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<strong>TEOREMA</strong> <strong>DE</strong> <strong>BERNOULLI</strong><br />
expresarse<br />
en la forma:<br />
r = F . Δx – F . Δx = P . A . Δx – P . A . Δx<br />
HIDRODINÁMICA<br />
A continuación estudiaremos la circulación de fluidos incompresibles, de manera que podremos explicar fenómenos<br />
tan distintos como el vuelo de un avión o la circulación del humo por una chimenea. El estudio de la dinámica de los<br />
fluidos fue bautizada hidrodinámica por el físico suizo Daniel Bernoulli, quien en 1738 encontró la relación<br />
fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal. El teorema de Bernoulli demuestra que estas<br />
variables no pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que están determinadas por la energía<br />
mecánica del sistema.<br />
T 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2<br />
Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería como<br />
la que muestra la figura. Concentremos nuestra atención en<br />
una pequeña porción de fluido V (coloreada con celeste): al<br />
cabo de cierto intervalo de tiempo Δt (delta t) , el fluido ocupará<br />
una nueva posición (coloreada con rojo) dentro de la cañería.<br />
¿Cuál es la fuerza “exterior” a la porción V que la impulsa por<br />
la cañería?<br />
Sobre el extremo inferior de esa porción, el fluido “que viene de<br />
atrás” ejerce una fuerza que, en términos de la presiónp1,<br />
puede expresarse corno P1 . A1, y está aplicada en el sentido<br />
del flujo. Análogamente, en el extremo superior, el fluido “que<br />
está adelante” ejerce una fuerza sobre la porción V que puede<br />
expresarse como P2 . A2, y está aplicada en sentido contrario al<br />
flujo. Es decir que el trabajo (T) de las fuerzas no conservativas<br />
que están actuando sobre<br />
la porción de fluido puede<br />
Si tenemos en cuenta que el fluido es ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un tiempo Δt (delta<br />
t) es el<br />
mismo<br />
que pasa por el punto 2 en el mismo intervalo de tiempo (conservación de caudal). Por lo tanto:<br />
= A . Δx = A . Δx entonces Tr = P . V – P . V<br />
V 1 1 2 2 1 2<br />
El trabajo del fluido sobre esta porción particular se “invierte” en cambiar la velocidad del fluido y en levantar el agua<br />
en contra de la fuerza gravitatoria. En otras palabras, el trabajo de las fuerzas no conservativas<br />
que actúan sobre la<br />
porción<br />
del fluido es igual a la variación de su energía mecánica Tenemos entonces que:<br />
= ΔE + ΔE = (E — E ) + (E — E )<br />
T cinética potencial c2 c1 p2 p1<br />
. V — P . V = (1/2 .m . V 2 — 1/2 . m. V 2 ) + (m . g . h — m . g . h )<br />
P1 2 2 1 2 1<br />
Considerando que<br />
la densidad del fluido está dada por d=m/V podemos acomodar la expresión anterior para<br />
demostrar<br />
que:<br />
2<br />
2<br />
+ 1/2 . δ. V + δ . g. h = P + 1/2 . δ. V + δ . g . h<br />
P1 1 1 2 2 2<br />
Noten que, como los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera dentro de la tubería, Bernoulli pudo demostrar que la<br />
presión, la velocidad y la altura de un fluido que circula varían siempre manteniendo una cierta cantidad constante,<br />
dada<br />
por:<br />
P + 1/2. δ . V² + δ. g. h = constante<br />
Veremos<br />
la cantidad de aplicaciones que pueden explicarse gracias a este teorema.<br />
Fluido humano. Una multitud de espectadores pretende salir de una gran sala de proyecciones al término de la<br />
función de cine. El salón es muy ancho, pero tiene abierta al fondo sólo una pequeña puerta que franquea el paso a<br />
una galería estrecha que conduce hasta la calle. La gente, impaciente dentro de la sala, se aglomera contra la<br />
puerta, abriéndose paso a empujones y codazos. La velocidad con que avanza este “fluido humano” antes de<br />
cruzar la puerta es pequeña y la presión es grande. Cuando las personas acceden a la galería, el tránsito se hace<br />
más rápido y la presión se alivia. Si bien este fluido no es ideal, puesto que es compresible y viscoso (incluso<br />
podría ser turbulento), constituye un buen modelo de circulación dentro de un tubo que se estrecha. Observamos<br />
que<br />
en la zona angosta la velocidad de la corriente es mayor y la presión es menor.
