Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
Superficie de Referencia
y
Superficie Equipotencial
CURSOS DE ENSEÑANZAS PROPIAS. UNIVERSIDAD DE ALMERÍA

ÍNDICE *
CONTENIDO PÁG.
Elipsoide de revolución
1. Parámetros fundamentales de la elipse meridiana y sistemas de coordenadas ..
2. El elipsoide de revolución como superficie de referencia .................................
3. El elipsoide de revolución como superficie equipotencial ................................
4. Líneas geodésicas del elipsoide de revolución ..................................................
Apéndices
Apéndice I. Ecuaciones del elipsoide de revolución en coordenadas geodésicas
Apéndice II. Relación entre latitud geodésica y geocéntrica .................................
Apéndice III. Vector normal a la superficie del elipsoide de revolución ..............
Apéndice IV. Transformación de coordenadas por rotación .................................
Apéndice V. Potencial centrífugo ..........................................................................
Apéndice VI. Potencial de la gravedad normal en armónicos esféricos ................
Apéndice VII. Curvatura de una curva plana .........................................................
Apéndice VIII. Componente vertical del gradiente de la gravedad .......................
Apéndice IX. Relación entre latitud geodésica y reducida ....................................
Apéndice X. Armónico de grado 2 y momentos de inercia ...................................
Apéndice XI. Ecuaciones de Gauss .......................................................................
Bibliografía
Bibliografía básica .................................................................................................
Bibliografía de consulta .........................................................................................
* Este documento está disponible en la dirección http://airy.ual.es/www/Geodesy.htm
3
4
6
15
20
23
24
25
25
26
31
32
33
34
35
37
37
2

Elipsoide de revolución
1. Parámetros fundamentales de la elipse meridiana y sistemas de coordenadas
Sabiendo que la principal tarea científica de la Geodesia es el estudio de la figura de la
Tierra, nos damos cuenta de que el primer problema que hay que resolver es: la determinación del
tipo de superficie matemática que mejor representa la figura de la Tierra en su totalidad. A este
respecto, se considera como tal superficie la de un elipsoide de revolución ligeramente aplanado,
éste se denomina elipsoide terrestre. Esta primera figura de la Tierra es tan buena, que el geoide (la
segunda mejor figura de la Tierra, la superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre que
coincide con el nivel medio de los océanos) se aparta de esta primera figura en menos que 100
metros de altura, en el caso de mayor separación. Nos encontramos así con dos superficies
fundamentales de referencia muy próximas entre sí, el elipsoide y el geoide, las cuales provienen de
dos concepciones distintas de la Geodesia, determinando en consecuencia la división de la Geodesia
en dos ramas principales, Geodesia Geométrica o Elipsoidal y Geodesia Física o Dinámica.
Llegados a este punto, hay que recordar que desde la antigüedad el hombre se ha preocupado por la
medida de la Tierra, es decir, por desarrollar la parte geométrica de la geodesia. Así, durante siglos,
la única geodesia que se ha desarrollado es la Geodesia Geométrica, sobre todo el estudio y
determinación del elipsoide terrestre. Por otra parte, el elipsoide de revolución, como superficie
matemática, es sencillo y bien conocido, pudiendo utilizarse para numerosos cálculos que serían
muy complejos si se efectuaran sobre el geoide. Esto hace que esta primera aproximación a la figura
de la Tierra, el elipsoide de revolución terrestre, siga siendo vigente en la actualidad, siendo
utilizado como superficie de referencia para muchas actividades científicas y técnicas.
Vista entonces la importancia que tiene este elipsoide de revolución, como primera figura de
la Tierra y superficie de referencia, vamos a comenzar el estudio de esta figura matemática
repasando algunos conceptos básicos referentes a la elipse meridiana, pues el elipsoide de
revolución se formará mediante la rotación de esta elipse, alrededor del eje que pasa por los polos
terrestres (el eje OB de la figura 1.1). Debemos entonces recordar que para esta elipse podemos
escribir las siguientes relaciones (Torge, 1991)
b
B
O
N
ψ
r
ρ ρN
φ
Q
a
z
P
h
r
a
2
2
A
2
z
+ = 1 x
2
b
2 + y 2 = r 2
90º+ φ
Fig. 1.1. Posición de un punto P
sobre el elipsoide de revolución.
α
a − b
f =
a
2 −
2
a b
e = (1.1)
a
En las relaciones (1.1) debemos notar que si son conocidos
el semieje mayor a y el aplanamiento f, podemos obtener los
valores del semieje menor b y la excentricidad e (o primera
excentricidad), quedando entonces perfectamente definida la
elipse meridiana y con ella toda la geometría del elipsoide
de revolución correspondiente. Así, cuando fijamos los
valores de (a, f) mediante la elección de un sistema de
referencia, como es el sistema de referencia GRS80
(Geodetic Reference System of 1980), tenemos
perfectamente definido el elipsoide de revolución terrestre
para poder utilizarlo como superficie de referencia en
nuestros cálculos.
Esto nos hace ser conscientes de la comodidad y simplicidad de usar el elipsoide de
revolución como superficie de referencia. Esta superficie de revolución se escribirá en la forma
(Struik, 1955)
3

x = rcosλ y = rsinλ z = f(r)
2
⎛ r ⎞
f ( r)
b 1−
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
= (1.2)
donde f(r) es la curva que se rota alrededor del eje OB de la figura 1.1, para obtener el elipsoide de
revolución. Considerando esta superficie de referencia, la posición de un punto Q sobre la misma
dada por (1.2), se podrá escribir en coordenadas geodésicas (φ, λ) en la forma (apéndice I)
2
x = ρN
cosφ
cos λ y = ρN
cosφ
sin λ z = ( 1−
e ) ρN
sin φ
a
ρ N =
(1.3)
2 2
1−
e sin φ
A la vista de la figura 1.1, debemos notar que hemos elegido las coordenadas geodésicas (φ, λ) para
dar la posición del punto Q, pero podríamos también haber elegido las coordenadas geocéntricas
(ψ, λ), pues la latitud geodésica φ y la geocéntrica ψ son igualmente válidas para fijar la posición
de dicho punto, existiendo entre ellas la relación (apéndice II)
2
tan ψ = ( 1−
e ) tan φ
Las coordenadas geocéntricas son las más usadas para escribir la posición de un punto en los
desarrollos en serie del potencial gravitatorio terrestre, mientras que las coordenadas geodésicas son
las más utilizadas para dar la posición de un punto en las medidas geodésicas. Por ello, es muy
importante conocer la relación (1.4) que existe entre las latitudes geodésica y geocéntrica, pues ella
nos permite pasar de una a otra fácilmente, para cualquier punto Q del elipsoide.
A la vista de la figura 1.1, la posición de un punto P sobre la superficie terrestre es muy
sencilla de escribir en coordenadas geocéntricas, pues sería (Torge, 1989)
x ψ
(1.4)
= ρP
cosψ
P cosλ
y = ρP
cosψ
P sin λ z = ρP
sin P
(1.5)
donde ρP es el módulo del vector de posición geocéntrico del punto P. Para escribir la posición de
un punto P sobre la superficie terrestre en coordenadas geodésicas, tendríamos en cuenta la suma
vectorial
OP = OQ + QP hN r r
QP = N = (cos φcos
λ,
cos φ sin λ,
sin φ)
donde el vector OQ estaría dado por (1.3) y el vector QP se obtendría a partir del vector normal a la
superficie del elipsoide en el punto Q (apéndice III), teniendo en consecuencia las ecuaciones
2
x = ( ρN
+ h)
cosφ
cos λ y = ( ρN
+ h)
cosφ
sin λ z = (( 1−
e ) ρN
+ h) sin φ (1.6)
Las ecuaciones (1.6) son muy importantes pues nos permiten convertir las coordenadas geodésicas
(φ, λ, h) en coordenadas cartesianas (x, y, z). Para realizar la transformación contraria, es decir, para
convertir coordenadas cartesianas (x, y, z) en coordenadas geodésicas (φ, λ, h), tendríamos que
invertir la relación (1.6). Esto puede hacerse de forma sencilla tal como indican Hofmann-
Wellenhof y Lichtenegger (1994), mediante un proceso analítico y numérico que se puede realizar
rápidamente en un ordenador.
2. El elipsoide de revolución como superficie de referencia
En algunas ocasiones podemos encontrarnos con la necesidad de convertir coordenadas
geodésicas medidas en distintos dátum, a un único dátum para poder utilizar todas estas medidas
conjuntamente. Este problema puede surgir cuando recibimos mediciones realizadas por otros
investigadores o técnicos, que trabajan habitualmente en un sistema de referencia distinto al que
nosotros utilizamos. Para llevar a cabo esta transformación debemos tener en cuenta que esos otros
sistemas de referencia pueden no ser geocéntricos. Esta situación está ilustrada en la figura 2.1, en
la cual tenemos las coordenadas cartesianas (x’, y’, z’) de un punto P (medidas en un sistema no
4

geocéntrico con origen O’), relacionadas con sus coordenadas cartesianas (x, y, z) (medidas en un
sistema geocéntrico con origen O), a través de la suma vectorial
r r r
r = ro
+ ( 1+
k)
R r′
(2.1)
donde k es un factor de escala cuyo valor suele ser del orden de 10 -6 y R es la matriz de rotación
que define la transformación de coordenadas que relaciona ambos sistemas (apéndice IV), dada por
⎛x
⎞ ⎛x
o ⎞ ⎛ 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜y
⎟ = ⎜ yo
⎟ + ( 1+
k)
⎜−
εz
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝z
⎠ ⎝z
o ⎠ ⎝
εy
− ε
εz
1
x
− εy
⎞⎛x′
⎟
⎞
⎜ ⎟
εx
⎟⎜y′
⎟
⎟
1
⎜ ⎟
⎝ ′
⎠
z ⎠
donde los ángulos (εx, εy, εz) expresan las rotaciones indicadas en la figura 2.1, estos ángulos suelen
tener un valor muy pequeño, por eso se expresan habitualmente en segundos de arco.
Fig. 2. 1. Representación del sistema de
referencia no geocéntrico xyz, con
respecto al sistema de referencia
geocéntrico XYZ.
(2.2)
Es importante notar que la ecuación (2.2) expresa
una relación entre coordenadas cartesianas. No
obstante, en muchas ocasiones no trabajamos con
las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P,
sino con sus coordenadas geodésicas (φ, λ, h),
donde φ es la latitud geodésica (medida en grados
norte), λ es la longitud geodésica (medida en
grados este) y h es la altura elipsoidal (medida en
metros). En este caso para poder utilizar la
transformación (2.2), tenemos que realizar
previamente una transformación de coordenadas
geodésicas (φ, λ, h) a cartesianas (x, y, z). Para
ello, podemos utilizar las ecuaciones (1.6), pues
nos dan la relación que existe entre las coordenadas
geodésicas (φ, λ, h) y las cartesianas (x, y, z), tal
como está ilustrado en la figura 1.1.
Entonces, una vez que tenemos las coordenadas geodésicas (φ, λ, h) convertidas en
coordenadas cartesianas (x, y, z), aplicamos la transformación (2.2) para realizar el cambio de
dátum. Así podemos convertir las coordenadas no geocéntricas (x’, y’, z’), dadas en el dátum no
geocéntrico, en las coordenadas geocéntricas (x, y, z). Para ello, necesitamos primero establecer los
valores de los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz), correspondientes al dátum no geocéntrico. Estos
valores pueden obtenerse desde varias fuentes. Por ejemplo, Torge (1991) ha establecido los valores
de estos parámetros, para transformar coordenadas desde algunos de los dátum más utilizados al
sistema geocéntrico WGS84 (el dátum que se utiliza con GPS).
Si queremos realizar la operación inversa y convertir las coordenadas geocéntricas (x, y, z)
en coordenadas no geocéntricas (x’, y’, z’), tenemos que invertir la relación (2.2). Para ello,
necesitamos establecer previamente los valores de los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz),
correspondientes al dátum no geocéntrico, e invertir la expresión (2.2). Esto puede realizarse
fácilmente, programando las ecuaciones (2.2) de forma matricial en un ordenador, en ese caso todo
el problema se reduce a invertir una matriz. Este problema de invertir una matriz es muy conocido y
es fácil de resolver.
Si queremos pasar de coordenadas no geocéntricas (x’, y’, z’) a otras coordenadas también
no geocéntricas (x’’, y’’, z’’), pero dadas en un dátum distinto, sólo tenemos que realizar primero la
transformación de las coordenadas no geocéntricas (x’, y’, z’) a coordenadas geocéntricas (x, y, z),
estableciendo para ello los valores de los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz), correspondientes al
primer dátum no geocéntrico. Luego convertimos estas recién obtenidas coordenadas geocéntricas
5

(x, y, z), en las coordenadas no geocéntricas (x’’, y’’, z’’), aplicando para ello la fórmula inversa a
(2.2), con los parámetros (k, xo, yo, zo, εx, εy, εz) correspondientes al segundo dátum no geocéntrico.
Esto puede realizarse fácilmente, cuando se han programado las ecuaciones (2.2) y sus inversas.
3. El elipsoide de revolución como superficie equipotencial
Hemos visto hasta ahora la importancia que tiene el elipsoide de revolución como figura
geométrica, que puede ser utilizada como superficie de referencia, ya que, la segunda mejor figura
de la Tierra: el geoide, es casi un elipsoide de revolución (entre elipsoide y geoide hay una
separación menor que 100 metros, en el peor de los casos). También, hemos visto que como
superficie matemática sencilla, el elipsoide de revolución es bien conocido, pudiendo utilizarse para
numerosos cálculos que serían muy complejos si se efectuaran sobre el geoide. Esto hace que el
elipsoide de revolución (primera aproximación a la figura de la Tierra), bajo un punto de vista
geométrico, siga estando vigente en la actualidad, siendo muy utilizado como superficie de
referencia geométrica para muchas actividades científicas y técnicas.
No obstante, esta valiosa faceta de esta superficie no agota toda su utilidad, pues en este
apartado vamos a ver cómo el elipsoide de revolución, puede también considerarse como una
excelente superficie de referencia física, desde la cual sea posible estudiar el campo de gravedad
real de la Tierra y sus superficies equipotenciales, pudiendo simplificar mucho este problema y
haciendo posible realizar importantes aproximaciones, sin las que el estudio de este problema sería
mucho más complicado. En este sentido, aunque el campo de gravedad terrestre no es exactamente
el campo de gravedad asociado a un elipsoide de revolución, el poder dividir el campo de gravedad
verdadero de la Tierra en una parte normal asociada al elipsoide de revolución y otra parte
anómala, asociada a la pequeña diferencia que existe entre el campo verdadero y el normal, permite
usar aproximaciones muy sencillas para estudiar el campo de gravedad anómalo, pues este campo
supone una perturbación tan pequeña que podemos considerarla lineal, pudiendo realizarse
aproximaciones que simplifican mucho el estudio de un problema que de otra forma sería muy
difícil de resolver.
Dicho esto, vamos a considerar ahora el elipsoide de revolución, que antes hemos definido
completamente bajo un punto de vista geométrico, como una superficie física, es decir, como una
superficie equipotencial de un campo de gravedad que llamamos normal, definida por un valor dado
del potencial normal o potencial del campo de gravedad normal U0, de tal forma que la superficie
U(x, y, z) = U0 es un elipsoide de revolución con semieje mayor a y aplanamiento f, que encierra en
su interior toda la masa de la Tierra M (incluida la masa de la atmósfera) y rota respecto de un eje
que pasa por su semieje menor, con una velocidad angular ω igual a la velocidad de rotación de la
Tierra (Torge, 1991). A este elipsoide se le llama elipsoide de nivel y como vemos por su
definición, es la figura matemática más sencilla que mejor aproxima al geoide, cuya definición es:
la superficie equipotencial del campo gravitatorio verdadero de la Tierra que coincide con el nivel
medio de los océanos. De hecho, la coincidencia entre geoide y elipsoide de nivel es tan buena que,
como ya se ha dicho, estas dos superficies de nivel apenas se separan unas decenas de metros.
En consecuencia, definimos el potencial del elipsoide de nivel U, o potencial de la gravedad
normal, en la forma (Heiskanen y Moritz, 1985)
U(
x,
y,
z)
1 2 2 2
= V + Φ = V + ω ( x + y )
(3.1)
2
donde V es el potencial gravitatorio y Φ es el potencial centrífugo (apéndice V). Este potencial
U(x, y, z) queda perfectamente determinado si se dan los valores de la forma del elipsoide de
revolución (a, f), la masa total M que encierra en su interior y la velocidad angular ω (Heiskanen y
Moritz, 1985, Torge, 1991). En la ecuación (3.1), el potencial gravitatorio V satisface la ecuación
diferencial de Laplace, en el espacio exterior al elipsoide de semieje mayor a y aplanamiento f,
6

