3 Sistemas Lineales Invariantes con el Tiempo

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3.3. PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO ¡ ¡ x[k] n-3 -2 ¡ ¡ ¡ ¡ -1 © © ¡ ¡ ¦ §¡§ ¨ ¥¡¥ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ £¡£ ¤ ¤ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ o o o ¡ ¡ 4 h[n-k] x[k] h[-3-k] -6 0 h[-2-k] -5 1 h[-1-k] n+1 -4 2 3 ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ -2 -1 ¨¡¨ ©¡© ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ -2 -2 -2 k o o o 0 ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ 1 2 3 4 §¡§ ¦¡¦ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ -2 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 1 1 1 1 o o o h[k] x[k] ¥¡¥ ¤¡¤ 2 2 2 x[k] 3 £¡£ ¢¡¢ x[k] 3 x[k] y[-3] = Σk y[-2] = Σk y[-1] = Σk -1 0 1 2 3 4 k -4 -3 -2 -1 0 1 2 k 2 3 3 o o o ¡ ¡ 4 4 4 4 y [k] -3 y -2 [k] y [k] -1 y[6] = Σ y [k] 6 k h[6-k] k k k k ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ o o o ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ -3 -2 -1 0 -3 -2 -1 ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ -3 -2 -1 0 ¡ ¡¡ o o o ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ y [k] = x[k] h[-3-k] -3 y -2 [k] = x[k] h[-2-k] y [k] = x[k] h[-1-k] -1 y [k] = x[k] h[6-k] 6 7 k 0 3 ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ h[-k] ¡ ¡¡ y[n] -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Figura 3.2: Interpretación gráfica de la convolución 3.3.2 Convolución de secuencias complejas Las señales con las que se operan en los sistemas físicamente realizables son reales. Sin embargo, para modelar algunos sistemas, las señales complejas resultan muy útiles. Por ejemplo, en aplicaciones de electrónica de potencia es muy habitual trabajar con fasores. De igual forma, en sistemas de comunicaciones, las señales paso banda suelen caracterizarse como señales complejas. Por esta razón se proponen los siguientes ejercicios. Cuestión 5 Obtenga la parte real e imaginaria de la secuencia resultante de convolucionar dos secuencias complejas x[n] = xr[n] + jxi[n] e y[n] = yr[n] + jyi[n]. Ejercicio 16 Empleando el editor xedit o el propio editor de Matlab, programe una función conv comp.m cuya cabecera sea: function [sal re, sal im] = conv comp(ent1,ent2) 38 0 k k k k n
PRÁCTICA 3. SISTEMAS LINEALES INVARIANTES CON EL TIEMPO 3.4. % ent1: vector complejo a convolucionar % ent2: vector complejo a convolucionar % sal re: parte real de la convolución entre ent1 y ent2 % sal im: parte imaginaria de la convolución entre ent1 y ent2 En dicho programa deberá emplear las funciones de Octave conv, real, imag. Cargue el fichero compl.mat que contiene los vectores complejos x e y. Calcule la convolución de ambos vectores utilizando la función que acaba de programar. Verifique el resultado utilizando la función conv(). 3.4 Sistemas descritos mediante ecuaciones en diferencias con coeficientes constantes El comportamiento de muchos sistemas físicos puede describirse de acuerdo a una ecuación diferencial. Así, los circuitos de bobinas, resistencias y condensadores, los sistemas mecánicos amortiguados o la posición de móviles, presentan un comportamiento que puede modelarse mediante ecuaciones diferenciales. Cuando la naturaleza de las señales y de los sistemas es discreta en el tiempo, el modelado se realiza por medio de ecuaciones lineales en diferencias, que responden a la forma genérica: N aky[n − k] = k=0 M bkx[n − k] (3.4) Para expresar la relación que existe entre la entrada y la salida de un sistema descrito por una ecuación en diferencias lineal y con coeficientes constantes, se debe reescribir la ecuación anterior de la forma siguiente: y[n] = 1 M N bkx[n − k] − aky[n − k] (3.5) a0 k=0 La señal de salida y[n] está formada por la contribución de dos secuencias que reciben el nombre de solución homogénea, yh[n], y solución particular, yp[n], de forma que y[n] = yp[n] + yh[n]: • Solución a la ecuación particular → yp[n] k=0 k=1 yp[n] satisface la ecuación 3.4 para una entrada dada. • Solución a la ecuación homogénea → yh[n] yh[n] satisface la ecuación N akyh[n − k] = 0 k=0 Con la resolución de la ecuación homogénea se obtienen N valores que permiten caracterizar por completo la respuesta del sistema. Esta restricción puede presentarse de una 39
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