Capítol 12 Fonts del camp magnètic

µ 0 Idl
µ 0I
⎛ ⎞
⎜
rdα
rdα
⎟
µ 0I
C = =
= ( α1
− α1)
= 0
2 2 ⎜
−
π ∫ r π ∫ ∫ ⎟
⎝ r r 2π
1 2 ⎠
Per tant, quan el camí tancat no envolta el corrent, la circulació és nul·la.
Sols hi contribueixen els corrents envoltats pel camí tancat.
En el cas que tinguem corrents que estiguen envoltats i no envoltats, la
circulació depén sols de la suma algebraica de les intensitats envoltades
per la corba tancada, tal com diu el teorema.
Hi ha també una forma diferencial del teorema d’Ampère que estableix la
relació entre el camp magnètic en un punt, el rotacional, i la densitat de
corrent en aquest punt:
r r
∇ × B = µ 0J
Per al camp magnètic únicament en els punts on no hi ha corrent elèctric
∇ × B = 0
r
, mentre que en un camp elèctric, pel fet de ser conservatiu, en
tots els punts ∇ × E = 0
r
.
De la mateixa manera que passava amb el teorema de Gauss de
l’electrostàtica, el teorema d’Ampère es pot utilitzar per a calcular camps
magnètics produïts per corrents, però únicament en casos en què un alt grau
de simetria fa possible el càlcul de la circulació i extraure el camp. A
continuació veurem diversos casos en què es donen aquestes condicions de
simetria necessàries per a aplicar el teorema.
Camp magnètic creat per un corrent rectilini indefinit
Ara calcularem el camp magnètic produït per un corrent infinit a una
distància x d’aquesta. El cas ja s’ha analitzat utilitzant la llei de Biot i Savart en
la pàgina 12-8; ara arribarem al mateix resultat utilitzant un camí més curt.
r
B
r
dl
x
Figura 12.1. Circulació del camp
magnètic al llarg d’una
circumferència. En la figura el
corrent és normal al pla i amb
sentit cap a dins.
I
Atés que el camp magnètic no varia de mòdul
en desplaçar-se per una circumferència centrada en
el conductor (Figura 12.1), i el camp és tangent a la
circumferència en tot moment, considerem una
circumferència de radi x com a corba en la qual
aplicar el teorema d’Ampère. La circulació de B r al
llarg de la longitud de la circumferència és:
r r
∫ B ⋅d l = ∫ Bdl
= B ⋅ 2πx
ja que B r i l r
d són paral·lels en tot punt de la
circumferència. Finalment, en aplicar el teorema, la
corba envolta el corrent I, i obtenim:
B·2πx = µ0I
µ 0I
B
=
2πx
que és el mateix de l’Equació 12.2 de la pàgina 12-11
que s’havia obtingut aplicant la llei de Biot i Savart.
12-18