pues este elipsoide contiene en su interior toda la masa atrayente M de la Tierra (por definición), no
quedando fuera del mismo masas atrayentes que impidan que se verifique dicha ecuación
diferencial (Heiskanen y Moritz, 1985; Torge, 1991). En consecuencia, este potencial V puede ser
desarrollado en serie de armónicos esféricos, con lo que el potencial U se obtendrá mediante este
desarrollo añadiéndole el potencial centrífugo (apéndice VI), es decir
⎡
⎤
⎢ ⎛ ⎞
⎥ ω
θ = − ⎜ ⎟ θ + θ
⎢ ∑ ⎝ ⎠
⎥
⎣
⎦
∞ 2n
2 2
KM
a
r 2
U ( r,
) 1 J2n
P2n
(cos ) sin
(3.2)
r
r
2
n=
1
2n
n+
1 3e
⎛ C − A ⎞
J 2n
= ( −1)
⎜1
− n + 5n
2 ⎟
(3.3)
( 2n
+ 1)(
2n
+ 3)
⎝ ME ⎠
E 2 = a 2 – b 2 : excentricidad lineal del elipsoide.
K: constante de gravitación de Newton.
r: distancia del punto P al centro de la Tierra (el
centro del elipsoide), r es la distancia que
antes llamábamos ρP (el módulo del vector de
posición geocéntrico del punto P).
P2n (cos θ): polinomios de Legendre.
e: primera excentricidad del elipsoide
(ecuaciones (1.1)).
C: momento de inercia respecto al eje rotación
terrestre
A: momento de inercia respecto a cualquier eje
en el plano ecuatorial
θ: distancia polar igual a 90º - ψ.
Debemos notar que hemos usado en (3.2) el sistema de coordenadas esféricas (r, θ, λ) en lugar de
las coordenadas cartesianas (x, y, z), pues dada la simetría del problema a estudiar, estas
coordenadas son más convenientes que las cartesianas. También hay que notar que hemos
designando la distancia geocéntrica en este contexto con la letra r, en lugar de usar la letra griega
ρ como hemos hecho hasta ahora, pues en la mayor parte de la bibliografía relevante sobre el
campo de gravedad normal ésta es la notación que se utiliza. A la vista de las ecuaciones (3.2),
notamos que la simetría con respecto al eje de rotación que tiene el elipsoide de revolución, hace
que desaparezcan los términos teserales del desarrollo en serie de armónicos esféricos de V.
También desaparecen los términos zonales impares de dicho desarrollo, debido a la simetría de esta
figura con respecto al plano ecuatorial.
Por otra parte, la ecuación (3.3) con n = 1 nos da la importante fórmula (Heiskanen y
Moritz, 1985)
2⎛
C − A ⎞ C − A
J 2 = e ⎜ = 2 ⎟ 2
⎝ ME ⎠ Ma
que podemos introducir en la fórmula (3.3) para eliminar los demás coeficientes J2n en función de
un único J2 mediante
2n
n+
1 3e
⎛ J 2 ⎞
J 2n
= ( −1)
⎜1
− n + 5n
2 ⎟
(3.4)
( 2n
+ 1)(
2n
+ 3)
⎝ e ⎠
Este cambio de notación es importante, pues las ecuaciones (3.2) y (3.4) permiten obtener el
potencial U de la gravedad normal, mediante constantes que son conocidas a través de la definición
de cualquier sistema geodésico internacional. Por ejemplo, en el Geodetic Reference System of
1980 (GRS80) el valor de las constantes fundamentales es (Torge, 1991)
a = 6378137 metros KM = 398600.5 x 10 9 m 3 /s 2 J2 = 1082.63 x 10 -6 ω =7.292115 x 10 -5 rad/s
donde M incluye la masa de la atmósfera. Estas constantes son muy bien conocidas y se han elegido
como constantes fundamentales, porque se pueden determinar con mucha precisión por diversos
métodos espaciales y astronómicos.
7

No obstante, debemos notar que en las fórmulas (3.2) y (3.4), aparecen las cantidades (a, e,
J2, ω, M), pero anteriormente hemos dicho que para determinar perfectamente el potencial de la
gravedad normal U, basta con conocer la forma del elipsoide de revolución (a, f), la masa total M
que encierra en su interior y la velocidad angular ω con la que rota. Hay que notar que la
excentricidad e puede calcularse a partir de a y de f, mediante las fórmulas (1.1). En consecuencia,
debe existir una relación entre J2 y las otras cantidades (a, f, M, ω), de manera que al poner J2 en las
fórmulas (3.2) y (3.4), no introducimos una cantidad nueva sino una relación entre las cantidades
que definen el potencial U. Para demostrar esta afirmación vamos a encontrar cuál es la relación
que define J2 = J2(a, f, M, ω).
Para ello, comenzamos considerando la expresión (3.2) sólo hasta grado 4, es decir, n = 2
como máximo. Esta aproximación podemos hacerla porque los términos de grado superior a 4 son
tan pequeños que se pueden despreciar (Torge, 1991). Con esta aproximación tendríamos que (3.2)
pasa a ser
⎡ 2
4
2 3
KM ⎛ a ⎞
⎛ a ⎞
ω r ⎤
2
U ( r,
θ)
= ⎢1−
J2
⎜ ⎟ P2
(cosθ)
− J4
⎜ ⎟ P4
(cosθ)
+ sin θ⎥
(3.5)
r ⎢⎣
⎝ r ⎠
⎝ r ⎠
2KM
⎥⎦
donde hay que notar que hemos agrupado el término centrífugo dentro del paréntesis. Ahora
podemos estudiar el valor que toma este potencial sobre la superficie del elipsoide. Entonces, si
llamamos U0 a este valor, podemos escribir la ecuación (3.5) para un punto sobre el ecuador de
elipsoide (r = a, θ = 90º) y para otro sobre el polo (r = b, θ = 0º). En estos dos casos los polinomios
de Legendre son muy sencillos de calcular (Spiegel, 1988), teniendo
P2(θ = 90º) = −1/2 P2(θ = 0º) = 1 P4(θ = 90º) = 3/8 P4(θ = 0º) = 1
En consecuencia, la fórmula (3.5) para un punto sobre el ecuador de elipsoide (r = a, θ = 90º) y para
otro sobre el polo (r = b, θ = 0º), nos da
U0
=
⎡ 2 3
KM 1 3 ω a ⎤
⎢1+
J2
− J4
+ ⎥
a ⎢⎣
2 8 2KM
⎥⎦
2
KM ⎡ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎤
U 0 = ⎢1−
J2
⎜ ⎟ − J4
⎜ ⎟ ⎥ (3.6)
b ⎢⎣
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦
donde U0 es el valor del potencial sobre la superficie del elipsoide de revolución. Las ecuaciones
(3.6) nos van a permitir el poder obtener la relación J2 = J2(a, f, M, ω), que estamos buscando, si
escribimos la ecuación
a − b
f = (3.7)
a
introduciendo en ella los valores de a y b obtenidos a partir de las ecuaciones (3.6), en la forma
a =
⎡ 2 3
KM 1 3 ω a ⎤
⎢1+
J2
− J4
+ ⎥
U0
⎢⎣
2 8 2KM
⎥⎦
⎡ 2 4
KM ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎤
b = ⎢1−
J2
⎜ ⎟ − J4
⎜ ⎟ ⎥ (3.8)
U0
⎢⎣
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦
pero antes de calcular f mediante la expresiones (3.7) y (3.8), para obtener la relación que estamos
buscando entre J2 y las cantidades (a, f, M, ω), hay que notar que en las ecuaciones (3.8) aparecen
términos de muy distinto orden de magnitud, siendo algunos de ellos tan pequeños que pueden
despreciarse. Por ello, antes de continuar vamos a realizar la aproximaciones pertinentes, para
eliminar los términos de orden superior a f 2 de las ecuaciones (3.8), pues la contribución de estos
términos en dichas fórmulas puede considerarse despreciable (Torge, 1991).
4
8

Término centrífugo. Este término aparece sólo en la expresión de a de las ecuaciones (3.8) y
podemos escribirlo como
2
3
ω a
2KM
=
2
3
ω a b
2KMb
1 1
= m
2 1−
f
donde hemos tenido en cuenta las fórmulas (1.1) y hemos usado la abreviatura (apéndice V)
ω a b
m = (3.10)
KM
Si ahora usamos la aproximación (Spiegel, 1988)
para ⎜x ⎜

donde hemos utilizado las ecuaciones (3.12) y (3.14), despreciando el término J4f, por ser J4 mucho
menor que J2 (Torge, 1991). Ahora estamos ya en situación de obtener la relación buscada entre J2 y
las cantidades (a, f, M, ω), que podemos obtener mediante la ecuación (3.7), en la que introducimos
las ecuaciones (3.16) y (3.17), escribiendo
3 1 1
J m mf 2J
f
a b 2 + + + 2 +
−
f = =
2 2 2
a 1 3 1 1
1+
J2
− J4
+ m +
2 8 2
esta fórmula puede simplificarse mediante (3.11) para eliminar el denominador, teniendo la
expresión aproximada
5
J
8
mf
2
a − b ⎛ 3 1 1
5 ⎞⎛
1 3 1 1 ⎞
f = ≈ ⎜ J2
+ m + mf + 2J2f
+ J4
⎟⎜1−
J2
+ J4
− m − mf ⎟
a ⎝ 2 2 2
8 ⎠⎝
2 8 2 2 ⎠
donde sólo quedan por realizar todos los productos, despreciando términos de orden superior a
(J2) 2 , J4, mJ2, m 2 , J2f, mf; obteniendo
3 1 1
5 3 2 1 2
f J2
+ m + mf + 2J2f
+ J4
− J2
− mJ2
− m
2 2 2
8 4
4
= (3.18)
donde podemos aproximar las cantidades mf y J2f, multiplicando m y J2 por la expresión (3.18)
1
mf
2
3 1 2
mJ2
+ m
4 4
2
2
≈ 2 J f ≈ 3J
+ mJ
(3.19)
donde hemos despreciado de nuevo los términos de orden superior a (J2) 2 , J4, mJ2, m 2 , J2f, mf.
Llevando las fórmulas (3.19) a (3.18) tenemos una expresión más sencilla de f dada por
3 1 3 9 2 5
f = J2
+ m + mJ2
+ J2
+ J
2 2 4 4 8
Si en esta fórmula introducimos el valor de J4 dado por la ecuación (3.15), tenemos
3 1 3 9 2 3 2 3 1 3 9 2 3 2 15
f = J2
+ m + mJ2
+ J2
+ ( 4f
− 20fJ2)
= J2
+ m + mJ2
+ J2
+ f − J2f
2 2 4 4 56
2 2 4 4 14 14
donde el término J2f ya lo hemos calculado antes (ecuaciones (3.19)) y sólo nos queda por
determinar el término f 2 , cuyo aproximado valor es
con lo que tenemos finalmente la expresión
9 2 1 2 3
f = J2
+ m + mJ2
4 4 2
3 1 3 9 2 3 2 27 2 9 15 45 2
f = J2
+ m + mJ2
+ J2
+ m + J2
+ mJ2
− mJ2
− J2
2 2 4 4 56 56 28 28 28
que agrupando términos queda en la forma (Torge, 1991)
3 1 15 9 2 3 2
f J2
+ m + mJ2
+ J2
+ m
2 2 28 8 56
2
4
= (3.20)
Con la ecuación (3.20) queda demostrado que existe una relación entre J2 y las cantidades
fundamentales (a, f, M, ω), que definen perfectamente el potencial de la gravedad normal U, puesto
que m es también función de las cantidades (a, f, M, ω), a través de la fórmula (3.10), de manera
que al poner J2 en las fórmulas (3.2) y (3.4), no introducimos una cantidad nueva sino una relación
entre las cantidades fundamentales que definen el potencial U.
4
2
10

