Capítol 12 Fonts del camp magnètic

12-1
Capítol 12
Fonts del camp magnètic
12.1 Introducció
12.2 Experiència d’Oersted
12.3 Llei de Biot i Savart
12.4 Flux magnètic
12.5 Teorema d’Ampère
12.6 Magnetisme en la matèria
12.7 Problemes
Objectius
• Utilitzar la llei de Biot i Savart per a calcular el camp magnètic
creat per un corrent en un punt qualsevol de l’espai per a
situacions senzilles.
• Conéixer les característiques del camp magnètic creat per
corrents que circulen per conductors rectilinis, espires
circulars i solenoides.
• Utilitzar el teorema d’Ampère i discutir-ne els usos i les
limitacions.
12.1 Introducció
En el capítol 11 s’han estudiat les forces que els camps magnètics
exerceixen sobre càrregues elèctriques en moviment i sobre corrents. En
aquest capítol es tractarà de com i on s’originen els camps magnètics, i veurem
que el seu origen són les càrregues en moviment i els corrents elèctrics.
Fins al segle XIX, hi havia una visió dels camps magnètics com un fet
separat de la resta dels fenòmens elèctrics; d’una banda estaven els fenòmens
magnètics i, de l’altra, els fenòmens elèctrics. Com a causa de camps
magnètics sols es coneixien els imants i la Terra. Tot això va canviar amb la
cèlebre experiència d’Oersted el 1820.
La generació artificial de camps magnètics té una rellevància tecnològica
de primer ordre, ja que està present en multitud d’aplicacions: generadors,
capçals d’enregistrament de cintes i discos magnètics, equips de ressonància
magnètica…, per citar-ne uns quants.

12.2 Experiència d’Oersted
Aquest experiment va constituir la primera demostració de la relació
existent entre l’electricitat i el magnetisme. L’experiència va consistir a fer
circular un corrent elèctric en la rodalia d’una brúixola, i observar com aquesta
s’orientava perpendicularment al pas del corrent, tal com mostra la Figura 12.1.
En la figura es representa l’efecte d’un corrent situat diametralment respecte de
la brúixola i en distints plans.
O
N
S
E
O
I
N
S
a) b) c)
Figura 12.1. Experiència d’Oersted. En a la brúixola s’orienta segons el camp magnètic
terrestre. En b circula un corrent en un pla inferior al pla de la brúixola, i aquesta s’orienta
perpendicularment al corrent. En c circula un corrent en un pla superior al pla de la brúixola, i
aquesta s’orienta perpendicularment al corrent i en sentit contrari a b.
L’experiència va servir per concloure que els corrents elèctrics són la
font dels camps magnètics. Es demostrava que, tot i que les càrregues
elèctriques en repòs no tenen efectes magnètics, els corrents elèctrics, és a dir,
les càrregues en moviment, creen camps magnètics i es comporten, per tant,
com ho fan els imants. Aquest experiment es pot qualificar d’històric, i va
marcar l’inici d’una era en què l’electricitat i el magnetisme serien distintes
manifestacions d’una mateixa interacció: l’electromagnetisme.
12.3 Llei de Biot i Savart
El camp magnètic creat per una càrrega elèctrica en moviment en un
punt P qualsevol ve donat per l’expressió:
r
dB
r r
r r
q
µ 0q
v × r
v
B = 3
4π r
r
r P
12-2
E
O
I
Equació 12.1
En aquesta relació, q és el valor de la càrrega, v r la velocitat amb què es
mou, i r r és el vector que va dirigit des de la càrrega fins al punt problema o
punt on es vol calcular el camp. A més, apareix una nova constant denominada
permeabilitat magnètica del buit µ0, que és una constant universal el valor de la
qual és:
µ0 = 4π⋅10 -7 N·A -2
Generalment seran els moviments de càrregues en corrents elèctrics els
que originen els camps magnètics. Per a calcular el camp cal aplicar
N
S
E

superposició utilitzant l’expressió anterior. Considerant les càrregues lliures que
es mouen per un volum elemental dv d’un conductor, el camp que generen en
el punt P serà:
r
r
− r
µ 0(
n·
e · dv)
v a × r
dB
=
3
4π
r
En la relació, n és la densitat d’electrons lliures, e - la càrrega de l’electró,
i va la velocitat d’arrossegament dels electrons. D’aquesta manera es podrà
expressar el camp en funció de la densitat de corrent en el volum elemental
considerat:
r
r
r
µ 0 J × r
dB = dv 3
4π
r
Per a calcular el camp magnètic que origina un corrent elèctric, se
suposa un conductor filiforme de característiques homogènies i secció S. El
volum elemental serà igual a la longitud d’un tram del conductor dl, per la
secció S, i la densitat de corrent estarà relacionada amb la intensitat a través
de l’àrea de la secció del conductor (JS = I):
r
r
r
r
r
µ 0 J × r µ 0I
dl(
u × r )
dB
= ( dlS)
=
3
4π r 4π
r
D’aquesta manera, s’arriba a la llei de Biot i Savart. Aquesta relació
matemàtica permet calcular el camp magnètic que origina un element de
corrent, és a dir, un corrent I de longitud elemental l r
d , en un punt qualsevol P.
El camp magnètic elemental dB r originat en el punt P de la figura es dedueix de
l’expressió anterior:
B
I
r
Idl
α
r
dB
r
r P
12-3
3
A
r
r
r
µ 0I
dl
× r
dB
= 3
4π r
Equació 12.2
Figura 12.1. Camp magnètic elemental produït per un element de corrent en el punt P.
Dos detalls requereixen que fixem la nostra atenció. En primer lloc,
observeu que es tracta d’un producte vectorial, per la qual cosa el camp
elemental dB r és normal al pla format per r r i l r
d . En la figura s’ha ombrejat el
pla format per l r
d i r r , i per tant, dB r és perpendicular a aquest pla i amb el
sentit que s’obté amb la regla de la mà dreta.
En segon lloc, convé subratllar que la llei de Biot i Savart no està
integrada, és a dir, serveix per a obtenir el camp magnètic elemental originat
per un corrent elemental. Si es vol obtenir el camp magnètic creat per un
corrent no elemental, com un corrent circular, infinit o altres, caldrà aplicar
superposició integrant l’Equació 12.2 entre el primer element de corrent i l’últim.

r B r
µ 0I
dl
× r
B =
Equació 12.3
∫ 3
4π
A r
Aquesta equació general s’aplicarà a continuació per a calcular el camp
magnètic produït per corrents amb geometria simple.
Camp magnètic produït per una espira de corrent al seu centre
Es tracta d’aplicar l’Equació 12.3 a tot un corrent circular, per a la qual
cosa caldrà sumar (integrar) els camps elementals produïts pels corrents
elementals al llarg de tota la circumferència. En primer lloc, s’identifiquen els
elements de corrent, que són tangents a la circumferència. El vector distància
r r coincideix amb el radi de la circumferència en cada punt, per la qual cosa en
tot punt l r r r
r
d i r = R formen 90º. D’altra banda, el mòdul de r és constant i igual
al radi, per la qual cosa s’obté simplificant i integrant:
I
r
R
r
dl
r
B
r
u
r
B
12-4
centre
r r
2πR
2πR
µ 0 I dl
× R µ 0 I dl·
R r
= u
3
3
4π
∫ =
=
R 4π
∫ R
0
µ 0 I
=
4πR
Figura 12.1. Camp magnètic en el centre d’una espira.
2
r µ 0I
r
2πRu
= u
2R
El vector u r és l’unitari del camp magnètic, normal al pla d’espira i el
sentit del qual es pot obtenir amb la regla de la mà dreta aplicada als elements
de corrent, o més fàcil, amb la regla del vis aplicada al sentit de gir del corrent a
l’espira.
Pot observar-se que l’espira es comporta de la mateixa manera que un
imant, amb la cara nord o cara on emergeixen les línies de camp, i la cara sud,
o cara on se submergeixen les línies de camp.
Exemple 12.1
Figura 12.2. Línies de camp en una espira i en un imant.
El camp magnètic en el centre d’una espira de 5 cm de radi per la qual
N
S
0

