HACER MATEMÁTICAS-LUISA RUIZ - CEP de Jerez

¿Qué es hacer Matemáticas en la Escuela Infantil?
Luisa Ruiz Higueras
Universidad de Jaén
“La escuela comercia con ella misma, aprendemos los
conocimientos aportados por la escuela solamente para tener
éxito en la escuela, no para comprender las situaciones del
mundo extraescolar y actuar inteligentemente, justamente,
eficazmente en su seno.”
Yves Chevallard
Premio Hans Freudenthal 1
1 El Premio Internacional Hans Freudenthal ha sido concedido a Yves Chevallard, Catedrático de la Universidad de
Aix-Marseille (Francia), en reconocimiento a la calidad de sus aportaciones a la investigación en educación
matemática durante los últimos 25 años.

¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
1. Introducción
Las profesoras y profesores que nos damos cita en estas Jornadas somos los
responsables y los gestores, en la institución escolar, de la enseñanza y el aprendizaje
de las Matemáticas. Desde sus inicios, ponemos las bases que sostendrán todo el
edificio matemático que nuestros alumnos/as van construyendo en los diferentes
niveles escolares en interacción con el entorno social y cultural donde están inmersos.
Las Matemáticas de la escuela, desde sus primeros niveles, son como las aguas de un
gran océano, si bien determinan el valor más básico del conocimiento en esta materia,
sin embargo son aguas ricas y fecundas. De ellas surgirán los grandes continentes
matemáticos, los grandes dominios numéricos, geométricos, algebraicos, las grandes
construcciones del análisis matemático, de la estadística, de la lógica matemática, etc.
En esta exposición trataremos de contestar, en primer lugar, a la cuestión: ¿Qué es
hacer Matemáticas?, para ello, presentaremos brevemente la Teoría de Situaciones
Didácticas de Brousseau, lo que nos permitirá identificar y describir la actividad
matemática. En segundo lugar, ofreceremos una serie articulada de situaciones-
problema aptas para la Escuela Infantil que permitirá a nuestros alumnos/as construir
con sentido el conocimiento matemático.
2. ¿Qué es hacer Matemáticas?
Cabe señalar, en primer lugar que hacer Matemáticas en cualquier ámbito de realidad
(escolar o no) es una actividad eminentemente humana. Debemos construir una
concepción de la actividad matemática muy lejos de la concepción platónica de las
ideas: “la verdad matemática está dada a quien la sabe ver y a quien tiene un poder de
abstracción suficiente”.
Durante siglos ha existido la creencia de que se nacía con una predisposición innata
hacia las Matemáticas. Existía un determinismo fatalista para una gran mayoría de
personas: “Yo, lo tengo claro, yo soy de letras… mira, en Matemáticas o lo ves, o no lo
ves.”
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La metáfora de la mirada, de la vista, está aún presente en los discursos y prácticas del
profesorado. Parece como si las Matemáticas estuviesen pensadas para aquellos que
poseyesen un don, una capacidad de abstracción singular para pensar, razonar y ver
matemáticamente.
Sin embargo, hacer Matemáticas es una actividad eminentemente humana, cercana,
necesaria, comprensible. Se trata de una actividad humana personal y colectiva que
nos facilita vivir mejor todos juntos.
En el ámbito de la Escuela Infantil, hacer Matemáticas es algo tan cercano que se
puede hacer con las manos, como contar con los dedos, plegar un papel, hacer una
máscara, etc.
… hacemos matemáticas con nuestros dedos …
Hacemos Matemáticas con las manos, cuando somos capaces de interpretar, codificar
y cuantificar la realidad con nuestros dedos.
Hacemos Matemáticas cuando nos comunicamos, cuando hablamos con los demás,
cuando somos capaces de transmitir informaciones que permiten resolver problemas.
Hacemos Matemáticas cuando escuchamos y entendemos lo que nos dicen otras
personas, cuando leemos o escribimos un mensaje con un lenguaje nuevo que,
necesariamente, debemos entenderlo todos.
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… hacemos matemáticas cuando nos comunicamos con otras
personas…
… hacemos matemáticas cuando
sabemos interpretar los mensajes que
escriben otros niños/as (con una
escritura nueva, diferente,)...
… hacemos matemáticas cuando sabemos “dibujar” el plano de
nuestra clase y somos capaces de interpretarlo …
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… hacemos matemáticas cuando recortamos, plegamos,
comparamos longitudes, superficies, ángulos, ….
… hacemos matemáticas cuando construimos máscaras y somos
capaces de conservar la equidistancia y las regularidades …
Hacemos Matemáticas cuando debatimos, cuando ponemos en duda la solución que
hemos dado a un problema, cuando no compartimos la resolución que nos comunican
otras personas. Hacemos Matemáticas cuando somos asertivos y defendemos
nuestros propios puntos de vista.
Hacemos Matemáticas cuando nos equivocamos y cometemos errores. Es tan humano
equivocarse. ¡Cuánta fecundidad tienen los errores matemáticos en los que
incurrimos, si sabemos gestionarlos bien!

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Hacemos Matemáticas cuando buscamos la verdad,… puede que no la encontremos, …
hacer Matemáticas es también estar en camino hacia el encuentro con la verdad.
Hacemos Matemáticas cuando producimos obras de arte. Hacemos Matemáticas
cuando observamos, interpretamos y analizamos las obras de otros artistas.
… hacemos matemáticas cuando producimos obras de arte tan
bonitas como las de Paul Klee ....
Todas las actividades anteriores son actividades plenamente humanas, no se remontan
al universo de las ideas abstractas, no viven en un cosmos etéreo sólo alcanzable por
mentes privilegiadas dotadas del don de “ver las Matemáticas”. Repetimos, hacer
Matemáticas es una actividad eminentemente humana.
Esgrimir el verbo “hacer”, en el dominio de las Matemáticas de la Escuela Infantil, para
identificar la función del sujeto que aprende, significará para nosotros que dicho sujeto
debe producir, crear, construir con sentido el conocimiento matemático. Es decir,
llevar a cabo una actividad matemática cargada de interés y significación para él.
Estas actividades, para que realmente permitan construir conocimiento matemático
significativo, no deben ser sólo unas actividades más o menos espontáneas, divertidas,
motivadoras, sino que han de diseñarse bajo un control epistemológico y didáctico
riguroso. Debemos saber dar razones del porqué las proponemos en la Escuela Infantil.
No basta la buena voluntad del profesorado, ni siquiera el deseo de innovación, si éste
no va acompañado de razones didácticas científicas que así lo justifiquen.
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3. Preguntamos a un experto: ¿Qué es hacer Matemáticas?
Nos vamos a acercar brevemente a la respuesta que da a esta cuestión un
matemático y didacta muy relevante: Guy Brousseau 2
¿Qué es hacer Matemáticas?
¿En qué consiste la actividad matemática?
Guy Brousseau 3 , ante estas preguntas, ha dado respuestas:
“Hacer Matemáticas no es manejar un sistema conceptual, lógicamente consistente y
productor de demostraciones.
Hacer Matemáticas es llevar a cabo una actividad que se realiza en una situación
concreta y viva y contra un medio (situación-problema).
Una verdadera actividad matemática exige que el sujeto se implique profundamente
en ella, lo que supone que formule enunciados y pruebe proposiciones, construya
modelos, lenguajes, conocimientos, que los ponga a prueba, que los intercambie con
otros, que reconozca los que están conformes con la cultura matemática y tome los
que le son útiles para continuar su actividad.
Saber Matemáticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la
ocasión de utilizarlos y de aplicarlos, es “resolver problemas”, que en un sentido
amplio incluye tanto encontrar buenas preguntas como encontrar soluciones.”
