5 Variables aleatorias continuas

Obtener la función de densidad para X
Calcular P (1 X 3)
Calcular P (X 1:5)
Realice los ejercicios de 1 a 5
5.2 Distribución uniforme
Veamos un ejemplo muy simple: supongamos que una persona toma un
colectivo para ir al trabajo, que pasa exactamente cada 5 minutos. Si sale
de su casa sin tener en cuenta la hora, el tiempo X, que tiene que esperar
en la parada es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor en el
intervalo [0; 5], la función de densidad para esta variable es:
1=5 si x [0; 5]
f(x) =
0 en otro caso
Es evidente que f(x) 0, para todo x; y que el área total bajo f(x) es
igual a 1.
La probabilidad de que tenga que esperar entre 1 y 3 minutos es:
P (1 X 3) = R 3 1 2 dx = 1 5 5
Se dice que esta variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo
[0,5]
En general se dice que una variable aleatoria tiene distribución uniforme
en el intervalo [a,b] (X s U[a; b]), si su función de densidad está dada por:
si x [a; b]
1
f(x) = b a
0 en otro caso
esta función cumple: f(x) 0 para todo x; y R 1
f(x)dx = 1.
1
Calculemos la media y varianza de una variable aleatoria con distribución
uniforme en [a,b].
Z 1
Z b
EX = xf(x)dx =
1
a
x 1 b
dx =
b a b a
2 a2 2
= b + a
2
entonces la media de una distribución uniforme es el punto medio del intervalo.
Para calcular la varianza, calculamos primero
EX 2 Z 1
= x 2 Z b
f(x)dx =
1
a
x2 1 b
dx =
b a b a
3 a3 3
30
= a2 + ab + b 2
3