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Matemáticas
Eduardo Mancera Martínez

Matemáticas 1
Eduardo Mancera Martínez
El libro Matemáticas 1 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones
Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.

El libro Matemáticas 1 fue elaborado
en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
Edición:
José Luis Acosta
Colaboración:
Claudia Navarro Castillo
Javier Esquivel Hernández
Coordinación editorial:
Armando Sánchez Martínez
Revisión técnica:
Rodrigo Cambray Núñez
José Luis Córdova Frunz
Corrección de estilo:
José Luis Acosta
Diseño de interiores:
José Luis Acosta
Diseño de portada:
Francisco Ibarra Meza
Ilustración:
Sergio Bourguet
Abelardo Culebro Bahena
Diagramación:
Sergio Bourguet
Editor en Jefe de Secundaria:
Roxana Martín-Lunas Rodríguez
Gerencia de Investigación
y Desarrollo:
Armando Sánchez Martínez
Gerencia de Procesos Editoriales:
Laura Milena Valencia Escobar
Gerencia de Diseño:
Mauricio Gómez Morin Fuentes
Coordinación de Arte y Diseño:
Francisco Ibarra Meza
Fotomecánica electrónica:
Gabriel Miranda Barrón,
Manuel Zea Atenco,
Benito Sayago Luna
Digitalización de imágenes:
Sergio Bourguet
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1
son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción
parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico,
incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.
Av. Universidad 767 03100, México, D. F.
ISBN: 978-970-29-1974-2
Primera edición: julio de 2006
Primera reimpresión: febrero de 2007
Segunda reimpresión corregida: junio de 2007
Tercera reimpresión corregida: abril de 2008
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Reg. Núm. 802
Impreso en México

Originalmente ateneo signifi caba institución literaria o científi ca. La palabra viene
del griego Athenaion, que era el templo de Atenea en Atenas, donde los poetas, oradores
y fi lósofos compartían sus obras. En la Roma antigua, el ateneo era el lugar destinado al estudio
de las artes y las técnicas. Por extensión, en la actualidad ateneo signifi ca institución donde se
cultiva el conocimiento y el aprecio de las artes.
Atenea era la diosa griega de la paz, la serenidad, la inteligencia y la sabiduría. Su imagen
representaba, entre otras cosas, la prudencia. De ahí que la palabra ateneo hasta nuestros días
se asocie con el progreso intelectual y espiritual del ser humano.
Si entendemos la educación como arte moral, razonamiento científi co y sabiduría práctica
que extiende los límites de la libertad y permite a las personas enriquecerse y enriquecer a
quienes las rodean, entonces, el objetivo de la serie Ateneo seguirá siendo transformar a las
personas para que ellas transformen el mundo de manera favorable.
Desde los primeros ateneos se sabía que el ser humano nunca está completamente hecho,
sino en continua marcha, perfeccionándose de un modo inacabable. El sujeto de la educación
es una construcción por hacer, para alcanzar más altos niveles de existencia y satisfacer todas
las necesidades de su espíritu.
Sin embargo, la persona se perfecciona en comunidad; se ve en sus semejantes y en ellos y
con ellos descubre su destino. Al mismo tiempo, la comunidad social también se perfecciona
en el respeto del individuo. La valoración de la persona es indispensable para equilibrar las
partes con el todo.
El presente libro de la serie Ateneo tiene como objetivo ofrecerte oportunidades para la
construcción del conocimiento matemático, de acuerdo con los planes y programas de estudio
vigentes. Se apoya el libro en secuencias didácticas obtenidas de diversas fuentes como la
historia de la disciplina y algunos resultados de la investigación y desarrollo educativo, además
de que se fomenta el trabajo colegiado con tus compañeros.
Para tu maestro este libro ofrece una herramienta de trabajo fl exible, con la información
básica para cultivar el conocimiento matemático y el aprecio por esta asignatura. Por lo mismo,
en el desarrollo de los contenidos se recuperan prácticas del Ateneo, consideradas también
en los planes y programas de estudio de la asignatura de matemáticas para la educación
secundaria, como son la refl exión, la formulación de argumentaciones y la exploración de diferentes
vías para aproximarse al conocimiento y resolver problemas.
El enfoque planteado recupera las experiencias en la resolución de problemas, el trabajo
colegiado e induce la refl exión sobre temas nodales de la asignatura. También se adelanta a
prever la generación de errores a partir de preguntas frecuentes y actividades formuladas para
ese propósito.
En la medida en que tú estudies y te prepares, serás más capaz de elegir quién quieres ser y
de transformar favorablemente el mundo en que te tocó vivir. Por ello, en este texto de la serie
para la educación secundaria, queremos revivir el espíritu del Ateneo y participar con estos
materiales en una formación que te permita alcanzar las metas que te fi jes como ser humano
y como ciudadano de un país que necesita personas como tú, en un mundo cuya complejidad
exigirá que siempre estés muy preparado y atento.
La inauguración de una nueva escuela, como promueven las más recientes tendencias educativas,
es una excelente oportunidad para avanzar en lo antes expuesto, así que, bienvenido
al ateneo.
3
Presentación

Contenido Bloque
Bloque
1 2
1 Una mirada a los números
de la antigüedad 12
• De visita en el museo 14
• Babilonios 15
• Romanos 19
• Mayas 21
• Sistemas de numeración
decimal, babilonio, romano
y maya 24
2 Regularidades numéricas 28
• Sucesiones numéricas 30
• Progresiones aritméticas 32
• Confi guraciones geométricas
y sucesiones numéricas 37
• Símbolos, fi guras y sucesiones
numéricas 50
3 Fracciones y decimales 56
• Fracciones equivalentes 58
• Recta numérica y fracciones 59
• Recta numérica y decimales 63
• Orden de las fracciones 65
• Orden de los decimales
• Densidad de los números
68
racionales 70
4 Movimientos de fi guras
planas 72
• Simetría axial 74
5 P roporcionalidad 80
• Variación proporcional directa 82
• Conteo por tablas y diagramas
de árbol 89
4
6 P roblemas aditivos 96
• Las fracciones y la música
• Estimaciones con fracciones
98
y decimales 100
• Problemas aditivos 104
7 P roblemas
multiplicativos 110
• Estimaciones con fracciones
y decimales 112
• Problemas multiplicativos 113
• Una por otra: multiplicaciones
y divisiones 115
8 Rectas y ángulos 124
• Convenciones 126
• Mediatrices 128
• Bisectrices 133
9 Áreas y perímetros 142
• De un cuadrilátero a otro
• Parientes cercanos:
144
triángulos y cuadriláteros 145
10 Relaciones
de proporcionalidad 150
• Proporciones y fracciones 152
• Más sobre constantes
de proporcionalidad 156

11 T ransformación
de cocientes, raíz
cuadrada y potencias 164
• Administrando la biblioteca 166
• Multiplicas y divides por
lo mismo y no se altera 167
• El tiempo y los decimales 171
• Problemas y división
de decimales 172
• Cuadrados y proporcionalidad 173
• Cálculo de raíces cuadradas 174
• Potencias y raíces 179
12 Ecuaciones del tipo
ax + b = c 182
• Aplicaciones de las ecuaciones
al entretenimiento 184
• Más sobre las aplicaciones
de ecuaciones 186
• Ecuaciones de primer grado 189
13 F iguras geométricas:
construcción,
perímetros y áreas 194
• Construcción de triángulos 196
• Construcción de cuadriláteros 198
• Construcción de polígonos 198
• Álgebra y fi guras geométricas 200
14 Gr áfi cas, diagramas
y tablas 204
• Porcentajes 206
• Interpretación de datos 212
15 ¿Qué podemos hacer con la
probabilidad? 222
• El azar 224
• Probabilidad frecuencial 226
• Probabilidad clásica 227
Bloque Bloque Bloque
3 4 5
16 Números con signo 232
• Ganar y perder
• Recta numérica
234
y los números con signo 235
17 Relación funcional 240
• Variaciones de valores
• Expresiones de la forma
242
y = kx
• Expresiones de la forma
245
y = kx + b 248
18 Simplement e círculos 252
• Trazo de círculos
• Relación entre el perímetro
254
y el diámetro de un círculo 256
• Área y perímetro del círculo 258
19 Relaciones
de proporcionalidad
y el álgebra 262
• Constantes
de proporcionalidad 264
20 Media, moda y mediana 268
• Aplicaciones de las gráfi cas
de rectas 270
• Las gráfi cas también se leen 271
• Tendencia central
y dispersión 274
5
21 Problemas aditivos con
números con signo 282
• Un juego de equilibrios 284
• La recta numérica
y los números con signo 288
22 Medir , estimar
y calcular áreas 290
• Cálculo de áreas de fi guras
compuestas por polígonos
y círculos 292
23 Juego justo
y probabilidad 298
• La probabilidad
y juegos de azar 300
• Monedas justas 300
24 I ncógnitas
y proporcionalidad
directa 306
• Cambio de unidades 308
25 P roporcionalidad
inversa 312
• Situaciones
de proporción inversa 314

Índice temático
Eje
Tema: Signifi cado y uso
de las literales
Tema: Signifi cado y uso de las
operaciones
Tema: Signifi cado y uso
de los números
Eje
Tema: Formas
geométricas
En este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa de
estudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarrollan
dichos temas en la obra.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Subtema L ección Página
Ecuaciones 12 182
Patrones y fórmulas 2 28
Relación funcional
17 240
24 306
Potenciación y radicación 11 164
Problemas aditivos
Problemas multiplicativos
6 96
21 282
7 110
12 182
Números con signo 16 232
Números fraccionarios y decimales 3 56
Números naturales 1 12
Forma, espacio y medida
Subtema L ección Página
8 124
Figuras planas 13 194
18 252
Rectas y ángulos 8 124
6

Tema: Medida
Tema: Transformaciones
Eje
Tema: Análisis
de la información
Tema:
Representación
de la información
L ección Página
13 194
Estimar, medir y calcular 18 252
Justifi cación de fórmulas
22 290
9 142
18 252
Movimientos en el plano 4 72
Manejo de la información
Subtema L ección Página
Nociones de probabilidad
15 222
23 298
Porcentajes 14 204
5 80
Relaciones 10 150
de proporcionalidad 19 262
Diagramas y tablas
Gráfi cas
25 312
5 80
14 204
14 207
17 240
Medidas de tendencia central y de dispersión 20 268
7