circulen 3 A val:
4π
⋅10
B =
01,
−7
12-5
⋅ 3
=
37,
7
Camp magnètic creat per una espira circular en un punt qualsevol de l’eix
Es tracta ara d’un cas més general que l’anterior, i aplicable no sols per
al centre de l’espira, sinó per a qualsevol punt de l’eix perpendicular al pla de
l’espira que passe pel centre.
L’espira és recorreguda per un corrent I, té radi R, i es calcula el camp a
una distància z del centre.
La resolució de la integral planteja dificultats per a resoldre-la
vectorialment, ja que tant l r
d com r r varien de direcció en cada element de
corrent. Per a facilitar la resolució, s’ha de buscar alguna situació de simetria
que permeta simplificacions en la resolució del problema.
z
x
I
y
ρ
dλ
ρ
dB
ρ
r
moment.
R
α
α
dBz = dBsinα
Figura 12.1. Els diferents B
d r formen una
superfície cònica en P, i s’anul·len els
components transversals dBx i dBy.
P
z
µ T
Situant un sistema de referència com
el de la figura, s’observa que cada element
de corrent I l r
d crea en P un camp dB r amb
dos components transversals dBx i dBy, i un
component longitudinal dBz. Els components
transversals s’anul·laran quan se sumen
(integren), ja que diferents dB r descriuen una
superfície cònica amb vèrtex en P, com pot
veure’s en la figura. D’aquesta manera,
únicament el component longitudinal de dB r
en la direcció de z és el que ens interessa.
r r r
= dB k = dBsinαk
∫
B z
µ 0I
dl
∫ dBsinα = sinα
π ∫ , 2
4 r
ja que l r
d i r r són perpendiculars en tot
µ 0I µ 0I
B = sinα
d sinα
2πR
2
2
4πr
∫ l = ⋅ ,
4πr
perquè r i α són constants per a qualsevol element de corrent.
Finalment, queda:
µ 0I
2 µ 0I
3
B = sin α = sin α
2r
2R
µ 0I
3
B = sin α
Equació 12.1
2R
Com un cas particular, pot trobar-se el camp magnètic en el centre de l’espira,
fent α = 90º, i obtenim el mateix resultat que en el cas anterior:
∫

I
µ 0I
B =
2R
Figura 12.2. Línies de camp magnètic en una espira de
corrent.
Camp magnètic en l’interior d’un solenoide recte
Un solenoide és un
conductor enrotllat que
forma espires disposades
en forma d’hèlix, i
comporten la idealització
de les bobines utilitzades
en els circuits. Les bobines
estan formades per
conductors recoberts
d’una capa aïllant que
12-6
En altres punts que no es
troben en l’eix de l’espira, el
camp magnètic seria de menor
mòdul, i la seua direcció no
estaria alineada amb l’eix. Així,
molt prop del conductor, pot
considerar-se com una variant
del conductor rectilini indefinit
(línies quasi circulars) que es
tractarà més endavant.
Figura 12.1. Solenoide recte
forma una o més capes d’espires enrotllades al voltant d’una carcassa rígida.
Atenent al seu “tall”, els solenoides són de secció circular o rectangular, i
també poden ser rectes o toroïdals, en els quals l’eix del solenoide és una
circumferència.
Ara estudiarem el de geometria més simple: el solenoide recte. Es
considerarà com si es tractara d’un conjunt d’espires disposades paral·lelament
una a continuació de l’altra sense discontinuïtat entre aquestes. Així, el camp
magnètic produït en un punt de l’eix del solenoide serà la suma del camp
elemental produït per cadascuna de les espires elementals. Això és equivalent
a considerar el solenoide com un cilindre continu de corrent. Per tant, cal
considerar el camp produït per una espira elemental de radi R per la qual
circula di en un punt qualsevol de l’eix. Segons s’ha vist en l’apartat anterior, el
camp està dirigit en la direcció de l’eix del solenoide, el sentit s’obté aplicant la
regla del vis a la intensitat de corrent, i el mòdul val:

di
R
α
µ di
dB =
2R
r
dB
0 3
sen
α
Figura 12.2. Camp produït per una
espira per la qual circula di.
dz
12-7
α
z
R L
di
r
dB
Figura 12.3. Camp produït per N espires
esteses des de z = 0 fins a z = L.
Si denominem N el nombre de voltes o espires; L la longitud del
solenoide, en el qual cada espira elemental ocupa una capa de gruix dz.
D’aquesta manera, el solenoide serà un conjunt infinit d’espires de gruix dz, i
apilades des de z = 0 fins a la totalitat de la longitud del solenoide, és a dir fins
a z = L.
A més, si la distribució d’espires és homogènia, el corrent total NI és
directament proporcional a la longitud total L, de la mateixa manera que el
corrent d’una espira elemental, di és directament proporcional al seu gruix, dz.
Això es relaciona di amb dz
NI di NI
= → di = dz
L dz L
El camp elemental produït per aquesta espira elemental es calcularà
d’acord amb l’Equació 12.1:
µ 0di
3 µ 0NI
3
dB = sin α = sin αdz
2R
2RL
si s’introdueix la relació entre α i dz, i se substitueix:
R
z = → α
tanα
α d
− R
dz = 2
sin
pot calcular-se el mòdul del camp:
α2
0NI µ 0NI
− sinαdα
=
2 cos
2L
α
2
1
µ
B = ∫ L
( cosα
− α )
on α2 i α1 són els angles corresponents als límits de la integració, és a dir, els
angles amb els quals es veu des del punt problema l’última espira i la primera
respectivament. La direcció i el sentit del camp serà el mateix que el del creat
per les espires elementals.
1

Si el solenoide és molt llarg comparat amb el seu radi, L>>R, en un punt
de l’interior tindrem,
α1 → 0º; α2 → 180º →
0NI
B
L
µ
≈
Equació 12.1
En la Figura 12.5 es pot observar la influència de la relació longitud–radi
en un solenoide. Està representat el camp magnètic en funció de la posició en
l’interior per a distints solenoides de la mateixa longitud i distint radi. El màxim
representa el valor que s’obtindria amb la fórmula aproximada (Equació 12.1).
En els solenoides estrets (L/R > 5), quasi no hi ha variació de camp magnètic
dins del solenoide, i el seu valor coincideix amb l’aproximació. En els amples
(L/R < 5), el camp no és uniforme, i el màxim no assoleix el valor de
l’aproximació.
Figura 12.4. Materialització de les línies
de camp magnètic en un solenoide
amb llimadures de ferro.
Exemple 12.1 (opcional)
B / (µ0NI/L)
1
0.5
0
-2 -1 0 1 2
x/ (L/2)
12-8
L/R
1
2
5
10
100
Figura 12.5. Camp magnètic dins de solenoides de distint radi:
disminueix a la meitat a les vores, i ràpidament fora. En els
estrets és quasi uniforme.
Calculeu el camp magnètic en el centre d’un solenoide de 1,4 cm de
radi, si té 600 espires i circula 4 A en el cas que la seua longitud siga:
a) 20 cm
b) 2 cm
Compareu el resultat obtingut amb el corresponent a la fórmula aproximada,
i discutiu-ne les limitacions.

