3 Sistemas Lineales Invariantes con el Tiempo

3 Sistemas Lineales Invariantes con el
Tiempo
3.1 Resumen
Se puede caracterizar un gran número de procesos físicos, con gran exactitud, como Sistemas
Lineales Invariantes con el Tiempo ( LIT). El principio de superposición y la propiedad de
invarianza temporal permiten aplicar potentes herramientas matemáticas para su análisis
y comprensión.
Objetivo: Con esta práctica se pretende profundizar en las propiedades de los sistemas LIT.
Así, partiendo de la caracterización de los sistemas LIT por su respuesta impulsional se va a introducir
la convolución como una herramienta matemática que permite conocer la respuesta
del sistema a una entrada arbitraria. Finalmente se procederá a analizar distintas propiedades
del sistema LIT a partir de su respuesta impulsional.
Duración: 3 horas.
Observaciones: 1. Las cuestiones no se resolverán en clase.
2. Aquellos ejercicios que no se ressuelvan en clase, se trasladarán al apartado final de ejercicios
adicionales, que no son obligatorios aunque sí recomendables para que el alumno se afiance en
el uso de Matlab para secuencias discretas.
3.2 Introducción teórica
Los Sistemas Discretos pueden caracterizarse como una transformación u operador, T {•}, que
modifica la secuencia de entrada para convertirla en la secuencia de salida. Teniendo en cuenta
que cualquier secuencia puede expresarse como una combinación lineal de impulsos desplazados,
la salida de un Sistema Discreto puede escribirse como:
∞
y[n] = T {x[n]} = T x[k]δ[n − k]
(3.1)
k=−∞
A tenor de esta expresión, poco puede saberse del comportamiento del sistema. Sin embargo,
si se restringe el estudio a los Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LIT) puede llegarse a
conocer la respuesta del sistema ante cualquier señal de entrada mediante la aplicación conjunta
del principio de superposición o propiedad de linealidad y la propiedad de invarianza
33

3.3. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO
temporal.
Aplicando el principio de superposición se puede obtener la siguiente expresión:
y[n] =
∞
k=−∞
x[k]T {δ[n − k]} =
∞
k=−∞
x[k]hk[n] (3.2)
donde hk[n] es la respuesta del sistema al impulso desplazado δ[n − k]. Además, si se considera
la invarianza temporal:
y[n] =
∞
k=−∞
x[k]T {δ[n − k]} =
∞
k=−∞
x[k]h[n − k] = x[n] ∗ h[n] (3.3)
donde h[n] es la respuesta impulsiva del sistema (salida del sistema cuando la entrada es la
secuencia δ[n]). Al operador * se le denomina convolución . De la expresión anterior se puede
concluir que para conocer la respuesta de un sistema LIT ante cualquier entrada únicamente
se requiere conocer su respuesta impulsional.
La convolución es una potente herramienta matemática empleada en el Procesado Digital de
Señal. Aunque se ha definido como un operador que permite determinar la respuesta de un
sistema LIT, también puede operar sobre dos señales arbitrarias.
Cuestión 4 La convolución de dos secuencias de longitud finita siempre proporciona una
secuencia con un número finito de muestras. En este ejercicio se utilizarán las siguiente secuencias:
• x[n] = u[n] − u[n − 50]
• v[n] = u[n + 31] − u[n − 42]
• w[n] = u[n + 51] − u[n + 17]
1. Calcular las muestras para las que están definidas las siguientes secuencias
• y1[n] = x[n] ∗ v[n]
• y2[n] = v[n] ∗ w[n]
• y3[n] = x[n] ∗ w[n]
Obtener una regla con la que se pueda calcular la muestra inicial y final de la convolución
de dos secuencias finitas.
3.3 Convolución
Una interpretación posible de la ecuación 3.3 es suponer que la señal de salida de un sistema es
la suma de las secuencias que se obtienen al introducir aisladamente las muestras que componen
la secuencia de entrada. De esta forma, la muestra de la señal de entrada correspondiente al
34

PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO 3.3.
instante n = k es x[k]δ[n − k] y su salida asociada es x[k]h[n − k].
