến thức của HS sau tác động thực 

nghiệm. 

- Nội dung của các phiếu điều tra gồm: 

Kết quả điều tra mức độ liên quan đến kiến thức liên môn và ứng dụng, vận dụng 

vào thực tiễn trong công tác dạy và <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 


Kết quả điều tra việc sử dụng hiệu quả trang thiết bị dạy <strong>học</strong> trong dạy và <strong>học</strong> 

Kết quả điều tra về mức độ đánh giá kỹ <strong>năng</strong> thực hành, vận dụng lý thuyết để 

<strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> những <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> thực tiễn trong Hình <strong>học</strong> 9. 

Kết quả điều tra về hiệu quả <strong>học</strong> tập khi được bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ trong 

qua dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

Những nhận xét, đánh giá của HS về hiệu quả <strong>học</strong> tập trong giờ <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 

khi được <strong>học</strong> theo hướng bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Từ kết quả điều tra, tôi nghiên cứu, tổng hợp, phân tích số liệu và đánh giá về 

tính khả thi và hiệu quả khi áp dụng các biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS 

THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

- Đánh giá định lượng kết quả thực nghiệm. 

Để có những nhận xét chính xác, các kết quả thực nghiệm sư phạm được xử lý 

theo phương pháp thống kê toán <strong>học</strong>. Các bước thực hiện như sau: 

Tổ chức <strong>cho</strong> lớp thực nghiệm và lớp đối chứng làm bài kiểm tra sau khoảng thời 

gian áp dụng thực nghiệm. 

chứng. 

Thống kê kết quả đạt được của từng HS tại lớp thực nghiệm và lớp đối 


Lập bảng tần số điểm đạt được của HS lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. 

Lập biểu đồ điểm đạt được của HS lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. 





86 











3.4. Kết quả thực nghiệm 

3.4.1. Phân tích định tính kết quả thực nghiệm 

Từ kết quả quan sát hoạt động của GV và HS trong các tiết <strong>học</strong> thực nghiệm, 

qua phỏng <strong>vấn</strong> HS sau các buổi thực nghiệm sư phạm, qua những biểu hiện tích cực và 

thái độ hứng thú trong <strong>học</strong> tập của HS, tôi nhận thấy: 

- Không khí lớp <strong>học</strong> của nhóm lớp thực nghiệm sôi nổi và HS hào hứng hơn so 

với nhóm lớp đối chứng. 

+ Đối với lớp đối chứng, HS gần như thụ động tiếp thu kiến thức do GV truyền 

đạt, một số ít các HS <strong>học</strong> khá, giỏi có trả lời câu hỏi tuy nhiên chưa đạt yêu cầu <strong>đề</strong> ra. 

+ Ngược lại đối với lớp thực nghiệm, HS tích cực thảo luận, khám phá kiến thức 

mới, kết quả nhận thức đồng <strong>đề</strong>u hơn. 

- HS dần dần làm quen với việc tự <strong>lực</strong>, tự khám phá, tích cực thảo luận và tham 

gia các hoạt động <strong>học</strong> tập, tự tìm ra và <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>. 

- HS lớp thực nghiệm hứng thú hơn trong <strong>học</strong> Toán, làm Toán đặc biệt và 

những bài toán chứng minh hình <strong>học</strong>. Điều này được <strong>giải</strong> thích là do HS đã trở thành 

chủ thể chiếm lĩnh tri tri thức, HS ngày càng tin tưởng vào <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> bản thân. HS 

tham gia vào bài <strong>học</strong> sôi nổi hơn, mạnh dạn hơn trong việc bộc lộ kiến thức của 

chính mình. 

- Khả <strong>năng</strong> phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, 

hệ thống hóa của HS tiến bộ hơn. Điều này để <strong>giải</strong> thích là do GV đã chú ý hơn trong 

việc rèn luyện các kỹ <strong>năng</strong> này <strong>cho</strong> các em. 

- Việc ghi luyện <strong>cho</strong> các em thiết lập sơ đồ biểu thị mối liên hệ giữa kiến thức 

mới và kiến thức cũ nhớ thuận lợi hơn. Điều này được <strong>giải</strong> thích là do trong dạy <strong>học</strong>, 

GV đã quan tâm đến việc rèn. Từ đó HS có nhiều tiến bộ trong huy động kiến thức để 

<strong>giải</strong> toán. 

- Việc đánh giá, tự đánh giá bản thân được sát thực hơn. Điều này do trong quá 

trình dạy <strong>học</strong>, GV đã <strong>cho</strong> HS thường xuyên tiếp xúc với đánh giá bao gồm đánh giá 

<strong>cho</strong> điểm, nhận xét của GV và đánh giá lẫn nhau của HS. 


Sau quá trình thực nghiệm, tôi đã theo dõi sự chuyển biến trong hoạt động <strong>học</strong> 

tập của HS, khả <strong>năng</strong> GQVĐ, hứng thú đối với môn <strong>học</strong>. Tôi nhận thấy lớp thực nghiệm 





87 











có chuyển biến tích cực hơn so với trước thực nghiệm. 

3.4.2. Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm. 

Trong khi thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có bài kiểm tra với thời lượng 45 

phút đối với HS cả lớp đối chứng và lớp thực nghiệm. 

Chúng tôi chấm bài và tổng hợp điểm kiểm tra sau khi thực nghiệm sư phạm, 

thu được số liệu, cụ thể như sau: 

9A 

9B 

Bảng 3.4. Điểm bài kiểm tra số 2 - lớp thực nghiệm 

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Số 

HS 

Tỉ lệ 

(%) 

0 

0 1 3 2 4 8 10 6 6 0 

0,00 0,00 2,50 7,50 5,00 10,00 20,00 25,00 15,00 15,00 0,00 

Bảng 3.5. Điểm bài kiểm tra số 2 - lớp đối chứng 

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Số HS 0 0 2 4 4 7 9 6 5 3 0 

Tỉ lệ 

(%) 

0,00 0,00 5,00 10,00 10,00 17,50 22,50 15,00 12,50 7,50 0,00 

Điểm 



bình 

6,48 

Điểm 


bình 

5,75 





88 








* Biểu thị kết quả đạt được qua biểu đồ: 




đối chứng. 

Biểu đồ 3.1. Đa giác đồ điểm kiểm tra sau thực nghiệm 

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ hình cột biểu thị điểm kiểm tra sau thực nghiệm 

Qua bảng thống kê số liệu và biểu đồ chúng tôi thấy: 

- Số lượng HS đạt điểm yếu, kém (dưới 5) của lớp thực nghiệm ít hơn lớp 

- Số HS đạt điểm khá, giỏi (từ 7 điểm trở lên) của lớp thực nghiệm nhiều hơn 

lớp đối chứng. 

khá, giỏi. 

