THÈSE DE DOCTORAT ELLOUMI Mounir Espaces duaux de ...

20 Généralités
1.4 Groupes de Lie nilpotents et exponentiels
1.4.1 Définitions
Soit (g, [, ]) une algèbre de Lie réelle de dimension finie.
On considère la suite décroissante de sous-ensembles (g k ) définie par g 1 = g,
g 2 = [g, g] et par récurence
g k+1 = [g k , g], ∀k ∈ N
L’algèbre g est dite nilpotente si g k = {0} pour un certain k ∈ N.
Un groupe de Lie G est dit nilpotent si son algèbre de Lie g est nilpotente.
On considère maintenant une deuxième catégorie de suite décroissante de
sous-ensembles (g (k) ) définie par g (1) = g, g (2) = [g (1) , g (1) ] et par récurence
g (k+1) = [g (k) , g (k) ], ∀k ∈ N
L’algèbre g est dite résoluble si g (k) = {0} pour un certain k ∈ N.
Un groupe de Lie G connexe simplement connexe et son algèbre de Lie g sont
dits résolubles exponentiels ou plus simplement exponentiels, si l’application
exponentielle :
exp : g −→ G
est un difféomorphisme de classe C ∞ . Désignons par log son application réciproque.
Dans la suite G désignera un groupe de Lie exponentiel connexe simplement
connexe, dont l’algèbre de Lie sera notée g. Soit g ∗ l’espace vectoriel des
formes linéaires sur g.
Soit l ∈ g ∗ . On définit une forme bilinéaire alternée sur g × g par
Bl(X, Y ) = 〈l, [X, Y ]〉, ∀X, Y ∈ g.
On appelle polarisation pour l dans g toute sous algèbre pl de g vérifiant :
(i) pl est isotrope pour Bl, i.e., 〈l, [pl, pl]〉 = 0,
(ii) dim(pl) = 1(dim(g)
+ dim(g(l))).
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