Para comprender esta interpretación puede observarse el ejemplo de la figura 3.1, donde consideramos
un sistema LIT con respuesta impulsiva h[n] = u[n] − u[n − 8] y x[−1] = 1, x[0] =
2, x[1] = −0.5, x[2] = 0.5
La evaluación de la secuencia de salida para este ejemplo, vendrá dada por: y[n] = x[−1]h[n+
1] + x[0]h[n] + x[1]h[n − 1] + x[2]h[n − 2].
o o o
o o o
o o o
o o o
1
1
-1
0
0
0
δ [n]
o o o
n
x[k] δ [n-k]
o o o
o o o
o o o 1 o o o
o o o
1
0
0
-1 0
2
0.5
2
-0.5
2
2
-0.5
0.5
n
n
n
o o o
x[n]
n
o o o
n
SLIT
h[n]
h[n]
h[n]
1
1
x[k] h[n-k]
-1
2
3
0 7
0
0 7
0
-0.5
0
1
2.5
-1 0 1 7 9
Figura 3.1: Interpretación de la convolución
Una posible realización de esta convolución en Matlab sería:
>> nx = -1:2;
>> lx = length(nx);
>> x = [1 2 -0.5 0.5];
>> nh = 0:7;
>> lh = length(nh);
35
y[n]
0.5
2
6
1
2
8
0.5
n
n
n
n
9
n
n

3.3. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO
>> h = ones(lh,1);
>> ly = length(x) + length(h) -1;
>> ny = nx(1)+nh(1) : nx(lx) +nh(lh);
>> y = x(1)*[h; zeros(ly-lh,1)] + x(2)*[0; h; zeros(ly-lh-1,1)]
+ x(3)*[0;0;h;zeros(ly-lh-2,1)] + x(4)*[zeros(ly-lh,1); h];
>> stem(ny, y)
Explicación de las anteriores expresiones:
1. En las tres primeras líneas de comandos definimos un vector x con los valores de la
secuencia de entrada, la longitud de dicho vector y los índices temporales en los que
está definido. El valor del vector x(1) se corresponde con la muestra x[−1] de la secuencia
discreta.
2. En las tres líneas siguientes, definimos el vector h, su longitud y los índices temporales
en los que está definido.
3. Calculamos la longitud del vector de salida así como sus índices temporales.
4. Calculamos la convolución como la suma de los producto de cada muestra del vector x
por el vector h adecuadamente desplazado. Nótese que estos desplazamientos se efectúan
mediante concatenaciones de ceros al vector h.
5. Finalmente dibujamos el resultado.
Nota: Los ficheros de datos (*.mat) que se necesitan para el siguiente ejercicio y posteriores
los deberá copiar en su cuenta tecleando desde una ventana de comandos (xterm) del sistema
operativo lo siguiente:
ssd#[~]#: cd practica3
ssd#[~]#: cp ~ssd00/practica3/datos/*.mat .
Ejercicio 14 En este ejercicio vamos a trabajar con la operación de convolución entre secuencias
partiendo del primer método de añadir todas las contribuciones existentes tal como se
acaba de explicar.
a) Vamos a considerar un sistema LIT con respuesta impulsiva h[n] = 0.95 n (u[n] − u[n − 10])
que excitamos con la secuencia de entrada x1[n] que deberá cargar del fichero x1.mat (>>
load x1.mat). Considere que el primer elemento de este vector se corresponde con el valor
de la secuencia de entrada en el instante n = 0. Evalúe con Matlab, la secuencia
correspondiente de salida y1[n]. Represente dicha secuencia prestando especial atención
al etiquetado del eje horizontal.
b) Obtenga la secuencia de salida que genera el mismo sistema LIT anterior con la secuencia
de entrada del fichero x1.mat pero en este caso considerando que el primer elemento de x1
se corresponde con el valor de la secuencia en n = −2. Represente esta nueva secuencia
de salida y2[n].