(Brousseau, 1998)
Guy Brousseau (1933, )
Hacer matemáticas matem ticas es “resolver resolver problemas”.
problemas
2 Guy Brousseau ha recibido el primer premio internacional Felix Klein por la calidad de sus aportaciones científicas
al ámbito de la Didáctica de las Matemáticas.
3 Brousseau, G. (1998) La Théorie des Situations Didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage.
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4. ¿Qué es hacer Matemáticas en la Escuela Infantil?
De acuerdo con Brousseau (1998), un alumno/a hace realmente Matemáticas cuando,
para construir con sentido 4 un conocimiento matemático, debe:
• ACTUAR: contra un “medio” (situación-problema) que le provoque un
verdadero problema, de tal manera que se implique con todo interés en su
resolución. En la búsqueda de una solución, produce acciones que pueden
conducirle a la creación de un "saber-hacer".
• FORMULAR: las exigencias de la situación-problema propuesta hacen
necesario que entre los alumnos/as se lleve a cabo un intercambio de
informaciones mediante la creación de un lenguaje nuevo (oral o escrito)
propio de las Matemáticas.
• PROBAR: es preciso probar ante un compañero (o en algunos casos ante el
propio maestro/a) que la solución dada es válida y se trata de la solución al
problema propuesto.
El trabajo de profesor/a va a consistir en procurar que los niños/as se enfrenten,
vivan, se impliquen en estas verdaderas situaciones-problema 5 .
La tarea no es fácil: la aplicación inmediata de una reglilla algorítmica es mucho más
sencilla y económica que la comprensión y construcción significativa de un
conocimiento. Pero “la suma de comportamientos económicos puntuales y aislados no
produce un proceso globalmente óptimo.” (Brousseau, 2006, p. 7)
El profesor debe disponer de medios, es decir, de todo un banco de situaciones
efectivas, específicas para cada saber, capaces de generar conocimientos matemáticos
significativos en los alumnos/as. (Brousseau, 2006, p. 7)
“Para la TSD un conocimiento matemático está definido por las situaciones que lo
determinan, esto es, por un conjunto de situaciones para las que dicho conocimiento
4 “Para la TSD el sentido de un conocimiento matemático es un componente inseparable de las actividades
matemáticas en las que dicho conocimiento interviene.” (Gascón, 2011, p. 30)
5 La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) pasa de la concepción clásica de problemas a considerar verdaderas
situaciones matemáticas.
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es idóneo porque proporciona la solución óptima en el contexto de una institución
determinada.”(Gascón, 2011, p. 29). En nuestro caso la institución es la Escuela
Infantil.
5. Teoría de situaciones didácticas (TSD) de Brousseau: una respuesta
científica al proceso de enseñanza –aprendizaje de las Matemáticas.
La TSD es una teoría sobre los procesos de enseñanza - aprendizaje del conocimiento
matemático con una clara marca constructivista en la cual se considera que el
aprendizaje matemático se produce como resultado de la resolución de problemas.
Brousseau considera que los conocimientos matemáticos sólo pueden construirse a
través de las actividades que ellos permiten realizar y de los problemas que permiten
resolver. Así, postula que las Matemáticas no son simplemente un sistema conceptual,
lógicamente consistente y productor de demostraciones: son, en primer lugar, una
actividad que se realiza en una situación y contra un medio (situación-problema). Se
trata, además, de una actividad estructurada, en la que se pueden separar diferentes
fases: acción, formulación, validación e institucionalización.
Guy Brousseau 6 parte de un modelo general del conocimiento matemático: Saber
Matemáticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasión
de utilizarlos y de aplicarlos, es “resolver problemas”, que en un sentido amplio incluye
tanto encontrar buenas preguntas como encontrar soluciones.
Enseñar un conocimiento matemático concreto es, en una primera aproximación,
hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una actividad
matemática en el sentido anterior. El profesor/a debe imaginar y proponer a los
alumnos situaciones matemáticas que ellos puedan vivir, que provoquen la
emergencia de genuinos problemas matemáticos y en las cuales el conocimiento en
cuestión aparezca como una solución óptima a dichos problemas, con la condición
adicional de que dicho conocimiento sea construible por los propios alumnos. Es decir,
que no sea el profesor quien dé el conocimiento al alumno para que, posteriormente,
6 Brousseau, G. (1998) La Théorie des Situations Didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage.
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lo aplique (aplicacionismo), sino que realmente sea el alumno el que, enfrentándose a
un verdadero problema, buscando su solución, lo construya.
Desde esta concepción, tiene una particular importancia para la Didáctica de la
Matemática, la elaboración y el estudio del medio, es decir, de las situaciones que
debemos proponer a los alumnos, que ellos puedan "vivir" y en las cuales los
conocimientos matemáticos deberán aparecer como la solución óptima a los
problemas propuestos. Serán situaciones donde el alumno desarrolle un trabajo
intelectual comparable, en algunos momentos, a la actividad científica, es decir, donde
actúe, formule, pruebe y construya modelos de lenguaje, conocimientos que
intercambie con los demás, donde reconozca aquellos que están conformes con la
cultura y donde recoja aquellos que le son útiles y pertinentes.
5.1. Situación matemática específica de un conocimiento concreto
Una situación matemática es específica de un conocimiento matemático concreto si
cumple las dos condiciones siguientes:
a. Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento.
b. La estrategia óptima que permite resolver el problema planteado es el
conocimiento matemático que se desea que el alumno construya.
• Situación a-didáctica
Una situación a-didáctica es aquella en la que el alumno hace frente, de manera
autónoma, a la resolución del problema, construyendo para ello un conocimiento.
Las siguientes condiciones son indispensables para que una situación sea a-didáctica:
- El alumno debe poder entrever una respuesta (estrategia de base) al problema
planteado (no se debe “quedar en blanco” ante el problema propuesto).
- La estrategia de base debe mostrarse rápidamente como insuficiente y
antieconómica.
- El alumno debe poder validar sus estrategias interactuando con la situación.
- Debe existir incertidumbre por parte de los alumnos en las decisiones.
- El “medio” (la situación problema) debe permitir retroacciones que informen al
alumno sobre la validez de sus estrategias.
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- La situación debe ser repetible.
- El conocimiento buscado debe aparecer como la estrategia óptima que permita
resolver el problema, haciendo, así, que el alumno abandone la estrategia de
base.
• Situación fundamental
Se llama “situación fundamental” a un conjunto mínimo de situaciones a-
didácticas que permite engendrar, por manipulación de los valores de sus variables
didácticas, un campo de problemas suficientemente extenso como para proporcionar
una buena representación de un conocimiento matemático concreto.
Cada conocimiento matemático se caracteriza por una familia de situaciones a-
didácticas específicas de dicho conocimiento, es decir, para todo saber matemático,
existe una familia de situaciones a-didácticas susceptibles de darle un sentido correcto.
Esta familia de situaciones a-didácticas constituye lo que se denomina situación
fundamental 7 .
Figura 1: Situación fundamental
En este punto, podemos definir qué significa “aprender un conocimiento”. Diremos
que un alumno ha aprendido un conocimiento matemático específico si se ha
adaptado a todas las situaciones a-didácticas que constituyen una situación
fundamental. Esta adaptación se manifiesta mediante un cambio de estrategia del
alumno que le lleva a poner en práctica la estrategia ganadora u óptima de manera
estable en el tiempo.
Cada conocimiento matemático
matem tico se
caracteriza por una
FAMILIA de situaciones a-did a didácticas cticas
específicas espec ficas de dicho conocimiento, que
constituyen lo que se denomina
Situación: “LA CASITA”
Número natural: Cardinación de colecciones
Situación: “El AUTOBÚS”
Situación: “El ROBOT”
Situación: Poner la MESA
Situación “El GARAGE”
Situación “El Barquito”
7 En la la TSD un conocimiento matemático está definido por las situaciones que lo determinan. Un conjunto de
situaciones para las que dicho conocimiento es idóneo porque proporciona la solución óptima.
