Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

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donde hemos utilizado las ecuaciones (3.12) y (3.14), despreciando el término J4f, por ser J4 mucho menor que J2 (Torge, 1991). Ahora estamos ya en situación de obtener la relación buscada entre J2 y las cantidades (a, f, M, ω), que podemos obtener mediante la ecuación (3.7), en la que introducimos las ecuaciones (3.16) y (3.17), escribiendo 3 1 1 J m mf 2J f a b 2 + + + 2 + − f = = 2 2 2 a 1 3 1 1 1+ J2 − J4 + m + 2 8 2 esta fórmula puede simplificarse mediante (3.11) para eliminar el denominador, teniendo la expresión aproximada 5 J 8 mf 2 a − b ⎛ 3 1 1 5 ⎞⎛ 1 3 1 1 ⎞ f = ≈ ⎜ J2 + m + mf + 2J2f + J4 ⎟⎜1− J2 + J4 − m − mf ⎟ a ⎝ 2 2 2 8 ⎠⎝ 2 8 2 2 ⎠ donde sólo quedan por realizar todos los productos, despreciando términos de orden superior a (J2) 2 , J4, mJ2, m 2 , J2f, mf; obteniendo 3 1 1 5 3 2 1 2 f J2 + m + mf + 2J2f + J4 − J2 − mJ2 − m 2 2 2 8 4 4 = (3.18) donde podemos aproximar las cantidades mf y J2f, multiplicando m y J2 por la expresión (3.18) 1 mf 2 3 1 2 mJ2 + m 4 4 2 2 ≈ 2 J f ≈ 3J + mJ (3.19) donde hemos despreciado de nuevo los términos de orden superior a (J2) 2 , J4, mJ2, m 2 , J2f, mf. Llevando las fórmulas (3.19) a (3.18) tenemos una expresión más sencilla de f dada por 3 1 3 9 2 5 f = J2 + m + mJ2 + J2 + J 2 2 4 4 8 Si en esta fórmula introducimos el valor de J4 dado por la ecuación (3.15), tenemos 3 1 3 9 2 3 2 3 1 3 9 2 3 2 15 f = J2 + m + mJ2 + J2 + ( 4f − 20fJ2) = J2 + m + mJ2 + J2 + f − J2f 2 2 4 4 56 2 2 4 4 14 14 donde el término J2f ya lo hemos calculado antes (ecuaciones (3.19)) y sólo nos queda por determinar el término f 2 , cuyo aproximado valor es con lo que tenemos finalmente la expresión 9 2 1 2 3 f = J2 + m + mJ2 4 4 2 3 1 3 9 2 3 2 27 2 9 15 45 2 f = J2 + m + mJ2 + J2 + m + J2 + mJ2 − mJ2 − J2 2 2 4 4 56 56 28 28 28 que agrupando términos queda en la forma (Torge, 1991) 3 1 15 9 2 3 2 f J2 + m + mJ2 + J2 + m 2 2 28 8 56 2 4 = (3.20) Con la ecuación (3.20) queda demostrado que existe una relación entre J2 y las cantidades fundamentales (a, f, M, ω), que definen perfectamente el potencial de la gravedad normal U, puesto que m es también función de las cantidades (a, f, M, ω), a través de la fórmula (3.10), de manera que al poner J2 en las fórmulas (3.2) y (3.4), no introducimos una cantidad nueva sino una relación entre las cantidades fundamentales que definen el potencial U. 4 2 10
En la actualidad, como las cantidades (a, J2, M, ω) se pueden determinar con mucha precisión, por diversos métodos espaciales y astronómicos, se han establecido como constantes fundamentales del campo de gravedad normal, en lugar de las cantidades (a, f, M, ω), obteniéndose el valor de f y m a través de las fórmulas (3.10) y (3.20), como cantidades derivadas de las fundamentales. Con el valor que toman estas constantes fundamentales (a, J2, M, ω) en el sistema de referencia GRS80, podemos calcular los valores de U0, m, J4 y f; mediante las fórmulas (3.6), (3.10), (3.15) y (3.20), obteniendo los valores (Torge, 1991) U0 = 6.2636861 x 10 7 m 2 /s 2 m = 0.003499786 J4 = −2.371x 10 -6 f = 1/298.2572 En el sistema de referencia GRS80, también tenemos definida una fórmula de la gravedad para calcular el valor de la gravedad normal γ0 sobre el elipsoide de referencia (el elipsoide de revolución definido por las constantes fundamentales (a, J2, M, ω)), esta fórmula es 2 2 γ 0 = γa ( 1+ βsin φ + β1 sin 2φ) (3.21) donde γa es la gravedad normal en el ecuador del elipsoide y las constantes β y β1 son función de f y m. La gravedad normal puede obtenerse derivando el potencial de la gravedad normal U, dado por la fórmula (3.5), pues sabemos que el campo de gravedad es conservativo, esto significa que puede obtenerse como el gradiente de un potencial. Entonces, derivando la fórmula (3.5) respecto de r obtenemos ⎡ 2 4 2 3 KM ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ω r ⎤ 2 γ( r, θ) = ⎢1− 3J2 ⎜ ⎟ P2 (cosθ) − 5J4 ⎜ ⎟ P4 (cosθ) − sin θ⎥ (3.22) 2 r ⎢⎣ ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ KM ⎥⎦ de la que podemos obtener inmediatamente el valor de la gravedad normal en ecuador γa, poniendo r = a y θ = 90º, obteniendo ⎡ 2 3 KM 3 15 ω a ⎤ γa = ⎢1+ J2 − J4 − ⎥ (3.23) 2 a ⎢⎣ 2 8 KM ⎥⎦ La fórmula (3.21) también se puede obtener a partir de la fórmula (3.22) y esto es lo que vamos a realizar a continuación, definiendo también las cantidades γa, β y β1, que aparecen en la fórmula (3.21), en función de constantes ya determinadas. Para ello, escribiremos la ecuación (3.22) para puntos que estén situados sobre el elipsoide de revolución (sobre la misma superficie de nivel de potencial U0). En este caso la distancia geocéntrica r toma el valor dado por (apéndice II) r = a 1− e 1− e 2 2 cos 2 ψ = a 1− e 2 2 1− e sen donde hemos tenido en cuenta que la distancia polar θ es igual a 90º - ψ. Para introducir esta fórmula en la fórmula (3.22), necesitamos calcular r 2 y ponerlo como función de f y θ. Esto podemos hacerlo si tenemos en cuenta la aproximación (3.11) para eliminar el denominador, obteniendo r 2 2 2 a ( 1− e ) 2 2 2 2 2 2 2 2 = ≈ a ( 1− e )( 1+ e sen θ) = a ( 1− 2f + f )( 1+ ( 2f − f ) sen θ) ⇒ 2 2 1− e sen θ 2 2 2 2 2 r = a [ 1− 2f cos θ + f ( 1− 5sen θ) ] (3.24) donde hemos usado las fórmulas (1.1) para eliminar la excentricidad e. 2 θ 11
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