Matemática Nivel V - Región Educativa 11

Tercer Ciclo de Educación General Básica para Adultos
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
Matemática
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Matemática
Tercer Ciclo de Educación
General Básica para Adultos
MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
5

Ministro de Educación de la Nación
Lic. Andrés Delich
Subsecretario de Educación Básica
Lic. Gustavo Iaies
infopace@me.gov.ar
Material elaborado por los
Equipos Técnicos del Programa de
Acciones Compensatorias en Educación
del Ministerio de Educación.
Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.
Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina.
ISBN 950-00-0294-9. Primera Edición. Primera Reimpresión.

Índice
Introducción .........................................................
Cuadriláteros ........................................................
Cuadriláteros convexos ...............................................
Paralelogramos .......................................................
Rectángulos .........................................................
Romboides ............................................................
Otros paralelogramos ................................................
Rombos ..............................................................
Cuadrados ...........................................................
Perímetros ............................................................
Superificies ...........................................................
¿Cómo se miden las superficies? ....................................
¿Cómo se calculan las superficies? .................................
Superficie del triángulo ...............................................
Superficie del trapecio ................................................
Superficie del romboide ..............................................
Volúmenes ............................................................
¿Cómo se mide el volumen? .........................................
¿Cómo se calcula el volumen de los cuerpos? ....................
El lenguaje matemático .........................................
Ecuaciones e inecuaciones......................................
¿Cómo se resuelven las ecuaciones? ...............................
¿Cómo se resuelven las inecuaciones? .............................
Probabilidad .........................................................
La estadística y la probabilidad .....................................
Claves de Corrección .............................................
Anexos .................................................................
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Introducción
En el Libro 4 se trabajó con las operaciones en el conjunto de los
números racionales, completando de este modo lo estudiado en el
Libro 3 sobre las operaciones con números naturales y enteros. En
este Libro se retoman algunos temas trabajados en los Libros 1 y 2
sobre cuadriláteros, particularmente, casos especiales de uso frecuente
para la resolución de problemas cotidianos. Asimismo, se
profundizará y ampliará lo estudiado sobre perímetros, superficies
y volúmenes. Le sugerimos que disponga de los Libros anteriores
para resolver las actividades que aquí se plantean. Siga las referencias
que se incluyen en el margen de las hojas pues le ayudarán a
repasar algunos conceptos que resultan necesarios para la comprensión
de otros nuevos.
Finalmente, estudiará el concepto de probabilidad que se utiliza
para poder analizar situaciones que tienen resultados inciertos, es
decir en las que interviene el azar.
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Cuadriláteros
En el Libro 3 se trabajó sobre diferentes cuerpos geométricos:
prismas, cubos, pirámides, octaedros, cilindros, cuerpos cóncavos y
convexos. También se estudiaron los elementos que conforman
esos cuerpos: caras, aristas y vértices.
Las caras de los cuerpos pueden tener distintas formas planas. Por
ejemplo, el triángulo, que se desarrolló en el Libro 4, es la forma de las
caras laterales de las pirámides y la base de los prismas rectos.
pirámides
prismas
Si observamos el marco de una ventana, la forma de una puerta,
las hojas de nuestros cuadernos, algunos barriletes, etc. notaremos
que todas estas formas están constituidas por cuatro lados. Es por
ello que se las denomina cuadriláteros.
P l a n S o c i a l E d u c a t i v o

Considere la habitación en la que se encuentra. Es posible que sea
un prisma rectangular. ¿Qué forma tienen las paredes, el piso, el
techo? La forma de las caras de este cuerpo es una figura muy común,
se encuentra en las puertas, ventanas, bancos, cuadernos, libros.
Es el rectángulo. Por poseer cuatro lados pertenece a la familia
de los cuadriláteros. El cuadrado también es un cuadrilátero,
que se encuentra, por ejemplo, en las caras de los dados cúbicos.
Si observa atentamente ciertos mecanismos comprobará que están
formados por sistemas articulados de cuatro barras.
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Repase en el Libro 3 el concepto
de poligonal cerrada.
En el Anexo I encontrará varillas para recortar. Forme con cuatro
de ellas, de iguales o diferentes longitudes, una poligonal cerrada.
Observe que puede obtener diferentes cuadriláteros.
Como sucede con los cuerpos poliedros, los polígonos en general, y
los cuadriláteros en particular, pueden ser cóncavos o convexos.
Actividad Nº1
Utilizando las varillas arme:
• cuadriláteros que tengan dos lados iguales de a pares;
• cuadriláteros que no tengan los lados paralelos;
• un cuadrilátero con las varillas de 2 cm, 2 cm, 3 cm y 10 cm.

Cuadriláteros convexos
Algunos cuadriláteros convexos tienen características especiales,
por ejemplo poseer dos pares de lados paralelos, poseer todos los
lados iguales, poseer los ángulos interiores iguales, etc. Por tener los
lados paralelos, o porque los lados son iguales, o porque los ángulos
son iguales, o porque tienen varias de estas propiedades a la vez reciben
un nombre que los diferencia del resto de los cuadriláteros.
Paralelogramos
Si observamos un perchero como el de la siguiente figura, podremos
detectar a un cuadrilátero, el paralelogramo, que tiene los lados
opuestos paralelos.
Como todo cuadrilátero los paralelogramos se nombran a partir de
sus vértices: paralelogramo ABCD.
A igual que el resto de los cuadriláteros el paralelogramo tiene
cuatro lados, cuatro ángulos interiores y dos diagonales.
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Comenzamos observando sus lados:
__ __
__
Note que
__
el lado BC es igual al lado AD y que el lado AB es igual
al lado CD.
Observando paralelogramos de diferentes medidas podemos observar
que todos guardan la misma relación entre sus lados. Se puede
demostrar que:
Los paralelogramos poseen sus lados opuestos
de igual medida.
Analice ahora la medida de sus ángulos interiores.
Los ángulos B ^ y D ^
son iguales entre sí.

Los ángulos A ^ y C ^ son iguales entre sí.
Si observa varios paralelogramos advertirá que:
Los ángulos opuestos de un paralelogramo
son iguales entre sí.
Actividad Nº2
¿Qué propiedad cumplen los ángulos consecutivos de un paralelogramo?
Recuerde que los ángulos de un polígono cualquiera son consecutivos
cuando tienen un lado en común.
Analice ahora las diagonales del paralelogramo.
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Como notará las diagonales no son iguales, aunque podrían serlo. El
paralelogramo es un cuadrilátero que no necesariamente tiene sus
diagonales iguales. En este caso, el paralelogramo ABCD posee su
diagonal AC más corta que la diagonal BD.
Observe que al trazar las diagonales de un paralelogramo, el punto
común a ambas es su punto medio.
En el paralelogramo ABCD, el punto O es punto medio de la diagonal
BD y lo es también de la diagonal AC.
a
b
Las diagonales de un paralelogramo
se cortan en su punto medio.
Actividad Nº3
El capot de un tractor posee la forma de un paralelogramo, uno de
sus lados es de 80 cm y su perímetro -suma de los lados de una figura-
es de 4 metros. ¿Cuál es la medida de cada uno de los lados?
Un carpintero es contratado para hacer una biblioteca amurada
a una pared. Al tomar las medidas detecta que el muro sobre el
que debe asegurar el mueble está en falsa escuadra. Si el ángulo
entre el piso y la pared es de 78º, ¿cuál será la amplitud que
debe tener cada uno de los tres ángulos restantes del mueble?

Rectángulos
Si observa el marco de las ventanas, las puertas, la tapa de un libro,
el lomo de las guías de teléfono, las sendas peatonales en las
esquinas de la calles, etc., notará que todos estos objetos son cuadriláteros
que reciben el nombre de rectángulos.
Dibuje en una hoja un rectángulo cualquiera.
Nombre sus vértices como A, B, C y D; así el rectángulo se llamará:
rectángulo ABCD.
__ __
Prolongue todo lo que pueda los lados BC y AD.
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Prolongue todo lo que pueda los lados. Mida con una escuadra la
distancia entre ambas rectas. Encontrará que es la misma.
__ __
Notará de este modo que el lado BC y el lado AD son paralelos entre sí.
__ __
Prolongue ahora los lados AB y CD . Notará que también son paralelos.
Si prueba con muchos rectángulos observará la misma relación.
Podemos demostrar que:
Los rectángulos poseen
sus lados opuestos paralelos entre sí.
Actividad Nº4
Complete:
Si un rectángulo es un cuadrilátero que posee lados opuestos paralelos
podemos afirmar que todo rectángulo es .....................................................
¿Cómo son las longitudes de los lados de cualquier rectángulo?
Compruébelo con una regla graduada o un compás en el siguiente
rectángulo.

Los rectángulos poseen lados opuestos iguales.
Analice ahora la medida de los ángulos interiores. Para ello recorte
los ángulos A, ^ B, ^ C^ y D^ del rectángulo previamente dibujado.
Cuide de cortar en forma irregular la región interior del modo que
señala la figura (así evitará confundir los vértices del rectángulo).
Con el ángulo recto de una escuadra superpóngalos unos sobre
otros. Verá que cada uno de ellos mide un recto. Observará que los
cuatro ángulos son iguales. Por ello se dice que:
Todo rectángulo es equiángulo.
El prefijo equi significa igual, por lo tanto afirmar que el rectángulo
es equiángulo implica que sus cuatro ángulos interiores miden
lo mismo.
También se puede demostrar que un rectángulo es un paralelogramo
que tiene sus cuatro ángulos interiores iguales (son todos rectos).
Actividad Nº5
¿Cuál es la medida de cada lado de un terreno rectangular cuyo
largo es de 80 m y su perímetro de 300 m?
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Romboides
Entre los barriletes que los chicos remontan hay dos formas que
con mucha frecuencia se ven en el cielo: los barriletes hexagonales
y los romboidales.
¿Cuáles son las propiedades de un romboide?
Para armar un barrilete romboidal se suele utilizar dos cañas o varillas
muy livianas. Éstas son las diagonales del romboide que, como
puede notar en la figura, son perpendiculares y una corta a la
otra en su punto medio.
Luego se colocan los piolines, bien tensos, en los extremos de las
varillas.

De este modo hay dos piolines cortos de igual longitud y dos piolines
largos de igual longitud.
__ __ __ __
Simbólicamente: AD = AB y DC = BC
Todo romboide tiene
dos pares de lados consecutivos iguales.
Observe ahora los ángulos B
^
y D.
^
Notará que son iguales.
Todo romboide tiene al menos
un par de ángulos interiores iguales entre sí.
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Otros paralelogramos
Rombos
Si observa los logotipos que utilizan muchas empresas automotrices
notará la importancia que les dan a las formas geométricas.
Una de estas empresas en sus publicidades se refiere a sus productos
como "Los autos del Rombo".
Indudablemente es una de las formas más familiares que vemos a
nuestro alrededor: observando sus lados resulta agradable la armonía
de sus formas.
Mida los lados de varios rombos. Verá que todo rombo es equilátero.
Los cuadriláteros equiláteros se denominan rombos.
Dibuje un rombo ABCD de cualquier medida.
__ __
Como lo hizo con el
__
rectángulo,
__
prolongue los lados AB y CD. Notará
que los lados AB y CD son paralelos entre sí.
__ __
Prolongue luego los lados BC y AD. Notará que también son paralelos
entre sí.
Como todo rombo es paralelogramo es posible afirmar que:
Los lados opuestos de un rombo son paralelos entre sí.

Por tener lados opuestos iguales y paralelos, todo rombo es un paralelogramo.
Se puede afirmar entonces que sus diagonales se cortan
en su punto medio.
A
^
= C
^
B
^
= D
^
__ __
AO __ = OC __
BO = OD
Como el rombo es equilátero, podemos afirmar que AB = BC y CD = DA,
es decir que todo rombo posee lados consecutivos iguales. Por lo
tanto se puede afirmar que:
Todo rombo es romboide.
Si todo rombo es romboide debe tener diagonales perpendiculares.
Le proponemos que lo compruebe colocando el ángulo recto de su
escuadra sobre las diagonales de cualquier rombo.
Actividad Nº6
Se quiere alambrar una plazoleta con forma de rombo con
tres vueltas de alambre. Para ello se necesitarán 600 m.
• ¿Cuál es el perímetro de la plazoleta?
• ¿Cuánto mide cada lado?
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Cuadrado
El cuadrado es una forma que se encuentra en un sinnúmero de los
objetos que nos rodean, las rejillas de nuestras casas, la zona de saque
en una cancha de tenis, una hoja de papel glasé, los frentes de
las cajas de disquetes de computación, las manzanas de las ciudades
vistas desde un avión, etc.
El cuadrado es un cuadrilátero regular porque posee:
• todos sus lados iguales,
• todos sus ángulos iguales.

• sus lados opuestos son paralelos.
• sus diagonales son iguales y perpendiculares y se cortan en su
punto medio.
Actividad Nº7
Complete las siguientes afirmaciones.
• Por ser equilátero todo cuadrado es ..................................
• Por ser equiángulo todo cuadrado es .................................
A modo de síntesis observe en el siguiente cuadro los diferentes tipos
de cuadriláteros y las condiciones que cumplen cada uno.
Trapezoide
Romboide
Trapecio
Paralelogramo
Rombo
Rectángulo
Cuadrado
No tiene lados paralelos.
Es un trapezoide con dos pares de
lados consecutivos iguales.
Tiene un sólo par de lados paralelos.
Estos se denominan bases.
Tiene sus dos pares de lados
opuestos paralelos.
Paralelogramo con sus cuatro lados
iguales.
Paralelogramo con sus cuatro
ángulos rectos.
Rectángulo con sus cuatro lados
iguales.
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
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A continuación se analizará la formación de cuadriláteros a partir
de triángulos y la descomposición de cuadriláteros en triángulos. En
matemática es muy frecuente resolver problemas a partir de triangular
las figuras para determinar los posibles triángulos cuya suma
constituya el polígono que se está analizando.
Si se los dibuja haciendo coincidir el lado que tienen igual se forma
un cuadrilátero.
Actividad Nº8
Construya otro triángulo para obtener en cada caso el cuadrilátero
que se menciona. Le sugerimos usar papel de calcar para
facilitar su tarea.
romboide paralelogramo
cuadrado rombo

a
b
a
b
c
d
Actividad Nº9
Observe la fotografía sobre el trabajo que realizan artesanos
japoneses del bambú. ¿Qué polígonos encuentra?
Dibuje tres de ellos y descríbalos.
Actividad Nº10
En una hoja cuadriculada dibuje por lo menos un cuadrilátero
que tenga:
Sólo un par de lados paralelos y ningún par de lados iguales.
Los dos pares de lados iguales y ningún par de lados paralelos.
Sólo un par de lados paralelos y sólo un par de lados iguales.
Los dos pares de lados paralelos y ningún par de lados iguales.
Bruno Munari
El Triángulo, más de 1000
ejemplos ilustrados sobre el
triángulo equilátero. Ediciones
G. Gili, México, 1999.
23

24
Curral das Letras. Las primeras apariciones del cuadrado
en los signos rupestres de los pueblos primitivos del período
neolítico, en Curral das Letras, Tua-Braganza, Portugal.
Estos signos aparecerán después también en las escrituras
cretenses y en las prehistóricas americanas.
Bet. Signos extraídos de los jeroglíficos,
valor fonético: bet.
Bruno Munari
El cuadrado, más de 300 ejemplos
ilustrados sobre la forma
cuadrada, Ediciones G. Gili,
México, 1999)
El cuadrado en la historia del hombre
Anaguitá. Algunos signos extraídos de los
petroglifos americanos de Anaguitá.
Bauhaus. Uno de los primeros experimentos de distintas
agrupaciones de nueve cuadrados. Bauhaus, Weimar.
Situación 1976, pintura
de Diana Baylon.