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5.2. El paso de la situación a-didáctica a la situación didáctica
Para que un alumno aprenda un conocimiento matemático concreto es
necesario que lo haga funcionar en sus relaciones con cierto medio a-didáctico. Pero
los conocimientos matemáticos no pueden vivir por sí mismos en la institución escolar,
sólo pueden funcionar como tales conocimientos, en la relación didáctica, resultando,
por tanto, que la situación a-didáctica es únicamente una parte de la situación más
amplia que Brousseau denominó “situación didáctica”, y que comprende las relaciones
establecidas entre los alumnos, el medio y el profesor, con el objetivo de que los
alumnos aprendan un conocimiento matemático concreto.
Situaci Situación n did didáctica ctica
Profesor/a
Alumno/a
Medio
Situación Situaci n a-did a didáctica ctica
Figura 2: Situación didáctica. Situación a-didáctica
Una situación es didáctica cuando un individuo (en general, el profesor) tiene la
intención de enseñar a otro individuo (en general, un alumno) un saber dado. Se llama
situación a-didáctica a aquella parte de una situación didáctica en la que la intención
del enseñante no es explícita 8 para el alumno. (Briand, 2000, p. 27)
La situación didáctica comprende una serie de intervenciones del profesor
sobre el par alumno-medio destinadas a hacer funcionar las situaciones a-didácticas y
los aprendizajes que ellas provocan. Estas intervenciones son principalmente
8 Es decir, cuando el alumno está trabajando en la resolución de un problema, él “juega” con una marioneta, o
construye un tapiz, o realiza el plano de su clase, pero no conoce explícitamente el conocimiento matemático que
está construyendo. El profesor, debe, posteriormente, institucionalizar dichos conocimientos: “hemos aprendido a
sumar”, “este signo + se lee más y significa añadir”, “esta figura es un triángulo”, “hemos aprendido el nombre de
muchas figuras geométricas”, etc.
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devoluciones e institucionalizaciones, conceptos que explicaremos posteriormente. La
evolución de una situación didáctica requiere la intervención constante, la acción
mantenida y la vigilancia del profesor.
Gestión
Control
Hipótesis de aprendizaje
Profesor Alum no
Medio
Situación
Acción
Variables didácticas
Retroacción
Figura 3: Relaciones que se establecen en el sistema didáctico
Como se ha podido leer anteriormente, en una situación didáctica participan al
menos dos actores: el alumno y el profesor, en la que uno de ellos, el profesor, busca
que el otro, el alumno, se apropie, se responsabilice o haga suya la situación a-
didáctica (se debe enfrentar al problema de forma autónoma). Este primer paso se
denomina la devolución del problema al alumno.
Es necesario que la situación “devuelta” al alumno provoque en éste una
interacción con el conocimiento lo más fecunda posible en lo que respecta a la
construcción por parte del alumno de dicho conocimiento. De esta forma podemos
definir, dentro de la teoría de las situaciones, una noción básica que aún no ha sido
introducida. Enseñar un conocimiento matemático consiste en hacer devolución al
alumno de una situación a-didáctica específica de dicho conocimiento.
La devolución de una situación a-didáctica consiste no sólo en presentar al alumno el
problema y las “reglas del juego”, es decir, la situación como tal, sino, además, en
hacer que el alumno se sienta responsable, (en el sentido matemático de la palabra),
del resultado que debe buscar, es decir, de la resolución del problema planteado.
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En la didáctica actual, la enseñanza es la devolución a un alumno de una situación
a-didáctica correcta, el aprendizaje es una adaptación a esta situación. (Brousseau,
1998, p. 60).
TEORÍA TEOR A DE SITUACIONES SITU ACIONES DIDÁ DID CTIC AS
APRENDER APREND ER un conocim iento m atem ático
Adaptarse a una situación específica de dicho
conocim iento.
Siem pre se corresponde con un cam bio de
estrategia.
Todo conocim iento surge asociado a una nueva
estrategia capaz de resolver un problem a que la
estrategia “de base” se había m ostrado incapaz de
resolver.
(Chevallard, Bosch, Gascón, 1998, p. 218-225)
Figura 4: Aprender un conocimiento matemático en la TSD
TEORÍA TEOR A DE DE SITUACIONES DIDÁCTICAS
DID CTICAS
ENSEÑAR
ENSE AR un conocimiento matemático
Llevar a cabo un proceso de
DEVOLUCIÓN DEVOLUCI al alumno de una
situación a-did didáctica ctica específica de dicho
conocimiento
Figura 5: Enseñar un conocimiento matemático en la TSD
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5.3. Tipos de situaciones a-didácticas
Brousseau (1998) plantea una serie de situaciones a-didácticas que permiten al alumno
construir el conocimiento matemático, respetando a la vez todos los principios
anteriormente propuestos. Estas situaciones a-didácticas son:
• Situaciones de acción.
• Situaciones de formulación.
• Situaciones de validación.
• Situaciones de institucionalización.
5.3.1. Situaciones a-didácticas de acción
Toda situación a-didáctica de acción propone al alumno un problema en unas
condiciones tales que la mejor solución se obtiene mediante el conocimiento a
enseñar y, de tal forma, que el alumno puede actuar sobre la situación y hacer
elecciones durante esta acción, al tiempo que la situación le devuelve información
sobre las consecuencias de su acción.
Dialéctica de la ACCIÓN
información
Situación Alumno
acción
sanciones o retroacciones
Figura 6. Dialéctica de la acción
Si el alumno no cuenta con una estrategia inicial asegurada, se verá inmerso en una
dialéctica de ensayo-error en búsqueda de la solución, que le ofrecerá mucha y variada
información. De esta forma puede llegar un momento en que construya una nueva
estrategia que contenga nociones, relaciones y propiedades subyacentes que serán
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utilizadas y de las cuales el alumno no es consciente, a pesar de que su acción se
descubra como exitosa.
El objetivo de estas situaciones es facilitar y favorecer un cierto tipo de interacciones
entre el sujeto y el medio, siendo en todo momento una situación que permita el
feedback para que el alumno pueda juzgar el resultado de su acción, permitiendo el
ajuste de estas a los resultados obtenidos, de forma que el docente no tenga que
intervenir en el desarrollo y transcurso de dicha situación.
No se trata de una situación de manipulación libre o según un orden preestablecido:
una buena situación de acción debe permitir al alumno juzgar el resultado de su
acción y ajustarla, sin la intervención del profesor, gracias a la retroalimentación por
parte del medio. En una buena situación de acción el alumno debe percibir
informaciones que han de servirle como sanciones o refuerzos.
En una situación de acción se produce un “diálogo” entre el alumno y la situación. Esta
dialéctica de la acción, (figura 6), le permite mejorar su modelo implícito, es decir,
tener reacciones que no puede todavía formular, probar ni, mucho menos, organizar
en una teoría. En todo caso la situación a-didáctica provoca un aprendizaje por
adaptación.
5.3.2. Situaciones a-didácticas de formulación
En esta fase se diseñan situaciones en las que las estrategias que ha puesto en
funcionamiento el alumno en la fase anterior tengan necesariamente que hacerse
explícitas, que formularse (oralmente o por escrito).
Así, en las situaciones de formulación el alumno debe intercambiar sus informaciones
con otras personas, comunicando al interlocutor (o interlocutores) los resultados
obtenidos en la etapa anterior. A su vez el receptor hace lo mismo, y le comunica sus
observaciones.
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Esta comunicación entre emisor y receptor puede hacerse efectiva a través de
mensajes orales o escritos, empleando, según las posibilidades del emisor, un lenguaje
matemático. Permite al alumno comunicar su modelo implícito (la estrategia empleada
en la resolución del problema).
Como resultado de esta dialéctica el alumno creará un modelo explícito, que puede
formularse con ayuda de signos y reglas (conocidas o nuevas).
