Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

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con lo que obtenemos la relación 1 2 2 1 2 2 ∑ An Pn (sinβ) + ω a − ω a P2 (sin β) − U0 = 0 3 3 n 0 ∞ = que tiene que cumplirse para todos los valores posibles del ángulo β, esto significa que cada cantidad que multiplica un término Pn(sin β) de este desarrollo, tiene que ser cero. Es decir, tiene que cumplirse que 1 2 2 1 2 2 A0 + ω a − U0 = 0 ,, A1 = 0 ,, A2 − ω a = 0 ,, An = 0 con n = 3, 4, ... 3 3 Entonces, si llevamos los valores de estos coeficientes An a la ecuación (A6.3), obtenemos el valor del potencial gravitatorio de la gravedad normal en la forma u u Q ( i ) Q ( i ) 1 0 1 2 2 2 E 2 2 ( u, β ) = ( U a E 0 − ω a ) + ω P (sinβ) (A6.4) 3 b 3 b Q0( i ) Q2 ( i ) E E V 2 Hay que notar que en este desarrollo de armónicos elipsóidicos, el potencial V queda reducido sólo a dos términos, frente a los infinitos términos que puede tener el desarrollo en serie de armónicos esféricos para este mismo potencial. Vemos ahora por qué hemos elegido este tipo de desarrollo menos conocido, en lugar del típico desarrollo en serie de armónicos esféricos, que se utiliza habitualmente. Ahora tenemos que ser capaces de obtener los valores de los coeficientes del desarrollo en serie de armónicos esféricos, dados por la ecuación (3.3), a partir de la fórmula (A6.4). Para ello, vamos a poner en la fórmula (A6.4) el valor de las funciones de Legendre de segunda clase Q0 y Q2, dadas por (Heiskanen y Moritz, 1985) ⎛ u ⎞ −1⎛ E ⎞ Q0 ⎜i ⎟ = −i tan ⎜ ⎟ ⎝ E ⎠ ⎝ u ⎠ 2 ⎛ u ⎞ i ⎡⎛ u ⎞ E u ⎤ 1 Q2 i ⎢⎜ ⎛ ⎞ 1 3 ⎟ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ tan ⎜ ⎟ − 3 ⎥ = iq ⎝ E ⎠ 2 ⎢⎜ E ⎟ u E ⎣⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦ con lo que (A6.4) pasa a ser −1⎛ E ⎞ tan ⎜ ⎟ 1 2 2 u 1 2 2 q V( u, β) = ( U0 − ω a ) ⎝ ⎠ + ω a P2 (sinβ) 3 −1⎛ E ⎞ 3 q tan 0 ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ (A6.5) donde podemos simplificar más todavía el primer término del potencial, sabiendo que para grandes valores de u E E tan u u 1 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≈ ⎝ ⎠ si además despejamos u como función de r usando las ecuaciones (A6.2), tenemos 2 2 2 2 2 2 2 r = x + y + z = u + E cos β notando que para grandes valores de u tenemos grandes valores de r, pudiendo escribir que 28
1 1 ≈ u r ⇒ E tan u 1 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≈ ⎝ ⎠ Con lo que el primer término de (A6.5) puede escribirse como ( U 0 1 2 − ω a 3 2 tan ) tan −1 −1 ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ u ⎠ ≈ ( U ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ 0 E r 1 2 − ω a 3 2 E / r ) −1⎛ E ⎞ tan ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ Ahora, hay que notar que este término se corresponde con el término de grado cero del desarrollo del potencial gravitatorio en armónicos esféricos, es decir, tenemos que 1 2 2 E / r KM ( U0 − ω a ) = 3 −1⎛ E ⎞ r tan ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ⇒ 1 2 2 1 KM ( U0 − ω a ) = 3 −1⎛ E ⎞ E tan ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ Por lo que es posible escribir (A6.5) en una forma mucho más sencilla, dada por KM −1⎛ E ⎞ 1 2 2 q V( u, β) = tan ⎜ ⎟ + ω a P2 (sinβ) E ⎝ u ⎠ 3 q0 (A6.6) A partir de esta fórmula, mucho más sencilla que la expresión (A6.4), podemos tratar de obtener los valores de los coeficientes del desarrollo en serie de armónicos esféricos, dados por la ecuación (3.3). Para ello, vamos a poner en la fórmula (A6.6) los desarrollos en serie de potencias de los términos que dependen de u. Comenzaremos con el término tan −1 (E/u), que puede escribirse a través de un desarrollo en serie de potencias como tan −1 ⎛ E ⎞ E 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... ⎝ u ⎠ u 3 ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ Esta serie puede ser introducida en la fórmula que nos da el valor de q, obteniendo entonces el desarrollo en serie de q, en la forma 1 ⎡⎛ ⎢⎜ ⎛ u ⎞ q = 1+ 3⎜ ⎟ 2 ⎢⎜ ⎣⎝ ⎝ E ⎠ 2 ⎞ ⎟ tan ⎟ ⎠ −1 3 ⎤ ⎡⎛ 2 ⎞⎛ 3 5 ⎛ E ⎞ u 1 ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎛ u ⎞ ⎟⎜ E 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ u ⎜ ⎟ − 3 ⎥ = 1+ 3⎜ ⎟ ... − 3 ⎥ = ⎝ u ⎠ E⎥ 2 ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎦ ⎣⎝ ⎝ E ⎠ u 3 ⎠⎝ ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ E ⎠ ⎥ ⎦ ⎡ 3 5 2⎛ 3 5 1 E u 1 ⎞⎤ ⎢ ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ ⎛ u ⎞ ⎜ E 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ = − 3 − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... + 3⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... ⎟⎥ = 2 ⎢ u E 3 ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ ⎝ E ⎠ u 3 ⎝ ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ ⎠ ⎥ ⎦ 3 5 1 ⎡E u 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ u E 3 ⎛ E ⎞ ⎤ 1 ⎡ 1 ⎛ E ⎞ 1 ⎛ E ⎞ 3 ⎛ E ⎞ ⎤ = ⎢ − 3 − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... + 3 − + ⎜ ⎟ ... ⎥ = ⎢− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... + ⎜ ⎟ ... ⎥ = 2 ⎢ u E 3 ⎣ ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ E u 5 ⎝ u ⎠ ⎥ 2 ⎦ ⎢ 3 ⎣ ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ 5 ⎝ u ⎠ ⎥⎦ 3 1 ⎡9 − 5 ⎛ E ⎞ 8 ⎛ E ⎞ ⎤ = ⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ... ⎥ 2 ⎢ 3× 5 × ⎣ ⎝ u ⎠ 5 7 ⎝ u ⎠ ⎥⎦ 5 ⇒ 3 3 5 ⎡ 1 ⎛ E ⎞ 2 ⎛ E ⎞ 3 ⎛ E ⎞ ⎤ q = 2⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ... ⎥ ⎢3× 5 × × ⎣ ⎝ u ⎠ 5 7 ⎝ u ⎠ 7 9 ⎝ u ⎠ ⎥⎦ Estos desarrollos en serie de potencias obtenidos para q y tan −1 (E/u), pueden escribirse de forma más compacta como (Heiskanen y Moritz, 1985) −1⎛ E ⎞ tan ⎜ ⎟ = ⎝ u ⎠ E u ∞ 2n+ 1 n 1 ⎛ E ⎞ + ∑ ( −1) ⎜ ⎟ 2n + 1⎝ u ⎠ n= 1 3 5 5 7 3 29
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