Matemáticas para Maestros

Números naturales. Sistemas de numeración
Para hallar el cardinal de un conjunto se le pone en correspondencia biyectiva con una parte
del conjunto de los números naturales, pero fijándose sólo en el número atribuido al último
elemento que se cuenta. Los números naturales también se pueden usar para ordenar un
conjunto y entonces se habla de número ordinal.
La noción de número natural surge de la fusión de los conceptos de número cardinal y
ordinal 3 , identificación que se realiza mediante el postulado fundamental de la aritmética: "El
número cardinal de un conjunto coincide con el número ordinal del último elemento, y es
siempre el mismo cualquiera que sea el orden en que se haya efectuado el recuento"
El número cardinal resulta de considerar, no un elemento, sino todo el conjunto,
prescindiendo de la naturaleza de los elementos que lo componen y del orden en que se
consideran. El número ordinal resulta de prescindir de la naturaleza de los objetos y teniendo
en cuenta solamente el orden. La reflexión sobre el cardinal y ordinal y sobre las operaciones
que se realizan sobre ellos permite identificar una misma estructura operatoria, lo que lleva a
hablar del “número natural”.
Algunos autores consideran la medida como un contexto de uso diferente de uso de los
números naturales, hablando incluso del “número de medir”. Pensamos que este uso es
equivalente al de cardinal. Al medir una cantidad de magnitud tomando otra como unidad se
trata de determinar cuántas unidades (o bien múltiplos y submúltiplos) hay en la cantidad
dada. De manera equivalente, hablar del cardinal de un conjunto se puede ver también como
“medir” el tamaño o numerosidad del conjunto considerado tomando el objeto unitario como
unidad de medida. Cuando se trate de medir magnitudes continuas será necesario ampliar la
noción de número para incluir a los racionales y reales.
Finalmente, mencionamos un uso habitual que no es propiamente numérico. Se trata del
uso de un sistema numérico como etiquetas identificativas de objetos. Por ejemplo, los
números de carnet de identidad de una persona, los números de teléfonos, la identificación de
las teclas en calculadoras, etc. En realidad tales “números” se usan como códigos, careciendo
del sentido cardinal, ordinal y algorítmico.
2.2. Formalizaciones matemáticas de los números naturales
La reflexión de los matemáticos sobre las propiedades y técnicas anteriores lleva a
definir el conjunto de números naturales N de diversas formas que resumimos a continuación.
Formalización de Peano (Axiomas de Peano)
Esta formalización se basa en ideas muy sencillas: Consideramos como conjunto de los
números naturales todo conjunto tal que cada elemento tiene un único siguiente, hay un
primer elemento, y contiene todos los elementos siguientes de los anteriores. Los conjuntos
que tienen estas propiedades se llaman conjuntos naturalmente ordenados o conjunto de
números naturales.
3 De esta manera la expresión “número natural” adquiere un nuevo significado matemático, al indicar la
equivalencia estructural-operatoria de los sistemas de referencia numéricos. Es el aspecto algoritmico o formal:
“el número se concibe operacionalmente gracias a las reglas según las cuales el usuario juega con él. Se
formaliza en el enfoque axiomático. Los números aparecen como elementos de anillos y cuerpos que se fijan
axiomáticamente” 3 . Este uso no es ajeno a las prácticas escolares ya que un objetivo importante del estudio de
las matemáticas, incluso en los primeros niveles educativos, es la adquisición de destrezas básicas de cálculo y la
comprensión de los algoritmos correspondientes.
25