Dialéctica de la formulación
Situación
información
acción
acción
sanciones o retroacciones
Emisor
Receptor
Figura 7. Dialéctica de la formulación
5.3.3. Situaciones a-didácticas de validación
En Matemáticas decir que algo es verdadero implica tener medios para poder probarlo.
Desde los niveles escolares más iniciales y elementales, el hacer Matemáticas debe
permitir el desarrollo de la personalidad racional del alumno y enseñarle
comportamientos sociales relativos a la toma de decisiones y al establecimiento de la
verdad.
“El aprendizaje más fundamental que los niños/as pueden encontrar en las
Matemáticas, desde la escuela infantil, es el de la gestión personal y social de
la verdad. Las Matemáticas no tienen el monopolio de la búsqueda de la
verdad pero constituyen el dominio donde los niños la encuentran más
precozmente y donde comienzan a tratarla con el menor número de saberes
previos.“ (Brousseau, 2006, p. 6)
mensaje
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En la dialéctica de la validación, el alumno debe demostrar por qué la estrategia que ha
creado para resolver el problema es válida, es verdadera. Debe “convencer” a otro,
debe probar la exactitud y la pertinencia de su modelo.
Pero para que el alumno construya una demostración y ésta tenga sentido para él es
necesario que la construya en una situación, llamada de validación, en la que debe
convencer a otra persona.
Una situación a-didáctica de validación proporciona la ocasión para que un alumno
(proponente) pruebe la exactitud y la pertinencia de su modelo, el alumno oponente
puede pedir explicaciones suplementarias, rechazar las que no comprende o aquellas
con las que no está de acuerdo, siempre y cuando justifique su desacuerdo.
Dialéctica de la validación
Situación
información
sanciones o retroacciones
información - sanción
Figura 8. Dialéctica de la validación
Proponente
Oponente
5.3.4. Situaciones de institucionalización de los conocimientos
matemáticos
Las situaciones de institucionalización tienen como misión dotar de un cierto estatuto
oficial al nuevo conocimiento que ha sido construido y validado.
El profesor/a es el responsable de informar a los alumnos de que el conocimiento que
acaban de construir en las fases anteriores forma parte de un conocimiento social
(contar, sumar, restar, nombrar figuras geométricas, medir de longitudes, medir
pruebas
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superficies, etc.) y del patrimonio de la institución matemática. De este modo, el
conocimiento es etiquetado (recibe un nombre “oficial”) y pasa a ser algo que los
alumnos deben saber y pueden nombrar y aplicar en lo sucesivo.
Dialéctica de la institucionalización
Conocimiento cultural
Información
Profesor/a Sujeto
Control oficial
SITUACIÓN
SITUACI
Estatuto
Figura 9. Situación de institucionalización
La institucionalización supone un doble reconocimiento social: el alumno reconoce
como oficial el objeto de conocimiento que acaba de construir y el maestro reconoce
como oficial el aprendizaje del alumno.
Se trata de un trabajo cultural e histórico que difiere totalmente del que puede dejarse
a cargo del alumno y es responsabilidad del profesor.
Inversamente a la devolución, la institucionalización consiste en dar un estatuto
cultural a las producciones de los alumnos: actividades, lenguajes y conocimientos.
Constituye, junto a la devolución, una de las actividades principales del profesor.
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6. ¿Cuál es la tarea del maestro/a de la Escuela Infantil para que el
alumno/a construya el conocimiento matemático con sentido?
Como se ha señalado anteriormente, la tarea del maestro/a, para dar respuesta a la
cuestión que formulamos al comienzo: ¿qué es hacer Matemáticas en la Escuela
Infantil? debe ser diseñar situaciones de enseñanza-aprendizaje que provoquen
realmente una construcción auténtica y significativa del conocimiento matemático por
los propios los niños/as.
Precisamente todo el amplio desarrollo de la ingeniería didáctica en Didáctica de las
Matemáticas ha tenido este fin. La ingeniería didáctica permite construir situaciones
que provoquen la génesis artificial de un saber en el medio escolar, para que los
alumnos/as se enfrenten a problemas cargados de sentido y significación matemática
y, cuya resolución les permita construir el conocimiento matemático deseado.
La TSD pretende desarrollar y fundamentar teóricamente una ingeniería didáctica que
permita diseñar, gestionar y analizar situaciones didácticas que posibiliten que los
alumnos realicen una actividad matemática con sentido. (Gascón, 2011, p. 32)
En la actualidad podemos afirmar que disponemos de todo un dominio de ingenierías
didácticas, producto de numerosas tesis doctorales y trabajos de investigación, que
permiten diseñar y articular el currículum matemático de los primeros niveles
educativos (Educación Infantil y Educación Primaria).
En el curso de esta exposición, no podemos abordar todo este ingente campo, pero
nos vamos a aproximar al dominio de la construcción del número natural y la
numeración en el nivel de la Escuela Infantil.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
Situación de aprendizaje matemático
Una situación de aprendizaje es una situación donde lo que se hace tiene carácter de
necesidad, independientemente de la voluntad del maestro. La resolución del
problema se vuelve entonces responsabilidad del alumno, que debe hacerse cargo de
obtener un resultado.
Desde esta perspectiva, el alumno aprenderá Matemáticas, si:
• entra en el problema, haciéndolo suyo,
• pone en funcionamiento una estrategia de base (que puede ser pesada,
costosa, defectuosa, ...),
• cuando la estrategia de base se hace insuficiente, el alumno trata de
superar el desequilibrio y anticipa y emite hipótesis que le permitan:
o elaborar procedimientos, ponerlos en funcionamiento, y según los
efectos producidos, adoptarlos o modificarlos, ...
o automatizar aquellos que sean solicitados con más frecuencia,
o ejercer un control sobre los resultados,
o construir con sentido un conocimiento matemático.
“El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones,
de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad
humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por
respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje”. (Brousseau, 1998, p.59).
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6. La construcción del número natural y de la numeración en la Escuela
Infantil 9
Con objeto de facilitar al profesorado la comprensión del proceso de
enseñanza-aprendizaje de conocimientos matemáticos, bajo una hipótesis
constructivista “por adaptación al medio”, vamos a presentar a continuación una serie
de situaciones que permiten a los alumnos de este nivel educativo construir con
sentido el número natural y la numeración. Estas situaciones, y otras muchas derivadas
de ellas, gestionadas por los maestros/as a través de sus diferentes variables
didácticas, permitirán a los alumnos crear todo un universo de sentido en la
construcción de los primeros conocimientos numéricos, es decir, hacer Matemáticas
significativamente.
6.1. Consideraciones didácticas en relación con la enseñanza y el aprendizaje de los
primeros conocimientos numéricos.
I. El número y la numeración son objetos culturales, utilizados cotidianamente en
el medio familiar y social. Es ingenuo no tener esto en cuenta en la enseñanza y
hacer como si el niño no conociera absolutamente nada relacionado con el
dominio numérico al llegar a la escuela. Debemos tener en cuenta los saberes
previos de los alumnos, enriquecer sus prácticas iniciales y sus procedimientos
primitivos en torno al número y a su designación (la numeración).
II. Para diseñar el proceso de enseñanza, no podemos servirnos únicamente de la
definición matemática de número natural y de las reglas del algoritmo de
"contar", tenemos necesidad de determinar un conjunto de situaciones que
permita a los niños, desde la Educación Infantil, encontrar las “razones de ser”
del número y la numeración.
III. Si bien, en Matemáticas, número y numeración son objetos bien distintos (el
número no depende del modo como lo designamos), creemos, sin embargo,
que esta distinción no es suficiente para considerar las funciones específicas de
cada uno de ellos en la enseñanza de modo aislado. No podemos pensar que el
9 Para profundizar y ampliar conocimientos didácticos en este dominio, recomendamos la lectura de Ruiz Higueras,
L. (2011) La construcción de los primeros conocimientos numéricos. En Chamorro, C. (Ed.) Didáctica de las
Matemáticas –Infantil. Madrid : Pearson.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
número pueda aprenderse en los primeros niveles escolares
independientemente de la numeración.