En la actualidad, como las cantidades (a, J2, M, ω) se pueden determinar con mucha
precisión, por diversos métodos espaciales y astronómicos, se han establecido como constantes
fundamentales del campo de gravedad normal, en lugar de las cantidades (a, f, M, ω), obteniéndose
el valor de f y m a través de las fórmulas (3.10) y (3.20), como cantidades derivadas de las
fundamentales. Con el valor que toman estas constantes fundamentales (a, J2, M, ω) en el sistema
de referencia GRS80, podemos calcular los valores de U0, m, J4 y f; mediante las fórmulas (3.6),
(3.10), (3.15) y (3.20), obteniendo los valores (Torge, 1991)
U0 = 6.2636861 x 10 7 m 2 /s 2 m = 0.003499786 J4 = −2.371x 10 -6 f = 1/298.2572
En el sistema de referencia GRS80, también tenemos definida una fórmula de la gravedad
para calcular el valor de la gravedad normal γ0 sobre el elipsoide de referencia (el elipsoide de
revolución definido por las constantes fundamentales (a, J2, M, ω)), esta fórmula es
2 2
γ 0 = γa
( 1+
βsin
φ + β1
sin 2φ)
(3.21)
donde γa es la gravedad normal en el ecuador del elipsoide y las constantes β y β1 son función de f
y m.
La gravedad normal puede obtenerse derivando el potencial de la gravedad normal U, dado
por la fórmula (3.5), pues sabemos que el campo de gravedad es conservativo, esto significa que
puede obtenerse como el gradiente de un potencial. Entonces, derivando la fórmula (3.5) respecto
de r obtenemos
⎡
2
4
2 3
KM ⎛ a ⎞
⎛ a ⎞
ω r ⎤
2
γ(
r,
θ)
= ⎢1−
3J2
⎜ ⎟ P2
(cosθ)
− 5J4
⎜ ⎟ P4
(cosθ)
− sin θ⎥
(3.22)
2
r ⎢⎣
⎝ r ⎠
⎝ r ⎠
KM ⎥⎦
de la que podemos obtener inmediatamente el valor de la gravedad normal en ecuador γa, poniendo
r = a y θ = 90º, obteniendo
⎡ 2 3
KM 3 15 ω a ⎤
γa
= ⎢1+
J2
− J4
− ⎥
(3.23)
2
a ⎢⎣
2 8 KM ⎥⎦
La fórmula (3.21) también se puede obtener a partir de la fórmula (3.22) y esto es lo que vamos a
realizar a continuación, definiendo también las cantidades γa, β y β1, que aparecen en la fórmula
(3.21), en función de constantes ya determinadas.
Para ello, escribiremos la ecuación (3.22) para puntos que estén situados sobre el elipsoide
de revolución (sobre la misma superficie de nivel de potencial U0). En este caso la distancia
geocéntrica r toma el valor dado por (apéndice II)
r =
a
1−
e
1−
e
2
2
cos
2
ψ
=
a
1−
e
2
2
1−
e sen
donde hemos tenido en cuenta que la distancia polar θ es igual a 90º - ψ. Para introducir esta
fórmula en la fórmula (3.22), necesitamos calcular r 2 y ponerlo como función de f y θ. Esto
podemos hacerlo si tenemos en cuenta la aproximación (3.11) para eliminar el denominador,
obteniendo
r
2
2
2
a ( 1−
e ) 2 2 2 2 2 2
2 2
=
≈ a ( 1−
e )( 1+
e sen θ)
= a ( 1−
2f
+ f )( 1+
( 2f
− f ) sen θ)
⇒
2 2
1−
e sen θ
2 2 2 2 2
r = a [ 1−
2f
cos θ + f ( 1−
5sen
θ)
] (3.24)
donde hemos usado las fórmulas (1.1) para eliminar la excentricidad e.
2
θ
11

También es necesario conocer las cantidades (a/r) 2 , (a/r) 4 y el término centrífugo, que
aparecen en la fórmula (3.22). Las cantidades (a/r) 2 y (a/r) 4 pueden hallarse mediante la fórmula
(3.24), usando la aproximación (3.11) para eliminar el denominador, obteniendo
2
a 2 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ r ⎠
= 1+
2f
cos
θ − f
( 1−
5sen
θ)
4
a 2 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ r ⎠
= 1+
4f
cos
θ − 2f
( 1−
5sen
θ)
(3.25)
El término centrífugo se calculará introduciendo la definición (3.10), con lo que podremos
escribirlo en la forma
2 3
2 2 3
3
2
ω r 2
2
2 r a 2
KM
sin
ω a br
θ = sin
2
KMa b
r
θ = msin
2
a b
⎛ r ⎞
θ = ⎜ ⎟
⎝ a ⎠
msin
a b
donde hay que notar que podemos emplear las fórmulas (3.13) y (3.24), para calcular los cocientes
(r/a) 2 , (r/a) y (a/b). Así, operando y eliminando órdenes de f 2 y superiores, obtenemos
[ 1+
f ( 1−
3cos
θ)
]
2 3
ω r 2 2
2
sin θ = msin
θ
KM
θ
(3.26)
Entonces, con las fórmulas (3.24), (3.25) y (3.26) introducidas en la fórmula (3.22),
podemos escribir el valor que toma la gravedad normal sobre el elipsoide mediante
2
2
[ 1−
3J
( 1+
2f
cos θ)
P (cosθ)
− 5J
P (cos θ)
− msin
θ(
1+
f ( 1−
3cos
θ))
]
KM 2
γ 0 =
2 2
2
4 4
r
donde r 2 puede ser sustituido por su valor (dado por la fórmula (3.24)) y eliminado del denominador
mediante la aproximación (3.11), para escribir γ 0 mediante
KM 2
2
2
γ 0 = [ 1−
3J2
( 1+
2f
cos θ)
P2
(cos θ)
− 5J4P4
(cos θ)
− msin
θ(
1+
f ( 1−
3cos
θ))
]×
2
a
2 2 2
[ 1+
2f
cos θ − f ( 1−
5sen
θ ] =
× )
KM
2
2
2
2
= [ 1−
3J2
( 1+
2f
cos θ)
P2
(cos θ)
− 5J4P4
(cos θ)
− m(
1−
cos θ)(
1+
f ( 1−
3cos
θ))
+ 2f
cos θ
2
a
2
2
− 6J
f cos θP
(cosθ)
− 2mf(
1−
cos θ)
cos θ − f ( 1−
5(
1−
cos θ))
(3.27)
2
2
donde P2 (cos θ) y P4 (cos θ) son los polinomios de Legendre dados por (Spiegel, 1988)
3 2 1
1 4 2
P2
(cosθ
) = cos θ − P4
(cosθ
) = ( 35cos
θ − 30cos
θ + 3)
2 2
8
Hay que notar que en la expresión (3.27) quedan todavía cantidades como J2, J4 y cos 2 θ, que
debemos obtener y simplificar, para que la ecuación (3.27) adopte una forma final similar a la
ecuación (3.21). Concretamente, observamos que en la fórmula (3.21) aparece la latitud geodésica φ
en lugar de la distancia polar θ. Esto significa que debe existir una relación entre ambas variables
que debemos encontrar e incorporar a la ecuación (3.27), para obtener γ0 como función de la latitud
geodésica φ y no de la distancia polar θ, como sucede ahora en (3.27). También observamos que en
la fórmula (3.21), aparece la gravedad normal en el ecuador γa como constante. Esto significa que
debemos calcular esta cantidad e introducirla en la fórmula (3.27), de manera adecuada, para llevar
la expresión (3.27) a una fórmula que tenga el mismo formato que la ecuación (3.21). En
consecuencia, debemos obtener las expresiones adecuadas de las cantidades γa, J2, J4 y cos 2 θ; para
introducirlas en la fórmula (3.27) y así llevar esta ecuación a una fórmula similar (3.21). Esto es lo
que vamos a realizar a continuación, considerando sólo los términos hasta el orden f 2 , pues la
contribución de los términos de orden superior puede considerarse despreciable (Torge, 1991).
2
2
2
]
12

Relación entre distancia polar θ y latitud geodésica φ. Para encontrar esta relación partimos de la
fórmula (1.4), en la que podemos introducir f usando las ecuaciones (1.1), teniendo
2
2
2
sin ψ 2 2 sin φ 4 sin φ
= ( 1−
e ) = ( 1−
f )
2
2
2
cos ψ cos φ cos φ
⇒
2
2
sin ψ
2 sin φ
= ( 1−
4f
+ 6f
)
2
2
1−
sin ψ
1−
sin φ
donde hemos despreciado órdenes mayores que f 2 al calcular (1−f) 4 . Operando con esta fórmula
para despejar el valor de sin 2 ψ obtendremos el valor de cos 2 θ, dado por la relación
cos
2
2
2 2 11 2 2
θ = sin ψ = ( 1−16f
) sin φ + ( f − f ) sin 2φ
2
(3.28)
donde hay que notar que aparece un término en sin 2 φ y otro término en sin 2 2φ, esto nos hace
comprender por qué aparecen en la fórmula (3.21) dos términos, uno con sin 2 φ y otro con sin 2 2φ.
Expresión de J2 y J4 en función de f y m. Para introducir los valores de J2 y J4 en la fórmula (3.27)
es necesario escribirlos como función de las cantidades f y m, pues en dicha fórmula todos los
términos que aparecen están en función de estas dos cantidades. Por ello, vamos aquí a expresar J2 y
J4 como función de f y m. Para ello, partimos de la fórmula (3.20) la cual nos da una expresión de f
= f (J2, m), de la que tenemos que llegar a una expresión J2 = J2 (f, m). Para conseguir este objetivo
vamos a despejar J2 de la fórmula (3.20), en la forma
3 9 15 1 3 2
f = J2(
+ J2
+ m)
+ m + m ⇒
2 8 28 2 56
1 3 2 1 3 2 2
f − m − m ( f − m − m )
J 2 56 2 56 3
2 =
=
3 9 15 3 5
+ J2
+ m 1+
J2
+ m
2 8 28 4 14
donde podemos utilizar la aproximación (3.11) para eliminar el denominador, teniendo
2 1
J 2 ≈ ( f − m
3 3
−
1 2 3 5
m )( 1−
J2
− m)
28 4 14
=
2
f
3
−
1
m
3
2 1 1 2 5 1 1 2 1 1 2
= f − m + m − mf + ( m − f ) J2
≈ f − m + m −
3 3 12 21 4 2 3 3 12
2 1 2 1 2
J2 f − m + mf − f
3 3 21 3
−
1 2 1 1 5
m − fJ2
+ mJ2
− mf
28 2 4 21
5
mf
21
+
5
42
2
m =
1 1 2 1
+ ( m − f )( f − m)
⇒
4 2 3 3
= (3.29)
La fórmula (3.29) también puede usarse para obtener el término J4, si la introducimos en la relación
(3.15), teniendo (Torge, 1991)
2 12 2 12 4 4 2
( 4f
− 20J
f ) = f − J f = mf f
3
J4 = 2
2 −
(3.30)
35
35 7 7 5
Gravedad normal en el ecuador γa en función de f y m. Para introducir el valor de γa en la fórmula
(3.27) es necesario escribirla como función de las cantidades f y m, pues en dicha fórmula todos los
términos que aparecen están en función de estas dos cantidades. Para expresar γa de esta forma,
partimos de la fórmula (3.23) en la cual introducimos el término centrífugo dado por (3.12)
multiplicado por 2, junto con los valores de J2 y J4 dados por las ecuaciones (3.29) y (3.30),
obteniendo
KM ⎡ 3 2 1 2 1 2 15 4 4 2
⎤
γ a =
⎢
1+
( f − m + mf − f ) − ( mf − f ) − ( m + mf )
⎣ 2 3 3 21 3 8 7 5
⎥
⇒
2
a
⎦
KM ⎡ 3 2 27 ⎤
γa =
⎢
1+
f − m + f − mf
⎣ 2 14 ⎥
(3.31)
2
a
⎦
13

Obtenidas ya todas las fórmulas necesarias, podemos ya escribir la ecuación (3.27), en la
que incorporamos la información dada por las ecuaciones (3.28), (3.29), (3.30) y (3.31), obteniendo
γ0 en la forma
2 2
γ 0 = γa
( 1+
βsin
φ + β1
sin 2φ)
donde la gravedad normal en el ecuador γa está dada por (3.31) y los valores de β y β1 vienen dados
por (Heiskanen y Moritz, 1985; Torge, 1991)
5 17 15 2 1 2 5
β = −f
+ m − mf + m β 1 = f − mf
(3.32)
2 14 4
8 8
Podemos obtener los valores numéricos de las cantidades γa, β y β1, a través de las ecuaciones
(3.31) y (3.32), introduciendo los valores de f y m anteriormente presentados, para escribir la
fórmula de la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia, en la forma (Torge, 1991)
2
2 2
γ 0 = 9. 780327 ( 1+
0.
0053024 sen φ − 0.
0000058 sen 2φ)
m/s
Esta fórmula es muy importante por su aplicación en diversos cálculos geodésicos, como pueden ser
el cálculo de anomalías de la gravedad o el cálculo de la ondulación del geoide. No obstante, para
ciertos cálculos geodésicos también es necesario conocer la primera y segunda derivadas de la
gravedad normal, referidas al elipsoide de revolución (es decir, con h = 0). Por ello, a continuación
vamos a ver cómo se pueden calcular estás derivadas, empleando para ello los datos y fórmulas que
hemos obtenido en este apartado.
Comenzaremos con la determinación de la primera derivada de la gravedad normal, que
puede ser obtenida mediante (apéndice VIII)
donde
1
ρ
M
⎛ ∂γ
⎞ 1 1 2
⎜ ⎟ = −γ0
( + ) − 2ω
⎝ ∂h
⎠0
ρM
ρN
2
2
( 1−
e sin φ)
=
2
a(
1−
e )
3/
2
1
ρ
N
2
2
( 1−
e sin φ)
=
a
1/
2
(3.33)
(3.34)
son los radios de curvatura principales (apéndice I), siendo ρM el radio de curvatura principal en la
dirección del meridiano y ρN el radio de curvatura principal en la dirección del paralelo (llamado
gran normal, normal principal o también primer vertical de Q).
Para llegar a una expresión sencilla de la primera derivada de la gravedad normal, en
función de las cantidades f y m, eliminaremos la excentricidad e de las fórmulas (3.34), poniendo f
en su lugar, es decir
2 2 3/
2
2 2 3/
2
1 ( 1−
e sin φ)
( 1−
( 2f
− f ) sin φ)
1 ⎡ 2 3 2 2 ⎤
=
=
≈
⎢
1−
f + 2f
− sin φ(
2f
+ 3f
)
ρ
2
2
⎣
⎥
M a(
1−
e ) a(
1+
f − 2f
) a
2
⎦
ρ
2 2 1/
2
2 2 1/
2
1 ( 1−
e φ)
φ)
2 2
N
=
sin
a
( 1−
( 2f
− f ) sin
=
a
1 ⎡ 1
≈
⎢
1−
sin
a ⎣ 2
donde podemos considerar f 2 y órdenes superiores despreciables, obteniendo
1 1
≈
ρM
a
2
[ 1+
2f
− 3f
sin φ]
1 1
≈
ρN
a
2 [ 1−
f sin φ]
φ(
2f
− f
⎤
)
⎥
⎦
14

