Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh yếu kém qua dạy học giải phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông (2018)

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 

HOÀNG TRỌNG DUẨN 

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH YẾU KÉM 

QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÝ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

THÁI NGUYÊN - 2018 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial








ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 

HOÀNG TRỌNG DUẨN 


QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 

Ngành: LL&PP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN 

Mã số: 8.14. 01. 11 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trịnh Thị Phương Thảo 






THÁI NGUYÊN - 2018 











LỜI CAM ĐOAN 

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả 

nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. 

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 

Tác giả luận văn 

Hoàng Trọng Duẩn 






i 











Trang bìa phụ 

MỤC LỤC 

Lời cam đoan .................................................................................................................. i 

Mục lục ..........................................................................................................................ii 

Danh mục các từ viết tắt .............................................................................................. iii 

Danh mục các bảng ....................................................................................................... iv 

Danh mục biểu đồ ......................................................................................................... iv 

MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1 

1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................................... 1 

2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................. 2 

3. Giả thuyết khoa học ................................................................................................... 2 

4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 2 

5. Đối tượng nghiên cứu và giới hạn phạm vi nghiên cứu ............................................ 2 

6. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................... 2 

7. Cấu trúc của luận văn................................................................................................. 3 

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................................ 4 

1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán. ................................................................................ 4 

1.1.1. Kỹ năng ................................................................................................................ 4 

1.1.2. Kỹ năng giải toán ................................................................................................. 5 

1.1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán chủ đề phương trình lượng giác ............. 9 

1.1.3.1. Kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lương giác dựa vào mối quan hệ 

giữa các cung ................................................................................................................. 9 

1.1.3.2. Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại ................................. 12 

1.1.3.3. Kỹ năng sử dụng công thức hạ bậc ................................................................. 13 

1.1.3.4. Kỹ năng đưa về phương trình tích .................................................................. 15 

1.1.3.5. Kỹ năng kết luận nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản ...................... 18 

1.2. Học sinh yếu kém môn Toán. ............................................................................... 19 


1.2.1. Quan niệm về học sinh yếu kém môn Toán ...................................................... 19 

1.2.2. Đặc điểm của học sinh yếu kém Toán ............................................................... 19 

1.2.3 Phân loại học sinh yếu kém toán ........................................................................ 20 





ii 











1.3. Thực trạng việc bồi dưỡng kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lượng giác 

cho học sinh yếu kém lớp 11 trung học phổ thông. ..................................................... 20 

1.3.1. Mục đích điều tra ............................................................................................... 20 

1.3.2. Phương pháp và đối tượng điều tra .................................................................... 20 

1.3.3. Kết quả điều tra .................................................................................................. 21 

Kết luận chương 1 ........................................................................................................ 29 

Chương 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH YẾU 

KÉM THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

LỚP 11 ........................................................................................................................ 28 

2.1. Định hướng đề xuất biện pháp sư phạm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học 

sinh yếu kém trong dạy học chủ đề phương trình lượng giác lớp 11. ......................... 28 

2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề phương 

trình lượng giác cho học sinh yếu kém ........................................................................ 28 

2.2.1. Biện pháp 1: Bổ sung, củng cố kiến thức nền cho học sinh yếu kém. .............. 28 

2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng hệ thống bài tập vừa sức theo từng dạng và tổ chức 

cho học sinh rèn kỹ năng giải toán theo từng dạng. .................................................... 32 

2.2.3. Biện pháp 3: Quan tâm phát hiện, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho 

học sinh yếu kém. ........................................................................................................ 40 

2.2.4. Biện pháp 4: Tổ chức dạy phụ đạo, tổ chức học theo nhóm nhằm hình thành 

và nâng cao kĩ năng tự học cho học sinh yếu kém. ..................................................... 44 

2.2.5. Biện pháp 5: Khai thác khai thác mạng xã hội học tập Edmodo trong hỗ trợ 

học sinh yếu kém tự học ngoài giờ lên lớp. ................................................................. 47 

2.3. Thiết kế một số kế hoạch dạy học có sử dụng các biện pháp sư phạm đã đề 

xuất nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lượng giác cho học 

sinh yếu kém ................................................................................................................ 51 

2.3.1. Chuyên đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản .................................................. 51 

2.3.2. Chuyên đề 2: Một số phương trình lượng giác thường gặp. .............................. 57 



Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................. 64 

3.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................................... 64 





iii 











3.2 Nội dung thực nghiệm ........................................................................................... 64 

3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm.............................................................................. 64 

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ...................................................................................... 64 

3.3.2. Tiến hành thực nghiệm. ..................................................................................... 64 

3.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ..................................................................... 65 

3.4.1. Phương pháp quan sát ........................................................................................ 65 

3.4.2. Phương pháp thống kê toán học ........................................................................ 65 

3.4.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp ................................................................ 65 

3.5. Kết quả thực nghiệm ............................................................................................. 65 

3.5.1. Đánh giá định tính.............................................................................................. 65 

3.5.2. Đánh giá định lượng .......................................................................................... 66 

3.5.3. Một số nghiên cứu trường hợp .......................................................................... 71 

3.6. Theo dõi sự tiến bộ của một nhóm học sinh (Nghiên cứu trường hợp)................ 68 

3.6.1. Lựa chọn chọn mẫu ............................................................................................ 68 

3.6.2. Phân tích kết quả theo dõi .................................................................................. 69 


KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................. 72 

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................. 73 

PHỤ LỤC 






iv 








DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 




Viết tắt 

ĐTLG 

GV 

HS 

HSYK 

MTBT 

PTLG 

THPT 

TLTK 

Cụm từ viết tắt 

Đường tròn lượng giác 

Giáo viên 

Học sinh 

Học sinh yếu kém 

Máy tính bỏ túi 

Phương trình lượng giác 

Trung học phổ thông 

Tài liệu tham khảo 






iii 








DANH MỤC CÁC BẢNG 




Bảng 1.1. Quan điểm của giáo viên khi dạy học chủ đề giải phương trình lượng giác .... 21 

Bảng 1.2. Những vấn đề giáo viên quan tâm khi dạy học giải bài tập cho học sinh ... 21 

Bảng 1.3. Các sai lầm học sinh yếu kém thường mắc phải khi giải toán phương 

trình lượng giác ............................................................................................................ 22 

Bảng 1.4. Những nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong giải toán phương trình lượng 

giác của học sinh yếu kém ........................................................................................... 22 

Bảng 1.5. Các biện pháp đã đưa ra đối với học sinh yếu kém ..................................... 23 

Bảng 1.6. Danh sách các trường có học sinh đóng góp ý kiến về thực trạng .............. 24 

Bảng 1.7. Những khó khăn khi giải phương trình lượng giác ..................................... 25 

Bảng 1.8. Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải phương trình lượng giác ..... 25 

Bảng 3.1: Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ............. 66 

Bảng 3.2: Phân loại kết quả học tập ............................................................................ 66 

Bảng 3.3: Xử lý số liệu thống kê ................................................................................. 66 

Bảng 3.4: Kiểm tra tính hiệu quả của việc thực nghiệm sư phạm ............................... 67 

Bảng 3.5: Kiểm định phương sai ................................................................................. 67 

DANH MỤC BIỂU ĐỒ 

Biểu đồ 1.1. Hứng thú học tập của học sinh yếu kém trong chủ đề phương trình 

lượng giác ..................................................................................................................... 24 

Biểu đồ 1.2. Nhận định của học sinh yếu kém về chủ đề phương trình lượng giác ..... 26 






iv 











1. Lý do chọn đề tài 

MỞ ĐẦU 

Trong giai đoạn hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện 

đại hóa đất nước, để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc 

cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo. Cùng với việc thay đổi về nội 

dung cần có thay đổi căn bản về phương pháp dạy học. 

Trong Luật Giáo dục nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam có qui định: 

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động 

sáng tạo của học sinh (HS), phù hợp với đặc điểm của từng lớp, môn học, bồi dưỡng 

phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động 

đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”. 

Trong những năm gần đây phong trào đổi mới phương pháp dạy học được đẩy 

mạnh ở tất cả các cấp học và đã đạt những thành tựu đáng kể. Đối với môn Toán 

trong chương trình trung học phổ thông (THPT) việc đổi mới phương pháp dạy học đã 

và đang diễn ra rất mạnh mẽ, có nhiều kết quả nghiên cứu về việc áp dụng những mô 

hình và kỹ thuật dạy học như thảo luận nhóm, thiết kế bài giảng điện tử, ứng dụng phần 

mềm dạy học, dạy cách học tập phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá,... 

Toán học có vị trí quan trọng trong nhà trường và trong cuộc sống. Tất cả các 

môn khoa học khác nhau đều nghiên cứu dựa trên nền tảng của toán học. Những kiến 

thức, kĩ năng của môn toán giúp HS phát triển năng lực tư duy như phân tích, tổng hợp, 

trừu tượng hóa, khái quát hóa,… và rèn luyện những phẩm chất như tính cẩn thận, 

chính xác, kỉ luật, phê phán, sáng tạo… qua đó góp phần hình thành và phát triển nhân 

cách cho HS. Do vậy, phát triển năng lực giải toán cho HS là một việc làm rất cần thiết. 

Tuy nhiên trong thực tế dạy học có nhiều đối tượng HS. Với HS khá giỏi thì việc phát 

triển năng lực giải toán rất thuận lợi nhưng với học sinh yếu kém (HSYK) thì việc phát 

triển năng lực giải toán gặp rất nhiều khó khăn. Trong chương trình Đại số và Giải tích 

lớp 11 thì phương trình lượng giác (PTLG) là phần nội dung quan trọng nhưng không 

dễ đối với HS phổ thông đặc biệt là với HSYK. Vậy làm thế nào để HSYK có thể tiếp 


thu và thích học toán? Làm thế nào để giờ học toán thật sự có hiệu quả, đem lại niềm 

say mê, hứng thú cho HS, phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo và phát triển 

năng lực giải toán của tất cả các em HS nói chung và HSYK nói riêng? 





1 











Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học 

sinh yếu kém qua dạy học giải phương trình lượng giác ở trường trung học phổ 

thông” để nghiên cứu. 

2. Mục đích nghiên cứu 

Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của HSYK từ đó phân loại và đề xuất 

một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng kỹ năng giải toán cho HSYK lớp 11 trong 

dạy học PTLG góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường phổ thông. 

3. Giả thuyết khoa học 

Nếu xây dựng bài giảng sử dụng các biện pháp sư phạm, kết hợp với tổ chức 

ôn tập hệ thống lý thuyết một cách khoa học, xây dựng các dạng bài tập phần lượng 

giác lớp 11 phù hợp thì sẽ phát triển được kĩ năng giải toán cho các HSYK, góp phần 

nâng cao chất lượng học tập. 

4. Nhiệm vụ nghiên cứu 

- Nghiên cứu lý luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán. 

- Hệ thống lý thuyết và xây dựng các dạng bài tập PTLG nhằm phát triển kĩ 

năng giải toán cho HSYK. 

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục tình trạng yếu kém môn 

Toán trong dạy học PTLG lớp 11. 

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của 

những biện pháp sư phạm đề xuất. 

5. Đối tượng nghiên cứu và giới hạn phạm vi nghiên cứu 

5.1. Đối tượng nghiên cứu: Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HSYK thông qua 

dạy học chủ đề PTLG lớp 11. 

5.2. Phạm vi nghiên cứu: HSYK lớp 11 trên địa bàn tỉnh Bắc Giang 

6. Phương pháp nghiên cứu 

6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận. 

- Nghiên cứu lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán. 


- Nghiên cứu lí luận về vai trò của bài tập toán trong dạy học. 

- Nghiên cứu lí luận về nguyên nhân và các dấu hiệu nhận biết HSYK môn toán. 





2 











6.2. Phương pháp điều tra và khảo sát thực tiễn. 

- Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng HSYK ở trường phổ thông nhằm 

phát hiện vấn đề nghiên cứu. 

- Trao đổi với GV có nhiều kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng HSYK về nội 

dung, số lượng bài tập của mỗi bài học và cách hướng dẫn làm bài tập đó trong quá 

trình dạy học cho đối tượng HSYK. 

6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 

- Nghiên cứu trường hợp: Theo dõi, phân tích và đánh giá kỹ năng giải toán của một 

số HS tham gia thực nghiệm sư phạm để thấy rõ tác động của các tác động sư phạm 

đối với các đối tượng HS. 

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi 

và hiệu quả của đề tài. 

7. Cấu trúc của luận văn 

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung 

chính của luận văn được trình bày trong ba chương: 

Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn. 

Chương 2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh yếu kém thông qua dạy học 

chủ đề phương trình lượng giác lớp 11. 

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 






3 











1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán 

1.1.1. Kỹ năng 

Chương 1 

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 

1.1.1.1. Một số quan niệm về kỹ năng nói chung 

‣ Một số quan niệm về kỹ năng 

- Kỹ năng có thể hiểu là khả năng vận dụng tri thức khoa học, những kiến thức 

được thu nhận trong một lĩnh vực nào đó vào thực tiễn. [1] 

- Theo tâm lý học “kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái 

niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự 

vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” 

- Các nhà giáo dục cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin kiến 

thức thuần túy và một phần là kỹ năng”. 

- Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt 

được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất 

định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp [3] 

‣ Theo Nguyễn Bá Kim [7], kỹ năng có các cấp độ sau: 

- Kỹ năng ghi nhớ và tái hiện thông tin (kỹ năng biết). 

- Kỹ năng giao tiếp sử dụng các thông tin đã có (kỹ năng thông hiểu). 

- Kỹ năng áp dụng các thông tin vào tình huống mới mà không cần sự gợi ý (kỹ 

năng vận dụng). 

- Kỹ năng chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau 

giữa chúng (kỹ năng phân tích). 

- Kỹ năng cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mẫu 

mới (kỹ năng tổng hợp). 

- Kỹ năng phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu nào đó 

(kỹ năng đánh giá). 

Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức 


đã học để được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng là 

khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở 

hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi. 





4 











1.1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng 

Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau: 

- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi vì, 

cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những 

điều kiện để triển khai cách thức đó. 

- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc 

tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức 

với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ 

tầm quan trọng của kỹ năng. 

- Kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động. 

1.1.1.3. Sự hình thành kỹ năng 

Sự hình thành các kỹ năng là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao 

tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu được từ đối 

tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động. 

Sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như là những sản phẩm của 

những tri thức ngày càng được đào sâu. Các kỹ năng được hình thành trên cơ sở lĩnh 

hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính khác nhau của đối tượng đang được 

nghiên cứu. Con đường chính của sự hình thành các kỹ năng đó là dạy học sinh nhìn 

thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng những khái niệm 

muôn hình, muôn vẻ diễn đạt các quan hệ đa dạng của đối tượng này trong khái niệm. 

Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kỹ năng cho học sinh bằng nhiều con 

đường khác nhau. Chẳng hạn: Con đường dạy học nêu vấn đề, con đường dạy học 

Algôrit hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy học sinh chính là hoạt 

động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Thông qua giải bài tập, thông 

qua nhiều hoạt động giáo dục khác… 

1.1.2. Kỹ năng giải toán 

1.1.2.1. Kỹ năng giải toán 

Bàn về kỹ năng giải toán, nhiều tác giả đã đưa ra quan điểm của mình. Có thể kể 


đến một số quan điểm chính như sau: 

- Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài 

tập toán (bằng suy luận, chứng minh). 





5 











- KN giải bài tập toán học (KN giải toán) là khả năng sử dụng những tri thức 

toán học đã học để giải những bài tập toán học [16]. 

- Theo [13] có nói: G.Polia khẳng định rằng: “Trong toán học, kĩ năng là khả 

năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các 

lời giải và chứng minh nhận được”. 

Chúng tôi thống nhất với các quan niệm trên đó là: Kỹ năng giải toán là khả 

năng vận dụng các tri thức khoa học để giải các bài toán cụ thể. 

Trong các nghiên cứu về kỹ năng giải toán, các tác giả đều thống nhất quan điểm 

chung: Trong toán học việc hình thành và phát triển kỹ năng giải toán là vấn đề cơ bản 

và quan trọng. Trong cuốn “Sáng tạo toán học” của G.Polya có viết: “Kĩ năng trong 

toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.[13]. 

KN giải bài tập toán học bao hàm một hệ thống các KN: KN giải bài tập vận 

dụng lý thuyết; KN tính toán; KN thực hành và các phép biến đổi. Các KN này nằm 

trong một thể thống nhất, trong cùng một hệ thống. Các KN đều có mối liên hệ chặt 

chẽ, hỗ trợ lẫn nhau; KN này là cơ sở hình thành KN kia và ngược lại; việc hình 

thành KN sau lại củng cố rèn luyện KN trước đó. 

Ví dụ 1.1: Giải phương trình 

Nhiều học sinh giải như sau: 

 

6 

 

x 

k2 

6 

5 

x k2 

6 

1 

sin x 1 

2 

 

1 sin x 

k 

 

Như vậy HS đã hiểu sai bản chất một cung đặc biệt và giá trị sin của một cung 

đặc biệt 1 

. 

2 6 

Để giải quyết bài toán này yêu cầu các em phải có KN vận dụng lý thuyết để 

phân biệt một cung đặc biệt và giá trị lượng giác của một số cung đặc biệt. 


Như vậy thầy giáo có thể nhấn mạnh lại bảng lượng giác của một số cung đặc 

biệt hoặc hướng dẫn HS sử dụng MTBT giải. 





6 











1.1.2.2. Phân loại kỹ năng giải toán. 

a) Có nhiều cách phân loại kỹ năng giải toán. Trong luận văn, chúng tôi chia kỹ 

năng giải toán thành hai loại, tương ứng với hai loại bài tập toán học: KN giải bài tập 

toán học cơ bản và KN giải bài tập toán tổng hợp. 

‣ KN giải bài tập toán học cơ bản 

KN giải bài tập toán học cơ bản có thể hiểu là kỹ năng vận dụng tri thức vào 

hoạt động giải các bài toán cơ bản, đã có sẵn các dạng, có sẵn phương pháp giải. HS 

chỉ cần áp dụng chính xác các định nghĩa, định lý, tính chất... vào giải quyết các dạng 

bài toán cơ bản đó. 

Ví dụ 1.2. Giải phương trình 2cos x 3 0 

Đây là bài toán dạng cơ bản, đã có sẵn dạng và công thức nghiệm, HS chỉ cần 

có KN nhận dạng bài toán và KN đọc nghiệm của PTLG cơ bản là có thể làm được. 