IV. Estudios de epistemología y de Didáctica de las Matemáticas como los pioneros
de El Bouazzaoui 10 (1985), o Quevedo 11 (1986), dirigidos por Brousseau, ponen
de manifiesto, cómo las nociones de número y numeración están íntimamente
ligadas. Las relaciones entre números y numeración son dialécticas. La
numeración nos permite hablar de los números y representarlos, en
consecuencia, debe hacerlo de una forma cómoda, eficaz y económica. Su
función es designar (enunciar y escribir) los números y modelizar las
propiedades de los números.
V. Así pues, no consideramos adecuado hablar "a priori" de funciones de la
numeración y del número de forma independiente. Por ello, consideramos
necesario crear situaciones que permitan describir el funcionamiento
adecuado e idóneo del número junto con su designación (la numeración).
Las situaciones que pueden dar significación al número y la numeración serán aquellas
que den respuesta a la pregunta: ¿Para qué tenemos necesidad del número y de su
designación?
6.2. ¿Para qué tenemos necesidad del número y de su designación (numeración)?
Desde la Escuela Infantil, consideraremos fundamental proponer a los alumnos
situaciones que les permitan construir con sentido las funciones 12 del número y de la
numeración.
Las funciones esenciales del número en este nivel educativo son:
• medir una colección: asignar un número natural a una colección,
• producir una colección: operación inversa a la anterior (es decir, dado un
número, construir una colección cuyo cardinal sea dicho número),
• ordenar una colección: asignar y localizar la posición de los diferentes
elementos de una colección.
10
El Bouazzaoui, H. (1985) Étude de situations scolaires des premiers enseignements des nombres et de la
numeration. Thèse. Université de Bordeaux.
11
Quevedo de Villegas, B. (1986) Les situations et le processus dans l’apprentissage des nombres. D.E.A. Université
de Bordeaux.
12
Nos hemos apoyado en los trabajos de El Bouazzaoui y Quevedo de Villegas antes mencionados.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
6.3. Situación fundamental para la cardinación de una colección mediante la
actividad de contar
El conocimiento de los primeros números naturales se manifiesta por el conteo. En la
vida diaria, todo el mundo sabe lo que es contar: se trata de una actividad totalmente
naturalizada, que conocemos y dominamos sin ninguna dificultad. Socialmente, el
contar es algo que se hace, no es algo que se explica.
Vamos a determinar un modelo de situación-problema que nos permita realizar con
sentido las actividades de cardinar y contar en la escuela.
Construir una situación fundamental, 13 para que a través de la actividad de contar
determinemos el cardinal de una colección, supone definir una clase de situaciones
con un cierto número de variables didácticas que, al tomar distintos valores, permita
generar un conjunto de problemas característicos del contar. Serán problemas donde
el contar constituya su solución óptima y que debe resolver alguien que no posee este
conocimiento: que no sabe contar.
Esta situación fundamental se puede modelizar con el siguiente juego: dada una cierta
cantidad de objetos (por ejemplo, botes de pintura), pedimos a un niño que vaya a
otro lugar, desde el que no ve los objetos anteriores, a buscar otro tipo de objetos (por
ejemplo, pinceles) y que, en un sólo viaje, traiga aquellos que necesite para poner un
sólo pincel en cada bote sin que sobre ni falte ninguno. “Diremos que alguien sabe
contar – en el sentido de la teoría de situaciones – cuando es capaz de realizar
correctamente esta tarea y, aún más, cuando es capaz de pedirle a alguien la cantidad
exacta de pinceles que necesita y controlar si ha llevado a cabo estas acciones
correctamente”. (Brousseau 14 , 1995, p. 12)
Esta situación fundamental describe una actividad humana concreta, no un método de
enseñanza. Está claro que, en cuanto modelo de actividad, también puede ser utilizado
en la enseñanza. Pero su función principal es dar cuenta de las distintas actuaciones
13 La noción de situación fundamental se ha definido anteriormente, en la p de este trabajo.
14 Brousseau, G. (1995) Didactique des sciences et formation des professeurs, En Comiti, C. (Ed.) Didactique des
disciplines scientifiques et formation des enseignants. Grenoble: IUFM de Grenoble.
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que designamos culturalmente como acciones de contar, y de las condiciones que se
requiere para realizar dichas actuaciones. Por ejemplo, cuando alguien recita la serie
numérica “uno, dos, tres, ...” no está resolviendo el problema de la situación
fundamental, sólo está realizando uno de los “pasos” posibles. Si además de recitar
señala con el dedo cada uno de los botes de pintura, estará más cerca de la estrategia
ganadora. Si también sabe detenerse en el último número enunciado se habrá
acercado aún más, etc.
Para generar los distintos tipos de problemas que designamos habitualmente como
“problemas de contar”, basta con modificar el valor de las variables de la situación:
podemos considerar, por ejemplo, que hay un número muy reducido de botes (4 o 5)
o, al contrario, un número muy alto (alrededor de 25.000); podemos suponer que los
pinceles están al lado de los botes o muy alejados; que no tenemos acceso a ellos, sino
que se venden por paquetes de 50; que en lugar de botes y pinceles, se trata de
pollitos (en continuo movimiento) y anillas (para colocárselas), que la colección está
formada por objetos muy distintos o tan iguales como los lados de un dodecaedro
regular; que la colección se ubica en un macroespacio: los árboles de un bosque, o por
el contrario, en un microespacio: glóbulos rojos, plaquetas, etc.
Situación fundamental que permite movilizar el número
natural - cardinal.
Una persona debe ir a buscar, en una sóla vez, una colección C2 coordinable 15
con una colección de referencia C1. Las colecciones C1 y C2 están visibles y
disponibles simultáneamente en el momento de la validación, pero no en el
momento de la construcción. Es decir, mientras la persona construye C2 no
puede visibilizar C1.
15 Una colección A se dice que es coordinable con otra colección B si entre ambas se puede establecer
una aplicación biyectiva, es decir, si a todos y cada uno de los elementos de A se le puede asociar uno y
solo un elemento de B. Por ejemplo, la colección de dedos de nuestra mano izquierda es coordinable
con la colección de dedos de nuestra mano derecha.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
6.4. Tipos de situaciones.
Tomando como base la situación fundamental definida anteriormente, el profesor/a
de la Escuela Infantil puede diseñar toda una serie de situaciones a-didácticas
mediante una gestión adecuada de sus variables didácticas, apoyándose en un modelo
de aprendizaje constructivista por adaptación al medio 16 . A continuación se proponen
varios tipos:
• Situaciones de autocomunicación: El propio niño/a dispone de la colección
de referencia C1 y va a buscar en una sola vez una colección coordinable C2.
• Situaciones de comunicación oral: El profesor dispone de una colección de
referencia C1 y pide oralmente a un niño A1 que vaya a buscar justo los
objetos necesarios de otra colección C2 para construir una colección
coordinable con C1. (“Quiero que me traigas en un solo viaje las canicas
necesarias para que en cada uno de los vasos de esta bandeja haya una y
sólo una”.)
La comunicación también se puede llevar a cabo entre dos niños (A1 y A2).
El recurso al “conteo” se considera como el procedimiento óptimo para
que el niño resuelva este problema. Como, normalmente, no surge de
modo espontáneo en los niños, supone un aprendizaje muy importante en
este nivel educativo.
• Situaciones de comunicación escrita: Un niño A1 dispone de una colección de
referencia C1 y pide por escrito a otro niño A2 que vaya a buscar justo los
objetos necesarios de otra colección C2 para construir una colección que
tenga tantos elemento como C1.