36

PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO 3.3.
c) Para el mismo sistema LIT, considere ahora la secuencia de entrada almacenada en el
fichero x3.mat, sabiendo que el primer elemento se corresponde con el valor de la secuencia
x3[n] en el instante n = +3. Obtenga y represente la correspondiente secuencia de
salida y3[n].
d) Comprobar los anteriores resultados utilizando la función conv de Matlab.
Atendiendo a la interpretación anterior, la salida de un sistema LIT se determina mediante
la suma de las respuestas individuales de cada impulso desplazado que compone la señal de
entrada. Sin embargo, esta aproximación conlleva una dificultad de tipo computacional: para
calcular sólo una muestra de la señal de salida, habrá que determinar y sumar todas esas
respuestas individuales.
3.3.1 La convolución gráfica
La ecuación 3.3 puede interpretarse de una forma alternativa que se denomina convolución
gráfica. La idea básica, sobre la que se asienta la convolución gráfica, consiste en representar
los términos que aparecen en la expresión 3.3 en función de la variable k, dejando como parámetro
independiente el valor n. La representación del término x[k] no plantea ninguna dificultad.
Sin embargo, para representar h[n − k] es necesario recordar las propiedades de desplazamiento
y reflexión. Para comprender mejor la idea se plantea el ejemplo que aparece en la figura 3.2:
En este caso, si deseamos calcular un único valor de la secuencia de salida, por ejemplo el
valor y[no], simplemente necesitaremos realizar las dos siguientes operaciones:
yno[k] = x[k]h[no − k]
y[no] =
yno[k]
Del ejemplo anterior se desprende que la convolución gráfica proporciona una forma eficiente
para calcular numéricamente la convolución de dos secuencias. En esta forma de proceder se
basan los programas que realizan la convolución entre dos secuencias, como la función conv de
Matlab.
Ejercicio 15 Mediante la convolución gráfica de dos secuencias se puede calcular el valor
de la señal de salida en una muestra específica. Considerar la secuencias
n u[n]
• x[n] = 3
4
• v[n] = 3
4
|n|
• w[n] = (n + 12) (u[n + 12] − u[n − 30])
Calcular, sin la ayuda del ordenador, los valores que se piden
1. Si ya[n] = x[n] ∗ w[n], calcular ya[12].
2. Si yb[n] = x[n] ∗ v[n], calcular yb[0], yb[2].
Compruebe ahora los resultados con el ordenador (emplee para ello distintos truncamientos
de v[n] y observe cuándo hay diferencias apreciables en los resultados).
k
37

3.3. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO
¡ ¡
x[k]
n-3
-2
¡ ¡
¡ ¡
-1
©
©
¡ ¡
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¡ ¢ ¢
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¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
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¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
¡ ¡ ¡¡
¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
o
o
o
¡ ¡
4
h[n-k] x[k]
h[-3-k]
-6
0
h[-2-k]
-5
1
h[-1-k]
n+1
-4
2
3
¡ ¡¡ ¡ ¡¡
¡ ¡¡
-2
-1
¨¡¨ ©¡© ¡ ¡
¡
¡
¡
¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡
¡
-2
-2
-2
k
o
o
o
0
¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡
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1 2 3 4
§¡§ ¦¡¦
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¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
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¡
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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡
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¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
¡
-2
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
1
1
1
1
o
o
o
h[k]
x[k]
¥¡¥ ¤¡¤
2
2
2
x[k]
3
£¡£
¢¡¢
x[k]
3
x[k]
y[-3] = Σk y[-2] = Σk y[-1] = Σk -1 0 1 2 3 4 k -4 -3 -2 -1 0 1 2 k
2
3
3
o
o
o
¡ ¡
4
4
4
4
y [k]
-3
y -2 [k]
y [k]
-1
y[6] = Σ y [k]
6
k
h[6-k]
k
k
k
k
¡
¡ ¡
¡
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¡ ¡
¡
¡
¡ ¡
¡
¡
¡
o
o
o
¡
¡ ¡
¡
¡
¡ ¡
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¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡
-3 -2 -1 0
-3 -2 -1
¡¡ ¡
¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
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¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡
¡¡ ¡ ¡¡
-3 -2 -1 0
¡ ¡¡
o
o
o
¡¡ ¡ ¡¡ ¡
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¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
¡
¡ ¡
¡
y [k] = x[k] h[-3-k]
-3
y -2 [k] = x[k] h[-2-k]
y [k] = x[k] h[-1-k]
-1
y [k] = x[k] h[6-k]
6
7 k
0
3
¡ ¡¡ ¡
¡¡ ¡ ¡¡
h[-k]
¡
¡¡
y[n]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 3.2: Interpretación gráfica de la convolución
3.3.2 Convolución de secuencias complejas
Las señales con las que se operan en los sistemas físicamente realizables son reales. Sin embargo,
para modelar algunos sistemas, las señales complejas resultan muy útiles. Por ejemplo, en
aplicaciones de electrónica de potencia es muy habitual trabajar con fasores. De igual forma,
en sistemas de comunicaciones, las señales paso banda suelen caracterizarse como señales complejas.