Solució
µ 0NI Exactament val B = ( cosα
2 − cosα1)
2L
El significat dels angles, està representat en la figura. S’hi
pot deduir que:
L
cosα
1 = 2 cos α2 = -cosα1
2
2 ( L ) + R
2
µ 0NI B = 2cosα1
2L
Expressió en la qual es dedueix que per a solenoides molt
llargs, α1 → 0; i B ≈ µ0NI/L
0,
1
a) Fent L = 0,2 m, cosα1
=
= 0,
99
2
2
0,
1 + 0,
014
−7
4π ⋅10
⋅600
⋅ 4
−2
B =
2⋅
0,
99 = 1,
49 ⋅10
T
0,
4
Amb l’expressió aproximada (Equació 12.1) obtindríem,
µ 0NI −2
B = = 1,
5 ⋅10
T
L
L’errada comesa és intranscendent perquè el radi del solenoide és molt petit
comparat amb la seua longitud.
0,
01
b) cosα1
=
= 0,
58
2
2
0,
01 + 0,
014
−7
4π ⋅10
⋅600
⋅ 4
−2
B =
2⋅
0,
58 = 8,
76 ⋅10
T
0,
04
Amb l’expressió aproximada obtindríem,
µ 0NI −2
B = = 15,
1⋅10
T
L
Ara l’expressió aproximada ens proporciona molt d’error, ja que el radi és
comparable a la longitud.
Les limitacions de l’expressió aproximada ja s’han tractat en discutir la
Figura 12.5. En l’apartat a la relació longitud/radi és de 14 aproximadament,
per la qual cosa l’aproximació és bona. En l’apartat b, L/R val 1,4, per la
qual cosa l’expressió aproximada no dóna bon resultat.
Camp magnètic creat per un corrent rectilini
Es tracta ara d’obtenir el camp magnètic produït per un corrent rectilini I
de qualsevol longitud.
Aplicant la llei de Biot i Savart, es calcula el camp magnètic elemental
dB r creat per un element de corrent, I l r
d , a
r
una distància x del corrent:
r
r
µ 0I
dl
× r
dB
=
3
4π r
12-9
L/2
α1
R
α2
L

I
r
B
r
dl
y
12-10
I
α
x
r
r
r
dB
Figura 12.1. La direcció i el sentit del camp magnètic vénen donats pel producte
r r
vectorial dl
× r , o esquemàticament, per la regla del vis o de la mà dreta.
La direcció i el sentit del camp magnètic són els mateixos per a tots els
elements de corrent: perpendicular al pla format pel corrent i el punt considerat,
i sentit, l’assenyalat en la Figura 12.1. D’aquesta manera, el camp resultant
tindrà per mòdul la suma de mòduls i la mateixa direcció i sentit assenyalats:
r r
r ⎛
I dl
r ⎞
⎜ µ × r
0 ⎟
B = ⎜∫
u 3 B
r
⎟
⎜ 4π
⎟
⎝
⎠
Les línies del camp magnètic seran circumferències l’eix de les quals és
el corrent, tal com s’observa en la Figura 12.1.
En l’expressió del camp d × r = dy s i nα
r r
l
, i en la figura s’observa que:
x
tgα
=
y
− xdα
dy = 2
sin α
x
r =
sinα
substituint en la llei de Biot i Savart, prenent com a límits d’integració els
extrems del fil y1 i y2, α1 i α2 en prendre com a variable d’integració α:
µ 0 I
B =
4π
y2
∫
y1
dysinα
µ 0 I
= 2
r 4π
α
2
∫
α
1
− xdα
sinα
2 2
sin α x
2 µ 0 µ 0 α α
2 cos
4π
4π
1
α
I
I
− sin d =
x α
= ∫ x
2
sin α
( cosα
− α )
Resulta més còmode treballar amb els angles subestesos en el punt problema
pels extrems del conductor, θ1 i θ2 (Figura 12.2), fent:
cos α2 = -sin θ2;cos α1 = sin θ1 i prenent el parèntesi en valor absolut.
Finalment, s’obté:
µ 0I
B = ( sinθ
2 + sinθ1
)
Equació 12.1
4πx
1

I
α1
α2
L’expressió obtinguda pot considerar-se
general per a qualsevol corrent rectilini. Vegemne
dos casos concrets:
a) Corrent indefinit. Un corrent indefinit no
significa necessàriament infinit, sinó simplement
es calcula el camp magnètic en un punt molt
pròxim al conductor, i des d’aquest punt es “veu”
el conductor molt llarg.
En aquest cas θ1 = 90º i θ2 = 90º, i obtenim:
µ 0I
B =
2πr
Camp produït per un corrent infinit a una distància r.
b) Rodalia d’un extrem del corrent indefinit.
En aquest cas, θ1 = 0º i θ2 = 90º, i obtenim:
µ 0 I
µ 0I
B = ( sin0º
+ sin90º
) =
4πx
4πx
és a dir, la meitat que en el cas anterior.
Exemple 12.1
Calculeu el camp magnètic produït pel corrent
indefinit de la figura, en el punt O.
Solució
El corrent es pot dividir en quatre trams. El camp total
serà la suma dels quatre, i en tots els casos,
perpendicular al pla del paper i entrant.
I
x
a/2
θ2
θ1
Figura 12.2. Angles inicial i final.
O
r B
I a
θ 2
a/2
O
12-11
O
I
a
θ1 θ2
I
O
Equació 12.2
a) b) c) d)
Vegem per parts, el camp produït per cada tram.
a) El camp produït és nul pel fet de ser paral·lels el corrent i el vector que
r r
uneix qualsevol element de corrent amb el punt O, dl
× r = 0.
b) Es tracta d’un corrent rectilini amb uns angles subestesos en el punt
problema pels extrems del conductor θ1=0 i θ2.
Aplicant l’Equació 12.1:
a
a/2
I
a
O

a 2
sinθ 2 = =
a 2 5 5
2 2 a
a 2 + a =
2
µ 0I
µ 0I
= ( sinθ
2 + sinθ1)
=
4π
a 2
4π
a 2
ja que la hipotenusa val: ( ) 5
B b
12-12
2 µ 0I
=
5 πa
5
c) Es tracta d’un corrent rectilini amb θ1 i θ2 iguals:
a 2 1
sinθ1 = sinθ
2 = =
a 2 5 5
µ 0 I
µ 0I
Bc = ( sinθ
2 + sinθ1)
=
4πa
2 5πa
2
d) Aplicant l’Equació 12.1 amb 1
5
= θ sin igual que en el tram b, i θ2 = 90º
B d
µ 0I
=
4π
a 2
µ I ⎛ 1
+
⎝
0
( sinθ
2 + sinθ1
) = ⎜ ⎟
πa
2 5 ⎠
Finalment, el camp total queda:
µ I µ 0I
µ 0I
µ 0I
B = 2 + + =
πa
5 2 5πa
2πa
2πa
Exemple 12.2
1
⎞
( 5 1)
0 +
Calculeu el camp magnètic produït per dos
corrents indefinits de sentit contrari d’intensitat I,
separats una distància d en el punt P(0,d), tal
com mostra la figura.
Solució
El camp total en el punt P és la suma
vectorial
r r r
de l’exercit per ambdós corrents
B = B1
+ B2
Aplicant l’Equació 12.2:
y r
r
r
B1
y
P (0,d)
d
I I
r2
µ 0I
µ 0I
B2
B1
= B2
=
I I
2πd
2πd
2
x
d
1 2
per poder sumar els camps s’han d’escriure aquests en forma vectorial. La
direcció del camp magnètic originat per un corrent és perpendicular a la
direcció del corrent ( l r
d ) i a la direcció de la línia que uneix el corrent amb el
x

punt problema (r r ), per la qual cosa el fet més pràctic és multiplicar
aquestes dues direccions mitjançant un producte vectorial entre vectors
r r r
unitaris uB
ul
ur
× =
r r r r r r
uB1 = ul
1 × ur
1 = −k
× j = i
r r r r
r r r r ⎛ di
dj
⎞ r i j
uB u ur
k ⎜
− +
⎟
− +
2 = l 2 × 2 = ×
= k × =
⎜ d ⎟
⎝ 2 ⎠ 2
r
i
0
−1
2
r
j
0
1
2
r
k
−1
r r
1 = ( i + j )
2
0
I finalment queda,
r r r
B = B1
+ B2
µ I r I r r I r r
0 µ 0 −1
µ 0
= i +
( i + j ) = ( i − j )
2πd
2πd
2 2 4πd
Definició d’ampere e
Els corrents produeixen, com s’ha vist, camps magnètics, i
aquests al seu torn, exerceixen forces sobre els corrents. Si
dos corrents rectilinis, paral·lels, indefinits I1 i I2, que circulen en
el mateix sentit, estan separats una distància d, tal com mostra
la figura, el camp que I1 produeix on es troba I2 val:
µ 0I1
B1
=
2πd
i el que I2 produeix on es troba I1,
µ 0I2
B2
=
2πd
En ambdós casos el camp és
normal al pla format pels dos
corrents. Com a conseqüència
hi apareixeran sengles forces
sobre I1 i I2 que, per a un tram
de longitud l, valen:
r
F
r
F
21
12
r r
= I l × B
1
2
µ 0I1I
=
2πd
2
r
l(
u)
r r µ 0I1I
r
2
= I2l
× B1
= l(
−u)
2πd
12-13
r
l
I1
r
F21
d
r
B2
r
B1
r
F12
I2

que són iguals en mòdul i de sentit contrari. Per aquest motiu,
els dos conductors s’atrauen. Una anàlisi similar pot fer-se en el
cas de corrents de sentit contrari, cas en el qual aquests es
repel·leixen.
Aquest fet s’ha utilitzat i s’utilitza per a definir l’ampere, que
és la unitat fonamental addicional a les de la mecànica
necessària per a l’electromagnetisme, i com a tal es defineix de
mode arbitrari però amb el criteri que siga un procediment fidel i
fàcilment reproduïble.
L’ampere és la intensitat d’un corrent constant que, mantinguda
entre dos conductors paral·lels rectilinis, de longitud infinita, de
secció circular negligible i col·locats a la distància d’un metre
l’un de l’altre en el buit, produirà una força igual a 2⋅10 -7 N per
metre de longitud.
12.4 Flux magnètic
El flux elemental del camp magnètic a través d’una superfície elemental
dS r val,
r r
dΦ
= B ⋅dS
I el flux del camp magnètic a través d’una superfície qualsevol S és la suma
dels fluxos elementals:
B r
S
12-14
B
r
dS
r
Figura 12.1. Flux magnètic a través d’una superfície.
r
B
r
dS
r r
Φ = ∫ B ⋅ dS
S
Equació 12.1
El flux magnètic es mesura, per tant, en Tm 2 , que es denomina weber (Wb) i és
la unitat de flux magnètic en el SI.
Amb relació al flux, el camp magnètic presenta una diferència respecte
del camp elèctric, ja que si el flux elèctric a través d’una superfície tancada
depén de les càrregues tancades per aquesta superfície (teorema de Gauss),
el flux del camp magnètic a través d’una superfície tancada és sempre zero.
∫
S
B ⋅ dS
= 0
r r
Equació 12.2

Aquest fet té relació amb la inexistència de fonts i engolidors de línies de
camp magnètic, i per tant, amb la inexistència de monopols magnètics. Així
com les càrregues elèctriques de distint signe són separables, i en
conseqüència, hi ha fonts de camp elèctric (càrregues positives) o engolidors
(càrregues negatives), els pols d’un imant, o les cares nord i sud d’una espira,
són inseparables. Per aquest motiu, no hi ha una llei similar a la llei de Gauss
d’electrostàtica.
r
E
S
Figura 12.2. Dipol elèctric. És possible envoltar una
càrrega amb una superfície tancada, totes les línies de
camp la travessaran en el mateix sentit i, per tant, hi
haurà un flux net al seu través.
Exemple 12.1
Determineu el flux a través d’un
conjunt de 100 espires com la de la figura.
Solució
El flux a través del rectangle val
Φ = B ⋅S
= NBS cosα
r r
=
100·0,03·40·10 -4 ·cos30º = 0,01 Wb
12.5 Teorema d’Ampère
12-15
r
B
S
Figura 12.3. Dipol magnètic. No és possible
envoltar un pol amb una superfície tancada i
obtenir un flux net al seu través. Les línies de
camp sempre travessaran dues vegades la
superfície, entrant i eixint.
x
z
r
S
θ = 60º
5 cm
B = 0,03 T
8 cm
Com s’ha comentat en parlar del flux magnètic, així com les línies del
camp elèctric naixen o acaben en càrregues elèctriques, les línies del camp
magnètic són corbes tancades sense fonts ni engolidors i que envolten
corrents. Aquest cas té relació amb el fet que el camp elèctric és un camp
conservatiu, per la qual cosa la seua circulació al llarg d’una corba tancada és
nul·la. En canvi, el camp magnètic no és conservatiu, i hi ha una circulació no
nul·la al llarg d’una corba tancada. En conseqüència, no hi ha cap “potencial
magnètic”, ja que aquest sols té sentit en els camps conservatius.
y

Hi ha una relació matemàtica que permet calcular la circulació del camp
magnètic al llarg d’una corba tancada: es tracta del teorema d’Ampère, que diu:
La circulació del vector camp magnètic al llarg d’una
corba tancada que envolta un conductor pel qual circula un
corrent d’intensitat I, és igual al producte de la constant µ0
per la suma de les intensitats que penetren en l’àrea limitada
per la corba. El signe de la intensitat serà positiu si compleix
la regla de la mà dreta amb el sentit de la circulació.
I
r
dl
r
B
Figura 12.1. La corba tancada ha envoltat un corrent
net I, per la qual cosa C = µ0I
12-16
I1
r
B
r
dl
I2
r r
⋅ I
∫ B dl
= µ 0∑
Equació 12.1
Figura 12.2. La corba tancada ha envoltat un corrent
net I1 + I2 - I3, per la qual cosa C = µ0(I1 + I2 - I3)
Això significa que la circulació sols depén dels corrents que hi haja dins
de la corba, i no depén dels que es troben fora.
Teorema d’Ampère
Comprovarem el teorema per a un corrent rectilini indefinit I. Per a
calcular la circulació del camp magnètic al llarg d’una corba tancada que
envolta el corrent I, pot descompondre’s el trajecte tancat en una sèrie
infinita de petits desplaçaments que siguen radials o d’arcs circulars amb
centre en el corrent. En la figura s’ha descompost el trajecte en un
nombre d’elements petit i que ens reprodueix la corba original de manera
bastant tosca. Tanmateix, si el procés es continuara indefinidament amb
elements cada vegada més petits, ambdós trajectes arribarien a ser
iguals.
r
B r
dl
I
r r
B·dl = 0
I
I3
I4
dα dl
r
r r
B·dl = Bdl
Figura 12.3. La circulació per una corba irregular es descompon en circulacions radials i
transversals elementals.