Cụ thể HS có thể biến đổi như sau: 

 

x k2 

3 

6 

2cos x 3 0 cos x cos x cos 

k 

 

2 6 

x k2 

6 

 

 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x 

k 2 

; 2 

6 

6 

‣ KN giải bài tập toán tổng hợp 

x k k 

 

KN giải bài tập toán tổng hợp được hiểu là kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt 

động giải các bài toán tổng hợp. Lúc này vấn đề then chốt là HS cần có khả năng lựa 

chọn các phương pháp giải và các kỹ thuật giải khi thực hiện khi giải quyết vấn đề. 

Ví dụ 1.3. Giải phương trình 

2 

cot x tan x 4sin 2x 

1 

sin 2x 

Với bài toán này, HS cần biết quan sát, lựa chọn các cách biến đổi để đưa (1) 

về PTLG dạng cơ bản. Chẳng hạn như HS cần phải có KN tìm điều kiện xác định của 

phương trình, kỹ năng sử dụng các công thức lượng giác... 


sin x 0 

 

 

 

sin 2x 

0 

k 

2 

Điều kiện: cos x 0 sin 2x 0 x k 

* 

 

 

 





7 











Ta có: 

cos x sin x 

2 

1 4sin 2x 

 

sin x cos x sin 2x 

2 2 

cos x 

sin x 

2 

4sin 2x 

 

sin xcos x sin 2x 

2cos 2x 

2 

4sin 2x 

 

sin 2x 

sin 2x 

 

2 

2cos2x 

4sin 2x 

2 

 

2 

cos2x 

2sin 2x 

1 0 

 

 

2 

cos2x 

2 1 cos 2x 

1 0 

 

2 

2cos 2x 

cos 2x 

1 0 ** 

 

 

 

Sau khi đưa được phương trình (1) về phương trình (**) tức là sử dụng các 

phép biến đổi để đưa phương trình ban đầu về PTLG có 1 ẩn duy nhất. Trong bài toán 

này HS còn cần có KN đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn phụ, từ đó giải và kết luận 

được đúng nghiệm của phương trình đã cho 

Đặt 

t cos2x, điều kiện: t 1 

Khi đó phương trình ** trở thành: 

t 

1 

 

 

1 

t 

2 

 

t/ 

m 

 

Với t 1 cos2x 1 2x k2 

2 

2t 

t1 

0 

x k 

k 

(không thỏa mãn điều kiện 

Với 

1 1 2 

t cos 2x cos 2x 

cos 

2 2 3 

2 

 

2x k2 

x k 

3 

3 

 

k 

 

2 

 

2x k2 

x k 

 

3 

3 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: 

 

x k 

; x 

3 

 

k 

k 

3 

* ). 

( thỏa mãn điều kiện 


* ). 





8 











b) Có thể chia KN giải toán theo ba mức độ khác nhau: 

+ Biết làm: Nắm được quy trình giải một bài tập toán học cơ bản nào đó tương 

tự như mẫu nhưng chưa nhanh. 

+ Làm thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài mẫu. 

+ Làm một cách mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được những cách giải 

ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu dó biết vận dụng vốn kiến thức, KN đã học 

không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả những bài tập toán học mới. 

Trong luận văn này, với đối tượng nghiên cứu là HSYK, chúng tôi xác định 

KN giải toán theo ba mức độ: Chưa có kỹ năng, kỹ năng yếu và kỹ năng cơ bản. 

1.1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán chủ đề phương trình lượng giác 

1.1.3.1. Kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lương giác dựa vào mối quan hệ giữa 

các cung 

Trong khi giải PTLG, thì việc xem xét mối quan hệ giữa các cung là việc làm 

hết sức cần thiết, từ đó kết hợp với các công thức lượng giác để đưa về PTLG quen 

thuộc là một vấn đề then chốt. HS sẽ cần sử dụng đến kỹ năng này khi gặp những bài 

toán có nhiều cung khác nhau trong một phương trình. Muốn giải được các phương 

trình dạng đó, bắt buộc HS cần tìm cách đưa các phương trình về cùng một cung. 

Kỹ năng giải toán chủ đề PTLG dựa vào mối quan hệ giữa các cung có thể 

được nhận biết bởi các biểu hiện sau: 

- Nhớ được các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. 

- Có khả năng quan sát, nhận biết những góc có thể “đưa về” cùng 1 góc bằng 

cách sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi. 

Dựa vào biểu hiện có thể chia kỹ năng này theo các cấp độ sau 

Cấp độ 

Chưa có kỹ năng 

Kỹ năng yếu 

Kỹ năng cơ bản 

Biểu hiện 

Không nhìn ra các góc, các cung có liên quan đặc biệt; hoặc có 

thể đưa về cùng một góc thông qua các phép biến đổi 

Có thể nhận ra các góc, các cung có liên quan đặc biệt; hoặc có thể 

đưa về cùng một góc thông qua các phép biến đổi. Tuy nhiên còn 

thường xuyên nhầm lẫn trong quá trình biến đổi, tính toán. 

Có thể nhìn ra các góc, các cung có liên quan đặc biệt; hoặc có 


thể đưa về cùng một góc thông qua các phép biến đổi. Thực hiện 

biến đổi, tính toán đúng. 





9 











cung 

Ví dụ 1.1: Giải phương trình: 

1 1 7 

 

4sin x 

sin x 3 

 

4 

sin x 

 

 

2 

‣ Nhận xét: Với bài toán này, HS gặp phải khó khăn đó là sự xuất hiện của hai 

3 

x và 7 x 

3 

. Từ sự xuất hiện hai cung x và 7 x HS cần nghĩ đến 

2 4 

2 4 

việc đưa hai cung về một cung x bằng cách sử dụng công thức cộng hoặc công thức 

về cung góc có liên quan đặc biệt. Ta có cách biến đổi sau: 

Cách 1: Sử dụng công thức cộng. 

Ta có: 

3 3 3 

sinx sin x.cos cos x.sin cos x 

2 2 2 

7 7 7 

sin 

x sin cos x sin xcos 

4 4 4 

2 2 2 

cos x sin x sin x cos x 

2 2 2 

+ Cách 2: Sử dụng công thức cung góc có liên quan đặc biệt. 

Ta có: 

Hoặc: 

3 

3 

 

sin x sin x x 2 

cos x 

2 2 

3 

sin x sin x x 2 

sin x x cos x 

2 

 

2 

 

2 

7 2 

sin x sin x 2 

x sin x sin x cos x 

4 

 

4 

 

 

4 2 

Từ đó HS có thể tiếp tục giải phương trình trên. 


Phân tích và trình bày lời giải: 

6 2 

3cos4x cos x 2cos x 3 0 

‣ Nhận xét 1: Trong phương trình này xuất hiện cung 4x và cung x . Ta có thể 

nghĩ đến việc đưa 4x về cung x bằng công thức nhân đôi, cụ thể như sau: 

2 


2 2 4 2 

cos4x 2cos 2x 1 2 2cos x 1 8cos x 8cos x 1 

Từ đó ta có cách giải sau: 

 

 





10 











Cách 1: 

6 2 


 

 

 

4 2 6 2 

3 8cos x 8cos x 1 8cos x 2cos x 3 0 

 

Đặt 

6 4 2 

4cos x 12cos x 11cos x 3 0 

t x t 

Khi đó ta có: 

2 

cos ,0 1 

3 2 

4t 12t 11t 

3 0 

t 

1 

 

 

1 

t 

2 

 

t / m 

1) Với t 1 cos 2 x 1 sin 2 x 0 x k 

k 

 

1 1 

k 

2 2 2 2 

2) Với t cos 2 x cos2x 0 x k 

 

k 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x k ; x k 

 

2 2 

‣ Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cosx ta có thể nghĩ đến 

việc chuyển về cung 2x bằng công thức hạ bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x 

bằng công thức nhân đôi cụ thể như sau: 

2 1 

cos2x 

cos x 

2 

6 1 

cos 2x 

 

cos x 

2 

2 

cos4x2cos 2x 

1 

Từ đó ta có cách giải khác như sau: 

Cách 2: 

6 2 


3 

2 1cos2x 1cos2x 

32cos 2x 

1 

8 2 3 0 

2 2 

 

3 2 

cos 2x 3cos x 2cos2x 

0 

 

 

2 

cos2x cos 2x 3cos2x 

2 0 

 

 

 

 

 

 

cos2x 0 t / m 

k 

2x k 

x 

cos2x 1 t / m 2 

4 2 k 

 

 

 

 

cos2x 

2 loai 2x k2 

x k 

 


 

3 


k 

x ; x k 

4 2 

 

 

k 





11 











1.1.3.2. Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại 

Kỹ năng này thường được dùng để ghép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai 

cung bằng nhau bằng cách dùng công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng. 

Tuy nhiên chỉ nên áp dụng công thức tổng và tích khi các hệ số đằng trước sin và cos 

bằng nhau (hoặc bằng 1) mà không cần quan tâm tới cung của chúng. 

Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại có thể được nhận biết 

bởi các biểu hiện sau: 

- Nhớ được các công thức biến đổi tổng thành tích và ngược lại. 

- Có khả năng quan sát, nhận biết các yếu tố có thể kết hợp với nhau để sử 

dụng được công thức biến đổi tổng thành tích và ngược lại. 


Cấp độ 




Biểu hiện 

Không nhớ công thức, không nhận ra các yếu tố có thể kết hợp 

với nhau để sử dụng công thức. 

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố có thể kết hợp với nhau để sử 

dụng công thức tuy nhiên còn thường xuyên nhầm lẫn trong biến 

đổi, tính toán. 

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố có thể kết hợp với nhau để sử 

dụng công thức và biến đổi, tính toán đúng. 

Ví dụ 1.3. Giải phương trình: sin3x cos3x sin x cos x 2 cos2x 

‣ Nhận xét: Trong vế trái của phương trình xuất hiện các cặp 

sin3x sin x; cos3x cos x 

đồng thời3x x 4x, ta nghĩ đến công thức biến đổi 

tổng thành tích, cụ thể ta có: 

trình tích. 

cos3x cos x 2cos2x cos x 

sin3x sin x 2cos2x sin x 


Đến đây ta thấy xuất hiện nhân tử chung là cos2x, ta biến đổi đưa về phương 





12 











Giải: 

sin3x cos3x sin x cos x 2 cos2x 

 

sin3x sin x cos3x cos x 2 cos2x 

0 

2cos2xsin x 2cos2x cos x 2 cos2x 

0 

 

cos2 x 2sin x 2cos x 2 0 

cos2x 

0 

 

2sin x 2cos x 2 0 

 

Đến đây ta đã thấy phương trình ban đầu đã được đưa về các phương trình dạng 

cơ bản, HS hoàn toàn có thể giải được. 

Ví dụ 1.4. Giải phương trình: sin x sin2x sin3x sin4x sin5x sin6x 

0 

Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos ) 

ta cần để ý đến cung để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau. 

Ta có thể ghép cặp sin x sin6 x; sin 2x sin5 x; sin3x sin 4x 

7x 

5x 

sin xsin 6x 

2sin cos 

2 2 

7x 

3x 

sin 2xsin 5x 

2sin cos 

2 2 

7x 

x 

sin 3xsin 4x 

2sin cos 

2 2 

Đến đây xuất hiện nhân tử chung là 

Giải: 

cụ thể ta có: 

sin x sin2x sin3x sin4x sin5x sin6x 

0 

7x 2sin , ta biến đổi đưa về phương trình tích. 

2 

x x x x x x 

sin sin6 sin 2 sin5 sin3 sin 4 0 

7x 5x 7x 3x 7x x 

2sin cos 2sin cos 2sin cos 0 

2 2 2 2 2 2 

7x 5x 3x x 

2sin cos cos cos 

0 

2 2 2 2 

7x 

 

2sin 0 

2 

 

5x 3x x 

cos cos cos 0 * 

2 2 2 


 





13 











Ở phương trình * ta thấy xuất hiện 

5x 

3x 

cos 

cos 

2 2 

và 

5x 

3x 

 

 

2 2 x 

 

2 2 

 

 

ta sử 

dụng công thức biến đổi tổng thành tích, xuất hiện nhân tử chung cos 2 

x ta lại đưa về 

phương trình tích. Cụ thể ta biến đổi như sau: 

5x 3x x 

cos cos cos 0 

2 2 2 

5x 3x 5x 3x 

 

2cos 2 2 cos 2 2 x 

cos 0 

2 2 2 

x x 

2cos2x 

cos cos 0 

2 2 

x 

x 

cos 0 

cos (2cos2x 

1) 0 2 

2 

 

2cos2x 

1 0 

Đến đây ta biến đổi phương trình ban đầu về phương trình dạng cơ bản HS hoàn toàn 

có thể làm được. 

1.1.3.3. Kỹ năng sử dụng công thức hạ bậc 

Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử 

bậc cao, khó giải.Vì vậy HS cần có được kỹ năng này. HS cần nắm vững các công 

thức hạ bậc, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt. Tuỳ thuộc 

bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp. Chẳng hạn đối với phương 

trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông thường ta không đi hạ bậc tất 

cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc. Với các nhân tử bậc cao hơn 

3 ta phải hạ bậc dần dần. 

Kỹ năng sử dụng công thức hạ bậc có thể được nhận biết bởi các biểu hiện sau: 

- Nhớ được các công thức hạ bậc. 


- Có khả năng quan sát, nhận biết các yếu tố có sử dụng công thức hạ bậc. 






14 











Cấp độ 




Biểu hiện 

Không nhớ công thức, không nhận ra các yếu tố có thể sử dụng 

công thức để hạ bậc. 

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố có thể hạ bậc tuy nhiên còn 

thường xuyên nhầm lẫn trong biến đổi, tính toán. 

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố hạ bậc và biến đổi, tính toán 

đúng. 

Ví dụ 1.5. Giải phương trình: 

Giải: 

cos 

Đặt 

x 

x cos 3 

2 4 

2x 

t 

3 

cos 

x 

x cos 3 

2 4 

1 

cos2 4 4 

x cos x 1 cos2x 

2cos 

x 

2 3 3 

Khi đó: 1 cos3t 2cos2t 1 4cos 3 t 3cos t 22cos 2 t 1 

 

3 2 

4cos t 4cos t 3cos t 3 0 

2 

t t 

cos 1 4cos 3 0 

cos t 1 cos t 1 

t 

2k 

 

2 3 

1 

k 

 

cos t cos 2t 

t 

2k 

4 2 3 

2x 

3 

Với t 2k 2k x 3k 

k 

 

2x 

 

3k 

3 3 3 4 2 

Với t k2 

k2 

x k 

 

3k 

Vậy phương trình đã cho có ba họ nghiệm: x 3k 

x k 

4 2 

Ví dụ 1.6. Giải phương trình: 

Giải: 

2 2 2 

sin cos 2 cos 3 

x x x 

2 2 2 

sin cos 2 cos 3 

x x x 

 

; 






15 











1 cos2x 1 cos4x 1 

cos6x 

 

2 2 2 

1cos2x 1cos4x 1 

cos6x 

cos6x cos4x cos2x 1 

0 

 

2 

2cos5x cos x 2cos x 0 

 

2cos x cos5x cos x 0 

4cos xcos3x cos2x 

0 

 

 

x 

k 

cos x 0 2 

 

k 

 

 

cos2x 0 

 

x k 

 

4 2 

 

cos3x 

0 

 

k 

x 

2 2 

Vậy phương trình đã cho có ba họ nghiệm: 

 

x k 

; 

2 

 

k 

x ; x 

4 2 

 

k 

2 2 

1.1.3.4. Kỹ năng đưa về phương trình tích 

k 

Đây là loại phương trình phong phú và đa dạng nhất. Phương trình loại này không 

có phương pháp giải cụ thể, mà chủ yếu dựa vào kinh nghiệm khả năng biến đổi 

lượng giác của mỗi HS, mục đích cuối cùng là làm xuất hiện nhân tử chung. 

Kỹ năng đưa về phương trình tích có thể được nhận biết bởi các biểu hiện sau: 

2 

cos x và 

- Nhớ được các dạng nhân tử chung thường gặp ở PTLG 

Chẳng hạn như các biểu thức: 

2 

1 sin 2x cos x sin x 

cos2 cos sin 

2 2 

x x x 

cos x 

sin x 

1tan 

x 

cos x 

sin x 

cos x 

1cot 

x 

sin x 

Hoặc các biểu thức 

2 

sin x và 

2 

cot x có nhân tử chung là 1sin x1 

sin x 

Có nhân tử chung là: cos x 

sin x 


2 

tan x có nhân tử chung là 1cos x1 

cos x 





16 











- Có khả năng quan sát, nhận biết, phân tích để nhóm được nhân tử chung, đưa 

PTLG đã cho về phương trình tích. 


Cấp độ 




Biểu hiện 

Không nhớ các dạng nhân tử chung thường gặp; không tìm ra 

cách biến đổi. 

Nhận ra các dạng nhân tử chung thường gặp; tuy nhiên không 

tìm ra cách biến đổi để đưa về phương trình tích. 

Nhận ra các dạng nhân tử chung thường gặp; có thể tìm ra cách 

biến đổi để đưa về phương trình tích. 

Ví dụ 1.7. Giải phương trình: 3sin 2x cos2x 2cos x 1 

‣ Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy có sự xuất hiện của sin2x, 

2cosx và cos2x 1 ta nghĩ đến dùng công thức nhân đôi biến đổisin2x, 1 

cos2x 

để xuất hiện nhân tử chung 2cosx. 

Giải: 

3sin 2x cos2x 2cos x 1 

 

3 sin 2x cos 2x 1 2cos x 0 

 

2 

2 3sin xcos x 2cos x 2cos x 0 

 

2cos x 3sin x cos x 1 0 

cos x 0 

cos x 0 

 

 

 

3sin x cos x 1 

cos x cos 

 

 

3 

3 

 

x 

k2 

 

2 

 

x 

k2 

 

2 

2 

 

x k2 

k 

 

3 

x k2 

 

 

2 3 

x 

k2 

 

 

 


 





17 












 

x k2 

; 

2 

2 

x k2 

; x k2 

3 

k 

1.1.3.5. Kỹ năng kết luận nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản 

Mọi PTLG muốn giải được đều phải tìm cách đưa về các PTLG cơ bản. Khi đó kỹ 

năng kết luận nghiệm của PTLG cơ bản là yếu tố then chốt để đi được đến kết quả 

đúng của bài toán. Trên thực tế không ít HS mắc sai lầm ở kỹ năng này. 