Por esta razón se proponen los siguientes ejercicios.
Cuestión 5 Obtenga la parte real e imaginaria de la secuencia resultante de convolucionar
dos secuencias complejas x[n] = xr[n] + jxi[n] e y[n] = yr[n] + jyi[n].
Ejercicio 16 Empleando el editor xedit o el propio editor de Matlab, programe una función
conv comp.m cuya cabecera sea:
function [sal re, sal im] = conv comp(ent1,ent2)
38
0
k
k
k
k
n

PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO 3.4.
% ent1: vector complejo a convolucionar
% ent2: vector complejo a convolucionar
% sal re: parte real de la convolución entre ent1 y ent2
% sal im: parte imaginaria de la convolución entre ent1 y ent2
En dicho programa deberá emplear las funciones de Octave conv, real, imag.
Cargue el fichero compl.mat que contiene los vectores complejos x e y. Calcule la convolución
de ambos vectores utilizando la función que acaba de programar. Verifique el resultado utilizando
la función conv().
3.4 Sistemas descritos mediante ecuaciones en diferencias
con coeficientes constantes
El comportamiento de muchos sistemas físicos puede describirse de acuerdo a una ecuación
diferencial. Así, los circuitos de bobinas, resistencias y condensadores, los sistemas mecánicos
amortiguados o la posición de móviles, presentan un comportamiento que puede modelarse
mediante ecuaciones diferenciales. Cuando la naturaleza de las señales y de los sistemas es
discreta en el tiempo, el modelado se realiza por medio de ecuaciones lineales en diferencias,
que responden a la forma genérica:
N
aky[n − k] =
k=0
M
bkx[n − k] (3.4)
Para expresar la relación que existe entre la entrada y la salida de un sistema descrito por
una ecuación en diferencias lineal y con coeficientes constantes, se debe reescribir la ecuación
anterior de la forma siguiente:
y[n] = 1
M
N
bkx[n − k] − aky[n − k]
(3.5)
a0
k=0
La señal de salida y[n] está formada por la contribución de dos secuencias que reciben el
nombre de solución homogénea, yh[n], y solución particular, yp[n], de forma que y[n] = yp[n] +
yh[n]:
• Solución a la ecuación particular → yp[n]
k=0
k=1
yp[n] satisface la ecuación 3.4 para una entrada dada.
• Solución a la ecuación homogénea → yh[n]
yh[n] satisface la ecuación
N
akyh[n − k] = 0
k=0
Con la resolución de la ecuación homogénea se obtienen N valores que permiten caracterizar
por completo la respuesta del sistema. Esta restricción puede presentarse de una
39

3.4. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO
forma alternativa: si se conocen N valores (condiciones auxiliares) de la señal de salida,
por ejemplo y[−1], . . . , y[−N], es posible determinar completamente yh[n]. Por tanto,
para caracterizar completamente la respuesta de un sistema descrito por la ecuación 3.4 a
una entrada particular, es necesario especificar un conjunto de N condiciones auxiliares.
