Elipsoide de revolución - Universidad de Almería

También es necesario conocer las cantidades (a/r) 2 , (a/r) 4 y el término centrífugo, que
aparecen en la fórmula (3.22). Las cantidades (a/r) 2 y (a/r) 4 pueden hallarse mediante la fórmula
(3.24), usando la aproximación (3.11) para eliminar el denominador, obteniendo
2
a 2 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ r ⎠
= 1+
2f
cos
θ − f
( 1−
5sen
θ)
4
a 2 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ r ⎠
= 1+
4f
cos
θ − 2f
( 1−
5sen
θ)
(3.25)
El término centrífugo se calculará introduciendo la definición (3.10), con lo que podremos
escribirlo en la forma
2 3
2 2 3
3
2
ω r 2
2
2 r a 2
KM
sin
ω a br
θ = sin
2
KMa b
r
θ = msin
2
a b
⎛ r ⎞
θ = ⎜ ⎟
⎝ a ⎠
msin
a b
donde hay que notar que podemos emplear las fórmulas (3.13) y (3.24), para calcular los cocientes
(r/a) 2 , (r/a) y (a/b). Así, operando y eliminando órdenes de f 2 y superiores, obtenemos
[ 1+
f ( 1−
3cos
θ)
]
2 3
ω r 2 2
2
sin θ = msin
θ
KM
θ
(3.26)
Entonces, con las fórmulas (3.24), (3.25) y (3.26) introducidas en la fórmula (3.22),
podemos escribir el valor que toma la gravedad normal sobre el elipsoide mediante
2
2
[ 1−
3J
( 1+
2f
cos θ)
P (cosθ)
− 5J
P (cos θ)
− msin
θ(
1+
f ( 1−
3cos
θ))
]
KM 2
γ 0 =
2 2
2
4 4
r
donde r 2 puede ser sustituido por su valor (dado por la fórmula (3.24)) y eliminado del denominador
mediante la aproximación (3.11), para escribir γ 0 mediante
KM 2
2
2
γ 0 = [ 1−
3J2
( 1+
2f
cos θ)
P2
(cos θ)
− 5J4P4
(cos θ)
− msin
θ(
1+
f ( 1−
3cos
θ))
]×
2
a
2 2 2
[ 1+
2f
cos θ − f ( 1−
5sen
θ ] =
× )
KM
2
2
2
2
= [ 1−
3J2
( 1+
2f
cos θ)
P2
(cos θ)
− 5J4P4
(cos θ)
− m(
1−
cos θ)(
1+
f ( 1−
3cos
θ))
+ 2f
cos θ
2
a
2
2
− 6J
f cos θP
(cosθ)
− 2mf(
1−
cos θ)
cos θ − f ( 1−
5(
1−
cos θ))
(3.27)
2
2
donde P2 (cos θ) y P4 (cos θ) son los polinomios de Legendre dados por (Spiegel, 1988)
3 2 1
1 4 2
P2
(cosθ
) = cos θ − P4
(cosθ
) = ( 35cos
θ − 30cos
θ + 3)
2 2
8
Hay que notar que en la expresión (3.27) quedan todavía cantidades como J2, J4 y cos 2 θ, que
debemos obtener y simplificar, para que la ecuación (3.27) adopte una forma final similar a la
ecuación (3.21). Concretamente, observamos que en la fórmula (3.21) aparece la latitud geodésica φ
en lugar de la distancia polar θ. Esto significa que debe existir una relación entre ambas variables
que debemos encontrar e incorporar a la ecuación (3.27), para obtener γ0 como función de la latitud
geodésica φ y no de la distancia polar θ, como sucede ahora en (3.27). También observamos que en
la fórmula (3.21), aparece la gravedad normal en el ecuador γa como constante. Esto significa que
debemos calcular esta cantidad e introducirla en la fórmula (3.27), de manera adecuada, para llevar
la expresión (3.27) a una fórmula que tenga el mismo formato que la ecuación (3.21). En
consecuencia, debemos obtener las expresiones adecuadas de las cantidades γa, J2, J4 y cos 2 θ; para
introducirlas en la fórmula (3.27) y así llevar esta ecuación a una fórmula similar (3.21). Esto es lo
que vamos a realizar a continuación, considerando sólo los términos hasta el orden f 2 , pues la
contribución de los términos de orden superior puede considerarse despreciable (Torge, 1991).
2
2
2
]
12