Recorte varillas iguales y arme un cuadrilátero. Modifique sus ángulos
interiores y observe que de pronto tiene un cuadrado, luego
un rombo no cuadrado.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas figuras?
• Tienen los lados respectivamente iguales.
• Varían las medidas de los ángulos interiores respectivos.
Observe que el cuadrado tiene los cuatro ángulos iguales y rectos o
sea que cada uno de ellos mide 90°, por lo tanto la suma de los
cuatro es:
90° x 4 = 360°
En el rombo no cuadrado dos de los ángulos miden más de 90° y
los otros dos menos de 90°. ¿Cuánto suman los cuatro?
En vez de usar el transportador para medirlos y luego sumarlos recurriremos
a la misma estrategia que utilizamos en el Libro 3 para
analizar cuánto suman los ángulos interiores del triángulo. Analizaremos
entonces cuánto suman los ángulos interiores del rombo y
de otro cualquiera de los cuadriláteros.
25

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Para ello recorte los cuadriláteros que figuran en el Anexo II.
Luego recorte los ángulos de cada uno de ellos y péguelos en forma
consecutiva.
De este modo usted acaba de verificar que la suma de los ángulos
interiores de todos los cuadriláteros que usted recortó es 360°.
Pero esto sólo muestra qué sucede en estos casos.
¿Sucederá en cualquier caso y con todos los cuadriláteros?
Para contestar a estas preguntas es preciso dar una explicación y
justificación más general que efectivamente abarque a todos los
cuadriláteros. En matemática esto se llama demostración.
En este caso se quiere demostrar que la suma de los ángulos interiores
de cualquier cuadrilátero es 360°. Usted ya sabe que la suma de los ángulos
interiores de todo triángulo es 180°, por lo tanto se puede usar
esta propiedad si se logra formar triángulos en el cuadrilátero.
Para poder considerar mejor el problema que se quiere resolver es útil
apelar a una representación gráfica. Por ello se dibuja una figura de
análisis.

Dibuje un cuadrilátero cualquiera y márquele una diagonal. Por
ejemplo:
El cuadrilátero quedó dividido en dos triángulos. Cuando se hacen
demostraciones es preciso recurrir a conocimientos previos sobre el
tema en cuestión. En este caso usted ya conoce la propiedad de los
ángulos interiores del triángulo.
En cada uno de los dos triángulos se cumple la propiedad: la suma
de sus ángulos interiores es 180°. Para identificar a qué ángulo nos
referimos les pondremos nombres. Para diferenciar los ángulos del
triángulo de los del cuadrilátero nombraremos a cada ángulo del
triángulo con un número:
1, ^ ^2, 3, ^ 4, ^ 5, ^ 6^
Observe que el ángulo A del cuadrilátero es igual a la suma de 1 ^ y 6, ^
y C ^ es igual a la suma de 3 ^ y 4. ^
27

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3 ^ + 4 ^ = C^
1 ^ + 6 ^ = A^
5 ^ = D^
2 ^ = B^
Como se observa en el gráfico
+
4 ^ + 5 ^ + 6 ^ = 180°
3 ^ + 2 ^ + ^ +
1 = 180°
^
C +
^
5 + 2
^
+ A
^
= 180° + 180°
C
^
+ D
^
+ B
^
+ A
^
= 360°
¿Qué sucedería si se hubiera dibujado otro cuadrilátero?
Con cualquier cuadrilátero podría hacerse el mismo razonamiento.
Estas deducciones podrían hacerse con cualquier cuadrilátero que se
hubiese dibujado, entonces se dice que se demostró en forma general.
Para hacerlo se recurrió a:
• considerar qué conocimientos ya se tenían sobre suma de ángulos
interiores (en este caso ya se conocía la suma de los ángulos interiores
de los triángulos);
• dibujar una figura de análisis (un cuadrilátero cualquiera);
• dividir la figura en triángulos para aplicar una propiedad ya
conocida;
• obtener mediante sumas el resultado deseado;
• considerar si lo demostrado responde a un caso particular o sirve
para cualquier situación general (en este caso para cualquier
cuadrilátero).
¿Qué se demostró en este caso?
En lenguaje simbólico:
Los ángulos interiores
de un cuadrilátero cualquiera suman 360°.
Siendo ABCD un cuadrilátero cualquiera se verifica que
A ^ + B ^ + C ^ + D ^ = 360°

a
b
a
b
Actividad Nº11
Si tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden:
65º, 89º y 135º ¿cuánto mide el cuarto?
Un cuadrilátero tiene al menos un par de ángulos iguales; si
uno de ellos mide 70º ¿cuánto miden los restantes?
Actividad Nº12
Es usual que los pisos y las paredes de las habitaciones estén
cubiertos con piezas de madera o cerámicas. Muchas veces
estas piezas son cuadradas o rectangulares, pero también se
utilizan otros polígonos.
¿Es posible cubrir el suelo utilizando baldosas repetidas de alguna/s
de las formas siguientes sin superponerlas y sin dejar
espacios en blanco?
Para responder elija la (o las) figuras que considere pueden
servir y recorte varias piezas iguales. Le sugerimos utilizar
papel de calcar.
¿Por qué cree que hay formas que sirven y otras no?
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Irene Albuerne
Vilma Díaz y Zárate
Diseños indígenas argentinos,
Emecé Editores, Bs. As., 1999.
Bruno Munari
El triángulo, más de 100 ejemplos
ilustrados sobre el triángulo
equilátero, Ediciones G.
Gili, México, 1999)
Es posible realizar hermosos diseños repitiendo polígonos. Aquí le
mostramos algunos. Trate de hacer usted otros.
Antigua marca para identificar
objetos cerámicos, sólo con
triángulos
Motivos de patchwork con rombos.
Diseño de nuestros aborígenes

Perímetros
En muchas situaciones cotidianas tenemos que estimar longitudes
para bordear diferentes objetos. Por ejemplo: la cantidad de hilo
para hacer un paquete, de alambre para poner alrededor de un
cantero, de cinta para hacer el borde de un vestido, etc. En estos
casos lo que se está estimando es el perímetro.
Por ejemplo, el perímetro de una plaza se expresa generalmente en
metros, la cantidad de hilo para atar un paquete pequeño puede indicarse
en cm, el borde de la cabeza de un tornillo en mm o cm. El
centímetro, el metro, el milímetro son unidades de longitud.
Para conocer la medida de cualquier perímetro bastaría bordear
con un hilo su contorno y luego medir esa longitud.
Cuando se quiere calcular el perímetro de un polígono resulta más
sencillo, porque se puede tomar la medida con una regla, si esto es
factible, y luego calcular la suma de los lados. Usted ya ha realizado
en el Libro 3 ejercicios en los que aplicó estos conceptos.
Ahora considerará un perímetro muy particular: la longitud de la
circunferencia.
En el Libro 1 Módulo 3 repasar
perímetros y unidades
de longitud.
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32
En Libro 2 Módulo 5
encontrará circunferencia y
círculo.
Analice el siguiente problema.
En una fábrica de neumáticos se necesita calcular la longitud de
cinta de caucho que se utilizará en la última capa de uno de sus
productos. Para poder resolver esta situación debemos tener en
cuenta la forma del objeto con el que estamos trabajando.
La circunferencia es la línea que se forma con todos los puntos que
están a igual distancia de otro llamado centro. Es decir, todos los
puntos de la circunferencia son equidistantes del centro.
Para dibujar circunferencias se utiliza el compás. Este instrumento
permite transportar segmentos. Al dibujar una circunferencia se
transporta un mismo segmento infinitas veces, uno por cada punto
de la circunferencia.

a
b
c
d
Actividad Nº13
¿Qué nombre recibe el segmento que tiene por extremos el
centro de la circunferencia y uno cualquiera de sus puntos?
¿Cuántos radios tiene una circunferencia?
Es posible determinar otros segmentos en la circunferencia,
aquellos en que sus dos extremos son puntos de la circunferencia.
¿Cuál de los segmentos dibujados tiene mayor longitud?
¿Cuántos diámetros tiene la circunferencia?
La figura plana que queda delimitada por la circunferencia tiene
siempre el mismo ancho, porque tiene infinitos diámetros iguales.
33

34
Esta propiedad es la que le permitió al hombre inventar la rueda,
facilitando enormemente el traslado de cosas pesadas.
Para que usted note con mayor claridad la importancia de esta forma
tome dos cilindros de igual diámetro (dos lápices) y traslade
una caja haciéndolos rodar.
Luego tome otros dos lápices pero con forma de prismas y trate de
hacer lo mismo. ¿Qué sucede?
Por ser las diagonales de mayor longitud que los lados el "ancho", no
es constante. Tiene un “ancho" máximo y un ancho mínimo. En las siguientes
figuras se observa esta situación considerando la posibilidad
de que usted haya elegido un lápiz con base cuadrada o hexagonal.
Esto también lo advertirá si trata de pasar por un pasillo un cuerpo
cuyas caras laterales sean estas figuras, depende de cómo ubique el
cuadrado, pasa o no. Piense por ejemplo una caja de base cuadrada.
Muchas veces al reubicar muebles tenemos en cuenta esta propiedad.
Retomemos el problema de la fábrica de cubiertas. Allí necesitan
saber la longitud del caucho, que no es otra cosa que la longitud de
la circunferencia.

Hallar la longitud de la circunferencia es medir el largo de dicha línea.
Para ello se puede rodear la cubierta con un piolín, estirarlo y
luego medirlo.
Actividad Nº14
Tome varios objetos de base circular como platos, latas de duraznos,
ollas, baldes, etc. Dibuje los contornos de las bases, es
decir las circunferencias.
Analice qué sucede con la relación entre la longitud de la circunferencia
y la longitud de los diámetros de esas figuras.
Complete los valores hallados en una tabla como la siguiente.
Puede utilizar un piolín.
Longitud de circunferencia Diámetro
¿Cómo hallar los diámetros?
De diferentes maneras. Le proponemos algunas:
• apoyar los objetos circulares sobre un papel, bordearlos. Recortar los
círculos obtenidos y doblarlos por la mitad, por lo menos dos veces.
Así es posible obtener un diámetro.
Ver Módulo 5 Libro 2.
35

36
Recuerde proporcionalidad
directa en el Libro 2, Módulo
4 y en el Libro 3.
Observe que cualquier doblez que divida en mitades siempre permite
obtener un diámetro porque pasa por el centro.
• Con un piolín, apoyar en un punto del borde y tomar diferentes
medidas hasta obtener la máxima. Esa corresponde a la del diámetro,
por definición de diámetro.
Para que exista proporcionalidad directa entre el diámetro y la longitud
de la circunferencia debería haber una constante de proporcionalidad.
Para hallar esa constante, si es que existe, divida cada longitud de
circunferencia por su correspondiente diámetro.
Si usted tomó bien las medidas y efectuó bien los cálculos obtendrá
valores muy cercanos a 3.

Actividad Nº15
Dibuje un par de ejes. En el horizontal indique los diámetros
y en el vertical las longitudes de las circunferencias. Marque
los puntos correspondientes a los valores obtenidos en los
diámetros y circunferencias de la actividad anterior.
l
El siguiente cuadro corresponde a los valores hallados en una actividad
similar a la que usted tenía que realizar en la que se utilizó
un instrumento graduado en cm y mm.
Referencias
l longitud de la circunferencia
d diámetro
Diámetro 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 7 cm 8 cm 9 cm
Longitud de la
circunferencia 3 cm 6,3 cm 9,4 cm 12,6 cm 15,7 cm 18,9 cm 22 cm 25,1 cm 28,2 cm
d
37

38
A continuación le presentamos el gráfico correspondiente a este
cuadro:
Observará que los puntos quedan aproximadamente alineados.
Además si una circunferencia tuviese diámetro cero, ¿qué longitud
tendría?
Considerando los errores en los valores del cuadro, propios de la limitación
del instrumento y los errores al medir, se podría decir
que el gráfico corresponde a puntos que están sobre una recta que
pasa por el origen de coordenadas.
Por lo tanto si la relación que existe entre el diámetro de cada circunferencia
y su longitud es una proporcionalidad directa cuya constante
es (aproximadamente) tres, se puede afirmar que tiene la forma
y = k . x
Donde k (constante de proporcionalidad) es aproximadamente 3.

O sea
y = 3. x
En este caso la variable independiente x es el diámetro y la variable
independiente y es la longitud de la circunferencia, que será
distinta para cada valor del diámetro. Queda entonces:
Longitud de la circunferencia = 3 . diámetro
Este valor 3 es el que usaban los súmero-babilonios para hallar
longitudes de circunferencias, por ejemplo el largo de un hierro
que al curvarlo diera una rueda de cierto ancho.
Pero los matemáticos, mediante otros métodos han calculado con
mayor exactitud la constante de proporcionalidad, número al que
llamaron π (pi) y que no puede expresarse con todas sus cifras decimales,
pues siempre se puede calcular una nueva cifra. Tal como
estudió en el libro 4 tanto por truncamiento como por redondeo se
la puede indicar por aproximación
= 3,14
La fórmula para hallar la longitud de la circunferencia:
Longitud de la circunferencia = . d
Como el diámetro tiene el doble de la longitud del radio se la puede
expresar también como:
Longitud de la circunferencia = 2 . . r
Retomemos el problema de los neumáticos. Para resolverlo debemos
medir el radio. Si al hacerlo registramos un radio de 50 cm, la
longitud de cinta de caucho para el neumático será igual al doble
de 50 cm (50.2) por π, que indica la cantidad de veces que “entra"
el diámetro en la circunferencia. Así se tiene:
Longitud de cinta = 2 . . r
Longitud de la cinta = 2 . . 50 cm
Longitud de la cinta de caucho = 314 cm
39

40
Lea en el Libro 2, Módulo 5
lo trabajado sobre superficie
de círculo.
No todos los problemas en los que participan formas circulares poseen
como incógnita la longitud de una circunferencia. Otros pueden
referirse a la superficie del círculo.
a
b
a
b
Actividad Nº16
En una fábrica de posavasos se quiere averiguar la superficie
del material sobrante por cada planchuela que deja una máquina
perforadora de planchuelas de corcho. Las dimensiones
de las planchuelas son de 50 cm por 60 cm. La máquina realiza
35 agujeros circulares de 5 cm de radio.
Calcular cuánta cinta es necesaria para poner en el borde de
los portavasos de cada planchuela, considerando que al total
de la cinta necesaria se le agrega un 15% para poder trabajar.
Se quiere atar un paquete cilíndrico del modo que indica el gráfico.
Se sabe que la longitud de la circunferencia de las bases del
paquete es de 15,7 cm, la altura del paquete es de 9 cm y se desea
dejar 8 cm para el nudo. ¿Con qué longitud debe contar el piolín?
Actividad Nº17
Calcular en forma aproximada la superficie de una moneda
de $ 0,25, de una de $ 0,50 y de una de $ 1.
Se quiere enchapar con fórmica la superficie de una mesa circular
de 50 cm de diámetro. ¿Qué superficie de fórmica debe comprarse?

Superficies
El Tangram
El Tangram es un juego muy antiguo de origen chino. Consta de
siete piezas geométricas. Con él es posible armar una muy variada
cantidad de figuras. Algunas resultan figurativas, semejan animales
o casas, otras son enteramente geométricas.
a
Actividad Nº18
Para realizar esta actividad tendrá que recortar las figuras que
están en el Anexo III. Le sugerimos que las pegue sobre cartón
o cartulina para trabajar mejor. Todas ellas conforman el
rompecabezas conocido como Tangram.
Arme las siguientes figuras con las siete piezas del Tangram. (Las
piezas se pueden colocar una al lado de otra pero no superponer.)
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
41

42
b
c
Arme con ellas un cuadrado.
¿Cómo son entre sí las superficies de las figuras de los items a y b?
Superponga los dos triángulos pequeños con:
• el cuadrado pequeño;
• el paralelogramo;
• el triángulo mediano.
Después de hacerlo observe que se puede decir que el cuadrado pequeño
mide (ocupa el lugar de) dos triángulos pequeños. Lo mismo
sucede con el paralelogramo y con el triángulo mediano.
De este modo podemos afirmar que la pieza con forma de cuadrado,
la que tiene forma de paralelogramo y el triángulo mediano
tienen superficies equivalentes. O lo que es lo mismo, que tienen
la misma superficie.
También son figuras equivalentes en superficie las figuras y el
cuadrado obtenido en la actividad anterior.
a
b
c
Actividad Nº19
Arme la pieza triangular grande con:
• el paralelogramo y los dos triángulos pequeños;
• el triángulo mediano y los dos triángulos pequeños;
• el cuadrado y los dos triángulos pequeños.
Arme un triángulo, un paralelogramo y un rectángulo usando
las siete piezas cada vez.
¿Cuántos triángulos pequeños son necesarios para formar el
triángulo mediano? ¿Y para formar el triángulo más grande?

Considere el triángulo pequeño. ¿Cuánto mide el cuadrado que se
arma con las siete piezas?
Mide 16 triángulos pequeños.
Considere el triángulo mediano. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado?
Mide 8 triángulos medianos.
Considere el triángulo grande. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado?
Mide 4 triángulos grandes.
La medida de la superficie se llama área
y varía dependiendo de qué patrón se usa para medir.
¿Varía de cualquier manera?
En los ejemplos del Tangram se puede observar lo siguiente: en cada
medición se usó un patrón con el doble de superficie respecto
del anterior, y se obtuvo una medida que resultó la mitad en cada
uno de los respectivos ejemplos.
Patrón usado Medida obtenida
Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
16
8
4
43

44
Si lo considera necesario repase
en el Libro 4 el concepto
de inverso multiplicativo.
Puede deducirse que cuando el patrón (unidad) es el doble, la medida
obtenida es la mitad; cuando es el cuádruple la medida obtenida
es la cuarta parte. La relación entre el tamaño de la unidad y la medida
obtenida es de proporcionalidad inversa, porque al variar una
de ellas, la otra se modifica según su inverso multiplicativo.
a
b
c
Actividad Nº20
Corte un trozo de hilo. Esta será una de sus unidades de longitud.
Corte otros dos hilos cuyo largo sea el doble y el triple
del anterior. Analice qué sucede si mide la longitud del borde
de una mesa utilizando sucesivamente estas tres longitudes
como unidades.
Busque dos botellas tales que la capacidad de una de ellas sea el
doble de la otra. Mida la capacidad de un balde o de una olla
dos veces utilizando sucesivamente como unidad estas botellas.
Analice sus respuestas a los items a y b y responda: ¿la relación
de proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad y la medida
obtenida depende de la magnitud que se mida?
Si queremos forrar un cuaderno, pintar o empapelar una pared,
embaldosar un piso, etc. debemos estimar las respectivas medidas
de las superficies. Esto se puede hacer de dos formas:
• por una estrategia de “medición", es decir de comparación -directa
o mental- con una unidad o patrón de esa magnitud;
• por el cálculo de la medida de la superficie, a partir de analizar
la figura y conocer algunas longitudes.
P l a n S o c i a l E d u c a t i v o

¿Cómo se miden las superficies?
Si antes de pintar una habitación, para proteger su piso lo cubrimos
con 50 hojas de papel de diario, podríamos afirmar que la superficie
del piso es 50 papeles de diario. En este caso se comparó
directamente la superficie a medir con la unidad (papel de diario).
Pero se sabe que no todas las publicaciones editan sobre un mismo
tamaño de papel. Por tal razón no podríamos transmitir a otro la
información si previamente no nos ponemos de acuerdo sobre qué
diario usar y por lo tanto obtener la misma medida.
Para medir superficies la unidad es un metro cuadrado, o sea es la
superficie de un cuadrado que tiene un metro de lado.
También se necesitan unidades de mayor y de menor superficie.
Por ejemplo, la superficie de un país se mide en km 2 , la superficie
de una hoja de cuaderno en cm 2 .
Para medir campos también suele utilizarse la hectárea (ha) que es
una superficie equivalente a 1hm 2 , es decir a un cuadrado de 1hm
de lado. Por ejemplo en las ciudades las cuadras generalmente son
de 100 m de largo, cada manzana es 1 hectárea.
Es importante recordar que las unidades patrón se eligen en función
de las mediciones que se deben efectuar.
Actividad Nº21
Indique cuál es la unidad adecuada para medir la superficie
en cada caso:
Objeto que se debe medir Unidad de superficie elegida
La extensión de su provincia
El frente de un edificio
La superficie de su mesa de trabajo
La hoja de un árbol
La palma de su mano
La huella que deja su pie
Consulte en el Libro 1, Módulo
Nº3 las unidades de
medida.
45

46
a
b
Actividad Nº22
Halle el área de la hoja de una planta usando diferentes unidades
como por ejemplo, el centímetro cuadrado, el milímetro
cuadrado.
Para realizar esta actividad puede “calcar" la hoja sobre papel
cuadriculado de 1cm, de _1
cm y sobre papel milimetrado
2
(Anexos IV , V y VI).
Resulta interesante tomar hojas de una misma planta en diferentes
estadios de crecimiento y observar qué relación guardan
entre sí el largo, el ancho y el área.
¿Cómo se calculan las superficies?
No siempre resulta sencillo medir superficies, pero se puede obtener
la medida a partir de conocer algunas longitudes.
En módulos anteriores usted ha estudiado cómo calcular la superficie
del rectángulo, del cuadrado, del rombo, del triángulo y del
círculo. Puede consultar los números 2, 3 y 4.
Actividad Nº23
Se quiere embaldosar un patio rectangular de 4 m de largo
por 3 m de ancho utilizando baldosas de 40 cm por 40 cm.
¿Cuántas baldosas serán necesarias?
Una lata de pintura en su etiqueta dice “Rendimiento 5 m 2 / litro"
esto significa que con un litro es posible cubrir 5 m 2 ). Se desea
pintar una habitación que tiene dos paredes de 4 m x 6 m y
otras dos de 5 m x 6 m. En una de las paredes pequeñas hay una
ventana de 1 m x 2 m; en otra hay una puerta de 1,5 m x 3 m;
en una de las paredes grandes hay otra puerta de 2 m x 3 m. (El
techo no se pinta con la misma pintura de las paredes.)

.1
b.2
b.3
a
b
c
a
b
Haga el dibujo de la habitación.
Determine las dimensiones del techo.
Calcule cuántos litros de pintura serán necesarios para pintar
las paredes (descontando las puertas y la ventana).
Actividad Nº24
Dibuje en el papel cuadriculado triángulos de cm2 ; 1 cm2 ;
1 cm2 ; 2 cm2 ; 2 cm2 y 3 cm2 respectivamente.
Para ello tenga en cuenta que las siguientes figuras miden 1 cm2 _1
_1
2
2
_1
.
2
_1 2 superficie de A = 1 cm superficie de B = 1 _1 cm
2
2
2
Actividad Nº25
Dibuje un cuadrado y recórtelo. Divídalo en dos figuras de
igual superficie. Intente varias soluciones.
Dibuje un rectángulo y recórtelo. Divídalo en dos figuras de
igual superficie. Intente varias soluciones.
Dibuje un paralelogramo y recórtelo. Divídalo en dos figuras
de igual superficie. Intente varias soluciones.
Actividad Nº26
Dibuje un cuadrado cuya superficie mida 36 cm 2 .
Dibuje un triángulo cuya superficie mida la cuarta parte de la
del cuadrado.
47

48
Relea en el Libro 4 las propiedades
de los triángulos.
a
b
c
d
Actividad Nº27
Dibuje un rectángulo cuya superficie mida 24 cm 2 . Dibuje un
triángulo cuya superficie sea la mitad de la del rectángulo.
Dibuje un paralelogramo cuya superficie mida 24 cm 2 . Dibuje
un triángulo cuya superficie sea la mitad de la del rectángulo.
Dibuje un rectángulo cuya superficie mida 21 cm 2 . Dibuje un
triángulo cuya superficie mida la mitad de la del rectángulo.
Dibuje un paralelogramo cuya superficie mida 21 cm 2 . Dibuje
un triángulo cuya superficie mida la mitad de la del paralelogramo.
Dibuje otro triángulo cuya superficie sea la mitad de
la del mismo paralelogramo.
¿Cómo calcular la superficie de otras figuras?
A continuación determinaremos cómo se calcula la medida de las
superficies de triángulos, trapecios y romboides. Para ello se utilizarán
las superficies de rectángulos y paralelogramos que ya conoce.
Superficie del triángulo
Para calcular la superficie del triángulo utilizaremos el rectángulo
y el paralelogramo. Le sugerimos revisar sus respuestas a la Actividad
Nº 27.
Al trazar cualquiera de las diagonales de un rectángulo notará que la
figura queda dividida en dos triángulos iguales. La superficie del triángulo
deberá ser, entonces, la mitad de la superficie del rectángulo.

Como la superficie del rectángulo es base por altura, la superficie
del triángulo será la mitad, o sea, habrá que multiplicar a la base
por la altura y dividirla por dos:
base x altura
Sup. del triángulo = ____________
2
¿Cuál será la superficie de un triángulo de 5 cm de base y 3 cm de
altura? Consulte los Módulos Nº3 y Nº5 donde se trabajó sobre superficie
del rectángulo.
Primero cuente los cuadraditos completos.
Luego las porciones de cuadrados uniéndolas para constituir cuadrados
completos.
49

50
Si es necesario revise el Libro
2, Módulo 5 para repasar
cómo se calcula la superficie
del paralelogramo.
Como podemos notar la fórmula interpreta el conteo de centímetros
cuadrados realizado por nosotros:
Superficie del triángulo=
Superficie del triángulo=
Superficie del triángulo=
base ____________ x altura
2
____________
5 cm . 3 cm
2
15 ______ cm2 2
Superficie del triángulo= 7,5 cm 2
El triángulo sobre el que recién trabajamos es rectángulo. ¿Cómo se
calcula la superficie del triángulo si es acutángulo u obtusángulo?
Considere el siguiente paralelogramo:
Como puede observar, al trazar cualquiera de las diagonales el paralelogramo
también queda dividido en dos triángulos iguales.
En este caso también hay que multiplicar la base por la altura para
hallarla. Por lo tanto si la superficie de cada triángulo es la mitad
de la del paralelogramo, habrá que dividir por 2 el resultado de
la multiplicación. Es importante considerar que la altura del paralelogramo
coincide con la altura del lado del triángulo que se está
considerando como base.
Como puede observar la fórmula sirve para calcular la superficie
de cualquier triángulo, no importa que éste sea rectángulo, acutángulo
u obtusángulo.
Superficie del triángulo=
base ____________ x altura
2

a
b
c
d
e
f
Actividad Nº28
Con un hilo elástico (cerrado) fije dos puntos A y B y desplace
el tercer punto C por una paralela al lado AB (ver figura).
¿Qué elementos de cada triángulo permanecen constantes y
cuáles varían?
¿Qué clases de triángulos pudo obtener?
¿Cuántos triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos
halló?
Identifique los triángulos isósceles encontrados.
¿Cuál es el triángulo de menor perímetro?
¿Que conclusión puede sacar respecto de la superficie y del
perímetro de cada triángulo?
51

52
Superficie del trapecio
Para que usted pueda seguir la explicación más fácilmente es
conveniente que recorte los dos trapecios iguales que encontrará
en el Anexo VII.
Coloque los nombres a los vértices, como indican las siguientes figuras.
Trabajaremos con el trapecio ABCD y con el A’B’C’D’, que son
iguales entre sí.
Responda las preguntas que se formulan, si tiene dificultades mire
la referencia en el pie de página.
Rote uno de los trapecios 180º y haga que el lado CD y el lado C’D’
coincidan.
Podrá observar que queda conformado un paralelogramo. Mencione
qué paralelogramo queda formado : ............................ 1
¿Cómo es la superficie del paralelogramo respecto del trapecio?
..................... 2
Halle la superficie de un paralelogramo.
1 El paralelogramo ABA’B

Superficie del paralelogramo ABA’B’ = ........... x .......... 3
O sea la base del paralelogramo por la altura.
Pero además la base del paralelogramo es la suma de la base mayor
y la base menor del trapecio.
Nos referiremos a ellas como Base (base mayor) y base (base menor).
Se tiene entonces que AB’ = ...................... 4
La altura del paralelogramo es la misma que la del trapecio, la llamaremos
h.
Si reemplazamos la base del paralelogramo por la suma de las bases
de los trapecios queda:
Superficie del paralelogramo ABA’B’ = (...... + ......) x ...... 5
Como usted sabe que la superficie de cada trapecio es igual a la
mitad de la del paralelogramo sólo restará dividir por dos:
Superficie del trapecio Base (mayor) + base (menor)
=
________________________ x H
2
2 La superficie del paralelogramo es el doble de la superficie del trapecio. Por lo tanto la superficie del trapecio es la mitad de la del paralelogramo.
3 Superficie del paralelogramo ABA’B’= AB’ . AB.
4 AB’= Base (mayor) + base (menor).
5 Superficie del paralelogramo ABA’B’= {Base (mayor) + base (menor)} x h.
53

54
a
b
c
Actividad Nº29
Primero consulte en el Módulo 5 qué son los puntos medios.
Luego realice la actividad.
Dibuje un rectángulo sobre el papel cuadriculado (Anexo IV o V).
¿Cuánto mide la superficie de su rectángulo?
• Trácele los puntos medios a los lados.
• Una los puntos medios de lados consecutivos.
¿Qué figura le quedó formada al unir los puntos medios?
¿Qué relación encuentra entre esta superficie y la del rectángulo
del comienzo?
Superficie del romboide
Para facilitar la deducción de la fórmula del romboide recorte del
Anexo VIII los dos romboides iguales. En uno de ellos recorte los
triángulos que están determinados.
Coloque las letras para poder seguir la deducción.