La circulació al llarg de cada arc elemental centrat en el corrent i de radi r
val:
r r µ 0I
dC = B ⋅d
l = Bdl
= dl
2πr
Ja que el camp produït per un corrent I a una distància r té la mateixa
direcció que el desplaçament per l’arc, i mòdul:
µ 0I
B =
2πr
D’aquesta manera, al llarg d’un arc, el producte escalar coincideix amb el
producte dels mòduls.
Pel que fa als desplaçaments radials, en aquests el camp és
perpendicular al desplaçament en tot moment, per la qual cosa en
aquests trams la circulació és nul·la.
Com a conseqüència, la circulació al llarg de la corba irregular s’ha
descompost en infinits elements, dels quals sols contribueixen a la
circulació total els elements constituïts per arcs.
La circulació total serà la suma de totes les circulacions elementals dC, al
llarg dels arcs elementals, per tant,
µ 0 Idl
C = ∫dC = ∫ 2π
r
com que cada segment d’arc val dl = r dα, sent r el radi de l’arc
corresponent, i dα l’angle subestés per aquest arc, s’obté
µ 0 Idl
µ 0I
rdα
C = = = µ 0I
2π
∫ r 2π
∫ r
ja que la integral de dα s’ha d’efectuar entre 0 i 2π, atés que la corba
envolta completament el corrent.
En aquest resultat, que coincideix amb el del teorema d’Ampère, crida
l’atenció que la circulació no depén de r, és a dir, és independent de les
dimensions i la forma de la corba, sols depén del corrent tancat.
Pel que fa als corrents situats “fora”,
considerem un corrent situat fora del camí
tancat i tornem a tenir en compte que els
desplaçaments radials no contribueixen a
la circulació total. Podem calcular la
circulació per tota la corba tancada en dos
trams: un primer tram (1) on el producte
de B r per l r
d és positiu perquè els vectors
formen entre aquests un angle agut i on
s’abasta un angle α1, i un altre (2) fins a
tancar el circuit, on B r i l r
r
B
r
(1)
r
dl
r
B
dl
α1 (2)
d formen un I
angle obtús i, per tant, la circulació té
signe negatiu, i abasta el mateix angle
que en la primera etapa, és a dir, α1.
12-17

µ 0 Idl
µ 0I
⎛ ⎞
⎜
rdα
rdα
⎟
µ 0I
C = =
= ( α1
− α1)
= 0
2 2 ⎜
−
π ∫ r π ∫ ∫ ⎟
⎝ r r 2π
1 2 ⎠
Per tant, quan el camí tancat no envolta el corrent, la circulació és nul·la.
Sols hi contribueixen els corrents envoltats pel camí tancat.
En el cas que tinguem corrents que estiguen envoltats i no envoltats, la
circulació depén sols de la suma algebraica de les intensitats envoltades
per la corba tancada, tal com diu el teorema.
Hi ha també una forma diferencial del teorema d’Ampère que estableix la
relació entre el camp magnètic en un punt, el rotacional, i la densitat de
corrent en aquest punt:
r r
∇ × B = µ 0J
Per al camp magnètic únicament en els punts on no hi ha corrent elèctric
∇ × B = 0
r
, mentre que en un camp elèctric, pel fet de ser conservatiu, en
tots els punts ∇ × E = 0
r
.
De la mateixa manera que passava amb el teorema de Gauss de
l’electrostàtica, el teorema d’Ampère es pot utilitzar per a calcular camps
magnètics produïts per corrents, però únicament en casos en què un alt grau
de simetria fa possible el càlcul de la circulació i extraure el camp. A
continuació veurem diversos casos en què es donen aquestes condicions de
simetria necessàries per a aplicar el teorema.
Camp magnètic creat per un corrent rectilini indefinit
Ara calcularem el camp magnètic produït per un corrent infinit a una
distància x d’aquesta. El cas ja s’ha analitzat utilitzant la llei de Biot i Savart en
la pàgina 12-8; ara arribarem al mateix resultat utilitzant un camí més curt.
r
B
r
dl
x
Figura 12.1. Circulació del camp
magnètic al llarg d’una
circumferència. En la figura el
corrent és normal al pla i amb
sentit cap a dins.
I
Atés que el camp magnètic no varia de mòdul
en desplaçar-se per una circumferència centrada en
el conductor (Figura 12.1), i el camp és tangent a la
circumferència en tot moment, considerem una
circumferència de radi x com a corba en la qual
aplicar el teorema d’Ampère. La circulació de B r al
llarg de la longitud de la circumferència és:
r r
∫ B ⋅d l = ∫ Bdl
= B ⋅ 2πx
ja que B r i l r
d són paral·lels en tot punt de la
circumferència. Finalment, en aplicar el teorema, la
corba envolta el corrent I, i obtenim:
B·2πx = µ0I
µ 0I
B
=
2πx
que és el mateix de l’Equació 12.2 de la pàgina 12-11
que s’havia obtingut aplicant la llei de Biot i Savart.
12-18

Camp magnètic dins i fora d’un conductor
Considerem un conductor
cilíndric de radi a pel qual circula un
corrent homogeni de densitat J, i
calcularem el camp produït pel corrent
en dues zones: fora del conductor, i
dins.
r
dl
r
B
queda:
∫
C2
a) Fora
Per a resoldre’l utilitzant el teorema
d’Ampère, recorrem una corba tancada
com C2 on el camp és tangent a la
circumferència en tot moment, i on el
camp és uniforme. D’aquesta manera,
camp i desplaçament formen 0º en tot
moment, i B r ix fora de la integral, i
r r
B ⋅d
l = Bl
= B ⋅2πr
aplicant el teorema a C2, el corrent tancat és la totalitat, per la qual cosa:
2πrB = µ0I = µ0 J·πa 2
2
µ 0Ja
B =
2 r
b) Dins
De la mateixa manera que abans, únicament que ara la corba C1 no tanca la
totalitat del corrent, sinó únicament Jπr 2 :
r r
B ⋅d
l = Bl
= B ⋅ 2πr
B
J r
C2
a
C1
a
r
½µ0Ja
r
B
Figura 12.1. Camp dins i fora del
conductor.
r
r
12-19
∫
C1
2πrB = µ0 J·πr 2
B 0Jr
2
µ
=
El camp en les dues zones està representat en
el gràfic, on s’observa un camp nul en l’eix i un
màxim en la superfície del conductor.
Camp magnètic en l’interior d’un solenoide recte molt llarg
També pot utilitzar-se el teorema d’Ampère per a calcular el camp
magnètic en l’interior d’un solenoide model que siga molt llarg comparat amb el
J r
a

seu radi. D’aquesta manera, pot considerar-se que el camp és nul en l’exterior,
i uniforme en l’interior. Es tracta d’una simplificació del solenoide recte real,
però aquesta aproximació és bastant encertada quan la relació entre la longitud
i el radi és gran, com s’ha tractat en l’apartat 12.3. en aplicar la llei de Biot i
Savart.
Figura 12.1. Si el solenoide no és estret (radi comparable a la longitud), el
camp magnètic en l’interior no pot considerar-se uniforme, ni nul en l’exterior.
Per a poder utilitzar el teorema d’Ampère cal una corba tancada en la
qual calcular la circulació. Amb les simplificacions explicades abans, resulta
adequat escollir un rectangle com el de la Figura 12.2. Un costat del rectangle
coincideix amb l’eix del solenoide, un altre per fora, i els altres dos són
transversals a la direcció del camp. La circulació en el sentit ABCD ens donarà:
r
B
C
B
l
N
A
D
Figura 12.2. En un solenoide molt llarg, el camp en l’interior és uniforme. El
corrent en les espires és ixent per sota, i entrant per dalt.
∫
B
C
D
A
B ⋅ d = B ⋅ d + B ⋅ d + B ⋅d
l r r
r r r r r r r r
l l
l
∫
A
∫B⋅dl+ ∫
B
però el tram de C a D té circulació nul·la pel fet de ser nul el camp, i els trams
DA i BC també tenen circulació nul·la pel fet de formar en tot moment el camp i
l 90º, per la qual cosa sols queda el tram AB, i obtenim B·l = µ0NI.
Camp magnètic en l’interior d’un solenoide recte de longitud
l molt major que el seu radi, que consta de N espires, i pel
qual circula un corrent I.
Exemple 12.1
12-20
C
I
∫
D
0NI
B
l
µ
=
Equació 12.1