Kỹ năng kết luận nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản có thể được nhận 

biết bởi các biểu hiện sau: 

- Nhớ được các dạng phương trình lượng giác cơ bản và công thức nghiệm. 

- Có khả năng “đọc” đúng nghiệm của các PTLG cụ thể 


Cấp độ 




Biểu hiện 

Không nhớ các dạng PTLG cơ bản; Không biết đọc nghiệm. 

Nhớ các dạng PTLG cơ bản; Tuy nhiên vẫn còn sai sót trong 

việc kết luận nghiệm của PTLG. 

Nhớ các dạng PTLG cơ bản; kết luận nghiệm đúng của PTLG. 

 

Ví dụ 1.8. Giải phương trình: 1 tan x 2 2 sin x 

* 

4 

 

2 

Giải: Điều kiện: cos x 0 x k 

k 

 

sin x 

cos x 

* 1 2sin x 

cos x 

x x x 

sin cos 2cos 1 0 

sin xcos x1 

 

2cos x 1 0 

 

x 

k 

4 

 

 

x k2 

k 

 

3 

 

 

 

x k2 

3 

 


 





18 











Đối chiếu với điều kiện ta được các nghiệm: 

 

 

x 

k ; x 

k 2 

; 2 

4 3 

3 

1.2. Học sinh yếu kém môn Toán. 

x k k 

 

1.2.1. Quan niệm về học sinh yếu kém môn Toán 

Theo Quy chế đánh giá, xếp loại HS trung học cơ sở và HS THPT, ban hành 

kèm theo Thông tư số 58/2011/TT-BGDĐT [6]: HS xếp loại học lực trung bình là 

những HS có điểm trung bình các môn học từ 5,0 trở lên, trong đó điểm trung bình 

của 1 trong 2 môn Toán, Ngữ văn từ 5,0 trở lên và không có môn học nào điểm trung 

bình dưới 3,5; HS loại yếu là HS có điểm trung bình các môn học từ 3,5 trở lên và 

không có môn học nào điểm trung bình dưới 2,0. 

Đối với môn Toán, có thể hiểu HSYK Toán là những HS có khả năng tiếp 

thu các tri thức toán học, nhưng với mức độ dưới mức trung bình so với các bạn 

cùng độ tuổi. Để nắm bắt những khái niệm toán, HS cần nhiều thời gian hơn, cần số 

lần lặp lại nhiều hơn; Nếu được phát hiện và hỗ trợ kịp thời của GV thì có thể thành 

công trong học tập môn toán. Ở HSYK Toán, các kỹ năng mang tính lập luận 

thường diễn ra chậm, làm cho việc học toán và nắm bắt, vận dụng những khái niệm 

mới trở nên khó khăn [12]. 

HS học yếu kém môn toán là những HS có kết quả về môn toán thường xuyên 

dưới mức trung bình. Những HS này thường không tự chủ được kiến thức của mình, 

chưa mạnh dạn phát biểu ý kiến và phát triển tư duy trong học tập nên tính sáng tạo 

trong học tập rất hạn chế. 

1.2.2. Đặc điểm của học sinh yếu kém Toán 

Qua tìm hiểu thực tế việc giảng dạy môn Toán ở THPT, thông qua hình thức dự 

giờ, trao đổi với đồng nghiệp, ... Chúng tôi nhận thấy sự yếu kém của HS trong quá 

trình học tập Toán được thể hiện như sau 

- Có nhiều lỗ hổng về kiến thức, kỹ năng, không bắt kịp chương trình học tập 

hiện tại, không có khả năng tự làm bài tập về nhà. 

- Kỹ năng thực hành, tính toán, biến đổi kém, hay sai sót nhầm lẫn: Đối với 

HSYK khi thực hiện tính toán một dãy các phép toán thường xuyên nhầm lẫn, kĩ 


năng tính rất chậm, còn lúng túng và khó khăn trong khi thực hiện biến đổi, phân tích. 





19 











- Sau nhiều lần gặp khó khăn hứng thú học tập đối với môn học giảm sút 

nghiêm trọng, khiến các em mất tự tin và rơi vào trạng thái căng thẳng trong các giờ 

học. Thái độ học tập thờ ơ, phương pháp học tập môn Toán chưa tốt. 

- Không có thói quen hoặc phương pháp tự học. 

Ví dụ 1.9. Quan sát biểu hiện của một số HS yếu kém Toán khi giải phương 

trình cos2x 

5sin x3 0 chúng tôi có thấy một số vấn đề sau 

- Không tự giác làm bài (không biết làm). 

- Không nhớ công thức, không biến đổi được về PTLG thường gặp. 

- Không nhớ cách giải phương trình bậc 2. 

Sau khi cung cấp cho HS các kiến thức cần có để áp dụng giải phương trình 

như công thức nhân đôi, các PTLG cơ bản... Các em bắt đầu biết cách làm tuy nhiên 

quá trình biến đổi còn chậm, và tính toán sai sót. 

1.2.3 Phân loại học sinh yếu kém toán 

Từ các đặc điểm của HSYK, có thể phân loại HSYK theo các dạng sau: 

- HS mất căn bản kiến thức chung, không có hoặc có khả năng tiếp thu 

bài rất thấp. 

đúng đắn. 

- Có ý thức học tập, có khả năng tiếp thu bài nhưng chậm so với HS bình thường. 

- Có kiến thức cơ bản, có ý thức học tập nhưng chưa có phương pháp học tập 

- HS không quan tâm, lơ là việc học, HS lười học. 

Căn cứ vào việc phân loại HSYK, GV có thể lựa chọn và sử dụng các biện pháp 

cụ thể để khuyến khích việc học tập của HS. 

1.3. Thực trạng việc bồi dưỡng kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lượng 

giác cho học sinh yếu kém lớp 11 trung học phổ thông. 

1.3.1. Mục đích điều tra 

Khi tiến hành điều tra chúng tôi đặt ra những mục tiêu chính sau đây: 

- Tìm hiểu những nguyên nhân HSYK Toán (tập trung khảo sát với đối tượng 

HS lớp 11) 

- Tìm hiểu những khó khăn HSYK gặp phải khi giải PTLG. 

- Tìm hiểu các biện pháp GV đã đưa ra đối với HSYK 

1.3.2. Phương pháp và đối tượng điều tra 


- Phương pháp: sử dụng phiếu hỏi, phỏng vấn xin ý kiến trực tiếp. 

- Đối tượng điều tra: 30 GV và 100 HS (có điểm trung bình môn toán nhỏ hơn 

5.0) ở các trường THPT Yên Dũng số 3, THPT Quang Trung trên địa bàn Huyện 





20 











Yên Dũng – Tỉnh Bắc Giang. 

- Cách thức tiến hành: Để tiến hành điều tra, chúng tôi đã gặp gỡ, trao đổi, xin ý 

kiến của GV Toán THPT và các em HS (Nội dung của các phiếu thăm dò ý kiến GV 

và HS chúng tôi để ở phụ lục số 1). 

1.3.3. Kết quả điều tra 

1.3.3.1. Nguyên nhân học sinh lớp 11 học yếu môn Toán 

Chúng tôi tiến hành phỏng vấn GV có nhiều năm giảng dạy về nguyên nhân HS 

lớp 11 học yếu môn Toán, kết quả như sau: 

Thứ nhất, do đặc trưng của môn toán lớp 11 với tính trừu tượng và logic cao. 

- Kiến thức sách giáo khoa nhiều, khó dậy, hệ thống bài tập nhiều dạng. 

- Thời gian giảng bài, làm bài ít. 

Thứ hai, do phương pháp và cách thức tổ chức dạy học của GV: 

- Việc dạy học phân hóa trên lớp học còn mang tính chất hình thức, dạy chưa sát 

đối tượng, chưa có biện pháp phù hợp trong công tác hỗ trợ HSYK (do thời 

lượng lên lớp hạn chế) 

- Một số GV chưa thực sự quan tâm, chú ý đến những HSYK. 

- Ngoài ra, một số GV chưa thực sự chịu khó, tâm huyết với nghề, không gây 

hứng thú cho HS, thiếu nghệ thuật cảm hóa HS yếu, kém, dần dần các em cam chịu 

chấp nhận sự yếu kém của mình mà không có ý chí vươn lên. 

Thứ ba, do thiếu sót trong bản thân HS: 

- Còn hạn chế trong tư duy toán học, thiếu tích cực. 

- HS chưa nhận thức đúng về mục đích học tập, thiếu tự giác trong học tập. 

- Nhiều em không biết cách tự học và chưa cố gắng tự học. Tất cả, phụ thuộc 

vào những cái có sẵn của sách vở, của thầy cô. 

- HS bị “hổng” kiến thức từ lớp dưới. HS không biết chọn các kiến thức tự học nhằm 

bù đắp những “lỗ hổng” này, điều này khiến các em thường cố gắng không liên tục. 

1.3.3.2. Thực trạng dạy chủ đề phương trình lượng giác cho học sinh yếu kém 

Chúng tôi tiến hành khảo sát (thông qua phiếu hỏi) đối với GV có nhiều năm 


giảng dạy về vấn đề dạy học chủ đề PTLG cho HSYK, kết quả như sau: 





21 











Bảng 1.1. Quan điểm của GV khi dạy học chủ đề giải PTLG 

STT Lựa chọn Số phiếu (%) 

1 Dễ dạy. 03 10% 

2 Bình thường. 10 33,3% 

3 Khó dạy. 17 56,7% 

Bảng 1.2. Những vấn đề GV quan tâm khi dạy học giải bài tập cho HS 

STT Vấn đề quan tâm khi giải một bài toán Số phiếu (%) 

1 Cách giải bài toán 24 80% 

2 Các dạng bài toán tương tự 23 76,6% 

3 Phát triển bài toán theo hướng mở rộng, nâng cao 15 50% 

4 Rút ra những kỹ năng cơ bản cho HS cần đạt được 11 36,66% 

5 Ý kiến khác 9 30% 

Từ bảng 1.1 và 1.2 chúng tôi có một số nhận xét như sau 

- Đa số GV đều cho rằng nội dung chủ đề giải PTLG là nội dung khó dậy 

(56,7%). Điều tra này là một thuận lợi vì từ nhận thức đúng GV sẽ quan tâm, đầu tư 

chu đáo cho bài lên lớp, cũng như cố gắng khắc phục khó khăn trong dạy học. 

- Đa số GV quan tâm đến vấn đề cách giải bài toán (80%) và đưa ra các dạng 

bài toán tương tự cho HS (76,6%). Một số GV không chỉ dừng lại ở mức cơ bản đã 

phát triển bài toán theo hướng mở rộng và nâng cao (50%). Việc rút ra những kiến 

thức cơ bản cho HS theo tôi đó là một công việc rất quan trọng, sẽ giúp các em khắc 

sâu kiến thức hơn nhưng chỉ có (36,66%) GV quan tâm. Ngoài ra, có (30%) GV khi 

đứng trước bài toán có những quan tâm khác. 

Chúng tôi cũng khảo sát ý kiến của GV về những sai lầm HSYK thường mắc 

trong chuyên đề giải PTLG và nguyên nhân dẫn đến các sai lầm đó. Kết quả như sau: 






22 











STT 

Bảng 1.3. Các sai lầm HSYK thường mắc phải khi giải toán PTLG 

Sai lầm mắc phải 

Số 

phiếu 

1 Sử dụng công thức một cách máy móc 27 90,0% 

2 Áp dụng sai công thức 25 83.3% 

3 

Không biến đổi được phương trình đã cho về dạng 

PTLG thường gặp 

21 

(%) 

70,0% 

4 Không biết kết hợp nghiệm 10 33,3% 

5 Sai sót về kiến thức toán học 15 50,0% 

6 Không nhớ arcsin , arccos ,arctan ,arccot là các hằng số 06 20,0% 

Bảng 1.4. Những nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong giải toán PTLG của HSYK 

STT 

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm 

Số 

phiếu 

1 Quên công thức 27 90,0% 

2 Áp dụng công thức một cách máy móc 25 83,3,0% 

3 Lập luận thiếu logic 21 70,0% 

4 

Không biết nhận dạng hoặc biến đổi về PTLG cơ bản, 

thường gặp 

20 

(%) 

66,67% 

5 Ý kiến khác 11 36,67% 

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS khi giải PTLG đó là do các em bị rỗng 

kiến thức, trong giờ học không tập trung nghe giảng. Nên đa số các em quên công 

thức (90,0%), áp dụng công thức một cách máy móc (83,3%), không biết nhận dạng 


hoặc biến đổi về PTLG cơ bản, thường gặp (66,67%). Một số HS nhận dạng được 

phương trình, các em sử dụng công thức để giải bài toán được nhưng các em lại lập 





23 











luận bài toán thiếu logic, thiếu chặt chẽ (70,0%) dẫn đến lời giải của em vẫn bị sai. 

Ngoài các nguyên nhân trên (36,67%) GV còn đưa ra những nguyên nhân khác: 

không biết kết hợp nghiệm; sai sót về kiến thức toán học; nhầm lẫn giữa các giá trị 

lượng giác; không nhớ arcsin, arccos, arctan, arccot là hằng số cụ thể... 

Phần lớn GV cho biết khó khăn lớn nhất khi dậy học giải PTLG là do thời 

lượng tiết học trên lớp còn hạn chế mà kiến thức truyền tải tương đối rộng, công 

thức lằng nhằng khó nhớ. Hơn nữa đây là phần kiến thức mới nên HS vẫn còn bỡ 

ngỡ nên việc truyền tải kiến thức cho các em còn gặp nhiều khó khăn. Hiện nay, 

việc học của HS hầu như chỉ dừng lại ở việc học bài cũ và làm bài tập về nhà trong 

sách giáo khoa, rất ít em tìm thêm những tài liệu nâng cao để đọc. 

Đối với thực trạng rèn luyện kỹ năng cho HSYK, kết quả thu được là: 

Bảng 1.5. Các biện pháp đã đưa ra đối với HSYK 

STT Các biện pháp Số phiếu (%) 

1 

Hướng dẫn tỉ mỉ, xuất phát từ những ví dụ đơn giản đến 

phức tạp 

24 

80,0 

2 Tư vấn và hướng dẫn HS cách học và tự học giải PTLG 12 40,0 

3 Động viên và tạo hứng thú cho HS 15 50,0 

4 Bài tập về nhà phù hợp với đối tượng. 21 70,0 

5 Theo dõi kịp thời để bổ trợ kiến thức còn rỗng về PTLG 14 46,67 

6 Hệ thống lại kiến thức cơ bản cho HS 18 60,0 

7 Hướng dẫn HS cách bấm MTBT để kiểm tra nghiệm 23 76,67 

8 Ý kiến khác 8 26,67 

Nhận xét: Dựa vào bảng số liệu trên, ta có thể nhận thấy: Để khắc phục tình 

trạng HS giải PTLG sai, đặc biệt với các em HSYK GV đã có những biện pháp cụ 


thể như sau: Hướng dẫn tỉ mỉ, xuất phát từ những ví dụ đơn giản đến phức tạp 

(80,0%), hướng dẫn HS cách bấm MTBT để kiểm tra nghiệm (76,67%). Bài tập về 





24 











nhà phù hợp với đối tượng (70,0%). Để giúp các em không bị hổng kiến thức, không 

bị lúng túng khi giải PTLG GV hệ thống lại kiến thức cơ bản cho HS (60,0%) cùng 

với đó GV động viên, khích lệ và tạo hứng thú cho HS (50,0%) giúp các em tập 

trung nghe giảng, cảm thấy việc giải PTLG trở nên dễ dàng hơn. Hơn nữa, GV còn 

theo dõi kịp thời để bổ trợ kiến thức còn rỗng về PTLG (40,0%) đặc biệt với các em 

HSYK. Ngoài ra, GV còn đưa ra những biện pháp khác (26,67%) để giúp HS có thể 

nhận dạng phương trình và đưa ra các hướng giải với từng bài cụ thể. 

1.3.3.2. Thực trạng học chủ đề phương trình lượng giác ở học sinh yếu kém 

Để thu thập thông tin về đặc điểm và các vấn đề gặp phải của HSYK trong học 

Toán nói chung và học chủ đề PTLG nói riêng, chúng tôi lựa chọn đối tượng HS là 

HS lớp 11 có điểm trung bình môn toán nhỏ hơn 5 để điều tra. 

Bảng 1.6. Danh sách các trường có HSYK đóng góp ý kiến về thực trạng 

Trường THPT Yên Dũng số 3 

Trường THPT Quang Trung 

Lớp 11A5 

Lớp 11A6 

Lớp 11A7 

Lớp 11A8 

Lớp 11A9 

Lớp 11A10 

Lớp 11A1 

Lớp 11A2 

Tổng số: 100 HS 

5 HS 

5 HS 

10 HS 

15 HS 

15 HS 

15 HS 

15 HS 

20 HS 

Chúng tôi đã tìm hiểu về thái độ học tập của HSYK khi học chủ đề PTLG. Kết 

quả thu được như sau: 






25 











Biểu đồ 1.1. Hứng thú học tập của HSYK trong chủ đề PTLG 

Biểu đồ 1.2. Nhận định của HSYK về chủ đề PTLG 

Dựa vào số liệu trên, ta có thể nhận thấy: Đa số HS đều không thích học chủ 

đề giải PTLG (56%). Các em đều cho rằng chủ đề giải PTLG là chủ đề khó hiểu. Nếu 

so sánh với các nội dung khác trong môn Toán, đa số HS hiện nay (78%) đều cảm 

thấy những bài toán thuộc chủ đề PTLG là chủ đề khó so với các nội dung khác của 

môn Toán. Các em thường lo sợ khi giải PTLG vì có nhiều công thức biến đổi lượng 

giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho. 

Chúng tôi cũng tìm hiểu những khó khăn mà em gặp phải khi học chủ đề giải 

PTLG, kết quả được thống kê trong bảng sau: 

Bảng 1.7. Những khó khăn khi giải PTLG 

STT Khó khăn khi giải PTLG Số lượng (%) 

1 Thi thoảng làm chính xác 15 15,0 

2 Không thể vận dụng lý thuyết vào bài tập 87 87,0 

3 Không biết cách trình bày 69 69,0 

4 Tính toán sai 40 40,0 






26 











Qua bảng số liệu trên, ta nhận thấy: Phần lớp HS hiện nay đều không thể vận 

dụng lý thuyết vào làm bài tập (87,0%), không biết cách trình bày một lời giải 

(69,0%). Nguyên nhân do các em bị hổng kiến thức, không tập trung nghe giảng.... 