Si ahora introducimos estas expresiones en la ecuación (3.33), junto con la aproximación m =
ω 2 a/γ0 (apéndice V), obtenemos la expresión (Heiskanen y Moritz, 1985; Torge, 1991)
⎛ ∂γ
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂h
⎠
0
= −γ
0
1
(
ρ
M
1
+ ) − 2ω
ρ
N
⎛ γ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂h
⎠
2
γ
≈ −
a
0
γ
= −2
a
2
2 γ
[ 1+
2f
− 3f
sin φ + 1−
f sin φ]
− 2
0
m
[ 1+
f + m − 2f
sin φ]
∂ 0
2
0
a
⇒
(3.35)
Para obtener la segunda derivada de la gravedad normal, dado que esta cantidad va a ser
muy pequeña, podemos realizar aproximaciones mucho más fuertes que en el caso anterior,
expresando γ0 en aproximación esférica y derivándolo respecto de a. Así obtenemos (Heiskanen y
Moritz, 1985; Kuroishi, 1995)
KM
γ 0 =
2
a
⇒
∂γ
∂γ
KM
≈ = −2
∂h
∂a
3
a
⇒
2
⎛ ⎞
⎜
∂ γ
⎟
⎜ 2
a ⎟
⎝ ∂ ⎠
0
KM γ
= 6 = 6
4
a a
0
2
(3.36)
Hay que notar que con las fórmulas (3.21), (3.35) y (3.36), podemos expresar el valor de la
gravedad normal para un punto P de latitud φ que se halle a una altura h (figura 1.1), no muy por
encima del elipsoide de revolución, mediante un desarrollo en serie en función de esta altura h, en
la forma (Heiskanen y Moritz, 1985)
γ(
φ,
h)
= γ
0
⎛ ∂γ
⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ∂h
⎠
0
2
1 ⎛ ⎞
⎜
∂ γ
h + ⎟
2 ⎜ 2 ⎟
⎝ ∂h
⎠
0
h
2
= γ
0
⎡ 2
⎢1−
( 1+
f + m − 2f
sin
⎣ a
2
3
φ)
h + h
2
a
Esta expresión puede resultar bastante útil para trabajos geodésicos sobre la superficie de la Tierra,
pues en este caso la altura h suele ser suficientemente pequeña (comparada con a), como para que
esta fórmula pueda aplicarse.
4. Líneas geodésicas del elipsoide de revolución
La determinación de las líneas geodésicas de una superficie, es un problema clásico de la
geodesia geométrica, pero no por ello es un problema que se haya quedado desfasado o anticuado.
Hay muchas aplicaciones científicas y técnicas en las que se necesita conocer las líneas geodésicas,
o la distancia entre dos puntos de la Tierra por el camino más corto sobre la superficie de la misma,
es decir, siguiendo la línea geodésica del elipsoide de revolución terrestre que une dichos puntos.
En consecuencia y debido a la gran importancia que todavía tiene la determinación de las líneas
geodésicas, vamos a dedicar este apartado a estudiar cómo se calculan estas líneas.
Para ello, debemos recordar que, según la geometría diferencial clásica, se denominan líneas
geodésicas a aquellas líneas trazadas sobre una superficie para las cuales la curvatura geodésica se
anula. La curvatura geodésica κg es una de las dos componentes que tiene el vector curvatura, este
vector puede expresarse como (Struik, 1955)
r r r r
κ = κn
= κn
N + κgT
donde n es el vector normal a la curva, N es el vector normal a la superficie y T es un vector
perpendicular a N y al vector tangente a la curva t. La curvatura geodésica podrá determinarse
como el producto vectorial de κ.T, donde hay que recordar que κ es la derivada del vector tangente
t con respecto al arco. Entonces, la curvatura geodésica se podrá determinar mediante
r r r r r r r r r r r r r
κ g = κ ⋅T
= t′
⋅T
= t′
⋅(
t × N)
= ( r′
′ , r′
, N)
= ( N,
r′
′ , r′
)
(4.1)
⎤
⎥
⎦
2
15

donde r es el vector de posición (apéndice I). Para obtener la curvatura geodésica κg mediante la
fórmula (4.1), debemos introducir las relaciones (apéndice I y apéndice III)
α α ′ = ′ u r r r r r r r
r r
r
r′
′ = rαβ
u′
αu′
β + rγ
u′
γ′
1 × r
N =
2
r r
(4.2)
r1
× r2
donde (α, β, γ) son índices varían entre (1, 2) y (u1, u2) son las coordenadas curvilíneas o curvas
coordenadas de la superficie (apéndice I). La derivada segunda de r respecto al arco, se puede
escribir de forma más simple como
si tenemos en cuenta que
r r r
r′
′ = rγ
cγ
+ Nc
(4.3)
γ
c γ = u′
γ′
+ Γ ′
αβu
αu′
β = bαβ
u′
αu′
β
c (4.4)
puesto que si introducimos las relaciones (4.4) en la fórmula (4.3), llegamos a la expresión de la
derivada segunda de r respecto al arco dada por (4.2), es decir
r r r r γ r
r r γ r
r ′ = r c + Nc
= r ( u′
′ + Γ u′
u′
) + N(
b u′
u′
) = r u′
′ + r Γ u′
u′
+ N(
b u′
u′
) =
′ γ γ γ γ αβ α β αβ α β γ γ γ αβ α β αβ α β
r r γ r
r
r γ r r r
= rγ
u′
γ′
+ rγΓαβu′
αu′
β + N(
bαβu′
αu′
β ) = rγ
u′
γ′
+ u′
αu′
β(
rγΓαβ
+ Nbαβ
) = rγ
u′
γ′
+ rαβu′
αu′
β
donde hemos utilizado que (apéndice XI)
r
r γ
= r Γ
r
+ Nb
αβ
γ
αβ
αβ
(ecuaciones de Gauss)
Cuando introducimos las relaciones (4.2), (4.3) y (4.4) en la fórmula (4.1), obtenemos el valor de la
curvatura geodésica en la forma (Cid y Ferrer, 1997)
r r r r r r r r r r r r r r r r
= ( N,
r′
′ , r′
) = ( N,
r c + Nc,
r u′
) = ( N,
r c , r u′
) + ( N,
Nc,
r u′
) = ( N,
r c , r u′
) =
κg γ γ ν ν γ γ ν ν
ν ν γ γ ν ν
r r r r r r r r r
= ( N,
r1
c1,
r2u′
2 ) + ( N,
r2c
2,
r1u1′
) = ( N,
r1,
r2
)( c1u′
2 − c2u1′
) = g(
c1u′
2 − c2u1′
)
Para las líneas geodésicas por definición κg tiene que ser cero. Esta condición se cumplirá siempre
que cγ sea igual a cero, es decir
γ
c γ = u′
γ′
+ Γ u′
αu′
αβ β = 0
(4.5)
Las ecuaciones (4.5) nos dan las condiciones que se tienen que cumplir para que una curva
cualquiera sea una línea geodésica. Por ello, a las ecuaciones (4.5) se les llama ecuaciones
diferenciales de las líneas geodésicas.
No obstante, hemos definido al principio de este apartado la línea geodésica, como la línea
trazada sobre una superficie que une dos puntos de dicha superficie, de tal forma que la distancia
medida sobre esta línea es la más pequeña, es decir, la geodésica es el trayecto de mínima distancia
entre dos puntos de una superficie. Entonces, a la vista de las ecuaciones (4.5) consecuencia de la
condición κg = 0, es difícil notar que esta propiedad se cumple. Para comprobar que esta propiedad
de la geodésica es cierta, recurrimos al cálculo de variaciones, buscando las curva C que resuelvan
el problema variacional dado por (Struik, 1955)
∫
δ( hds)
= 0 h(uν
, u′
ν,
s)
ν = 1,2
donde s denota el arco. Las curvas C que resuelvan este problema son las soluciones de las
ecuaciones de Euler-Lagrange, dadas por
16

En nuestro problema la cantidad h es
∂h
−
∂uν
d
ds
∂h
= 0
∂u′
ν
h = g u′
u′
Entonces calculando las derivadas de h según la ecuación (4.6), tenemos
∂h
∂u
ν
=
1 ∂g
2 ∂u
αβ
ν
u′
u′
α
β
αβ
∂h
= gναu′
α
∂u′
ν
α
β
d
ds
⎛ ∂h
⎞ ∂gνα
⎜
⎟ = u′
αu′
β + gναu′
α′
⎝ ∂u′
ν ⎠ ∂uβ
donde hemos omitido en las expresiones anteriores un término g αβ u′
αu′
β en el denominador,
porque al igualar a cero no va a jugar ningún papel. Aplicando ahora la ecuación (4.6) con las
derivadas de h obtenidas, tenemos
∂h
−
∂uν
d
ds
∂h
1 ∂gαβ
∂g
⎡1
∂g
∂g
⎤
= u′
u′
− να
αβ
u′
u′
− g u′
′ = ⎢ − να
α β α β να α
⎥u′
αu′
β − gναu′
α′
= 0
∂u′
ν 2 ∂uν
∂uβ
⎢⎣
2 ∂uν
∂uβ
⎥⎦
si introducimos en esta ecuación la relación
obtenemos finalmente que (apéndice XI)
∂g
⎡
να ∂gνβ
∂g
⎤
2 u′
να
αu′
β = ⎢ + ⎥u′
αu′
β
∂uβ
⎢⎣
∂uα
∂uβ
⎥⎦
∂h
−
∂uν
d
ds
∂h
=
∂u′
ν
[ αβ,
ν]
u′
u′
+ g u′
′ = 0
donde podemos multiplicar por g νγ y sumar respecto del índice ν, obteniendo de nuevo las
ecuaciones (4.5), si introduciendo la definición de símbolo de Christoffel de segunda especie
(apéndice XI) y operamos en la forma
α
β
να
[ , ] u′
u′
νγ
g g u′
′
γ
ν + = Γ u′
u′
+ u′
′ 0
νγ
g αβ α β να α αβ α β γ =
De esta forma hemos confirmado que las ecuaciones (4.5) son las ecuaciones diferenciales que hay
que integrar, para obtener la ecuación de las líneas geodésicas de una superficie, definidas también
como las líneas trazadas sobre una superficie, que cumplen la condición de ser los trayectos de
mínima distancia entre dos puntos de una superficie.
Si esta superficie es un elipsoide de revolución, en las ecuaciones (4.5) deberemos introducir
los valores de los símbolos de Christoffel de segunda especie que corresponden a esta superficie,
pues su valor nos permitirá particularizar las ecuaciones (4.5) para esta superficie. Para ello,
obtendremos en primer lugar los símbolos de Christoffel de primera especie (apéndices I y XI),
cuyo valor es (los que son igual a cero no son listados)
1 ∂g
2 ∂u
3 P e
2 W
[ 11,
1]
=
11
= sin 2φ
1
1 ∂g
2 ∂u1
[ 22,
1]
= −
22
= sin 2φ
1 ∂g
2 ∂u1
2
8
2
1 Pa
2 4
W
1 Pa
2 4
W
[ 12,
2]
= [ 21,
2]
=
22
= − sin 2φ
α
(4.6)
17

donde a es el semieje mayor del elipsoide, e es la excentricidad dada por las ecuaciones (1.1) y (P,
W) son las siguientes abreviaturas
2
2 2
P = a(
1−
e ) W = 1−
e sin φ
A continuación obtenemos los coeficientes g αβ (apéndices I y XI), cuyo valor es (los que son igual
a cero no son listados)
6
2
11 g22
W
22 g
g = =
=
11 W
g =
g 2
2 2
P
g a cos φ
Calculando finalmente los símbolos de Christoffel de segunda especie (apéndices I y XI), cuyo
valor es (los que son igual a cero no son listados)
1
11
Γ
= g
1ν
1 1ν
Γ22
= g
3 e
2 W
11 [ 11,
ν]
= g [ 11,
1]
= sin 2φ
11 [ 22,
ν]
= g [ 22,
1]
= sin 2φ
2
2
2
aW
2P
2 22
P
Γ12 = g
21 tan
2
aW
2 [ 12,
2]
= Γ = − φ
Con el valor de estos símbolos introducidos en las ecuaciones (4.5), procederemos a escribir las
ecuaciones diferenciales de las líneas geodésicas del elipsoide de revolución en la forma
1 1
u1 ′
+ Γ11u1′
u1′
+ Γ22u′
2u′
2 = 0
u′ 2
2 ′ + 2Γ12u1′
u′
2 = 0
cambiando (u1, u2) por sus valores (φ, λ) y poniendo el valor de los símbolos, tenemos
2
2
3 e
2 aW
2
2P
φ ′ + sin 2φ(
φ′ ) + sin 2φ(
λ′ ) = 0 λ ′
− tan φ(
φ′ λ′ ) = 0
2 2
W
2P
2
aW
Integrando la segunda ecuación obtenemos
d
ds
2P
dφ
λ′ = tan φ(
λ′ )
2
aW ds
⇒
dλ′
2P
⇒ = tan φdφ
λ′ 2
aW
⎛ 2 ⎞
⎜
W
ln λ′ − ln C = ln ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ cos φ ⎠
⇒
2 sin φ
⇒ ln λ′ = 2(
1−
e ) dφ
+ ln C ∫ 2
cosφW
2
CW
λ′ = ⇒
2
cos φ
2
cos φdλ
ds =
2
CW
Si ahora incorporamos aquí el valor del elemento de arco dado por la primera forma fundamental a
través de la ecuación (A1.4), tenemos (Cid y Ferrer, 1997)
⇒
2 2 2
2 2
2 a ( 1−
e ) 2 a cos φ 2
( ds)
=
(dφ)
+
(dλ)
2 2 3
2 2
( 1−
e sin φ)
( 1−
e sin φ)
2
4 2 2 4 2 2 6 C W
cos φ ( dλ)
= C W P ( dφ)
/ W +
2
W
2 2 2
a cos φ(
dλ)
⇒
d λ = ∫ ∫ W cos φ
± CPdφ
2 2 2 2
cos φ −C
a W
(4.7)
La integración de la ecuación (4.7) nos dará la ecuación de las líneas geodésicas del elipsoide de
revolución, escrita en la forma λ = λ(φ).
4
⇒
18

No obstante, hay que decir que la integración de la ecuación (4.7) no es nada fácil, aunque
no lo parezca debido a su sencilla apariencia. Se trata de una integral para obtener la geodésica en la
forma λ = λ(φ), que obviamente no es la forma más conveniente de esta curva, pues valores iguales
de la variable φ nos dan distintos valores de λ, es decir, la curva puede estar multivaluada en
algunos casos. Por ello, una expresión analítica de la geodésica en la forma λ = λ(φ), que sirva para
unir cualquier par de puntos del elipsoide, puede ser bastante difícil de obtener.
Debido a esta complejidad, puede ser muy útil simplificar el problema intentando conseguir
una solución numérica en lugar de una solución analítica. Para ello, escribimos la ecuación (4.7) en
la forma
dφ
= ±
dλ
Wcos
φ
2 −
cos φ
CP
Ahora notamos que la fórmula (4.8) expresa el valor de la derivada de la función φ = φ(λ), que
obviamente no puede ser tampoco integrada de forma analítica, pues está en función de φ y no de λ.
No obstante, la fórmula (4.8) nos permite hacer una estimación numérica de la geodésica escrita en
la forma φ = φ(λ), pues podemos plantear el procedimiento de cálculo aproximado, dado por
φ =
φ
0
⎛ dφ
⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ dλ
⎠
φ
0
dλ
C
2
a
2
W
⎛ dφ
⎞
⇒ φi
= φi−1
+ ⎜ ⎟ ( λi
− λi−1)
⎝ dλ
⎠
Para ejecutar este procedimiento numérico en un ordenador, conocemos los puntos inicial P1(φ1,λ1)
y final P2(φ2,λ2), que vamos a unir trazando la geodésica. Entonces, calculamos la geodésica que
une ambos puntos mediante la fórmula (4.9), siendo λi calculado mediante
2
φ
i−1
(4.8)
(4.9)
λ i = λ1
+ ( i −1)(
λ2
− λ1)
/( N −1)
(4.10)
donde i = 1, 2, …, N. Para i = 1 comenzamos dando el valor φi = φ1, obteniendo los restantes φi
mediante la fórmula (4.9), en la que incorporamos los valores de λi dados por (4.10) y calculamos la
derivada de φ respecto de λ mediante (4.8), evaluada en el valor de φ anterior. Cuando lleguemos al
último valor λN, tiene que cumplirse que
⎛ dφ
⎞
φN = φN−1
+ ⎜ ⎟ ( λN
− λN−1
⎝ dλ
⎠φ
N−1
) ≈ φ
Es decir, la latitud φ2 del punto P2, conocida como dato inicial, nos permite calcular el error
cometido en este proceso de cálculo aproximado, hallando la diferencia que hay entre el valor
calculado φN y el valor verdadero φ2 del punto P2. De esta forma, podemos establecer un muestreo
de valores N, tan grande como sea necesario para que la geodésica φi = φ( λi ), obtenida de forma
numérica, sea tan precisa como se quiera, puesto que para conseguir mayor precisión lo que
haremos será hacer más pequeño el intervalo ∆λ = λi − λi-1.
2
19