Estructura de la obra
Las entradas de lección se componen
de tres apartados:
Mis Retos informa al estudiante los
conocimientos que se espera que adquiera
o amplíe al terminar la lección.
Qué sé recuerda al estudiante los
contenidos trabajados en la escuela
primaria que están relacionados con el
desarrollo de la lección que inicia.
Qué lograré aprender plantea preguntas
concisas al estudiante que lo ayudarán a
determinar su dominio de los contenidos
revisados en la lección.
En cada entrada de bloque se incluyen los
propósitos señalados en los programas de
estudio, resaltando la importancia de éstos
para el estudiante.
Bloque 2
Entrada de lección “Algo de lo que me enseñaron”
17
Relación funcional
Mis retos
Durante tus estudios de primaria aprendiste a resolver situaciones
problemáticas que implicaron relaciones de proporcionalidad
directa; ahora formularás expresiones algebraicas que correspondan
a la relación entre dos cantidades directamente proporcionales.
Qué sé
En la primaria aprendiste a resolver problemas que implicaron
proporcionalidad directa e indirecta; además, lograste representar y
analizar la información en tablas.
Sabes elaborar tablas de variación proporcional y no proporcional
para resolver problemas; además, relacionas datos de una tabla de
proporcionalidad directa y elaboras gráfi cas de variación
proporcional y no proporcional.
Qué lograré aprender
¿Qué es una relación funcional?
¿Para qué sirven las funciones?
186
ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON
1 Calcula la longitud de cada una de las siguientes circunferencias.
¿Cómo calculaste el perímetro de cada círculo?
¿Utilizaste el número p para calcular el perímetro de los círculos?
¿Por qué?
2 Traza con ayuda de un compás y una regla un círculo que tenga un
diámetro de 4.5 cm. ¿Cuántos centímetros tuviste que abrir tu compás?
3 Con la ayuda de un compás y una regla, reproduce la siguiente fi gura.
Describe los pasos que seguiste.
r = 2 cm
A B C D
197
E
8
Entrada de bloque
En este bloque temático…
Resolverás problemas que impliquen
efectuar sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones con fracciones.
Resolverás problemas que impliquen
efectuar multiplicaciones con números
decimales.
Justifi carás el signifi cado de fórmulas
geométricas que utilizas al calcular
perímetros y áreas de triángulos,
cuadriláteros y polígonos regulares.
Resolverás problemas de
proporcionalidad directa del tipo valor
faltante, con factor de proporcionalidad
entero o fraccionario, y problemas de
reparto proporcional.
“Algo de lo que me enseñaron” propone
actividades sobre contenidos que es
conveniente tener claros antes de abordar
los temas de la lección. También sirve como
evaluación diagnóstica.
Las actividades planteadas en las secciones
“Algo de lo que me e nseñaron” y
“Demuestro lo que sé y hago” (p. 9) deben
dosifi carse de acuerdo con el criterio del
maestro. No es indispensable resolver todos
los incisos, sino sólo aquellos necesarios
para asignar tiempos adecuados al
tratamiento de los contenidos y de acuerdo
con el avance del curso.

Apertura de lección
BLOQUE 2
Las
fracciones
y la
música
Secciones particulares
Para curiosos
¿Te gusta la música? Pues las fracciones pueden ayudarte
a comprender algunas bases de la teoría musical.
Un músico te podría explicar cómo se representan sonidos
por medio de notación y diagramas, los cuales se basan
en símbolos asociados a lo que se conoce como notas
musicales, que se escriben en un conjunto de cinco líneas
horizontales paralelas y cuatro espacios, llamado pentagrama
(figura 1).
5ª
4ª
Líneas Espacios
4º
3ª 3º
2ª 2º
1ª 1º
Figura Nombre Valor
Redonda 1
Blanca
Negra
Corchea
Semicorchea
Este apartado, específi co de la primera
lección de cada bloque, explora
algunas situaciones didácticas
indicadas en los planes y programas
de estudio.
Fusa
Semifusa
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
Figura 1
Cada nota se representa con una figura colocada en el pentagrama,
la cual indica el tipo de sonido (por la posición en el pentagrama)
y su duración o valor (por la figura que se dibuja en el
pentagrama). Observa la figura 2.
Las figuras tienen diferentes nombres y valores:
84
Figura 2
Desarrollo de lección
1.99 cm
6.29 cm
Perímetro: 35.6 cm
4.15 cm
Perímetro: 23.49 cm
Perímetro: 11.23 cm
Figura 6
Figura 7
BLOQUE 4
Relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo
Observa los cuadrados de la fi gura 6.
La medida del segmento que aparece indicado dentro de cada cuadrado de la fi gura
6 es la mitad de la longitud de cada una de las diagonales del cuadrado.
perímetro
Observa que la división
es casi igual en todos los casos; las
longitud del segmento
diferencias se explican por imprecisión de las mediciones o los cálculos.
perímetro
Longitud del segmento Perímetro del cuadrado
segmento
1.99 11.23 5.643
4.15 23.49 5.66
6.29 35.6 5.66
Ahora traza tú 3 cuadrados diferentes. Divide en cada caso la longitud del perímetro
entre la del segmento de diagonal y anota el resultado. ¿Qué observas?
Para curiosos
Si en vez de la mitad de la diagonal se utiliza la longitud de la diagonal completa o la
de un segmento en el interior del cuadrado que una dos de sus vértices, ¿los cocientes
de la tercera columna de la tabla también serán aproximadamente iguales?
¿Esto indica que hay proporcionalidad entre el perímetro de un cuadrado y la longitud
de un segmento en el interior?
Haz algo semejante con hexágonos regulares y otros polígonos regulares. Cons tru ye,
basándote en los polígonos de la fi gura 7 y los de la fi gura 8, dos tablas que muestren
la relación entre los perímetros y los segmentos indicados en los polígonos.
Perímetro:
8.56 cm
2.85 cm
Perímetro:
18.75 cm
Cada contenido planteado en el
programa de estudios constituye un
tema o subtema de la lección, los
cuales se resaltan para su mejor
identifi cación.
“Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipo
para buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual los
involucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico.
EN EL ATENEO
“En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que se
re comienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en su
cuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí también
se invita a la refl exión y se hace hincapié en las partes operativas cuando se
considera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”.
6.85 cm
9
9
Perímetro:
29.4 cm
9.75 cm
Al fi nal de cada lección se incluyen las
siguientes dos secciones:
“Demuestro lo que sé y hago”
Es una evaluación sumaria en la que
se integran los diversos contenidos
estudiados en la lección. El maestro
encontrará aquí actividades con las
cuales puede plantear tareas o
construir exámenes de acuerdo con
sus necesidades.
“Conéctate”
Esta sección presenta opciones de
consulta en Internet o en libros que
permiten profundizar en algunos
contenidos.
Considerando que los contenidos
de Internet cambian o desaparecen
sin previo aviso, las direcciones que se
ofrecen sólo son un ejemplo de lo que
se puede encontrar en este medio de
información. Se recomienda utilizar un
“motor de búsqueda” para hallar otras
páginas sobre el tema de interés.
Por otra parte, aun cuando algunas
referencias bibliográfi cas que se
sugieren son publicadas por editoriales
extranjeras, son parte de las fuentes
que se pueden obtener en idioma
español y se han detectado en bibliotecas
de varias instituciones o en librerías.
Se pueden obtener artículos sobre
la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática en revistas especializadas,
como las incluidas en el índice de
revistas de excelencia sobre investigación
del CONACYT. También se cuenta
con revistas digitalizadas de distri bución
gratuita, como la revista Uno, y
otras publicaciones periódicas en
hemerotecas de servicio gratuito en
línea, como Redalyc.

Bloque 1
“Mucho antes de que se inventara la
escritura el hombre empezó a rayar las rocas
y las paredes de las cuevas y a tallar
muescas en varas para indicar ‘cuántos’.
Tales marcas fueron el inicio de los sistemas
de numeración.”
Margaret F. Willerding
10

En este bloque temático…
Conocerás las características del sistema
de numeración decimal (base, valor de
posición, número de símbolos) y
establecerás analogías y diferencias de
éste con respecto a otros sistemas
posicionales y no posicionales.
Podrás comparar y ordenar números
fraccionarios y decimales mediante
expresiones equivalentes, la recta
numérica, los productos cruzados u otros
recursos.
Representarás sucesiones de números
o de fi guras a partir de una regla dada
y viceversa.
Construirás fi guras simétricas con
respecto a un eje, identifi cando cuáles
son las propiedades de la fi gura original
que se conservan.
Resolverás problemas de conteo con
apoyo en representaciones gráfi cas.
11

1
Una mirada a los números
de la antigüedad
Mis retos
Ya conoces el sistema de numeración decimal, lo aprendiste en la
escuela primaria. Pero ahora vas a identifi car propiedades de este
sistema que otros sistemas numéricos, posicionales y no
posicionales, no tienen. Estos otros sistemas fueron utilizados por
diversas culturas antiguas.
Qué sé
Ya has manejado números naturales de una a seis cifras.
Sabes que en el sistema de numeración decimal se hacen
agrupamientos de diez en diez para construir números de más de
una cifra, y que los dígitos toman determinado valor de acuerdo con
su posición en la representación escrita de un número.
Puedes nombrar números de una a seis cifras.
Sabes el número anterior y el que sigue a un número dado.
Conoces el sistema de numeración romano y las diferencias
importantes de este sistema con el sistema de numeración decimal.
Sabes cuándo un número es múltiplo de otro y cómo se
descomponen los números expresándolos mediante
multiplicaciones de números menores.
Qué lograré aprender
¿Los sistemas de numeración son recientes?
¿Qué otros sistemas de numeración existen, además del romano y el
decimal?
¿Solamente puede haber agrupamientos de diez en diez, como en
el sistema de numeración decimal?
¿Puedo inventar un sistema de numeración? ¿Qué se necesita?
¿Cómo se escribían los números en la antigüedad?
12

ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON
1 Escribe el número que corresponde a los siguientes nombres.
Trece
Cincuenta y cuatro
Doscientos siete
Tres mil quinientos doce
Cuarenta y cuatro mil novecientos uno
Trescientos cinco mil tres
2 Escribe el nombre de los siguientes números en nuestro sistema decimal.
78 25 001
309 504 010
2 010
3 Responde las siguientes preguntas.
¿Cuántas decenas de millar tiene el número 204 025?
¿Cuántas centenas tiene 23 547?
¿Cuál es la representación del número que tiene dos centenas y tres
unidades?
¿Cuál es la representación del número que tiene tres decenas de millar,
cinco decenas y dos unidades?
¿Cuál es la representación del número que tiene cinco centenas de millar y
dos decenas?
4 ¿Qué número representan en el sistema decimal los siguientes números
romanos?
VIII DI
XXIV MCCXIII
CDXIX
5 ¿Qué representación tienen los siguientes números en el sistema romano?
7 3 408
53 1 005
245 2 999
13

Figura 3
Figura 1
BLOQUE 1
De visita en
el museo
14
Imagina que al visitar un museo
te encuentras con objetos como los
que aquí se ilustran.
Figura 2
• Antes de proceder a la lectura
de la lección, discute con tus
compañeros el signifi cado de los
símbolos en estos objetos antiguos.
• Identifi ca algunos símbolos que se
repiten y que aparecen en
secuencias similares.
• Escribe tus conclusiones en
tu cuaderno y los puntos
en que estuviste de acuerdo con tus
compañeros.