Llamaremos d a la diagonal menor y D a la diagonal mayor.
Complete el rectángulo con las piezas triangulares del otro romboide
para conseguir formar un rectángulo. Como puede observar, este
rectángulo tiene el doble de superficie que cada romboide.
Como usted sabe hallar la superficie de un rectángulo, le bastará
con hallar la superficie del rectángulo y luego dividirla por dos para
obtener la del romboide.
Observe:
La diagonal mayor del romboide coincide ¿con qué segmento del
rectángulo? ....................................... 6
Y además la diagonal menor coincide con .................... 7
El rectángulo está formado por ocho triángulos. Podríamos formar
con ellos dos romboides iguales. Por lo tanto la superficie del romboide
es igual a la mitad de la superficie del rectángulo.
Entonces:
Sup (rectángulo)
Superficie del romboide = _______________
2
Complete con los datos del rectángulo:
Superficie del romboide = .................... 8
6 La base del rectángulo PL (o bien MN) coincide con D.
7 La altura del rectángulo (BE=MP).
8 PL x MP.
2
55

56
Usted ya dedujo que esos datos están relacionados con los del romboide,
reemplácelos:
Superficie del romboide = .................... 9
La superficie del romboide es:
a
b
a
b
c
d
Superficie del romboide =
Actividad Nº30
9 Diagonal (mayor) x diagonal (menor)
2
D x d
2
Su hijo quiere construir un barrilete que tiene forma de romboide.
Para eso usted dispone de dos maderitas de 60 cm y de
80 cm. ¿Cuántos cm 2 de papel necesitará si quiere ponerle dos
capas, una a cada lado del barrilete?
Un puente que se encuentra sobre un ferrocarril tiene un enrejado
fino que forman dos “paredes de hierro" laterales que
sirven como seguro. La forma de cada una es la de un trapecio
isósceles cuya base mayor mide 15 m, su base menor mide
12 m y la altura es de 8 m. ¿Cuál es la superficie de cada
una de esas paredes?
Actividad Nº31
Calcule mentalmente.
¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide 7 cm y su
altura mide 8 cm?
Una carpeta cuadrada tiene 25 m 2 de superficie, ¿cuál es la
medida de cada uno de sus lados?
Un paralelogramo posee 80 m 2 de superficie. Si su base mide
10 cm, ¿cuál es su altura?
Un triángulo mide 36 cm 2 de superficie si la altura es de 9 cm,
¿cuánto mide su base?

A continuación y a modo de síntesis, le presentamos un cuadro
con las fórmulas de superficie que usted podrá consultar cada vez
que lo necesite.
Figura
Triángulo
Cuadrado
Rectángulo
Paralelogramo
Rombo
Romboide
Trapecio
Círculo
Fórmula de la
superficie
b . h
2
l 2
b . h
b . h
D . d
2
D . d
2
(B + b) . h
2
Sup. (círculo) = . r 2
57

58
En el Libro 2, Módulo Nº5
encontrará información
más detallada sobre el tema
volumen.
Volúmenes
Si queremos levantar una construcción de hormigón, llenar un
camión con la carga, llenar una pileta o un tanque, guardar la vajilla
en un armario o la mercadería que compramos (latas de tomates,
paquetes de galletitas, etc.), guardar libros en una caja o en un
estante, rellenar un pozo con tierra o con material asfáltico debemos
estimar los respectivos volúmenes.
Para realizar la próxima actividad trabajará con un rompecabezas
llamado Soma.
El Soma es un rompecabezas espacial creado por el matemático
danés Piet Hein. Consta de siete piezas que están formadas por cubos.
Con él es posible armar una muy variada cantidad de sólidos.
Algunos resultan figurativos y otros son enteramente geométricas
como por ejemplo el cubo del dibujo.
Actividad Nº32
Copie en cartón o cartulina fuerte este rompecabezas. Arme
los 27 cubitos y con ellos las siete piezas del Soma.

Arme los siguientes cuerpos con piezas del Soma.
Observe que las piezas se arman con diferente número de cubos.
Así como para medir superficies se utiliza una superficie
tomada como unidad patrón, para medir volúmenes se considera
un volumen como unidad. En este caso un cubo pequeño
será la unidad. Analice en cada una de las construcciones
cuál es el volumen respecto de esa unidad.
Arme tres cuerpos equivalentes en volumen.
59

60
En el Libro 2 del Móludo 4
puede encontrar desarrollado
lo relativo a las unidades
de volumen que se
consideran en el Sistema
Métrico Legal Argentino
(SIMELA).
1 cm
¿Cómo se mide el volumen?
Para medir el volumen de un cuerpo es necesario acordar -tal como
se hizo con las mediciones de longitudes y de superficies- y
adoptar una unidad de medida común.
Si cargamos el baúl de un auto con cajones de gaseosa, y vemos
que entran cinco, podríamos afirmar que el volumen interior del
baúl es 5 cajones de gaseosa. Pero otra persona podría discutir por
un baúl semejante porque él guarda sesenta cajas de gaseosas, entonces
podría decir mide sesenta.
Un volumen se mide viendo cuántas unidades cúbicas contiene el
sólido en cuestión.
El metro cúbico (m 3 ) es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.
El centímetro cúbico (cm 3 ) es el volumen que tiene un cubo de 1 cm
de arista.
Si se quiere medir el volumen de agua que puede contener un balde
es conveniente medirlo con centímetros cúbicos (cm 3 ) . También se
usa esta unidad para indicar la capacidad total de los cilindros de los
motores de los coches y las motos. Es común escuchar hablar de la cilindrada
de los motores, a mayor cilindrada mayor potencia.
En cambio si se quiere medir el volumen de aire que contiene una
habitación es mejor hacerlo en metros cúbicos (m 3 ).
Muchas veces, la capacidad de los frascos de medicamentos viene indicada
en centímetros cúbicos (cm 3 ) o en milímetros cúbicos (mm 3 ).
Si considera el siguiente dibujo a escala de 1 dm 3 y la cantidad de
cubitos de 1 cm de arista (1cm 3 ) necesarios para llenarlo podrá recordar
que en las unidades de volumen del SIMELA la relación entre
las diferentes unidades es de potencias de 1.000.

1 cm 3
Si lo cree necesario arme un m 3 . Recorte y pegue papeles de diario
para armar las caras laterales que tendrán 1m 2 . Arme el cubo de
1m de arista, en un rincón de una habitación, así podrá utilizar el
piso y las paredes como ayuda. Complete con su imaginación el
“techo" de este metro cúbico. Si además construye cubos de 1 dm
de arista (dm 3 ) verá como efectivamente se necesitarán 1.000 de
esos cubos de 1dm 3 para completar el m 3 .
También puede armar cubos de 1cm de arista y tratar de completar
un cubo de 1dm 3 de volumen.
1 dm 3
61

62
En el Libro 2, Módulo 5 se
explica cómo calcular el volumen
de cubos, prismas y
cilindros. Revéalo.
Estas equivalencias entres unidades son las que deberá recordar, por
ejemplo, si le preguntan ¿a cuantos dm 3 equivalen 5m 3 ? Podrá contestar
pensando en el cubo que armó de 1m 3 que equivalen a 5 000 dm 3 .
¿Cómo se calculan los
volúmenes de los cuerpos?
Así como no siempre resulta sencillo medir superficies tampoco
lo es medir los volúmenes. La medida se puede obtener calculándola
a partir de conocer algunas longitudes.
Por ejemplo, la fórmula del prisma es:
Volumen del prisma = superficie de la base x altura.
Analice este ejemplo.
Se quiere medir el prisma de la siguiente figura. Se utilizan cubos
de un cm 3 .

64
Se observa que caben 6 cubos a lo largo, luego 5 cubos a lo ancho.
Con lo que se tienen en la base 30 cubos. Luego se observa que en
el alto caben 3 cubos. Finalmente se cuentan todos los cubos y se
obtiene que hay 30 x 3 = 90 cubos.
Por lo tanto el volumen de este prisma se puede obtener directamente
multiplicando los valores del largo por el ancho por el alto
o lo que es lo mismo, superficie de la base por la altura.
Datos:
Longitud del largo = 6 cm
Longitud del ancho = 5 cm
Longitud del alto = 3 cm
Volumen del prisma = ?
Volumen del prisma = 6 cm x 5 cm x 3 cm = 90 cm 3

a
b
a
b
Actividad Nº33
Las aristas de una caja de cartón con forma de prisma miden
respectivamente 16,5 dm, 18 dm y 30 dm.
¿Con cuántos cubos de 1 dm de arista se puede rellenar?
¿Con cuántos cubos de 1 cm de arista se puede rellenar?
Use la fórmula para hallar el volumen en decímetros cúbicos.
Use la fórmula para hallar el volumen en centímetros cúbicos.
¿Encontró alguna diferencia con los resultados anteriores?
Actividad Nº34
Las aristas de un envase de leche miden 2 dm, 1,25 dm y 1 dm.
¿Cuántos decímetros cúbicos caben en él?
Actividad Nº35
El decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un
decímetro de arista, pero no es correcto decir que un decímetro
cúbico es un cubo de un decímetro de arista. Resuelva el
siguiente problema y responda por qué no es correcto.
Las aristas de una caja prismática son 1 dm, 2 dm y 0,5 dm.
¿Cuál es el volumen de esta caja?
65

66
El lenguaje matemático
Para poder organizar nuestro pensamiento, comunicar nuestras
ideas, interpretar las ideas de otros, necesitamos usar una representación
que sea común a todos. Esta representación es el lenguaje.
Este lenguaje ya sea el gestual, con gráficos, con palabras ha
ido cambiando a través de la historia del hombre.
¿Qué habrán querido transmitir aquellos hombres que pintaron las
paredes de la cueva de Altamira en España o aquellos que lo hicieron
en la cueva de las manos en nuestra Patagonia?
Es fundamental que todos entendamos lo mismo con cada símbolo
que usemos. Por ejemplo el semáforo debe ser interpretado de cierta
manera: luz roja, parar; luz verde, avanzar. Si alguien entendiera
lo contrario resultaría muy peligroso. La elección del color es
convencional y arbitraria.
Convencional quiere decir que las personas que la utilizan se pusieron
de acuerdo, y arbitraria que es así por elección pero podría haber
sido de otra manera.
Del mismo modo las palabras que usamos para hablar y escribir son
arbitrarias. Así también sucede con el lenguaje matemático. Es convencional
y es arbitrario. Por ello es que debemos acordar qué significan
los símbolos que se usan para que todos nos entendamos.

La matemática usa varios lenguajes: el lenguaje gráfico, el lenguaje
aritmético, el lenguaje geométrico, el lenguaje coloquial (habitual),
el lenguaje algebraico.
María tiene quince años.
Es una expresión del lenguaje habitual (en castellano)
María tiene 15 años.
Ya introduce el lenguaje aritmético. Utiliza un símbolo numérico
que forma parte del lenguaje aritmético.
Observe que en la Antiguedad un romano lo hubiese escrito:
María tiene XV años.
Los lenguajes evolucionan de acuerdo con los diferentes momentos
históricos con las diferentes civilizaciones.
“Quince" se dice diferente en otros países, por ejemplo en inglés
“fifteen". Pero, tanto en Inglaterrra como en muchísimos países
más, se escribe 15 al usar el lenguaje aritmético, porque el lenguaje
aritmético es casi universal.
¿Para qué sirve el lenguaje simbólico de la matemática? Para acortar
expresiones. En la Edad Media se escribía “la raíz cuadrada de
treinta y seis más sesenta y cuatro es igual a diez". Ahora se indica así:
36 + 64 = 10
Los signos más y menos tal como hoy los usamos ("+" y "-") fueron
empleados por primera vez por el alemán Ricardo Widmann en 1489.
El signo "=" lo creó el inglés Robert Recorde en 1557.
La notación " " para designar a la raíz cuadrada fue introducida
por Christoph Rudolff en 1525.
Recién en el siglo XV se generalizó a toda Europa el uso del sistema
de numeración indoarábigo, que usamos hoy.
Piense qué otros símbolos matemáticos conoce. Todos tienen su historia.
67

68
Thomas Harriot creó los signos de desigualdad “>" y “ 3" como cuando encontramos “3 < 7".
También es posible escribir “7 9" con lo que se indica que “siete
es menor o igual que nueve".
Pero también es común encontrar en los textos matemáticos “a < 9"
con lo que se quiere expresar “cualquier número menor que nueve".
En este caso estamos usando el lenguaje algebraico.
En el lenguaje algebraico se utilizan letras en lugar de números. Estas
letras pueden estar representando uno, varios o infinitos números.
Veamos algunos ejemplos:
• Cuando se dice “un número que sumado a tres de siete" simbólicamente
se puede expresar “n + 3 = 7". Con “n" se indica un solo
número desconocido al momento de expresarlo pero que es factible
hallar. Se dice que ese número es cuatro y se expresa “n = 4".
• Cuando se dice en lenguaje coloquial “dos números naturales que
sumados den siete" (que es lo mismo que decir “cualquier par de
números naturales tales que al sumarlos se obtenga siete") se expresa
de este único modo algebraicamente: “a + b = 7" (En realidad
se podrían haber usado otras letras pero estaríamos indicando
lo mismo). Y “a" y “b" estarían representando varios pares de números:
1 y 7, 1 y 6, 2 y 5, 3 y 4.
• Cuando se escribe “a > 10" se quiere expresar cualquier número
que sea mayor que diez. En este caso “a" está representando de
modo general a infinitos números.
En los Libros 3 y 4 usted ya trabajó con expresiones algebraicas
para hacer generalizaciones. Por ejemplo: a tiene por opuesto a –a.
En estos casos se utiliza el lenguaje simbólico para representar todos
los números, para cualquiera de ellos (por lo tanto son infinitos).
Cuando en el Libro 3 usted estudió funciones utilizó expresiones
tales como “y = k . x", cuando se trató la proporcionalidad directa

y se aclaró que quería decir que “y es igual al producto de una
constante k por la variable x". En estos casos existen infinitos pares
de valores posibles para x y para y.
Otro ejemplo visto en el Libro 3 fue:
En símbolos: “y = k . x + b" donde b y k son valores dados en cada
caso.
Y se tradujo como: “Las funciones en las que la variable independiente
se multiplica por algún valor y luego se le suma (o resta)
otro tienen como gráficas rectas que no pasan por el origen de
coordenadas".
Un ejemplo de este tipo de función en lenguaje algebraico sería:
y = 3 . x + 2
Esa función en lenguaje gráfico sería:
También se indicaron con letras las fórmulas de la superficie de figuras
y de los volúmenes de cuerpos.
69

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Actividad Nº36
Traduzca las siguientes expresiones utilizando símbolos matemáticos:
• Siete es menor que quince.
• Veintitrés no es mayor que cuarenta.
• Nueve es menor que quince y mayor que tres (lo que es
equivalente a decir que nueve está entre tres y quince).
• Veinticinco es menor o igual que veintisiete.
• El consecutivo de un número es tres. (Es lo mismo que decir
“El siguiente de un número...").
• El doble de un número cualquiera.
• Un número cualquiera disminuido en tres.
Actividad Nº37
El perímetro de este paralelogramo puede hallarse por cualquiera
de estas dos fórmulas:
P = 2 . a + 2 . b
P = 2 . (a + b)
Escriba usando sus propias palabras el significado de ambas
fórmulas.
Verifique que al reemplazar por los valores dados (por ejemplo
9 cm y 5 cm) en cualquiera de las dos fórmulas se obtiene
el mismo resultado.