La resolución de este problema necesita:
a. Que A1 formule un mensaje en el que pueden figurar:
Marcas tales como:
16 Este modelo de aprendizaje se estudia en Ruiz-Higueras, L. (2011) Aprendizaje y Matemáticas. En
Chamorro, C. (Ed.) Didáctica de las Matemáticas en Infantil. Madrid: Pearson
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“Quiero tantas pegatinas como he dibujado”, lo que muestran la puesta
en funcionamiento de la propiedad de invariancia de la cantidad: la
coordinabilidad entre dos colecciones no depende de la naturaleza de
los objetos (principio de abstracción).
Escritura del dígito que represente el cardinal de la colección C1: por
ejemplo: 7.
Escritura sucesiva de los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Otras
b. Que A2 sepa interpretar el mensaje que ha escrito A1 y sea capaz de
producir una colección, tomando los elementos necesarios de C2, a partir de
una escritura codificada.
6.5. Familia de situaciones a-didácticas que constituyen la situación fundamental del
número natural en su aspecto cardinal
Presentamos a continuación toda una familia de situaciones, diseñadas para que
puedan vivir en la Escuela Infantil, que verifican las condiciones exigidas por la
situación fundamental del número natural en su aspecto cardinal. En consecuencia,
todas ellas tienen la misma estructura, aunque para los niños/as suponga resolver
problemas diferentes, por las características del material, del contexto, de las
consignas, etc. Para solucionarlas necesariamente deben cardinar colecciones
movilizando como estrategia óptima el conteo, junto con la designación oral y escrita
de los números (la numeración).
S itu a c ió n : “ L A C A S I T A ”
S itu a c ió n : “ E l R O B O T ”
S itu a c ió n : P o n e r la M E S A
N ú m e ro n a t u r a l: C a rd in a c ió n d e c o le c c io n e s
S itu a c ió n : “ E l A U T O B Ú S ”
S itu a c ió n “ E l G A R A G E ”
S itu a c ió n “ E l B a r q u ito ”
Figura 10: Familia de situaciones a-didácticas que configuran la situación fundamental
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
EL AUTOBÚS (Educación Infantil 4/ 5 años)
Situación didáctica para la actividad de contar: el número como memoria de la
cantidad
Objetivos:
Utilizar el número para medir una cantidad y producir una cantidad.
• Utilizar los números como instrumentos eficaces para memorizar una cantidad.
• Construir diferentes procedimientos de "cardinación” de colecciones.
• Utilizar la actividad de contar como el procedimiento más eficaz y económico
para la cardinación de colecciones.
• Construir “mensajes” para designar los números en una actividad de
comunicación (iniciar la construcción con sentido de la numeración oral y escrita) 17
Material:
Un soporte formado por dos partes, una parte libre sobre la que se pondrán, en un
primer momento, los "pasajeros" y otra parte sobre la que están dibujadas las plazas
del autobús (con asientos libres y ocupados).
• Pequeños muñecos o fichas (serán los pasajeros del autobús).
• Hojas recambiables que representan la distribución de las plazas del autobús.
(En esta actividad es necesario que, en la clase, el lugar donde se encuentran los
"pasajeros" esté suficientemente alejado del lugar de los "autobuses", para que, en el
momento en el que los niños estén tomando los "pasajeros" no puedan ver las plazas
del autobús.)
17 Adaptación de la situación propuesta en Ermel (1999, p.90) Aprentissages numeriques, París: Hatier.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
EL AUTOBÚS (continuación) Consignas:
• 1ª fase: Debéis de ir a buscar justo los
"pasajeros" necesarios, sólo los necesarios, ni
más ni menos, para completar las plazas libres
del autobús.
• 2ª fase: Debéis de ir a buscar, en una sola vez,
justo los "pasajeros" necesarios, sólo los
necesarios, ni más ni menos, para completar
las plazas libres del autobús.
3ª fase: Debéis pedirme por escrito, en un
mensaje, los pasajeros que necesita vuestro
autobús.
Situación fundamental que permite movilizar el número natural -
cardinal.
Una persona debe ir a buscar, en una sóla vez, una colección C2 coordinable 18 con una
colección de referencia C1. Las colecciones C1 y C2 están visibles y disponibles
simultáneamente en el momento de la validación, pero no en el momento de la
construcción. Es decir, mientras la persona construye C2 no puede visibilizar C1.
Situación de “EL AUTOBÚS”
En relación con la situación fundamental:
- La colección C1 está formada por el conjunto de plazas libres del autobús.
Esta colección la determina la maestra/a en función de los aprendizajes
que quiera que los alumnos construyan. Ella selecciona la “base” del
autobús.
- La colección C2 la deben construir los niños/as. Cada uno debe formar la
colección C2 determinando el número de pasajeros necesario para ocupar
todas las plazas libres del autobús.
18 Una colección A se dice que es coordinable con otra colección B si entre ambas se puede establecer una
aplicación biyectiva, es decir, si a todos y cada uno de los elementos de A se le puede asociar uno y solo un
elemento de B. Por ejemplo, la colección de dedos de nuestra mano izquierda es coordinable con la colección de
dedos de nuestra mano derecha.
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EL AUTOBÚS: mensajes escritos por los niños/as:
Base del autobús:
Casillas negras: plazas ocupadas
Casillas blancas: plazas libres
Juan José
Pedro
María Elena
María Elena: reproduce icónicamente todos los asientos (libres y ocupados). A cada columna de
asientos le asigna su cardinal. Escribe 11 = 1 + 1, intentado expresar (en este caso, erróneamente) la
descomposición aditiva del número. La escritura del “once” para ella es realmente un 1 y un 1. Este
error, que lo manifiestan muchos niños en este nivel, es debido a la total falta de significación del
aprendizaje de las escrituras algebraicas (a = b+c). Es el indicador de un obstáculo didáctico.
Juan: dibuja todos y cada uno de los pasajeros (numeración icónico primitiva), junto con el numeral 11.
Juan José: formula su petición correctamente. Expresa el cardinal de la colección en el sistema de
numeración indoarábigo de base diez.
Pedro: manifiesta un error en la cardinación de la colección (10 pasajeros, en lugar de 11). Expresa el
numeral (10) con un error disléxico.
Isabel María: necesita formular el cardinal de la colección (11 pasajeros) mediante la presencia de los
once primeros numerales de la secuencia numérica, cada pasajero lo representa con un numeral. Para
Isabel María, el numeral “11” no es representativo de todos los pasajeros, sólo representa al último.
Esta producción nos muestra la existencia de un obstáculo ontogenético: falta de maduración en la
“inclusión jerárquica de clases”.
Juan
Isabel María
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PONER LA MESA (Educación Infantil 3 años)
Situación didáctica para el aprendizaje del número como memoria de la cantidad
Objetivos:
- Dotar de funcionalidad y sentido al número y a su designación (la numeración).
- Construir el número natural como “memoria” de la cantidad: permite evocar una cantidad sin que
esté presente.
Material:
- Menaje de mesa: platos, vasos, cucharas, tenedores, cuchillos de plástico.
- Mesas (rectangulares o redondas) donde se sentarán los comensales.
Consigna: Vamos a jugar a “los camareros”. Unos niños se sentarán en la mesa de un restaurante y
otros serán “los camareros/as”.
En cada mesa se nombra a un niño como responsable de hacer las peticiones al camarero. El
responsable debe pedir por escrito al camarero los platos 19 que se necesitan para que cada niño de la
mesa tenga uno y sólo uno. “Debéis pedir los platos necesarios, repito, justo los precisos, ni más ni
menos”.
El lugar donde se ubica el almacén del menaje debe estar suficientemente alejado de las mesas, de tal
manera, que los camareros no puedan ver a los comensales mientras cogen los utensilios. Cada
camarero tiene que tomar del almacén tantos platos como le han indicado por escrito.