Apéndices
A1. Ecuaciones del elipsoide de revolución en coordenadas geodésicas
Tal como se ha dicho en el aparatado 1, para obtener las ecuaciones (1.3) partimos de las
ecuaciones
x = rcosλ y = rsinλ z = f(r) (A1.1)
Las ecuaciones (A1.1) son las ecuaciones paramétricas de una superficie de revolución (Struik,
1955), donde (r, λ) son las coordenadas curvilíneas de un punto cualquiera de dicha superficie
(Struik, 1955). Las curvas paramétricas con las curvas que se forman sobre una superficie cuando
alguno de las coordenadas curvilíneas es constante (Struik, 1955). Las curvas paramétricas r =
constante son los paralelos de una superficie de revolución, siendo las curvas paramétricas con λ =
constante sus meridianos (Struik, 1955). A las curvas paramétricas de una superficie se le llaman
también curvas coordenadas (Struik, 1955). En esta notación la variable λ coincide con la longitud
geodésica y varía desde 0 hasta 360º, siendo r = ρN cosφ (figura 1.1).
Si consideramos el elipsoide de revolución como un caso particular de figura de revolución,
tenemos que la curva f(r), que se rota alrededor del eje OB de la figura 1.1 para obtener el elipsoide
de revolución, se obtiene de la ecuación implícita de dicha superficie de revolución (Struik, 1955;
Torge, 1991)
2 2 2
x y z
+ + = 1
2 2 2
a a b
mediante la identificación del parámetro r en la forma x 2 + y 2 = r 2 , entonces operando tenemos
r
a
2
2
z
+
b
2
2
= 1
⇒
2
⎛ r ⎞
z = b 1−
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
obteniendo las ecuaciones (1.2), a partir de las cuales llegamos a las ecuaciones (1.3) sin más que
notar que r = ρN cosφ (figura 1.1), entonces
z = b
=
b
a
a
2
− ρ
2
⎛ r ⎞
1−
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
2
N
=
+ ρ
b
a
2
N
a
2
sin
− r
2
x = rcosλ = ρN cosφ cosλ
y = rsinλ = ρN cosφ sinλ
φ
2
=
b
a
a
2
− ρ
2
N
cos
2
φ =
b
a
a
2
− ρ
2
N
( 1−
sin
para simplificar la expresión de z podemos recurrir a la definición de ρN dada por (1.3), teniendo
que
ρ N =
a
2 2
1−
e sin φ
⇒
⇒
2
⎛ ρN
⎞ 1
⎜ ⎟ =
⎝ a ⎠
2 2
1−
e sin φ
⇒
2 2 2 2 2 2 2 2
ρ N(
1−
e sin φ)
= a = ρ N − e ρ N sin φ
2
φ)
2
2 2 a
1 e sin ⎟
N
⎟
⎛ ⎞
− φ = ⎜
⎝ ρ ⎠
20

ahora ponemos este valor de a en la ecuación anterior para z, teniendo
b
z =
a
2 2 2 2 b
a − ρN
+ ρN
sin φ =
a
2 2 2 2 2 2 2
ρN
− ρN
e sin φ − ρN
+ ρN
sin φ
b
=
a
2 2 2 2
ρN
sin φ(
1−
e ) = ( 1−
e ) ρN
sin φ
con lo que finalmente obtenemos las ecuaciones (1.3) en la forma
2
x = ρN
cosφ
cos λ y = ρN
cosφ
sin λ z = ( 1−
e ) ρN
sin φ
(A1.2)
donde sólo nos queda por encontrar qué es la cantidad
ρ N =
a
2 2
1−
e sin φ
(A1.3)
Para ello, debemos notar primero que las ecuaciones (A1.2) son las ecuaciones paramétricas del
elipsoide de revolución, de una forma análoga a las ecuaciones (A1.1), pero ahora hemos elegido
los parámetros (φ, λ) como coordenadas curvilíneas de un punto cualquiera Q de dicha superficie
(el elipsoide de revolución), en lugar de usar los parámetros (r, λ). En este caso, las curvas
paramétricas φ = constante serán los paralelos del elipsoide de revolución, siendo las curvas
paramétricas con λ = constante como antes, los meridianos (Cid y Ferrer, 1997). En esta notación
φ es la latitud geodésica y λ es la longitud geodésica (figura 1.1). Con estas nuevas coordenadas
curvilíneas (φ, λ) podemos escribir las primera y segunda formas fundamentales de la superficie
(que en este caso es un elipsoide de revolución) mediante las ecuaciones (Cid y Ferrer, 1997)
2 2 2
2 2
a ( 1−
e ) 2 a cos φ 2
I (dφ)
+
(dλ)
2 2 3
2 2
( 1−
e sin φ)
( 1−
e sin φ)
= (A1.4)
2
2
a(
1−
e ) 2 a cos φ 2
II (dφ)
+
(dλ)
2 2 3/
2
2 2 1/
2
( 1−
e sin φ)
( 1−
e sin φ)
= (A1.5)
donde I y II son la primera y segunda formas fundamentales, respectivamente.
La ecuación (A1.4) se obtiene a través de la definición de primera forma fundamental de una
superficie, dada por (Struik, 1955)
2 r r r r r r
2
2
I = ds = dr.
dr
= ( r du + r dv).(
r du + r dv)
= g ( du)
+ 2g
( du)(
dv)
+ g ( dv)
(A1.6)
1
2
1
2
donde ds es elemento de arco para una curva trazada sobre dicha superficie, siendo los gij dados por
las derivadas parciales (Struik, 1955)
r r
r r ∂r
∂r
g11 = r1.
r1
= .
∂u
∂u
r r
r r ∂r
∂r
g12 = r1.
r2
= .
∂u
∂v
r r
r r ∂r
∂r
g22 = r2.
r2
= .
(A1.7)
∂v
∂v
siendo
r = r(
u,
v)
= x(
u,
v)
i + y(
u,
v)
j+
z(
u,
v)
k
r r
(A1.8)
donde (i, j, k) son los vectores unitarios cartesianos que dan dirección y sentido a los ejes
cartesianos (x, y, z). Cuando aplicamos a la ecuación (A1.8) los valores de (x, y, z) dados por las
ecuaciones (A1.2) y (A1.3), podemos calcular los gij dados por las ecuaciones (A1.7), considerando
como coordenadas curvilíneas (u, v) las coordenadas geodésicas (φ, λ). Entonces, escribimos la
ecuación (A1.6) con los valores de gij obtenidos para las coordenadas curvilíneas (φ, λ), teniendo
como resultado las ecuaciones (A1.4). Donde hay que notar que g12 = 0, esto significa que las
curvas coordenadas son ortogonales entre sí, es decir, que los meridianos y paralelos del elipsoide
de revolución forman dos conjuntos de líneas ortogonales entre sí (Struik, 1955).
11
12
22
21

La ecuación (A1.5) se obtiene a través de la definición de segunda forma fundamental de
una superficie, dada por (Struik, 1955)
r r r r r r
2
2
II = −dr.
dN
= −(
r du + r dv).(
N du + N dv)
= b ( du)
+ 2b
( du)(
dv)
+ b ( dv)
(A1.9)
1
2
1
2
donde N es el vector unitario normal a la superficie y r está dado por (A1.8), siendo los bij dados
por las derivadas parciales (Struik, 1955)
r r
r
r r ∂r
∂N
r
r
r r
r ∂r
∂N
r r ∂r
∂N
b11 = −r1
. N1
= − . b12 = −r1
. N2
= − . b22 = −r2
. N2
= − . (A1.10)
∂u
∂u
∂u
∂v
∂v
∂v
donde para el vector N podemos usar la ecuación (apéndice III)
r
N = (cos φcos
λ,
cos φ sin λ,
sin φ)
Cuando aplicamos a la ecuación (A1.8) los valores de (x, y, z) dados por las ecuaciones (A1.2) y
(A1.3), podemos calcular los bij dados las ecuaciones (A1.10), considerando también las derivadas
parciales del vector N. Entonces, escribimos la ecuación (A1.9) con los valores de bij obtenidos
para las coordenadas curvilíneas (φ, λ), teniendo como resultado las ecuaciones (A1.5). Donde hay
que notar que b12 = 0, este resultado junto con g12 = 0 significa que las curvas coordenadas, que son
ortogonales entre sí, son además líneas de curvatura (Struik, 1955), es decir, que los meridianos y
paralelos del elipsoide de revolución forman dos conjuntos de líneas, que además de ser
ortogonales entre sí, son las líneas en las cuales la curvatura es principal. Este resultado proviene
de estudiar la razón que existe entre la primera y segunda formas, que por definición es la curvatura
normal κn, es decir (Struik, 1955)
r r
II − dr.
dN
κ n = = r r
(A1.11)
I dr.
dr
Cundo buscamos las direcciones tangentes a una curva para las cuales κn es máxima o mínima,
encontramos unas direcciones que se llaman direcciones de curvatura principal o direcciones
principales. A las curvas, o líneas sobre la superficie, que tienen estas direcciones se les denomina
líneas de curvatura. En estas líneas la curvatura normal κn es máxima o mínima, denominándose
curvatura principal a la curvatura normal κn en la dirección de una línea de curvatura (dirección
principal).
En el caso del elipsoide de revolución, por ser b12 = 0 y g12 = 0, las curvas coordenadas son
líneas de curvatura. Esto significa que la curvatura normal κn para los meridianos (dλ = 0) y los
paralelos (dφ = 0) es principal, pudiendo obtener los valores de κn mediante las fórmulas (A1.4),
(A1.5) y (A1.11), poniendo dλ = 0 para los meridianos y dφ = 0 para los paralelos. Estos valores
son (Cid y Ferrer, 1997)
κ
1
(dλ
=
0)
2
2
( 1−
e sin φ)
=
2
a(
1−
e )
3/
2
11
2
12
( 1−
e sin
κ2
=
a
(dφ
= 0)
2
φ)
1/
2
22
(A1.12)
Conocidas las curvaturas principales, podemos determinar los radios de curvatura principales, pues
éstos son sus inversos (Struik, 1955). Entonces, aplicando el teorema de Euler tenemos
2
2
2
2
κ n = κ1
cos A + κ2
sin A ⇒ ( 1/
R)
= ( 1/
ρ1)
cos A + ( 1/
ρ2
) sin A (A1.13)
donde R es el radio de curvatura de una sección normal de acimut A, medido este acimut respecto
al meridiano que pasa por ese mismo punto Q del elipsoide, por el que pasa el plano normal que
define esa curva. Una sección normal es la curva que se forma sobre el elipsoide, cuando lo
cortamos con un plano que contiene la dirección normal al elipsoide, en un punto Q de dicho
22

elipsoide. Este plano normal formará un ángulo A con el plano meridiano. El plano meridiano es el
plano normal (que también contiene la dirección normal al elipsoide en el mismo punto Q) que
forma la línea del meridiano cuando corta al elipsoide.
Cuando ponemos los valores A = 0 y A = 90º en la ecuación (A1.13) e introducimos los
valores de κ1 y κ2 dados por (A1.12), obtenemos los radios de curvatura normales para los
meridianos y paralelos (Torge, 1991)
a(
1−
e )
R = ρ1
= 1/
κ1
=
= ρ
2 2 3/
2 M
( 1−
e sin φ)
A = 0
(meridianos
dλ
=
0)
2
a
R = ρ2
= 1/
κ2
=
= ρ
2 2 1/
2 N
( 1−
e sin φ)
A =
90º
(paralelos dφ
=
donde ρN es la cantidad dada por la ecuación (A1.3), que tratábamos de identificar desde el
principio. Al radio de curvatura normal en la dirección de un paralelo se le llama gran normal,
normal principal o también primer vertical de Q (Torge, 1991).
El teorema de Euler (A1.13) es un resultado muy importante de la geometría diferencial
clásica, pues este teorema junto con el teorema de Meusnier, nos da toda la información respecto a
la curvatura, para cualquier curva de una superficie que pase por un punto cualquiera de dicha
superficie (Struik, 1955). El teorema de Meusnier nos dice que para cualquier curva de una
superficie se verifica que
κn = κ cosϕ
r = R cosϕ
(A1.14)
donde r = 1/κ es el radio de curvatura de la curva, R = 1/κn el radio de curvatura normal y ϕ es el
ángulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva. Lógicamente la
ecuación (A1.14) para los radios de curvatura, no podrá escribirse para las curvas asintóticas, pues
para estas curvas II = 0, entonces κn = 0 (Struik, 1955).
En el caso que nos ocupa, el elipsoide de revolución, podemos aplicar el teorema de
Meusnier a los paralelos y a los meridianos, pues ninguna de estas curvas es asintótica. Para los
paralelos tenemos (figura 1.1)
r = R cosϕ
= ρN
cosϕ
= ρN
cosφ
ya que, un paralelo es simplemente una circunferencia de radio r (el paralelo que pasa por un punto
Q cualquiera del elipsoide), entonces el ángulo ϕ que forma el vector normal a esta curva con el
vector normal a la superficie, es precisamente la latitud geodésica φ, siendo el radio de esta
circunferencia r el radio de curvatura de esta curva (Torge, 1991). Ahora podemos comprobar que
el radio de curvatura en el primer vertical ρN es la distancia NQ (figura 1.1), quedando
perfectamente identificada la cantidad dada por la ecuación (A1.3), tanto de forma numérica como
gráfica. Respecto a los meridianos, por estar formados por el corte de un plano normal con el
elipsoide, el ángulo que forman el vector normal a la superficie y el vector normal a la curva es
ϕ = 0. En consecuencia, según la ecuación (A1.14) el radio de curvatura de la curva y el radio de
curvatura normal son idénticos (Torge, 1991).
A2. Relación entre latitud geodésica y geocéntrica
Para hallar la relación que existe entre latitud geodésica φ y latitud geocéntrica ψ, debemos
observar en la figura 1.1 que cuando nos situamos en un punto Q del elipsoide y nos desplazamos
un pequeño incremento dr, pasamos a otro punto del elipsoide Q’ infinitamente próximo a Q pero
justo por debajo, es decir, dz es negativo. En consecuencia, cuando estudiemos el valor de dicha
pendiente, tendremos (Torge, 1991)
0)
23