Actividad Nº38
Los cuadernos azules cuestan 3 pesos cada uno y los rojos
2,80 pesos cada uno. Si compró algunos cuadernos rojos y
otros azules gastó 14,60 pesos.
• Escriba una letra que simbolice los cuadernos azules.
• Escriba otra letra que simbolice los cuadernos rojos.
• Escriba una expresión que simbolice el gasto de 14,60 pesos
en cuadernos.
• Escriba una expresión que simbolice un gasto cualquiera en
cuadernos.
Es importante tener en cuenta que cuando se hace referencia a un
mismo número siempre se utiliza una misma letra. En cambio,
cuando se quiere indicar números diferentes (aunque en algún caso
particular puedan ser iguales) se deben utilizar letras diferentes.
La aritmética es la parte de la matemática que utiliza los números.
El álgebra comienza cuando los matemáticos empiezan a interesarse
por simbolizar operaciones que se pueden hacer con cualquier
número.
Los babilonios alrededor del 1700 a. C. resolvían problemas sin
utilizar símbolos. Con un matemático griego llamado Diofanto (250
d. C.) aparecen las primeras abreviaturas. Y así permanece la notación
algebraica hasta el siglo XVI. La notación tal como la usamos hoy la
inventó el francés Viéte en el siglo XVI. Contribuyó también Descartes
(filósofo y matemático) y se convirtió el álgebra en la ciencia de
los cálculos simbólicos y de las ecuaciones.
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72
Ecuaciones e inecuaciones
Usted ha escuchado expresiones como las siguientes:
1. Pablo tiene 39 años, ¿en cuánto tiempo tendrá 53 años?
2. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya superficie es
de 36 m 2 ?
3. Este campo tiene más de 35 hectáreas.
4. Este chico mide menos de 1,5 m.
Todas estas expresiones se pueden escribir matemáticamente de alguna
manera.
1. Si Pablo tiene 39 años, ¿en cuántos años tendrá 53 años?
En los primeros Libros se expresaba este problema indicando con un
casillero vacío el lugar del número que se desconocía. En este caso, la
cantidad de años que deben pasar para que Pablo cumpla 53 años.
39 + = 53
Hoy lo puede expresar simbólicamente como: 39 + x = 53
¿Qué representa la “x" en esta expresión? Representa el tiempo que
deberá transcurrir para que Pablo cumpla 53 años.
2. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya superficie es
de 36 cm 2 ?
Se expresa así: x 2 = 36 cm 2
¿Qué representa la “x" en esta expresión? La longitud del lado del
cuadrado cuya superficie conocemos.
3. Este campo tiene más de 35 hectáreas.
Se expresa: x > 35

¿Qué significa la “x" en esta expresión? Significa que el campo
puede tener como superficie cualquier número mayor que 35.
4. Este chico mide menos de 1,5 m.
Se expresa así: x < 1,5
¿Qué significa la “x " en esta expresión? Que el niño en cuestión
tiene una altura que es menor que un metro y medio.
Los dos primeros ejemplos:
39 + x = 53 x 2 = 36 cm 2
Los dos siguientes:
¿Cuál es la diferencia?
Se denominan ecuaciones.
x > 35 x < 1,5
Se llaman inecuaciones.
1. La ecuación es una igualdad en la que aparecen una o más incógnitas.
Ejemplos:
1. ¿Cuánto me falta para pagar $ 112 si tengo $ 55?
x + 55 = 112
En esta ecuación la x representa los pesos que me faltan para
tener 112 pesos.
El valor que verifica la igualdad es 57. Se dice que 57 es la solución
de la ecuación.
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74
2. El doble de un número menos 35 es igual a 3.
2 . x - 35 = 3
En esta ecuación la expresión 2 . x representa el doble del
número x.
Mentalmente se puede seguir pensando: ¿a qué número le resto
35 y obtengo 3? A 38.
Luego ¿el doble de qué número es 38? De 19.
Entonces 19 es el número al cual le hallo el doble, luego le resto
35 y finalmente me da 3.
19 es la solución de la ecuación.
2. La inecuación es una desigualdad en la que aparecen una o más
incógnitas.
Vea estos ejemplos:
1. ¿A partir de qué número natural, sumado a 55, el resultado
supera a 112?
x + 55 > 112
En esta inecuación la x representa el número a partir del cual
sumándole 55, la suma da por resultado un número mayor
que 112.
Para hallar la solución podemos pensar 55 más qué número da
112. O lo que es lo mismo 112 menos 55.
112 menos 55 es 57.
Veamos 57 + 55 = 112
Pero x + 55 debe ser mayor que 112. O sea que en el campo
de los números naturales la inecuación se verifica a partir de 58.

58 + 55 = 113 y 113 > 112, luego 58 + 55 > 112
59 + 55 = 114 y 114 > 112, luego 59 + 55 > 112
60 + 55 = 115 y 115 > 112, luego 60 + 55 > 112
Y vemos que así se verifica para todos los números naturales
mayores o iguales que 58. Lo cual se puede indicar x ≥ 58.
2. ¿Qué cantidad de pesos debo poseer si el doble de esa suma menos
35 da por resultado un número menor que 3?
2 . x - 35 < 3
Aquí la expresión 2 . x representa el doble de la cantidad de
pesos que estamos buscando.
¿A qué número le resto 35 y obtengo 3? A 38.
Luego, ¿el doble de qué número es 38? De 19.
Entonces 19 es el número al cual le hallo el doble, luego le resto
35 y finalmente me da 3.
Pero en este caso el resultado no debe ser 3 sino menor que 3.
Entonces ¿qué número natural verifica la desigualdad?
2 . 18 - 35 = 36 – 35 = 1 y 1 < 3, luego 2 . 18 - 35 < 3
2 . 17 - 35 = 34 - 35. No tiene solución en los números
naturales.
La solución debe ser un número natural pues es la cantidad de
pesos que debo poseer y no se puede poseer una cantidad negativa.
Con un número negativo puedo representar una cantidad
faltante o unadeuda. Por lo tanto la única solución es 18.
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76
3. Si salgo a pasear puedo gastar entre 15 y 20 pesos.
15 < x < 20
¿Qué cantidad de pesos puedo gastar? 16, 17, 18 ó 19. Por eso
decimos que la solución de esta inecuación es en realidad un
grupo de números y no un número solo. También se podrían
considerar los valores intermedios considerando los centavos.
¿Qué significa resolver una ecuación o una inecuación?
Resolver una ecuación significa hallar el valor o los valores numéricos
con los que al reemplazar la incógnita se verifica la igualdad
(o la desigualdad en el caso de la inecuación).
¿Cómo se resuelven las ecuaciones?
El hijo de Juan, de 12 años pregunta:
- Papá: ¿cuántos años tenés?
Y el padre, como le gustan los acertijos, contesta:
- La mitad de mi edad menos 6 años es igual a tu edad. ¿Cuántos
años tengo?
¿Cómo se puede hacer para averiguar la edad del padre?
En primer lugar es conveniente escribir en forma matemática, es
decir mediante una ecuación, la respuesta del padre.
Llamamos “x" a la edad del padre, porque no la conocemos, es la
incógnita.
“La mitad de mi edad" significa que la edad debe dividirse por 2
x_
2
“La mitad de mi edad menos 6", al resultado anterior hay que restarle
6.
x_
- 6
2

“La mitad de mi edad menos 6 es igual a tu edad" que es 12, según
la afirmación anterior.
x_
- 6 = 12
2
Podríamos pensar como hicimos antes, o probar con diferentes números
hasta obtener la solución. Pero usaremos otro camino que nos servirá
en casos en los que no sea tan sencillo resolver la incógnita.
La ecuación es una igualdad. Lo que está antes del signo igual se
llama primer miembro y lo que está detrás segundo miembro.
Comparemos esta igualdad con una balanza de platillos, con los
dos brazos iguales. (Cada uno de los platillos representa un miembro
de la igualdad.)
Si en la balanza colocamos el mismo peso en ambos platillos ésta
se mantendrá en equilibrio. En cambio, si se coloca un objeto más
pesado en uno de los platillos la balanza se inclinará hacia el lado
que pesa más.
7 kg 5 kg 2 kg 5 kg
Para equilibrar la primera balanza deberé colocar un peso de 2 kg
en el platillo de la derecha; para equilibrar la segunda uno de 3 kg
en el platillo de la izquierda.
Usando lenguaje aritmético quedaría indicado:
7 = 5 + 2 2 + 3 = 5
77

78
Si una balanza está en equilibrio y agrego (o quito) el mismo peso
en ambos platillos, el equilibrio se mantiene.
En las igualdades numéricas sucede algo parecido; decimos que
hay una analogía.
Tenemos una igualdad. Por ejemplo:
3 kg 3 kg 3 = 3
Si agrego 2 kg en cada platillo, el equivalente numérico consistiría
en sumar 3 a cada miembro de la igualdad.
3 + 2 = 3 + 2 = 5
La balanza queda en equilibrio. La igualdad se mantiene.
Del mismo modo si multiplicamos (o dividimos) ambos miembros
de una igualdad por un mismo número -que no sea cero- la igualdad
se conserva.
¿Para qué nos sirve sumar (o restar) y multiplicar (o dividir) ambos
miembros de las igualdades por un mismo número?
Esto le permitirá resolver la ecuación. Lo que significa, hallar el
valor de la incógnita. O lo que es lo mismo, despejar la incógnita.

¿Qué significa despejar la incógnita?
Significa lograr que quede sola antes o después del signo igual, es
decir que en uno de los miembros queden expresados los cálculos
que deben realizarse para hallar el valor de la incógnita. Para ello
deben ejecutarse una serie de pasos algebraicos, garantizando que
en todos ellos se mantenga la igualdad.
Por ejemplo:
x + 12 = 30
En este caso se tratará de lograr que la x quede “sola” en el primer
miembro. Para ello tengo que tratar de sacar de allí el 12 que está
sumando; la forma de hacerlo es restarle 12 (para que quede 0 al
hacer la cuenta), pero como hay que mantener la igualdad debe
restársele a ambos miembros de la igualdad 12. Así se tiene:
x + 12 - 12 = 30 - 12; operando queda 10
x + 0 = 18
x = 18, que es la solución.
Efectivamente 18 + 12 = 30
43 -14 = x - 37
En este caso la x está en el segundo miembro, se encuentra afectada
por una operación de resta (en este caso -37), para despejarla
hay que lograr que el -37 se cancele, para ello es necesario sumarle
37, pero si se le suma en el segundo miembro también hay que
hacerlo en el primero para mantener la igualdad.
29 = x - 37
29 + 37 = x - 37 + 37
66 = x + 0
Luego:
66 = x
10 Tengamos en cuenta que si a un número le sumamos otro y al resultado le restamos ese mismo número, el primer número no cambia.
Decimos que se cancela el que suma con el que resta.
79

80
Si lo necesita relea en el Libro
3 cómo se resuelven los
cálculos combinados.
O lo que es lo mismo x = 66
__ x
4
= 28
Acá, ¿qué operación debe efectuarse en ambos miembros para despejar
x? 11
Siga solo:
Retomemos el problema inicial que es una ecuación más compleja:
__ x
2
- 6 = 12
En este caso hay dos operaciones que están afectando a la incógnita.
Recuerde el orden en que se realizan las operaciones en los cálculos
combinados. Las últimas operaciones que debe resolver en
los cálculos son las primeras a las que les deberá aplicar la propiedad
cancelativa o la simplificación. Por ello:
__ x
2
- 6 + 6 = 12 + 6
Cancelamos en el primer miembro los dos números 6 porque el resultado
es igual a cero.
11 Si multiplica ambos miembros por 4 obtendrá el valor de x. Tengamos en cuenta que si a un número lo multiplicamos
por otro (distinto de cero) y al resultado lo dividimos por ese mismo número, el primer número no cambia ya
que significa haber hecho una simplificación.

__ x
2
= 18
Multiplicamos por 2 ambos miembros de esta igualdad:
__ x
2
. 2 = 18 . 2
Para resolver el primer miembro simplificamos en él los dos números
2 porque el resultado es igual a uno.
x = 36 Ya tenemos la respuesta: el padre tiene 36 años.
Será útil recordar las siguientes propiedades:
Si sumamos y restamos un mismo número a otro, el resultado es el
mismo número.
Ejemplo: 9 + 15 - 15 = 9
Si multiplicamos y dividimos por un mismo número a otro (distinto
de 0), el resultado es el mismo número.
Ejemplo: 9 . __ 7 = 9
7
a
b
c
d
e
Actividad Nº39
Resuelva las siguientes ecuaciones:
x + 255 = 1.000
x + 221 = 55
100 - x = 200
__ x
3
- 7 = 15 + 59
234 + 57 = 27 -
__
x
3
81

82
a
b
c
Actividad Nº40
Un campo tiene la forma de un rectángulo. Se sabe que el perímetro
es de 400 metros y la base es de 90 metros. ¿Cuánto
mide la altura?
En una fiesta organizada por la cooperadora de una escuela se
cobraba $ 5 la entrada a los hombres; $ 3 las damas y $ 1 los chicos
menores de 12 años. Se sabe que se recaudaron $ 480 y que
asisitieron 40 damas y 110 chicos. ¿Cuántos hombres asistieron?
Un empleado gana $ 328 por semana. En este sueldo se incluyen
$ 20 por presentismo. Si trabaja 8 horas por día de lunes a viernes
y cuatro horas los sábados, ¿cuánto le pagan por hora trabajada?
¿Cómo se resuelven las inecuaciones?
Analice la siguiente inecuación:
x + 38 > 99
Si restamos 38 a ambos miembros de esta desigualdad 12
y luego
cancelamos en el primer miembro, obtenemos:
x + 38 - 38 > 99 - 38
x > 61
Entonces la respuesta es que a partir del 61 la suma va a superar a 99.
En este caso, a diferencia del ejemplo en el que se consideraba que el
resultado debía ser un número natural, nada se explicitó sobre el conjunto
numérico. Todos los números mayores que 61 cumplirán con la
condición. Esto se puede observar en la siguiente recta numérica:
12 Esto puede hacerse porque no se modifica el sentido de la desigualdad al sumar o restar el mismo número a
ambos miembros.

