Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

No obstante, debemos notar que en las fórmulas (3.2) y (3.4), aparecen las cantidades (a, e,
J2, ω, M), pero anteriormente hemos dicho que para determinar perfectamente el potencial de la
gravedad normal U, basta con conocer la forma del elipsoide de revolución (a, f), la masa total M
que encierra en su interior y la velocidad angular ω con la que rota. Hay que notar que la
excentricidad e puede calcularse a partir de a y de f, mediante las fórmulas (1.1). En consecuencia,
debe existir una relación entre J2 y las otras cantidades (a, f, M, ω), de manera que al poner J2 en las
fórmulas (3.2) y (3.4), no introducimos una cantidad nueva sino una relación entre las cantidades
que definen el potencial U. Para demostrar esta afirmación vamos a encontrar cuál es la relación
que define J2 = J2(a, f, M, ω).
Para ello, comenzamos considerando la expresión (3.2) sólo hasta grado 4, es decir, n = 2
como máximo. Esta aproximación podemos hacerla porque los términos de grado superior a 4 son
tan pequeños que se pueden despreciar (Torge, 1991). Con esta aproximación tendríamos que (3.2)
pasa a ser
⎡ 2
4
2 3
KM ⎛ a ⎞
⎛ a ⎞
ω r ⎤
2
U ( r,
θ)
= ⎢1−
J2
⎜ ⎟ P2
(cosθ)
− J4
⎜ ⎟ P4
(cosθ)
+ sin θ⎥
(3.5)
r ⎢⎣
⎝ r ⎠
⎝ r ⎠
2KM
⎥⎦
donde hay que notar que hemos agrupado el término centrífugo dentro del paréntesis. Ahora
podemos estudiar el valor que toma este potencial sobre la superficie del elipsoide. Entonces, si
llamamos U0 a este valor, podemos escribir la ecuación (3.5) para un punto sobre el ecuador de
elipsoide (r = a, θ = 90º) y para otro sobre el polo (r = b, θ = 0º). En estos dos casos los polinomios
de Legendre son muy sencillos de calcular (Spiegel, 1988), teniendo
P2(θ = 90º) = −1/2 P2(θ = 0º) = 1 P4(θ = 90º) = 3/8 P4(θ = 0º) = 1
En consecuencia, la fórmula (3.5) para un punto sobre el ecuador de elipsoide (r = a, θ = 90º) y para
otro sobre el polo (r = b, θ = 0º), nos da
U0
=
⎡ 2 3
KM 1 3 ω a ⎤
⎢1+
J2
− J4
+ ⎥
a ⎢⎣
2 8 2KM
⎥⎦
2
KM ⎡ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎤
U 0 = ⎢1−
J2
⎜ ⎟ − J4
⎜ ⎟ ⎥ (3.6)
b ⎢⎣
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦
donde U0 es el valor del potencial sobre la superficie del elipsoide de revolución. Las ecuaciones
(3.6) nos van a permitir el poder obtener la relación J2 = J2(a, f, M, ω), que estamos buscando, si
escribimos la ecuación
a − b
f = (3.7)
a
introduciendo en ella los valores de a y b obtenidos a partir de las ecuaciones (3.6), en la forma
a =
⎡ 2 3
KM 1 3 ω a ⎤
⎢1+
J2
− J4
+ ⎥
U0
⎢⎣
2 8 2KM
⎥⎦
⎡ 2 4
KM ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎤
b = ⎢1−
J2
⎜ ⎟ − J4
⎜ ⎟ ⎥ (3.8)
U0
⎢⎣
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦
pero antes de calcular f mediante la expresiones (3.7) y (3.8), para obtener la relación que estamos
buscando entre J2 y las cantidades (a, f, M, ω), hay que notar que en las ecuaciones (3.8) aparecen
términos de muy distinto orden de magnitud, siendo algunos de ellos tan pequeños que pueden
despreciarse. Por ello, antes de continuar vamos a realizar la aproximaciones pertinentes, para
eliminar los términos de orden superior a f 2 de las ecuaciones (3.8), pues la contribución de estos
términos en dichas fórmulas puede considerarse despreciable (Torge, 1991).
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