Babilonios
En la fi gura 4 se muestra una tablilla que contiene varios símbolos que corresponden
a una multiplicación con números. Esta tablilla fue hecha de arcilla por los babilonios.
Esta simbología fue utilizada por los babilonios hace miles de años.
Para curiosos
LECCIÓN 1 • UNA MIRADA A LOS NÚMEROS DE LA ANTIGÜEDAD
¿Cómo eran los babilonios? ¿Cuáles eran sus costumbres? ¿Qué problemas matemáticos
se plantearon? ¿Cuáles pudieron resolver? ¿Qué descubrimientos importantes
hicieron?
Organízate con tus compañeros para hacer fi chas sobre estos temas y un ensayo
sobre la vida de los babilonios y su conocimiento matemático.
Un arqueólogo se preguntaría sobre el signifi cado de los símbolos de la fi gura 4.
Seguramente trataría de identifi car las representaciones escritas que se utilizan
reiteradamente. ¿Cuáles son esos símbolos?
La fi gura 5 muestra símbolos similares a los que están inscritos en la tablilla de la
fi gura 4.
Si el arqueólogo te dice que algunos de estos símbolos tienen determinados valores
en el sistema decimal, como se muestra en la fi gura 6, ¿cómo podrías deducir el
valor de los que no están identifi cados? Discute con tus compañeros tu respuesta.
1 3 4
10 20 36
Imaginemos que el arqueólogo te dice que los números mayores que 60 se componen
como se muestra en la fi gura 7.
1 ¥ 60 + 2 ¥ 10 + 3 ¥ 1 = 83
15
Figura 4
Tablilla con números
babilonios
Figura 5
Símbolos babilonios
Figura 6
Algunos símbolos babilonios
con su valor correspondiente
en el sistema decimal
Figura 7
Expresión del número 83
en sistema babilonio

Figura 8a
Figura 9
Expresión del número 755
en sistema babilonio
Glosario
Permutar: Cambiar una
cosa por otra. Variar la
disposición u orden en que
se hallaban dos o más cosas.
Figura 11
Expresión del número 116 503
en sistema babilonio
BLOQUE 1
De acuerdo con la regla que mostró el arqueólogo, ¿qué números representan, en
sistema decimal, las expresiones babilonias que se muestran en las fi guras 8a, 8b y 8c?
Escribe la respuesta en tu cuaderno.
Figura 8b Figura 8c
Veamos otro número y su equivalencia en el sistema decimal.
12 ¥ 60 + 3 ¥ 10 + 5 ¥ 1 = 755
Si permutamos los grupos de símbolos que conforman este número, ¿qué número
re pre senta cada una de las expresiones babilonias que se muestran en las fi guras 10a,
10b y 10c? Escribe la respuesta en tu cuaderno.
Figura 10a Figura 10b Figura 10c
Consideremos ahora una cantidad mucho mayor.
32 ¥ 3 600 + 21 ¥ 60 + 43 ¥ 1 = 116 503
Si nuevamente cambiamos de lugar grupos de símbolos de este número, ¿qué números
en sis tema decimal corresponden a las expresiones babilonias de las fi guras
12a, 12b y 12c? Escribe la respuesta en tu cuaderno.
Figura 12a Figura 12b Figura 12c
16

LECCIÓN 1 • UNA MIRADA A LOS NÚMEROS DE LA ANTIGÜEDAD
Al abordar las actividades de la sección “Algo de lo que me enseñaron” de esta
lección ya recordaste algunos aspectos del sistema de numeración decimal, como la
forma de hacer agrupamientos de diez en diez y el valor que tiene un dígito de acuerdo
con su posición. Ahora vas a utilizar esas ideas para analizar otros sistemas numéricos.
Escribe en los recuadros de la fi gura 13 la potencia de 10 que corresponda.
Millares Centenas Decenas Unidades
1 000 100 10 1
Por ejemplo, en el sistema decimal los dígitos del número 4 275 tienen los valores
que se muestran en la fi gura 14. En los recuadros escribe la multiplicación del número
y la potencia de 10 que corresponden; comprueba que la suma equivale al número
de la izquierda (si es permisible, de acuerdo con tu maestro, puedes usar una calculadora
para hacerlo).
4 millares
2 centenas
Los babilonios hacían algo similar, pero agrupando en potencias de 60, en vez de
potencias de 10, por lo que decimos que su sistema es sexagesimal. En los recuadros
de la fi gura 15 escribe la potencia de 60 que corresponda.
216 000 3 600 60 1
Con nuestros símbolos, el número 4 275 en sistema decimal indica, como ya vimos,
que tenemos 4 millares (4 decenas de centenas), 2 centenas (2 decenas de decenas),
7 decenas y 5 uni dades. Pero si las agrupaciones fueran de sesenta en sesenta, la
representación 4 275 indicaría 871 625 en sistema decimal, como puedes observar en
la fi gura 16.
En los recuadros de la fi gura 16 escribe el número y la potencia de 60 que corresponden:
4
2
7
5
+ + +
7 decenas
4 275 = + + +
5 unidades
= 871 625
Comprueba que la suma equivale al número de la derecha (si es permisible, de
acuerdo con tu maestro, puedes usar una calculadora para hacerlo).
17
Figura 13
La notación posicional
de los números en el sistema
decimal
Figura 14
Notación posicional
de un número
en el sistema decimal
Figura 15
La notación posicional
en el sistema sexagesimal
Figura 16
Notación posicional
de un número en el sistema
sexagesimal

BLOQUE 1
1
2
3
4
Discute con tus compañeros cómo encontrar una regla para escribir números en
notación sexagesimal. Escribe tus conclusiones y compártelas con tus compañeros.
Escribe en la notación numérica de los babilonios los siguientes números expresados
en sistema decimal.
Decimal 47 95 137 546 987 1 245 5 528 12 604 23 549
Babilonio
Discute con tus compañeros sobre las ventajas o desventajas del sistema decimal
y del sexagesimal (con respecto a la facilidad de escritura, al uso de más o menos
símbolos para representar cantidades grandes o pequeñas, etcétera). ¿Cuál preferirías
usar?
Considera los símbolos y . Utilízalos en vez de los símbolos de los babilonios, asignándoles
un nombre y un valor en el sistema decimal.
Nombre:
Cantidad que representa
en el sistema decimal:
A partir de las reglas de escritura de los números babilonios, escribe con los nuevos
símbolos las cantidades que se indican en la tabla siguiente. Combina los nombres
que asignaste a los símbolos para darle denominación a las cantidades que escribiste.
Número en el
sistema decimal
23
245
2 539
5 457
15 032
Número en el nuevo
sistema
EN EL ATENEO
Nombre:
Cantidad que representa
en el sistema decimal:
Nombre dado al número
Seguramente habrás notado que también debe establecerse una regla para denominar
a estos números.
18

Romanos
Ya conoces los números romanos. En la fi gura 17 puedes observar un documento
antiguo en el que se emplean números romanos.
El documento de la fi gura 17 es del siglo xvi. Muestra la relación
entre algunos números escritos en la notación romana y la decimal. La
notación de los romanos estuvo en boga hace cientos de años, aunque
todavía se sigue usando. Por ejemplo, en las carátulas de algunos relojes
o para señalar capítulos de libros.
En el documento de la fi gura 17 hay varios símbolos que puedes reconocer, pero
las cantidades que se representan son “grandes”.
La notación romana de los números sigue algunas reglas sencillas, las cua les seguramente
aprendiste en la escuela primaria.
Como sabes, los romanos hicieron uso del alfabeto latino para representar cantidades.
Los símbolos básicos para formar números con la notación de los romanos
se muestran a continuación.
Decimal 1 5 10 50 100 500 1000
Romano
Algunos números romanos se muestran en la siguiente tabla.
Decimal Romano Millares Centenas Decenas Unidades
96
949
1704
2 458
Para curiosos
LECCIÓN 1 • UNA MIRADA A LOS NÚMEROS DE LA ANTIGÜEDAD
¿Cuándo se empezó a utilizar la notación romana de los números?
¿Cómo vivía la gente de esa época? ¿Qué conocimientos matemáticos
tenían los romanos de esa época?
Discute estas cuestiones con tus compañeros, haz fi chas y un ensayo
sobre la vida de los romanos y sus conocimientos matemáticos.
(100 - 10) (5 + 1)
(1000 - 100) (50 - 10) (10 - 1)
(1000) (500 + 200) (5 - 1)
(1000 + 1000) (500 - 100) (50) (5 + 3)
19
Figura 17
Documento con números
romanos

BLOQUE 1
1
2
3
4
Escribe en la notación numérica de los romanos los siguientes números expresados
en sistema decimal.
Decimal 59 87 137 623 902 1 543 3 561
R omano
Discute con tus compañeros cómo se escriben los números en notación romana.
¿Qué diferencias encuentras entre las maneras de escribir números de los babilonios,
los romanos y la que usamos en la actualidad? ¿La posición de los símbolos importa?
¿De cuántos en cuántos se agrupa en cada sistema de notación?
Escribe en tu cuaderno tus conclusiones; añade algunos ejemplos. Después, intercambia
tu escrito con tus compañeros.
Discute con tus compañeros sobre las ventajas o las desventajas del sistema decimal
y del romano (con respecto a facilidad de escritura, al uso de más o menos símbolos
para representar cantidades grandes o pequeñas, etcétera). ¿Cuál preferirías usar?
Considera los siguientes símbolos: , , , , , y .
Utilízalos en vez de los símbolos de los romanos, asignándoles un nombre y un
valor en sistema decimal.
Símbolo
Valor decimal
Nombre
A partir de las reglas de escritura de los números romanos, escribe con estos símbolos
las cantidades que se indican en la tabla. Combina los nombres de los símbolos para
darle denominación a las cantidades que escribiste.
Número en el
sistema decimal
43
415
1 739
Número en el nuevo
sistema
EN EL ATENEO
Nombre dado al número
Nuevamente podrás constatar que la denominación de los números no es algo sencillo,
y que en el sistema decimal eso no es tan complicado precisamente por los
nombres elegidos y las reglas de composición para nuevos nombres.
20