Một phần các em giải được phương trình nhưng trong quá trình giải các em tính toán 

sai, không biết kết hợp nghiệm (65,0%). 

Có tới (89,56%) HS khi mắc phải những sai lầm về giải giải các dạng toán thuộc 

chủ đề lượng giác, được GV quan tâm, hướng dẫn tỉ mỉ, sửa chữa kịp thời. Nên các em 

không mắc phải những sai lầm mà GV đã nhắc. Xong vẫn còn (10,44%) HS vẫn mắc 

phải các sai lầm mà GV đã hệ thống lại. Nguyên nhân là do các em cảm thấy hời hợt 

với việc học. Một số nhỏ HS lên lớp cho có mặt, thái độ chống đối trong tiết học. 

Sau khi được GV cảnh báo, sửa chữa những sai lầm thường xuyên mắc phải 

thì có (76%) HS ghi nhớ, không bao giờ quên, (19%) HS thi thoảng tái phạm. Bên 

cạnh đó có (0,5%) HS luôn luôn tái phạm. 

Tìm hiểu về TLTK mà HS thường sử dụng khi học chủ đề giải PTLG, chúng 

tôi thu được bảng số liệu sau: 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

Sách giáo khoa, 

sách bài tập 

Tài liệu tham khảo 

Bài giảng của 

giáo viên 

Các chuyên đề Video các bài 

về phương giảng, chương 

trình lượng trình luyện thi 

giác internet 

Ý kiến khác 

Nhận xét: Khi học chủ đề giải PTLG, hầu hết HS hiện nay chỉ học theo sách giáo 

khoa, sách bài tập (98,80%), bài giảng của GV (96,34%). Kết quả trên, ta có thể nhận 

thấy rằng: HS hiện nay đều ỉ lại, trông chờ bài giảng của GV. Một phần ít HS ngoài 


những tài liệu trên đã tìm thêm các tài liệu chuyên đề về PTLG (25,45%). Hiện nay 

internet đã phát triển mạnh mẽ và xâm nhập vào cuộc sống của HS. Một số nhỏ HS 





27 











(10,15%) đã tham gia các video bài giảng, chương trình luyện thi trên internet do các 

Thầy/Cô giảng dậy trực tuyến. 

Qua điều tra thực tế cho thấy, nguyên nhân dẫn đến HS học kém môn Toán nói 

chung và chuyên đề PTLG nói riêng thì có tới (95,54%) HS hiện nay cho rằng 

nguyên nhân dẫn đến học yếu kém chủ đề PTLG là do các em bị rỗng kiến thức, 

không có kiến thức nền, mất căn bản kiến thức chung nên học không hiểu bài mới. 

(80,58%) HS còn lơ là việc học, chưa quan tâm, lười học, học chống đối. Bên cạnh 

đó có (72,86%) học sinh chưa có phương pháp học tập đúng đắn. 






28 











Kết luận chương 1 

Với nhiệm vụ tập trung nghiên cứu, xác định và làm sáng tỏ những căn cứ về 

mặt lý luận và thực tiễn cho việc nghiên cứu của đề tài, chương 1 bao hàm bao hàm 

các nội dung chính sau: 

(1). Hệ thống hóa một số lý luận cơ bản về kỹ năng, kỹ năng giải toán để từ đó 

tập trung vào phân tích việc bồi dưỡng kỹ năng giải toán cho HSYK. 

(2). Chỉ rõ các kỹ năng cơ bản cần có đối với HS trong chuyên đề giải PTLG lớp 11. 

(3). Đưa ra bức tranh mô tả một phần thực trạng vấn đề dạy và học chủ đề 

PTLG cho HSYK. 

Các kết quả và nhận định rút ra được từ việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn 

được trình bày trong chương 1 chính là cơ sở cả về mặt lý luận và thực tiễn cho việc 

triển khai các nghiên cứu của đề tài. 






29 











Chương 2 


THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11 

2.1. Định hướng đề xuất biện pháp sư phạm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 

yếu kém trong dạy học chủ đề phương trình lượng giác lớp 11. 

Căn cứ vào đặc điểm của HSYK, việc đề xuất các biện pháp sư phạm cần chú trọng 

đến những vấn đề sau 

Định hướng 1: Hệ thống các biện pháp phải gỡ bỏ được các “rào cản” của HSYK 

trong học toán đồng thời làm cho HS nắm vững tri thức và rèn luyện kĩ năng giải toán chủ 

đề PTLG. 

Định hướng 2: Hệ thống các biện pháp phải thể hiện tính khả thi, có thể thực hiện 

được trong quá trình dạy học. 

Định hướng 3: Trong quá trình thực hiện các biện pháp, cần quan tâm đúng 

mức tới việc tăng cường hoạt động cho người học, phát huy tối đa tính tích cực, độc 

lập cho người học. 

Định hướng 4: Trong quá trình thực hiện biện pháp cần chú trọng việc áp dụng một 

cách có hiệu quả phương pháp dạy học phân hóa trong các giờ lên lớp nhằm nâng cao hiệu 

suất giờ lên lớp, tăng thời gian dành cho đối tượng HSYK. 

2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề phương 

trình lượng giác cho học sinh yếu kém 

2.2.1. Biện pháp 1: Bổ sung, củng cố kiến thức nền cho học sinh yếu kém. 

Đối tượng HSYK môn Toán thường là những HS mất gốc, rỗng kiến thức, khả 

năng tiếp thu chậm, có kết quả học tập môn Toán thường xuyên dưới trung bình. Để 

việc học tập có hiệu quả đòi hỏi ở các em phải có tiền đề xuất phát đó là khối lượng kiến 

thức “nền” vững chắc. Kiến thức “nền” là những kiến thức liên quan trực tiếp đến bài 

học. Do bản thân các em có quá nhiều “lỗ hổng” về kiến thức và kĩ năng nên việc bổ 


sung kiến thức “nền” cần được tiến hành thông qua các hoạt động cụ thể. 

Qua nghiên cứu, theo chúng tôi có thể sử dụng một số hình thức giúp bổ sung 

kiến thức nền cho HSYK: 





30 











- Nhắc lại một số kiến thức đơn giản có liên quan để vận dụng hiệu quả trong bài 

học vào đầu các tiết dạy. 

- Nhắc lại bất kỳ phần kiến thức nào có liên quan mà HS quên và cho ghi lại, 

như: các hằng đẳng thức đáng nhớ, cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai... 

- Luôn yêu cầu HS học thuộc lý thuyết, có biện pháp kiểm tra phần lý thuyết của 

HS một cách thường xuyên. 

Ví dụ 2.1. Trong giờ dậy lý thuyết bài: “Một số PTLG thường gặp” mục I phần 

“Phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác”. GV tiến hành các hoạt động sau: 

Thời 

15’ 

gian 

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung 

(?) Yêu cầu HS nhắc lại 

dạng tổng quát của 

phương trình bậc nhất 

một ẩn? 


cách giải? 

Nếu ta thay t bởi một 

trong các hàm số lượng 

giác thì ta được phương 

trình bậc nhất đối với 

một hàm số lượng giác. 

GV yêu cầu HS đọc định 

nghĩa phương trình bậc 

nhất đối với một hàm số 

lượng giác. 


cách giải các PTLG cơ 

bản? 

(?) Giải các phương 

trình bậc nhất đối với 

một hàm số lượng giác 

đã nêu ở VD bằng cách 

đưa về PTLG cơ bản 

at b 

0, a, b ; a 0 

Chuyển b sang vế trái, rồi 

chia 2 vế của phương 

trình cho a thì ta tìm được 

b 

t 

a 

sin x 

x 

k2 

 

k 

 

x k2 

cos x 

x 

k2 

 

k 

 

x 

k2 

tan x 

x k 

k 

cot x 

x k 

k 

Trình bày lời giải 

 

 

 

 

 

 

Phương trình bậc nhất 

một ẩn t là phương trình 

có dạng: at b 

0, trong 

đó a, b ; a 0. 

at b 0 at b 

b 

t 

 

a 

Phương trình bậc nhất đối 

với một hàm số lượng 

giác có dạng: 

2sin x 1 0 

1 cos x 2 0 

2 

3 tan x 1 


1 

2cot x 

2 





31 











Ví dụ 2.2. Trong các giờ học, GV có thể giao nhiệm vụ ôn lại kiến thức cũ là 

01 nhiệm vụ cần thực hiện ở nhà cho HSYK bằng cách giao phiếu học tập cho HS. 

Chẳng hạn như trước khi học bài “Một số PTLG thường gặp” GV giao cho HS phiếu 

yêu cầu sau: 

theo ẩn t ? 

Câu 1: Em hãy định nghĩa và trình bày cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai 

Câu 2: Lấy 05 ví dụ và trình bày lời giải? 

Trong thời gian tiến hành kiểm tra bài cũ vào đầu tiết, GV có thể kiểm tra riêng 

các HSYK trong lớp các kiến thức đã được yêu cầu ôn lại thông qua 01 phiếu hỏi. 

Chẳng hạn như: 

Phiếu hỏi dành riêng 

Câu 1: Trình bày công thức nghiệm của PTLG cơ bản? 

....................................................................................... 

....................................................................................... 

....................................................................................... 

Câu 2: Cho phương trình: sin2x 1 

Nghiệm của phương trình là: 

A. xarcsin1 k2 

B. x90 k360 

C. 

x 

0 0 

0 0 

45 k180 

D. Đáp án khác 

Câu 3: Cho phương trình: 12cos2x 

0 


 

 

A. x k 

B. x k2 

3 

3 

C. 

 

x k 

D. 

3 

 

x k 

3 

Câu 4: Cho phương trình: tan2x 

tan5x 


k 

3 

k 

3 

A. x k B. x k 

 


k 

4 3 

k 

4 3 

C. x k D. x k 

 





32 











Ví dụ 2.3. Sau khi học xong bài “ Một số phương trình lượng giác thường gặp” 

GV có thể củng cố kiến thức cho HSYK thông qua phiếu hỏi. 


Phiếu hỏi dành riêng 

Câu 1: Định nghĩa phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một 

hàm số lượng giác? Nêu cách giải? Cho ví dụ? 

......................................................................................................... 

......................................................................................................... 

......................................................................................................... 

................................................................................................... 

Câu 2: Phương trình 

A. k2 B. 

2 

3cos x 2cos x5 0 có các nghiệm là: 

 

 

k 

C. k2 

D. k 

2 

2 

2 2 

Câu 3: Phương trình sin x ( 3 1)sin xcos x 3 cos x 0 có 

các nghiệm là: 

A. 

 

k 

B. 3 

k 

4 

4 

 

 

C. k 

D. k 

; k 

6 4 6 

Câu 4: Phương trình sin xcos x 1 có các nghiệm là: 

 

 

A. k2 

B. k2 , k2 

2 

2 

 

C. k2 D. k ; k2 

2 


 

4 

2 

tan x 2tan x 1 0 

có các nghiệm là: 

 

4 

A. x k 

k 

 

B. x k 

k 

 

 

3 

 

3 

C. x k 

k 

 

D. x k 

k 

 






33 











2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng hệ thống bài tập vừa sức theo từng dạng và tổ chức cho 

học sinh rèn kỹ năng giải toán theo từng dạng. 

Qua nghiên cứu thực tế cho thấy, phần lớn HS hiện nay đều không thể vận dụng 

lý thuyết vào làm bài tập (86,43%), không biết cách trình bày một lời giải (68,06%). 

Điều này dẫn đến tình trạng các em rất lười khâu tự học, tự làm bài tập ở nhà và bài tập, 

bài kiểm tra viết thường bị điểm thấp. Để hiểu một kiến thức, rèn luyện một kĩ năng nào 

đó, HSYK cần những bài tập cùng thể loại và mức độ với số lượng nhiều hơn so với các 

em khá giỏi và trung bình. Phần gia tăng này được thực hiện trong những tiết làm việc 

riêng với nhóm HSYK toán. 

Để khắc phục tình trạng trên, GV có thể xây dựng hệ thống bài tập vừa sức theo 

chủ đề. Trong đó chú trọng các vấn đề sau: 

- Xây dựng cách giải, cách trình bày hoàn chỉnh làm mẫu cho từng dạng bài tập 

để HS có cơ sở trình bài tương tự. 

- Mỗi dạng bài tập cần xây dựng một số bài tương tự và thay đổi dần, nâng dần 

các yêu cầu của bài tập lên để tập cho HS vận dụng kiến thức. 

- Cần phân bậc bài tập kỹ hơn so với trình độ chung, tức là khoảng cách giữa hai bậc 

liên tiếp không nên quá xa. 

Mỗi hệ thống bài tập vừa sức theo chủ đề cần có: 

- Phương pháp giải chung của dạng toán. 

- Một đến hai ví dụ giải mẫu chi tiết để HSYK có thể làm theo 

- Hệ thống bài tập tự luyện (sắp xếp theo thứ tự tăng dần) 

Ví dụ 2.4. Xây dựng hệ thống bài tập phương trình lượng giác cơ bản dạng sinx a 

(1) 

Phương pháp giải: 

a 

1 

TH1: Nếu phương trình (1) vô nghiệm 

a 

1 

TH2: Nếu 1 

a 1 


+ Nếu a là các số đặc biệt 0, 1, 1 , 2 , 

3 

2 2 2 

Thì tiến hành đổi a thành sin của góc tương ứng (Tra bảng giá trị lượng 

giác của các cung đặc biệt). 





34 











x 

k2 

(1) sinx sin 

k 

 

x 

k2 

+ Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có: 

1 

 

 

x arcsin a k2 

k 

 

x arcsin a k2 

Bài giải mẫu 

Bài 1: Giải phương trình 

Ta có 1 2 

 

1 

sin3x 

2 

là 01 số đặc biệt 

Tiến hành tra bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt ta có 

 

hay 

6 

Khi đó ta có: 

 

1 

sin 

 

6 2 

 

1 

 

sin3x sin3x 

sin 

2 6 

k2 

3x k2 

x 

 

 

6 

 

18 3 

k 

 

5 5 k2 

3x k2 

x 

6 

18 3 

 

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm 

Bài 2: Giải phương trình 

Ta có 2 3 

k2 5 k2 

x ; x k 

 

18 3 18 3 

2 

sin x 

3 

 

không có trong bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt 

2 

arcsin 2 

2 x 

k 

 

3 

sin x 

k 

3 

2 

x arcsin k2 

 

3 


Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm 

2 2 

x arcsin k2 ; x arcsin k2 

k 

 

3 3 

 

 

 

 





35 











Hệ thống bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau 

Loại 1: Áp dụng công thức nghiệm xác định đúng nghiệm của các PTLG sau 

 

1) sin x sin 12 

2) 

sin 

 

 

x k2 

12 

11 

x k2 

12 

Đs: 

k 

 

1 

2 

 

x 

k2 

6 

5 

x k2 

6 

x Đs: 

k 

 

3) sin 2x sin 3x 

 

 

4 

 

 

4) 

sin2 

 

x 

k2 

4 

3 

k2 

x 

20 5 

Đs: 

k 

 

x 18 k180 

 

x 

108 k180 

0 0 

0 

x sin36 Đs: k 

 

0 0 

Loại 2: Xác định góc (cung) α sao cho sin α bằng vế trái sau đó áp dụng công thức 

nghiệm để đọc nghiệm của phương trình 

1) 

1 

sin 2x 

 

3 

2 

2) sin3 1 

3) 

4) 

 

x 

k 

Đs: 

4 

k 

 

 

x k 

12 

k2 

6 3 

x Đs: x k 

 

2x 

 

sin 0 

3 3 

sin 2 

3 

2 

3k 

2 2 

Đs: x k 

 

 

x 

k 

6 

 

x 

k 

3 

x Đs: k 

 


o 

5) sin 2x 

20 

3 

2 

o 

x 40 k180 

 

o 

o 

x 

110 k180 

Đs: k 

 

o 





36 











6) 

3 

sin 3x 

 

4 

2 

1 

3 

7 

k2 

x 

 

36 3 

13 

k2 

x 

36 3 

Đs: 

k 

 

1 

x 

arcsin 2 k2 

3 

1 

x arcsin 2 k2 

 

3 

7) sin x 2 

(sử dụng MTBT) Đs: 

k 

 

8) 

1 1 

sin(4 ) 

2 3 

1 1 1 

x 

arcsin k 

x (sử dụng MTBT) Đs: 

8 4 3 2 

k 

1 1 1 

x arcsin k 

4 8 4 3 2 

Loại 3: Tìm cách biến đổi về loại 1 hoặc loại 2 sau đó giải PTLG 

1) 2sin 

x 1 

 

x 

k2 

6 

7 

x 

k2 

6 

Đs: 

k 

 

 

2) sin(3 x ) sin x 0 

3 

k 

x 

 

12 2 

2 

x k 

3 

Đs: 

k 

 

 

3) 2sin 4 x –10 

3 

4) 3 2sin x 0 

5) 

 

x 

k 

8 2 

7 

 

x k 

24 2 

Đs: 

k 

 

 

x 

k2 

3 

4 

x k2 

3 

Đs: 

k 

 

x 1 

sin 

5 2 

11 

x 

k10 

6 

29 

x k10 

6 

Đs: 

k 

 


. 





37 











Ví dụ 2.5. Xây dựng hệ thống bài tập phương trình bậc nhất đối với một hàm số 

lượng giác 

Phương pháp giải: 

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác gồm các dạng sau: 

1)a sin xb0 

2) a cos x b 

0 

3) a tan x b 

0 

4) a cot x b 

0 

* Các bước giải: 

Trong đó ab , là các hằng số a 0 

. 

Bước 1: Chuyển b sang về phải ta được: 

asin 

x b; acos 

x b ; atan 

x b; acot 

x b 

Bước 2: Chia cả 2 vế cho a ta được PTLG cơ bản: 


b 

b 

b 

b 

sin x ; cos x ; tan x ; cot x 

a a a a 

Bước 3: Giải PTLG cơ bản, ta tìm được x . 

Bài 1: Giải phương trình sau: 3cos x5 0 

Từ 3cos x5 0, chuyển vế ta có 

x 1 

 

3cos 5 

Chia hai vế của phương trình 

Vì 

1 cho 3, ta được 

5 

1 nên phương trình đã cho vô nghiệm. 