APLICACIONES:<br />
Entonces es:<br />
De donde se deduce que:<br />
EL <strong>TEOREMA</strong> <strong>DE</strong> TORRICELLI<br />
Consideremos un depósito ancho con un tubo de desagote angosto como el de<br />
la figura. Si destapamos el caño, el agua circula. ¿Con qué velocidad? ¿Cuál<br />
será el caudal? En A y en B la presión es la atmosférica PA=PB=Patm. Como el<br />
diámetro del depósito es muy grande respecto del diámetro del caño, la<br />
velocidad con que desciende la superficie libre del agua del depósito es muy<br />
lenta comparada con la velocidad de salida, por lo tanto podemos considerarla<br />
igual a cero, VA = 0<br />
La ecuación de Bernoulli queda entonces:<br />
δ. g. hA + pA= 1/2 . δ . hB + pB<br />
g . hA = 1/2 . vB² + g. hB de donde VB²= 2. .g . (hA-hB)<br />
VB² = 2. g.(hA - hB)<br />
Este resultado que se puede deducir de la ecuación de Bernoulli, se conoce como el teorema de Torricelli, quien lo<br />
enunció casi un siglo antes de que Bernoulli realizara sus estudios hidrodinámicos. La velocidad con que sale el<br />
agua por el desagote es la misma que hubiera adquirido en caída libre desde una altura hA, lo que no debería<br />
sorprendernos, ya que ejemplifica la transformación de la energía potencial del líquido en energía cinética.<br />
EL GOL OLIMPICO<br />
A: Una pelota que rota sobre si misma arrastra consigo una fina capa de aire por<br />
efecto del rozamiento.<br />
B: Cuando una pelota se traslada, el flujo de aire es en sentido contrario al<br />
movimiento de la pelota.<br />
C: Si la pelota, a la vez que avanza en el sentido del lanzamiento, gira sobre sí<br />
misma, se superponen los mapas de las situaciones A y B. El mapa de líneas de<br />
corrientes resulta de sumar en cada punto los vectores VA ~i VB. En<br />
consecuencia, a un lado de la pelota, los módulos de las velocidades se suman<br />
y, al otro, se restan. La velocidad del aire respecto de la pelota es mayor de un<br />
lado que del otro.
D: En la región de mayor velocidad, la presión (de acuerdo con el teorema de Bernoulli) resulta menor que la que<br />
hay en la región de menor velocidad. Por consiguiente, aparece una fuerza de una zona hacia la otra, que desvía la<br />
pelota de su trayectoria. Éste es el secreto del gol olímpico.<br />
EL AEROGRAFO<br />
Las pistolas pulverizadoras de pintura funcionan con aire comprimido. Se dispara<br />
aire a gran velocidad por un tubo fino, justo por encima de otro tubito sumergido<br />
en un depósito de pintura. De acuerdo con el teorema de Bernoulli, se crea una<br />
zona de baja presión sobre el tubo de suministro de pintura y, en consecuencia,<br />
sube un chorro que se fragmenta en pequeñas gotas en forma de fina niebla.
Presión Lateral<br />
Pr<br />
Medición de Presión Lateral : Tubo de Venturi<br />
La presión lateral es una presión manométrica que se puede medir por tubos abiertos colocado perpendicularmente<br />
a la pared del tubo que contiene el fluido; o como se ve en la última imagen con tubos cerrados con un fluido<br />
manométrico no miscible con el fluido que se transporta.<br />
Presión Hidrodinámica<br />
Medición de Presión Hidrodinámica : Tubo de Pitot<br />
La presión hidrodinámica calcula la presión lateral (manométrica) MAS la presión debida al movimiento del fluido,<br />
tiene en cuenta la energía cinética, es decir el término que contiene la velocidad. Por ello el tubo debe enfrentar la<br />
corriente<br />
+ Pr
Estos ejemplos de tubo de Pitot, son los medidores de velocidad de los aviones, que transforman el término de la<br />
presión en velocidad.<br />
TIPOS <strong>DE</strong> FLUJO<br />
Flujo laminar: Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias<br />
bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de laminas o capas<br />
mas o menos paralelas entre si, las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla<br />
macroscópica o intercambio transversal entre ellas.<br />
Flujo turbulento: Este tipo de flujo es el que mas se presenta.<br />
En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en<br />
trayectorias erráticas, es decir, en trayectorias muy irregulares<br />
sin seguir un orden establecido, ocasionando la transferencia de<br />
cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra, de<br />
modo similar a la transferencia de cantidad de movimiento<br />
molecular pero a una escala mayor.<br />
En este tipo de flujo, las partículas del fluido pueden tener<br />
tamaños que van desde muy pequeñas, del orden de unos<br />
cuantos millares de moléculas, hasta las muy grandes, del<br />
orden de millares de pies cúbicos en un gran remolino dentro<br />
de un río o en una ráfaga de viento.<br />
Cuando se compara un flujo turbulento con uno que no lo es,<br />
en igualdad de condiciones, se puede encontrar que en la<br />
turbulencia se desarrollan mayores esfuerzos cortantes en los<br />
fluidos, al igual que las pérdidas de energía mecánica, que a<br />
su vez varían con la primera potencia de la velocidad.
