3 Sistemas Lineales Invariantes con el Tiempo

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3.4. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO forma alternativa: si se conocen N valores (condiciones auxiliares) de la señal de salida, por ejemplo y[−1], . . . , y[−N], es posible determinar completamente yh[n]. Por tanto, para caracterizar completamente la respuesta de un sistema descrito por la ecuación 3.4 a una entrada particular, es necesario especificar un conjunto de N condiciones auxiliares. Ahora se van a analizar una serie de casos particulares de la ecuación 3.5: 1. Sistemas Recursivos: N > 0 Estos sistemas se denominan de tipo recursivo puesto que los valores de la señal de salida pueden obtenerse de manera recursiva a partir de valores en instantes previos o posteriores. El orden de estos sistemas viene dado por el máximo número de recursiones que se deben efectuar sobre la secuencia de salida (N). El cálculo de la la respuesta del sistema, y[n], para una entrada dada, x[n], requiere conocer N condiciones auxiliares, por ejemplo, los valores y[−1], . . . , y[−(N − 1)]. La parte causal de la respuesta se obtiene a partir de la ecuación 3.5 resolviéndola en forma “backward”: y[n] = 1 a0 M bkx[n − k] − k=0 N aky[n − k] k=1 (3.6) mientras que la parte anticausal se obtiene resolviendo dicha ecuación en forma “fordward”: y[n − N] = 1 M N−1 bkx[n − k] − aky[n − k] aN k=0 k=0 (3.7) Cuestión 6 ¿ Qué restricción debemos imponer a un sistema descrito mediante la ecuación 3.5 para que sea lineal ? ¿ Y para que sea causal? Ejercicio 17 La función filter de Matlab cuya cabecera es function y = filter(b,a,x, [si]) evalúa la salida y de un sistema descrito mediante ecuación en diferencias tal como se plantea en la ecuación 3.4, donde b es el vector correspondiente a las constantes bk, k = 0...M; a es el vector correspondiente a las constantes ak, k = 0...N; x es el vector de entrada y si es un vector opcional conteniendo las condiciones iniciales del sistema. Sea un sistema descrito por la ecuación: y[n] = αy[n − 1] + x[n] a) Sabiendo que este sistema es LIT, calcular 20 muestras de sus respuestas impulsivas para α = 1, h1, y para α = 0.5, h2. Represente dichas respuestas impulsivas y a la vista de estas gráficas discuta las propiedades de causalidad y estabilidad de ambos sistemas. 40
PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO 3.4. b) Suponga ahora que la entrada es x[n] = exp(−0.5n)u[n], y tome 40 muestras de esta secuencia. Calcule las salidas de cada uno de los sistemas anteriores a esta entrada empleando la función filter. c) Idem que el apartado anterior, pero empleando ahora la función conv. Comente las diferencias con los resultados del apartado anterior. d) Ahora imponemos la condición inicial al filtro de 0.5 y asignamos el valor α = 0.5. Evalúe y represente la salida del sistema a la entrada x[n] del apartado 2. Comente las diferencias en el resultado. 2. Sistemas no Recursivos: N = 0 Cuando N = 0, la ecuación 3.5 puede expresarse como M bk y[n] = x[n − k] (3.8) k=0 En esta ecuación no se observa ningún tipo de recursividad, es decir, no es necesario conocer valores de la salida en muestras previas a la muestra en la que se calcula la salida. Estos sistemas no recursivos son LIT y si se compara la ecuación 3.8 con la 3.3 se observa que la respuesta impulsional del sistema descrito por 3.8 es bn , amp; si 0 ≤ n ≤ M a0 h[n] = 0, amp; en otro caso Como se observa, dicha respuesta impulsiva sólo presenta un número finito de muestras distintas de cero (M + 1). Por esta razón, estos sistemas suelen ser conocidos como sistemas F.I.R. (Finite Impulse Response). Ejercicio 18 Sea un sistema descrito por la ecuación: a0 y[n] + 2x[n + 2] − 20x[n − 20] = 19 k=−1 kx[n − k] 1. Calcular su respuesta impulsional sin ayuda del ordenador. Utilizando la función filter obtenga dicha respuesta y dibújela con el correcto eje de tiempos. 2. ¿ Es causal dicho sistema? ¿ Es estable? 3. Si la entrada es x[n] = 3(u[n] − u[n − 10]), obtenga la salida y dibújela. El cálculo de la respuesta de un sistema descrito por una ecuación en diferencias puede resultar tedioso. El objetivo de esta sección no es, por tanto, presentar un procedimiento eficiente para el cálculo de esa respuesta, sino mostrar la relación entre las propiedades de linealidad, invarianza temporal, causalidad y estabilidad de un sistema en función de los coeficientes y condiciones iniciales que lo describen. En el tema correspondiente al estudio de la Transformada Z se presentará un procedimiento mucho más elegante y sencillo para determinar la respuesta requerida. 41
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