3 

Bài 2: Giải phương trình sau: 3 cot x 3 0 

Từ 3 cot x 3 0 , chuyển vế ta có 

x 2 

 

3cot 3 

Chia hai vế của phương trình 

Ta có 

3 là 01 số đặc biệt 

5 

cos x 

3 

2 cho 3 , ta được cot x 3 

Tiến hành tra bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt ta có 

 

 

hay cot 3 

6 6 

 

cot cot 6 6 

Khi đó ta có: x x k 

k 

 


Vậy phương trình đã cho có họ một nghiệm: x k 

k 

 

 

6 





38 












Loại 1: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 

x Đs: 

k 

 

1) sin 1 0 

2) 

3) 

4) 

5) 

2x 

 

3 

 

 

 

0 

sin 60 0 

1 

sin 4x 

 

3 

2 

1 

sinx 

 

4 2 

1 

cos 2 0 

2 

 

x 

k2 

6 

5 

x k2 

6 

k3 

2 2 

Đs: x k 

 

Đs: x k 

k 

 

 

x k2 

 

x 

k2 

Đs: 2 k 

 

 

x 

k2 

3 

 

x k2 

3 

x Đs: 

k 

 

x Đs: x k 

k 

 

6) 3tan 1 0 

7) 3 tan 3 0 

8) 3 tan 3 0 

9) 3 cot 1 0 

arctan 1 

3 

 

3 

x Đs: x k 

k 

 

10) 2cot 3 0 

 

3 

x Đs: x k 

k 

 

2 

3 

x Đs: x k 

k 

 

3 

2 

x Đs: x arccot k 

k 

 

x Đs: 

k 

 

11) 2cot 2 0 

3 

x 

k2 

4 

3 

x k2 

4 






39 











Loại 2: Sử dụng công thức lượng giác biến đổi phương trình đã cho về phương trình 

bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 

sin 2 35 0 

2 

1) 

2) 

x Đs: 

k 

0 3 

1 

sin 2x 

0 

3 

2 

cot 4 20 0 

3 

3) 

4) 

0 1 

0 

95 

x 

 

2 

155 

2 

0 

 

x 

 

 

k180 

 

x 

k 

4 

5 

x k 

4 

0 

k180 

Đs: 

k 

 

x Đs: x 20 0 k45 

0 

k 

 

cos 3 15 0 

2 

x Đs: k 

0 3 

0 0 

x5 k120 

 

x 

15 k120 

0 

0 0 


1) 2cos x sin2x 

0 

 

x 

k 

2 

 

 

6 

 

 

5 

x k 

6 

Đs: x k 

k 

 

2) cos x 2sin2x 

0 

3) 

tan x 

 

x 

k 

2 

 

1 

4 

 

 

1 

x arcsin k2 

 

4 

Đs: x arcsin k2 

k 

 

 

2 

x 

k2 

6 

cot 

x Đs: 

k 

 

cos x 

7 

x k2 

6 






40 











Ví dụ 2.6. Xây dựng hệ thống bài tập phương trình bậc hai đối với một 

hàm số lượng giác 

Phương pháp giải 

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác có dạng: 

Bước 1: Đặt 

2 

sin u( x) sin u( x) 

 

 

cos u( x) 

cos u( x) 

 

a b c 0 

tan u( x) tan u( x) 

 

 

cot u( x) cot u( x) 

 

sin ux ( ) 

 

cos ux ( ) 

 

t ta có phương trình bậc hai theo t: 

tan ux ( ) 

 

cot ux ( ) 

Bước 2: Giải phương trình 

Chú ý: Khi đặt 


sin ux ( ) 

t 

cos ux ( ) 

 

Bài 1: Giải phương trình sau: 

Đặt 

2 

at bt c 

2 

at bt c 

0 

0ta tìm được t từ đó tìm được x . 

, ta có điều kiện: t 1;1 

 

2 

2sin x sin x3 0 1 

t sin x, với điều kiện 1 t 1 

Ta được phương trình bậc hai theo t 

2 

2t 

t3 0 

Với t 1, ta có sinx 1 

t 

1( t / m) 

 

 

3 t ( loai ) 

2 

 

2 

x k2 

k 

 

Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm là: 

 

x k2 

k 

 

2 

Bài 2: Giải phương trình sau: 

Đặt 

 


2 

3cos x5cos x2 0 

t cos x, với điều kiện 1 t 1 

Ta được phương trình bậc hai theo t 





41 











2 

3t 

5t 2 0 

Với t 1, ta có cos 1 

2 

Với t , ta có cos 

3 

t 

1( t / m) 

 

 

2 

t ( t / m ) 

3 

x x k2 

k 

 

2 

3 

2 

 

xarccos k2 

3 

2 

x arccos 2 

3 

k 

x 

k 

 


x k2 

; 

2 

xarccos k2 

; 

3 

x 

2 

arccos k2 

3 

k 

 


Loại 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

Đs: 

k 

 

2 

2sin x 3sin x 2 0 

2 

sin x 4sin x 3 0 

 

x 

k2 

6 

5 

x k2 

6 

Đs: x k2 

k 

 

2 

2sin x 5sin x 3 0 

Đs: x k2 

k 

 

2 

sin 2x 

sin2x 

2 0 

 

2 

 

2 

Đs: x k 

k 

 

Đs: 

k 

 

2 

2cos x 5cos x 2 0 

2 

cos x 2cos x 3 0 

 

4 

 

x 

k2 

3 

 

x k2 

3 

Đs: x k2 

k 

 

2 

7) x 

Đs 

k 

 

2cos 2 2 3 1 cos 2x 

3 0 

1 3 1 

x 

arccos k 

2 2 

1 3 1 

x 

arccos k 

2 2 






42 











2 

8) x 

9) 

3 cot 1 3 cot x 1 0 

 

x 

k 

4 

 

x k 

3 

Đs: k 

 

2 

3 cot x 4cot x 3 0 

 

x 

k 

6 

 

x k 

3 

Đs: k 

 

Loại 2: Sử dụng công thức lượng giác biến đổi phương trình đã cho về phương trình 

bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 

1) 

2) 

3) 

4) 

Đs: 

k 

 

2 

6cos x 5sin x 2 0 

2 

3cos x 4sin x 4 0 

 

x 

k2 

6 

7 

x k2 

6 

 

x 

k 

2 

1 

 

3 

 

1 

x 

arcsin 

k2 

 

3 


k 

 

2 

sin x 3cos x 4 0 

Đs: Phương trình vô nghiệm 

2 

3sin x 7cos x 3 0 

 

2 

Đs: x k 

k 

 

5) cos2x 

5sin x 3 0 

 

 

x k2 

6 

7 

x k2 

6 

Đs: 

k 

 

3 

4 

6) 2 2 sin x cos x 

sin 2x 

1 Đs: x k 

k 

 

 

x 

k2 

 

 

3 

 

 

x 

k2 

3 


2 

7) sin 2xcot x tan 2x 4cos 

x Đs: x k2 k 

 





43 












1) 

2 

tan 3 

 

 

x k 

3 

 

x k 

3 

x Đs: 

k 

 

2) 2cos2x 

3sin x 1 0 

3) tan2x 

cot 2x 

3 

 

x 

k2 

2 

1 

 

4 

 

1 

x arcsin 

k2 

 

4 


k 

 

k 

x 

 

8 2 

1 1 k 

x arctan 

2 2 2 

Đs: 

k 

 

4) 3 tan x 6cot x 2 3 3 0 

Đs: 

5) 

6) 

3 

7cos 4cos 4sin 2 

x x x 

 

x 

k 

3 

k 

 

 

x arctan 

2 

k 

 

 

x 

k 

2 

 

 

 

6 

 

 

 

5 

x k2 

6 

Đs: x k2 

k 

 

Đs: 

k 

 

2 2 

2cos x 6sin xcos x 6sin x 1 

7) 

2 

8) 

9) 

 

 

x 

k 

4 

1 

xarctan k 

 

6 

2 sin x cos x cos x 3 2cos x Đs: Phương trình vô nghiệm. 

2 

cos2x cos x sin x 2 0 

 

2 

Đs: x k2 

k 

 

2 2 

cos x 3 sin 2x 1 sin x 

x 

k 

 

 

 

x k 

3 


Đs: k 

 

 





44 











2.2.3. Biện pháp 3: Quan tâm phát hiện, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho 

học sinh yếu kém. 

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS khi giải PTLG là do các em bị rỗng kiến 

thức, (89,68%) quên công thức, (85,56%) áp dụng sai công thức, (68,55%) HS không 

thể nhận dạng hoặc biến đổi về PTLG cơ bản, thường gặp... Điều này dẫn đến HS 

không thể giải được PTLG. Một số HS nhận dạng được phương trình nhưng các em 

sử dụng sai công thức, không biết biến đổi nên dẫn đến lời giải bị sai. 

Để khắc phục và hạn chế những sai lầm cho HS, GV có thể tổ chức các hoạt động sau: 

- Đưa ra một ví dụ có chứa sai lầm trong lời giải, GV hướng dẫn HS tìm ra 

sai lầm và sửa lại. 

- Đưa ra ví dụ có chứa sai lầm trong lời giải, yêu cầu HS tìm ra lỗi sai và sửa lại. 

- Thường xuyên quan tâm và tiến hành cho HS phát hiện sai lầm và sửa chữa sai 

lầm trong quá trình giải vài tập trên lớp. 

- Tổ chức các hoạt động nhóm để HSYK được các bạn HS khá hơn giúp đỡ tìm 

ra lỗi sai và sửa lại. 

Ví dụ 2.7: Cho phương trình: 

Bạn A giải như sau: 

2sin 2x cos 2x sin 

x 

sin 4xsin 

x 

4x x k2 

 

k 

 

4x x k2 

k2 

 

x 

3 

 

k 

 

k2 

x 

5 5 

1 

cosxcos2 x 1 

4 

 

1 4sin xcos xcos 2x sin x 

Theo em bạn A giải sai hay đúng? Nếu sai sửa lại cho đúng. 

 

GV: Khi nhân hai vế của phương trình với sinx ta được phương trình hệ quả. 


Bạn A đã biến đổi phương trình tương đương nên làm xuất hiện ngoại lai. Dẫn đến 

kết luận sai. 





45 











Lời giải đúng: Ta thấy x 

1 

k không là nghiệm của phương trình (1) 

sin x 0 sin x 0 

 

 

4sin xcos xcos2x sin x sin 4x sin 

x 

2 

x k 

 

 

 

x k2 

 

3 

k2 

 

 

x 

 

 

3 x k2 

k 

 

 

 

5 

k2 

 

x 

3 

5 5 

 

 

x k2 

5 


 

Giải: 

 

sin3x 

cos2x 

2 

 

k2 

 

 

3x 2x k2 

x 

1 sin3x sin 

2x 

2 

 

 

10 5 

 

 

k 

 

2 

 

3x 2x k2 

x k2 

2 

2 


k2 

x ; x k 2 k 

 

10 5 2 

GV: Yêu cầu HS tìm lỗi sai và sửa lại? 

* Nguyên nhân sai lầm: 

 

Họ nghiệm x k2 

chứa trong họ nghiệm 

2 

Vậy phương trình có một họ nghiệm: 

* Lời giải đúng: 

 

k2 

x 

10 5 

 

k2 

x 

10 5 

 

k2 

3x 2x k2 

x 

2 

10 5 k2 

 

2 

 

10 5 

3x 2x k2 

x k2 

2 

2 

2 sin3x sin 2x 

 

x k 

 


k2 

10 5 

Vậy phương trình có một họ nghiệm: x k 

 

 





46 









 

cos2x 1 sin 2x 2 sin x cos x 1 




* Sai lầm thường gặp: 

Điều kiện: 

x x x x 

cos2x 0 

cos sin cos sin 0 cos x sin x 0 

 

* 

sin x cos x 0 

sin xcos x0 

cos x sin x 0 

Với điều kiện 

* thì: 

2 

1 cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 sin x cos x 

sin x cos x cos x sin x cos x sin x 2 

 

 

 

0 

tan x 1 

sin x cos x 0 

 

 

 

 

tan x 1 

x k 

 

cos x 1 4 k 

cos x cos 2x 

0 

 

 

cos x 1 

 

cos 2x 

1 

x 

k 

*Nguyên nhân sai lầm 

 

 

cos x sin x cos x sin x 0 cos xsin x0 

Phép biến đổi 

 

không phải phép 

 

sin xcos x0 

sin xcos x0 

biến đổi tương đương. Cụ thể: 

cos x sin x 0 

cos x sin x cos x sin x 0, x 

 

thì 

* Biện pháp khắc phục: 

GV chỉ cho HS các khả năng có thể xảy ra của bài toán 


Điều kiện: 

x x x x 

cos 2x 

0 

cos sin cos sin 0 

 

 

sin xcos x0 

sin xcos x0 

 

+ Trường hợp 1: Xét cos x sin x 0 tan x 1 x k 

(thỏa mãn 1) 

4 

+ Trường hợp 2: Xét cos xsin x 

0 

Ta có 

 

x x x x 

cos 2x 0 

cos sin cos sin 0 cos x sin x 0 

 

sin x cos x 0 

sin xcos x0 

sin x cos x 0 


1 sin x cos x cos x sin x cos x sin x 2 

 

 

 

0 

 

 





47 











cos x sin x cos x sin x 2 0 

cos x cos 2x 

2 

cos x 1 

cos x 1 x k2 

k 

 

2 

2cos 11 

Ví dụ 2.10: Tìm a để hệ 

* Sai lầm thường gặp 1: 

 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x k2 

; x 

1 x 1 

 

cot x 1 x a 

0 

 

I 

 

1 

x 1 

1 x 1 

1 x 1 

 

x a 

 

x 

a 

I cot x 1 

 

1 x 1 

 

 

 

 

x a x 

 

x k 

4 

4 

Vì (I) luôn có nghiệm 

tức là 

a 

1 

 

a 

1 

* Sai lầm thường gặp 2: 

 

chỉ có một nghiệm. 

 

x nên để (I) chỉ có một nghiệm thì 

4 

1 

x 1 

1 x 1 

1 x 1 

 

x a 

 

x 

a 

I cot x 1 

 

1 x 1 

 

 

 

 

x a x 

 

x k 

4 

4 

Vì (I) luôn có nghiệm 

hoặc có một nghiệm 

 

x nên để (I) chỉ có một nghiệm thì 

4 

 

a 

1 

 

x a 

1 

4 

 

a 

 

4 

 

k 

k 

4 

1 x 1 

vô nghiệm, 

x 

a 

1 x 1 

vô nghiệm 

x 

a 






48 











* Nguyên nhân sai lầm: 

x k thì cot x không xác định nên a k không thỏa mãn điều kiện bài toán. 

* Biện pháp khắc phục: 

Trước khi giải phương trình phải đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa. Khi giải 

xong phải đối chiếu với điều kiện. 


1 

x 1 

 

1 x 1 

sin x 0 

1 x 1 

x 

k 

x 

a 

I 

sin x 0 

 

 

 

x 

a 

 

1 x 1 

cot x 1 

 

 

 

 

x 

 

 

x a x k 

 

4 

 

 

4 

 

Vì (I) luôn có nghiệm x nên để (I) chỉ có một nghiệm thì 

4 

hoặc có một nghiệm 

a 

1 

 

a 1 

 

 

x a 

k 

4 

 

a 

4 

1 x 1 

vô nghiệm 

x 

a 

2.2.4. Biện pháp 4: Tổ chức dạy phụ đạo, tổ chức học theo nhóm nhằm hình thành 

và nâng cao kĩ năng tự học cho học sinh yếu kém. 

Do thời gian trên lớp ít, bài tập sách giáo khoa nhiều dạng. HSYK không thể 

theo kịp. Để nâng cao hiệu quả giờ lên lớp, nhằm rèn luyện cho HSYK kỹ năng nhận 

dạng và giải PTLG, GV cần tách nhóm HSYK ra riêng để tổ chức dậy phụ đạo, dạy 

theo nhóm nhằm hình thành kỹ năng giải PTLG cho HS. 

Qua thực tế nghiên cứu cho thấy, GV có thể phân chia thành các nhóm HSYK 

lồng vào các giờ lý thuyết, hoặc giờ bài tập để tổ chức dậy phụ đạo cho HS. GV chia 

thành các nhóm HSYK yêu cầu hoàn thành phiếu học tập. Sau đó yêu cầu một thành 

viên bất kỳ của nhóm đứng lên báo cáo kết quả. Làm việc như vậy tất cả các thành 


viên trong nhóm sẽ phải tự giác cùng nhau hoàn thành nhiệm vụ, không ai ỉ lại cho ai. 

Các thành viên trong nhóm phải giúp đỡ các thành viên của nhóm mình để tất cả đều 

cùng làm được. 





49 











Ví dụ 2.11: Trong tiết bài tập “PTLG cơ bản” GV chia lớp thành 4 nhóm và 

yêu cầu các nhóm giải các PTLG. 

Thời 

gian 

20’ 

Hoạt động của GV 

Chia nhóm: 

Mỗi nhóm 6 người 

Chia đều hs khá, trung 

bình, yếu vào các nhóm 

Giao nhiệm vụ: 

Giải các phương trình 

sau: 

3 

1)sin 2 20 1 

2 

3x 

1 

2)cos 

 

2 

2 4 2 

0 

x 

3 

3) tan 15 3 

3 

0 

x 

 

4)cot(3x 

1) 3 4 

GV yêu cầu nhóm 1 giải 

ý 1), nhóm 2 giải ý 2), 

nhóm 3 giải ý 3), nhóm 

4 giải ý 4) trong vòng 7’. 

Các bạn khá hướng dẫn, 

giúp đỡ các bạn yếu: 

Mọi hs đều có thể làm. 

Đánh giá nhóm: Gọi bất 

kỳ 1 bạn trong nhóm lên 

bảng trình bày lời giải. 

GV yêu cầu thành viên 

của nhóm khác nhận 

xét. 

GV chính xác hóa lời giải. 

Hoạt động 

của HS 

Các nhóm trao 

đổi, tìm ra lời 

giải. 

HS trình bày lời 

giải. 

HS nhận xét và 

bổ sung. 

Lời giải: 

Nội dung 

0 0 

1 sin 2x 

20 sin 60 

 

0 0 0 

2x 20 60 k360 

 

2x 20 180 60 k360 

0 0 

x 40 k180 

 

0 0 

x110 k180 

0 0 0 0 

 

k 

Vậy phương trình có hai họ 

nghiệm. 

3x 

2 

2 

cos 

 

cos 

2 4 3 

3x 

2 

 

k2 

2 4 3 

 

3x 

2 

k2 

2 4 3 

11 

k4 

 

x 

18 3 

 

k 

 

5 

k4 

x 

18 3 

Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 

x 

 

3 tan 15 tan 30 

0 0 

x15 30 k180 

0 0 0 

0 0 

x 45 k180 

k 

Vậy phương trình có một họ nghiệm. 