− dz
1
= tan α = tan( 180 − 90º
−φ)
= tan( 90º
−φ)
= cot φ =
dr
tan φ
⇒
tan φ = −
donde podemos introducir el valor esta derivada a partir de las expresiones (1.1), despejando una
relación r = r(z) y derivando respecto de z, con lo que obtendríamos
2
2 2
⎛ z ⎞
dr a z a
r = a 1−
⎜ ⎟ ⇒ tan φ = − = = tan ψ
⎝ b ⎠
dz 2 2
b
r
b
dr
dz
2
b
2
⇒ tan ψ = tan φ = ( 1−
e ) tan φ
2
a
donde hemos utilizado de nuevo las expresiones (1.1) para encontrar el valor del cociente b/a. Así,
obtenemos finalmente la ecuación (1.4), la cual nos da la relación existente entre la latitud
geodésica φ y la latitud geocéntrica ψ, para cualquier punto Q de la superficie del elipsoide de
revolución. La relación (1.4) es muy importante por su gran utilidad, lo mismo que la expresión del
radio geocéntrico ρ (figura 1.1) en función de la latitud geocéntrica ψ, de un punto Q del elipsoide
de revolución, esta relación es (Rapp, 1971)
2
a 1−
e
ρ =
(A2.1)
2 2
1−
e cos ψ
Para demostrar la ecuación (A2.1) basta con observar la figura 1.1, notando enseguida que
r
a
2
2
z
+
b
2
2
= 1
ρ
2
⇒
2
2
2
2
r b + z a = a b ⇒
2
a b
=
2
2
( asinψ)
+ ( bcosψ)
2
2
2
⇒
2 2
2 2 2 2
( ρcosψ) b + ( ρsin
ψ)
a = a b ⇒
ρ =
2
( asinψ)
ab
+
2
( bcosψ)
entonces, habida cuenta de que b 2 = a 2 (1 − e 2 ) tenemos la ecuación (A2.1). Las expresiones (1.4) y
(A2.1) son muy importantes pues las coordenadas geocéntricas son las más usadas para escribir la
posición de un punto Q del elipsoide, en los desarrollos en serie del potencial gravitatorio terrestre
(Rapp, 1971; Kuroishi, 1995).
A3. Vector normal a la superficie del elipsoide de revolución
Para hallar la expresión del vector normal a la superficie elipsoide de revolución, dada por
(Cid y Ferrer, 1997)
r
N = (cos φcos
λ,
cos φ sin λ,
sin φ)
(A3.1)
obtendremos primero el valor del vector normal a una superficie, particularizando luego este
resultado al caso del elipsoide de revolución. Así, debemos recordar que el vector unitario normal a
una superficie se calcula mediante el producto vectorial (Struik, 1955)
r
r r r r
r r r r
N
1 × 2 1 × 2
2
= r r =
g = g11g22
− g 12
(A3.2)
r1
× r2
g
donde los vectores y los gij están dados por las relaciones (A1.7) y (A1.8). Si consideramos como
coordenadas curvilíneas (u, v) las coordenadas geodésicas (φ, λ), podemos aplicar a la ecuación
(A1.8) los valores de (x, y, z) dados por las ecuaciones (A1.2) y (A1.3), calculando los gij mediante
las ecuaciones (A1.7) y como consecuencia el producto vectorial (A3.2), obteniendo entonces como
resultado final la ecuación (A3.1).
24

A4. Transformación de coordenadas por rotación
Cuando realizamos el cálculo exacto de la matriz de rotación R de la fórmula (2.1), nos
damos cuenta de que la expresión (2.2) es sólo una aproximación válida cuando los ángulos (εx, εy,
εz) son suficientemente pequeños (Torge, 1991). En la práctica, suele ser siempre así, pues estos
ángulos tienen valores que nos superan unos pocos segundos de arco. Por ello, no se usa nunca la
transformación exacta en la que R es el producto de tres matrices (Doneddu, 1978; Spiegel, 1988),
que expresan tres rotaciones ortogonales consecutivas, cada una de ellas alrededor de uno de los
ejes cartesianos (x, y, z), con los ángulos (εx, εy, εz), es decir, que la expresión exacta de R es
(Leick, 1995)
donde cada matriz está dada por
R = R(εx)R(εy)R(εz) (A4.1)
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
R ( εx
) = ⎜ 0 cosε
x sin εx
⎟ ≈ ⎜ 0 1 εx
⎟
(A4.2)
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 − sin εx
cosε
x ⎠ ⎝ 0 − εx
1 ⎠
⎛ cosε
y 0 − sin εy
⎞ ⎛ 1 0 − εy
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
R ( εy
) = ⎜ 0 1 0 ⎟ ≈ ⎜ 0 1 0 ⎟
(A4.3)
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
sin εy
0 cosε
y ⎠ ⎝
εy
0 1
⎠
⎛ cosε
z sin εz
0⎞
⎛ 1 εz
0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
R ( εz
) = ⎜−
sin εz
cosε
z 0⎟
≈ ⎜−
εz
1 0 ⎟
(A4.4)
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 0 0 1 ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠
donde la aproximación del coseno del ángulo con valor 1 y del seno del ángulo con el ángulo, es
válida cuando dicho ángulo es muy pequeño, cosa que afortunadamente suele suceder siempre en
una transformación de cambio de dátum, pues como ya se ha dicho antes, los valores de los ángulos
nunca exceden unos pocos segundos de arco. En este caso, el producto de matrices indicado por
(A4.1), empleando las matrices aproximadas dadas por las expresiones (A4.2), (A4.3) y (A4.4),
dará como resultado la matriz R de la expresión (2.2), en la que hemos despreciado los términos en
ε 2 y potencias superiores (Hofmann-Wellenhof and Lichtenegger, 1994).
A5. Potencial centrífugo
Si queremos considerar en el elipsoide terrestre (o en la Tierra) un sistema de referencia con
los ejes fijos al mismo, debemos tener en cuenta la fuerza centrífuga. Esta fuerza de inercia es
introducida, como ya es bien sabido, para dar cuenta de la no inercialidad del sistema de referencia
elegido. Esta fuerza ficticia es la que da cuenta de que no estamos midiendo las fuerzas en un
sistema de referencia inercial. Por ello, necesitamos introducir fuerzas de este tipo, para dar cuenta
de los efectos que observamos asociados a la no inercialidad del sistema de referencia elegido. En
nuestro caso al medir la aceleración de gravedad debemos añadir un término aC, en la forma
γ = aG + aC
donde γ es la aceleración de la gravedad normal, aG es la parte debida a la gravitación y aC es la
parte debida a la fuerza centrífuga (la aceleración centrífuga). La aceleración centrífuga aC se
puede calcular desde el potencial centrífugo Φ, a través del operador gradiente (Torge, 1991)
25

1 2 2 2 1 2 2
Φ = ω ( x + y ) = ω r ⇒ aC
= grad(Φ) = ω
2
2
2 r
donde observando la figura 1.1, identificamos fácilmente las cantidades r y r, como
x = rcosλ y = rsinλ r 2 = x 2 + y 2 r = xi + yj
donde (i, j) son los vectores unitarios cartesianos que dan dirección y sentido a los ejes cartesianos
(x, y). Cuando aplicamos el operador gradiente al potencial normal U dado por la ecuación (3.1),
obtenemos la aceleración de la gravedad normal o simplemente la gravedad normal γ.
Llegados a este punto, es interesante estudiar el significado de la cantidad m definida como
2 2
ω a b
m = (A5.1)
KM
donde K constante de gravitación de Newton y M es la masa de la Tierra. Esta cantidad m definida
mediante la fórmula (A5.1), es una abreviatura muy utilizada en geodesia física, pues su valor es
muy pequeño, por ello, puede usarse muy bien en desarrollos en serie de potencias, que
convergerán para las primeras potencias de m, pues los términos correspondientes a potencias de
grado superior serán despreciables.
Entonces, dada la importancia de esta cantidad en futuros desarrollos, es conveniente
estudiar aquí qué significado tiene. Para ello, debemos notar que la aceleración centrífuga aC
definida antes, tendrá un valor de ω 2 a (en módulo) cuando la calculemos en el ecuador. Para éste
mismo lugar, el valor en modulo de la gravedad normal será
γ = grad(
U)
(A5.2)
donde podemos utilizar la fórmula (3.2) para obtener el valor de U. No obstante, si aproximamos la
fórmula (3.2) en la forma
KM
U =
r
cuando la introducimos en la fórmula (A5.2) y ponemos r = a (en el ecuador), tenemos
KM
γ a =
2
a
con lo que podemos escribir la fórmula (A5.1) en función de la aceleración centrífuga y la gravedad
normal (ambas calculadas en el ecuador), mediante (Heiskanen y Moritz, 1985)
2
ω a
=
γ
a
2
( ω a)
KM / a
2
2
2
ω a a ω a b
= ≈ = m
KM KM
Por lo tanto, concluimos que la cantidad m definida por la fórmula (A5.1) es aproximadamente la
razón que existe entre la aceleración centrífuga y la gravedad normal, cuando ambas son calculadas
en el ecuador. Éste es el significado físico (aproximado) que tiene la cantidad m que hemos
definido.
A6. Potencial de la gravedad normal en armónicos esféricos
La ecuaciones (3.2) y (3.3) son importantes relaciones, de las cuales vamos a obtener mucha
información sobre el campo de gravedad normal. Por ello, es importante obtenerlas a partir del
concepto de potencial de la gravedad normal, indicando cómo llegamos al desarrollo en armónicos
esféricos dado por la fórmula (3.2), cuyos coeficientes constantes están dados por la fórmula (3.3).
2
2
26

Para obtener estas importantes fórmulas, comenzaremos escribiendo en armónicos
elipsóidicos el potencial gravitatorio V de la gravedad normal, pues estos armónicos son los más
convenientes para describir esta función V, puesto que nos permitirán llegar a una expresión muy
sencilla y compacta para este potencial. Con estos armónicos podemos escribir V en la forma
(Heiskanen y Moritz, 1985)
u
Qn
( i )
V( u,
β) =
E ∑ A P (sin )
b n n β
n 0 Qn
( i )
E
∞
(A6.1)
=
donde An son los coeficientes constantes de este desarrollo, Pn son los polinomios de Legendre, Qn
son las funciones de Legendre de segunda clase (términos zonales), E 2 = a 2 – b 2 (a y b
representados en la figura 1.1), β es la latitud reducida (apéndice IX) y u viene definido a través de
las coordenadas elipsóidicas
x =
y =
z =
u
u
2
2
u cos
+ E
+ E
θ
2
2
, ,
sin θ cosλ
sin θ sin λ
θ + β =
El potencial centrífugo también podrá ser escrito en las coordenadas (A6.2), mediante
1
Φ = ω
2
2
( x
2
+ y
2
1
) = ω
2
2
( u
2
90º
+ E
2
) cos
Por lo tanto, el potencial de la gravedad normal U(u,β) se escribirá en la forma
2
β
(A6.2)
β = ∑ β + ω + β
∞ u
Qn
( i )
1 2 2 2 2
U ( u,
)
E
An
Pn
(sin ) ( u E ) cos
(A6.3)
b
2
n= 0 Qn
( i )
E
Para obtener el valor de los coeficientes constantes An de este desarrollo, vamos a estudiar el valor
del potencial U(u,β) sobre el elipsoide de referencia, es decir, vamos a estudiar la superficie
equipotencial U(u,β) = U0. En este caso, a partir de las ecuaciones (1.1) y (A6.2) podemos escribir
x
2
+ y
a
2
2
z
+
b
2
2
= 1
2
2
2
( u + E ) cos β u sin β
⇒ + = 1
2
2
a
b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( u + ( a − b )) b cos β + a u sin β = a b = u ( a sin β + b cos β)
+ ( a − b ) b cos β
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 a b + ( b − a ) b cos β a b + ( b − a ) b cos β b ( a + ( b − a ) cos β)
2
⇒ u =
=
=
= b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a sin β + b cos β a ( 1−
cos β)
+ b cos β a + ( b − a ) cos β
En consecuencia, sobre el elipsoide de referencia considerado como superficie de nivel, tenemos
que u = b, por consiguiente la ecuación (A6.3) viene a ser
1 2 2 2 2
∑ A nPn
(sinβ)
+ ω ( b + E ) cos β = U0
2
n 0
∞
=
Esta ecuación puede simplificarse más todavía si tenemos en cuenta que
2 2 2 2 2 2 2 2
+ E = b + a − b a cos β = ( 1−
P2
(sinβ))
3
b =
2
2
⇒
27

con lo que obtenemos la relación
1 2 2 1 2 2
∑ An Pn
(sinβ)
+ ω a − ω a P2
(sin β)
− U0
= 0
3 3
n 0
∞
=
que tiene que cumplirse para todos los valores posibles del ángulo β, esto significa que cada
cantidad que multiplica un término Pn(sin β) de este desarrollo, tiene que ser cero. Es decir, tiene
que cumplirse que
1 2 2
1 2 2
A0 + ω a − U0
= 0 ,, A1 = 0 ,, A2
− ω a = 0 ,, An = 0 con n = 3, 4, ...
3
3
Entonces, si llevamos los valores de estos coeficientes An a la ecuación (A6.3), obtenemos el valor
del potencial gravitatorio de la gravedad normal en la forma
u
u
Q ( i ) Q ( i )
1 0 1 2
2 2 E 2 2
( u,
β ) = ( U
a
E
0 − ω a ) + ω
P (sinβ)
(A6.4)
3
b 3 b
Q0(
i ) Q2
( i )
E
E
V 2
Hay que notar que en este desarrollo de armónicos elipsóidicos, el potencial V queda reducido sólo
a dos términos, frente a los infinitos términos que puede tener el desarrollo en serie de armónicos
esféricos para este mismo potencial. Vemos ahora por qué hemos elegido este tipo de desarrollo
menos conocido, en lugar del típico desarrollo en serie de armónicos esféricos, que se utiliza
habitualmente.
Ahora tenemos que ser capaces de obtener los valores de los coeficientes del desarrollo en
serie de armónicos esféricos, dados por la ecuación (3.3), a partir de la fórmula (A6.4). Para ello,
vamos a poner en la fórmula (A6.4) el valor de las funciones de Legendre de segunda clase Q0 y
Q2, dadas por (Heiskanen y Moritz, 1985)
⎛ u ⎞ −1⎛
E ⎞
Q0
⎜i
⎟ = −i
tan ⎜ ⎟
⎝ E ⎠ ⎝ u ⎠
2
⎛ u ⎞ i ⎡⎛
u ⎞ E u ⎤
1
Q2
i ⎢⎜
⎛ ⎞
1 3 ⎟ − ⎛ ⎞
⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ tan ⎜ ⎟ − 3 ⎥ = iq
⎝ E ⎠ 2 ⎢⎜
E ⎟ u E
⎣⎝
⎝ ⎠ ⎠
⎝ ⎠ ⎥
⎦
con lo que (A6.4) pasa a ser
−1⎛
E ⎞
tan ⎜ ⎟
1 2 2 u 1 2 2 q
V( u,
β)
= ( U0
− ω a )
⎝ ⎠
+ ω a P2
(sinβ)
3
−1⎛
E ⎞ 3 q
tan
0
⎜ ⎟
⎝ b ⎠
(A6.5)
donde podemos simplificar más todavía el primer término del potencial, sabiendo que para grandes
valores de u
E E
tan
u u
1 − ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ≈
⎝ ⎠
si además despejamos u como función de r usando las ecuaciones (A6.2), tenemos
2 2 2 2 2 2 2
r = x + y + z = u + E cos β
notando que para grandes valores de u tenemos grandes valores de r, pudiendo escribir que
28

