Matemáticas para Maestros

Números naturales. Sistemas de numeración
Así al elemento al que atribuimos el número 1 le llamamos primero (1º), al que atribuimos 2, le
llamamos segundo (2º), etc. al que atribuimos el número mayor de todo el subconjunto N le llamamos
último; al anterior, penúltimo; al anterior a éste, antepenúltimo. Por tanto, el número que forma pareja
con un elemento determinado del conjunto A es el número ordinal de dicho elemento. Aquí, a
diferencia de lo que ocurría en la operación de contar, es esencial la forma de efectuar los
apareamientos, es decir, el orden en que se van tomando los elementos del conjunto A. A cada
apareamiento le corresponde una ordenación del conjunto.
Definición algebraica de la ordenación de números naturales
Una posibilidad es definir la relación de orden en los números naturales a partir de las
operaciones:
Dados dos números naturales a y b, a es menor que b, a≤b, si existe otro número natural d tal que a +
d = b. Esta relación binaria definida en N cumple las propiedades:
- Es una relación de orden total, es decir que si se toman dos números cualesquiera siempre se
puede decir cuál de ellos es mayor.
- Reflexiva, es decir, para todo natural, n, n ≤ n;
- Antisimétrica, es decir, para dos naturales n y p, si se tiene que n ≤ p y que p ≤ n, entonces
necesariamente n = p.
- Transitiva: es decir, para tres naturales n, p y q, si se tiene que n ≤ p y que p ≤ q, entonces
necesariamente n ≤ q.
Esta relación de orden es compatible con las operaciones de sumar y multiplicar en N. Esto quiere
decir que,
- Si se suma un mismo número a los dos miembros de una desigualdd, no cambia el sentido de la
desigualdad.
- Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural, no cambia
el sentido de la desigualdad.
3. TIPOS DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y ASPECTOS HISTÓRICOS 4
3.1. Situaciones introductorias
Situación A
Un extraterrestre llega a la Tierra. Viene de una galaxia lejana y su misión es contactar
con los terrícolas e intercambiar información. Una vez superadas las dificultades de idioma el
extraterrestre se interesa, entre otras muchas cosas, por el sistema de numeración escrito que
se usa en la Tierra. Los hombres de la Nasa (naturalmente el extraterrestre va a parar a los
Estados Unidos) se lo explican y él comenta: "Ah! Es el mismo sistema que utilizamos
nosotros, pero nosotros usamos solamente cuatro símbolos, el del cero ( ), el del uno
( ⏐ ), el del dos ( ⊥ ) y el del tres ( T )". ¿Cómo escribe el extraterrestre el número 9?
Situación B
El Parlamento Europeo, después de varios asesoramientos científicos, decide cambiar el
número de símbolos de nuestro sistema de numeración escrito. Las opciones que se barajan
4 La mayor parte de la información contenida en esta sección sobre aspectos históricos de los sistemas de
numeración y las ilustraciones proceden de Ifrah (1985) libro cuya lectura se recomienda.
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