Determineu el flux magnètic a través d’un solenoide de 25 cm de
longitud, 1 cm de radi i 4000 voltes pel qual circulen 4 A.
Solució
El camp magnètic en l’interior del solenoide recte proposat, amb una
longitud 25 vegades superior al radi, es considera uniforme i de valor:
0NI
B
l
µ
=
i el flux que travessa una espira és B·S, per la qual cosa a través de N
espires valdrà,
µ
Φ =
2
2 2
−7
2
2
0 N IS µ 0N
Iπr
4π
⋅10
= =
=
l
l
12-21
4000 ⋅ 4π
⋅0,
01
0,
25
Camp magnètic en l’interior d’un solenoide toroïdal
Un solenoide toroïdal és un
solenoide les espires del qual estan
disposades com si foren un anell. El
camp és pràcticament nul en l’exterior
del solenoide, i sols hi ha camp en
N
i
l’interior. Si s’aplica el teorema
d’Ampère escollint com a corba
tancada una circumferència centrada
en l’eix del tor, i que passe per
l’interior, la circulació valdrà:
r r
B ⋅d
l = B ⋅2πr
∫
C
i el corrent tancat, ara és Ni, i queda:
µ 0Ni
B =
2πr
Les equacions de Maxwell
0,
101
R
b
Wb
a

∫
s
Com s’ha comentat al principi d’aquest capítol, la integració dels
fenòmens elèctrics i magnètics va ser un èxit científic que va tenir lloc
durant el segle XIX. Durant aquest segle es van descobrir gran part
dels fenòmens que, més tard, a finals del segle XIX i durant el segle
XX transformarien el món. Juntament al treball experimental de molts
investigadors, d’altres van tenir el mèrit de trobar la justificació teòrica
dels distints fets observats, i dotar-los d’un cos conceptual sòlid.
Entre aquests destaca James Clerk Maxwell, el qual va donar a les
ciències de l’electromagnetisme la base teòrica per al tractament de
tots els fenòmens electromagnètics. Tot i que les comparacions solen
ser quasi sempre desafortunades, sol dir-se que Maxwell va fer un
treball comparable al de Newton en la mecànica. Les relacions
matemàtiques entre camps elèctrics i magnètics són conegudes com
equacions de Maxwell, que es mostren ací en la seua versió més
simplificada per a camps independents del temps i en el buit. L’anàlisi
de les equacions de Maxwell completes està fora dels objectius
d’aquest curs.
v r
E ⋅ dS
=
∫ s
∇E =
r
∑
ρ
ε
Q
ε
0
∫ ⋅ l = 0
r r E d
∇× E = 0
r
0
(a) (b)
B⋅ dS
r r
∇B = 0
r
= 0
r r
⋅ I
r r
∇×
B = µ 0J
∫ B dl
= µ 0∑
(c) (d)
Les equacions mostrades en la forma integral i diferencial no són
noves, ja que han anat apareixent al llarg d’aquest capítol i en
capítols anteriors. La (a) és el teorema de Gauss, la (b) expressa que
el camp elèctric és un camp conservatiu, i la circulació al llarg d’una
corba tancada, la (c) expressa que no hi ha monopols magnètics, i la
(d) és el teorema d’Ampère, que mostra com el camp magnètic no és
un camp conservatiu.
El treball de J.C. Maxwell és un cas poc corrent en la història de
la Ciència, ja que va servir per a predir l’existència d’unes entitats
desconegudes experimentalment fins aquell moment (1861): les
ones electromagnètiques. Quasi sempre primer sorgeixen els
fenòmens, els fets i les entitats físiques, i posteriorment s’estableix la
teoria per explicar-les. Aquest és un dels pocs casos en què va
passar al contrari.
12.6 Magnetisme en la matèria
La matèria està constituïda per àtoms en els quals els electrons estan en
moviment. Utilitzant un model atòmic senzill, les òrbites electròniques al voltant
del nucli d’un àtom poden considerar-se com corrents elèctrics circulars al
voltant del nucli i, per tant, equivalents a espires de corrent. Així, un electró
girant en una òrbita circular de radi r amb un període T i una velocitat v, pot
12-22

considerar-se equivalent a una espira circular de corrent del mateix radi i
recorreguda per una intensitat I = e/T que tindrà un moment magnètic,
r r e 2 r e 2 r evr r
m = IS
= πr
u = πr
u = u
T 2πr
2
v
D’aquesta manera, es modelitzen
els moviments electrònics com si es
tractara d’espires de corrent, i per
consegüent, s’estaria considerant la
matèria constituïda per una gran
quantitat de dipols magnètics. A
més del moment magnètic associat al moviment dels electrons, s’ha d’afegir el
moment magnètic intrínsec de l’electró associat al seu espín.
En l’electrostàtica també ens trobem els dielèctrics amb l’existència de
dipols elèctrics i fenòmens de polarització, l’efecte dels quals consistia a
disminuir el camp elèctric dins del material quan aquest era sotmés a un camp
elèctric extern.
En el magnetisme, tot i que puga pensar-se que la situació és similar, el
problema és més complex, ja que el moment magnètic d’un àtom depén de
diversos factors, com ara el nombre d’electrons de l’àtom, de si les capes
electròniques estan o no completes, del moment magnètic d’espín dels
electrons desaparellats de l’àtom, de l’estructura electrònica de l’àtom en
definitiva. Alguns d’aquests comportaments no són fàcils d’analitzar amb
conceptes de física clàssica, i de vegades es necessiten conceptes basats en
la física quàntica.
Per tant, algunes substàncies poden tenir un moment magnètic propi
produït pels moments magnètics atòmics. Aquests moments magnètics
atòmics, en el cas d’existir, estan en principi orientats a l’atzar en totes
direccions, motiu pel qual la major part de materials no presenten
magnetització.
La magnitud que s’utilitza per a quantificar l’estat dels moments
magnètics en una regió, es denomina imantació M r r
r
m r
m r
S
S
r
i
v e
Figura 12.1. El moviment electrònic és equivalent a un
corrent circular.
, magnitud vectorial, que es
defineix en un punt com el moment magnètic per unitat de volum:
r
r
dm
-1
M = , i es mesura en Am
dV
Per tant, es diu que un material no està imantat (o magnetitzat) si la suma dels
moments magnètics en un volum donat és nul·la.
12-23

M = 0
r
r
m
12-24
M ≠ 0
r
Figura 12.2. La imantació en un material és la suma dels moments magnètics per unitat de volum.
Les diverses substàncies no presenten la mateixa resposta en situar-les
en un camp magnètic. Segons el comportament enfront d’un camp magnètic
extern, es classifiquen en tres tipus: diamagnètiques, paramagnètiques i
ferromagnètiques.
Si s’aplica a un material un camp magnètic Bap (camp aplicat), els
moments magnètics atòmics, i per tant la imantació, variaran. El fenomen és
fàcil d’entendre recorrent a un símil amb brúixoles: en apropar un imant a un
conjunt de brúixoles orientades a l’atzar (fora de
la Terra), aquestes tendeixen a orientar-se en la
direcció del camp aplicat. Per tant, la imantació
del material variarà. En els materials
paramagnètics i diamagnètics, la imantació és
directament proporcional al camp magnètic
aplicat.
r
ap
M = χm
µ 0
on χm es denomina susceptibilitat magnètica, i
és un nombre sense dimensions característic de
cada material. 1 + χm es denomina permeabilitat
magnètica relativa µr, i també és adimensional.
r
B
Material χm a 20 ºC
Alumini 2,3·10 -5
Coure -0,98·10 -5
Diamant -2,2·10 -5
Or -3,6·10 -5
Mercuri -3,2·10 -5
Plata -2,6·10 -5
Sodi -0,24·10 -5
Titani 7,06·10 -5
Wolframi 6,8·10 -5
Oxigen (a 1 atm) 2100·10 -9
Taula 12.1. Susceptibilitats
magnètiques d’algunes substàncies.
Diamagnetisme
En la Taula 12.1 s’observa que χm és un nombre molt petit. En alguns
materials la susceptibilitat magnètica és negativa, la qual cosa significa que en
sotmetre’ls a un camp magnètic extern, el camp magnètic dins del material
disminueix. Aquest comportament es denomina diamagnetisme.
Les substàncies diamagnètiques no tenen moments magnètics atòmics
permanents, ja que els seus àtoms tenen estructures electròniques de capes
completes amb els seus electrons aparellats, i es cancel·len d’aquesta manera
els moments magnètics electrònics. Tanmateix, davant un camp magnètic
extern, es distorsiona el moviment electrònic, i es formen moments magnètics
induïts de sentit contrari al camp aplicat, que debiliten així el camp magnètic
dins del material.

