Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

donde a es el semieje mayor del elipsoide, e es la excentricidad dada por las ecuaciones (1.1) y (P,
W) son las siguientes abreviaturas
2
2 2
P = a(
1−
e ) W = 1−
e sin φ
A continuación obtenemos los coeficientes g αβ (apéndices I y XI), cuyo valor es (los que son igual
a cero no son listados)
6
2
11 g22
W
22 g
g = =
=
11 W
g =
g 2
2 2
P
g a cos φ
Calculando finalmente los símbolos de Christoffel de segunda especie (apéndices I y XI), cuyo
valor es (los que son igual a cero no son listados)
1
11
Γ
= g
1ν
1 1ν
Γ22
= g
3 e
2 W
11 [ 11,
ν]
= g [ 11,
1]
= sin 2φ
11 [ 22,
ν]
= g [ 22,
1]
= sin 2φ
2
2
2
aW
2P
2 22
P
Γ12 = g
21 tan
2
aW
2 [ 12,
2]
= Γ = − φ
Con el valor de estos símbolos introducidos en las ecuaciones (4.5), procederemos a escribir las
ecuaciones diferenciales de las líneas geodésicas del elipsoide de revolución en la forma
1 1
u1 ′
+ Γ11u1′
u1′
+ Γ22u′
2u′
2 = 0
u′ 2
2 ′ + 2Γ12u1′
u′
2 = 0
cambiando (u1, u2) por sus valores (φ, λ) y poniendo el valor de los símbolos, tenemos
2
2
3 e
2 aW
2
2P
φ ′ + sin 2φ(
φ′ ) + sin 2φ(
λ′ ) = 0 λ ′
− tan φ(
φ′ λ′ ) = 0
2 2
W
2P
2
aW
Integrando la segunda ecuación obtenemos
d
ds
2P
dφ
λ′ = tan φ(
λ′ )
2
aW ds
⇒
dλ′
2P
⇒ = tan φdφ
λ′ 2
aW
⎛ 2 ⎞
⎜
W
ln λ′ − ln C = ln ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ cos φ ⎠
⇒
2 sin φ
⇒ ln λ′ = 2(
1−
e ) dφ
+ ln C ∫ 2
cosφW
2
CW
λ′ = ⇒
2
cos φ
2
cos φdλ
ds =
2
CW
Si ahora incorporamos aquí el valor del elemento de arco dado por la primera forma fundamental a
través de la ecuación (A1.4), tenemos (Cid y Ferrer, 1997)
⇒
2 2 2
2 2
2 a ( 1−
e ) 2 a cos φ 2
( ds)
=
(dφ)
+
(dλ)
2 2 3
2 2
( 1−
e sin φ)
( 1−
e sin φ)
2
4 2 2 4 2 2 6 C W
cos φ ( dλ)
= C W P ( dφ)
/ W +
2
W
2 2 2
a cos φ(
dλ)
⇒
d λ = ∫ ∫ W cos φ
± CPdφ
2 2 2 2
cos φ −C
a W
(4.7)
La integración de la ecuación (4.7) nos dará la ecuación de las líneas geodésicas del elipsoide de
revolución, escrita en la forma λ = λ(φ).
4
⇒
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