THÈSE DE DOCTORAT ELLOUMI Mounir Espaces duaux de ...

24 Généralités
est une représentation unitaire irréductible de H 0 θ
sur Γ(χξ).
Lipsman a prouvé qu’il existe τ ∈ � (Hθ)ξ telle que τ |H 0 ϕ est un multiple du
caractère χξ ( car (Hθ) 0 ξ est distingué). Notons par Vτ l’espace vectoriel complexe
de τ. On considère le fibré vectoriel holomorphe
Eτ = (Hθ × V )/(Hθ)ξ
= {[h, v] = [hhξ, τ(hξ) −1 v] : h ∈ Hθ, hξ ∈ (Hθ)ξ, v ∈ Vτ}.
Hθ agit par translation à gauche sur Eτ. On construit l’espace des sections
holomorphes
Γ(τ) = {f : Hθ/(Hθ)ξ → Eτ, holomorphe telle que p ◦ f = 1}
où p[h, v] = h.(Hθ)ξ. La représentation σξ,τ définie par
σξ,τ(h)f(x) = h.f(h −1 .x)
est une représentation irréductible de Hθ sur Γ(τ) et toutes les représentations
irréductibles de Hθ sont obtenues de cette façon.
D’après [Lip], il existe une bijection entre ˇ Hl, l’ensemble des représentations
unitaires irréductibles de dimension finie τ de Hl = (Hθ)ξ telles que τ |H 0 l est
un multiple de χξ, et l’ensemble des représentations unitaires irréductibles
de dimension finie σξ,τ de Hθ dont la restriction sur H0 θ est un multiple de
⊕�
h.νξ.
H 0 θ /(H0 θ )ξ
Soit γ ∈ ˆ N induite de θ et ˜γ l’extension canonique de γ sur HθN, alors la re-
G
présentation πl,τ = ind σξ,τ ⊗˜γ est une représentation unitaire irréductible
hol HθN
de G et tous les éléments de ˆ G sont obtenus de cette façon.
1.7 Topologie sur le dual unitaire d’un groupe
localement compact
Dans ce paragraphe, G désigne un groupe localement compact, et � G l’ensemble
des classes d’équivalence de représentations unitaires irréductibles de
G. On se donne (π, Hπ) une représentation unitaire irréductible de G sur l’espace
de Hilbert Hπ. Soit f ∈ L1 (G), on lui associe sa transformée de Fourier
en π définie par l’opérateur
�
π(f) := f(g)π(g)dg.
G