1 1
≈
u r
⇒
E
tan
u
1 − ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ≈
⎝ ⎠
Con lo que el primer término de (A6.5) puede escribirse como
( U
0
1 2
− ω a
3
2
tan
)
tan
−1
−1
⎛ E ⎞
⎜ ⎟
⎝ u ⎠
≈ ( U
⎛ E ⎞
⎜ ⎟
⎝ b ⎠
0
E
r
1 2
− ω a
3
2
E / r
)
−1⎛
E ⎞
tan ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
Ahora, hay que notar que este término se corresponde con el término de grado cero del desarrollo
del potencial gravitatorio en armónicos esféricos, es decir, tenemos que
1 2 2 E / r KM
( U0
− ω a ) =
3
−1⎛
E ⎞ r
tan ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
⇒
1 2 2 1 KM
( U0
− ω a ) =
3
−1⎛
E ⎞ E
tan ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
Por lo que es posible escribir (A6.5) en una forma mucho más sencilla, dada por
KM −1⎛
E ⎞ 1 2 2 q
V( u,
β)
= tan ⎜ ⎟ + ω a P2
(sinβ)
E ⎝ u ⎠ 3 q0
(A6.6)
A partir de esta fórmula, mucho más sencilla que la expresión (A6.4), podemos tratar de
obtener los valores de los coeficientes del desarrollo en serie de armónicos esféricos, dados por la
ecuación (3.3). Para ello, vamos a poner en la fórmula (A6.6) los desarrollos en serie de potencias
de los términos que dependen de u. Comenzaremos con el término tan −1 (E/u), que puede escribirse
a través de un desarrollo en serie de potencias como
tan
−1
⎛ E ⎞ E 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞
⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ...
⎝ u ⎠ u 3 ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠
Esta serie puede ser introducida en la fórmula que nos da el valor de q, obteniendo entonces el
desarrollo en serie de q, en la forma
1 ⎡⎛
⎢⎜
⎛ u ⎞
q = 1+
3⎜
⎟
2 ⎢⎜
⎣⎝
⎝ E ⎠
2
⎞
⎟ tan
⎟
⎠
−1
3
⎤ ⎡⎛
2 ⎞⎛
3 5
⎛ E ⎞ u 1
⎞ ⎤
⎢⎜
⎛ u ⎞ ⎟⎜
E 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞
− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎟ u
⎜ ⎟ − 3 ⎥ = 1+
3⎜
⎟
... − 3 ⎥ =
⎝ u ⎠ E⎥
2 ⎢⎜
⎟⎜
⎟
⎦ ⎣⎝
⎝ E ⎠ u 3
⎠⎝
⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ E
⎠
⎥
⎦
⎡
3 5 2⎛
3 5
1 E u 1
⎞⎤
⎢
⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ ⎛ u ⎞ ⎜ E 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞
= − 3 − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... + 3⎜
⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... ⎟⎥
=
2 ⎢ u E 3
⎜
⎟
⎣
⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ ⎝ E ⎠ u 3
⎝
⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ ⎠
⎥
⎦
3
5
1 ⎡E
u 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ u E 3 ⎛ E ⎞ ⎤ 1 ⎡ 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ 3 ⎛ E ⎞ ⎤
= ⎢ − 3 − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... + 3 − + ⎜ ⎟ ... ⎥ = ⎢−
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... + ⎜ ⎟ ... ⎥ =
2 ⎢ u E 3
⎣
⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ E u 5 ⎝ u ⎠ ⎥ 2
⎦ ⎢ 3
⎣
⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ ⎥⎦
3
1 ⎡9
− 5 ⎛ E ⎞ 8 ⎛ E ⎞ ⎤
= ⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ... ⎥
2 ⎢ 3×
5 ×
⎣
⎝ u ⎠ 5 7 ⎝ u ⎠ ⎥⎦
5
⇒
3
3
5
⎡ 1 ⎛ E ⎞ 2 ⎛ E ⎞ 3 ⎛ E ⎞ ⎤
q = 2⎢
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... ⎥
⎢3×
5 × ×
⎣
⎝ u ⎠ 5 7 ⎝ u ⎠ 7 9 ⎝ u ⎠ ⎥⎦
Estos desarrollos en serie de potencias obtenidos para q y tan −1 (E/u), pueden escribirse de forma
más compacta como (Heiskanen y Moritz, 1985)
−1⎛
E ⎞
tan ⎜ ⎟ =
⎝ u ⎠
E
u
∞
2n+
1
n 1 ⎛ E ⎞
+ ∑ ( −1)
⎜ ⎟
2n
+ 1⎝
u ⎠
n=
1
3
5
5
7
3
29

∞
−1⎛
E ⎞
n
tan ⎜ ⎟ = − ( −1)
⎝ u ⎠ ∑ ( 2n
n=
1
+
2n
1)(
2n
2n+
1
⎛ E ⎞
⎜ ⎟
+ 3)
⎝ u ⎠
Con lo que finalmente podemos llegar a una expresión de V(u, β), que podamos comparar con un
desarrollo en armónicos esféricos, para poder identificar los coeficientes dados por (3.3). Esta
expresión será la ecuación (A6.6), en la que hemos incluido los desarrollos en serie de potencias
recién obtenidos, pudiendo escribir
∞
∑
2n+
1
KM
n KM ⎛ E ⎞ ⎡ me'
2n
⎤
V( u,
β)
= + ( −1)
⎜ ⎟ ⎢1−
P2
(sinβ)
⎥
u
( 2n
+ 1)
E⎝
u ⎠ ⎣ 3q0
2n
+ 3 ⎦
n=
1
donde hemos puesto e’ = E/b y hemos introducido la cantidad m dada por la ecuación (3.10).
(A6.7)
Si ahora comparamos la fórmula (A6.7) con un desarrollo en serie de armónicos esféricos
del potencial gravitatorio, dado por
∑ ∞
n=
1
KM A
V ( r,
θ)
= +
2n
P θ
2n+
1 2n
(cos )
(A6.8)
r r
Notamos que para puntos sobre el eje de rotación y fuera del elipsoide, tenemos que u = r, puesto
que β = 90º y θ = 0º. Entonces, la ecuación (A6.7) viene a ser
∞
2n
KM
n KME ⎡ 2n
me'
⎤ 1
V = + ( 1)
1
r ∑ −
⎢ − ⎥
( 2n
+ 1)
2n
3 3q
2n+
1
⎣ + 0 ⎦ r
n=
1
con lo que identificamos los coeficientes A2n en la forma
2n
n KME ⎛ 2n
me'
⎞
A 2n
= ( −1)
⎜
⎜1−
⎟
(A6.9)
( 2n
+ 1)
⎝ 2n
+ 3 3q0
⎠
Está fórmula ya es el resultado buscado, sólo nos queda realizar un poco de trabajo adicional para
llevarla a la forma que tiene la ecuación (3.3). Para empezar, debemos recordar que el coeficiente
de grado 2 del desarrollo en armónicos esféricos es (apéndice X)
A2 = K(A−C)
donde A es el momento de inercia respecto de un eje cualquiera contenido en el plano ecuatorial,
siendo C el momento de inercia respecto del eje de rotación del elipsoide. Entonces el coeficiente
de grado 2 dado por (A6.9) debe ser
A
2
1
= − KME
3
2
⎛
⎜
⎜1−
⎝
2
5
que llevado a la fórmula (A6.9) nos da
A
2n
= ( −1)
A
2n
n
me'
3q
0
2n
⎞
⎟ =
⎠
K(
A
− C)
⇒
me' 5 15 ( C − A)
= −
3q
2
0 2 2 ME
KME ⎛ 2n
⎛ 5 15 ( C − A)
⎞⎞
⎜
⎜1−
⎜ − ⎟
⎟
( 2n
+ 1)
⎝ 2n
+ 3
2
⎝ 2 2 ME ⎠⎠
= ( −1)
n
2n
3KME
⎛ C − A ⎞
⎜1−
n + 5n
⎟
( 2n
+ 1)(
2n
+ 3)
2
⎝ ME ⎠
⇒
30

Con lo que el desarrollo del potencial gravitatorio en armónicos esféricos dado por (A6.8) queda en
la forma
V ( r,
θ)
=
KM
r
+
∑ ∞
n=
1
⎡
n
⎢(
−1)
⎢⎣
2n
3KME
⎛ C − A ⎞⎤
P θ
⎜ − + ⎟
2n
(cos )
1 n 5n
⎥
( 2n
+ 1)(
2n
+ 3)
2 2n+
1
⎝ ME ⎠⎥⎦
r
Esta expresión puede escribirse en la forma más habitual dada por la ecuación (3.2), cuando
identificamos los J2n en la forma
J
2n
= ( −1)
n+
1
2n
3e
⎛ C − A ⎞
⎜1−
n + 5n
⎟
( 2n
+ 1)(
2n
+ 3)
2
⎝ ME ⎠
donde hemos introducido e = E/a. Vemos inmediatamente que esta fórmula es la ecuación (3.3), que
hemos tratado de encontrar a lo largo de todo este apéndice. Por lo tanto, el objetivo ha sido
logrado. Hemos obtenido las ecuaciones (3.2) y (3.3) a partir del concepto de potencial de la
gravedad normal.
A7. Curvatura de una curva plana
Cualquier curva C, en el espacio tridimensional, se puede definir a través de sus ecuaciones
paramétricas en la forma (Struik, 1955)
x = x(u) y = y(u) z = z(u) (A7.1)
donde u es el parámetro que actúa como variable independiente. Para esta curva se define su
curvatura mediante la fórmula (Struik, 1955)
2 ( r r)
( r &r& )
3
( r&r
r&r
)
r & &r r &r
× ⋅ ×
κ =
(A7.2)
⋅
donde
r
2
r
dr
r ( u)
= ( x(
u),
y(
u),
z(
u))
r&r
dr&r
r
d r
= &r& du du 2
du
r
= =
Entonces, si consideramos una curva plana, poniendo por ejemplo y = 0, las ecuaciones (A7.1)
vienen a ser
x = x y = 0 z = z(x) (A7.3)
donde hemos elegido como parámetro u la variable x. Si calculamos ahora las cantidades que
vienen en la fórmula (A7.2), para esta curva plana definida por las ecuaciones (A7.3), tenemos
r
dr
r &r
= = ( 1,
0,
z′
)
du
dr
r = = ( 0,
0,
z′
′ )
du
&r
& r
dz
z ′ =
dx
2
d z
z ′
=
2
dx
2
r ⋅ r = ( 1,
0,
z′
) ⋅ ( 1,
0,
z′
) = 1+
z′
&r &r
r &r& )
i
1
)
j
0
)
k
z
)
z j
r &r
× =
′ = ′
que introducidas en la fórmula (A7.2) nos dan la expresión de la curvatura de una curva plana, en la
forma
2
2 ( r × r)
⋅ ( r × &r& ) z′
′
κ =
=
3
2 3
( r&r
⋅ r&r
) ( 1+
z′
)
r & &r r &r
⇒
z′
′
κ =
2 3/
2
( 1+
z′
)
0
0
z′
′
31

A8. Componente vertical del gradiente de la gravedad
La ecuación (3.33) es una importante relación entre el gradiente de la gravedad y la
curvatura de las superficies de nivel (o superficies equipotenciales). Para obtener esta fórmula
comenzamos considerando un punto Q sobre el elipsoide de revolución (figura 1.1), considerando
este elipsoide (en este contexto) como la superficie equipotencial U(x, y, z) = U0. Si tomamos un
sistema de coordenadas local en este punto Q, cuyo eje z está en la dirección perpendicular a la
superficie del elipsoide en este punto (en figura 1.1 es la dirección en la que medimos h),
considerando y = 0, formamos una sección normal en la dirección del eje x (apéndice I). Esta curva
z = z(x) será una curva plana contenida completamente en el plano ZX, cuya curvatura se podrá
obtener mediante la fórmula (apéndice VII)
z′
′
κ =
2 3/
2
( 1+
z′
)
donde
2
dz
z ′ =
dx
En este caso, por ser la curva z = z(x) tangente en el punto Q al eje x (por definición), sucederá que
z´ = 0. Entonces tendremos que
2
z ′
=
d
dx
z
2
d z
κ =
(A8.1)
2
dx
Por otra parte, si obtenemos la diferencial de U y la evaluamos en la superficie equipotencial
U(x, y, z) = U0, podremos poner que dU = 0 (por definición de superficie equipotencial), teniendo
que (Heiskanen y Moritz, 1985)
∂U
∂U
∂U
∂U
dz
dU = dx + dz = dx + dx = Ux
dx + Uz
∂x
∂z
∂x
∂z
dx
si volvemos a diferenciar tenemos
U
xx
+ U
xz
dz
+ U
dx
zx
dz
+ U
dx
zz
⎛ dz ⎞
⎜ ⎟
⎝ dx ⎠
2
+ U
z
2
d z
= U
2
dx
xx
dz
dx = 0
dx
+ 2U
xz
dz
+ U
dx
dz
⇒ Ux + Uz
= 0
dx
zz
⎛ dz ⎞
⎜ ⎟
⎝ dx ⎠
2
+ U
z
2
d z
= 0
2
dx
pero hay que recordar que z´ = 0. Por tanto, podemos escribir una relación entre la curvatura κ y las
derivadas parciales de U, introduciendo la relación (A8.1), es decir
U
xx
+ U
z
2
d z
= 0
2
dx
2
U
⇒
xx d z
− = = κ
2 x
Uz
dx
Por otra parte, si z es el eje vertical en la dirección en la que medimos h, notamos que
U z
∂U
∂U
= =
∂z
∂h
= −γ
En consecuencia, podemos obtener la relación
U
κ = −
xx U
=
xx
x
Uz
γ
Obviamente, podríamos haber planteado el mismo razonamiento para un plano de corte x = 0,
teniendo en ese caso y de forma totalmente análoga, la expresión
κ
y
U
=
γ
yy
32