Producciones escritas de los niños/as:
Nota: en relación con la situación fundamental definida anteriormente, la colección C1 está formada por los
niños que hay sentados en una mesa. La colección C2 la produce cada camarero y estará configurada por los
platos necesarios para que cada niño de esa mesa tenga uno y sólo uno.
19 O en su caso los vasos, los tenedores, los cuchillos, las cucharas, las servilletas, etc.
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LA CASITA (Educación Infantil 4/5 años)
Situación didáctica para el aprendizaje del número como memoria de la cantidad y
como memoria de la posición.
Objetivos: Dotar de funcionalidad y sentido al número y a su designación (la numeración).
- Construir los aspectos relativos a número y la numeración como:
- memoria de la cantidad: permite evocar una cantidad sin que esté
presente (aspecto cardinal),
- memoria de la posición: permite evocar el lugar de un objeto en una
sucesión ordenada (aspecto ordinal).
Material:
- Un cartel con una casita decorada, según el modelo adjunto.
- Una ficha con una casita, cuya cuadrícula estará sin decorar, para cada niño/a.
- Cajas que contienen “pegatinas” de colores.
Consigna: “Voy a poner en vuestra mesa una
ficha que tiene una casita, cada niño/a debe
decorarla de modo que quede exactamente
igual que el modelo. En la mesa del profesor
tenéis cajas que contienen “pegatinas” de
colores. Debéis pedirme por escrito en un papel
las “pegatinas” que necesitéis para completar
vuestra casita, repito, justo las precisas, ni más
ni menos”.
Los niños necesariamente deben desplazarse
para ver el cartel-modelo de la casita y poder
construir sus mensajes, pero una vez que están
en su mesa, no le es accesible a la vista.
Los niños/as,
observan el cartel de la
casita, formulan su
mensaje, lo muestran a
la maestra, ésta lo lee y
les da las pegatinas que
piden.
NOTA: en relación con la situación fundamental definida anteriormente, la colección C1 está
formada por las pegatinas que decoran el cartel-modelo. La colección C2 la produce cada niño/a
cuando pide las pegatinas que necesita para construir su “casita”.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
Análisis de los mensajes producidos por los niño/as
A. Mensajes formulados por los niños/as para pedir las pegatinas que necesitan para
producir cada uno de ellos su “casita” de acuerdo con el modelo propuesto
por la maestra.
Fátima
Raquel María
Jesús
Producciones escritas de los niños:
Como podemos observar, los niños emplean
diferentes tipos de códigos, desde
numeraciones primitivas icónicas, que tratan
de reproducir la forma y el color de las
pegatinas, hasta los signos correctos de las
cifras de nuestro sistema de numeración.
Pedro
- Raquel reproduce analógicamente las pegatinas, su petición es correcta.
- Fátima reproduce analógicamente las pegatinas y añade correctamente el cardinal de cada
una de las colecciones usando las cifras de nuestro sistema de numeración.
- María expresa el cardinal de cada una de las colecciones de pegatinas usando las cifras de
nuestro sistema de numeración. Indica, además, con toda precisión la propiedad
característica de cada colección (su color).
- Jesús emplea correctamente las cifras de nuestro sistema de numeración y expresa la
propiedad característica de cada colección escribiendo en castellano su color.
- Pedro emplea gráficos icónicos, pero no llega a cardinar correctamente las colecciones.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
B. Casitas construidas por los niños/as:
Con las pegatinas que la maestra les ha facilitado, tras la lectura del mensaje
presentado, cada niño comienza a construir su casita en su propia mesa, desde donde
no puede ver el cartel-modelo. Si lo desea, puede ir a ver el modelo, obtener más
información y regresar a su mesa para continuar su trabajo.
Casitas producidas por Raquel, Fátima, Jesús y Lorenzo con las pegatinas
obtenidas por medio de sus peticiones formuladas por escrito. Como podemos
observar:
- Raquel y Jesús han pedido el número correcto de pegatinas, pero no las
ubican correctamente en la casita (no controlan su posición).
- Fátima y Lorenzo no han pedido el número correcto de pegatinas rojas,
tampoco las ubican correctamente.
Estas producciones muestran los errores que pueden cometer los niños al tener
que usar funcionalmente el número natural como memoria de la cantidad
(aspecto cardinal del número natural) y como memoria de la posición (aspecto
ordinal del número natural).
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
C. Validación que llevan a cabo los niños de sus producciones.
Cuando termina cada niño su casita, la maestra los invita a que comparen cada una
de sus producciones con el cartel original. En el proceso de comparación van a
obtener una “respuesta” del cartel-modelo. No necesitarán la reprobación de la
maestra, es la propia situación la que les responde sobre su acción: se trata de una
situación que es criterio y fuente de aprendizaje.
Fátima, Raquel, Jesús y Lorenzo sufrirán un desequilibrio cognitivo: no han
construido sus casitas de acuerdo con el modelo. La maestra provocará debates
para que ellos mismos se cuestionen:
- ¿En qué me he equivocado?
- ¿Debo modificar mi “mensaje”?
- ¿Debo modificar la posición de las pegatinas?
- ¿Cómo debo colocarlas?
Tratarán de buscar nuevas respuestas, de tal manera que en este proceso de
búsqueda, construirán verdaderos aprendizajes matemáticos.
Validación autónoma de las estrategias de resolución de un problema
En la situación de “La casita”, Ana realizó las siguientes producciones:
- formuló un mensaje para pedir sus pegatinas y
- construyó su casita
Ana
La maestra debe provocar que sean los niños los que identifiquen sus propios
errores. En este caso, debe invitar a Ana a que compare su “Casita” con el
modelo. Debe estar atenta a sus respuestas para evaluar sus aprendizajes y
determinar las características de los nuevos problemas que debe proponerle:
- ¿Qué conocimientos relativos al número y a su designación debe modificar
Ana?
o ¿aspecto cardinal (“memoria de la cantidad”)?
o ¿aspecto ordinal (“memoria” de la posición)?
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Situación: “El Robot” (Educación Infantil – 5 años)
Material:
- Un cartel con un robot según el modelo adjunto.
- Una ficha con un robot, cuya cuadrícula estará totalmente en
blanco, para cada alumno.
- Cajas que contienen “pegatinas” de colores.
El cartel del robot lo ubica sobre una mesa en un extremo de la
clase. Los niños necesariamente deben desplazarse para verlo y
poder construir sus mensajes, pero una vez que están en su mesa,
no le es accesible a la vista.
-
Consignas: Voy a poner en vuestra mesa una ficha que tiene un robot, cada niño debe terminarlo de
modo que quede exactamente igual que el modelo. En la mesa del profesor tenéis cajas que contienen
“pegatinas” de colores.
· 1ª fase: Debéis de ir a buscar justo las pegatinas necesarias, sólo las necesarias, ni más ni
menos, para completar el robot.
· 2ª fase: Debéis de ir a buscar, en una sola vez, justo las pegatinas necesarias, sólo las
necesarias, ni más ni menos, para completar el robot.
· 3ª fase: Debéis pedirme por escrito, en un mensaje, las pegatinas que necesita vuestro
robot. Debéis pedirme por escrito, en un papel, las pegatinas que necesitéis para
completarlo, repito, justo las precisas, ni más ni menos”.
Objetivos:
- Utilizar el número para medir una cantidad y producir una cantidad.
- Utilizar los números como instrumentos eficaces para memorizar una cantidad y una posición.
- Construir diferentes procedimientos de cardinación de colecciones.
- Utilizar el conteo como el procedimiento más eficaz y económico para la cardinación colecciones.
- Construir “mensajes” para designar los números en una actividad de comunicación.
Variables didácticas:
- Número de cuadrados coloreados en el robot, elegido en función de las competencias numéricas de
los niños.
- Disposición espacial de los cuadrados coloreados.
