sistemas formales informalmente - Funes - Universidad de los Andes

Sistemas formales informalmente 11
Euclides: Justamente ahí es donde me pierdo.
Lobachevski: Considera primero todas las hipótesis de los “Elementos”
excepto el problemático quinto postulado. Si a estos
añades el quinto postulado se obtiene un sistema
axiomático que corresponde a la geometría euclidiana, que
tú conoces mejor que nadie. Supón ahora que en vez de
añadir el tal postulado agregas la siguiente proposición,
que podemos llamar postulado de Lobachevski:
“Dada una recta L y un punto P exterior a ella se puede trazar
más de una paralela a L que pase por P”.
Euclides: Pero, ¿cómo vas a considerar algo tan obviamente falso
como postulado?
Lobachevski: ¿Claramente falso? ¿Podrías demostrarme que es
falso? Antes de que saques tu regla y compás te aseguro
que no podrás hacerlo, pues al añadir esta nueva hipótesis
se obtiene un sistema axiomático lógicamente consistente,
(es decir, que no implica ninguna contradicción) que corresponde
a un nuevo tipo de geometría, una geometría no
euclidiana a la que podemos llamar geometría de Lobachevski.
En ella se pueden probar teoremas que chocan contra
nuestra intuición pero que son lógicamente coherentes. Se
puede probar, por ejemplo, que la suma de los ángulos interiores
de un triángulo es mayor que dos rectos.
Euclides: ¿Cómo? Antes de que tus razones me ocasionen una terrible
jaqueca, creo que podemos zanjar rápidamente esta
discusión. En tu ilusoria geometría los ángulos interiores
de un triángulo suman más de dos rectos mientras que en
la euclidiana suman exactamente dos rectos, como he demostrado
ya hace más de 20 siglos. Pues bien, nada más
sencillo que determinar cuál de los dos es verdadero.
Euclides busca dificultosamente algo entre los pliegues
de su túnica y maldice porque los griegos tuvieron el ingenio
suficiente para inventar el método axiomático pero
¡no lograron inventar los bolsillos! Finalmente su mano
aparece con un pequeño objeto.
Lobachevski: ¿Un transportador? ¡No me digas que vas a establecer
la verdad de tu geometría con un transportador!