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n = 1448 + 805 + 206 + 34 + 4 + 2 + 1 = 2500 ˆp 0 = p(X = 0) = e -0,5404 = 0,5825 ⇒ ˆp 0 ˆp 1 = p(X = 1) = e -0,5404 (0,5404) = 0,3148 ⇒ n ˆp 1 = 787 ˆp 2 = p(X = 2) = e -0,5404 2 ( 0, 5404) = 0,0850 ⇒ n ˆp 2 = 213 ˆp 3 = p(X = 3) = e -0,5404 2! ( 0, 5404) 3! 3 n = 1456 = 0,0153 ⇒ n ˆp 3 = 38 ˆp 4, 5, 6 = 1 – p(X ≤ 3) = 1 – (0,5825 + 0,3148 + 0,0850 + 0,0153) = 0,0024 ⇒ ˆp 4, 5, 6 ( 1448 −1456) v = 1456 2 ( 805 − 787) + 787 2 ( 206 − 213) + 213 2 + ( 34 − 38) 38 2 + n = 6 [3] ( 7 − 6) 6 2 = 1,273412 PH 26 En este caso hay 5 sumandos y uno de los parámetros de la distribución es inferido en base a los resultados experimentales. Según Pearson en este caso la distribución de V será χ 2 con (n – 1) – 1 = n – 2 grados de libertad, es decir con tres grados de libertad. Como según la tabla de χ 2 para α = 0,05 y k = 3 es: resulta una región crítica: y como resultó: 2 χ 0,05;3 = 7,81 RC : V > 7,81 1,273412 ∉ RC no se rechaza la hipótesis de que los datos experimentales obtenidos pertenecen en efecto a una distribución de Poisson. c. Observación importante: Notar que en [3] se refundieron en una sola categoría las estimaciones de P(X = 4), P(X = 5) y P(X = 6), considerándose en su lugar a la estimación de P(X = 4 ∪ X = 5 ∪ X = 6) a la que simbolizó como ˆp 4, 5, 6 . PH IX.4 Esto se debe a lo siguiente (ver P. Hoel “Introduction to Mathematical Statistics”, pág. 167): “La experiencia y las investigaciones teóricas indican que este método de prueba de “hipótesis es generalmente satisfactorio siempre que (ver [1]) ni ≥ 5 ∀i y k ≥ 5. “Si algún ni < 5, conviene reunir en una sola a “celdas” adjuntas hasta que se cumpla lo “arriba indicado”. a. Hasta el momento se han considerado únicamente casos en que las distribuciones eran discretas. Supóngase que los valores asumidos por la variable continua X hayan sido tales que:
Veces PH 27 X ≤ 9,5 10 < X ≤ 10,5 11 < X ≤ 11,5 12 < X ≤ 12,5 13 < X ≤ 13,5 14 < X ≤ 14,5 9,5 < X ≤ 10 10,5 < X ≤ 11 11,5< X ≤ 12 12,5 < X ≤ 13 13,5 < X ≤ 14 1 0 2 1 1 2 0 4 7 6 13 14,5 < X ≤ 15 15,5 < X ≤ 16 16,5 < X ≤ 17 17,5 < X ≤ 18 18,5 < X ≤ 19 19,5 < X ≤ 20 15 < X ≤ 15,5 16 < X ≤ 16,5 17 < X ≤ 17,5 18 < X ≤ 18,5 19 < X ≤ 19,5 14 15 13 24 15 19 23 22 12 12 7 20 < X ≤ 20,5 21 < X ≤ 21,5 22 < X ≤ 22,5 23 < X ≤ 23,5 24 < X ≤ 24,5 X > 25 20,5 < X ≤ 21 21,5 < X ≤ 22 22,5 < X ≤ 23 23,5 < X ≤ 24 24,5 < X ≤ 25 6 8 6 4 2 2 0 3 0 0 1 n = 250 Haciendo los cálculos del caso resulta: n 1 1 n m ˆ = x = ∑ xi = 17, 0 ˆ σ 2 = 2 ∑ ( xi − x) = 7, 1 ⇒ ˆ σ = 2, 7 n i= 1 X n −1 X i= 1 Sea la hipótesis nula: H0: los datos provienen de una distribución normal. Divídanse los datos experimentales en 5 categorías: A1: X ≤ 12 A2: 12 < X ≤ 15 A3: 15 < X ≤ 18 A4: 18 < X ≤ 21 A5: X > 21 Teóricamente, si H0 es cierta: ⎛12 −17 ⎞ p1 = P(A1) = P(X ≤ 12) = FN(0,1) ⎜ ⎟ = 0,03 ⎝ 2, 7 ⎠ ⇒ np1 = 7,5 ⎛15 −17 ⎞ ⎛12 −17 ⎞ p2 = P(A2) = P(12 < X ≤ 15) = FN(0,1) ⎜ ⎟ – FN(0,1) ⎜ ⎟ = 0,02 ⇒ ⎝ 2, 7 ⎠ ⎝ 2, 7 ⎠ np2 = 50 ⎛18 −17 ⎞ ⎛15 −17 ⎞ p3 = P(A3) = P(15 < X ≤ 18) = FN(0,1) ⎜ ⎟ – FN(0,1) ⎜ ⎟ = 0,41 ⇒ ⎝ 2, 7 ⎠ ⎝ 2, 7 ⎠ np3 = 102,5 ⎛ 21− 17 ⎞ ⎛18 −17 ⎞ p4 = P(A4) = P(18 < X ≤ 21) = FN(0,1) ⎜ ⎟ – FN(0,1) ⎜ ⎟ = 0,24 ⇒ ⎝ 2, 7 ⎠ ⎝ 2, 7 ⎠ np4 = 72,5 ⎛ 21− 17 ⎞ p5 = P(A5) = 1 – P(X ≤ 21) = 1 – FN(0,1) ⎜ ⎟ = 0,07 ⎝ 2, 7 ⎠ ⇒ np5 = 17,5 Experimentalmente se obtuvo: n1 = Veces que ocurrió X ≤ 12 = 7 n2 = Veces que ocurrió 12 < X ≤ 15 = 49 n3 = Veces que ocurrió 15 < X ≤ 18 = 109 n4 = Veces que ocurrió 18 < X ≤ 21 = 67 n5 = Veces que ocurrió X > 21 = 18 y aplicando la fórmula [1] resulta: v = ( 7 − 7, 5) 7, 5 2 + ( 49 − 50) 50 2 ( 109 −102, 5) + 102, 5 2 + ( 67 − 72, 5) 72, 5 2 + ( 18 − 17, 5) 17, 5 2 = 0,82
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