5 

4 cot 3x 

1 

cot 6 

5 

3x1 k 

6 

1 5 

k 

x k 

 

3 18 3 

Vậy phương trình có một họ nghiệm. 


 

 

 





50 











Nhận xét: 

bài toán. 

Nếu tổ chức hoạt động thế này ta sẽ có những ưu điểm và nhược điểm sau: 

- Ưu điểm: 

+ HSYK sẽ được các bạn HS khá hướng dẫn, giúp đỡ trình bày được lời giải 

+ Mọi HS trong nhóm đều phải hoàn thành bài tập để có thể trình bày lời giải. 

- Nhược điểm: 

+ Nếu HS khá chủ quan, tự tin có thể dẫn đến làm bài sai. Khi đó HSYK cũng 

trình bày sai bài toán. 

HSYK. 

+ Đòi hỏi các bạn HS khá phải có khả năng thuyết trình, hướng dẫn các 

Ngoài hoạt động chia nhóm trên lớp GV có thể tổ chức dậy phụ đạo thông qua 

dạy các buổi chuyên đề để bồi dưỡng kĩ năng giải PTLG cho HSYK. 

Ví dụ 2.12. Chuyên đề sau khi học song bài “Một số phương trình lượng giác 

thường gặp”. GV có thể tổ chức kèm riêng HSYK với các nhiệm vụ dành riêng. 


Câu 1: Nhắc lại định nghĩa và cách giải các PTLG thường gặp 

Câu 2: Giải các phương trình sau: 

1) 

2) 

2 

3 cot x 4cot x 3 0 

2 

5sin 2x6cos x 

13 

3) 3cos x 

4sin x 5 

4) 

5) 

2 

3sin 2x 

7cos2x 3 0 

2 2 

6sin x sin xcos x cos x 2 

6) cos2x sin x 2 0 

7) x x 

8) 

sin 1 2cos 2 2 0 

2 2 

4sin 2x8cos x9 0 

Nhận xét: Nếu tổ chức được như này, có những ưu điểm và nhược điểm sau: 

- Ưu điểm: + Tăng thời gian học cho HSYK. 

+ Được GV hướng dẫn tỉ mỉ, phân loại và cách giải từng dạng 


PTLG cụ thể. 

- Nhược điểm: + GV khó sắp xếp được các buổi phụ đạo cho HSYK. 

+ Đòi hỏi GV phải tâm huyết với HSYK. 





51 











+ Đòi hỏi HSYK phải tích cực tham gia các buổi học phụ đạo. 

2.2.5. Biện pháp 5: Khai thác khai thác mạng xã hội học tập Edmodo trong hỗ trợ 

học sinh yếu kém tự học ngoài giờ lên lớp. 

Có khá nhiều biện pháp để hỗ trợ HS yếu kém học tập Toán. Tuy nhiên vấn đề 

lớn mà hầu hết các giáo viên (GV) đều gặp phải đó là không đảm bảo thời gian học tập 

cho đối tượng HS này. Theo chúng tôi, điều kiện tiên quyết để nâng cao năng lực học 

tập Toán của HS yếu kém là tăng thời lượng học tập, tổ chức được việc tự học của HS 

một cách có hiệu quả. 

Có thể thấy những ưu điểm nổi bật của Mạng xã hội học tập Edmodo. 

- Nền tảng an toàn và bảo mật. 

- Môi trường đóng. 

- Đăng ký tham gia dễ dàng, không cần cài đặt và không tốn chi phí bản quyền. 

- Không yêu cầu thông tin từ cá nhân người học (trừ khi GV yêu cầu). 

- HS chỉ có thể tham gia lớp học khi được GV mời. 

- Tất cả các quá trình liên lạc của các thành viên đều được lưu trữ. 

- GV có quyền kiểm soát tối đa. 

- Edmodo giúp việc theo dõi tiến bộ học tập của HS trở lên dễ dàng hơn. GV có 

thể giao bài tập (Assignements), thiết kế câu hỏi trắc nghiệm (Quiz), thăm dò ý kiến 

(Polls), cho người học đánh giá chéo… 

- Phụ huynh của HS có thể tham gia vào lớp học để theo dõi quá trình học tập 

của con em mình. 

- Có thể truy cập từ bất cứ thiết bị nào có kết nối mạng (Máy tính, điện thoại di 

động, máy tính bảng...) 

Căn cứ vào những thế mạnh của Edmodo, ta có thể khai thác Edmodo trong việc 

hỗ trợ HS yếu kém học tập toán theo các hướng sau: 

- Hỗ trợ việc kiểm tra, đánh giá thường xuyên (trong và ngoài giờ lên lớp). 

- Hỗ trợ việc tự học của HS 

- Hỗ trợ chức năng sổ tay tri thức trên Edmodo. 

- Tạo ra môi trường học tập cá thể hoá. 


- Tạo ra môi trường học tập trên lớp và học tập ngoài lớp...GV có thể tổ chức 

khai thác mạng xã hội học tập Edmodo trong hỗ trợ HSYK học tập toán trong một số 

tình huống. 





52 











Tình huống 1: Khai thác Edmodo trong triển khai tự học có hướng dẫn trực tiếp của GV 

Trong môi trường dạy học truyền thống, tự học có hướng dẫn trực tiếp của GV 

được hiểu là trong quá trình HS tự học luôn có GV ở bên cạnh để đưa ra các hỗ trợ khi 

cần thiết. Như vậy, GV chỉ có thể hướng dẫn trực tiếp HS qua các giờ lên lớp. Tuy nhiên 

thời lượng dành cho lên lớp của GV đã được cố định và chủ yếu để giảng giải kiến thức 

mới nên rất khó để dành ra một thời lượng cho việc hướng dẫn HS tự học trong các giờ 

chính khóa, đặc biệt là đối với HSYK khi khả năng tiếp thu kiến thức chậm. 

Trong điều kiện có sự hỗ trợ của mạng xã hội học tập Edmodo, khái niệm tự học 

có hướng dẫn được mở rộng. Hình thức tự học có hướng dẫn là hình thức học tập, trong 

đó HS nhận được sự hỗ trợ trực tiếp của GV trên lớp học hay được thực hiện qua mạng. 

Với chức năng Assignments trong Edmodo, GV có thể giao bài tập, giao nội 

dung tự học, đưa ra thời gian hoàn thành cho mỗi bài tập, trong trường hợp HS thiếu 

kỷ luật thì sẽ không thể nộp bài quá hạn hoặc GV cho phép nộp bài muộn thì hệ 

thống sẽ thông báo những HS nộp muộn qua đó GV có thể cho điểm tương ứng. 

Edmodo có thể cài đặt trên điện thoại di động của HS, chính vì vậy, các thông 

báo, các yêu cầu của GV đối với HS được cập nhật liên tục trên điện thoại của HS, 

yêu cầu HS phải tăng cường độ học tập. Tất cả hoạt động này diễn ra độc lập cho mỗi 

HS, đảm bảo tính riêng tư và tăng cường trao đổi theo phương thức 1-1. 






Hình 1: GV có thể tương tác một các thường xuyên với HS mọi lúc 

53 











Tình huống 2: Khai thác Edmodo trong việc tăng cường kiểm tra, đánh giá với HSYK 

Một trong những đặc điểm của HSYK là gần như không có động cơ học tập, 

có nhiều lỗ hổng về kiến thức. Trong quá trình học tập, nếu không được kiểm tra 

thường xuyên, HS sẽ không tự mình tích cực trong việc tiếp thu kiến thức. 

Do đó GV có thể khai thác Edmodo theo các phương án sau: 

- Sử dụng Quizzes: Edmodo hỗ trợ nhiều dạng câu hỏi khác nhau như câu hỏi 

lựa chọn, đúng/sai, câu trả lời ngắn, và điền vào ô trống. Ngoại trừ câu hỏi yêu cầu 

câu trả lời ngắn, tất các loại câu hỏi khác sẽ được chấm tự động và điểm của HS sẽ 

được cập nhật vào hệ thống. Do vậy, GV sẽ tiết kiệm được nhiều thời gian triển khai 

đánh giá HS, giờ đây chỉ ra đề và xem điểm và đưa ra các nhận xét đối với cá nhân 

từng HS. 

- Sử dụng Badges: Để khuyến khích HS, GV không chỉ chấm điểm và nhận 

xét. Sử dụng tính năng badges của edmodo, GV có thể thể hiện sự ghi nhận tiến bộ, 

nỗ lực, cam kết của HS bằng cách danh hiệu có sẵn hoặc tự tạo như ‘HS chăm chỉ’, 

‘HS tích cực’, ‘HS của tháng’… 

Với nhóm HSYK, GV có thể tổ chức bổ sung kiến thức nền cho HS rất tốt 

theo hướng này. Bằng cách tổ chức tốt việc giao nhiệm vụ tự học cho HS và tiến hành 

kiểm tra thường xuyên. 


Hình 2: Ví dụ về kiểm tra kiến thức nền đối với HSYK (Dạng câu hỏi lựa chọn; 

câu hỏi ghép đôi) 





54 











Hình 3: Bảng kết quả chi tiết của HS sau khi kiểm tra. GV có thể xem chi tiết 

các câu trả lời đúng/sai từ đó yêu cầu HS học bổ sung những kiến thức còn thiếu. 

Tình huống 3: Khai thác Edmodo hỗ trợ HS hình thành phương pháp tự học 

Phương pháp tự học của HS được thể hiện qua một số đặc trưng sau: 

- Biết cách xây dựng kế hoạch và thời gian biểu tự học hợp lý. 

- Biết cách thức làm việc độc lập, bao gồm: Biết đọc tài liệu một cách có hệ 

thống, biết phân chia dung lượng kiến thức hợp lý để tiến hành học tập cho có hiệu 

quả, biết liên hệ, vận dụng lý thuyết để giải quyết các bài tập trong quá trình học ở 

trên lớp và trong thực tiễn. 

- Biết cách phân tích, tổng hợp, so sánh. 

- Biết ôn tập, tổng hợp kiến thức một cách tự giác, thường xuyên nhằm đánh giá 

được sự tiến bộ của bản thân. 

- Biết tranh luận và biết trình bày quan điểm của mình. 

- Biết tập trung tư tưởng, tiết kiệm thời gian học tập. 

- Biết tự kiểm tra, tự đánh giá trình độ của bản thân… 


Với các nội dung đã chỉ ra ở phần trên, ta thấy rõ nếu SV tự học với Edmodo thì 

các đặc trưng trên sẽ được hình thành và phát triển một cách hoàn tự nhiên, đơn cử: 





55 











- Edmodo cho phép việc tự học diễn ra mọi lúc, mọi nơi, không phụ thuộc vào 

không gian, thời gian. Như vậy, mỗi HS đều có thể lên được một kế hoạch tự học phù 

hợp với điều kiện bản thân mình. Tuy nhiên với đối tượng HSYK, GV vẫn cần giao 

nhiệm vụ tự học cụ thể. HS chỉ cần lên kế hoạch để đạt được yêu cầu GV đề ra. 

- Việc tham gia trao đổi thông tin trên Edmodo cho phép HS trình bày quan 

điểm, kết quả với các thành viên dưới hình thức online hoặc ofline. Kết hợp việc trao 

đổi thông tin với việc tự kiểm tra kiến thức, HS sẽ tự đánh giá mình và đưa ra những 

sự điều chỉnh hợp lý và kế hoạch tự học tiếp theo cho bản thân. 

2.3. Thiết kế một số kế hoạch dạy học có sử dụng các biện pháp sư phạm đã đề 

xuất nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lượng giác cho học 

sinh yếu kém 

2.3.1. Chuyên đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản 

2.3.1.1. Mục tiêu 

- Về kiến thức: HS nắm được công thức nghiệm của PTLG cơ bản. 

- Về kĩ năng: 

Giải được các PTLG cơ bản; Biết cách sử dụng MTCT để giải PTLG cơ bản. 

- Về tư duy, thái độ: 

Rèn tính cẩn thận, thái độ nghiêm túc, tích cực học tập. 

Tự giác học tập, trả lời các câu hỏi. 

- Định hướng phát triển năng lực cho học sinh 

Năng lực tư duy giải quyết vấn đề 

Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học. 

Năng lực tính toán. 

2.3.1.2. Các hoạt động trong chuyên đề 

Hoạt động 1: Ghi nhớ các PTLG cơ bản và cách giải. 

HĐTP1: Nhắc lại bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt. 

Cách thực hiện: 

+ Hướng dẫn HS cách xác định giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác 


+ Hướng dẫn HS tính các giá trị lượng giác bằng MTBT 

Kết quả mong muốn: HSYK tự mình điền được kết quả vào bảng giá trị lượng giác 





56 








Cung 

0 

0 

 

0 0 30 

6 

0 

45 

 

 

 

4 

0 

60 

 

 

 

3 

0 

90 

 

 

 

2 

120 

 

 

3 

0 2 

135 

 

 

4 

0 3 

150 

 

 

6 

0 5 




sin 0 

cos 1 

tan 0 

1 

2 

3 

2 

cot ║ 3 1 

1 

3 

2 

2 

2 

2 

3 

2 

1 

2 

1 

0 

3 

2 

1 

 

2 

1 3 ║ 3 1 

1 

3 

0 

 

2 

2 

2 

2 

1 

1 3 

3 

HĐTP2: Ghi nhớ công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. 


+ Nhắc lại kiến thức cơ bản cho HS 

+ Yêu cầu HS học sinh tự vẽ bản đồ tư duy để ghi nhớ kiến thức 

+ Sử dụng các phiếu hỏi để kiểm tra kiến thức cơ bản của HS 

+ Yêu cầu thực hiện các câu hỏi trắc nghiệm về công thức nghiệm trên 

Edmodo để lặp lại quá trình ghi nhớ kiến thức cơ bản cho HS. 

Kết quả mong muốn: HSYK ghi nhớ được các dạng cơ bản của PTLG và công thức 

nghiệm tương ứng 

Sơ đồ tư duy về các dạng PTLG cơ bản và công thức nghiệm 


 

 

1 

3 

1 

2 

3 

2 





57 











HĐTP2: Ghi nhớ điều kiện để các phương trình lượng giác cơ bản có nghiệm. 




+ Yêu cầu thực hiện các câu hỏi trắc nghiệm trên Edmodo để lặp lại quá trình 

ghi nhớ kiến thức cơ bản cho HS. 

Kết quả mong muốn: HSYK ghi nhớ được điều kiện có nghiệm của phương trình 

sin x a; cos x a khi và chỉ khi 1 

a 1 

Hoạt động 2: Rèn kỹ năng giải toán dạng phương trình lượng giác cơ bản 

HĐTP1: Giải mẫu 


+ GV Thực hiện giải mẫu các bài tập cụ thể, đảm bảo mỗi dạng phương trình 

có từ 1 đến 2 ví dụ. 

+ HS nghe giảng và ghi nhớ bài giải mẫu 

Kết quả mong muốn: HSYK ghi nhớ cách giải cụ thể với từng dạng và có thể “bắt 

chước” để làm các bài tương tự 

HĐTP2: Rèn kỹ năng thông qua bài tập tự luyện 


+ GV giao nhiệm vụ thông qua hệ thống bài tập tự luyện đã xây dựng 

+ Thực hiện dạy học phân hóa đến từng HS (kèm riêng) 

+ HS thực hiện nhiệm vụ của mình. 

Kết quả mong muốn: HSYK thực hiện thành thạo việc giải PTLG cơ bản. 

Hệ thống bài tập tự luyện giao cho HS 

Bài 1: Giải các PTLG dạng sin x 

a 

 

a)sin x 

sin 12 

1 

c)sin 3x 

2 

Bài 2: Giải các PTLG dạng cos x 

a 

 

a)cos x 

cos 4 

0 2 

b)cos( x45 ) 

2 

b)sin 2x 

sin36 

2 

d)sin 

x 

3 

2 

c)cos4x 

2 

3 

d)cos 

x 

4 


0 





58 











Bài 3: Giải các PTLG dạng tan x 

a 

 

a)tan x 

tan 3 

Bài 4: Giải các PTLG dạng cot x a 

b)tan 4x 

1 

3 

3 

a)cot3x cot b)cot 4x 

3 

7 

HĐTP3: Giao nhiệm vụ tự luyện tại nhà 


+ GV giao nhiệm vụ thông qua link trên Edmodo 

c)tan 4x20 3 

0 

 

1 

c)cot 2x 

 

6 3 

+ GV kiểm tra tiến trình tự học của HS và có đánh giá kịp thời 

Kết quả mong muốn: HSYK tự giác thực hiện và hoàn thành nhiệm vụ tự học 

Các câu hỏi trắc nghiệm yêu cầu HS thực hiện trên Edmodo 

 

Câu 1: Cho phương trình sin(2 x ) 1, nghiệm của phương trình là: 

6 

 

4 

A. x k 

k 

 

B. x k 

k 

 

 

6 

C. x k 

k 

 

D. x k 

k 

 

Câu 2: Cho phương trình 2cos 2x 2 , nghiệm của phương trình là: 

 

x 

k 

4 

 

x k 

4 

A. 

k 

 

3 

x 

k 

8 

3 

x k 

8 

C. 

k 

 

 

2 

 

6 

3 

8 

B. x k2 

k 

 

 

6 

D. x k 

k 

 

Câu 3: Cho phương trình 2sin 3x 3 , số nghiệm của phương trình thuộc khoảng 

 

 

0; là: 


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 





59 











Câu 4: Cho phương trình 2cos2x 1, số nghiệm của phương trình thuộc khoảng 

 

0; là: 

2 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

 

Câu 5: Cho phương trình tan(2 x ) 3 , nghiệm của phương trình là: 

4 

 

x 

k 

14 

 

x k 

14 

A. 

k 

 

C. x k k 

 

3 

4 

B. x k2 

k 

 

 

D. Đáp số khác 

24 2 

Câu 6: Phương trình: cos xm 0 vô nghiệm khi m bằng: 

A. 

m 

1 

 

m 

1 

B. m 1 

C. 1 m 1 

D. m 1 

Câu 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: 

A. sin x 3 0 

B. tan x 3 

0 

C. 3cot x 1 0 

D. 2cos x 2 


 

x 

k2 

15 

 

x k2 

15 

cos3x 

A. 

k 

 

k2 

45 3 

0 

cos12 có nghiệm là: 

k2 

x 

 

45 3 

 

k2 

x 

45 3 

B. 

k 

 

k2 

45 3 

C. x k 

 

D. x k 

 

Câu 9: Phương trình 3 tan x 3 

 

3 

A. x k 

k 

B x k2 

k 

 

 

6 


C. x k 

k 

D. x k 

k 

 

 

3 

 

3 





60 











2x 

0 

Câu 10: Phương trình sin 

60 0 

có nghiệm là: 

3 

5 

k3 

x 

 

2 2 

5 

k3 

x 

2 2 

A. 

k 

 

 

3 

B. x k 

k 

 

k3 

2 2 

C. x k 

k 

 

D. x k 

 

Câu 11: Phương trình 2cot x 3 có nghiệm là: 

 

x 

k2 

6 

 

x k2 

6 

A. 

k 

 

 

6 

x cot 3 

2 

B. arc k 

k 

 

C. x k 

k 

D. x k 

k 

 


5 3 3 

2 2 2 

 

3 

2x 2 cot 3 có nghiệm là: 

3 

3 5 3 

2 2 2 

A. x arccot k 

k 

B. x arccot k 

k 

 

3 3 3 

2 7 2 

3 3 3 

2 2 2 

C. x arccot k 

k 

D. x arccot k 

k 

 

 

Câu 13: Phương trình tan 4x 

3 có nghiệm là: 

3 

 

2 

 

3 3 

A. x k 

k 

 

B. x k k 

 

 

3 

C. x k 

k 

 

D. x k k 

 

Câu 14: Phương trình cot 4 20 

x có nghiệm là: 

3 

0 1 

A. x 30 0 k45 

0 

k 

 

B. x 20 0 k90 

0 

k 

 


C. x 35 0 k90 

0 

k 

 

D. x 20 0 k45 

0 

k 

 

 

3 





61 











Câu 15: Phương trình tan2x tan x có nghiệm là: 

1 

2 

k 

2 

A. x k 

k 

 

B. x k 

 

 

3 

C. x k 

k 

 

D. x k 

k 

 


 

6 

12 

cot x chỉ có các nghiệm là: 

2 

 

6 

A. x k 

k 

 

B. x k 

k 

 

 

3 

 

3 

C. x k 

k 

 

D. x k 

k 

 

2.3.2. Chuyên đề 2: Một số phương trình lượng giác thường gặp 

2.3.2.1. Mục tiêu 

- Về kiến thức: Hiểu được một số dạng PTLG thường gặp. 

