Introducción a la Lógica Algebraica ∗ - Facultad de Matemáticas ...

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Un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo. En tal caso, f(A) = B y decimos que A y B son isomorfas, lo que denotamos A ∼ = B . Si bien lo presentamos como un caso particular, el concepto de isomorfismo es más elemental que el de homomorfismo. Dos álgebras isomorfas son iguales en todo sentido algebraico, sólo difieren en sus elementos y los símbolos usados para denotar sus operaciones. Dada una familia 〈Ai : i ∈ I〉 de álgebras del mismo tipo, su producto directo A = i∈I Ai es el álgebra cuyo universo es el conjunto de todas las funciones f : I −→ tales que para cada i ∈ I, f(i) ∈ Ai y para cada operación n–aria ω, y f1, f2, . . . , fn elementos de A , ω A (f1, f2, . . . , fn) : I −→ esta definida por i∈I Ai i∈I Ai ω A (f1, f2, . . . , fn)(i) = ω Ai (f1(i), f2(i), . . . , fn(i)). Abusando un poco de la nomenclatura, podemos considerar I como el conjunto de las coordenadas de los elementos de A, de tal manera que cada coordenada de un elemento de A pertenece al (universo del) álgebra correspondiente y las operaciones se hacen coordenada a coordenada. De hecho, si I es finito, el producto directo de A1, A2, . . . , An es isomorfo al producto cartesiano A1 × A2 × · · · × An . Una variedad es una clase de álgebras cerrada bajo imágenes homomorfas, subálgebras y productos directos. 2.3 Ecuaciones Una L–ecuación (o simplemente ecuación) ([1], pag. 13 ), es una expresión de la forma ϕ ≈ ψ, donde ϕ, ψ ∈ T erm(X), denotaremos al conjunto de las ecuaciones de CL por EqL. 18
En el Algebra Abstracta se estudia clases de álgebras, de un tipo de similaridad dado, definidas por ciertas propiedades o axiomas. Para nosotros reviste especial importancia aquellas clases de álgebras que satisfacen ciertas ecuaciones, o clases ecuacionales. Un importante teorema demostrado por Birkhoff dice que una clase de álgebras es ecuacional si y sólo si es un variedad. (Ver [4] pag. 75). Ejemplos: 1. La variedad de los retículos es la clase de todas las álgebras L = 〈L, ∨, ∧〉, donde ∨ , ∧ son operaciones binarias sobre L que verifican las identidades: R1 x ∨ x = x x ∧ x = x (Idempotencia) R2 x ∨ y = y ∨ x x ∧ y = y ∧ x (Conmutatividad) R3 x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z (Asociatividad) R4 x ∨ (x ∧ y) = x x ∧ (y ∨ z) = x (Absorción) Si además verifica R5 x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) (Distributividad) hablamos de la variedad de los retículos distributivos. Por ejemplo, el álgebra 2 definida más arriba es un retículo distributivo. 2. La variedad de las Algebras de Boole es la clase de todas las álgebras B = 〈B, ∨, ∧, ′ , ⊥, ⊤〉, tales que B = 〈B, ∨, ∧〉 es un retículo distributivo, ′ es una operación unaria y ⊥, ⊤ son constantes tales que: B1 x ∨ ⊤ = ⊤ (Ultimo elemento) x ∧ ⊥ = x (Primer elemento), 19
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