Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

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∞ −1⎛ E ⎞ n tan ⎜ ⎟ = − ( −1) ⎝ u ⎠ ∑ ( 2n n= 1 + 2n 1)( 2n 2n+ 1 ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ + 3) ⎝ u ⎠ Con lo que finalmente podemos llegar a una expresión de V(u, β), que podamos comparar con un desarrollo en armónicos esféricos, para poder identificar los coeficientes dados por (3.3). Esta expresión será la ecuación (A6.6), en la que hemos incluido los desarrollos en serie de potencias recién obtenidos, pudiendo escribir ∞ ∑ 2n+ 1 KM n KM ⎛ E ⎞ ⎡ me' 2n ⎤ V( u, β) = + ( −1) ⎜ ⎟ ⎢1− P2 (sinβ) ⎥ u ( 2n + 1) E⎝ u ⎠ ⎣ 3q0 2n + 3 ⎦ n= 1 donde hemos puesto e’ = E/b y hemos introducido la cantidad m dada por la ecuación (3.10). (A6.7) Si ahora comparamos la fórmula (A6.7) con un desarrollo en serie de armónicos esféricos del potencial gravitatorio, dado por ∑ ∞ n= 1 KM A V ( r, θ) = + 2n P θ 2n+ 1 2n (cos ) (A6.8) r r Notamos que para puntos sobre el eje de rotación y fuera del elipsoide, tenemos que u = r, puesto que β = 90º y θ = 0º. Entonces, la ecuación (A6.7) viene a ser ∞ 2n KM n KME ⎡ 2n me' ⎤ 1 V = + ( 1) 1 r ∑ − ⎢ − ⎥ ( 2n + 1) 2n 3 3q 2n+ 1 ⎣ + 0 ⎦ r n= 1 con lo que identificamos los coeficientes A2n en la forma 2n n KME ⎛ 2n me' ⎞ A 2n = ( −1) ⎜ ⎜1− ⎟ (A6.9) ( 2n + 1) ⎝ 2n + 3 3q0 ⎠ Está fórmula ya es el resultado buscado, sólo nos queda realizar un poco de trabajo adicional para llevarla a la forma que tiene la ecuación (3.3). Para empezar, debemos recordar que el coeficiente de grado 2 del desarrollo en armónicos esféricos es (apéndice X) A2 = K(A−C) donde A es el momento de inercia respecto de un eje cualquiera contenido en el plano ecuatorial, siendo C el momento de inercia respecto del eje de rotación del elipsoide. Entonces el coeficiente de grado 2 dado por (A6.9) debe ser A 2 1 = − KME 3 2 ⎛ ⎜ ⎜1− ⎝ 2 5 que llevado a la fórmula (A6.9) nos da A 2n = ( −1) A 2n n me' 3q 0 2n ⎞ ⎟ = ⎠ K( A − C) ⇒ me' 5 15 ( C − A) = − 3q 2 0 2 2 ME KME ⎛ 2n ⎛ 5 15 ( C − A) ⎞⎞ ⎜ ⎜1− ⎜ − ⎟ ⎟ ( 2n + 1) ⎝ 2n + 3 2 ⎝ 2 2 ME ⎠⎠ = ( −1) n 2n 3KME ⎛ C − A ⎞ ⎜1− n + 5n ⎟ ( 2n + 1)( 2n + 3) 2 ⎝ ME ⎠ ⇒ 30
Con lo que el desarrollo del potencial gravitatorio en armónicos esféricos dado por (A6.8) queda en la forma V ( r, θ) = KM r + ∑ ∞ n= 1 ⎡ n ⎢( −1) ⎢⎣ 2n 3KME ⎛ C − A ⎞⎤ P θ ⎜ − + ⎟ 2n (cos ) 1 n 5n ⎥ ( 2n + 1)( 2n + 3) 2 2n+ 1 ⎝ ME ⎠⎥⎦ r Esta expresión puede escribirse en la forma más habitual dada por la ecuación (3.2), cuando identificamos los J2n en la forma J 2n = ( −1) n+ 1 2n 3e ⎛ C − A ⎞ ⎜1− n + 5n ⎟ ( 2n + 1)( 2n + 3) 2 ⎝ ME ⎠ donde hemos introducido e = E/a. Vemos inmediatamente que esta fórmula es la ecuación (3.3), que hemos tratado de encontrar a lo largo de todo este apéndice. Por lo tanto, el objetivo ha sido logrado. Hemos obtenido las ecuaciones (3.2) y (3.3) a partir del concepto de potencial de la gravedad normal. A7. Curvatura de una curva plana Cualquier curva C, en el espacio tridimensional, se puede definir a través de sus ecuaciones paramétricas en la forma (Struik, 1955) x = x(u) y = y(u) z = z(u) (A7.1) donde u es el parámetro que actúa como variable independiente. Para esta curva se define su curvatura mediante la fórmula (Struik, 1955) 2 ( r r) ( r &r& ) 3 ( r&r r&r ) r & &r r &r × ⋅ × κ = (A7.2) ⋅ donde r 2 r dr r ( u) = ( x( u), y( u), z( u)) r&r dr&r r d r = &r& du du 2 du r = = Entonces, si consideramos una curva plana, poniendo por ejemplo y = 0, las ecuaciones (A7.1) vienen a ser x = x y = 0 z = z(x) (A7.3) donde hemos elegido como parámetro u la variable x. Si calculamos ahora las cantidades que vienen en la fórmula (A7.2), para esta curva plana definida por las ecuaciones (A7.3), tenemos r dr r &r = = ( 1, 0, z′ ) du dr r = = ( 0, 0, z′ ′ ) du &r & r dz z ′ = dx 2 d z z ′ = 2 dx 2 r ⋅ r = ( 1, 0, z′ ) ⋅ ( 1, 0, z′ ) = 1+ z′ &r &r r &r& ) i 1 ) j 0 ) k z ) z j r &r × = ′ = ′ que introducidas en la fórmula (A7.2) nos dan la expresión de la curvatura de una curva plana, en la forma 2 2 ( r × r) ⋅ ( r × &r& ) z′ ′ κ = = 3 2 3 ( r&r ⋅ r&r ) ( 1+ z′ ) r & &r r &r ⇒ z′ ′ κ = 2 3/ 2 ( 1+ z′ ) 0 0 z′ ′ 31
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