- Về kĩ năng: 

thường gặp. 

Giải được các PTLG thường gặp; Biết cách sử dụng MTCT để giải PTLG 

- Về tư duy, thái độ: 

Rèn tính cẩn thận, thái độ nghiêm túc, tích cực học tập. 

Tự giác học tập, trả lời các câu hỏi. 

- Định hướng phát triển năng lực cho học sinh 

Năng lực tư duy giải quyết vấn đề 

Năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học. 

Năng lực tính toán. 

2.3.1.2. Các hoạt động trong chuyên đề 

Hoạt động 1: Ghi nhớ các phương trình lượng giác thường gặp và cách giải. 

HĐTP1: Định nghĩa và cách giải các phương trình lượng giác thường gặp. 



+ Yêu cầu HS học sinh tự vẽ bản đồ tư duy để ghi nhớ kiến thức 



+ Yêu cầu thực hiện các câu hỏi trắc nghiệm về công thức nghiệm trên 

Edmodo để lặp lại quá trình ghi nhớ kiến thức cơ bản cho HS. 

Kết quả mong muốn: HSYK ghi nhớ được các dạng PTLG thường gặp và cách giải. 





62 











HĐTP2: Ghi nhớ điều kiện của một số phương trình lượng giác thường gặp. 




+ Yêu cầu thực hiện các câu hỏi trắc nghiệm trên Edmodo để lặp lại quá trình 

ghi nhớ kiến thức cơ bản cho HS. 

Kết quả mong muốn: HSYK ghi nhớ được điều kiện có nghiệm của phương trình: 

Nhận dạng Điều kiện Cách làm 

2 

asin x bsin x c 0 

t 1 

2 

acos x bcos x c 0 

t 1 

a x b x c 

2 

tan tan 0 

a x b x c 

2 

cot cot 0 

 

x k 

k 

 

2 

x k 

k 

 

t 

sin x 

t cos x 

t tan x 

t cot x 

2 2 2 

asin 

x bcos 

x c 

a b c Chia cả hai vế cho 

 

 

a sin x cos x bsin x cos x c t 2 

2 2 

asin x bsin xcos x ccos 

x d 

 

a 

b 

2 2 

t sin 

x cos 

x 

t 

sin 

xcos 

x 

t sin 

x cos 

x 

2 

1 

2 

1 

t 

sin 

xcos 

x 

2 

Cách 1: Sử dụng công thức hạ bậc. 

Cách 2: 

+ Xét 

2 

cos x 0 sin x 1 

2 

thì 

ad 0, nếu phương trình 

đúng thì cos x 0 là nghiệm. 


+ Xét cos x 0, chia cả hai vế 

của phương trình cho 

2 

cos x 





63 











Hoạt động 2: Rèn kỹ năng giải toán dạng phương trình lượng giác thường gặp. 

HĐTP1: Giải mẫu 


+ GV Thực hiện giải mẫu các bài tập cụ thể, đảm bảo mỗi dạng phương trình 

có từ 1 đến 2 ví dụ. 

+ HS nghe giảng và ghi nhớ bài giải mẫu 

Kết quả mong muốn: HSYK ghi nhớ cách giải cụ thể với từng dạng và có thể “bắt 

chước” để làm các bài tương tự 

HĐTP2: Rèn kỹ năng thông qua bài tập tự luyện 


+ GV giao nhiệm vụ thông qua hệ thống bài tập tự luyện đã xây dựng 

+ Thực hiện dạy học phân hóa đến từng HS (kèm riêng) 

+ HS thực hiện nhiệm vụ của mình. 

Kết quả mong muốn: HSYK thực hiện thành thạo việc giải PTLG thường gặp. 

Hệ thống bài tập tự luyện giao cho HS 

Bài 1: Giải các PTLG dạng dạng at b 0 

là một trong các hàm số lượng giác 

, trong đó a,b là các hằng số 0 

a)2sin x1 0 

b)3cot 3x 3 0 

c)2cos2x3 0 

Bài 2: Giải các PTLG dạng 

2 

at bt c 

t là một trong các hàm số lượng giác. 

a x x 

2 

)2sin sin 3 0 

b x x 

2 

)cos 3cos 1 

0 

Bài 3: Giải các PTLG dạng asin x bcos 

x c 

1 

d) tan x 3 0 

3 

a và t 

0, trong đó a, b, c là các hằng số a 0 

và 

c x x 

2 

)2tan tan 3 0 

d x x 

2 

)3cot 3 2 3 cot 3 3 0 

a) 3cos x sin x 2 

b)2sin3x 5 cos3x 

3 


x x 

c) sin cos 3 cos x 

2 

2 2 

2 

d)sin2x 2cos2x 

5 





64 











Bài 4: Giải các PTLG dạng 

a)cos x 3 sin x 2 

b)3sin3x 4cos3x 

5 

c)2sin 2x 2cos 2x 

2 0 

d)5cos2x 12sin 2x 

13 0 

Bài 5: Giải các PTLG dạng 

a x x x x 

2 2 

)2sin sin cos 3cos 0 

b x x x x 

2 2 

)3sin 4sin cos 5cos 2 

c)sin x sin 2x 2cos x 

2 

2 2 1 

d x x x 

2 2 

)2cos 3 3 sin 2 4sin 4 

a sin x cos x bsin x cos x c 0 

a x b x x c x d 

2 2 

sin sin cos cos 0 

HĐTP3: Giao nhiệm vụ tự luyện tại nhà 


+ GV giao nhiệm vụ thông qua link trên Edmodo 

+ GV kiểm tra tiến trình tự học của HS và có đánh giá kịp thời 

Kết quả mong muốn: HSYK tự giác thực hiện và hoàn thành nhiệm vụ tự học 

Các câu hỏi trắc nghiệm yêu cầu HS thực hiện trên Edmodo 

Câu 1: Giải phương trình 3 sin 2x cos2x 1 0 

x k 

A. 

k 

 

 

 

x k 

3 

x 2k 

C. 

k 

 

 

2 

x 2k 

3 

x k 

B. 

k 

 

 

2 

x 2k 

3 

x k 

Câu 2: Giải phương trình sin 3x 3 cos3x 2cos5x 

5 k 

x 

 

A. 

48 5 

 

k 

 

5 

x k 

12 

5 k 

x 

 

C. 

48 4 

 

k 

 

5 

 

x k 

12 2 

D. 

k 

 

 

2 

x k 

3 

5 k 

x 

 

B. 

48 4 

 

k 

 

5 

x 2k 

12 

5 k 

x 

 


D. 

48 4 

 

k 

 

5 

x k 

12 





65 











Câu 3: Khẳng định nào đúng về phương trình 

2 2 sin x cos x cos x 3 

cos2x 

A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm 

C. Vô nghiệm D. Có 1 nghiệm duy nhất 

Câu 4: Giải phương trình 3 tan x cot x 3 1 0 

 

x 

k 

A. 

4 

k 

 

 

x k 

6 2 

 

x k3 

C. 

4 

k 

 

 

x k3 

6 

2 

Câu 5: Giải phương trình x 

1 3 1 

2 2 2 

 

x k2 

B. 

4 

k 

 

 

x k2 

6 

 

x 

k 

D. 

4 

k 

 

 

x k 

6 

2cos 2 2 3 1 cos2x 3 0 

1 3 1 

2 2 

A. x arccos k k 

B. x arccos 3k k 

 

1 3 1 

2 2 

1 3 1 

2 2 

C. x arccos k k 

D. x arccos 2k k 

 

Câu 6: Giải phương trình cos2x 5sin x3 0. 

7 

6 6 

7 

6 6 

A. x k, 

x kk 

B. x k3 , x k3k 

 

7 

6 6 

7 

6 6 

C. x k4 , x k4k 

D. x k2 , x k2k 

 

4 4 

Câu 7: Giải phương trình 51 cos 2 sin cos 

2 

3 

x x x . 

2 1 , 3 2 

A. x k, 

k 

 

B. x k k 

 


2 

3 

C. x k2 , 

k 

 

D. x k2 , 

k 

 

 

3 





66 








Câu 8: Giải phương trình 

3 

7cos 4cos 4sin2 

x x x 




A. 

C. 

 

x k2 

2 

 

5 

x k2 , x k2 

6 6 

 

x 

k 

2 

 

5 

x k, 

x k 

6 6 

Câu 9: Giải phương trình 

 

x k 

A. 

3 

 

x k 

B. 

B. 

D. 

2 2 

cos x 3 sin 2x 1 

sin x 

 

x k2 

3 

 

xk2 

Câu 10: Giải phương trình cos2x 5sin x3 0. 

7 

6 6 

C. 

 

x k2 

2 

 

5 

x k, 

x k 

6 6 

 

x 

k 

2 

 

5 

x k2 , x k2 

6 6 

 

x 

k 

3 

 

1 

x k 

 

2 

 

D. 

7 

6 6 

 

x k2 

3 

 

xk 

A. x k, 

x kk 

B. x k3 , x k3k 

 

7 

6 6 

7 

6 6 

C. x k4 , x k4k 

D. x k2 , x k2k 

 

5 7 

Câu 11: Giải phương trình sin2x 3cos x 1 

2sin x 

2 

 

2 

. 

 

A. 

C. 

5 

x k , x 

k, 

x k B. 

6 6 

5 

x k2 , x 

k, 

x k D. 

6 6 

Câu 12: Cho phương trình 

2 

đây đúng? 

5 

x k2 , x k2 , x k2 

6 6 

5 

x k, x k2 , x k2 

6 6 

2 2 sin xcos x cos x 3 2cos x , Khẳng định nào sau 

A. Có 1 nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Vô số nghiệm 

Câu 13: Giải phương trình 3 sin 2xcos2x 2 là: 


A. 

7 

x 

k 

24 

 

 

x k 

24 

B. 

7 

x k2 

24 

 

 

x k2 

24 

C. 

7 

1 

x k 

24 2 

 

1 

x k 

24 2 

D. 

7 

x 

k 

24 

 

 

x k 

24 





67 












Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực tiễn ở chương 1, chương 2 tập trung vào 

trình bày toàn bộ những biện pháp để rèn luyện kỹ năng giải toán PTLG cho HSYK 

toán. Cụ thể: 

(1) Xác định được các định hướng cơ bản để rèn luyện kỹ năng giải toán cho 

HSYK trong chủ đề PTLG. 

(2) Đề xuất 05 biện pháp sư nhằm giúp đỡ HSYK rèn luyện kĩ năng giải PTLG 

- Bổ sung, củng cố kiến thức nền cho học sinh yếu kém 

- Xây dựng hệ thống bài tập vừa sức theo từng dạng và tổ chức cho học sinh 

rèn luyện kĩ năng giải toán theo từng dạng 

- Quan tâm phát hiện, sửa chữa sai lầm thường gặp cho học sinh yếu kém 

- Tổ chức dạy phụ đạo, tổ chức học theo nhóm nhằm hình thành và nâng cao kĩ 

năng tự học cho học sinh yếu kém 

- Khai thác mạng xã hội học tập Edmodo trong hỗ trợ học sinh yếu kém tự học 

ngoài giờ lên lớp. 

(3) Xây dựng một số chuyên đề dạy học có sử dụng các biện pháp đã đề xuất 

nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán PTLG cho HSYK toán. 

Theo chúng tôi, những kết quả nghiên cứu của chương 2 đã cụ thể hóa được 

các cách thức giúp nâng cao kết quả học tập của HSYK trong nội dung PTLG. 






68 











3.1. Mục đích thực nghiệm 

Chương 3 

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 

Mục đích thực nghiệm là kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc thực 

hiện các biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải toán cho HSYK thông qua dạy 

học chủ đề PTLG lớp 11. 

3.2 Nội dung thực nghiệm 

Thực nghiệm dạy học chương 1 “hàm số lượng giác và PTLG” trong chương 

trình Đại số và Giải tích lớp 11 (sách Đại số và Giải tích 11 cơ bản). 

- Dạy học các bài “PTLG cơ bản” và “Một số PTLG thường gặp” theo hướng 

do luận văn đã đề xuất, đặc biệt chú trọng đến dạy học phân hóa. 

- Tiến hành phụ đạo và bổ sung kiến thức cho đối tượng HSYK bằng biện 

pháp mà luận văn đã đề xuất 

3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm 

Thực nghiệm sư phạm được thực hiện tại trường THPT Quang Trung, Yên 

Dũng, Bắc Giang. 

Lớp thực nghiệm: Lớp 11A1 có 33 HS (trong đó có 18 HSYK) 

GV dạy lớp thực nghiệm: Hoàng Trọng Duẩn 

Lớp đối chứng: Lớp 11A2 có 32 HS (trong đó có 17 HSYK) 

GV dạy lớp đối chứng: Nguyễn Thị Mai Anh 

Dựa trên kết quả đánh giá học tập trong các năm học trước thì chất lượng học 

toán của hai lớp là tương đối đều nhau. 

3.3.2. Tiến hành thực nghiệm 

Đợt thực nghiệm được tiến hành từ ngày 06/09/2017- 31/10/2017. Đối với lớp 

đối chứng, GV dậy như những giờ bình thường. Việc dạy học thực nghiệm và đối 

chứng được tiến hành song song theo lịch giảng dạy của nhà trường. 

Để đánh giá kết quả thực nghiệm, ngoài việc quan sát lớp học, trao đổi ý kiến 

với các GV dự giờ, GV cho cả hai lớp cùng làm bài kiểm tra 1 tiết để đánh giá kết 


quả. Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu trường hợp để theo 

dõi, đánh giá sự tiến bộ của một số HS. 





69 











3.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 

3.4.1. Phương pháp quan sát 

- Quan sát HSYK học trong ngoài giờ lên lớp như thế nào? 

- Quan sát GV và HS trong các giờ TNSP để so sánh sự khác nhau của kết quả 

dạy học giữa lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) để thấy rõ hiệu quả của 

các biện pháp đã đề xuất với đối tượng HSYK. 

3.4.2. Phương pháp thống kê toán học 

Thiết kế bài kiểm tra sau quá trình TNSP, chấm và dùng phương pháp thống 

kê Toán học để xử lý số liệu bài kiểm tra. So sánh kết quả giữa nhóm ĐC và nhóm 

TN để đưa ra kết luận chung 

3.4.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp 

Theo dõi quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán của một nhóm HSYK (có các 

mức độ nhận thức khác nhau) thuộc nhóm TN trong suốt đợt TNSP để đánh giá sự tiến 

bộ của HS về ý thức và kết quả học tập. Chúng tôi nhận xét HS trên các căn cứ sau: 

- Căn cứ kết quả làm các bài kiểm tra thường xuyên, các bài tập của các HS 

này trên hệ thống Edmodo hàng ngày trong các giờ tự học của HS. 

- Căn cứ các hoạt động của các HS thông qua các hành vi của HS trong các giờ 

học TNSP để tiến hành phân tích quá trình học tập của HS nói chung, quá trình tự học 

nói riêng. 

3.5. Kết quả thực nghiệm 

3.5.1. Đánh giá định tính 

Qua các giờ dậy chương 1 “hàm số lượng giác và PTLG” theo hướng rèn 

luyện kĩ năng giải toán cho HSYK chúng tôi thấy: 

Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các biện pháp sư phạm được xây dựng ở 

chương 2 và quá trình dạy học, các GV dạy thực nghiệm đều có ý kiến rằng: 

+ Không có gì trở ngại; những gợi ý về cách đặt câu hỏi và cách dẫn dắt là hợp 

lý các hoạt động, vừa sức đối với HSYK; kích thích được tính tự lập, tích cực của HS. 

+ HSYK đã tương đối chủ động hơn trong việc phát hiện và chiếm lĩnh kiến 

thức trong bài học. HS đã bắt đầu có thể giải các PTLG mà trước đây các em rất 


“ngại” – bởi vì luôn gặp phải những khó khăn, sai lầm khi giải PTLG. 

+ Sau thời gian thực nghiệm HS cảm thấy yêu thích môn Toán hơn, đặc biệt là 

kiến thức về PTLG. 