.<br />
-<br />
Flujo laminar alrededor de obstáculos de diferentes formas<br />
VISCOSIDAD<br />
La viscosidad es la oposición de un fluido a las<br />
deformaciones tangenciales<br />
η<br />
d<br />
v<br />
F A<br />
=<br />
η: Viscosidad Unidades<br />
SI ..<br />
N. s<br />
2<br />
m<br />
cgs . . .<br />
dina. s<br />
poise<br />
2<br />
cm<br />
=<br />
FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO
EJERCICIOS <strong>DE</strong> APLICACIÓN RESUELTOS<br />
7.84 Por un tubo en desnivel fluyen 200 litros de agua por segundo. La<br />
presión en el extremo más bajo es de 1,9 atm. El extremo más alto se<br />
encuentra a 6 m de altura con respecto al nivel del extremo inferior. El<br />
diámetro del tubo en el extremo más bajo y más alto son, respectivamente,<br />
30 cm y 20 cm. ¿Cuál es la velocidad en ambos extremos? ¿Cuál es la<br />
presión en el extremo más alto?
7. 87 Un chorro de agua sale horizontalmente del agujero cerca del fondo del tanque de la figura. Si el agujero tiene un<br />
diámetro de 3,5 mm ¿cuál es la altura h del nivel de agua del tanque?<br />
Se calcula el tiempo de caída de una partícula de agua del chorro<br />
2<br />
Δy<br />
= voy<br />
. Δt<br />
− 1/<br />
2.<br />
g.<br />
Δt<br />
⇒ Δt<br />
=<br />
2 Δy<br />
=<br />
g<br />
2.<br />
1m<br />
9,<br />
8m<br />
/ s<br />
2<br />
= 0,<br />
45 s<br />
Se calcula la velocidad con que sale el chorro:<br />
Δx<br />
0,<br />
60m<br />
vox = = = 1,<br />
33m<br />
/ s<br />
Δt<br />
0,<br />
45 s<br />
Al aplicar Bernoulli entre la superficie libre del líquido y la salida del chorro, como el diámetro del chorro es muy<br />
pequeño respecto de las dimensiones del tanque, la velocidad de salida del chorro es la misma que una<br />
partícula en caída libre desde la superficie libre del líquido (Ley de Torricelli)<br />
v = 2.<br />
g.<br />
h<br />
2<br />
v ( , m / s)<br />
2<br />
133<br />
h = =<br />
2.<br />
g<br />
2<br />
2.<br />
9,<br />
8m<br />
/ s<br />
h = 0,<br />
09m<br />
≡<br />
7.88 Un tanque T de grandes dimensiones abierto a la atmósfera, alimenta a una cañería de sección variable que vierte agua en<br />
el recipiente R. Datos:<br />
• La presión atmosférica es de 1,013. 10 5 Pa<br />
• El caudal con que fluye el agua, cuando la canilla C está abierta, es de 0,005 m 3 /s<br />
• La altura del tanque, desde la superficie libre del agua hasta la altura del punto A es hA= 10 m<br />
• El diámetro de la cañería en el punto A es dA = 20 cm<br />
• El diámetro de la cañería en el punto B es dB = 50 cm<br />
• La cañería, entre los puntos A y B, tiene una diferencia de altura h= 4m<br />
• El diámetro del recipiente R es dR = 2 m y su altura es de 3m<br />
a) ¿Qué presión soporta el punto B cunado la canilla C está cerrada?<br />
b) ¿Qué velocidad tiene el agua en el punto A cuando la canilla C está abierta?<br />
c) ¿Qué presión soporta el punto A cuando la canilla C está abierta?<br />
d) ¿Cuál es la presión hidrodinámica que soporta el punto B cuando la canilla C está abierta?<br />
e) ¿Cúanto tiempo se tarda en llenar el recipiente R?<br />
f) ¿Cuántos m 3 contiene el recipiente R a los 10 segundos después de comenzar a llenarse?<br />
g) Si una vez que está lleno el recipiente R se le practica un agujero muy pequeño a la mitad de su altura ¿con qué<br />
velocidad sale el agua por ese orificio? Indique qué consideraciones debe realizar.<br />
9cm
a)<br />
b)<br />
c)Velocidad del tanque despreciable frenta a las dimensiones del tanque<br />
d) Punto de referencia B →hb = 0<br />
e)<br />
f)<br />
hB = 0<br />
g) La velocidad con que baja el nivel del agua en el tanque es despreciable frente a la velocidad de salida del<br />
orifico