Introducción a la Lógica Algebraica ∗ - Facultad de Matemáticas ...

se estudian las propiedades elementales de los conjuntos, uniones, intersecciones,
subconjuntos, relaciones y funciones y demás. No se percibe ninguna
teoría sino más bien otro poco de “lenguaje matemático”. Nuevamente, si
tenemos suerte, se nos hace notar la similitud entre los conectivos ¬, ∨, ∧
y las operaciones conjuntistas c , ∪, ∩, de complemento, unión e intersección,
respectivamente. El programa del curso prosigue con diversos temas en los
que no se percibe la menor relación con esa “Lógica” y esa “Teoría de Conjuntos”,
salvo por el uso de los símbolos que usamos como una taquigrafía
que nos permite ahorrar unas pocas palabras.
Con todo, las personas más atentas no pueden dejar de percibir ciertas analogías
entre esta manipulación simbólica y las operaciones aritméticas. Por
ejemplo, reemplazando los símbolos adecuadamente, vemos que
o
p ∧ q ↔ q ∧ p
A ∪ B = B ∪ A
x · y = y · x ,
p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
x · (y + z) = (x · y) + (x · z) ,
son instancias de reglas muy similares, las que bien podemos llamar conmutatividad
y distributividad, respectivamente.
Por supuesto, haciendo el mismo reemplazo, hay otras que no se cumplen,
por ejemplo, mientras p ∨ p ↔ p es una tautología, su identidad asociada
x + x = x se cumple sólo si x = 0.
Podemos así pensar que esta relación entre oraciones tautológicamente equivalentes
e identidadesaritméticas genera un álgebra diferente, que comparte
algunas propiedades con aquella de los números enteros, pero que difiere en
otras. ¿Qué estructura tiene esta álgebra? ?Se le puede asociar una clase
de álgebras abstractas como similar a los anillos, grupos, etc.? Estas son
algunas de las motivaciones iniciales de la lógica algebraica.
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