- Qua đó khẳng định điểm của lớp thực nghiệm có xu hướng lệch về phía điểm 


- Điểm <strong>trung</strong> bình của lớp thực nghiệm cao hơn điểm <strong>trung</strong> bình của lớp đối 

chứng. Điều này bước đầu <strong>cho</strong> kết luận về chất lượng <strong>học</strong> tập, chất lượng nắm kiến 

thức và vận dụng kiến thức của lớp thực nghiệm cao hơn chất lượng của lớp đối 





89 











chứng. 

Qua đó có thể khẳng định rằng những HS trong quá trình <strong>học</strong> tập được áp 

dụng các biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ có chất lượng <strong>học</strong> tập và vận dụng 

kiến thức, kỹ <strong>năng</strong> tốt hơn. 

3.4.3. Kết luận chung về thực nghiệm 

Qua thực tế giảng dạy và kiểm tra đánh giá <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> <strong>cho</strong> thấy dạy <strong>học</strong> theo 

hướng GQVĐ HS thực sự được lôi cuốn vào các hoạt động nhận thức một cách 

tích cực. Khi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> đã được đặt ra <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ của HS bộc lộ tích cực hơn, 

HS tiếp thu kiến thức chủ động và chắc chắn hơn. Khả <strong>năng</strong> vận dụng vào tình 

huống mới là một yêu cầu cao đối với HS, đòi hỏi phải biết vận dụng các kiến 

thức cần thiết, các kết quả thu được ở phần trước đặc biệt là phát hiện <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> 

trong từng trường hợp cụ thể. Trong phần phát hiện <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> nhiều HS còn lúng 

túng song khi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> được đưa ra thì HS lại hào hứng GQVĐ dẫn đến việc tiếp 

thu kiến thức một cách khoa <strong>học</strong>, chủ động, hiệu quả <strong>học</strong> tập nâng lên rõ rệt. 


Theo kết quả thống kê và phân tích số liệu điều tra thu được <strong>cho</strong> thấy chất lượng 

<strong>học</strong> tập cuả HS được nâng cao, điểm <strong>trung</strong> bình của nhóm thực nghiệm cao hơn điểm 

<strong>trung</strong> bình của nhóm đối chứng. Các kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư 

phạm về mặt định tính, định lượng đã giúp tôi có đủ <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> chắc chắn để khẳng định về 

tính hiệu quả của <strong>đề</strong> tài, khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết khoa <strong>học</strong>. 

Thực hiện các biện pháp sư phạm mà luận văn <strong>đề</strong> xuất sẽ góp phần rất tốt để 

tăng cường bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9, đồng 

thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy <strong>học</strong> Toán 9 <strong>cho</strong> HS. Mục 

đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của các quan điểm đã 

được khẳng định. Qua đây <strong>cho</strong> thấy các biện pháp bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS 

THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9 đạt được mục đích nghiên cứu và giả thuyết khoa <strong>học</strong>. 






90 











KẾT LUẬN 

Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây: 

Hệ thống hóa các <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> về quá trình GQVĐ, dạy <strong>học</strong> GQVĐ, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Đưa ra các quan niệm về quá trình GQVĐ, <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, tình huống gợi <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, <strong>năng</strong> <strong>lực</strong>, 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ và các thành tố của <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ. 

Đã đưa ra những <strong>cơ</strong> hội hình thành, phát triển và thực trạng bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> 

GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9 hiện nay. 

Đã đưa ra 4 định hướng chỉ đạo và xây dựng được 6 biện pháp sư phạm nhằm 

bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong> 9. 

Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những 

biện pháp sư phạm được <strong>đề</strong> xuất. 

Trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> các kết quả đã đạt được, có thể khẳng định mục đích nghiên cứu của 

luận văn đã đạt được, nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành và giả thuyết khoa <strong>học</strong> là 

chấp nhận được. Nghiên cứu của luận văn đã khẳng định bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ 

<strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> hình <strong>học</strong> 9 là việc làm hết sức cần thiết giúp nâng cao 

hiệu quả của dạy <strong>học</strong> hình <strong>học</strong> 9 nói riêng, dạy <strong>học</strong> toán nói chung và có tác động tích 

cực đến sự phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ của HS. Đây là hướng nghiên cứu giúp HS hình 

thành cách <strong>học</strong>, cách chiếm lĩnh tri thức, cách GQVĐ trong thời đại kiến thức tăng lên 

không ngừng và là hướng đi đúng đắn đáp ứng xu hướng của giáo dục hiện nay là hình 

thành và phát triển <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>cho</strong> HS. 






91 











Tiếng Việt 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

1. Nguyễn Hữu Châu (1995), “Dạy <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> trong môn Toán”, Tạp chí 

nghiên cứu Giáo dục, (9), tr. 22. 

2. Nguyễn Hữu Châu (2012), “GQVĐ trong môn Toán - xu hướng nghiên cứu và 

thực tiễn dạy <strong>học</strong>”, Tạp chí Khoa <strong>học</strong> Giáo dục, Viện KHGD Việt Nam, (87), tr. 

6-9,46. 

3. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần 

Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2012), Toán 9, 

tập I, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội. 

4. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Phạm 

Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận (2012), Toán 9, tập II, NXB 

Giáo dục Việt Nam, Hà Nội. 

5. V. A. Cruchetxki (1973), Tâm lí <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> Toán <strong>học</strong> của <strong>học</strong> <strong>sinh</strong>, NXB Giáo dục, 

Hà Nội. 

6. Nguyễn Văn Cường (2010), Một số <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> chung về đổi mới phương pháp dạy 

<strong>học</strong> ở trường <strong>trung</strong> <strong>học</strong> phổ thông, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Dự án phát triển giáo 

dục <strong>trung</strong> <strong>học</strong> phổ thông. 

7. Đảng Cộng sản Việt Nam (2013), Nghị <strong>quyết</strong> số 29 NQ/WT của Ban Chấp hành 

Trung ương về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo đáp ứng yêu cầu 

công nghiệp hóa hiện đại hóa, trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã 

hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. 

8. Phạm Minh Hạc (1992), Một số <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> tâm lí <strong>học</strong>, NXB Giáo dục, Hà Nội. 

9. Trần Kiều (1999), Đổi mới phương pháp dạy <strong>học</strong> ở trường Trung <strong>học</strong> <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong>, Viện 

Khoa <strong>học</strong> Giáo dục. 

10. Trần Kiều (2012), Mục tiêu môn toán trong trường phổ thông Việt Nam, Báo cáo 

tại hội thảo Việt Nam - Đan Mạch. 

11. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy <strong>học</strong> môn Toán, NXB Đại <strong>học</strong> Sư phạm, 


Hà Nội. 

12. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1997), Phương pháp dạy <strong>học</strong> môn Toán, NXB 





92 











Giáo dục, Hà Nội. 

