THÈSE DE DOCTORAT ELLOUMI Mounir Espaces duaux de ...

26 Généralités
Théorème 6. Soient π ∈ � G et (πk)k∈N une famille de représentations unitaires
irréductibles de G. Alors (πk)k converge vers π dans ˆ G si, et seulement
si, pour un vecteur unitaire ξ de Hπ il existe ξk dans Hπk tels que �ξk�Hπ k = 1
et 〈πk(.)ξk, ξk〉 converge uniformément sur tout compact de G vers 〈π(.)ξ, ξ〉.
La topologie faible σ(L ∞ (G), L 1 (G)) sur l’ensemble des fonctions continues
de type positif ϕ de G telles que ϕ(e) = 1 coïncide avec la topologie de la
convergence uniforme sur tout compact de G.
Théorème 7. Soit (πk, Hπk )k∈N une famille de représentations unitaires irreducibles
de G. Alors (πk)k converge vers π dans � G, si et seulement si, pour
un (resp. pour chaque) vecteur non nul ξ dans Hπ, il existe ξk ∈ Hπk telle que
la suite des formes linéaires (〈πk(.)ξk, ξk〉)k ⊂ C ∗ (G) ′ converge faiblement sur
un sous espace dense dans la C ∗ -algèbreC ∗ (G) de G vers la forme linéaire
〈π(.)ξ, ξ〉.
Si G est un groupe de Lie, alors on désigne respectivement par g l’agèbre de
Lie de G et par U(g) l’algèbre enveloppante de g. pour une représentation
unitaire (π, Hπ) de G, on se donne H ∞ π le sous espace de Hπ constitué des
vecteurs C ∞ associés à π.
Corollaire 1. Soit π une représentation unitaire irréductible de G sur l’espace
hilbertien Hπ. Soit (πk)k∈N une famille de � G. Si (πk)k converge vers
π dans � G, alors pour un vecteur unitaire ξ de H ∞ π , il existe ξk dans H ∞ πk
(k ∈ N), telle que �ξk�Hπ k = 1 et 〈πk(D)ξk, ξk〉 converge vers 〈π(D)ξ, ξ〉,
pour tout D dans U(g).
Exemple 1. On va considérer maintenant le groupe abélien G = R n . Donc
�G := {χl, l forme linéaire sur R n } où le caractère unitaire χl est défini par
χl(x) := e −i〈l,x〉 , ∀x ∈ R n .
Théorème 8. Soit (lk)k∈N une suite de formes linéaires sur R n . Alors (χlk )k
converge localement uniformément vers χl si, et seulement si, (lk)k converge
vers l.
Démonstration. ” ⇐ ” Soit (lk)k une suite de formes linéaires sur R n converge
l. Montrons que ∀r > 0, χlk (u) tend vers χl(u), ∀u ∈ B(0, r). Or
|χlk (u) − χl(u)| = |e −i〈lk−l,u〉 − 1|.
Si on pose fk(u) = e −i〈lk−l,u〉 alors la différentielle de cette fonction est
dfk(u) = −i〈lk − l, u〉e −i〈lk−l,u〉 . Et par la suite, d’après le théorème d’inégalité
des accroissements finis on obtient
|χlk (u) − χl(u)| ≤ �lk − l��u� ≤ r�lk − l�, ∀u ∈ B(0, r).