Mayas
Los arqueólogos encontraron un códice maya conocido ahora como el Códice de
Dresde. La fi gura 18 muestra este códice.
Para curiosos
LECCIÓN 1 • UNA MIRADA A LOS NÚMEROS DE LA ANTIGÜEDAD
¿Cómo eran los mayas? ¿Cuáles eran sus costumbres? ¿Qué problemas matemáticos
se plantearon? ¿Cuáles pudieron resolver? ¿Qué descubrimientos importantes
hi cieron?
Organízate con tus compañeros para hacer fi chas sobre estas cuestiones y escribir un
ensayo sobre la vida de los mayas y sus conocimientos matemáticos.
Los arqueólogos analizaron los símbolos contenidos en el códice de la fi gura 18 y
descubrieron valores numéricos para algunos de esos símbolos.
Posteriormente descubrieron regularidades en determinados símbolos mayas y
pudieron asignarles valores numéricos en el sistema decimal, como se observa en la
fi gura 20.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Observa que en los sistemas de numeración que ya trabajaste, el babilonio y el
romano, las cantidades se escriben con secuencias de símbolos en sentido horizontal;
en el de los mayas las secuencias de símbolos se escriben en forma vertical.
21
Figura 18
Fragmento del
Códice de Dresde
Figura 19
Números escritos
en notación maya
Figura 20
Números escritos en notación
maya con su valor
correspondiente en el sistema
decimal

Los mayas, como algunas otras civilizaciones, tenían un sistema de numeración
que se modifi caba de acuerdo con el uso. En efecto, existía una numeración para las
transacciones comerciales y otra para trabajar cuestiones de astronomía.
Número maya Valor en la numeración comercial Valor en la numeración astronómica
Figura 21
Valores en el sistema decimal
de los símbolos numéricos
mayas fundamentales
BLOQUE 1
20 = (1 ¥ 20) + 0 20 = (1 ¥ 20) + 0
21 = (1 ¥ 20) + 1 21 = (1 ¥ 20) + 1
41 = (2 ¥ 20) + 1 41 = (2 ¥ 20) + 1
61 = (3 ¥ 20) + 1 61 = (3 ¥ 20) + 1
122 = (6 ¥ 20) + 2 122 = (6 ¥ 20) + 2
400 = (1 ¥ 20 2 ) + (0 ¥ 20) + 0
= (1 ¥ 400) + 0 + 0
401 = (1 ¥ 202 ) + (0 ¥ 20) + 1
= (1 ¥ 400) + 0 + 1
8 000 = (1 ¥ 203 ) + (0 ¥ 202 ) + (0 ¥ 20) + 0
= (1 ¥ 8 000) + 0 + 0 + 0
360 = (1 ¥ 360) + (0 ¥ 20) + 0
= (1 ¥ 360) + 0 + 0
361 = (1 ¥ 360) + (0 ¥ 20) + 1
= (1 ¥ 360) + 0 + 1
7 200 = [1 ¥ (360 ¥ 20)] + (0 ¥ 360) + (0 ¥ 20) + 0
= (1 ¥ 7 200) + 0 + 0 + 0
De la tabla anterior y la fi gura 20 se pueden inferir las reglas para la simbolización
de los números en el sistema de la cultura maya. Hay símbolos que se repiten, los
cuales corresponden a diferentes valores (fi gura 21).
0 1 5
Los mayas agrupaban verticalmente, casi siempre de veinte en veinte, salvo el caso
de la numeración astronómica. Cuando en alguno de los agrupamientos no había
que incluir alguna cantidad, utilizaban el símbolo del cero, como lo hacemos en el
sistema decimal.
En la numeración comercial, los mayas colocaban en el primer nivel símbolos del
cero al 19, en el siguiente nivel superior, escribían un número del cero al 19, cuyo valor
en el sistema decimal lo obtenemos multiplicando por 20; en el siguiente nivel, el tercero,
el número correspondiente se multiplica por 20 ¥ 20 = 400; en el cuarto nivel
se multiplica por 20 ¥ 20 ¥ 20 = 8 000, y así sucesivamente, como se aprecia en el diagrama
siguiente.
22

Quinto nivel
+
Cuarto nivel
+
Tercer nivel
+
Segundo nivel
+
Primer nivel
Por ejemplo:
2 ¥ 20 = 40 6 ¥ 20 ¥ 20 ¥ 20 = 48 000
5 ¥ 1 = 5 0 ¥ 20 ¥ 20 = 0
45 10 ¥ 20 = 200
3 ¥ 1 = 3
48 203
En la numeración astronómica de los mayas, en el primer nivel se colocaban números
del cero al 19; a partir del 19, se pasaba a un segundo nivel. La cantidad que se
escribía en ese nivel se multiplicaba por 20, en el caso del tercer nivel se multiplicaba
por 360 (por ajustes del calendario), posteriormente se volvía a mul tiplicar por 20, es
decir 20 ¥ 360, y así sucesivamente.
Quinto nivel
+
Cuarto nivel
+
Tercer nivel
+
Segundo nivel
+
Primer nivel
Por ejemplo:
LECCIÓN 1 • UNA MIRADA A LOS NÚMEROS DE LA ANTIGÜEDAD
Número del 0 al 19 ¥ 20 ¥ 20 ¥ 20 ¥ 20 = 160 000
Número del 0 al 19 ¥ 20 ¥ 20 ¥ 20 = 8 000
Número del 0 al 19 ¥
20 ¥ 20 = 400
Número del 0 al 19 ¥
20
Número del 0 al 19 ¥
1
Número del 0 al 19 ¥ 360 ¥ 20 ¥ 20 = 144 000
Número del 0 al 19 ¥ 360 ¥ 20 = 7 200
Número del 0 al 19 ¥
360
Número del 0 al 19 ¥
20
Número del 0 al 19 ¥
1
7 ¥ 360 = 2 520 6 ¥ 360 ¥ 20 = 43 200
2 ¥ 20 = 40 5 ¥ 360 = 1 800
5 ¥ 1 = 5 10 ¥ 20 = 200
2 565 3 ¥ 1 = 3
45 203
23

Escribe en la notación numérica comercial y astronómica de los mayas los siguientes
números expresados en sistema decimal.
2
Decimal 14 25 142 538 875 1 255 5 638 11 544 23 749
Maya comercial
Maya astronómico
EN EL ATENEO
Discute con tus compañeros las reglas para escribir números en notación maya.
Anota tus conclusiones y compártelas con tus compañeros.
Discute con tus compañeros sobre las ventajas o las desventajas del sistema decimal
y del maya (con respecto a la facilidad de escritura, al uso de más o menos símbolos
para representar cantidades grandes o pequeñas, etcétera). ¿Cuál preferirías usar?
Sistemas de numeración decimal, babilonio, romano y maya
Incluso los símbolos del sistema decimal, que manejamos cotidianamente, sufrieron
modifi caciones importantes a través del tiempo, y sus formas de representación son
tan diferentes como las culturas que los desarrollaron. En la tabla siguiente se muestran
estas diferencias para los primeros diez dígitos en nueve sistemas de escritura.
Símbolos numéricos empleados por distintos pueblos
Hindoarábigos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Árabe
Chino (comercial)
Gujarati
Hindi
Maya
Tailandés
Tamil
Romano
BLOQUE 1
1
24

Por otro lado, como también puede obser varse en la tabla, no siempre hubo un
símbolo para el cero.
Indaga sobre algunas culturas que incorporaron al cero en su sistema de numeración
y escribe una lista de las que encontraste.
¿En cuál de los sistemas, el babilonio, el romano o el maya, se utilizó el cero?
No solamente la representación escrita de los números ha presentado difi cultades,
también sucedió así con su denominación, lo cual persiste hasta nuestra época. Por
ejemplo:
• 11 es “once” pero podría ser “diez más uno” o “diez y uno”.
• 12 se llama “doce”, pero podría llamarse “diez más dos” o “diez y dos”.
• 13 es “trece” en vez de “diez y tres”.
• 14 es “catorce”, no “diez y cuatro”.
• 15 es “quince”, no “diez y cinco”.
Sin embargo, 16 es “diez y seis”; 34 es “treinta y cuatro”, y así con otros números.
En el sistema decimal, aunque los agrupamientos son de diez en diez, la forma de
denominar algunos números no corresponde a esa manera de agrupar. Por ejemplo,
147 podría denominarse “diez veces diez y cuarenta y siete”, pero se denomina “ciento
cuarenta y siete”. Se nombra una nueva unidad de agrupamiento en vez de expresar
las agrupaciones de diez en diez.
También en los millares encontramos una situación análoga: 3 254 se llama “tres
mil doscientos cincuenta y cuatro”. No se conserva la idea de agrupamientos de diez,
sino que se forma una nueva agrupación, los millares.
En cifras mayores como los millones se prefi ere agrupar de mil en mil en vez de
diez en diez. Por ejemplo, 49 007 235 se denomina “cuarenta y nueve millones siete
mil doscientos treinta y cinco”.
La existencia de variaciones en la forma de expresar oralmente las cantidades no
necesariamente implica un error; se ha establecido así porque puede incorporar ventajas
para la comunicación o se ha conservado a lo largo de los años sin modifi cación.
1
Considera los siguientes símbolos:
Elige algunos de ellos para utilizarlos en vez de los símbolos de los babilonios y asígnales un nombre.
Símbolos elegidos
Nombres asignados
LECCIÓN 1 • UNA MIRADA A LOS NÚMEROS DE LA ANTIGÜEDAD
EN EL ATENEO
Compara tus resultados con los de tus compañeros y traten de llegar a sím bolos y nombres comunes.
¿Es sencillo ponerse de acuerdo? ¡Imagina el tiem po que tardó la humanidad para ponerse de acuerdo!
25

2
3
4
BLOQUE 1
A partir de las reglas de los babilonios para la escritura de los números, escribe con los nuevos
símbolos elegidos las cantidades que se indican en la tabla. También asigna un nombre a las cantidades
que escribas.
Decimal 23 67 89 146 327
Babilonio con nuevos símbolos
Nombres de números construidos
Haz lo mismo usando el sistema de numeración romano con nuevos símbolos. Es decir, elige algunos
de los símbolos anteriores para utilizarlos en vez de los símbolos de los romanos y utiliza las reglas de
la escritura de la numeración romana. Escribe con los nuevos símbolos las cantidades que se indican
en la tabla. También asigna un nombre a los símbolos elegidos y combina esos nombres para darle
denominación a las cantidades que escribas.
Símbolos elegidos
Nombres asignados
Decimal 12 47 148 367 777
Romano con nuevos símbolos
Nombres de números construidos
Aplicando las reglas de la numeración maya, con nuevos símbolos escribe las cantidades que se indican
en la tabla. También asigna un nombre a los símbolos elegidos y combina esos nombres para
darle denominación a las cantidades que escribas.
Símbolos elegidos
Nombres asignados
Decimal 33 69 94 138 256
Maya con nuevos símbolos
Nombres de números construidos
Con tus compañeros investiga sobre las características del sistema de numeración azteca y escribe
un ensayo sobre este sistema. Describe sus símbolos y las reglas que utilizaban para escribir los
números.
26