Ahora se van a analizar una serie de casos particulares de la ecuación 3.5:
1. Sistemas Recursivos: N > 0
Estos sistemas se denominan de tipo recursivo puesto que los valores de la señal de salida
pueden obtenerse de manera recursiva a partir de valores en instantes previos o posteriores.
El orden de estos sistemas viene dado por el máximo número de recursiones que se deben
efectuar sobre la secuencia de salida (N). El cálculo de la la respuesta del sistema, y[n],
para una entrada dada, x[n], requiere conocer N condiciones auxiliares, por ejemplo, los
valores y[−1], . . . , y[−(N − 1)].
La parte causal de la respuesta se obtiene a partir de la ecuación 3.5 resolviéndola en
forma “backward”:
y[n] = 1
a0
M
bkx[n − k] −
k=0
N
aky[n − k]
k=1
(3.6)
mientras que la parte anticausal se obtiene resolviendo dicha ecuación en forma “fordward”:
y[n − N] = 1
M
N−1
bkx[n − k] − aky[n − k]
aN
k=0
k=0
(3.7)
Cuestión 6 ¿ Qué restricción debemos imponer a un sistema descrito mediante la
ecuación 3.5 para que sea lineal ?
¿ Y para que sea causal?
Ejercicio 17 La función filter de Matlab cuya cabecera es
function y = filter(b,a,x, [si]) evalúa la salida y de un sistema descrito mediante
ecuación en diferencias tal como se plantea en la ecuación 3.4, donde b es el vector
correspondiente a las constantes bk, k = 0...M; a es el vector correspondiente a las constantes
ak, k = 0...N; x es el vector de entrada y si es un vector opcional conteniendo las
condiciones iniciales del sistema.
Sea un sistema descrito por la ecuación:
y[n] = αy[n − 1] + x[n]
a) Sabiendo que este sistema es LIT, calcular 20 muestras de sus respuestas impulsivas
para α = 1, h1, y para α = 0.5, h2. Represente dichas respuestas impulsivas y a la
vista de estas gráficas discuta las propiedades de causalidad y estabilidad de ambos
sistemas.
40

PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO 3.4.
b) Suponga ahora que la entrada es x[n] = exp(−0.5n)u[n], y tome 40 muestras de esta
secuencia. Calcule las salidas de cada uno de los sistemas anteriores a esta entrada
empleando la función filter.
c) Idem que el apartado anterior, pero empleando ahora la función conv. Comente las
diferencias con los resultados del apartado anterior.
d) Ahora imponemos la condición inicial al filtro de 0.5 y asignamos el valor α = 0.5.
Evalúe y represente la salida del sistema a la entrada x[n] del apartado 2. Comente
las diferencias en el resultado.
2. Sistemas no Recursivos: N = 0
Cuando N = 0, la ecuación 3.5 puede expresarse como
M
bk
y[n] = x[n − k] (3.8)
k=0
En esta ecuación no se observa ningún tipo de recursividad, es decir, no es necesario
conocer valores de la salida en muestras previas a la muestra en la que se calcula la
salida. Estos sistemas no recursivos son LIT y si se compara la ecuación 3.8 con la 3.3 se
observa que la respuesta impulsional del sistema descrito por 3.8 es
bn , amp; si 0 ≤ n ≤ M
a0
h[n] =
0, amp; en otro caso
Como se observa, dicha respuesta impulsiva sólo presenta un número finito de muestras
distintas de cero (M + 1). Por esta razón, estos sistemas suelen ser conocidos como sistemas
F.I.R. (Finite Impulse Response).
Ejercicio 18 Sea un sistema descrito por la ecuación:
a0
y[n] + 2x[n + 2] − 20x[n − 20] =
19
k=−1
kx[n − k]
1. Calcular su respuesta impulsional sin ayuda del ordenador. Utilizando la función filter
obtenga dicha respuesta y dibújela con el correcto eje de tiempos.
2. ¿ Es causal dicho sistema? ¿ Es estable?