70 











3.5.2. Đánh giá định lượng 

Bảng 3.1: Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 

Loại điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Điểm TBC 

Lớp ĐC (32 HS) 0 0 3 5 8 14 1 1 0 0 0 4,25 

Lớp TN (33 HS) 0 0 1 2 6 17 6 1 0 0 0 4,84 

Loại 

Lớp thực 

nghiệm(%) 

Lớp đối 

chứng (%) 

Bảng 3.2: Phân loại kết quả học tập 

Yếu kém 

(0, 1, 2, 3, 4 điểm) 

Trung bình 

(5, 6 điểm) 

Khá 

(7, 8 điểm) 

Giỏi 

(9, 10 điểm) 

9 23 1 0 

16 15 1 0 

Nhận xét: Từ kết quả trên ta có nhận xét sau: Điểm trung bình chung của lớp 

thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Cụ thể: TN: 4,84; ĐC: 4,25. Trong đó, lớp thực 

nghiệm có số HS đạt loại trung bình cao hơn với 23/33 HS chiếm 69,70%. Lớp đối 

chứng có 15/32 HS đạt điểm trung bình chiếm 46,88. Để có thể khẳng định chất 

lượng thực nghiệm sư phạm, chúng tôi đã tiến hành xử lý số liệu thống kê với phép 

thử t – student, ta có kết quả sau: 

Lớp 

Loại 

Thực nghiệm 

(TN) 

Đối chứng 

(ĐC) 

Bảng 3.3: Xử lý số liệu thống kê 

Điểm trung bình 

x 

 

Phương sai 

(S 2 ) 

4,84 0,98 0,99 

4,25 1,06 1,02 

Độ lệch chuẩn 


(S) 





71 











- Sử dụng phép thử t- student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của việc thực 

nghiệm sư phạm, các chỉ số thống kê thu được như sau: 

Lớp 

Bảng 3.4: Kiểm tra tính hiệu quả của việc thực nghiệm sư phạm 

Bậc tự do 

Đại lượng 

Thực nghiệm 33 2,21 1,6 t t 

t 

Như vậy, thực nghiệm sư phạm có kết quả rõ rệt. 

x 

S 

t 

So sánh t và t 

- Tiến hành kiểm định phương sai với giả thuyết E0: “Sự khác nhau giữa các 

phương sai ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là không có ý nghĩa”. 

Lớp Bậc tự do Đại lượng 

TN f 33 

TN 

ĐC f 32 

DC 

Bảng 3.5: Kiểm định phương sai 

S 

F F 

So sánh F và F 

S 

2 

TN 

2 

DC 

0,94 2,19 F F 

Ta thấy F < F: Chấp nhận E0, tức là sự khác nhau giữa phương sai của nhóm 

lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là không có ý nghĩa. 

- Kiểm định giả thuyết H0: “Sự khác nhau giữa các điểm trung bình ở hai mẫu 

là không có ý nghĩa với phương sai như nhau”. 

Bậc tự do: NTN NDC 

2 33 32 2 63 và t 1, 

67 

Với s = 

(N 1)S (N 1).S 

N N 2 

2 2 

TN TN DC DC 

TN 

Ta có giá trị kiểm định: 

DC 

x 

1,00 

TN DC 

t 

9,59 

s. 

TN 

x 

1 1 

 

N N 


DC 

 





72 








Do đó: t 

 

t 

. Như vậy, khẳng định giả thuyết H0 bị bác bỏ. Như vậy sự khác 




nhau giữa kết quả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là có ý nghĩa. 

Dựa trên kết quả phân tích ở trên, chúng ta có thể thấy việc sử dụng phương 

pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực tự học là có tính khả thi. 

Tỷ lệ HS ở lớp thực nghiệm đạt trung bình trở lên cao hơn so với lớp đối chứng. 

Nguyên nhân là do lớp thực nghiệm HS được rèn luyện các biện pháp khắc phục khó 

khăn, sửa chữa sai lầm và rèn luyện kỹ năng giải PTLG thông qua các bài toán cụ thể, 

nên các em hoàn thành bài kiểm tra tốt hơn. 

3.5.3. Một số nghiên cứu trường hợp 

3.5.3.1. Lựa chọn chọn mẫu 

Quan điểm lựa chọn mẫu: Việc lựa chọn các đối tượng HSYK để theo dõi sự 

tiến bộ của các em trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán PTLG: 

- Mức độ tự xác định nhu cầu, mục đích, động cơ học tập. 

- Mức độ ghi nhớ, hiểu các nội dung cơ bản trong SGK. 

- Mức độ tự kiểm tra, đánh giá việc học của bản thân. 

- Mức độ hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ học tập. 

Với mỗi một tiêu chí, chúng tôi căn cứ vào thực tiễn để chi tiết, cụ thể hóa. 

Để có được các thông tin, chúng tôi đã tiến hành trao đổi với GV dạy Toán, quan 

sát thái độ, hành động và kết quả học tập của các em HS… Kết quả xử lý toàn bộ các 

thông tin trên sẽ sẽ là căn cứ để đề tài lựa chọn đối tượng. 

Kết quả chọn mẫu: Với cách tiếp cận như trên đề tài đã chọn ra 04 HSYK để 

tiến hành quan sát, thu thập và xử lý thông tin để đưa ra những nhận định về quá trình 

rèn luyện kỹ năng giải toán PTLG, cụ thể: 

(1) Lưu Thị Ngọc Liên: Là HS lớp 11A1 trường THPT Quang Trung. 

Em Liên là HS có điểm kiểm tra học kỳ trước (môn Toán) đạt 4,5 điểm. Em 

khá rỗng các kiến thức cơ bản, do đó rất sợ môn Toán, lười học và không xác định 


được mục tiêu học tập của mình. Trong các giờ học Toán, thường xuyên bắt gặp Liên 

làm việc riêng hoặc ngủ gục (mặc dù đã được GV nhắc nhở) 





73 











(2) Hoàng Thị Oanh : Là HS lớp 11A1 trường THPT Quang Trung. 

Em Oanh có điểm kiểm tra học kỳ trước (môn Toán) đạt 4,0 điểm. Em bị rỗng 

kiến thức cơ bản. Trong các giờ Toán em chịu khó nghe giảng, ghi chép bài đầy đủ. 

Nhưng vì chủ đề giải PTLG là chủ đề khó, nhiều công thức khó nhớ nên em không 

làm được bài nên em hay bỏ cuộc. 

(3) Nguyễn Việt Anh: Là HS lớp 11A2 trường THPT Quang Trung. 

Em Việt Anh có điểm kiểm tra học kỳ trước (môn Toán) đạt 3,8 điểm. Em lười 

học, ham chơi. Trong giờ Toán em thường làm việc riêng, sử dụng điện thoại trong 

giờ. Ghi chép bài chống đối. 

(4) Bùi Thị Thúy: Là HS lớp 11A2 trường THPT Quang Trung. 

Em Thúy có điểm kiểm tra học kỳ trước (môn Toán) đạt 2,5 điểm. Em bị mất 

gốc. Hoàn cảnh gia đình khó khăn nên em thường nghỉ học, không tập trung vào việc 

học tập. Trong giờ học Toán, em thường xuyên không ghi chép bài. 

3.6.2. Phân tích kết quả theo dõi 

Chúng tôi tiến hành theo dõi quá trình rèn luyện kỹ năng giải PTLG của cả 4 

HS được chọn ở trên theo các tiêu chí: 

- Về thực hiện các yêu cầu của GV trong các giờ lên lớp, các bài học chuyên đề và 

tự học trên Edmodo. 

- Về ý thức học tập. 

- Kết quả học tập. 

(a) Về thực hiện các yêu cầu của GV trong các giờ lên lớp, các bài học chuyên đề 

và tự học trên Edmodo. 

Về khả năng thực hiện các yêu cầu của GV được chúng tôi cụ thể hóa như sau: 

Mức 1: Chưa (chưa có ý thức) thực hiện các yêu cầu của GV; 

Mức 2: Thực hiện các yêu cầu của GV đầy đủ nhưng phải thường xuyên cần 

đến sự giám sát, sự trợ giúp của GV. 


Mức 3: Thực hiện các yêu cầu của GV đầy đủ, tự giác. 

Qua theo dõi kết hợp nhận định của GV với sự tự khẳng định của HS, chúng 

tôi thu được kết quả sau: 





74 











Học sinh Trước TNSP Sau TNSP 

Lưu Thị Ngọc Liên Mức 2 Mức 3 

Hoàng Thị Oanh Mức 2 Mức 3 

Nguyễn Việt Anh Mức 1 Mức 2 

Bùi Thị Thúy Mức 1 Mức 2 

(b). Kết quả theo dõi quá trình rèn luyện kỹ năng giải PTLG của từng HS 

Căn cứ vào các biểu hiện và cấp độ của các kỹ năng giải PTLG (đã trình bày 

trong mục .....), chúng tôi đã quan sát các học sinh trước và sau khi thực nghiệm. Kết 

quả thu được như sau: 

(1) Lưu Thị Ngọc Liên: 

Kỹ năng thành phần 

Trước 

TNSP 

Sau 

TNSP 

Kỹ năng giải toán PTLG dựa vào mối quan hệ giữa các cung Mức 2 Mức 3 

Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại Mức 2 Mức 2 

Kỹ năng sử dụng công thức hạ bậc Mức 1 Mức 2 

Kỹ năng đưa về phương trình tích Mức 1 Mức 2 

Kỹ năng kết luận nghiệm của PTLG cơ bản Mức 2 Mức 3 

(2) Hoàng Thị Oanh : 


Trước 

TNSP 

Sau 

TNSP 











75 











(3) Nguyễn Việt Anh 


Trước 

TNSP 

Sau 

TNSP 






(4) Bùi Thị Thúy 


Trước 

TNSP 

Sau 

TNSP 











76 












Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực tiễn ở chương 1, tập trung vào trình bày 

toàn bộ những biện pháp để rèn luyện kỹ năng giải toán PTLG cho HSYK toán ở 

chương 2. Chương 3 tổ chức thực nghiệm sư phạm. Cụ thể: 

(1) Xác định mục đích và nội dung thực nghiệm. 

(2) Chọn đối tượng và tiến hành thực nghiệm. 

(3) Tổ chức phương pháp thực nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học và 

phương pháp nghiên cứu trường hợp. 

(4) Đánh giá kết quả thực nghiệm 

(5) Theo dõi và phân tích sự tiến bộ của một số HSYK. 

Theo chúng tôi, qua việc đánh giá các kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy: 

việc xây dựng phương án dạy chủ đề giải PTLG cho HSYK là thật sự cần thiết. 

Qua đề kiểm tra 1 tiết cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp 

đối chứng. Như vậy, qua thực nghiệm sư phạm có thể khẳng định những biện pháp 

khắc phục khó khăn và sửa chữa sai lầm của HS bước đầu có hiệu quả, góp phần 

nâng cao chất lượng dạy chủ đề “giải PTLG” ở lớp 11 THPT và cho thấy giả thuyết 

khoa học là đúng đắn. 






77 








KẾT LUẬN 




Qua thời gian nghiên cứu luận văn, tuy khả năng còn có mặt hạn chế nhưng 

dưới sự nỗ lực của bản thân và sự chỉ bảo nhiệt tình của TS. Trịnh Thị Phương Thảo 

nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn đặt ra đã hoàn thành, mục đích nghiện cứu đã đạt 

được như mong muốn. Luận văn đã đạt được những kết quả sau: 

1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn trong việc rèn 

luyện kỹ năng giải PTLG cho, hệ thống hóa quan điểm của nhiều nhà khoa học kỹ 

năng giải toán; phân tích một số khó khăn, sai lầm thường gặp của HS khi giải PTLG. 

cho HSYK. 

2. Đề xuất 5 biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình 

3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của 

những biện pháp sư phạm được đề xuất. 

Như vậy, có thể khẳng định: Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm 

vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được. 






78 











DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 

1. Phan Văc Các (1992), Từ điển Hán-Việt, Nxb Giáo dục. 

2. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, Nxb Giáo 

Dục, tr.12. 

3. Nguyễn Việt Dũng (2017), Hướng dẫn sử dụng mạng xã hội học tập Edmodo, 

Nxb Đại học Thái Nguyên. 

4. Đinh Thị Hậu (2015), Một số biện pháp sư phạm giúp đỡ học sinh yếu kém trong 

dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trường trung học phổ thông miền núi, luận văn thạc 

sĩ khoa học giáo dục, ĐH Sư phạm Thái Nguyên. 

5. Trần Minh Hoàng (2014), Áp dụng một số kĩ thuật dạy học tích trong dạy học 

môn toán cho học sinh yếu kém lớp 10 tỉnh Lào Cai, luận văn thạc sĩ khoa học 

giáo dục, ĐH Sư phạm Thái Nguyên. 

6. Trần Thị Kiều (2013), Một số biện pháp sư phạm giúp đỡ học sinh yếu kém môn 

toán 11 trung học phổ thông, luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, ĐH Sư phạm 

Thái Nguyên. 

7. Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đh Sư Phạm. 

8. Luật Giáo dục 2005, Điều 28, mục 2. 

9. Đỗ Đình Ngân (2015), Rèn luyện kĩ năng giải toán Phương trình lượng giác cho 

học sinh lớp 11 Trung học phổ thông, Đại học Quốc gia Hà Nội. 

10. Pêtrôvxki.A.V (1982), tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, Tập 2, Nxb 

Giáo dục, Hà Nội. 

11. Hoàng Phê (Chủ biên) (1996), Từ điển tiếng việt, Nxb Đà Nẵng. 

12. Polya G (1995), Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục Hà Nội. 

13. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nxb Giáo dục Hà Nội. 

14. Trịnh Thị Phương Thảo, Hoàng Trọng Duẩn (2018), Ứng dụng mạng xã hội học 

tập Edmodo hỗ trợ học sinh yếu kém học tập toán, Hội nghị Khoa học Trẻ 2018 

Trường Đh Sư Phạm Hà Nội 2. 

15. Nguyễn Thụy Phương Trâm (2018), Nghiên cứu về học sinh học chậm ở nước 

ngoài và những gợi ý áp dụng trong dạy học đối tượng học sinh học chậm môn 

Toán trong nhà trường phổ thông ở Việt Nam, Tạp chí khoa học giáo dục. 


16. Nguyễn Thị Thanh Tuyên (2018), Dạy học theo hướng hỗ trợ HS lớp 4 gặp khó 

khăn trong học toán, luận án TS, ĐH Sư phạm 2. 

17. Thái Duy Tuyên (1992), Một số vấn đề hiện đại lý luận dạy học, Viện khoa học 

Giáo dục. 

79 












PHỤ LỤC 01 PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH 































PHỤ LỤC 02 PHIẾU KHẢO SÁT GIÁO VIÊN 


































Cấp độ 

Tên 

chủ đề 

(nội 

dung,chương…) 

Hàm số lượng 

giác 

Số câu 

Số điểm 

Tỉ lệ % 

Phương trình 

lượng giác cơ 

bản 

Số câu 

Số điểm 

Tỉ lệ % 

Phương trinh 



Số câu 

Số điểm 

Tỉ lệ % 

Tổng số câu 

Tổng số điểm 

Tỉ lệ % 

Nhận biết 

Tập xác 

định hàm 

số 

1 

1.0 

PTLG cơ 

bản 

1 

PHỤ LỤC 3 

Đề kiểm tra sau khi thực nghiệm 

1.0 

Giải PTLG 

bậc nhất 

đối với 

một HSLG 

1 

3 

3 

30% 

1.0 

Đề 01 

Ma trận đề 

Thông 

hiểu 

Tính chẵn 

lẻ của hàm 

số 

1 

2.0 

2 

PTLG cơ 

bản 

2.0 

Giải PTLG 

bậc hai đối 

với một 

HSLG 

2 

5 

7 

70% 

3.0 

Vận dụng 

Cấp độ thấp 

Cấp độ 

cao 

Cộng 

2 

3điểm=30% 

2 

3điểm=30% 

4 

4điểm=40% 

8 

10 

100% 













Sở GD&ĐT Bắc Giang 


KIỂM TRA 1 TIẾT 

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

Thời gian làm bài: 45 phút 




Đề bài: 

Câu I:(3,0 điểm) 

 

a) Tìm tập xác định của hàm số sau: ycot 

x 

 

4 

b) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau: y 2x sin3x 

Câu II:(3,0 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau: 

a) 

sin x 

3 

2 

b) cos x 

15 

0 1 

 

2 

c) 3 tan 2x 5 0 

Câu III:(4,0 điểm) Giải các phương trình sau: 

a) 2sin x 2 0 

b) 

c) 

2 

2cos x3cos x1 

0 

2 

3tan x 2 3 tan x 3 0 

HẾT 
















Tên 

chủ đề 

(nội 

Cấp độ 

dung,chương…) 

Hàm số lượng 

giác 

Số câu 

Số điểm 

Tỉ lệ % 

Phương trình 

lượng giác cơ 

bản 

Số câu 

Số điểm 

Tỉ lệ % 

Phương trinh 



Số câu 

Số điểm 

Tỉ lệ % 

Tổng số câu 

Tổng số điểm 

Tỉ lệ % 

Nhận biết 

1 

1 

Tập xác 

định hàm 

số 

1.0 

PTLG cơ 

bản 

Giải 

1.0 

PTLG bậc 

1 

nhất đối 

với một 

HSLG 

3 

3 

30% 

1.0 

Đề 02: 

Ma trận đề 

Thông 

hiểu 

Tính chẵn 

lẻ của hàm 

1 

2 

số 

2.0 

PTLG cơ 

bản 

2.0 

Giải PTLG 

bậc hai đối 

2 

với một 

HSLG 

5 

7 

70% 

3.0 

Vận dụng 

Cấp độ thấp 

Cấp độ 

cao 

Cộng 

2 

3điểm=30% 

2 

3điểm=30% 

4 

4điểm=40% 


8 

10 

100% 












Sở GD&ĐT Bắc Giang 


KIỂM TRA 1 TIẾT 

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

Thời gian làm bài: 45 phút 




Đề bài: 

Câu I:(3,0 điểm) 

a) Tìm tập xác định của hàm số sau: 

2 

y 2sin x tan 4x 

2 

b) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau: y 1 2x cos3x 

Câu II:(3,0 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau: 

a) sin 2x 

2 

2 

b) tan x 3 

2cos x 60 1 

0 

0 

c) 

Câu III:(3,0 điểm) Giải các phương trình sau: 

a) sin 2x 1 

0 

2 

2 cos 2x 2 1 cos 2x1 

0 

b) 

c) 

2 

3cot x5cot x 7 0 


HẾT

Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh yếu kém qua dạy học giải phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông (2018)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?