5
6
7
8
También, con tus compañeros, escriban un ensayo sobre el sistema de numeración egipcio describiendo
sus símbolos y las reglas que utilizaban para escribir los números.
Discute con tus compañeros las siguientes preguntas:
¿En cuáles de los sistemas numéricos que hemos trabajado importa la posición de los símbolos?
¿Cuál es el mejor sistema para escribir números grandes con pocos símbolos?
Formen un grupo para la discusión y cada uno tendrá un tiempo establecido para dar sus respuestas.
Posteriormente, redacten un escrito común con las opiniones que compartan todos o la mayoría.
Efectúa las siguientes operaciones aritméticas y analiza si la forma de realizarlas puede ser aplicada en
cada uno de los sistemas numéricos que hemos visto (babilonio, romano y maya).
207
+ 45
3
LECCIÓN 1 • UNA MIRADA A LOS NÚMEROS DE LA ANTIGÜEDAD
29
- 5
Discute con tus compañeros sobre la facilidad que se podría tener en los sistemas babilonio, romano
y maya, para realizar algunas operaciones, en comparación con el sistema de numeración decimal.
1 Escribe los siguientes números, expresados en el sistema
decimal, en el sistema babilonio, maya comercial
y maya astronómico.
7 15 259 3 408 23 233 508 247
43
¥ 8 21 534
Demuestro lo que sé y hago
Conéctate
Puedes consultar algunas páginas de Internet para
profundizar en lo que hemos estudiado en esta
lección. Por ejemplo, en http://www.scm.org.co/
Articulos/756.pdf encontrarás un trabajo que explica
cómo contaban mayas, aztecas e incas y hace
referencia a algunos otros métodos de conteo y cálculo
en civilizaciones de Latinoamérica. El resumen está en
inglés pero todo el artículo está en español.
También puedes consultar la página
http://es.wikipedia.org/wiki/Numerales_griegos , que se
refi ere al sistema de numeración griega, pero también
contiene enlaces a páginas sobre otros sistemas
numéricos.
27
2 Describe las características de los sistemas decimal,
babilonio, romano y maya comercial.
Otras fuentes de información están contenidas en
libros como:
Denis Guedj
El imperio de las cifras y los números
Biblioteca de bolsillo Claves, Edicio nes B, Barcelona, 1998.
Richard Mankiewicz
Historia de las matemáticas
Paidós, Barcelona, 2000.
Ten en cuenta el comentario incluido en la
descripción de esta sección en la página 9.

2
Regularidades numéricas
Mis retos
Ya conoces algunas sucesiones numéricas sencillas. Ahora, con lo
que sabes, se pueden construir otras sucesiones de números
determinando una regla para saber el término que desees. Algunas
de esas reglas tienen relación con fi guras geométricas.
También será posible encontrar expresiones generales, utilizando
símbolos con los que se defi nen reglas para los números que
forman sucesiones numéricas y fi gurativas.
Como las fórmulas geométricas representan relaciones entre
algunas magnitudes que describen a una fi gura, será importante
aprender a interpretar lo que representan las literales de algunas
fórmulas geométricas.
Qué sé
Ya trabajaste con nociones como la de antecesor o la de sucesor,
relacionadas con la sucesión numérica de los números naturales.
También utilizaste algunas sucesiones numéricas más complejas.
Empleaste las nociones de múltiplo de un número y la de mínimo
común múltiplo.
Utilizaste también varias fórmulas para calcular el área o el perímetro
de algunas fi guras geométricas.
Qué lograré aprender
¿Cómo se pueden construir sucesiones numéricas?
¿Cómo determinar cualquier término de una sucesión numérica
de la que solamente conocemos algunos de sus términos?
¿Las letras de una fórmula relacionadas con perímetros o áreas de
fi guras geométricas pueden ayudar a crear sucesiones numéricas?
¿Cómo se deben interpretar las letras de dichas fórmulas?
28

ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON
1 Observa la siguiente secuencia de números:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
Encuentra los siguientes cinco términos.
2 Considera la secuencia numérica 1, 4, 9, 16, 25, … Encuentra el décimo
tér mino.
3 La sucesión de los números impares es
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …
¿Qué necesitas sumarle a cada término para que obtengas la sucesión de
los números pares?
4 Encuentra los primeros diez términos de la sucesión numérica que se
obtendría sumando término a término la sucesión de los números pares y
la de los impares.
5 Encuentra los primeros diez términos de la sucesión numérica que se
obtendría restando término a término la sucesión de los números pares y
la de los impares.
6 Encuentra el área de un cuadrado que tiene un lado que mide 3 centímetros.
Si aumentas el tamaño del lado en tres ocasiones: a 4 centímetros, 5 centímetros
y 6 centímetros, ¿cuáles serán las áreas de los cuadrados correspondientes
cada vez que se incrementa en una unidad el lado del cuadrado?
7 Un rectángulo tiene 4 centímetros de ancho y 6 centímetros de largo. ¿Qué
área tendrá el rectángulo con lados del triple de tamaño?
8 Un trapecio tiene base menor de 3 centímetros y base mayor de 9 centímetros;
su altura es de 5 centímetros. ¿Cúal sería su área si solamente se
duplican la base mayor y la base menor?
29

BLOQUE 1
Sucesiones numéricas
Al inicio de esta lección, en la sección “Algo de lo que me enseñaron”, recordaste algunas
sucesiones numéricas, como las de los números pares e impares; además,
construiste algunas otras secuencias de números. En matemáticas, algo muy útil es
analizar las situaciones, incluso las sencillas, desde diferentes perspectivas. La experimentación,
o simplemente el deseo de escudriñar sobre algo conocido, puede revelar
relaciones hasta ese momento inadvertidas que nos lleven a útiles resultados.
Por ejemplo, de la escuela primaria sabes que los números pares son múltiplos de 2.
Escribe una lista de los primeros nueve múltiplos de 2.
, , , , , , , ,
• ¿Cómo se obtienen los múltiplos de 2?
• ¿Cómo obtienes el número par, o múltiplo de 2, que ocupa el lugar 2 de la lista?
• ¿Cómo obtienes el número par, o múltiplo de 2, que ocupa el lugar 5 de la lista?
• ¿Cómo obtienes el número par, o múltiplo de 2, que ocupa el lugar 9 de la lista?
• ¿Cómo obtienes el número par, o múltiplo de 2, que ocupa el lugar 17?
• ¿Cómo obtendrías el par que ocupa el lugar 53?
Discute con tus compañeros: ¿cómo se forma la sucesión de números pares? ¿Qué
operaciones tienes que realizar? ¿Qué papel desempeña cada uno de los números que
intervienen en dichas operaciones?
¿Hay una regla para lograrlo? Escríbela:
¿Qué sucesión numérica se obtiene con los resultados de multiplicar 7 por números
naturales?:
7 ¥ 1 = , 7 ¥ 2 = , 7 ¥ 3 = , 7 ¥ 4 = ,
7 ¥ 5 = , 7 ¥ 6 = , 7 ¥ 7 = , …
(Los puntos suspensivos “…” se usan para indicar que se puede continuar de manera
similar indefi nidamente.)
¿Qué relación tienen los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … con los términos de la sucesión
numérica que calculaste?
30

Seguramente te habrás dado cuenta de que la sucesión de múltiplos de un número
se genera multiplicando dicho número por el número que indica el lugar que ocupará
cada término en la sucesión:
¥ (el número que indica el lugar que ocupa el término en la sucesión).
Pero la frase “el número que indica el lugar que ocupa el término en la sucesión” es
muy larga; ¿podríamos sustituirla?
¿Podrías usar una frase más corta?, ¿una palabra?
Por ejemplo:
¥ (lugar).
Incluso podrías usar una sola letra en vez de una palabra. Por ejemplo, si usamos la
letra n para sustituir la frase “el número que indica el lugar que ocupa el término en
la sucesión” o la palabra “lugar”, la expresión se puede escribir de manera más corta:
¿No te agrada la letra n? ¿Tienes otra letra favorita?
¿Haría alguna diferencia escribir 2 ¥ a o 2 ¥ p o 2 ¥ k o 2 ¥ r?
¿Puedes usar la letra que quieras?
Pero la interpretación de la letra que utilices debe ser clara.
Lo anterior, aplicado a la sucesión de números pares, se resume en el siguiente
diagrama.
Lugar
Término
¥ n.
Escribe una lista de los primeros siete múltiplos de 3.
• ¿Cómo se obtienen los múltiplos de 3?
1
¥ 2 ¥ 2 ¥ 2
2
, , , , , ,
• ¿Cómo obtienes el múltiplo de 3 que ocupa el lugar 5 de la lista?
• ¿Cómo obtienes el múltiplo de 3 que ocupa el lugar 11?
• ¿Cómo obtendrías el múltiplo de 3 que ocupa el lugar 75?
2
4
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
2 ¥ n
Cada término de la sucesión de múltiplos de 3 puede obtenerse por una multiplicación
de dos números; explica cuáles son cada uno de los factores:
¥ ( ).
3
6
31
. . .
. . .
n
¥ 2

BLOQUE 1
La expresión simplifi cada, usando un número y una letra, para encontrar los múltiplos
de 4 es ¥ .
La expresión para los múltiplos de 6 es ¥ .
La expresión 9 ¥ n se refi ere a la sucesión de múltiplos de .
La expresión 15 ¥ s se refi ere a la sucesión de múltiplos de .
Para curiosos
Con tus compañeros encuentra los primeros 7 términos de las sucesiones que corresponden
a los múltiplos de 8, 12, 25 y 142. En cada caso escribe la expresión simplifi cada
(fórmula) que nos indica cómo hacer los cálculos correspondientes para determinar
cualquier término de la sucesión, de acuerdo con el lugar que ocupa en ella.
Progresiones aritméticas
Puedes seguir experimentando con las sucesiones numéricas. Analiza nuevamente la
sucesión de los números pares de acuerdo con la siguiente guía.
¿Cuál es el resultado de la resta del segundo número par con el primero?:
- = .
Discute con tus compañeros: ¿qué sucede si restas un número par cualquiera con
el que le antecede?
4 - 2 = , 6 - 4 = , 8 - 6 = , …
18 - 16 = , … 34 - 32 = , 116 - 114 = …
A menos que se indique lo contrario, considerarás la diferencia de términos consecutivos
como el número que se obtiene al restar a cualquier término el que le antecede.
Así pues, la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión de números
pares siempre es igual a .
Esto conduce a pensar que los términos de la sucesión de números pares también
pueden escribirse de la siguiente manera (haciendo explícita la forma en que se acumula
la diferencia):
Lugar
1
2
2
2 + 2
Término 2
4
6
8 . . .
3
2 + 2 + 2
4
2 + 2 + 2 + 2
, , , ,
32
. . .