3. Si la entrada es x[n] = 3(u[n] − u[n − 10]), obtenga la salida y dibújela.
El cálculo de la respuesta de un sistema descrito por una ecuación en diferencias puede resultar
tedioso. El objetivo de esta sección no es, por tanto, presentar un procedimiento eficiente
para el cálculo de esa respuesta, sino mostrar la relación entre las propiedades de linealidad,
invarianza temporal, causalidad y estabilidad de un sistema en función de los coeficientes y
condiciones iniciales que lo describen. En el tema correspondiente al estudio de la Transformada
Z se presentará un procedimiento mucho más elegante y sencillo para determinar la respuesta
requerida.
41

3.5. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO
3.5 Representación de sistemas LIT descritos por ecuaciones
en diferencias mediante Diagramas de Bloques
La representación del comportamiento de un sistema por medio de una ecuación en diferencias
no sólo supone una ventaja analítica por la “facilidad” con la que se obtiene la salida a una
entrada determinada. Además, supone una ventaja ya que este tipo de sistemas pueden relizarse
prácticamente de manera fácil utilizando ordenadores o hardware de propósito específico.
Para mostrar estas ventajas se va a presentar una representación gráfica utilizando bloques
básicos de hardware digital. Estos bloques se corresponden a las siguientes operaciones: suma,
multiplicación por un coeficiente y retardo (memoria). Su representación gráfica se ilustra en
la figura 3.3.
x[n] z[n] x[n] ax[n]
a
y[n]
(a) (b) (c)
Figura 3.3: Diagrama de bloques básicos
Nos centraremos en un ejemplo sencillo de representación a través de un diagrama de bloques
de un sistema LIT de orden 1, paso previo para su posterior implementación física.
Consideremos el sistema LIT (suponemos reposo inicial) descrito por la ecuación
a0y[n] + a1y[n − 1] = b0x[n] + b1x[n − 1]
Si se reordena la anterior ecuación se obtiene que
y[n] = 1
a0
x[n]
(−a1y[n − 1] + b0x[n] + b1x[n − 1])
Este sistema puede interpretarse como la cascada de dos sistemas LIT, tal y como se muestra
en la figura 3.4
x[n] b 0 w[n]
1/a
0 y[n]
D
b
1
-a
1
Figura 3.4: Diagrama de bloques del sistema LIT
De esta forma se obtienen las secuencias
w[n] = b0x[n] + b1x[n − 1]
42
D
D
x[n-1]

PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO 3.6.
y[n] = 1
a0
(−a1y[n − 1] + w[n])
Como la respuesta de una cascada de sistemas LIT no depende del orden en el que se
dispongan los sistemas, puede alterarse el orden en el que se realizan estas operaciones. Por
tanto, la estructura mostrada en la figura 3.5 es totalmente equivalente a la ilustrada en la
figura 3.4
x[n]
1/a 0
-a 1
D
z[n]
D
z[n-1] z[n-1]
Figura 3.5: Diagrama de bloques equivalente del sistema LIT
Una análisis detallado de la figura 3.5 revela que existen dos retardos que almacenan el
mismo valor. Por esta razón, puede evitarse la duplicidad de retardos utilizando la estructura
mostrada en la figura 3.6
x[n]
1/a 0
-a 1
z[n]
D
z[n-1]
b 0
b 1
b 0
b 1
y[n]
Figura 3.6: Diagrama de bloques eficiente del sistema LIT
Esta misma estrategia puede aplicarse a la ecuación genérica 3.5 cuando M = N. Si M = N
debe asignarse el valor nulo a los coeficientes bk o ak apropiados.
Cuestión 7 Diseñar una estructura eficiente de filtrado con la que se realice el sistema LIT
descrito por la ecuación 3.5. ¿ Cuántos retardos, multiplicadores y sumadores son necesarios?
