INFERENCIA ESTADISTICA PRUEBA DE HIPOTESIS ... - edUTecNe

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. Sea la hipótesis nula: H0 : m = 50 , σ = 2 ⇔ 50 X = m , y el conjunto de hipótesis alternativas: X = σ 2 n PH 12 H1 : m < 50 ⇔ 50 X < m Supóngase que se efectúen n = 100 repeticiones del experimento, lo que se considera suficientemente grande como para que sea válido lo indicado en [2]. Supóngase que al realizar esos n = 100 experimentos se haya obtenido x = 49,65. Se pide indicar si en base a este resultado se debe rechazar o no la hipótesis H0 con un nivel de significación P(I) = 0,05. Evidentemente, como las alternativas de H0 son H1: 50 X < m , la región crítica del caso estará ubicada totalmente a la izquierda de la región de no rechazo (se está en una situación similar a la indicada en PH II.4). Llamando α al punto frontera entre ambas regiones se tiene entonces que: ⎛ ⎞ ⎜ X − 50 α − 50 ⎟ α − 50 P(I) = P( X < α) = 0,05 ⇔ P⎜ < ⎟ = 0,05 ⇔ ⎜ 2 2 ⎟ 0, 2 ⎝ 100 100 ⎠ y entonces resulta que: α = – 0,2 · 1,645 + 50 = 49,671 siendo entonces la región crítica: RC: X < 49,671 y como en el experimento se obtuvo: x = 49,65 ∉ RC Normal (0 ; 1) = – 1,645 por tabla N(0 ; 1) se tiene entonces que no debe rechazarse a H0 con un nivel de significación igual a 0,05. (conclusión débil). c. Supóngase ahora que los verdaderos valores de m y σ hubieran sido 49 y 8 respectivamente. En este caso sería: P(II) = P(No rechazar a H0 siendo m = 49 y σ = 8) = P( x no caiga en RC) = ⎛ ⎞ ⎜ X − 49 49, 671− 49 ⎟ = P( X > 49,671) = P⎜ > ⎟ = 1 – FN(0 ; 1)(0,839) = 0,2 ⎜ 8 8 ⎟ ⎝ 100 100 ⎠ Normal (0 ; 1)
PH III.2 Supóngase ahora que la hipótesis nula hubiera sido: H0 : m = 50 , σ = 2 ⇔ 50 X = m , y el conjunto de hipótesis alternativas: H1 : m ≠ 50 ⇔ 50 X ≠ m X = σ 2 n PH 13 Se está pues en una situación análoga a la indicada en PH II.5. Se dividirá a la región crítica en dos subregiones situadas respectivamente a la izquierda y derecha de la región de no rechazo. Sea α1 el punto frontera entre la subregión crítica de la izquierda y la región de no rechazo y sea α2 el punto frontera entre la subregión crítica de la derecha y la región de no rechazo. Entonces será: ⎛ ⎞ P(I ) ⎜ X − 50 α − ⎟ = 0,025 = P( X < α1) ⇔ P ⎜ < 1 50 1 50 ⎟ = 0,025 ⇔ 2 ⎜ 2 2 ⎟ 0, 2 ⎝ 100 100 ⎠ − α = – 1,96 ⇒ ⇔ α1 = – 1,96·0,2 + 50 = 49,608 ⎛ ⎞ P(I ) ⎜ X − 50 α − ⎟ = 0,025 = P( X > α2) ⇔ P ⎜ > 2 50 ⎟ = 0,025 ⇔ 2 ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ 100 100 ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ X − 50 α − ⎟ P⎜ ≤ 2 50 α ⎟ = 0,975 ⇔ 2 − 50 = 1,96 ⇔ α2 = 50,392 ⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎝ 100 100 ⎠ 100 y resulta entonces que la región crítica será: y si en el experimento se obtuvo: RC : X < 49,608 ∪ X > 50,392 x = 49,65 ∉ RC se tiene entonces que no hay motivo para rechazar la hipótesis nula H0. (conclusión débil). PH III.3 Observaciones: 1º. En todo lo antedicho en este párrafo PH III se ha supuesto conocida la desviación típica σ de las variables involucradas. En la práctica a menudo esto no ocurre, y para no ser objeto de parálisis, lo corriente es usar la estimación de σ indicada en [7] de IE IV: ˆ = σ 1 n ∑( xi − x) 2 n −1 n−1
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