Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

donde r es el vector de posición (apéndice I). Para obtener la curvatura geodésica κg mediante la
fórmula (4.1), debemos introducir las relaciones (apéndice I y apéndice III)
α α ′ = ′ u r r r r r r r
r r
r
r′
′ = rαβ
u′
αu′
β + rγ
u′
γ′
1 × r
N =
2
r r
(4.2)
r1
× r2
donde (α, β, γ) son índices varían entre (1, 2) y (u1, u2) son las coordenadas curvilíneas o curvas
coordenadas de la superficie (apéndice I). La derivada segunda de r respecto al arco, se puede
escribir de forma más simple como
si tenemos en cuenta que
r r r
r′
′ = rγ
cγ
+ Nc
(4.3)
γ
c γ = u′
γ′
+ Γ ′
αβu
αu′
β = bαβ
u′
αu′
β
c (4.4)
puesto que si introducimos las relaciones (4.4) en la fórmula (4.3), llegamos a la expresión de la
derivada segunda de r respecto al arco dada por (4.2), es decir
r r r r γ r
r r γ r
r ′ = r c + Nc
= r ( u′
′ + Γ u′
u′
) + N(
b u′
u′
) = r u′
′ + r Γ u′
u′
+ N(
b u′
u′
) =
′ γ γ γ γ αβ α β αβ α β γ γ γ αβ α β αβ α β
r r γ r
r
r γ r r r
= rγ
u′
γ′
+ rγΓαβu′
αu′
β + N(
bαβu′
αu′
β ) = rγ
u′
γ′
+ u′
αu′
β(
rγΓαβ
+ Nbαβ
) = rγ
u′
γ′
+ rαβu′
αu′
β
donde hemos utilizado que (apéndice XI)
r
r γ
= r Γ
r
+ Nb
αβ
γ
αβ
αβ
(ecuaciones de Gauss)
Cuando introducimos las relaciones (4.2), (4.3) y (4.4) en la fórmula (4.1), obtenemos el valor de la
curvatura geodésica en la forma (Cid y Ferrer, 1997)
r r r r r r r r r r r r r r r r
= ( N,
r′
′ , r′
) = ( N,
r c + Nc,
r u′
) = ( N,
r c , r u′
) + ( N,
Nc,
r u′
) = ( N,
r c , r u′
) =
κg γ γ ν ν γ γ ν ν
ν ν γ γ ν ν
r r r r r r r r r
= ( N,
r1
c1,
r2u′
2 ) + ( N,
r2c
2,
r1u1′
) = ( N,
r1,
r2
)( c1u′
2 − c2u1′
) = g(
c1u′
2 − c2u1′
)
Para las líneas geodésicas por definición κg tiene que ser cero. Esta condición se cumplirá siempre
que cγ sea igual a cero, es decir
γ
c γ = u′
γ′
+ Γ u′
αu′
αβ β = 0
(4.5)
Las ecuaciones (4.5) nos dan las condiciones que se tienen que cumplir para que una curva
cualquiera sea una línea geodésica. Por ello, a las ecuaciones (4.5) se les llama ecuaciones
diferenciales de las líneas geodésicas.
No obstante, hemos definido al principio de este apartado la línea geodésica, como la línea
trazada sobre una superficie que une dos puntos de dicha superficie, de tal forma que la distancia
medida sobre esta línea es la más pequeña, es decir, la geodésica es el trayecto de mínima distancia
entre dos puntos de una superficie. Entonces, a la vista de las ecuaciones (4.5) consecuencia de la
condición κg = 0, es difícil notar que esta propiedad se cumple. Para comprobar que esta propiedad
de la geodésica es cierta, recurrimos al cálculo de variaciones, buscando las curva C que resuelvan
el problema variacional dado por (Struik, 1955)
∫
δ( hds)
= 0 h(uν
, u′
ν,
s)
ν = 1,2
donde s denota el arco. Las curvas C que resuelvan este problema son las soluciones de las
ecuaciones de Euler-Lagrange, dadas por
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