En la recta numérica se marcó el número 61 con un círculo pequeño
pero no se lo pintó, porque el número 61 no verifica la desigualdad:
61 no es mayor que 61
Analice este otro ejemplo:
La inecuación planteada es: 3 . x - 20 < 4
Sumamos 20 en ambos miembros de la desigualdad y resolvemos:
3 . x - 20 + 20 < 4 + 20
3 . x < 24
Dividimos ambos miembros de la desigualdad por 4 y resolvemos:
4 . __ x < 24 __
4 4
x < 6
La respuesta indica que con cualquier número menor que 6 se verificará
la desigualdad. Verifique con algunos de ellos:
3 . 2 - 20 ¿

84
a
b
c
a
b
c
d
e
Actividad Nº41
Encuentre los números naturales que hagan ciertas las siguientes
desigualdades:
x - 30 > 10
x - 30 < 10
39 + 3 .x > 45
Actividad Nº42
El diámetro interior máximo de un cilindro metálico deber ser,
a lo sumo de 5 cm (recuerde que debe ser mayor que cero, de lo
contrario no habría diámetro interior). El diámetro exterior debe
tener por lo menos 5,1 cm y a lo sumo 5,2 cm. Exprese algebraicamente
el valor de cada diámetro del cilindro.
Exprese como una inecuación:
Si un empleado gana $140 por semana y tiene $110 de gastos
fijos por lo menos, ¿entre qué valores estará comprendido lo
que podría ahorrar? Represéntelo en una recta numérica.
Un turista tiene que ir de una localidad a otra que está a 400 km.
Si ya recorrió 160 km y el resto lo hace a una velocidad de 80 km
por hora, ¿cuánto tiempo tardará para recorrer lo que le falta?
Piense un número de 2 cifras. Súmele 22. Al resultado multiplíquelo
por 3. Al resultado que obtuvo réstele el triplo del
número que pensó. Ha obtenido 66. ¿Por qué?

Probabilidad
¿Quién no pensó alguna vez en acertar el Quini 6, el Loto o
cualquiera de los juegos de azar que ofrecen pozos millonarios?
Muchos son los que intentaron alguna vez encontrar alguna técnica
que le permitiera ganar en el casino.
Estos deseos no son nuevos; desde hace muchos siglos se les intenta
ganar a los “juegos de azar". Importantes matemáticos comenzaron
a desafiarse presentándose mutuamente situaciones en
las cuales se pretendían analizar todas las “probabilidades" de ganar
que tenían.
Los matemáticos comenzaron a preocuparse no sólo por los resultados
exactos sino también por la resolución de problemas en los
cuales interviene el azar.
Los hechos que dependen del azar se llaman “sucesos aleatorios" y la
rama de la matemática que los estudia es el “cálculo de probabilidades".
Hasta ahora usted ha trabajado en matemática con resultados
exactos. Por ejemplo:
• ¿Cuál es el resultado de 3 más 5?
simbólicamente: 3 + 5 = x
y ya sabe que el resultado es único e igual a 8.
En este caso el resultado es exacto.
• Suponga que a un grupo de personas se le pide que midan el largo
de una mesa con una regla milimetrada. Algunos encuentran
valores de 98,5 cm otros 98,4 cm, otros 98,6 cm. El valor a obtener
depende de la mínima unidad que el instrumento utilizado
para medir permita registrar, y de la precisión con que se lo
utilice. Suponiendo una medición cuidadosa, podría decirse que
el resultado está dentro de una cierta variación, que se puede predecir
y que hay un margen de error.
85

86
Le proponemos que compare los resultados anteriores con el de la
siguiente situación:
En uno de los grupos de Educación General Básica a distancia hay
un 30 % de personas casadas. Alguien elige al azar uno de los
alumnos y le pregunta: ¿es casado?
Nada puede afirmarse como respuesta, sólo podría decirse que hay más
probabilidades de que no lo sea, pero la respuesta no puede predecirse.
Pensar este tipo de situaciones implica desarrollar el pensamiento
aleatorio, es decir aquél en el que no hay uno o varios resultados
exactos o con un cierto margen de error acotado.
Hay sucesos que ocurren indefectiblemente, por ejemplo: que mañana
sea lunes (si hoy es domingo) o ver una persona que tiene menos
de 180 años en un partido de fútbol. Estos son sucesos seguros.
También existen sucesos que no ocurrirán nunca, es decir que con total
certeza no sucederán. Por ejemplo: que mañana sea sábado (si hoy
es miércoles) o que la primera persona que vea a través de la ventana
sea la madre del general San Martín. Estos son sucesos imposibles.
Los sucesos que ahora nos interesa estudiar no son ni los seguros
ni los imposibles, sino aquellos en los que algo puede o no ocurrir;
estos son los sucesos probables.
Por ejemplo: Que gane nuestro equipo en el próximo partido o que
la primera persona que entre por la puerta sea una mujer.

Actividad Nº43
Marque con una X qué tipo de suceso es cada uno de los siguientes.
Que mañana llueva
Que un pez salte del agua y empiece a volar
Vivir hasta los 100 años
Encender el televisor y que estén dando una propaganda
Que nuestro gato atienda el teléfono
Tardar más de 2 horas en ir en auto de Salta a Bs. As.
Actividad Nº44
Le proponemos que invite a un amigo a jugar con los dados.
Los participantes juegan uno por vez alternativamente. Cada vez
que tira un dado y sale el número 6 su amigo se anota 1 punto.
Cuando usted tira el dado y saca un número impar se anota 1
punto. Gana el que primero reúna 10 puntos.
¿Le parece que encontrará muchos amigos que quieran jugar?
¿Por qué?
Lea con atención los siguientes sucesos aleatorios:
1. Salir un 3 al tirar un dado.
2. Elegir una carta de un mazo de 40 y que sea un oro.
3. Tirar una moneda y que caiga “cara".
4. Que en una jugada de ruleta salga el 20.
5. Dar vuelta una carta y que no sea un rey.
Imposible Seguro Probable
87

88
Todos estos sucesos pueden o no ocurrir; es probable que ocurran
y también es probable que no ocurran. Pero... ¿son igualmente
probables?, es decir ¿tienen la misma probabilidad de ocurrir como
de no ocurrir? Evidentemente no.
Algunos de estos sucesos son “poco probables", otros "altamente
probables" y algunos “igualmente probables".
Los casos 1, 2 y 4 son poco probables, son mayores las posibilidades
de que no ocurran.
El caso 5 es altamente probable, son mayores las chances de que
ocurra a que esto no suceda. Hay muchas más cartas que no son
reyes que las que lo son.
El caso 3 es igualmente probable; las posibilidades de que suceda
son tantas como las de que no ocurra.
En el caso del juego de dados planteado en la última actividad, las
posibilidades de obtener un punto son diferentes para cada jugador,
por eso se dice que no es equitativo, o que los sucesos que permiten
obtener 1 punto no son equiprobables.
Si existen diferentes posibilidades en los sucesos aleatorios deberá
existir una forma de “medir" la probabilidad.
Suponga que en un juego se tiran simultáneamente dos monedas y
se puede apostar a:
1. dos caras;
2. una cara y una ceca (no importa el orden);
3. dos cecas.
¿Apostaría a cualquiera de las tres alternativas o a una de ellas en
particular?
Al arrojar dos monedas, esas tres son las únicas posibilidades que
pueden darse, pero... ¿son igualmente probables?

Para responder esta pregunta hagamos el siguiente análisis:
El esquema muestra las diferentes formas en que puede caer una moneda.
La primera puede caer cara o ceca; y para cada una de estas posibilidades
hay dos alternativas para la segunda moneda, cara o ceca.
En este esquema, denominado “diagrama de árbol", se advierte que
las posibilidades son cuatro:
(cara; cara) (cara; ceca) (ceca; cara) y (ceca; ceca)
Por lo tanto, si apostamos por ejemplo a sacar dos caras, existe
una sola posibilidad de ganar. Esto quiere decir que uno solo de
los posibles resultados es favorable sobre un total de 4 resultados
(casos) posibles. Muchas personas suelen decir que hay un 25% de
probabilidades porque es 1 de cada 4 casos el favorable. Lo mismo
podría decirse de la probabilidad de sacar dos cecas, porque de cada
4 casos posibles uno solo es favorable. También suele decirse
que son equiprobables (igual probabilidad).
En cambio, si apostamos a una cara y una ceca tendremos más
chances de ganar, pues de los 4 resultados posibles 2 son favorables.
Dicho de otra forma tenemos la mitad de las posibilidades de
ganar, lo que es equivalente al 50 %.
Sacar una y una tiene el doble de posibilidades que sacar dos caras
o dos cecas, es decir que las tres posibilidades de apuestas no
son equiprobables.
1 0 2 0
cara
ceca
cara
ceca
cara
ceca
89

90
Si lo necesita relea en el Libro
4 el concepto de expresiones
equivalentes.
Volvamos al primero de los ejemplos. Queremos medir la probabilidad
de sacar un tres al tirar un dado cúbico.
Al hacerlo puede salir cualquiera de los números del 1 al 6. Hay 6
resultados posibles. Éste es el total de casos posibles, o sea la cantidad
de resultados diferentes que pueden obtenerse. Todos ellos
tienen la misma probabilidad de salir, son casos equiprobables o
igualmente posibles. En esta situación son 6 los casos posibles.
De estos 6 casos posibles sólo 1 es favorable a sacar un 3.
La probabilidad de sacar un 3 es:
• 1 entre 6
• 1 de cada 6
• 1 en 6
• de cada 6 posibles 1 es favorable
Todas estas expresiones son equivalentes, y se expresan matemáticamente
como _1 .
6
Como son 6 los casos posibles, y uno solo el caso favorable, la probabilidad
de sacar un tres es _1 (una en seis).
6
Simbólicamente
P _1
(3) =
6
casos favorables
casos posibles
En general se simboliza con S cualquier suceso y con P(s) = probabilidad
de que ocurra S. La forma de expresar el cálculo de la probabilidad
teórica de un suceso es:
P C.F. ___
(S) =
C.P.
Cantidad de casos favorables
Cantidad de casos posibles
igualmente probables

Analice el segundo caso:
Sacar una carta de un mazo de 40 y que sea un oro.
La cantidad de casos favorables es 10 (hay 10 oros) y los casos posibles
son 40 (hay 40 cartas en total y todas tienen las mismas posibilidades
de salir).
Los tres resultados pueden leerse como:
10 __ “10 de 40" __ 1
“uno de cada cuatro"
40
4
0,25 es el número que expresa la probabilidad.
a
b
c
Actividad Nº45
Calcule la probabilidad de:
Sacar un as (mazo de 40 cartas).
Obtener un número mayor que 1 al lanzar un dado.
Acertar a color negro en una jugada de ruleta.
Antes de continuar resuelva la actividad anterior.
10
40
__ C.F. P ____ __ 1
(S) = = = =0,25
C.P. 4
91

92
a
b
Actividad Nº46
Analice en los cálculos de probabilidades anteriores qué relación
existe entre el numerador y el denominador de las fracciones.
¿Cuál es mayor? ¿Esto sucede siempre? ¿Por qué?
Teniendo en cuenta su respuesta anterior indique entre qué números
enteros está el valor de la probabilidad de cualquier suceso.
Antes de continuar controle sus respuestas con las Claves de
Corrección.
Dos casos especiales
1. Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número
menor que 9?
Los casos favorables son 6, ya que todos los números de un dado
son menores que 9. Es seguro que el número que obtendremos
es menor que 9.
Los casos posibles también son 6, entonces P (

a
b
c
Actividad Nº47
¿Cuál es la probabilidad de sacar una figura (sotas, caballos o
reyes) de un mazo de 52 cartas?
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número
menor que cinco?
En una urna hay 5 bolas blancas, 8 azules y 3 amarillas; al
sacar una sola bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?
Frecuentemente, cuando escuchamos hablar de probabilidades se refieren
a ésta como un porcentaje y no como un número entre 0 y 1.
En el caso de la probabilidad de obtener una figura de un mazo de
52 cartas se tiene que:
P 12
(fig.) = __ pero si buscamos qué porcentaje es 12 de 52,
52
por cada 52 corresponden 12,
por cada 100 serán . 100
La cuenta que deberemos realizar es: x 100 = 23,08 %, donde
12 es la probabilidad.
52
__
12
52
__
12
52
__
Lo mismo ocurrirá en los otros dos casos.
P (

94
Actividad Nº48
Se lanzan simultáneamente 3 monedas. Realice el diagrama
de árbol correspondiente y calcule la probabilidad de:
• Obtener 3 cecas.
• Obtener 2 caras y una ceca.
• Que al menos una moneda salga cara.
Actividad Nº49
Cuál es la probabilidad de:
• Sacar un rey o un as de un mazo de 40 cartas.
• Que la última cifra de la jugada de lotería sea 48.
• Que salga un número de la primera docena en una jugada de
ruleta.
La estadística y la probabilidad
¿Qué un avión llegue a destino, es un suceso seguro, imposible
o probable?
Seguro no es, ya que lamentablemente cada tanto nos informan
sobre accidentes de aviones en vuelo.
Imposible tampoco. En la mayoría de los casos los aviones llegan
sin dificultad.
Probable, sí. El avión puede o no llegar.
Si aceptamos que es probable, deberá existir un número que nos
indique esa probabilidad. Para calcularlo, según la fórmula que hemos
visto, deberíamos conocer el número de caso favorables y el
de casos posibles, pero es imposible saberla. Sin embargo algunas
líneas aéreas dicen que la probabilidad de que sus vuelos lleguen a
destino es de 0,99998 o 99,998 % ¿De dónde sale este número?

