Introducción a la Lógica Algebraica ∗ - Facultad de Matemáticas ...

• Debe ser completa, o sea, si Γ ψ, entonces Γ ⊢ ψ. Esta es la
propiedad que andamos buscando, ser capaces de demostrar sintácticamente
a partir de Γ , todas sus consecuencias lógicas.
Como hicimos notar más arriba, introducir un lenguaje formalizado es imprescindible
para establecer la estructura lógica de las oraciones y argumentos.
Es necesaria también para eliminar las ambiguedades de los lenguajes
naturales. Resulta también útil para aplicarles herramientas matemáticas.
Un lenguaje proposicional, o simplemente un lenguaje, es un conjunto CL
de símbolos llamados conectivos lógicos. Cada conectivo está asociado con
un número natural, su aridad (o rango). Estos definen el tipo de similaridad
del lenguaje, una función ρ : L −→ ω, que en adelante subentenderemos sin
mayor mención. Las constantes son consideradas conectivos de aridad cero.
El conjunto FmL de las fórmulas de CL se define recursivamente de la
manera usual a partir de los conectivos lógicos y de un conjunto de variables
proposicionales P = {pj : j ∈ ω} aplicando un número finito de las reglas
siguientes:
• P ⊆ FmL.
• Si α ∈ L es un conectivo n–ario y ϕ1, . . . , ϕn ∈ FmL , entonces
α(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn) ∈ FmL.
Si α es un conectivo binario, usaremos la notación habitual ϕ1 α ϕ2, en lugar
de α(ϕ1, ϕ2).
Lema 1 FmL es el conjunto mas pequeño que contiene a P y que es cerrado
bajo todos los conectivos lógicos, considerados como funciones α : FmL n −→
FmL, donde n es la aridad de α y α(ϕ, ψ) = ϕ α ψ.
Ejemplos:
1. El Cálculo Proposicional Clásico (CPC), tiene por lenguaje los conectivos
L = {→, ∧, ∨, ¬} y su tipo de similaridad es 〈2, 2, 2, 1〉. Las fórmulas, además
de las variables proposicionales, son ϕ1 → ϕ2 , ϕ1 ∧ ϕ2 , ϕ1 ∨ ϕ2 y ¬ϕ1.
10