3 Sistemas Lineales Invariantes con el Tiempo

3.4. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO
forma alternativa: si se conocen N valores (condiciones auxiliares) de la señal de salida,
por ejemplo y[−1], . . . , y[−N], es posible determinar completamente yh[n]. Por tanto,
para caracterizar completamente la respuesta de un sistema descrito por la ecuación 3.4 a
una entrada particular, es necesario especificar un conjunto de N condiciones auxiliares.
Ahora se van a analizar una serie de casos particulares de la ecuación 3.5:
1. Sistemas Recursivos: N > 0
Estos sistemas se denominan de tipo recursivo puesto que los valores de la señal de salida
pueden obtenerse de manera recursiva a partir de valores en instantes previos o posteriores.
El orden de estos sistemas viene dado por el máximo número de recursiones que se deben
efectuar sobre la secuencia de salida (N). El cálculo de la la respuesta del sistema, y[n],
para una entrada dada, x[n], requiere conocer N condiciones auxiliares, por ejemplo, los
valores y[−1], . . . , y[−(N − 1)].
La parte causal de la respuesta se obtiene a partir de la ecuación 3.5 resolviéndola en
forma “backward”:
y[n] = 1
a0
M
bkx[n − k] −
k=0
N
aky[n − k]
k=1
(3.6)
mientras que la parte anticausal se obtiene resolviendo dicha ecuación en forma “fordward”:
y[n − N] = 1
M
N−1
bkx[n − k] − aky[n − k]
aN
k=0
k=0
(3.7)
Cuestión 6 ¿ Qué restricción debemos imponer a un sistema descrito mediante la
ecuación 3.5 para que sea lineal ?
¿ Y para que sea causal?
Ejercicio 17 La función filter de Matlab cuya cabecera es
function y = filter(b,a,x, [si]) evalúa la salida y de un sistema descrito mediante
ecuación en diferencias tal como se plantea en la ecuación 3.4, donde b es el vector
correspondiente a las constantes bk, k = 0...M; a es el vector correspondiente a las constantes
ak, k = 0...N; x es el vector de entrada y si es un vector opcional conteniendo las
condiciones iniciales del sistema.
Sea un sistema descrito por la ecuación:
y[n] = αy[n − 1] + x[n]
a) Sabiendo que este sistema es LIT, calcular 20 muestras de sus respuestas impulsivas
para α = 1, h1, y para α = 0.5, h2. Represente dichas respuestas impulsivas y a la
vista de estas gráficas discuta las propiedades de causalidad y estabilidad de ambos
sistemas.
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