Para entender el origen de este número y el de todas aquellas probabilidades
en las que el número de casos favorables y posibles no
es conocido, tomaremos un ejemplo: obtener 3 al tirar un dado.
P (3) = 1 = 0,1666 o 16,66 %
6 _
Le proponemos que tire el dado 6 veces. Nada nos permite asegurar
que de las 6 veces que tire, el 3 saldrá sólo una vez. Por eso se
la llama probabilidad teórica. Lo que sí puede suceder es que si tiramos
muchas veces el dado aproximadamente 1 parte de ellas
6
saldrá el 3.
_
Suponga que tiramos 60 veces13 y obtenemos los siguientes resultados.
Recuerde que la frecuencia relativa (Fr ) expresa la frecuencia absoluta
con respecto al total de casos analizados. Por eso se obtiene dividiendo
la frecuencia absoluta por el total de casos analizados.
(Fr = ___ F )
total
En el gráfico de barras se representa la frecuencia absoluta de los 6
números posibles.
1
2
3
4
5
6
total
1
2
3
4
5
6
total
F
9
8
13
10
13
7
60
19
20
24
21
19
17
120
F r
0.15
0.1333
0.2166
0.1666
0.2166
0.1166
Si en lugar de 60 lanzáramos el dado 120 veces
F
F r
0.1583
0.1666
0.2
0.175
0.1583
0.1416
13 Usted puede hacer la experiencia, quizás los valores se aproximaran mucho.
En el Libro 4 se trabajó con
frecuencias absolutas y relativas.
Vuelva a leer ese tema
si lo necesita.

1
2
3
4
5
6
total
96
F
99
100
102
103
97
99
600
F r
0.165
0.1666
0.17
0.1716
0.1617
0.165
Y si tiramos 600 veces
En el siguiente gráfico se analiza la frecuencia absoluta del número
3 según la cantidad de tiradas. Para ello se continuó tirando los
dados y se obtuvo que:
• en 1.000 tiradas la frecuencia absoluta de 3 resultó 0,16;
• en 1.500 tiradas la frecuencia absoluta de 3 resultó 0,17.
Cuanto mayor es el número de tiradas, más próxima a la probabilidad
teórica está la frecuencia relativa.
Esta experiencia nos muestra que la frecuencia relativa tiende a la
probabilidad. Para conocer la probabilidad de obtener un 3 con el
dado no tiene sentido realizar una tabla de frecuencias, pero para
el caso del avión sí.
Suponga que disponemos de los registros que llevan las empresas
donde figuran los vuelos realizados y cuántos llegaron a destino. Como
son un número considerable de casos podemos calcular la probabilidad
de que lleguen a destino calculando la frecuencia relativa.
Partieron 50.000 y llegaron 49.999; la frecuencia relativa de aviones
que llegaron es: 49999 _____=
0,99998 es decir que el 99.998 % de
50000
los aviones llega sin dificultad a destino.

a
b
c
d
a
b
c
d
Actividad Nº50
Al analizar un dado defectuoso, se obtuvieron los siguientes
resultados:
1
2
3
4
5
6
total
Complete la tabla calculando el total y la frecuencia relativa.
¿Qué número es el que tiene mayor probabilidad de salir?
¿Cuál es la probabilidad de sacar 5?
¿Cuál es la probabilidad de sacar 4?
Actividad Nº51
En una laguna existen cuatro variedades de peces que se pescan
de igual modo. En la última muestra que se tomó, se re-
gistró lo siguiente:
Complete la tabla.
¿Cuál es la probabilidad de pescar un pez B?
¿Cuál es la probabilidad de pescar un pez C?
F
66
70
83
58
68
70
¿Podemos asegurar que más de la mitad de los peces que pesquemos
serán C?
F r
A
B
C
D
total
F
224
76
658
182
F r
97

98
Cuando se arrojan dos dados simultáneamente se puede obtener
como suma de ambos, valores entre 2 y 12.
Si tuviera que apostar, ¿lo haría a cualquiera de los valores entre 2 y
12? ¿O le parece que alguno de ellos tiene más chances que los otros?
Este problema se puede analizar de varias maneras; le proponemos una.
a
b
Actividad Nº52
Consiga dos dados y láncelos muchas veces; cuanto mayor
sea el número de tiradas mejor (tire como mínimo 200 veces).
En cada tirada registre lo que salió, por ejemplo:
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Conteo Total
Con los datos de las tiradas complete la tabla de frecuencias.
F
F r
Puede preparar una tabla de
2 a 12 y a medida que va tirando
hacer una marca. En el
ejemplo se usaron las de
anotar en el truco pero puede
utilizar la que usted prefiera.
Al finalizar cuente el total
de cada número.

c
d
e
¿Todos los números tienen la misma probabilidad de salir?
¿Cuál de todos tiene la menor probabilidad?
¿Cuál es el número con mayor probabilidad?
No continúe hasta resolver la actividad y controlar la clave de
corrección.
¿Por qué pudimos adelantar la frecuencia relativa aproximada que
usted obtuvo sin haber visto su experiencia?
El análisis a través de la tabla de frecuencias no es la única manera
de pensar esta actividad. Veamos esta otra forma.
Al tirar dos dados podemos hacer el diagrama de árbol correspondiente:
El primer dado puede ser 1 y el segundo cualquier número de 1 a 6 ,
hay en este caso 6 variantes posibles. Como el primer dado no tiene
por qué ser 1, sino que puede caer de 6 maneras diferentes, el número
total de casos es 36.
De los 36 casos sólo uno de ellos suma 2, cuando los dados caen 1 y 1.
Y 6 son las formas de obtener 7:
(1 + 6); (2 + 5); (3 + 4); (4 + 3); (5 + 2) y (6 + 1)
Del mismo modo podemos analizar los restantes números, de allí que
la probabilidad teórica de obtener 2 es: P (2) = 1 = 0,0277 o 2,77%.
36
__
El resto de las probabilidades es:
P (3) =
2
36
= 0,0555 ó 5,55% P (4) = = 0,0833 ó 8,33%
P (5) = = 0,1111 ó 11,11% P (6) = = 0,1388 ó 13,88%
P (7) = = 0,1666 ó 16,66% P (8) = = 0,1388 ó 13,88%
P (9) = = 0,1111 ó 11,11% P (10) = = 0,0833 ó 8,33%
P (11) = = 0,0555 ó 5,55% P (12) = = 0,0277 ó 2,77%
__
4
36
__
6
36
__
4
36
__
2
36
__
3
36
__
5
36
__
5
36
__
3
36
__
1
36
__
Como síntesis es importante recordar que para trabajar con el cálculo
de probabilidades hay que analizar cuál es la cantidad total de casos
posibles, si todos ellos son igualmente probables, y cuántos de esos
casos son favorables al suceso que se está analizando.
1
1
2
3
4
5
6
99

Claves de Corrección
Actividad Nº1
Como resulta evidente no es posible armar un cuadrilátero con esas
medidas, porque las medidas de los lados deben guardar una
relación de desigualdad semejante a la que deben cumplir los lados
de un triángulo.
Para que sea posible construir un triángulo las medidas de uno
cualquiera de sus lados debe ser MENOR que la suma de los otros dos.
101

102
a
b
a + b > c
b + c > a
a + c > b
Se deben verificar las tres desigualdades.
En el caso de los cuadriláteros también debe cumplirse una relación
análoga.
a + b + c > d
b + c + d > a
c + d + a > b
a + b + d > c
Esta propiedad es generalizable a un polígono de cualquier número
de lados.
Actividad Nº2
Es posible usar variados caminos para dar la respuesta. Una es usar el
transportador y tomar medidas en variados paralelogramos. Otra es
recortar paralelogramos en papel y comparar los ángulos, después de
recortarlos, por superposición y colocándolos en forma consecutiva.
De cualquier modo usted descubrirá que los ángulos consecutivos
son suplementarios, su suma es de 180°.
Actividad Nº3
El perímetro mide 4 m o 400 cm.
Dos lados iguales miden 80 cm x 2 = 160 cm
Al perímetro (suma de los 4 lados) que es de 400 cm le restamos 160
cm, quedan 240 cm para los lados restantes. Como son iguales cada
uno debe medir 120 cm.
La amplitud del ángulo opuesto al de 78° es de 78°.
Y el consecutivo de cada uno de ellos mide 180° - 78° = 102°

Actividad Nº4
Si un rectángulo es un cuadrilátero que posee lados opuestos
paralelos podemos afirmar que todo rectángulo es parelelogramo.
Actividad Nº5
Si el perímetro es 300 m y dos lados 80 m x 2 = 160 m, queda
300 m – 160 m = 140 m,
luego 140 m : 2 = 70 m
Actividad Nº6
El total de alambre es de 600 m y se dan tres vueltas. Entonces para
saber cuánto alambre se utiliza en una vuelta bastará con dividir
600 por 3, con lo que se obtiene 200 m.
Como el rombo tiene sus cuatro lados iguales dividiendo 200 por 4
se obtiene el valor de cada lado, 50 m.
Actividad Nº7
Por ser equilátero todo cuadrado es rombo
Por ser equiángulo todo cuadrado es rectángulo
103

104
a
Actividad Nº8
En el caso del paralelogramo hay otras soluciones posibles, quizás
usted hizo una diferente a la nuestra.
Actividad Nº9
Actividad Nº10
Solo un par de lados paralelos y ningún par de lados iguales.
Por ejemplo: trapecio escaleno.

c
d
a
b
Los dos pares de lados iguales y ningún par de lados paralelos.
Por ejemplo: romboide o cuadrilátero cóncavo (“semejante" al
romboide)
Sólo un par de lados paralelos y sólo un par de lados iguales.
Los dos pares de lados paralelos y ningún par de lados iguales.
Imposible, por propiedad de los paralelogramos. Al intentar
resolverlo queda evidenciada la propiedad de los paralelogramos,
que al tener sus lados paralelos los lados opuestos son iguales.
Actividad Nº11
360° - 65° - 89° - 135° = 71°
Existen varias posibilidades:
1. Si el cuadrilátero es paralelogramo (o si es romboide)
105

106
Si A ^ = 70° , C ^ = 70°
A ^ + C ^ = 140°
B ^ + D ^ = 360° - 140° = 220°
Como B ^ = D ^ entonces B ^ = D ^ = 110°
2. Si el cuadrilátero es un romboide
A ^ = C ^ = 70°
Pero sólo sé que B ^ y D ^ sumados dan 220°, pero no puedo saber
cuánto mide cada uno pues son diferentes
B ^ =70° No se puede deducir cuánto miden los otros ángulos. Del
mismo modo sucede si D ^ mide 70°
Actividad Nº12
Ni con el pentágono ni con el octógono es posible. En cambio lo es
con el triángulo equilátero, con el hexágono regular y con cualquier
cuadrilátero.
Si la suma de los ángulos que coinciden en un vértice de cualquier
polígono es de 360° es posible embaldosar sin dejar huecos y sin
superponer.
El resultado que se obtiene con los cuadriláteros confirma la
propiedad de la suma de los ángulos interiores. En cada vértice se
hacen coincidir los cuatro ángulos del cuadrilátero.

a
b
c
d
a
Actividad Nº13
El segmento que tiene por extremos el centro de la circunferencia y
uno de sus puntos se llama radio.
Una circunferencia tiene infinitos radios.
La mayor amplitud corresponde al diámetro.
La circunferencia tiene infinitos diámetros.
Actividad Nº14
La longitud de cada circunferencia se puede determinar así: se
coloca alrededor del contorno del plato, de la lata, del balde o de la
olla, un hilo. Se extiende el mismo y se lo superpone sobre una regla
graduada. Es longitud, es la de la circunferencia respectiva. La
relación entre la longitud y el diámetro es un número que se llama
π y es aproximadamente igual a 3,14.
Actividad Nº15
Consulte con su docente la respuesta.
Actividad Nº16
Para calcular la cantidad de cinta necesaria se realiza el siguiente
procedimiento:
60 x 50 = 3000 de donde 3000 cm 2 es la superficie de la planchuela
La superficie de cada círculo . r 2 3,14 x 25 = 78,5 cm 2
Los 35 agujeros circulares 35 x 78,5 = 2747,5 cm 2
Sup. de la planchuela - sup. agujeros: 3000 - 2747,5 = 252,5
La superficie sobrante es de 252,5 cm2
107

108
b
a
Moneda
$0,25
$0,50
$ 1
b
1 portavasos = 2 r = 2 x 3,14 x 5
1 portavasos = 31,4 cm
35 portavasos = 35 x 31,4 cm = 1099 cm
35 portavasos con el agregado del 15%
1099 + 0,15 x 1099 = 1263,85
La cinta necesaria será 1263,85 cm = 12,6385 m, aproximadamente
113 m de cinta.
El cálculo de la longitud del piolín es:
Longitud de base = 15, 7 cm
2..r = 15,7
. d = 15,7
El diámetro es el número que multiplicado por pi da 15, 7. Si
dividimos 15,7 por 3,14 se obtiene el valor del diámetro, entonces el
diámetro es 5. Pero son 4 diámetros entonces son 20 cm pues 5 x 4 = 20
Además son 4 alturas entonces son 36 cm pues 4 x 9 = 36
En total: 20 + 36 + 8 = 64 (para el nudo)
Se necesitan 64 cm de piolín
Actividad Nº17
Estos son todos valores aproximados.
sup círculo = r 2
Diámetro
2,4 cm
2,5 cm
2,3 cm
Longitud
7,356 cm
7,85 cm
7,222 cm
Superficie
4,5216 cm2 4,90625 cm2 4,15265 cm2 La superficie justa para la mesa será de 3,14 x 50 2 = 1962,50 cm 2
Pero seguramente el mínimo para comprar será el cuadrado en el que
está inscripto el círculo o sea un cuadrado de 50 cm x 50 cm = 2500 cm 2
Es posible que haya que comprar más por las medidas en que vienen
las planchas de fórmica. Si el ancho que traen es de 1 m, por
ejemplo, habrá que comprar 100 cm x 50 cm = 5000 cm 2 y quedará
un sobrante, por supuesto.

a
b
c
a
Actividad Nº18
Las superficies de las figuras de los items a y b son iguales, ocupan la
misma superficie, luego las figuras son equivalentes.
Actividad Nº19
109

110
b
Actividad Nº20
La relación de proporcionalidad no depende de la magnitud que se
mida, siempre existe una relación de proporcionalidad inversa.
Actividad Nº21
Objeto que se debe medir
La extensión de su provincia
El frente de un edificio
La superficie de su mesa de trabajo
La hoja de un árbol
La palma de su mano
P l a n S o c i a l E d u c a t i v o
La huella que deja su pie
Unidad de superficie elegida
km 2
m 2
cm 2
mm 2
cm 2
cm 2

a
Actividad Nº22
Actividad Nº23
Usted puede haberlo resuelto calculando la superficie total del patio
y la superficie de cada baldosa y calculando cuántas veces entra la
superficie de cada baldosa en el patio (dividiendo).
La sup del patio rectangular es de 120.000 cm 2 pues
400 x 300 = 120.000
La sup de cada baldosa es 1600 cm 2 pues
40 x 40 = 1600
120.000 : 1.600 = 75
Entonces 75 es el número necesario de baldosas.
Pero este método no sirve siempre. Veamos por qué.
Si lo resuelve así no está teniendo en cuenta que entra un número
justo de baldosas a lo largo pero no a lo ancho.
A lo largo entran 10 baldosas y a lo ancho entran 7 y
__
1
baldosas.
2
En este caso al comprar 75 si no se rompe ninguna al cortarlas
completaría un rectángulo de 10 x 7 baldosas.
Con las 5 baldosas restantes completaría la franja a lo largo que
sería justo de 10 mitades de baldosa.
Esta es la razón por la que los albañiles calculan un 20% de más en
cuanto al número de baldosas para colocar.
111

