Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

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ÍNDICE * CONTENIDO PÁG. Elipsoide de revolución 1. Parámetros fundamentales de la elipse meridiana y sistemas de coordenadas .. 2. El elipsoide de revolución como superficie de referencia ................................. 3. El elipsoide de revolución como superficie equipotencial ................................ 4. Líneas geodésicas del elipsoide de revolución .................................................. Apéndices Apéndice I. Ecuaciones del elipsoide de revolución en coordenadas geodésicas Apéndice II. Relación entre latitud geodésica y geocéntrica ................................. Apéndice III. Vector normal a la superficie del elipsoide de revolución .............. Apéndice IV. Transformación de coordenadas por rotación ................................. Apéndice V. Potencial centrífugo .......................................................................... Apéndice VI. Potencial de la gravedad normal en armónicos esféricos ................ Apéndice VII. Curvatura de una curva plana ......................................................... Apéndice VIII. Componente vertical del gradiente de la gravedad ....................... Apéndice IX. Relación entre latitud geodésica y reducida .................................... Apéndice X. Armónico de grado 2 y momentos de inercia ................................... Apéndice XI. Ecuaciones de Gauss ....................................................................... Bibliografía Bibliografía básica ................................................................................................. Bibliografía de consulta ......................................................................................... * Este documento está disponible en la dirección http://airy.ual.es/www/Geodesy.htm 3 4 6 15 20 23 24 25 25 26 31 32 33 34 35 37 37 2
Elipsoide de revolución 1. Parámetros fundamentales de la elipse meridiana y sistemas de coordenadas Sabiendo que la principal tarea científica de la Geodesia es el estudio de la figura de la Tierra, nos damos cuenta de que el primer problema que hay que resolver es: la determinación del tipo de superficie matemática que mejor representa la figura de la Tierra en su totalidad. A este respecto, se considera como tal superficie la de un elipsoide de revolución ligeramente aplanado, éste se denomina elipsoide terrestre. Esta primera figura de la Tierra es tan buena, que el geoide (la segunda mejor figura de la Tierra, la superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre que coincide con el nivel medio de los océanos) se aparta de esta primera figura en menos que 100 metros de altura, en el caso de mayor separación. Nos encontramos así con dos superficies fundamentales de referencia muy próximas entre sí, el elipsoide y el geoide, las cuales provienen de dos concepciones distintas de la Geodesia, determinando en consecuencia la división de la Geodesia en dos ramas principales, Geodesia Geométrica o Elipsoidal y Geodesia Física o Dinámica. Llegados a este punto, hay que recordar que desde la antigüedad el hombre se ha preocupado por la medida de la Tierra, es decir, por desarrollar la parte geométrica de la geodesia. Así, durante siglos, la única geodesia que se ha desarrollado es la Geodesia Geométrica, sobre todo el estudio y determinación del elipsoide terrestre. Por otra parte, el elipsoide de revolución, como superficie matemática, es sencillo y bien conocido, pudiendo utilizarse para numerosos cálculos que serían muy complejos si se efectuaran sobre el geoide. Esto hace que esta primera aproximación a la figura de la Tierra, el elipsoide de revolución terrestre, siga siendo vigente en la actualidad, siendo utilizado como superficie de referencia para muchas actividades científicas y técnicas. Vista entonces la importancia que tiene este elipsoide de revolución, como primera figura de la Tierra y superficie de referencia, vamos a comenzar el estudio de esta figura matemática repasando algunos conceptos básicos referentes a la elipse meridiana, pues el elipsoide de revolución se formará mediante la rotación de esta elipse, alrededor del eje que pasa por los polos terrestres (el eje OB de la figura 1.1). Debemos entonces recordar que para esta elipse podemos escribir las siguientes relaciones (Torge, 1991) b B O N ψ r ρ ρN φ Q a z P h r a 2 2 A 2 z + = 1 x 2 b 2 + y 2 = r 2 90º+ φ Fig. 1.1. Posición de un punto P sobre el elipsoide de revolución. α a − b f = a 2 − 2 a b e = (1.1) a En las relaciones (1.1) debemos notar que si son conocidos el semieje mayor a y el aplanamiento f, podemos obtener los valores del semieje menor b y la excentricidad e (o primera excentricidad), quedando entonces perfectamente definida la elipse meridiana y con ella toda la geometría del elipsoide de revolución correspondiente. Así, cuando fijamos los valores de (a, f) mediante la elección de un sistema de referencia, como es el sistema de referencia GRS80 (Geodetic Reference System of 1980), tenemos perfectamente definido el elipsoide de revolución terrestre para poder utilizarlo como superficie de referencia en nuestros cálculos. Esto nos hace ser conscientes de la comodidad y simplicidad de usar el elipsoide de revolución como superficie de referencia. Esta superficie de revolución se escribirá en la forma (Struik, 1955) 3
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