13. Luật giáo dục (2005), và Luật giáo dục sửa đổi (2009), NXB Chính trị quốc gia. 

14. Trần Luận (2011), Về cấu trúc <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> toán <strong>học</strong>, Kỷ yếu hội thảo quốc gia về 

giáo dục toán <strong>học</strong> ở nhà trường phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam. 

15. Trần Luận (1996), Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya xây dựng nội dung 

và phương pháp trên <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> các hệ thống bài tập theo chủ <strong>đề</strong> nhằm phát huy <strong>năng</strong> 

<strong>lực</strong> sáng tạo của HS chuyên Toán cấp II, Luận án Phó tiến sĩ Khoa <strong>học</strong> Sư phạm 

– Tâm lí, Viện Khoa <strong>học</strong> Giáo dục, Hà Nội. 

16. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy <strong>học</strong> môn Toán ở trường 

phổ thông, NXB Đại <strong>học</strong> Sư phạm. 

17. Bùi Văn Nghị (2014), Giáo dục Toán <strong>học</strong> hướng vào <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> người <strong>học</strong>, Kỉ yếu 

hội thảo khoa <strong>học</strong> quốc gia: Nghiên cứu giáo dục toán <strong>học</strong> theo hướng phát triển 

<strong>năng</strong> <strong>lực</strong> người <strong>học</strong>, giai đoạn 2014 -2020, Nxb Đại <strong>học</strong> Sư phạm Hà Nội. 

18. G. Polya (2010), Giải một bài toán như thế nào?, NXB Giáo dục Việt Nam. 

19. G. Polya (2010), Sáng tạo toán <strong>học</strong>, NXB Giáo dục Việt Nam. 

20. Phạm Đức Quang (2016), “Cơ hội hình thành và phát triển một số <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> chung 

cốt lõi qua dạy <strong>học</strong> môn toán ở trường phổ thông Việt Nam”, Tạp chí Khoa <strong>học</strong> 

Giáo dục, Số (125), Tr 4-7 

21. Quyết định số 93/2002/QĐBGD-ĐT ngày 21 tháng 01 năm 2002 của Bộ trưởng 

Bộ Giáo dục và Đào tạo, ban hành chương trình THCS, 2002. 

22. Lê Ngọc Sơn (2008), Dạy <strong>học</strong> Toán ở tiểu <strong>học</strong> theo hướng dạy <strong>học</strong> phát hiện và 

<strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong>, Luận án Tiến sĩ Giáo dục <strong>học</strong>, Đại <strong>học</strong> Sư phạm Hà Nội. 

23. Phan Anh Tài (2014), Đánh giá <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ của HS trong dạy <strong>học</strong> toán lớp 11 

<strong>trung</strong> <strong>học</strong> phổ thông, Luận án tiến sĩ Giáo dục <strong>học</strong>, Trường Đại <strong>học</strong> Vinh, Vinh 

24. Nguyễn Thị Thanh Tâm (2016), <strong>Bồi</strong> <strong>dưỡng</strong> các thủ pháp hoạt động nhận thức theo 

tư tưởng sư phạm của G. Polya <strong>cho</strong> <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> trong dạy <strong>học</strong> môn Toán ở trường 

Trung <strong>học</strong> <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong>, Luận án Tiến sĩ Giáo dục <strong>học</strong>, Trường Đại <strong>học</strong> Vinh. 

25. Từ Đức Thảo (2012), <strong>Bồi</strong> <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát hiện và <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> <strong>vấn</strong> <strong>đề</strong> <strong>cho</strong> <strong>học</strong> 


<strong>sinh</strong> <strong>trung</strong> <strong>học</strong> phổ thông trong dạy <strong>học</strong> Hình <strong>học</strong>, Luận án Tiến sĩ Giáo dục <strong>học</strong>, 

Trường Đại <strong>học</strong> Vinh. 





93 











26. Lâm Quang Thiệp (2012), Đo lường và đánh giá hoạt động <strong>học</strong> tập trong nhà 

trường, Nxb Đại <strong>học</strong> Sư phạm. 

27. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc <strong>học</strong>, 

dạy, nghiên cứu toán <strong>học</strong>, tập 1, NXB Đại <strong>học</strong> Quốc gia, Hà Nội. 

28. Nguyễn Thị Hương Trang (2002), Rèn luyện <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> <strong>giải</strong> toán theo hướng phát 

hiện và GQVĐ một cách sáng tạo <strong>cho</strong> HS khá giỏi trường Trung <strong>học</strong> phổ thông, 

Luận án Tiến sĩ Giáo dục <strong>học</strong>, Viện Khoa <strong>học</strong> Giáo dục, Hà Nội. 

29. Nguyễn Anh Tuấn (2002), <strong>Bồi</strong> <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> phát hiện và GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS 

trong dạy <strong>học</strong> khái niệm toán <strong>học</strong> (thể hiện qua một số khái niệm mở đầu đại số 

ở THCS), Luận án tiến sĩ Giáo dục <strong>học</strong>, Viện Khoa <strong>học</strong> Giáo dục, Hà Nội. 

30. L. X. Vưgôtxki (1997), Tuyển tập tâm lí <strong>học</strong>, NXB Đại <strong>học</strong> Quốc gia Hà Nội. 

31. L.X. Xôlôvaytrich (Lê Khánh Trường dịch) (1975), Từ hứng thú đến tài <strong>năng</strong>, 

NXB 

Phụ nữ, Hà Nội. 






94 








PHỤ LỤC 




Phụ lục 1: Đề kiểm tra thực trạng lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước khi 

áp dụng thực nghiệm 

1. Mục đích: Kiểm tra chất lượng <strong>học</strong> tập của HS lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. 

Phân tích đánh giá khả <strong>năng</strong> tiếp thu kiến thức và thái độ <strong>học</strong> tập của HS. 

2. Đề kiểm tra số 1: Hình <strong>học</strong> lớp 9 (thời gian 45 phút) 

Câu 1 (2,0 điểm). 

Cho hình vẽ biết: 

Bán kính R = 15 cm. OI = 6cm. IA = IB 

Tính độ dài dây AB. Giải thích cụ thể 

Câu 2 (4,0 điểm). Cho hai đường tròn (O; R) và (O’;R’) tiếp xúc ngoài tại A. (R>R’). 

Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại 

<strong>trung</strong> điểm K của BC. 

a) Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao? 

b) Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O’). 

Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng 

Câu 3 (4,0 điểm). Cho đường tṛn (O, R) và đường thẳng d cố định không cắt đường 

tṛn. Từ một điểm A bất ḱ trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tṛn (B là tiếp 

điểm). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H, trên tia đối của tia HB lấy điểm 

C sao <strong>cho</strong> HC = HB. 

a) Chứng minh C thuộc đường tṛn (O, R) và AC là tiếp tuyến của đường tṛn (O, 

R). 

b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I, OI cắt BC tại K. 

