Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

1 2 2 2 1 2 2
Φ = ω ( x + y ) = ω r ⇒ aC
= grad(Φ) = ω
2
2
2 r
donde observando la figura 1.1, identificamos fácilmente las cantidades r y r, como
x = rcosλ y = rsinλ r 2 = x 2 + y 2 r = xi + yj
donde (i, j) son los vectores unitarios cartesianos que dan dirección y sentido a los ejes cartesianos
(x, y). Cuando aplicamos el operador gradiente al potencial normal U dado por la ecuación (3.1),
obtenemos la aceleración de la gravedad normal o simplemente la gravedad normal γ.
Llegados a este punto, es interesante estudiar el significado de la cantidad m definida como
2 2
ω a b
m = (A5.1)
KM
donde K constante de gravitación de Newton y M es la masa de la Tierra. Esta cantidad m definida
mediante la fórmula (A5.1), es una abreviatura muy utilizada en geodesia física, pues su valor es
muy pequeño, por ello, puede usarse muy bien en desarrollos en serie de potencias, que
convergerán para las primeras potencias de m, pues los términos correspondientes a potencias de
grado superior serán despreciables.
Entonces, dada la importancia de esta cantidad en futuros desarrollos, es conveniente
estudiar aquí qué significado tiene. Para ello, debemos notar que la aceleración centrífuga aC
definida antes, tendrá un valor de ω 2 a (en módulo) cuando la calculemos en el ecuador. Para éste
mismo lugar, el valor en modulo de la gravedad normal será
γ = grad(
U)
(A5.2)
donde podemos utilizar la fórmula (3.2) para obtener el valor de U. No obstante, si aproximamos la
fórmula (3.2) en la forma
KM
U =
r
cuando la introducimos en la fórmula (A5.2) y ponemos r = a (en el ecuador), tenemos
KM
γ a =
2
a
con lo que podemos escribir la fórmula (A5.1) en función de la aceleración centrífuga y la gravedad
normal (ambas calculadas en el ecuador), mediante (Heiskanen y Moritz, 1985)
2
ω a
=
γ
a
2
( ω a)
KM / a
2
2
2
ω a a ω a b
= ≈ = m
KM KM
Por lo tanto, concluimos que la cantidad m definida por la fórmula (A5.1) es aproximadamente la
razón que existe entre la aceleración centrífuga y la gravedad normal, cuando ambas son calculadas
en el ecuador. Éste es el significado físico (aproximado) que tiene la cantidad m que hemos
definido.
A6. Potencial de la gravedad normal en armónicos esféricos
La ecuaciones (3.2) y (3.3) son importantes relaciones, de las cuales vamos a obtener mucha
información sobre el campo de gravedad normal. Por ello, es importante obtenerlas a partir del
concepto de potencial de la gravedad normal, indicando cómo llegamos al desarrollo en armónicos
esféricos dado por la fórmula (3.2), cuyos coeficientes constantes están dados por la fórmula (3.3).
2
2
26