Finalmente, si recordamos que para el elipsoide de revolución, considerado como una superficie
equipotencial, se cumple que su potencial gravitatorio satisface la ecuación diferencial de Laplace,
en el espacio exterior al elipsoide de semieje mayor a y aplanamiento f, pues este elipsoide contiene
en su interior toda la masa atrayente M de la Tierra (por definición), no quedando fuera del mismo
masas atrayentes que impidan que se verifique dicha ecuación diferencial (Heiskanen y Moritz,
1985; Torge, 1991). Entonces, podemos escribir que
2
∂γ
2ω = ∆U
= Uxx
+ Uyy
+ Uzz
= γκx
+ γκy
−
∂z
∂γ
2
= γ(
κx
+ κy
) − 2ω
∂z
⇒
(A8.2)
donde podemos considerar las direcciones de los ejes x e y, en las direcciones del paralelo y del
meridiano que pasan por el punto Q, teniendo entonces que κx y κy son las curvaturas principales κ1
y κ2, salvo un signo, siendo sus inversos los radios principales de curvatura (apéndice I)
1
ρ
M
2
2
( 1−
e sin φ)
=
2
a(
1−
e )
3/
2
1
ρ
N
2
2
( 1−
e sin φ)
=
a
1/
2
(A8.3)
donde ρM es el radio de curvatura principal en la dirección del meridiano y ρN el radio de curvatura
principal en la dirección del paralelo (llamado gran normal, normal principal o también primer
vertical de Q). Con lo que podemos llegar a la expresión buscada para la componente vertical del
gradiente de la gravedad, con sólo introducir los valores dados por (A8.3) en la ecuación (A8.2),
teniendo
⎛ ∂γ
⎞ 1 1 2
⎜ ⎟ = −γ0
( + ) − 2ω
⎝ ∂h
⎠0
ρM
ρN
A9. Relación entre latitud geodésica y geocéntrica
Para hallar la relación que existe entre latitud geodésica φ y latitud reducida β, debemos
observar en la figura A9.1 que el punto Q del elipsoide es proyectado verticalmente hasta un punto
Q’, sobre la circunferencia de radio a que corta los ejes (x, z) en los puntos (A, B’).
B’
B
b
O
N
r
ψ
β
φ
Q’
A’
Fig. A9.1. Relación entre latitud
geodésica φ, geocéntrica ψ y
reducida β.
Q
a
A
Como podemos ver en esta figura, β es el ángulo que se
forma entre el vector de posición geocéntrico de Q’ y el eje x
(Torge, 1991). En consecuencia, si escribimos las coordenadas
del punto Q’ tenemos
x = a cos β z = a sin β
donde hay que notar que x = ρ cos ψ (inspeccionando las
figuras A9.1 y 1.1). Por otra parte, notamos que
OA’ 2 + A’Q’ 2 = a 2 (A9.1)
Además, por ser Q un punto de la elipse meridiana, se verifica
que
OA′
a
2
2
+
A'
b
Q
2
2
= 1
Si ahora introducimos este valor de a 2 en la ecuación (A9.1), tenemos
2
2 ⎛ a ⎞ 2 2 2
b
O A′
+ ⎜ ⎟ A'Q
= OA′
+ A′
Q′
⇒ A 'Q
= A′
Q′
⎝ b ⎠
a
⇒
2 a ⎞ 2
O A′
⎛
+ ⎜ ⎟ A'Q
= a
⎝ b ⎠
2
2
33

Con lo que podemos calcular la relación que existe entre los ángulos ψ y β, mediante
A′
Q b A′
Q′
b a sinβ
b
tan ψ = = = = tanβ
OA′
a OA′
a a cosβ
a
de donde podemos obtener una relación entre las latitudes geodésica φ y reducida β, introduciendo
en esta ecuación la fórmula (1.4), teniendo finalmente que (Torge, 1991)
a a ⎛ b ⎞ b
tanβ
= tan ψ = ⎜ ⎟ tan φ = tan φ
b b ⎝ a ⎠ a
A10. Armónico de grado 2 y momentos de inercia
En el apéndice VI hemos utilizado la relación que tiene el coeficiente de segundo grado, del
desarrollo en armónicos esféricos del potencial gravitatorio, con los momentos de inercia A y C, a
través de la fórmula
A2 = K(A−C) (A10.1)
donde A es el momento de inercia respecto de un eje cualquiera contenido en el plano ecuatorial,
siendo C el momento de inercia respecto del eje de rotación del elipsoide. La fórmula (A10.1) es
una importante relación que vamos a demostrar aquí. Para ello, comenzaremos escribiendo el valor
del potencial gravitatorio que crea una masa M, en un punto P fuera de ella, tal como se indica en la
figura A10.1, este potencial gravitatorio tendrá una expresión general bien conocida, dada por la
integral (Heiskanen y Moritz, 1985)
V ( r,
θ,
λ)
= K
∫∫∫
M
dM
l
2
2 2 2
l = r + r'
−2rr'
cos ψ
donde l es la distancia que hay entre el punto P’(r’,θ’,λ’) (en el que se halla la masa atrayente dM) y
el punto P’(r’,θ’,λ’) (en el que se calcula el potencial V). El ángulo ψ es el ángulo que forman los
vectores de posición de los puntos P y P’.
Fig. A10.1. Relación entre el
ángulo ψ y los ángulos (θ, λ), de
las coordenadas esféricas de los
puntos P(r,θ,λ) y P’(r’,θ’,λ’).
Hay que recordar que θ = 90º - φ.
Debemos notar que en la expresión de V aparece el inverso de
l, que podemos escribir en la forma
1
l
=
r
2
+ r'
2
1
=
1
−2rr'
cosψ
r 1−
2uα
+ α
2
u = cos ψ
r'
α =
r
pero resulta que la función generadora de los polinomios de
Legendre es
1
∑ ∞
1
=
2
− 2uα
+ α n=
0
n
α Pn
( u)
Aplicando esta fórmula a nuestro problema obtenemos
1
=
l r
1
1−
2uα
+ α
∑ ∞
n
r'
= P ψ
n+
1 n (cos )
2 r
n=
0
Para expresar l en función de las coordenadas esféricas de los
puntos P y P’ (figura A10.1), debemos incorporar la relación
que existe entre el ángulo ψ y los ángulos (θ, λ), de las coordenadas esféricas de los puntos P(r,θ,λ)
y P’(r’,θ’,λ’). Para ello, recurrimos a la fórmula de descomposición escribiendo
34

P n (cos ψ)
= Pn
(cosθ)
Pn
(cosθ'
) + 2
n
∑
m=
1
( n − m)!
( n + m)!
donde Rnm y Snm son (Heiskanen y Moritz, 1985)
[ R ( θ,
λ)
R ( θ',
λ')
+ S ( θ,
λ)
S ( θ',
λ')
]
R nm ( θ, λ)
= Pnm(cosθ)
cos mλ
Snm ( θ, λ)
= Pnm(cosθ)
sin mλ
En consecuencia, podemos escribir l y por consiguiente el potencial V en la forma
∞
∞ n
dM K n
R nm ( θ,
λ)
Snm
( θ,
λ)
V = K =
r'
P
n 1
n (cos ψ)
dM = Anm
+ B
n 1 nm
∫∫∫ l ∑ +
+
n+
1
r ∫∫∫ ∑∑ r
r
M n= 0 M
n=
0 m=
0
donde los coeficientes Anm y Bnm son (Heiskanen y Moritz, 1985)
A n0
= K
A nm = 2K
B nm = 2K
( n
( n
( n
( n
∫∫∫
M
− m)!
+ m)!
− m)!
+ m)!
nm
nm
n
r'
Pn
(cosθ'
) dM
∫∫∫
M
∫∫∫
M
n
r'
R nm(
θ',
λ')
dM
n
r'
Snm
( θ',
λ')
dM
En este caso estamos interesados sólo en el coeficiente de segundo grado zonal A20, por lo tanto,
sólo nos vamos a referir este coeficiente en lo sucesivo. Centrándonos pues en este coeficiente,
vemos que será posible obtenerlo mediante la integral
2
2 ⎛ 3 2 1 ⎞
⎛ 3 2 2 1 2 ⎞
A20
= K r'
P2
(cosθ'
) dM = K r'
⎜ cos θ'−
⎟dM
= K ⎜ r'
cos θ'−
r'
⎟dM
=
∫∫∫ ∫∫∫ ⎝ 2 2 ⎠ ∫∫∫ ⎝ 2 2 ⎠
M
M
M
⎛ 3 1 2 2 2 ⎞
⎛ 1 2 2 ⎞
= K ⎜ z'−
( x'
+ y'
+ z'
) ⎟dM
= K ⎜z'−
( x'
+ y'
) ⎟dM ∫∫∫ ⎝ 2 2
⎠ ∫∫∫ ⎝ 2 ⎠
M
M
Si comparamos este resultado con los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y, z; dados por
2 2
A = ( z'
+ y'
) dM ∫∫∫
M
nm
2 2
2 2
B = ( x'
+ z'
) dM C = ( x'
+ y'
) dM
∫∫∫ ∫∫∫
M
M
Nos damos cuenta en seguida que se verifica la relación (A10.1). Quedando demostrada la relación
que existe entre el coeficiente de segundo grado (del desarrollo en armónicos esféricos del
potencial gravitatorio) y los momentos de inercia A y C, puesto que para el elipsoide de revolución
A = B, por tanto, (A+B)/2 − C = A − C.
A11. Ecuaciones de Gauss
Las ecuaciones de Gauss reciben también el nombre de ecuaciones en derivadas parciales
de la teoría de superficies. Estas ecuaciones junto con las ecuaciones de Weingarten, son muy
importantes porque cuando derivamos las ecuaciones de Gauss y tenemos presentes las ecuaciones
de Weingarten, obtenemos de un golpe las ecuaciones de Mainardi-Codazzi y las ecuaciones que
expresan el teorema Egregium de Gauss (Struik, 1955; Cid y Ferrer, 1997). En este apéndice no
tenemos como objetivo hacer una descripción tan completa de la geometría diferencial clásica, pero
nm
35

sí que vamos a obtener las ecuaciones de Gauss, definiendo al mismo tiempo los símbolos de
Christoffel de primera y segunda especie.
Para ello, partimos de que los vectores (r1, r2, N), definidos en los apéndices I y III, forman
un triedro de vectores linealmente independientes (Struik, 1955), de tal forma que cualquier otro
vector puede escribirse como una combinación lineal de los mismos, esto significa que rαβ puede
escribirse como
r r r
rαβ
= aγ
rγ
+ aN
(A11.1)
donde aγ y a son coeficientes a determinar. Estos coeficientes se pueden determinar mediante el
producto escalar de rαβ con los vectores (r1, r2, N). En efecto, si hacemos el producto escalar de
rαβ con N, tenemos
r r r r r r r r r r r
r N = ( a r + aN)
⋅ N = a ( r ⋅ N)
+ a(
N ⋅ N)
= a(
N ⋅ N)
= a
αβ ⋅ γ γ
γ γ
r r
a = r ⋅ N = b
⇒ αβ αβ
(A11.2)
donde hemos tenido en cuenta que el vector N es perpendicular a (r1, r2) por definición, estando
bαβ definidos por las ecuaciones (A1.10). Para calcular aγ operamos de la misma forma realizando
ahora el producto escalar de rαβ con rν, obteniendo
r r r r r r r
r ⋅ r = ( a r + aN)
⋅ r = a r ⋅ r = a g
αβ
ν
γ
γ
ν
γ
γ
ν
γ
γν
r r
γν = αβ ν
⇒ a g r ⋅ r = [ αβ,
ν]
donde tenemos en cuenta de nuevo que N es perpendicular a (r1, r2), junto con la definición del
símbolo de Christoffel de primera especie [αβ, ν]. Si ahora multiplicamos la expresión
anteriormente obtenida por g γν , tenemos que
γ
γ [ αβ ν]
= Γ
γν
γν
γν
γ
g a γg
γν = a γ ( g gγν
) = a γδ
γγ = a γ = g , αβ ⇒ a γ = Γαβ
(A11.3)
donde hemos introducido el símbolo de Christoffel de segunda especie Γ γ αβ.
Con lo que finalmente, podemos obtener las ecuaciones de Gauss a partir de la fórmula
(A11.1), si introducimos en ella las relaciones (A11.2) y (A11.3), para definir los coeficientes aγ y
a, obteniendo
r r r γ r r
r = a r + aN
= Γ r + b N
αβ
γ
γ
Hay que notar que en la obtención de las ecuaciones de Gauss, hemos introducido algunas
cantidades que están definidas en los apéndices I y III, junto con las siguientes cantidades nuevas
(Struik, 1955; Cid y Ferrer, 1997)
αβ
γ
αβ
r r 1 ⎛ ∂g
⎞
[ ]
⎜ αβ ∂gβγ
∂gαβ
αβ,
ν = r ⋅ = + − ⎟
αβ rν
2 ⎜
⎟
⎝
∂uβ
∂uα
∂u
γ ⎠
αβ Adj.
gαβ
g =
g
2
g = g11g22
− g 12
αβ
δαγ = g gβγ
(el adjunto de gαβ se obtiene según la tabla adjunta)
γ γν
Γαβ
= g
[ αβ,
ν]
36

Bibliografía básica
Bibliografía
Cid R. y Ferrer S. (1997). Geodesia Geométrica, Física y por Satélites. Instituto Geográfico
Nacional, Ministerio de Fomento.
Doneddu A. (1978). Curso de Matemáticas. Álgebra y Geometría. Aguilar, Madrid.
Heiskanen W. A. y Moritz H. (1985). Geodesia Física. Edita Instituto Geográfico Nacional e
Instituto de Astronomía y Geodesia, Madrid.
Hofmann-Wellenhof B. and Lichtenegger H. (1994). Global Positioning System. Theory and
Practice. Springer-Verlag, Berlín.
Kuroishi Y. (1995). Precise determination of geoid in the vicinity of Japan. Bulletin of the
Geographical Survey Institute, 41, 1-94.
Leick A. (1995). GPS satellite surveying. John Wiley & Sons.
Rapp R. H. (1971). Methods for the computation of geoid undulations from potential coefficients.
Bull. Géod., 101, 283-297.
Spiegel M. R. (1988). Manual de tablas y fórmulas matemáticas. McGraw-Hill, México.
Struik D. J. (1955). Geometría Diferencial Clásica. Aguilar, Madrid.
Torge W. (1989). Gravimetry. Walter de Gruyter. Berlín-New York.
Torge W. (1991). Geodesy, 2nd Edition. Editor W. de Gruyter, Berlín.
Bibliografía de consulta ……………………………….… http://airy.ual.es/geodesy/libros.pdf
Prof. Dr. Víctor Corchete
Department of Applied Physics
Higher Polytechnic School - CITE II(A)
UNIVERSITY OF ALMERIA
04120-ALMERIA. SPAIN
FAX: + 34 950 015477
e-mail: corchete@ual.es
37