Chứng minh OH.OA = OI.OK = R 2 . 













Đáp án và biểu điểm: 




Câu Nội dung Điểm 

1 

(2,0đ) 

2 

(4,0đ) 

Ta có: IA = IB OI AB 

Tam giác vuông OIA, theo đlí Pyta go ta có: 

OA 2 = OI 2 + IA 2 

IA = 

 

B 

OA 

AB = 2AI = 24 

(cm) 

a) Tứ giác BDCE có BK = KC; DK = KE 

nên là hình bình hành 

Lại có BC 

DE nên là hình thoi (Dấu hiệu nhận biết) 

1 

0 

b) AIC có O’I = AC nên AIC 90 hay AI IC. 

2 

Tương tự có AD 

suy ra BD//IC 

OI 

15 6 12 

2 2 2 2 

 

O 

K 

E 

BD 

A 

Lại có BD // EC ( t/c hình thoi) 

Suy ra E, I, C thẳng hàng( Ơclit) 

 

D 

I 


O' 

C 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

1,0 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 















3 

(4,0đ) 

I 

A 

a) +) Chứng minh BHO = CHO OB = OC 

 

OC = R 

C thuộc (O, R). 

+) Chứng minh ABO = ACO ABO ACO 

Mà AB là tiếp tuyến của (O, R) nên AB BO 

0 0 

ABO 90 ACO 90 AC CO 

 

AC là tiếp tuyến của (O, R) 

b) Chứng minh 

OHK OH OK 

OIA OH. OA OI. 

OK 

OI 

OA 

 

ABO 

vuông tại B có BH vuông góc với AO 

Lưu ý : Mọi cách <strong>giải</strong> khác đúng, <strong>đề</strong>u <strong>cho</strong> điểm tối đa. 

 

B 

BO OH. OA OH. 

OA R 

OH. OA OI. 

OK R 

K 

H 

C 

O 

2 2 

2 


0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

1,0đ 















Phụ lục 2 

Giáo án tự chọn Hình <strong>học</strong> 9 (3 tiết) 

BỔ SUNG HÌNH PHỤ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN 

I. Mục tiêu: 

đường tròn. 

1. Kiến thức: Giúp <strong>học</strong> <strong>sinh</strong> biết bổ sung yếu tố phụ để <strong>giải</strong> các bài toán về 

2. Kĩ <strong>năng</strong>: 

- HS biết phân tích để tìm ra <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> bổ sung hình phụ trong <strong>giải</strong> toán về đường 

tròn. Từ đó, hình thành, khắc sâu các biện pháp bổ sung hình phụ dựa vào các đối tượng 

có trong hình vẽ (Chẳng hạn: Hình phụ là tiếp tuyến chung khi có hai đường tròn tiếp 

xúc; Hình phụ là đường nối tâm với <strong>trung</strong> điểm của dây khi có <strong>trung</strong> điểm của một 

dây…); biện pháp bổ sung hình phụ nhờ biến đổi tương đương kết luận;… 

- HS bước đầu biết vận dụng các biện pháp bổ sung yếu tố phụ và phối hợp các 

biện pháp, đặc biệt là biện pháp phân tích- tổng hợp để <strong>giải</strong> các bài toán về đường tròn 

nhờ vào bổ sung yếu tố phụ và khai thác, sáng tạo các bài toán mới. 

II. Chuẩn bị: 

1. Giáo viên: 

- Bài soạn: Giáo viên sử dụng kết hợp các biện pháp được nêu trong luận văn 

trong thiết kế bài giảng. 

- Máy chiếu, máy tính. 

- Phiếu <strong>học</strong> tập. 

2. Học <strong>sinh</strong>: 

- HS ôn lại các tính chất tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, tính chất 

đường nối tâm. 

- Bút dạ viết bảng, chia nhóm <strong>học</strong> tập. 
















III. Tiến trình DH 

1. Hệ thống lại các kiến thức về đường tròn 

Hoạt động 

của GV và HS 

GV: Yêu cầu HS 

nhắc lại các tính 

chất về tiếp 

tuyến, tính chất 

hai tiếp tuyến cắt 

nhau, tính chất 

đường nối tâm. 

Một số tính chất <strong>cơ</strong> bản 

Nội dung 

1) Tính chất của đường kính và dây, mối liên hệ giữa dây và 

khoảng cách từ tâm đến dây: 

- Trong các dây của đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất. 

- Đường kính đi qua <strong>trung</strong> điểm của một dây thì vuông góc với 

dây ấy. 

- Đường kính đi qua <strong>trung</strong> điểm của một dây (dây không qua 

tâm) thì vuông góc với dây ấy. 

- Hai dây bằng nhau thì cách <strong>đề</strong>u tâm và ngược lại, hai dây cách 

<strong>đề</strong>u tâm thì bằng nhau. 

- Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại, dây gần tâm hơn thì 

lớn hơn. 

2) Tính chất tiếp tuyến của đường tròn: 

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì 

vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. 

3) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của 

đường tròn cắt nha tại một điểm thì: 

- Điểm đó cách <strong>đề</strong>u hai tiếp điểm. 

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi 

hai tiếp tuyến. 

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi 

hai bán kính đi qua hai tiếp điểm. 

4) Tính chất đường nối tâm của hai đường tròn: 

Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn. 


2. Một số cách vẽ hình phụ <strong>giải</strong> các bài toán về đường tròn 















Hoạt động của GV và HS 

Nội dung 

1. Vẽ đoạn thẳng nối tâm với <strong>trung</strong> điểm của một dây trong các bài toán <strong>cho</strong> <strong>trung</strong> 

điểm của một dây; vẽ đường kính vuông góc với một dây trong các bài toán tính độ 

dài của một dây, so sánh độ dài của hai dây cung trong một đường tròn… 

- Giả thiết của bài toán là gì? (M nằm 

trong đường tròn tâm O, M không trùng 

với O) 

- Bài toán yêu cầu chứng minh cái gì? 

(trong tất cả những dây đi qua M thì dây 

vuông góc với OM là dây ngắn nhất). 

- Để chứng minh AB ngắn nhất ta làm thế 

nào? (qua M ta phải vẽ thêm dây CD khác 

AB và chứng minh CD > AB). 

GV có thể gợi ý để HS tìm được cách vẽ 

hình phụ dựa vào các câu hỏi sau: 

- Hãy trình bày cách so sánh hai dây của 

một đường tròn? (Trong hai dây của một 

đường tròn dây nào gần tâm hơn thì lớn 

hơn). 

- Hãy so sánh khoảng cách OH (từ tâm O 

đến CD) và đoạn OM? Vì sao? (OH < OM 

vì đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên. 