B ap = 0
r
M = 0
12-25
r
Bap
Figura 12.1. En les substàncies diamagnètiques es formen dipols magnètics induïts l’efecte dels quals
consisteix a disminuir el camp magnètic dins del material.
El comportament diamagnètic és general a totes les substàncies, tot i
que el seus efectes, pel fet de ser molt dèbils, són a penes perceptibles, i a
més en algunes ocasions són emmascarats per altres efectes, com el
paramagnetisme i, sobretot, el ferromagnetisme.
Paramagnetisme
En altres substàncies, en canvi, la
susceptibilitat magnètica és positiva, la qual
cosa significa que la imantació té el mateix
sentit que el camp aplicat. Aquestes
substàncies es denominen paramagnètiques.
En aquestes hi ha un lleuger acoblament dels
dipols magnètics permanents que són de
l’ordre de 1000 vegades majors que els
produïts pel comportament diamagnètic, per la
qual cosa aquest queda emmascarat.
En aplicar un camp extern, els dipols magnètics, que estaven orientats a
l’atzar com a conseqüència de l’agitació tèrmica, s’acoblen lleugerament
alineant-se en la direcció del camp aplicat, que augmenten d’aquesta manera el
camp magnètic dins del material. L’efecte, tanmateix, és dèbil, tot i que suficient
per a emmascarar l’efecte diamagnètic que es presenta en totes les
substàncies.
En els materials paramagnètics, la imantació depén de la temperatura: a
temperatures molt baixes és més fàcil alinear els moments magnètics. En
augmentar la temperatura, l’agitació tèrmica tendeix a esborrar qualsevol
acoblament que es produïsca entre els dipols magnètics, i d’aquesta manera la
imantació és més difícil i la susceptibilitat magnètica disminueix.
r
B ap = 0
r
M = 0
r
B ap
Figura 12.1. En aplicar un camp magnètic a una substància paramagnètica els dipols magnètics
permanents s’acoblen lleugerament, i augmenta el camp magnètic dins del material.
r
Bap
χ m < 0
(a)
r
M
r
M
r
M
r
Bap
χ m > 0
(b)
r
M
Figura 12.2. Substàncies diamagnètiques
(a) i paramagnètiques (b).

Ferromagnetisme
Els materials ferromagnètics es caracteritzen per uns valors de la
susceptibilitat magnètica positius i molt alts, i que a més depenen de la història
magnètica del material, dels camps magnètics a què haja sigut sotmés.
Substàncies ferromagnètiques són el ferro, cobalt, níquel i alguns aliatges. El
motiu d’aquest comportament singular està relacionat amb les fortes
interaccions entre espins de parells d’electrons. Tanmateix, no podem
aprofundir molt més, ja que l’explicació d’aquest comportament no és simple, i
no és fàcil explicar amb conceptes de física clàssica arguments que sols
s’expliquen amb ajuda de la física quàntica.
En aquestes substàncies, els moments magnètics atòmics s’acoblen
sense necessitat de camp magnètic extern, i formen grans regions amb
orientació paral·lela dels espins electrònics, i per tant amb els moments
magnètics paral·lels. Aquestes regions es denominen dominis magnètics. Les
dimensions d’aquests dominis són microscòpiques (de l’ordre de 10 -6 m), tot i
que poden créixer o decréixer, i la seua orientació espacial depén de la
disposició espacial dels àtoms en la xarxa cristal·lina.
Figura 12.1. Esquema dels dominis magnètics en un cristall cúbic i en un cristall hexagonal, amb dos i tres
direccions d’orientació.
Igual que en el paramagnetisme, la temperatura tendeix a augmentar
l’agitació tèrmica, i per tant a fer desaparéixer el ferromagnetisme. Per a cada
substància ferromagnètica, hi ha una temperatura, denominada temperatura
de Curie per damunt de la qual la substància es torna paramagnètica (770 ºC
per al ferro) com a conseqüència que l’agitació tèrmica contraresta les forces
d’interacció entre espins electrònics.
En aplicar un camp magnètic extern a aquestes substàncies, la
imantació no sols creix, sinó que el camp en l’interior del material és fins i tot
milers de vegades superior a l’aplicat.
D’altra banda, a diferència del comportament paramagnètic o
diamagnètic, la relació entre la imantació i el camp aplicat no és lineal, i fins i
tot, com es va comentar, depén de la història prèvia del material.
Quan un material ferromagnètic és sotmés a un camp magnètic,
experimenta una imantació que creix amb el camp aplicat Bap. Si es representa
la imantació M, enfront de Bap, s’obté la corba de primera imantació (1) com
mostra la Figura 12.2. La imantació no creix indefinidament: tot i que
s’augmente molt Bap, la imantació no pot augmentar més enllà de determinat
límit denominat imantació de saturació Ms.
Si a continuació es disminueix gradualment Bap, el material perd
imantació, però no tota. Tot i que s’anul·le el camp aplicat, queda una imantació
12-26

omanent MR. Si es vol “esborrar” tota resta d’imantació, s’haurà d’aplicar un
camp extern o camp coercitiu Bc, en sentit contrari al previ.
Bc
M
MR
12-27
MS
Figura 12.2. Cicle d’histèresi
Si posteriorment es disminueix gradualment Bap, els valors anteriors no
es repeteixen, és a dir, la corba no és reversible. Aquest efecte es denomina
histèresi, i el cicle complet d’imantació – desimantació que es produeix en
aplicar un camp magnètic altern, es denomina cicle d’histèresi. Els cicles
d’histèresi es produeixen quan s’aplica a una barra de ferro un camp magnètic
que varia amb el temps, per exemple sinusoïdalment: magnetitzem i
desmagnetitzem el material amb una freqüència igual a la del camp aplicat.
En aquesta corba d’histèresi, l’àrea delimitada és proporcional a l’energia
dissipada en forma de calor en el procés d’imantació – desimantació.
Hi ha materials ferromagnètics de divers tipus, i amb relació al
comportament descrit, poden distingir-se uns materials magnèticament “blans”,
que són aquells amb una imantació romanent molt baixa, i altres
magnèticament “durs”, amb una imantació romanent alta, tal com mostra la
Figura 12.4. Els blans produiran una dissipació d’energia en forma de calor molt
petita: interessarà en nuclis de transformador per evitar que s’escalfen. Els durs
dissipen més energia, però interessen on es desitge una gran imantació
romanent, com per exemple en els imants permanents o les memòries
enregistrades en suport magnètic.
Figura 12.3. Material magnèticament dur. La
imantació romanent és molt alta.
1
B
Figura 12.4. Material magnèticament bla. La
imantació romanent és molt baixa.
Substància µr Substància µr