3.6 Ejercicios adicionales
3.6.1 TAREA
En esta sección vamos a analizar la operación de correlación entre señales, de gran interés de
cara a las aplicaciones. Se define la correlación cruzada entre dos señales, en general complejas,
43
y[n]

3.6. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO
de la siguiente manera:
rxy[n] =
∞
k=−∞
x[n]y ∗ [n + k]
La correlación en el instante n mide la energía cruzada entre ambas señales, con un desplazamiento
de longitud n en una de ellas. La correlación da una idea del parecido entre las señales:
a mayor correlación, mayor parecido. Además, la correlación admite una interpretación en
forma de convolución.
Pruebe primeramente que:
rxy[n] = x[n] ∗ y ∗ [−n]
Programe una función de correlación cruzada en Matlab con la siguiente cabecera:
[y,ny]=corrcruzada(x,nx,h,nh
donde ny, nx y nh son los vectores de índices temporales de las 3 secuencias involucradas.
Ahora compruebe, teóricamente y con Matlab, la siguiente relación de simetría de la correlación:
ryx[n] = r ∗ xy[−n]
3.6.2 Filtro Adaptado
Suponga que pretende crear un código de señales de longitud 4 con el propósito de enviar
mensajes utilizando cuatro posibles símbolos, asociados a las cuatro señales, de tal manera que
el receptor del mensaje tenga una altísima probabilidad de no confundir ningún símbolo aunque
haya interferencias o ruido añadidos a la señal.
Una forma de conseguir un juego de señales de ese tipo sería utilizando las relaciones de
ortogonalidad asociadas al producto interior que se explican en la sección 3.7 del libro de texto
de la asignatura. Suponemos que se utilizan señales reales, x1[n], x2[n], x3[n], x4[n], y queremos
que sean ortogonales dos a dos, es decir, que presenten una correlación cruzada nula en el
instante n = 0:
3
< xi[n], xj[n] >= xi[n]xj[n] = 0, i = j.
n=0
Cargue el fichero /home/ssd00/practica3/ortogonales.mat, que contiene las secuencias x1,x2,x3,x4.
Compruebe que las cuatro señales verifican dicha condición de ortogonalidad.
Ahora queremos buscar la forma en la que el receptor va a proceder a reconocer las señales que
le han sido enviadas. Para ello utilizaremos un sistema LIT que trate de distinguir las señales
recibidas, basándonos en la relación entre correlación y convolución (3.6.1).
Comience buscando una señal real h1[n] tal que:
1. h1[n] = 0, n < 0, o n > 3.
2. |h1[n]| = 1, 0 ≤ n ≤ 3.
3. y1[n] = x1[n] ∗ h1[n] toma el mayor valor posible en n = 3.
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PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO 3.7.
A continuación haga lo mismo para las otras tres señales, haciendo en cada caso yj[n] =
xj[n] ∗ hj[n].
Calcule ahora la convolución en el mismo instante yij[3] para cualquiera de las siguientes
combinación de señales:
yij[n] = xi[n] ∗ hj[n], i = j
Cada una de estas señales hj[n] es la respuesta al impulso de un filtro adaptado a la señal
xj[n], puesto que ha sido sintonizada con dicha señal con objeto de producir un pico en la salida
en el instante n = 3.
Suponga ahora que debido a interferencias y ruido, uno de los símbolos recibidos viene representado
por la siguiente señal (generar en octave):
x[n]=x2[n]+0.5*randn(1,4);
Compruebe, a la vista de las respuestas que producirían los cuatro filtros adaptados para esta
señal de entrada en el instante n = 3, si el símbolo 2 se detectaría adecuadamente.
3.7 Ejercicios recomendados
Para fortalecer los conceptos asimilados durante la clase práctica se recomienda realizar los
siguientes ejercicios:
• Signal and Systems A. V. Oppenheim and A. S. Willsky
Capítulo 3: 3.1, 3.3, 3.6, 3.7, 3.12, 3.17, 3.19, 3.20, 3.21, 3.26, 3.30, 3.31, 3.34, 3.36, 3.41
• Discrete-Time Signal Processing A. V. Oppenheim and R. W. Schafer Capítulo 2:
2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9, 2.12, 2.15, 2.16, 2.17
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