Lo cual ya conocías y podrías considerarlo poco importante, pero en la sencillez generalmente
están ocultas cosas muy interesantes.
Lo anterior indica que podemos construir la sucesión de números pares de otra
manera:
2 + 2 + 2 + 2 = 2 + (2 ¥ ), 2 + 2 + 2 = 2 + (2 ¥ ),
2 + 2 = 2 + (2 ¥ ), 2 = 2 + (2 ¥ ) …
¿Cómo escribirías el quinto, octavo y decimocuarto términos usando esta notación?
• Quinto término de la sucesión = 2 + (2 + )
• Octavo término de la sucesión = 2 + (2 + )
• Decimocuarto término de la sucesión = 2 + (2 + )
Esto indica que los términos de la sucesión de pares se pueden construir de acuerdo
con lo que se plantea en el siguiente diagrama.
Lugar
1
2
2 + (0 ¥ 2) ,
2
2 + 2
Término 2
4
6
8 . . .
Se puede observar que, en el cálculo de cada término, el primer término de la sucesión
es el primer sumando; en este caso es .
El segundo sumando es un producto donde el segundo factor es la diferencia entre
dos términos consecutivos, que en este caso es ; mientras que el primer factor es
Emerge un patrón que puedes utilizar para construir sucesiones numéricas de
otros múltiplos de un número. Por ejemplo, en los múltiplos de 9:
• es el término inicial, es decir, el que ocupa el lugar número 1 de la sucesión.
• es el segundo término, esto es, el que ocupa el lugar número 2. Este término
se puede calcular sumando al término inicial el producto del número que corresponde
al lugar que ocupa en la sucesión el término anterior por la diferencia entre
términos consecutivos, que en este caso debe ser . De este modo,
+ ( ¥ ) = 18.
• El tercer término, , se calcula entonces de la siguiente manera:
3
+ ( ¥ ) = 27.
2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2
, , , ,
2 + (1 ¥ 2) ,
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
2 + (2 ¥ 2) ,
33
4
2 + (3 ¥ 2) ,
. . .
. . .
.

BLOQUE 1
• El término que ocupará el lugar 92 se puede calcular así:
+ ( ¥ ) = .
Intenta calcular este término de otra manera; ¿qué sucede?
Ahora, calcula de la manera que desees los términos que ocuparán los lugares 129
y 5 423. ¿De qué manera lo harías?
Escribe los quince primeros términos de la sucesión de múltiplos de nueve:
, , , , , , , ,
, , , , , ,
Puedes experimentar con otras sucesiones, siguiendo las ideas anteriores.
Considera que el primer término es 7 y que la diferencia de dos términos consecutivos
es 4. La sucesión tendrá los siguientes términos:
• El segundo término será 7 + (1 ¥ 4) = .
• El tercer término será 7 + (2 ¥ 4) = .
• El término que ocupará el lugar 11 será + ( ¥ ) = .
• El término que ocupará el lugar 36 será + ( ¥ ) = .
Escribe 15 términos de la sucesión:
, , , , , , , ,
, , , , , ,
Con tus compañeros construye varias sucesiones. Por ejemplo, si el término inicial
es 11 y la diferencia entre términos consecutivos es 5, entonces:
• El segundo término será + ( ¥ ) = .
• El tercer término será + ( ¥ ) = .
• El quinto término será + ( ¥ ) = .
• El término que ocupará el lugar 17 será + ( ¥ ) = .
• El término que ocupará el lugar 59 será + ( ¥ ) = .
Escribe 15 términos de esta sucesión:
, , , , , , , ,
, , , , , ,
A las sucesiones en las que cada término después del primero se obtie ne sumando
un número fi jo al término precedente se las denomina progresio nes
aritméticas.
34

En general, para obtener cualquier término de una progresión aritmética, se requieren
ciertos datos. Con tus compañeros indica con palabras el dato que se requiere
en cada casilla e identifi ca en cuál obtendrás el término de la sucesión.
+ ( ¥ ) = .
Ya sabes que con una sola letra se pueden resumir muchas palabras, siempre y
cuando interpretes adecuadamente cada letra. Así, lo expresado en el diagrama anterior
se puede simplifi car usando letras.
Asigna letras a los siguientes elementos que participan en el cálculo de los términos
de una progresión aritmética:
• es el término inicial;
• es el lugar que ocupa el término anterior al que se quiere calcular;
• es la diferencia entre dos términos consecutivos;
• es el término que se quiere calcular.
La fórmula quedaría: + ( ¥ ) = .
Ahora usemos las siguientes letras:
• I para el término inicial;
• L para el lugar que ocupa el término anterior al que se quiere calcular;
• D para la diferencia entre dos términos consecutivos;
• T para el término que se quiere calcular.
La fórmula quedaría: + ( ¥ ) = .
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
Ahora considera la situación al revés; siempre es útil hacerlo y en matemáticas es
muy importante. Si sabes que la siguientes sucesiones numéricas son progresiones
aritméticas, determina, en cada una de ellas, cuál es el primer término y qué valor
tiene la diferencia entre dos términos consecutivos:
5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68, 75, 82, 89, 96, 103, 110, …
3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59, 67, 75, 83, 91, 99, 107, 115, 123, …
35

1
2
3
4
5
6
7
8
9
BLOQUE 1
Discute con tus compañeros los siguientes planteamientos y encuentra la respuesta a cada uno de
ellos. Si dominan las operaciones aritméticas podrían utilizar una calculadora o una hoja electrónica.
¿Cuál es la regla para calcular términos de las siguientes sucesiones numéricas?
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, …
4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, …
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …
2, 8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, …
Considera la progresión aritmética 5, 8, 11, 14 …
EN EL ATENEO
¿Cuál es el valor de la diferencia entre dos términos consecutivos?
Encuentra los términos que ocupan los lugares del 5 al 20.
¿Qué lugares ocupan los términos que se calculan de la siguiente manera? También calcula el valor
del término correspondiente:
5 + (14 ¥ 3) 5 + (38 ¥ 3) 5 + (89 ¥ 3) 5 + (105 ¥ 3)
Una sucesión de números se calcula como una progresión aritmética con la fórmula
13 + (L ¥ 2) = .
¿Qué representa L?
Encuentra los términos que ocupan los lugares 3, 10, 25, 100 y 278.
Si sabes que el término que ocupa el lugar 11 de una progresión aritmética es 75 y la diferencia de
dos términos consecutivos es 4, encuentra el primer término de la progresión.
Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual
a 4 y la diferencia de dos términos consecutivos es 5.
El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia de dos términos consecutivos
es 4. Halla el primer término.
¿Qué lugar ocupará en una progresión aritmética el número 88, si sabes que el primer término es 4 y
la diferencia de dos términos consecutivos es 7?
Es posible que en una progresión aritmética el tercer término sea 24, el décimo sea 66 y que inicie
en 11? ¿Es posible que inicie en 12?
Utiliza las mismas ideas de las progresiones aritméticas pero con fracciones y decimales; en cada caso
encuentra los primeros 10 términos:
36

10
11
El primer término es 1
1
, la diferencia entre términos consecutivos es
2 5 .
El primer término es 2
2
, la diferencia entre términos consecutivos es
3 5 .
El primer término es 0.68, la diferencia entre términos consecutivos es 0.25.
Para curiosos
¿Todas las sucesiones numéricas son progresiones aritméticas? ¿La sucesión de los
números primos, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …, es una progresión aritmética? ¿Por
qué? Coméntalo con tus compañeros.
Confi guraciones geométricas y sucesiones numéricas
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
El primer término es 2.53, la diferencia entre términos consecutivos es 1.3.
Juan quiere comprarse un aparato electrónico que cuesta $900. Inicia ahorrando $100 y cada día
ahorra otros $100 más $10 por cada día que haya pasado, en progresión aritmética ¿Cuánto lleva
ahorrado después de 5 días? Si el precio del aparato solamente tendrá vigencia de un mes, con el plan
de ahorro que tiene Juan, ¿le alcanzará el tiempo para comprarlo?
Pedro pide a un prestamista $60 000 para comprar un coche, y el trato que hacen es que, si Pedro no
liquida la deuda en el plazo acordado, ésta se incrementará $3 000 por cada mes adicional que transcurra,
de acuerdo con una progresión aritmética. ¿Cuánto deberá el primer mes? ¿Cuánto el segundo?
¿Cuánto el quinto? ¿Cuánto a medio año? Si Pedro tendrá recursos hasta un mes después de un
año, ¿cuánto deberá pagarle al prestamista? ¿En cuántos meses se duplicaría la deuda de Pedro?
De la observación de algunas confi guraciones geométricas podemos encontrar también
algunas regularidades numéricas. Escribe en los espacios la cantidad de fi chas
en cada paso mostrado en la fi gura 1.
37
Glosario
Confi guración: Disposición
de las partes de un cuerpo,
lo que le da fi gura propia.
Figura 1

Figura 2
BLOQUE 1
Imagina que continúas el proceso implícito para construir las confi guraciones anteriores.
¿Qué sucesión numérica corresponde a la sucesión de confi guraciones geométricas?
¿Cuántos puntos tendrá la confi guración que se dibujaría en el noveno término?
¿Cuántos puntos tendrá la confi guración que se dibujaría en el decimosexto término?
Si por L se denota el lugar que ocupa un término en la sucesión y con R el valor del
término que ocupa el lugar L, escribe la fórmula que genera la sucesión numérica
asociada a las confi guraciones geométricas anteriores:
= ¥ .
Puedes realizar varias combinaciones con fi guras para generar sucesiones numéricas.
Por ejemplo, analiza con tus compañeros lo que sucede con la sucesión que se
muestra en la fi gura 2. Escribe en el recuadro ubicado debajo de cada confi guración
el número de cuadrados que la componen.
¿Qué sucesión numérica corresponde a la sucesión que se genera con estas confi -
guraciones geométricas?
Escribe 10 términos de la sucesión numérica correspondiente.
, , , , , , , , ,
¿Cuántos cuadrados tendrá la confi guración que se dibujaría en el decimoctavo
lugar?
¿Cuántos cuadrados tendrá la confi guración que se dibujaría en el vigésimo cuarto
lugar?
¿Qué operaciones aritméticas se tienen que hacer para calcular el número de cuadrados
que componen cualquier fi gura de la sucesión?
¿La sucesión numérica conforma una progresión aritmética?
Si es así, ¿cuál es el primer término?, ¿cuál es la diferencia?
¿Cuántos cuadrados tendrá la fi gura que ocupe el trigésimo séptimo lugar?
Si por Z se denota el lugar que ocupa en la sucesión una confi guración, o el número
asociado, al cual podemos nombrar como R, escribe la fórmula que genera la sucesión
numérica en este caso:
.
38
. . .