112
b
Las dimensiones del techo son de 4 m x 5 m (hemos supuesto que el
techo es paralelo al piso).
La cantidad de pintura para las cuatro paredes es de 17,1 litros.
2 x (4 x 6) = 48
2 x (5 x 6) = 60
Total paredes : 108 m 2
La ventana ocupa 2 m 2
Una puerta 4,5 m 2 . Y la otra 6 m 2
Al total de paredes le restamos el lugar ocupado por puertas y
ventana.
108 – 12,5 = 85,5. La superficie a pintar es de 85, 5 m 2
Actividad Nº24

a
b
c
Actividad Nº25
113

114
a
Actividad Nº26
Actividad Nº27

c
d
__ 1
2
115

116
a
b
c
Actividad Nº28
La base y la altura de cada triángulo son siempre las mismas. Por lo
tanto las medidas de las superficies son idénticas, son una
constante. Varían la longitud de los otros dos lados y el perímetro de
cada triángulo.
Podemos encontrar triángulos acutángulos, rectángulos,
obtusángulos, isósceles, escalenos.
Hay por lo menos dos triángulos rectángulos. Acutángulos y
obtusángulos existen infinitos.

d
e
f
a
b
c
a
Los triángulos isósceles hallados son
El triángulo que tiene el vértice c sobre la mediatriz de la base ab, es
el que tiene el menor perímetro (es isósceles, pero en algún caso
puede ser equilátero)
La conclusión es: De todos los triángulos que tienen la misma
superficie, el isósceles tiene el menor perímetro. En algún caso ese
triángulo isósceles es un equilátero.
Actividad Nº29
La figura es un rombo.
Superficie del Rombo = Superficie del rectángulo : 2
Actividad Nº30
Para hallar la superficie del romboide se debe multiplicar la diagonal
mayor por la diagonal menor y dividir el resultado por 2. Se obtiene,
= = 2.400
O sea que para cubrir el barrilete hacen falta 2.400 cm2 de papel.
Pero se quieren colocar dos capas de papel por lo tanto se debe
multiplicar por dos la cantidad encontrada.
2400 cm2 x 2 = 4800 cm2 . Se van a necesitar 4.800 cm2 ______ 80 x 60 4800 ___
2 2
de papel.
117

118
b La superficie de cada pared se encuentra dividiendo por 2 la suma
de las bases (mayor y menor) del trapecio y luego multiplicando por
la altura del mismo:
( 15+2 ____ ) x 8 = __
27 x 8 = _____ 27 x 8 = 27 x 4 = 108
2 2 2
a
b
c
d
La superficie de cada pared metálica es de 108 m 2 .
Actividad Nº31
56 cm 2
5 m
800 m
8 cm
Actividad Nº32

a
b
El volumen de los cuerpos, tomando un cubo pequeño como unidad, es:
Cuerpo
A BC
D E
unidad
Volumen
8
8
11
12
15
Actividad Nº33
Cuerpo
F
H JK
Volumen
La cantidad de cubos de 1 dm de arista que pueden entrar en la caja de
cartón se encuentra multiplicando la cantidad que entra por cada arista.
• Sobre la arista que mide 18 dm entran 18.
• Sobre la arista que mide 30 dm entran 30.
• Sobre la arista que mide 16,5 dm entran solamente 16.
Por lo tanto en esta caja entran 18 x 30 x 16 = 8.640 cubos de 1 dm
de arista.
La caja en centímetros mide: 180 , 300 y 165. Por lo tanto la
cantidad de cubitos de 1 cm de arista que entran a lo largo de cada
arista son: 180, 300 y 165 respectivamente. Así la cantidad de
cubitos de 1 cm de arista que entran en la caja se encuentra
multiplicando estos números: 180 x 300 x 165 = 8.910.000
El volumen de la caja en centímetros cúbicos se encuentra
multiplicando las medidas de las aristas en centímetros:
180 cm x 300 cm x 165 cm = 8.910.000 cm 3
Coincide este último resultado con la cantidad de cubitos de 1 cm
de arista que entran en la caja, pero no coincide con la cantidad de
cubos de 1 dm de arista. Pues una de las aristas mide una cantidad
de decímetros que no es un número entero sino decimal. Entonces
sobre esa arista deberíamos "romper" los cubos para que entren.
Debería llenarse con medios cubos en este caso.
19
27
27
27
119

120
Actividad Nº34
Los decímetros cúbicos que mide este envase son:
1 dm x 2 dm x 1,25 dm = 2,50 dm 3
Pero si fuesen cubos de 1 dm de arista no entrarían dos y medio.
Entrarían 1 x 2 x 1 = 2 , o sea sólo dos cubos.
Actividad Nº35
El volumen ocupado por una caja que mide 1 dm, 2 dm y 0,5 dm de
arista es igual a 1 decímetro cúbico = 1 dm 3
Hay cuerpos que no son cubos y sin embargo miden 1 dm 3
Actividad Nº36
• 7 < 15
• 23 > 40
• 9 < 15 y 9 > 3 ó 3 < 9 < 15
• 25 27
• x + 1 = 3
• 2 x
• x - 3
Actividad Nº37
Verificación
P= 2 . 9 + 2 . 5 = 18 + 10 = 28
P= 2. (9 + 5) = 2 . 14 = 28
El doble de la base más el doble de la altura es igual al perímetro del
paralelogramo.
El perímetro del paralelogramo es igual al doble de la suma de la
base y la altura.

a
b
c
d
Actividad Nº38
• Cuadernos azules A $ 3.-
• Cuadernos rojos R $ 2,80.-
A . 3 + R . 2,80 = 14,60
Un gasto cualquiera de cuadrenos puede expresarse así:
A . 3 + R . 2,80 = $ x
Actividad Nº39
x + 255 = 1000
x + 255 - 255 = 1000 - 255
x + 0 = 745
x + 221 = 55
x + 221 - 221 = 55 - 221
x + 0 = -166
100 - x = 200
-100 + 100 - x = -100 + 200
0 - x = 100
- x = 100
x= - 100
__ x - 7 = 15 + 59
3
__ x - 7 + 7= 74 + 7
3
__ x = 81
3
3 . __
x = 81
3
x = 243
234 + 57 = 27 - __ x
3
291 = 27 - __ x
3
-27 + 291 = - 27 + 27 - __ x
3
264 = 0 - __ x
3
3 . 264 = 3 . __ -x
3
792 = -x
-792 = x
121

122
a
b
c
Actividad Nº40
2 . (90 + h) = 400
90 + h = 400 ___
2
-90 + 90 + h = -90 + 200
0 + h = 110
h= 110
2 . 90 + 2 . h = 400
180 + 2 . h = 400
180 + 180 + 2 . h = -180 + 400
0 + 2 . h = 220
2 . h = 220
2 ___ . h = ___ 220
2 2
h= 110
hombres $5
damas $3
menores $1
h . 5 + d . 3 + m . 1 = 480
h . 5 + 40 . 3 + 110 . 1 = 480
h . 5 + 120 + 110 = 480
h . 5 + 230 = 480
h . 5 + 230 - 230 = 480 - 230
h . 5 = 250
h ___ . 5
5
= 250 ___
5
h = 50
El sueldo básico del empleado más $20 de presentismo hacen $ 328
s + 20 = 328
s = 308
Trabaja 8 horas diarias de lunes a viernes: 8 x 5 = 40
Y los sábados 4 horas más. En una semana trabaja 44 horas.
Gana $308 por 44 horas de trabajo, entonces por cada hora gana
308 : 44 = 7
Por hora gana $7.

a
b
c
a
b
c
d
Actividad Nº41
x - 30 > 10
x - 30 + 30 > 10 + 30
x > 40
x - 30 < 10
x - 30 + 30 < 10 + 30
x < 40
39 + 3 . x > 45
- 39 + 39 + 3 . x > -39 + 45
3 . x > 6
3 ___ . x > __ 6
3 3
x> 2
Actividad Nº42
Si el diámetro debe ser a lo sumo de 5 cm se indica d < 5 pero como
es una medida de longitud debe ser positiva, o sea mayor que 0.
Finalmente queda expresado 0 < d 5
Si el diámetro exterior debe tener por lo menos 5,1 cm y a lo sumo
5,2 cm, se expresa 5,1 D 5,2
31 < x < 39
140 - 110 = 30
Puede ahorrar como máximo $30.
Entonces lo que podría ahorrar está entre $0 y $30, incluidos $0 y $30
Se indicaría 0 a 30
Le falta recorrer 400 - 160 = 240
Hará 80 km en una hora, debe recorrer 240 km. Tardará 240 : 80 = 3
123

Que mañana llueva
Que un pez salte del agua y empiece a volar
Vivir hasta los 100 años
Encender el televisor y que estén dando una propaganda
Que nuestro gato atienda el teléfono
Tardar más de 2 horas en ir en auto de Salta a Bs. As.
124
e Un número de dos cifras: ab
A ese número ab hay que sumarle 22: ab + 22
Al resultado hay que multiplicarlo por 3: 3 (ab + 22)
Al resultado hay que restarle el triplo del número pensado
(Si el triplo del número pensado se expresa 3ab)
Queda: [3. (ab + 2) ] - 3ab
Se obtiene 66, se escribe: [3. ( ab + 22)] - 3. ab = 66
Operando se tiene: 3. ab + 66 - 3. ab = 66
Efectivamente: 66 = 66
Actividad Nº43
Actividad Nº44
Imposible Seguro Probable
X
X
El juego que se propone no es equitativo, pues usted tiene más
probabilidades de ganar que su contrincante. Usted gana con
cualquier número impar (o sea que puede sacar 1, 3 ó 5) mientras
que su compañero sólo ganará si saca un 6.
El juego no es justo porque no son equiprobables las formas de
anotar el puntaje.
X
X
X
X

a
b
c
a
b
a
b
c
Actividad Nº45
En el mazo hay 4 ases (c.f.) y 40 cartas en total (c.p.) por lo tanto
P (as) = 4 = = 0,1
40
__ 1 10
__
Números mayores que 1 (2, 3, 4, 5 y 6) hay 5 (c.f.) y el total de casos
posibles es 6, entonces: P (>1) = __ 5
6
= 0,8333
Números negros hay 18, y en total hay 37 números, es decir que:
P (negro) = __
18 = 0,4865
37
Actividad Nº46
En todos los casos el numerador es menor que el denominador,
porque siempre la cantidad de casos favorables será menor o igual
(como muy grande será igual) que la cantidad de casos posibles.
La fracción es positiva porque el numerador y el denominador
indican cantidad de veces que ocurre un fenómeno, por lo tanto son
números naturales.
En el cálculo de la probabilidad el numerador siempre será un número
menor o igual al denominador, lo que nos permite asegurar que:
0 Probabilidad 1
Actividad Nº47
P (fig.) = __ 12
52
= 0,2308
Piense cuáles son las posibilidades de que salga un número menor que 5.
Que salga el nro. 1, o el 2, o el 3, o el 4. Son cuatro posibilidades
(sucesos favorables).
El total de posibilidades (sucesos posibles) consiste en que salga
cualquiera de los 6 números, del 1 al 6. Por eso: P (< 5) = = 0,6666
P (azul) = __ 8 = 0,5
16
125

126
Actividad Nº48
cara
ceca
cara
ceca
cara
ceca
cara
ceca
cara
ceca
cara
ceca
cara
ceca
8 son las posibilidades al arrojar tres monedas, hemos destacado una
de ellas para facilitar la lectura de los ocho casos (ceca, cara, ceca).
P (ceca, ceca, ceca) = _1
8
que es lo mismo que 0,125 o 12,5 %
P( 2 caras, 1 ceca) = _3
que es igual a 0.375 o 37,5 %
8
En este caso tenemos 7 casos favorables, ya que la única
combinación que no es favorable es (ceca, ceca, ceca).
P (al menos una cara) = _7
que es igual a 0.875 o 87,5 %
8
Actividad Nº49
• Como es favorable sacar rey o as, los casos favorables son 8,
entonces P (rey o as) = __ 8 = 0,2 o 20 %
40
• En total hay cien números de dos cifras, por lo tanto
P (48) =
__ 1
100
= 0,01 es decir 1 %
• P (1º docena) =
__ 12
37
= 0,3243 o lo que es igual 32,43 %

a
b
c
d
a
b
c
d
Actividad Nº50
1
2
3
4
5
6
total
F
66
70
83
58
68
70
415
F r
0,159
0,1687
0,2
0,1397
0,1639
0,1687
Sin duda conviene jugar al 3, tiene la mayor frecuencia relativa
La probabilidad de sacar un 5 es de 0,1639.
La probabilidad de sacar un 4 es de 0,1397.
Actividad Nº51
A
B
C
D
total
F
224
76
658
182
1140
F r
0,1964
0,0666
0,5772
0,1596
La probabilidad de sacar un pez B es muy baja, 0,0666 o 6,66 %
La probabilidad de sacar un pez C es la más alta, 0,5772 o 57,72 %.
Si, ya que supera el 50 %.
127

128
a
b
c
d
e
Actividad Nº52
No podemos indicar qué obtuvo pues no sabemos cuántas veces tiró
los dados, ni qué números obtuvo exactamente. Si los dados son
normales (no están defectuosos) y tiró muchas veces, la frecuencia
relativa obtenida tiene que ser muy próxima a la que le damos a
continuación.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
F
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
36
F r
0,0277
0,0555
0,0833
0,1111
0,1388
0,1666
0,1388
0,1111
0,0833
0,0555
0,0277
No todos tienen la misma probabilidad.
La menor probabilidad corresponde a los números 2 y 12.
El número con mayor probabilidad es el 7.

ANEXO I
Matemática 5

ANEXO II
Matemática 5

ANEXO III
Matemática 5

ANEXO III
Matemática 5

ANEXO IV
Papel cuadriculado de 1 cm de lado
Matemática 5

ANEXO V
Papel cuadriculado de 1mm de lado
Matemática 5

ANEXO VI
Papel cuadriculado de 1/2 cm de lado
Matemática 5

ANEXO VII
Trapecios para recortar.
Matemática 5

ANEXO VIII
Dos romboides iguales. A su vez triángulos determinados en ellos por las diagoanles
Matemática 5

ANEXO IX
Plantilla con desarrollo de cubo.
Matemática 5

Material de distribución gratuita