*Yêu cầu HS trình bày lời <strong>giải</strong> bài toán. 

*Yêu cầu HS kiểm tra lời <strong>giải</strong>, khai thác, 

phát triển BT 

- Phát biểu BT dưới dạng tìm tòi? 

- Giả thiết của BT là gì? BT yêu cầu 

chứng minh cái gì? 

Bài này câu a) khá đơn giản. Ở câu b) GV 

Ví dụ 1. Cho điểm M nằm trong đường 

C 

A 

tròn tâm O, M không 

trùng với O. Chứng 

minh rằng trong tất 

cả những dây đi qua 

M thì dây vuông góc 

với OM là dây ngắn nhất. (Bài 16 SGK 

toán 9 tập 1) 

và 

M 

H 

O 

B 

Lời <strong>giải</strong>: Gọi dây AB là dây đi qua M 

AB OM 

, CD là dây đi qua M và 

không trùng với dây AB. Ta phải chứng 

minh AB CD. 

Vẽ OH CD 

ta có 

OH OM 

(quan hệ giữa đường vuông 

góc và đường xiên) suy ra AB CD . 

Bài toán 1’. Cho điểm M nằm trong 

đường tròn tâm O, M không trùng với 

O. Tìm dây ngắn nhất (dài nhất) trong 

tất cả những dây đi qua M? 

D 

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) đường kính 

MN. Trên đường tròn lấy điểm P (P khác 


M và N), tia MP cắt tiếp tuyến kẻ từ N 

của đường tròn tại điểm Q. Gọi I là <strong>trung</strong> 















có thể đặt các câu hỏi phân tích đi lên để 

HS tìm tòi lời <strong>giải</strong>: 

- Để có (*) ta thường chứng minh 2 tam 

giác đồng dạng, hãy chỉ ra 2 tam giác nào 

có các cạnh liên quan? (MIN 

MOQ) 

- Để có MIN MOQ ta chỉ cần chứng 

minh điều gì? Q1 N1 

. 

- Để có Q1 N1 

ta chỉ cần chứng minh 

điều gì? (Tứ giác OIQN nội tiếp). 

- Tứ giác OIQN nội tiếp thì OIQ ? 

( OIQ 90 O . Hay ). 

Như vậy hình phụ cần bổ sung là đoạn OI. 

* Yêu cầu HS trình bày lời <strong>giải</strong> bài toán. 

* Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT 

điểm của MP. Chứng minh rằng: 

a) NMQ PNQ . 

b) MO. IN MI. 

OQ . (*) 

(trích <strong>đề</strong> thi tuyển <strong>sinh</strong> lớp 10 năm <strong>học</strong> 

2008-2009 tỉnh Hà Tĩnh) 

Lời <strong>giải</strong>: 

b) Nối O với I, 

ta 

có 

(đường kính đi 

qua <strong>trung</strong> điểm 

của một dây). Suy ra tứ giác OIQN nội 

tiếp. Do đó Q1 N1 

. Nên 

MIN 

Hay 

MOQ. Suy ra 

MO. IN MI. 

OQ (đpcm). 

Tương tự, ta nối O với I và phát biểu 

các bài toán mới, chẳng hạn: Chứng 

minh 

c) 

d) IN. ON IPOQ . . 

Như vậy, với các bài toán có <strong>cho</strong> các dây và so sánh hay tính độ dài các dây; 

<strong>cho</strong> <strong>trung</strong> điểm một dây của đường tròn… nên vẽ đường nối tâm với <strong>trung</strong> điểm của 

dây để vận dụng tính chất đường kính đi qua <strong>trung</strong> điểm của một dây vào <strong>giải</strong> bài 

toán. 

OI MP 

2. Vẽ đường kính của đường tròn với các bài toán có kết luận liên quan đến 

độ dài của bán kính đường tròn hay liên quan đến hai lần khoảng cách từ tâm đến 

<strong>trung</strong> điểm của một dây 

M 

I 

MN 

2 

O 

P 

2 MI. MQ; 

1 

1 

Q 

N 

OI MP 

MI MO 

. 

IN OQ 
















- Để chứng minh AH 2OM 

, gợi <strong>cho</strong> ta 

quan hệ giữa OM và AH như thế nào? 

(OM là đường <strong>trung</strong> bình của một tam 

giác có cạnh thứ ba là AH). 

- Muốn tạo ra tam giác có cạnh thứ ba là 

AH và đường <strong>trung</strong> bình là OM ta làm thế 

nào? (Đường kính đi qua A (vì O là tâm 

đường tròn nên gợi <strong>cho</strong> ta suy nghĩ đến 

đoạn thẳng nào nhận O làm <strong>trung</strong> điểm)). 

GV: Quan hệ đó là cở <strong>sở</strong> để giúp chúng 

ta vẽ thêm yếu tố phụ là đường kính qua 

A. 

Hãy tìm các cách vẽ hình phụ khác? 

GV: Đây là một tính chất “đẹp” của trực 

tâm tam giác, giúp <strong>giải</strong> <strong>quyết</strong> khá nhiều 

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi O 

là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực 

tâm của tam giác ABC. Vẽ OM vuông 

góc vuông BC (M khác B,C). Chứng 

minh rằng AH 2OM 

. 


B 

H 

// CD. 

A 

M 

O 

D 

Vẽ đường kính 

AOD. Khi đó tam 

giác ACD vuông tại 

C nên CD AC , lại 

có H là trực tâm nên 

BH 

AC suy ra BH 

Tương tự ta có CH // BD. Vậy BHCD 

là hình bình hành. Mà M là <strong>trung</strong> điểm 

của BC nên M cũng là <strong>trung</strong> điểm của HD 

AH 2OM 

. 

Các cách vẽ hình phụ khác: 

C2: Vẽ đường kính BOE, tứ giác AECH 

là hình bình hành nên AH = CE. 

Mà CE = 2OM suy ra đpcm 

C3: Vẽ ON vuông góc với AC, suy ra 

MN//AB, OM//AH, ON//BH nên các tam 

giác OMN và HIK đồng dạng với tỉ số 

1/2. Suy ra đpcm. 

Khai thác kết quả bài toán để <strong>giải</strong> một số 

bài toán khác, chẳng hạn: 

C 

Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đường 


tròn ngoại tiếp, H và G tương ứng là trực 

tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng 

 















bài toán. Chẳng hạn, bài toán đường 

thẳng Euler… 

Từ đẳng thức cần chứng minh 

AB BC CD AD 8R 2.4R 

2 2 2 2 2 2 

Ta thấy 

4R 

chính là giá trị bình phương 

của đường kính, từ đó gợi ngay <strong>cho</strong> ta vẽ 

đường kính của đường tròn, chẳng hạn vẽ 

đường kính AK. Vậy cần chứng tỏ 

. 

minh H, G, O thẳng hàng (đường thẳng 

Ơ-le) 

Ví dụ 4. Cho tứ 

giác ABCD thay 

đổi thỏa mãn 

và 

luôn nội tiếp 

trong một đường 

tròn (O; R) cố định. Chứng minh rằng 

Qua việc bổ sung hình phụ để <strong>giải</strong> các bài toán trên và một số bài toán tương 

tự HS có thể khái quát được TP và GV cần nhấn mạnh: nên bổ sung hình phụ là 

đường kính của đường tròn trong các bài toán mà kết luận có liên quan đến độ dài 

bán kính đường tròn hay các bài toán liên quan đến khoảng cách từ tâm đến hai lần 

khoảng cách từ tâm đến <strong>trung</strong> điểm của một dây. 

3. Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với nhau 

- Để chứng minh BAC 90 O ta chỉ 

cần chứng minh điều gì? ( ABC 

vuông tại A). 

- Muốn chứng minh ABC vuông tại 

A ta chỉ cần cứng minh điều gì? 

GV hướng dẫn thêm: Có những cách 

nào để chứng minh một tam giác là 

tam giác vuông? 

2 

AB BC CD AD 2AK 

2 2 2 2 2 

(Trung tuyến ứng với một cạnh bằng 

nửa cạnh ấy, tam giác có một cạnh là 

đường kính của đường tròn ngoại 

tiếp, hoặc có một góc bằng 90 0 ). 

- Đối với bài toán này ta nên lựa chọn 

Ví dụ 5. Cho hai đường tròn ( O; R) và (O ’ ; 

R ’ ) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp 

tuyến chung ngoài BC với B thuộc đường 

tròn (O) và C thuộc đường tròn (O ’ ). Chứng 

minh rằng 

BAC 90 O . 

Lời <strong>giải</strong>: Vẽ 

tiếp tuyến 

chung của hai 

đường tròn tại 

A cắt BC tại M. 

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có MA 

= MB; MA = MC. 

AC BD 

AB BC CD AD 8R 

O 

2 2 2 2 2 


B 

B 

A 

I 

C 

O 

M 

A 

K 

C 

Do đó AM là đường <strong>trung</strong> tuyến 

O' 

D 

và 















phương pháp nào? 

(Chứng minh 

ABC ACB 

90 O hoặc 

BAO CAO' 90 O ; Hay chứng minh 

<strong>trung</strong> tuyến ứng với cạnh BC bằng 

nửa cạnh BC). 

- Để chứng minh <strong>trung</strong> tuyến ứng với 

cạnh BC bằng nửa cạnh BC ta cần vẽ 

thêm yếu tố phụ nào? (Vẽ tiếp tuyến 

chung AM của hai đường tròn). 

- Để chứng minh BC//DE ta cần 

chứng tỏ điều gì? (Chứng minh góc 

đồng vị bằng nhau hoặc góc so le 

trong bằng nhau,…). 

- Chúng ta có thể chứng minh được 

hai góc nào bằng nhau? ( 

AED ACB ). 

AM BC 

2 

hay 

BAC 90 O . 

nên tam giác ABC vuông tại A 

Ví dụ 6. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; r) 

(R > r) tiếp xúc trong tại A. 

Các dây AB, AC 

của đường tròn 

(O) cắt đường 

tròn (O’) tại các 

điểm thứ hai lần 

lượt tại D và E. 

A 

x 

x' 

Chứng minh rằng BC // DE. 

Sau khi HS vẽ tiếp tuyến chung tại A và thể 

hiện như hình vẽ thì bài toán dễ dàng được 

chứng minh. 

GV: Với các bài toán có <strong>cho</strong> hai đường tròn tiếp xúc, vẽ tiếp tuyến chung của hai 

đường tròn làm xuất hiện góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và nhờ mối liên hệ giữa 

góc nội tiếp và góc tạo bởi tai tiếp tuyến và dây sẽ giúp ta <strong>giải</strong> được bài toán (tiếp 

tuyến chung cũng là yếu tố liên kết hai đường tròn với nhau). 

4. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (song song với một đoạn thẳng) khi cần chứng 

minh đường kính vuông góc với một đoạn thẳng đó 


Ví dụ 7. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp 

đường tròn (O; R). Hai đường cao BD và CE. 

Chứng minh OA 

 

DE. 

O' 

E 

D 

O 

C 

B 















GV yêu cầu HS tự mình tìm ra <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> 

để vẽ yếu tố phụ. Nếu HS vẫn chưa 

tìm ra thì GV có thể gợi ý: 

GV: Trong đường tròn có yếu tố nào 

sẽ vuông góc với bán kính? 

HS: Tiếp tuyến sẽ vuông góc với 

bán kính tại tiếp điểm. 

GV: Điều đó chính là <strong>cơ</strong> <strong>sở</strong> để giúp 

chúng ta tìm ra yếu tố phụ cần vẽ. 

GV: Để c/m MAE DAB ta có thể 

c/m trực tiếp không ? Nếu không thì 

ta chứng minh như thế nào? 

HS: Chứng minh hai góc cùng bằng 

góc thứ ba. 

GV: MAE bằng những góc nào? 

Nếu HS không tự mình nghĩ ra thì 

GV có thể gợi ý : 

GV: Ta có MA là 1 tiếp tuyến, E 

thuộc MO, điều đó giúp ta nghĩ tới 

yếu tố nào có vai trò tương tự như 

Lời <strong>giải</strong>: Vẽ tiếp tuyến xy của đường tròn (O) 

tại A, ta có OA xy. (1) 

yAC 

ABC ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia 

tiếp tuyến với dây cung cùng chắn cung AC 

của đường tròn) 

Lại có 

BDC BEC 

90 O 

nên BCDE là tứ giác nội tiếp, <strong>cho</strong> ta 

ABC ADE 

Nên yAC ADE xy // DE (2). Từ (1) và (2) 

suy ra OA DE. 

Ví dụ 8. Cho đường tròn (O) đường kính AB. 

Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy 

điểm M. Vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và 

D). Gọi E là giao điểm của BC và OM. 

Chứng minh : MAE DAB . 

Lời <strong>giải</strong> 

x 

B 

E 

Vẽ tiếp tuyến MN của đường tròn (O), (N 

thuộc (O)). Tứ giác AMNO có 

MAO MNO 90 90 180 

A 

O 

D 

O O O 


y 

C 















MA? 

HS: Tiếp tuyến thứ hai kẻ từ M. 

GV: Đó chính là yếu tố phụ mà 

chúng ta cần vẽ. 

GV hướng dẫn HS vận dụng thủ 

pháp tương tự trong việc tìm ra cở 

<strong>sở</strong> để vẽ yếu tố phụ. 

Do đó tứ giác AMNO nội tiếp NME NAO 

Mà NCE NAB (Hai góc nội tiếp cùng chắn 

cung BN). 

Do đó NME NCE , suy ra tứ giác MNEC 

nội tiếpDCB MNE 

Xét MNE và MAE có: 

MN=MA; NME AME (tính chất hai tiếp 

tuyến cắt nhau); ME chung. 

MAE 

MNE (c.g.c) MAE MNE . 

Mặt khác : DCB DAB ( Hai góc nội tiếp 

cùng chắn cung BD). 

Vậy MAE DAB . 

GV nhấn mạnh: với các bài toán có kết luận đường kính (bán kính) vuông góc 

với một đường thẳng (đoạn thẳng) nào đó (không phải là dây của đường tròn) nên vẽ 

tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng đó để sử dụng tính chất tiếp 

tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm và tính chất một đường 

thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường 

thẳng kia. 

5. Vẽ dây chung và đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau 

E 

A 

M 

C 

N 

O 

Ví dụ 9. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau 


tại A và B . Qua A vẽ một cát tuyến EAF trong đó 

E thuộc đường tròn (O1) và F thuộc đường tròn 

D 

B 















GV: Thông thường điểm cố định 

phải nằm liên quan đến một yếu 

tố cố định nào đó. 

GV: Hãy phát hiện ra yếu tố cố 

định đó. 

HS: AB là dây chung cố định 

GV: AB cố định thì đường vuông 

góc với AB tại B có cố định 

không? 

GV: Từ đó ta nghĩ đến việc vẽ 

thêm các yếu tố phụ nào? 

HS: Dây AB và các đường kính 

AO1C, AO2D. 

GV: Hai đường tròn cắt nhau thì 

đường nối tâm có tính chất gì? 

HS: Đường nối tâm là <strong>trung</strong> trực 

của dây chung. 

GV: Điều này gợi <strong>cho</strong> chúng ta vẽ 

thêm yếu tố phụ nào? 

HS: Vẽ thêm dây chung AB để có 

O1O2 là <strong>trung</strong> trực của AB 

(O2). Chứng minh rằng đường <strong>trung</strong> trực của EF 

luôn đi qua một điểm cố định. 

Lời <strong>giải</strong>: Vẽ dây chung AB và các đường kính 

AO1C, AO2D. 

Ta có 

ABC ABD 90 O do đó ba điểm B, C, D 

thẳng hàng và CD cố định, 

AEC 90 O , AFD 90 O , suy ra 

EC// FD. 

Nên tứ giác 

CEFD là hình 

thang 

vuông, 

khi đó đường 

<strong>trung</strong> trực của 

đoạn EF đi qua <strong>trung</strong> điểm I của CD nên I là điểm 

cố định. 

Ví dụ 10. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt 

nhau tại A và B. Vẽ hình bình hành O1BO2C . 


AC // O1O2. 

Lời 

<strong>giải</strong>: 

Vì hai đường 

tròn (O1) và 

(O2) cắt nhau 

tại A và B 

nên 

O1O2 là <strong>trung</strong> trực của AB O O AB (1). 

Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình 

hành O1BO2C thì IB = IC 

E 

C 

1 2 

Vì I thuộc O1O2 nên IA = IB ; suy ra 

C 

I 

I 

A 

O 1 O 2 

B 

A 

O 1 

O 2 


B 

F 

D 















GV yêu cầu nhận ra đặc điểm của 

bài toán là hai đường tròn cắt 

nhau, từ đó các em biết cách vẽ 

thêm hình phụ là dây chung AE 

và đường nối tâm OD. 

IA =IB =IC hay tam giác BAC vuông tại A 

AC 

AB 

(2) . Từ (1) và (2) ta có: 

AC // O1O2. 

Ví dụ 11. Cho hình vuông ABCD. Vẽ đường tròn 

(O) đường kính AB và đường tròn (D; DC) chúng 

cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia BE cắt DC 

tại M. Chứng minh rằng M là <strong>trung</strong> điểm của DC. 

HD <strong>giải</strong>: 

Nối A với E, D với 

O. Ta có AEB 90 O 

Ta lại có: 

(tính chất dây 

chung) 

Suy ra BE // OD. Mặt khác OB//DM nên tứ giác 

OBMD là hình bình hành nên: 

Do đó M là <strong>trung</strong> điểm của CD. 

GV: Đối với hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm là đường <strong>trung</strong> trực của dây 

chung, nên để làm xuất hiện yếu tố liên quan đến cả hai đường tròn ta thường vẽ 

thêm yếu tố phụ đó là dây chung của hai đường tròn và đường nối tâm của hai 

đường tròn đó. Dây chung đóng vai trò là yếu tố <strong>trung</strong> gian kết nối giữa hai đường 

tròn 

6. Vẽ bán kính đi qua tiếp điểm khi có tiếp tuyến 

GV gợi ý để HS biết vẽ thêm 

bán kính đi qua tiếp điểm N thì 

câu a) trở nên rất dễ. Nếu HS 

thể được các góc bằng nhau 

như hình vẽ thì các em cũng dễ 

BE 

AE. 

OD AE 

Ví dụ 12. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính 

AB, CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BD lấy 

điểm N, CN cắt AB tại M. Đường thẳng vuông góc 

với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N 

ở điểm P. Chứng minh rằng: 

A 

D 

O 

M 

MD OB 

E 

B 

C 

1 1 

AB CD. 

2 2 
















dàng làm được câu b) 

a) OMNP là tứ giác nội tiếp. 

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. 


a) Ta có 

ONP 90 O (góc 

nội tiếp chắn nửa 

đường tròn), lại có 

OMP 90 O (giả 

thiết). Nên tứ giác 

OMNP nội tiếp đường tròn đường kính OP (1). 

b) Do OC // MP ( AB) 

C M1 

(so le trong) 

mà C N1 

(vì CON cân tại O) nên N1 M1, lại có 

O 

M (do (1)), Suy ra O1 N1 

CM // OP. 

1 1 

Mặt khác OC // MP nên tứ giác CMPO là hình bình 

hành. 

Qua một số bài toán khác có giả thiết là tiếp tuyến với một đường tròn, HS 

cũng thấy được hình phụ phải bổ sung cũng là đoạn thẳng nối tâm với tiếp điểm. Từ 

đó, họ cũng có thể hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ là đoạn thẳng nối 

tâm với tiếp điểm để <strong>giải</strong> các bài toán dạng này. 

8. Khi có hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau nên vẽ đoạn nối giao điểm 

với tâm, dây nối hai tiếp điểm. 

GV hướng dẫn, gợi ý qua các câu hỏi 

giúp HS biết vẽ đường phụ là đoạn nối 

giao điểm các tiếp tuyến với tâm SO và 

dây nối hai tiếp điểm AB từ đó dễ dàng 

<strong>giải</strong> được bài toán nhưu bên. 