Recuerda que es muy importante que experimentes, que modifi ques un poco lo
aprendido para continuar aprendiendo, que te plantees preguntas y las discutas con
tus compañeros. Por ejemplo, una pequeña variante de las confi guraciones anteriores
puede ser la que se muestra en la fi gura 3.
Escribe 10 términos de la sucesión numérica correspondiente a la fi gura 3.
, , , , , , , , ,
¿Cuántos cuadrados tendrá la confi guración que se dibujaría en el decimotercer
lugar?
¿Cuántos cuadrados tendrá la confi guración que se dibujaría en el trigésimo segundo
lugar?
La sucesión numérica en este caso, ¿conforma una progresión aritmética?
Si es así, ¿cuál es el primer término?, ¿cuál es la diferencia?
¿Cuál es la fórmula correspondiente? Usa las letras que quieras, pero compara tu
resultado con los de tus compañeros. ¿Sería mejor que todos usaran las mismas letras?
Dada la sucesión mostrada en la fi gura 4, si continúas añadiendo dos círculos cada
vez, ¿qué sucesión numérica se genera con estas confi guraciones?
Escribe 15 términos de la sucesión numérica asociada a la sucesión de la fi gura
anterior.
, , , , , , , ,
, , , , , ,
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
¿Cómo se calcula el número de círculos correspondiente a cada término?
Observa que en el lugar 1 solamente hay un círculo, pero en los siguientes siempre
se agregó un número par de círculos.
39
. . .
Figura 3
Figura 4

BLOQUE 1
En ocasiones conviene analizar algunos casos particulares para reconocer algunas
regularidades.
• Se parte de un solo círculo, el primer término de la sucesión:
• A se le agregaron . ¿Cómo se expresa esto con operaciones aritméticas?
Después, a se le agregaron . ¿Cómo se expresa esto numéricamente con
operaciones aritméticas?
• A se le agregaron . La expresión con operaciones aritméticas es
• A se le agregaron . La expresión con operaciones aritméticas es
Las expresiones aritméticas para cada término pueden ser diversas; esto es más
claro si se analiza al revés la parte de la sucesión con la que acabamos de trabajar.
• Quinto término (quinto lugar en la sucesión):
9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 + ( ¥ ).
• Cuarto término (quinto lugar en la sucesión):
7 = 1 + 2 + 2 + 2 = 1 + ( ¥ ).
• Tercer término (tercer lugar en la sucesión):
5 = 1 + 2 + 2 = 1 + ( ¥ ).
• Segundo término (segundo lugar en la sucesión):
3 = 1 + 2 = 1 + ( ¥ ).
• Primer término (primer lugar en la sucesión):
1 = 1 + ( ¥ ).
Utiliza el patrón detectado en lo anterior para encontrar otros términos de la sucesión:
• Octavo término: = + ( ¥ ).
• Decimoquinto término: = + ( ¥ ).
• Trigésimo cuarto término: = + ( ¥ ).
¿Qué datos necesitas para calcular cualquiera de los términos de esta sucesión?
40
.
.

Elige las letras necesarias para encontrar una expresión, una fórmula, que sirva
para calcular el valor de cualquier término que ocupe un determinado lugar en la
sucesión:
.
Si H es el lugar que ocupa un término G escribe la fórmula:
.
¿Qué sucesión numérica genera la siguiente fórmula?
I = 1 + 2 ¥ (N - 1),
donde N es el lugar que ocupa un término I.
A lo largo de la historia de la matemática las sucesiones numéricas asociadas a confi
guraciones geométricas fueron estudiadas por muchos personajes, como Pitágoras
o Pierre de Fermat.
Para curiosos
Investiga con tus compañeros quiénes fueron Pitágoras y Pierre de Fermat y cuáles
fueron a la matemática.
Hay otras sucesiones numéricas que se pueden construir a partir de confi guraciones
geométricas; por ejemplo, la sucesión de los números triangulares (fi gura 5).
A números como éstos, que pueden representarse mediante un arreglo geométrico
regular de elementos, los llamamos números fi gurados.
En lo que sigue establece expresiones aritméticas usando sumas para ilustrar cómo
se van formando los números triangulares.
• Se inicia con ; la expresión aritmética correspondiente es
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
Indaga también sobre otros matemáticos famosos que hayan estudiado los números
fi gurados, los cuales han recibido distintas denominaciones a través de la historia.
• A se le agregan ; la expresión aritmética correspondiente es
41
.
.
Figura 5
Números triangulares

BLOQUE 1
• A se le agregan ; la expresión aritmética correspondiente es
• A se le agregan ; la expresión aritmética correspondiente es
• A se le agregan ; la expresión aritmética correspondiente es
• A se le agregan ; la expresión aritmética correspondiente es
Así pues, cada número triangular en la sucesión consiste en sumas de números
consecutivos:
• Primer triangular: .
• Segundo triangular: = + .
• Tercer triangular: = + + .
• Cuarto triangular: = + + + .
• Quinto triangular: = + + + + .
• Sexto triangular: = + + + + + .
Escribe las sumas que generan los siguientes diez números triangulares y calcula
el resultado:
Número triangular Suma
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
Escribe los 16 números triangulares que obtuviste:
, , , , , , , ,
, , , , , , ,
42
.
.
.
.

¿Encuentras algún patrón para establecer una fórmula?
Completa la siguiente tabla. Anota el resultado de cada suma.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
1 + 2 + 3 + 4 + 5
1 + 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3
1 + 2
1
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
¿Qué relación tiene cada resultado en la tabla anterior con hacer la suma de los
resultados de la adición del primer sumando y el último, el segundo y el penúltimo,
el tercero y el antepenúltimo y así sucesivamente?
¿Lo anterior te ayuda para encontrar una fórmula para generar números triangulares?
Si no es así, no te preocupes, a la humanidad le llevó bastantes años.
Podemos intentar otros caminos, los cuales, aunque hayas encontrado ya la fórmula,
te ayudarán a comprender otras relaciones con los números triangulares.
Como ya se ha dicho, es importante imaginar otras formas de trabajar el mismo
contenido para profundizar en las relaciones implícitas que a veces no podemos encontrar
por tener solamente una perspectiva de las situaciones que enfrentamos; por
ello, observa las confi guraciones que se muestran en la fi gura 6.
¿Estas confi guraciones también corresponden a números triangulares?
Escribe la sucesión numérica asociada:
43
. . . Figura 6
.

Figura 7
Figura 8
BLOQUE 1
Observa que puedes apoyarte en las confi guraciones anteriores para formar otras
(fi gura 7).
Si cada cuadrado pequeño se considera como una unidad de área, calcula las áreas
de los rectángulos.
• Primera confi guración: área = ¥ = .
• Segunda confi guración: área = ¥ = .
• Tercera confi guración: área = ¥ = .
• Cuarta confi guración: área = ¥ = .
• Quinta confi guración: área = ¥ = .
• ¿Qué sucedería en las siguientes, que no están ilustradas en la fi gura 7?
• Sexta confi guración: área = ¥ = .
• Novena confi guración: área = ¥ = .
• Vigésima confi guración: área = ¥ = .
Calcula números triangulares que ocupan los siguientes lugares:
• 15:
• 46:
• 75:
¿Ahora sí puedes establecer una fórmula para obtener números triangulares?
¿Cuántas literales requieres? Asígnales nombres y escribe una fórmula tentativa.
Discute y compara tu fórmula con las de tus compañeros y comprueba si son correctas:
.
En lo anterior trabajaste arreglos rectangulares (también puedes referirte a ellos
como números rectangulares).
La fi gura 8 muestra dos números triangulares formando un arreglo rectangular.
44
. . .
.
.
.

LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
El número de círculos que conforman el arreglo de la fi gura 8 se puede representar
como
(1 + 2) + (2 + 1) = 2 ¥ 3 .
Siguiendo esta misma forma de representación, si consideramos los números
trian gulares que siguen en la sucesión, tendríamos lo que se muestra en la fi gura 9.
1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 3 ¥ 4
1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4 ¥ 5
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 5 ¥ 6
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 6 ¥ 7
45
Figura 9

BLOQUE 1
De acuerdo con el diagrama de la fi gura 9.
• 2 ¥ (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = ( ¥ ) .
• 2 ¥ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = ( ¥ ) .
• 2 ¥ (1 + 2 + 3 + 4) = ( ¥ ) .
• 2 ¥ (1 + 2 + 3) = ( ¥ ) .
• 2 ¥ (1 + 2) = ( ¥ ) .
• 2 ¥ (1) = ( ¥ ) .
Lo anterior muestra que con dos números triangulares se construyen números
rectangulares.
Escribe 15 términos de la sucesión de números rectangulares y dibuja las confi guraciones
correspondientes.
, , , , , , , ,
, , , , , ,
46

Escribe una fórmula para obtener números rectangulares. ¿Cuántas literales necesitas?
Los arreglos rectangulares nos conducen de manera natural a los números cuadrados.
La sucesión de los números cuadrados podemos verla simplemente como se muestra
en la fi gura 10, es decir, como la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, … ; pero también podemos
verla como una sucesión de sumas de números impares a partir del segundo término,
lo cual se ilustra en la fi gura 11.
1
1 + 3 = 4
Escribe los primeros 15 números cuadrados
, , , , , , , ,
, , , , , ,
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
1 + 3 + 5 = 9
Con las relaciones que se desprenden de los números cuadrados, puedes calcular
las siguientes sumas sin sumar; encuentra el resultado.
• 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = .
• 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 = .
1 + 3 + 5 + 7 = 16
Con tus compañeros puedes inventar algunas confi guraciones para generar otras
sucesiones de números, por ejemplo, agregando a un número cuadrado un número
triangular, como se muestra en la fi gura 12.
47
Figura 10
Números cuadrados
Figura 11
Números cuadrados como
sumas de números impares
. . . Figura 12

1
Figura 13
BLOQUE 1
O agregando a un número cuadrado dos números triangulares (fi gura 13).
Diseña distintas confi guraciones y encuentra algunos términos de las sucesiones
numéricas asociadas, determina fórmulas para conocer el valor de los términos que
ocupan un lugar determinado y encuentra sumas que puedes calcular con las confi -
guraciones que construiste.
EN EL ATENEO
Considera la sucesión de los números pentagonales.
(Observa que solamente se agrega un círculo en la “base” para saber la cantidad de círculos por
lado.)
De acuerdo con las fi guras podemos descomponer cada número pentagonal en sumas de números:
Primer número pentagonal: 1.
Segundo número pentagonal: 1 + 4 = .
Tercer número pentagonal: 1 + 4 + = .
Cuarto número pentagonal: + + + = .
Quinto número pentagonal: + + + + = .
Sexto número pentagonal: + + + + + = .
Séptimo número pentagonal: + + + + + + = .
Octavo número pentagonal: + + + + + + + = .
Noveno número pentagonal: + + + + + + + + = .
Décimo número pentagonal: + + + + + + + + + = .
Siguiendo las secuencias de puntos en las confi guraciones dadas, dibuja el sexto, séptimo, octavo,
noveno y décimo número pentagonal.
48
. . .

