THÈSE DE DOCTORAT ELLOUMI Mounir Espaces duaux de ...

16 Généralités
La représentation π est dite unitaire, si pour tout g ∈ G, π(g) est un opérateur
unitaire, i.e.,
∀g ∈ G, ∀v ∈ H, �π(g)v� = �v�.
Deux représentations (π1, H1) et (π2, H2) de G sont dites équivalentes s’il
existe une application linéaire A de H1 dans H2 telle que
Aπ1(g) = π2(g)A, ∀g ∈ G.
On dit que A est un opérateur d’entrelacement.
Dans toute la suite, G désigne un groupe compact et dg une mesure de Haar
sur G.
Proposition 1.
i) Toute représentation unitaire de G contient une sous-représentation de
dimension finie.
ii) Toute représentation unitaire irréductible de G est de dimension finie.
Théorème 1. Soit π une représentation C-linéaire de G dans un espace
hilbertien H de dimension dπ. Alors pour tout u, v ∈ H,
�
|〈π(g)u, v〉| 2 dg = 1
�u� 2 �v� 2 ,
G
et, par polarisation, pour u, v, u ′ , v ′ ∈ H,
�
〈π(g)u, v〉〈π(g)u
G
′ , v ′ 〉dg = 1
〈u, u
dπ
′ 〉〈v, v ′ 〉.
On désigne par L 2 π(G) le sous-espace de L 2 (G) engendré par les coefficients
de la représentation π, i.e., les fonctions de la forme
dπ
g ↦→ 〈π(g)u, v〉 (u, v ∈ H).
Théorème 2. Soient (π, H) et (π ′ , H ′ ) deux représentations unitaires irréductibles
d’un groupe compact G qui ne sont pas équivalentes. Alors L2 π(G)
et L2 π ′(G) sont deux sous espaces orthogonaux de L2 (G) :
�
(u, v ∈ H, u ′ , v ′ ∈ H ′ ).
〈π(g)u, v〉〈π
G
′ (g)u ′ , v ′ 〉dg = 0