Nếu HS không biết kẻ thêm một 

số đường <strong>cơ</strong> bản thì đây sẽ là 

Ví dụ 13. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn 

(O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến 

ACD với đường tròn (A, B, C, D (O)). 



a) SAIB là tứ giác nội tiếp. 

b) IS là tia phân giác của góc AIB. 


A 

O 

C 

D 

1 

M 

1 

1 

P 

N 

B 















bài toán khó nhưng nếu HS biết kẻ 

thêm như trên thì bài toán trở 

nên khá dễ dàng. 

GV: 

3. Củng cố: 

a) Do 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) I là <strong>trung</strong> điểm của dây 

CD OI CD hay 

SIO 90 O , lại có 

SAO SBO 

90 O (tính chất tiếp tuyến) suy 

ra A, I, B thuộc đường tròn đường kính SO, 

do đó tứ giác SAIO nội tiếp đường tròn 

đường kính SO (1) 

a) Từ (`1) I 1 

A 1 

, I2 B1 

mà B1 A1 

(= Sđ AB /2) nên I 1 

I 2 

. Vậy IS 

là tia phân giác của góc AIB. 

Ví dụ trên cũng chỉ ra rằng khi có tứ giác nội 

tiếp thì chúng ta nên vẽ hai đường chéo để 

vận dụng các cặp góc bằng nhau. 

- Để <strong>giải</strong> các bài toán về đường tròn, ta có những cách vẽ hình phụ nào? Các 


dạng toán có thể vận dụng những cách đó? 

S 

C 

A 

1 

1 

B 

1 

2 

I 

O 

D 












- Ngoài ra, trong các bài toán có đa giác (tam giác, tứ giác) nội tiếp thường vẽ 

thêm hình phụ là các đường tròn ngoại tiếp để sử dụng các tính chất liên quan. 




4. Hướng dẫn <strong>học</strong> ở nhà 

- - Ôn lại các thủ pháp vẽ yếu tố phụ để <strong>giải</strong> các bài toán về đường tròn. 

- - Làm các bài tập sau: 

Bài 1. Cho đường tròn (O;R), dây AB bất kỳ và tiếp tuyến Ax. Vẽ BH 

minh rằng tỉ số 

luôn không đổi. 

Bài 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC 

Ax. Chứng 

AB rồi từ C vẽ tiếp 

tuyến xy với nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (K) tiếp xúc với AB và tiếp xúc trong với 

đường tròn (O). Chứng minh rằng tâm K luôn cách <strong>đề</strong>u điểm O và đường thẳng xy. 

Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và điểm K bên trong đường tròn đó sao <strong>cho</strong> OK = r . 

Vẽ đường tròn (K; r); vẽ dây AB của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (K) tại 

M. Xác định vị trí của dây AB để tổng S = MA 2 +MB 2 có giá trị lớn nhất. Tính giá trị 

lớn nhất đó. 

2 

AB 

BH 

Bài 4. Cho đường tròn (O;1). Lấy điểm A cố định trên đường tròn. Vẽ tam giác MAB 

vuông tại M, AB là một dây của đường tròn (O). Tìm giá trị lớn nhất của OM. 

Bài 5. Cho hai đường tròn ( O; R) và (O ’ ; R ’ ) tiếp xúc ngoài tại A. Điểm B thuộc (O) 

và điểm C thuộc (O’) sao <strong>cho</strong> BAC . Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Xác định vị 

trí của B và C để AH lớn nhất. 


 

 












Phụ lục 5: ĐỀ KIỂM TRA SAU CÁC ĐỢT THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 




1. Mục đích: Kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của những biện pháp sư phạm 

đã được <strong>đề</strong> xuất nhằm bồi <strong>dưỡng</strong> <strong>năng</strong> <strong>lực</strong> GQVĐ <strong>cho</strong> HS THCS trong dạy <strong>học</strong> Hình 

<strong>học</strong> 9. Đánh giá kết quả của quá trình thực nghiệm sự phạm. 

2. Đề kiểm tra số 2: Hình <strong>học</strong> lớp 9 (thời gian 45 phút) 

Câu 1 (2,0 điểm). 

Trong hình bên, có một băng 

giấy hình chữ nhật che khuất một phần 

đường tròn (O). Cho biết AB = 1cm; BC 

= 4cm; MN = 2cm. Tính độ dài của đoạn 

thẳng NP (hình bên). 

Câu 2 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Hai 

đường cao của tam giác ABC là BD và CE. Chứng minh rằng: 

a) Tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn. 

b) OA ED. 

Câu 3 (4,0 điểm). Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. 

Vẽ các cát tuyến chung BAC, DAE (trong đó B, D( O); C, E ( O ') ). Chứng minh: 

a) ABD ADB AEC ACE 

b) BD // CE. 


M 

A 

B 

N 

H 

K 

O 

P 

C 

Q 

D 












Đáp án và biểu điểm: 




Câu Nội dung Điểm 

1 

(2,0đ) 

2 

(4,0đ) 

Vẽ OK NP, 

cắt BC tại H. 

Suy ra NK = KP. 

Ta có: NP // BC (các cạnh 

đối của hình chữ nhật). Nên 

OH BC, do đó BH = HC. 

Mà BC = 4cm nên BH = 

2cm. Suy ra AH = AB + BH = 3cm. 

Mặt khác: AMKH là hình chữ nhật (tứ giác có 4 góc vuông), 

nên AH = MK, do đó MK = 3cm. Suy ra NK = MK - MN = 1 

cm 

Do đó: NP = 2.NK = 2 (cm). 

a) Vì: 

EC AB( gt) BEC 90 

BD AC gt BDC 

0 

( ) 90 . 

Do đó BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC. 

b) Kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O) như hình vẽ: 

0 

Ta có: xAB ACB (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với 

dây của đường tròn (O) cùng chắn cung AB). 


Mà BEDC là tứ giác nội tiếp 

Suy ra ACB 

AED (cùng bù với góc BED). 

M 

A 

B 

N 

H 

K 

O 

P 

C 

Q 

D 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5đ 












Suy ra xAB AED nên Ax // ED. 1,0 đ 




3 

(4,0đ) 

0 

a) Ta có BAD ABD ADB 180 . 

Và 

EAC AEC ACE 

0 

180 . 

Mà BAD EAC ( đối đỉnh) 

Suy ra ABD ADB AEC ACE. 

b) Vẽ tiếp tuyến chung xAy của (O) và (O’) 

Xét (O) ta có: xAB ADB 

Xét (O’) ta có: yAC AEC. 

Mà xAB yAC (đối đỉnh) 

ABD AEC 

Do đó: BD // EC. 

Lưu ý : Mọi cách <strong>giải</strong> khác đúng, <strong>đề</strong>u <strong>cho</strong> điểm tối đa. 


0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ 

0,5 đ

Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học hình học 9 (2018)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?