2
3
¿Cuántos círculos tendrá el lado del duodécimo y vigésimo número pentagonal?
¿Cuántos círculos tendrá el “perímetro” del decimoquinto número pentagonal?
Desde un mismo vértice traza las “diagonales” en el interior de los números pentagonales, como se
observa en el ejemplo.
Al hacer esos trazos, ¿cuántos números triangulares detectas en cada uno de los números pentagonales
dados? ¿Con “sumas” de números triangulares podemos construir un número pentagonal?
¿Los números pentagonales pueden escribirse como “sumas” de números cuadrados y triangulares?
Explica tu respuesta.
Los números hexagonales tienen la siguiente forma:
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
(Observa que, también, solamente se agrega un círculo en la “base” para saber la cantidad de círculos
por lado.)
De acuerdo con las figuras podemos descomponer cada número hexagonal en sumas de números:
Primer número hexagonal: 1
Segundo número hexagonal: 1 + = .
Tercer número hexagonal: 1 + + = .
Cuarto número hexagonal: + + + = .
Quinto número hexagonal: + + + + = .
Sexto número hexagonal: + + + + + = .
Séptimo número hexagonal: + + + + + + = .
Octavo número hexagonal: + + + + + + + = .
Noveno número hexagonal: + + + + + + + + = .
Décimo número hexagonal: + + + + + + + + + = .
49

Figura 14
BLOQUE 1
Siguiendo las secuencias de puntos en las confi guraciones dadas, dibuja el octavo
y décimo número hexagonal.
¿Cuántos círculos tendrá el lado del undécimo número hexagonal?
¿Cuántos círculos tendrá el “perímetro” del decimocuarto número hexagonal?
Desde un mismo vértice, traza las “diagonales” en el interior de los números hexagonales.
¿Cuántos números triangulares detectas en cada uno de los números
hexagonales dados?
Símbolos, fi guras y sucesiones numéricas
En la sección “Algo de lo que me enseñaron” pudiste recordar algunos procedimientos
para el cálculo de áreas de algunas fi guras, los cuales emplearás en este apartado.
Un marco para una fotografía tiene una fi gura de cuadrado con 20 cm de lado.
Discute con tus compañeros: ¿cómo se puede saber el perímetro del marco?, ¿cómo se
encontraría el área?
Si otro marco de forma cuadrada mide 18 cm de lado, ¿cómo se determina el perímetro
y área del marco? ¿Y si midiera 22 cm?
Cuando trabajas con fórmulas como las de área o perímetro, las letras empleadas
no solamente representan magnitudes que debes sustituir por números: son en realidad
números que se representan por literales. Observa los cuadrados de la fi gura 14.
3
Área:
Perímetro:
3
Si deseas referirte al área o perímetro de un cuadrado sin usar medidas particulares,
¿cómo lo harías?
En efecto, el perímetro y el área los puedes expresar usando palabras como
Perímetro = + + + = ¥ .
Área = ¥ .
50
10
Área:
Perímetro:
10

Pero también puedes usar simplemente letras:
Perímetro = + + + = ¥ .
Área = ¥ = .
Para generalizar y evitar referirse a cantidades específi cas, se representa la cantidad
con una letra. En el caso del cuadrado, se acostumbra representar la magnitud
del lado con la letra å, de tal modo que, como con los números, lado por lado será lado
al cuadrado, o lado más lado más lado más lado será cuatro veces el lado (fi gura 15).
å
å
Ár ea: å ¥ å = å 2
(lado por lado igual a lado al cuadrado)
Perímetro: å + å + å + å = 4å
(cuatro veces el lado)
De la misma manera se puede proceder al referirse a las áreas y perímetros de
otras fi guras geométricas, como es el caso del rectángulo. Considera la siguiente situación
particular.
Si tuvieras un marco para una fotografía con forma rectangular, siendo la longitud
de la base 12 cm y la de la altura 15 cm, ¿cómo se puede saber el perímetro del marco?
(Sin usar fórmulas.)
Suponiendo que la base del marco midiera 28 cm y la altura 12 cm, ¿cómo se determina
el perímetro del marco? ¿Y si sus medidas fueran 35 cm y 23 cm?
Considera el área y el perímetro de los rectángulos de la fi gura 16.
9
15
Ár ea: 15 ¥ 9
Perímetro: 15 + 9 + 15 + 9 = 15 + 15 + 9 + 9
= (2 ¥ 15) + (2 ¥ 9)
= 2(15 + 9)
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
51
2
3
Figura 15
Figura 16
Ár ea: 3 ¥ 2
Perímetro: 3 + 2 + 3 + 2 = 3 + 3 + 2 + 2
= (2 ¥ 3) + (2 ¥ 2)
= 2(3 + 2)

3
h
7
Figura 17
Figura 18
BLOQUE 1
Es claro lo que se debe hacer para calcular el área y el perímetro.
Pero cuando se hace referencia a cualquier triángulo no es posible expresarse con
números particulares, por ello se recurre a letras.
Cabe mencionar que frecuentemente se toma como base la longitud horizontal y
como altura la longitud vertical; pero eso es relativo, dado que el rectángulo puede
tener otras posiciones y habrá que elegir cuál lado desempeña el papel de base y cuál
el de altura.
Cuando se considera el caso general, tenemos lo que se ilustra en la fi gura 17.
b
Ár ea: b ¥ h
(base por altura)
Perímetro: b + h + b + h = b + b + h + h = 2b + 2h = 2(b + h)
(dos veces la suma de la base y la altura)
Puedes formar sucesiones numéricas con las fórmulas de fi guras geométricas.
Si tienes un rectángulo de lados 3 y 7, e incrementas cada lado en 3 unidades, puedes
obtener una sucesión numérica con la mitad de los perímetros (observa la fi gura 18).
3 + 3
7 + 3
3 + 7, 6 + 10, 9 + 13, …
3 + 3 + 3
Discute con tus compañeros cómo determinar la expresión general para los términos
de esta sucesión.
También con las áreas de los rectángulos se puede generar una sucesión numérica:
21, 60, 117, …
7 + 3 + 3
Discute con tus compañeros cómo determinar la expresión general para los término
de esta sucesión.
52

1
EN EL ATENEO
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
Desarrolla con tus compañeros las siguientes actividades, que se relacionan con varios
contenidos de geometría que trabajaste en la primaria.
Dadas las siguientes fi guras geométricas, estima sus áreas en cm 2 , sin hacer cálculos
con lápiz y papel; posteriormente, mide las longitudes necesarias para calcular sus
perímetros y áreas; fi nalmente compara las estimaciones que hiciste con los resultados
de tus cálculos.
En una hoja, describe qué medidas tomaste y la manera en que realizaste los cálculos
de áreas y perímetros. Intercámbiala con tus compañeros y analiza si realizaron
correctamente la actividad.
Finalmente, asigna literales a las medidas necesarias para calcular áreas y perímetros
y escribe expresiones que indiquen los cálculos necesarios para calcular áreas
y perímetros. Comprueba tus resultados con las medidas que tomaste.
53

2
3
4
5
BLOQUE 1
Utiliza las letras en las siguientes fi guras para escribir expresiones generales para calcular
perímetros y áreas de cada una de ellas.
w
u
Comprueba la validez de las expresiones que escribiste. Mide cada una de las longitudes
implicadas y realiza los cálculos de los perímetros y las áreas empleando la
expresión a la que llegaste en cada caso. Compara tus resultados calculando dichas
áreas y perímetros de otras formas, haciendo las mediciones que requieras.
Un pentágono regular tiene 4 cm de lado. Si cada lado aumenta 3 unidades cada vez,
escribe los 10 primeros términos de la sucesión y la fórmula para encontrar cualquier
término.
Si un hexágono regular mide 7 cm de lado, ¿cuáles serán los primeros quince términos
de la sucesión numérica que se forma si el lado del hexagono se incrementa 5
unidades cada vez?
¿Cuál será la expresión para obtener cualquier término de esta sucesión?
Dadas las siguientes expresiones, dibuja fi guras para las cuales dichas expresiones
representen su área o su perímetro. Coloca en ellas cada letra de acuerdo a lo que
representen.
a + b + c + d
r ¥ t
2
m + n + o P ¥ Q
a
s
z
b
r
54
t
c
m
v
h
W 2
(g ¥ d)å
2
e

Demuestro lo que sé y hago
1 Escribe la sucesión numérica de los múltiplos de 3
como una progresión aritmética.
2 Escribe la sucesión numérica de las potencias de 4
como una progresión geométrica.
3 Encuentra los diez primeros términos de la progresión
aritmética que tiene como primer término al 5,
y d = 4.
4 Encuentra los ocho primeros términos de la progresión
geométrica que inicia en 7 y cuya razón es 3.
5 Determina los primeros diez términos de la sucesión
numérica obtenida sumando los números
trian gulares y cuadrados. También encuentra una
fórmu la para obtener cualquiera de sus términos.
Conéctate
Puedes consultar algunas páginas de Internet para
profundizar en lo que hemos estudiado en esta
lección. Por ejemplo, en http://www.telefonica.net/
web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica/Numeros/
Numpol.htm y http://www.fi sem.org/descargas/11/
Union_011_013.pdf , encontrarás información adicional
sobre los números poligonales y las sucesiones numéricas
asociadas a ellos.
También puedes consultar la página
http://math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm ,
en la que encontrarás fórmulas para calcular diversas
magnitudes relacionadas con las fi guras geométricas.
LECCIÓN 2 • REGULARIDADES NUMÉRICAS
. . .
55
6 Escribe con palabras la forma de calcular el perímetro
y el área de un triángulo, de un rectángulo y de
un pen tágono.
7 ¿Hay alguna fi gura geométrica cuya área se calcule
con una fórmula como la siguiente?
Explica.
( g + j) f
2
8 Encuentra el área de un paralelogramo que tiene lados
que miden 45 cm y 98 cm.
9 Si un rectángulo tiene medidas 12 cm y 21 cm, ¿cuánto
medirá el área del rectángulo que tiene como medidas
el triple de las del primer rectángulo?
10 Encuentra la sucesión de números que se obtiene del
perímetro de un hexágono regular con lados de 4 cm
y que en cada paso se duplica la medida de su lado.
Otras fuentes de información están contenidas en libros
como
Pedro M. González
Pitágoras. El fi lósofo del número
La matemática en sus personajes 9, Nivola, Madrid,
2001.
Ten en cuenta el comentario incluido en la descripción
de esta sección en la página 9.

Matemáticas 1