Buit 1 Bismut 0,99983
Aire 1,00000036 Mercuri 0,999968
Alumini 1,000021 Or 0,999964
Wolframi 1,000068 Plata 0,99998
Pal·ladi 1,00082 Plom 0,999983
Cobalt 250 Coure 0,999991
Níquel 600 Aigua 0,999991
Ferro comercial
Ferro d’alta puresa
6000
2·10 5
Supermalloy
(79% Ni, 5 % Mo)
10 6
Taula 12.1. Permeabilitat magnètica de diverses substàncies. A l’esquerra les
substàncies paramagnètiques i ferromagnètiques. A la dreta, les diamagnètiques.
La imantació d’un material ferromagnètic pot explicar-se amb ajuda del
model dels dominis magnètics. Un material no imantat parteix de la situació a
de la Figura 12.5: els dominis magnètics estan orientats a l’atzar en absència
de camp extern. En augmentar aquest en una direcció determinada en b, estem
fent que aquells dominis que tinguen un component del seu vector imantació en
el mateix sentit que Bap cresquen en detriment d’altres. D’aquesta manera,
creixen uns dominis (els d’imantació favorable) i se’n redueixen uns altres. La
situació continua en c amb l’augment de Bap fins que els dominis afavorits no
poden augmentar de dimensions, i finalment en d els moments magnètics dels
dominis afavorits pel camp giraran fins a coincidir amb la direcció del camp i
arribar a la imantació de saturació. Tot i que augmentem el camp aplicat, la
imantació no augmentarà. Aquesta última etapa d’orientació de moments fora
de les direccions d’orientació dels dominis és reversible, i desapareix en
eliminar el camp, mentre que el creixement dels dominis afavorits a costa dels
no afavorits es mantindrà i serà responsable de la imantació romanent del
material.
r
B ap = 0
a)
r
M = 0
12-28
r
B ap
c) d)
b)
r
M

Bap
r
M
12-29
r
B ap
Figura 12.5. Quatre etapes de creixement dels dominis magnètics.
Una de les principals aplicacions del ferromagnetisme és
l’enregistrament d’informació en suport magnètic. El suport pot ser disc o cinta
de material ferromagnètic. Un capçal d’escriptura està format per un solenoide
per on circula un corrent que produeix un camp magnètic que imanta el suport
magnètic, i enregistra la informació transmesa pel corrent.
12.7 Problemes
I
r
M
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0
Figura 12.6. Enregistrament d’informació en suport magnètic.
1. Calculeu el camp magnètic creat per una espira quadrada de
costat a, al centre, sent I la intensitat que circula per aquesta.
Sol: B = (2µoI/πa)2 1/2 , perpendicular al pla de l’espira, sentit cap
a dins del paper.
a
I
O

2. Un conductor, de longitud indefinida, es corba en la
forma d’agulla de cap de la figura. Sabent que pel fil
circula una intensitat I, calculeu el camp magnètic en
el punt O, centre de la part semicircular.
Sol: B = (µoI/4R)(1 + 2/π)
3. La figura representa tres fils conductors rectilinis i
paral·lels, de longitud indefinida, recorreguts per
intensitats I, 2I i 3I, totes aquestes en el mateix sentit.
Calculeu el camp magnètic creat per aquests corrents
en el punt P.
r µ I r r
o
Sol: B = (-13i
- 2 j )
10πa
4. Dos conductors llargs, paral·lels, separats una
distància d porten corrents iguals antiparal·lels I.
Demostreu que el camp magnètic en el punt P que
equidista dels dos conductors està donat per
l’expressió B =2µoI d/π(4R 2 + d 2 ).
5. Calculeu el camp magnètic en el punt P de la
figura produït per un conductor de longitud
indefinida, amplada a i gruix negligible pel qual
circula una intensitat de corrent I, en la
disposició que es mostra en la figura.
r
r
Sol: = µ Iarctg(a/
2z)/
πa(
j)
B o
6. Una corona circular, carregada amb densitat
superficial de càrrega σ de radis a i b, gira amb
velocitat angular r ω al voltant del seu eix. Calculeu el
camp magnètic creat en el centre O.
r
r
Sol: = ( µ σω/
2)(b
- a) k
B o
12-30
X
R
I
a
X
O
Y
P
2a
I 2I 3I
Z
a a
Z
Z
P
r
ω
O a
b
d
R
I
I
σ
X
I
Y
Y

7. Un conductor rectilini de longitud indefinida és
recorregut per una intensitat I1 = 30 A. Un
rectangle ABCD, els costats BC i DA del qual són
paral·lels al conductor rectilini, està en el mateix
pla que el conductor, i és recorregut per I2 = 10 A.
Calculeu la força exercida sobre cada costat del
rectangle pel camp magnètic creat pel conductor
rectilini.
Sol: FAD = 12·10 -5 (-i) N
FBC = 6·10 -5 i N
FAB = 4,16·10 -5 j N = - FCD
8. El camp magnètic B r en una determinada
regió de l’espai és de 2 T, i la seua direcció la
de l’eix X en el sentit positiu.
a) Quin és el flux a través de la superfície
abcd de la figura?
b) Quin és el flux a través de la superfície
befc?
c) I a través de la aefd?
Sol: a) Φ = -0,24 Wb
b) Φ = 0
c) Φ = 0,24 Wb
9. Un conductor rectilini, indefinit, z'z està recorregut
per un corrent d’intensitat I. La superfície rectangular
de la figura de costats 2a i b, pot girar al voltant del
seu eix x'x paral·lel al z'z, del qual dista una distància
c. Inicialment el pla de la superfície conté el conductor
z'z. Calculeu la variació de flux magnètic creat per I a
través de la superfície quan aquesta gira un angle de
π/2 al voltant de x'x.
Sol: Φ2 - Φ1 = µobI(ln(c+a)/(c-a)/2π
10. Per un cable cilíndric molt llarg circula un corrent continu. La
densitat de corrent en una secció no és uniforme, sinó que
segueix una llei del tipus J = (Jo/R)r, on Jo és una constant, R és
el radi del cable i r la distància del punt considerat a l’eix del
cable. Calculeu:
a) Camp magnètic B en l’interior del cable.
b) Camp magnètic B en l’exterior.
Sol: a) B = µoJor 2 /3R
b) B = µoJoR 2 /3r
12-31
Z
a
d
I1
A B
D C
10 cm 10 cm
40 cm
Z
Z’
I
Y
I2
b 30 cm e
r
B
c
c
50 cm
R
X
2a
X’
r
J(r)
f
20 cm
X
b

11. Un cable llarg coaxial està format per dos
conductors concèntrics de radis a a l’interior, i
l’exterior (conductor buit) b de radi intern i c de radi
extern. Pels conductors circula la mateixa intensitat de
corrent I però en sentit oposat. Calculeu el camp
magnètic en: a) a una distància r < a, b) a una
distància a

Flux del camp magnètic a través d’una superfície tancada
B ⋅ dS
= 0
r r
∫
S
Weber (Wb) és la unitat de flux magnètic en el SI, i equival a
Tm 2 .
Teorema d’Ampère. La circulació del vector camp magnètic al
llarg d’una corba tancada que envolta un conductor pel qual
circula un corrent d’intensitat I, és igual al producte de la
constant µ0 per la intensitat que penetra en l’àrea limitada per la
corba.
r r
⋅d l = µ I
∫ B 0∑
Imantació: Densitat de moment magnètic (moment magnètic per
unitat de volum).
Susceptibilitat magnètica: Constant adimensional que
relaciona la imantació i el camp magnètic aplicat.
M
χm
= µ 0
B
Diamagnetisme: Propietat consistent que en aplicar un camp
magnètic extern a una substància, el camp magnètic en l’interior
disminueix com a conseqüència de la formació de dipols
magnètics induïts de sentit contrari al camp aplicat.
Paramagnetisme: Propietat per la qual els moments magnètics
atòmics permanents d’una substància s’orienten paral·lelament
en aplicar un camp magnètic extern, que fa augmentar el camp
magnètic en l’interior del material.
Ferromagnetisme: Acoblament dels moments magnètics
atòmics en un material, fins i tot sense aplicar un camp magnètic
extern.
Domini magnètic: Regió microscòpica on els moments
magnètics atòmics estan acoblats paral·lelament.
Histèresi: Fenomen pel qual en sotmetre un material a un cicle
d’imantació–desimantació, la corba d’imantació no és reversible
respecte de la de desimantació.
12-33
ap