sistemas formales informalmente - Funes - Universidad de los Andes

30 Pedro Gómez y Cristina Gómez
A continuación le proponemos un sistema formal que, en principio,
permite generar el conjunto de los números naturales. Este sistema
formal se basa obviamente en la idea de “sucesor” o el siguiente de
un número natural.
Recordemos que, para presentar un sistema formal, debemos presentar
los símbolos, el axioma o los axiomas, las reglas de transformación
y la interpretación que se le quiere dar a los símbolos. En este
caso, el sistema formal es el siguiente:
Lenguaje: ❙
Axioma: ❙
Regla: ❏→❑❙
Interpretación: ❙ representa una unidad.
Recordemos que ❑ representa, al interior del sistema formal, cualquier
hilera de ❙.
El axioma ❙, es el punto de partida y representa al número 1. El primer
teorema que se obtiene es ❙❙, que representaría el número 2, es
decir el sucesor de 1. Si usted quiere deducir la palabra que representa
al 43, debería aplicar la regla al axioma 42 veces para obtener una
hilera de 43 ❙.
Recordemos que la realidad que es modelada por un sistema formal
depende de la interpretación que se le dé a los símbolos del lenguaje
de ese sistema. Por ejemplo, si en cambio de interpretar ❙ como una
unidad, lo interpretamos como dos unidades, entonces el sistema
formal que acabamos de proponer modela una realidad diferente: los
números pares positivos.
Ahora sería muy fácil responder ¿cuál debe ser la interpretación de ❙,
para que este mismo sistema modele el conjunto de los naturales
múltiplos de 3?
Otra forma de modelar realidades se obtiene cambiando la regla o el
axioma. Así si queremos modelar los impares naturales mayores o
iguales que 5, con el mismo lenguaje, debemos escoger:
Axioma: ❙❙❙❙❙
Regla: ❏→❑❙❙
y mantener la interpretación: ❙ es una unidad.