5 Variables aleatorias continuas

P (28 < X < 31) = P ((28 30)=2 < (X 30)=2 < (31 30)=2) =
= P ( 1 < Z < 1=2) = (0:5) ( 1) = (0:5) (1 (1)) =
= 0:6915 (1 0:8413) = 0:5328
En general, para calcular probabilidades correspondientes a una X con
distribución N( ; 2 ); se la lleva al caso N(0; 1), trabajando con Z = (X
)= : Su función de distribución es entonces
F (x) = P (X x) = P Z
y por lo tanto, si a < b :
P (a X b) = F (b) F (a) =
x
=
x
b a
De aquí se puede ver que para cualquier variable aleatoria X con distribución
normal, la probabilidad de que X esté dentro de 1 desvío estándar
de su media es:
P ( < X < + ) = (1) ( 1) = 0:6826
P ( 2 < X < + 2 ) = (2) ( 2) = 0:9544
y P ( 3 < X < + 3 ) = (3) ( 3) = 0:9974
Usando (17), se prueba que los cuantiles de una variable X con distribución
N( ; 2 ) cumplen
x( ) = + z( ); (18)
donde z( ) son los cuantiles de N(0; 1):
En particular, la mediana de una X s N( ; 2 ) es
med(X) = x(0:5) =
Ejemplo 5.5 Calcularemos los cuantiles de 0.80 y de 0.20 de una variable
normal X con media 5 y desviación 2. De la tabla: (0:84) = 0:7995 y
(0:85) = 0:8023: Interpolando resulta aproximadamente z(0:8) = 0:843; y
por lo tanto x(0:8) = 5 + 2 0:843 = 6:686: Para el otro cuantil, usamos
z(0:2) = z(0:8) y por lo tanto x(0:8) = 5 2 0:843 = 3:314:
Realice los ejercicios de 11 a 14
34
;
: