THÈSE DE DOCTORAT ELLOUMI Mounir Espaces duaux de ...

18 Généralités
Inversement, supposons que (Ok)k converge vers une orbite O dans l’espace
des orbites g ∗ /G. Alors pour tout l ∈ O, on peut trouver une famille décroissante
de voisinages ouverts relativement compacts (Vn)n de l telle que
Les ensembles
V n+1 ⊂ Vn et � Vn = {l}.
Un := Ad(G)Vn
sont des voisinages ouverts G-invariants de O. Donc, il existe kn ∈ N tel que
Ok ⊂ Un pour tout k ≥ kn. On peut supposer que la suite (kn)n est croissante
et que lim
n→∞ kn = +∞. Pour kn ≤ k ≤ kn+1, on choisit un élément
lk ∈ Ok ∩ Vn.
Si V est un voisinage de l alors V contient Vn pour certain n ∈ N et par suite
lk ∈ V pour tout k ≥ kn. Ceci prouve que lim
k→∞ lk = l.
1.3 Représentations induites
Dans ce paragraphe, G désigne un groupe de Lie d’algèbre de Lie g. Soient
dg une mesure invariante à gauche sur G et ∆G la fonction module de G, qui
est définit par la relation :
�
f(gx −1 �
)dg = ∆G(x) f(g)dg,
G
pour tout x ∈ G, et f ∈ Cc(G), l’espace des fonctions continues sur G à
support compact.
Soit H un sous-groupe fermé de G d’algèbre de Lie h. On note par ∆H,G le
caractère positif de H défini par
pour tout h ∈ H. Comme
on a
G
∆H,G(h) = ∆H(h)
∆G(h) ,
∆G(x) = | det(Ad(x))| −1 (x ∈ G),
∆H,G(exp(X)) = e tr g/h(adX) (X ∈ h),
où exp est l’application exponentielle de g dans G, et ad est la représentation
adjointe de l’algèbre de Lie g sur g. Il est clair que si H est un sous-groupe
distingué de G alors ∆H,G = 1.