- Número de viajes que pueden dar los niños para pedir las pegatinas (varios viajes o sólo uno).
- Exigencia o no de escribir un mensaje para pedir las pegatinas a la profesora (se podrían pedir
también oralmente).
Escribe un mensaje
La maestra lee el mensaje y
entrega las pegatinas.
Decora el robot con las
pegatinas.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
LA MARIONETA (Educación Infantil 5 años)
Se trata de una situación de comunicación entre un alumno/a y una marioneta
manipulada por el maestro/a. Normalmente los profesores la llevan a cabo con un
grupo de 5 a 8 alumnos, aunque la tarea la deba realizar cada niño individualmente.
Consigna:
Dada una cantidad n > 9 de platos, los niños deben formular un mensaje escrito
para pedir a una marioneta que les dé los vasos necesarios para tener tantos
como platos.
Los platos están distribuidos de forma arbitraria sobre una mesa de la clase.
La marioneta no puede hablar, y solo sabe interpretar mensajes escritos con
números del 1 al 9. Dispone de una gran pila de vasos para poder dar a los niños
los que le pidan en sus mensajes.
Objetivos:
• Conducir a los alumnos a producir una escritura aditiva para designar el número de
elementos de una colección bastante más numerosa que las que normalmente
manejan.
• Conseguir que los niños pasen de una percepción de las colecciones unidad por
unidad a una percepción por agrupamientos.
Validación de los procedimientos empleados por los alumnos:
Esta situación es autovalidante, es decir, los propios niños pueden determinar por sí
mismos si su mensaje ha sido correcto. Basta que comprueben si son coordinables
entre sí la colección de platos y la colección de vasos que les ha dado la marioneta.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
LA MARIONETA (Educación Infantil 5 años)
Consigna de la profesora:
La marioneta sólo sabe leer mensajes con los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Debéis
escribir un mensaje para pedir a la marioneta: “tantos vasos como platos hay sobre esta
mesa de la clase” ( n = 12 platos).
Los niños elaboraron los siguientes mensajes:
Gestión de variables didácticas en esta situación:
La situación anterior la podemos hacer evolucionar modificando sus variables didácticas,
generando problemas nuevos, que provoquen la emergencia de nuevas estrategias de
resolución. Por ejemplo:
• Dada una colección de 15 platos, los niños deben pedir por escrito a la marioneta los
vasos necesarios para tener tantos como platos.
• “La marioneta solo sabe leer los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6”.
En este caso, la escritura aditiva del número 15 necesitará tres sumandos para que la
marioneta la sepa leer.
Nota: En esta situación, es muy importante la fase de institucionalización que debe llevar a
cabo la maestra para que los alumnos no confundan “1 5 7” con “1 más 5 más 7”.
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
CONTRUCCIÓN DE LA GRAN CIUDAD (Educación Infantil – 4/5 años)
Objetivos:
• Provocar la necesidad de la composición
y descomposición del número para la
resolución de determinados problemas.
• Conducir a los alumnos a producir una
escritura aditiva para designar el número
de elementos de una colección.
Material:
- Un panel de cartulina o madera en el que figure la silueta de los edificios de
una ciudad (o una casa, o un muñeco, etc.)
- Piezas de madera de formas y tamaños análogos a las que siguen
- Un dado
Consignas:
1ª Fase: “Tantos como”
La maestra pide a los niños que, por turnos, tiren el dado y tomen una pieza de la
colección que tenga “tantos cuadraditos como puntos indica el dado”.
2ª fase: “Construcción de la gran ciudad”
“Con todas las piezas que tenemos vamos a construir los edificios de una gran
ciudad”. En primer lugar, la maestra invita a los niños a colocar diferentes piezas
sobre el panel para que comprueben cómo se van “construyendo” los edificios.
Divide la clase en grupos de 4 alumnos, anota sus nombres en una tabla:
María Pedro Marta Ana
Ahora vamos a llevar a cabo un juego: “Vais a tirar el dado y, según los puntos que
indique, tomaréis una pieza que tenga tantos cuadraditos como el dado y la colocaréis
sobre un edificio de la ciudad. Cada vez que consigáis colocar correctamente una
pieza, obtendréis un punto, que anotaremos en la tabla. Quien obtenga más puntos,
cuando la ciudad esté totalmente construida, habrá ganado
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
CONTRUCCIÓN DE LA GRAN CIUDAD (continuación)
3ª fase: Elaboración de mensajes escritos
La profesora hará de vendedora de las piezas. Los niños tiran el dado, y según los
puntos obtenidos, para “comprar” la pieza correspondiente, deben necesariamente
escribir un mensaje en el que indiquen el número de cuadraditos de dicha pieza.
Procedimientos de los niños:
- Cuando llevan varias jugadas, los niños comienzan tener dificultades para encajar
las piezas de mayor tamaño (4 o 5
cuadraditos). En este momento se produce
un desequilibrio en el procedimiento “de
base” empleado y surgen preguntas entre
ellos: “¿Podemos cambiarlas por otras
piezas?” La maestra les indica que pueden
cambiar una pieza por varias, siempre que
todas las que tomen tengan “tantos
cuadraditos como la inicial”, o bien “tantos
cuadraditos como puntos obtenidos en el
dado”.
Los niños proceden generalmente del siguiente modo: Si
obtienen 5 puntos en el dado, eligen una pieza de 5
cuadraditos, si no la pueden encajar en la ciudad, sobre
ella van colocando otras piezas de dimensión 2, 2 y 1; o
bien, 2 y 3, etc. Si al tratar de encajarlas en el edificio de la
ciudad, vuelven a tener dificultades, las van cambiando
hasta llegar a descomposiciones del tipo: 1, 1, 1, 1, y 1.
Las peticiones escritas que formulan, en principio son todas ellas icónicas,
reproducen figurativamente los cuadraditos de las piezas (numeración icónico
primitiva), posteriormente, van evolucionando y utilizan las cifras de nuestro sistema
de numeración.
En esta situación, es muy importante la fase de
institucionalización que debe llevar a cabo la maestra para
que los alumnos no confundan “3 2” con “3 más 2”. El
objetivo final es que lleguen significativamente a las
escrituras: 5 = 3 + 2
40

¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
7. A modo de conclusión.
En el limitado tiempo esta ponencia, hemos intentado ofrecer respuestas a las
cuestiones formulada al principio:
¿Qué es hacer Matemáticas en la Escuela Infantil?
¿En qué consiste la actividad matemática en este nivel educativo?
Nuestras respuestas, basadas fundamentalmente en la Teoría de Situaciones
Didácticas de Guy Brousseau, cuya obra se inserta en el paradigma epistemológico de
la Didáctica de las Matemáticas, han procurado proporcionar al profesorado de este
nivel educativo conocimientos didácticos validados científicamente, producto de
ingenierías didácticas derivadas de rigurosos trabajos de investigación.
Estamos convencidos de que las Matemáticas en cualquier nivel educativo tienen
necesariamente que construirlas los alumnos/as con total significación. Compartimos
la afirmación categórica de Nicolás Rouche: “No hay placer en aprender Matemáticas,
sin el placer del sentido." (Rouche, 1991, p. 244). En consecuencia, podemos declarar
que el derecho a la educación matemática que tiene todo individuo, debe estar
siempre unido al derecho a la construcción significativa de los conocimientos
matemáticos.
En tiempos de crisis para la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas, donde han
surgido tantos problemas derivados de la alta tasa de fracaso de nuestros alumnos
(basta recordar los resultados del último informe PISA), no es suficiente con aportar
soluciones espontáneas que no satisfacen a nadie, debemos seguir en la brecha,
trabajando e investigando para la optimización del conocimiento matemático de
nuestros alumnos/as, tratando de unir lo mejor que podamos “el pesimismo de la
inteligencia al optimismo de la voluntad”. Este es el gran deseo que debe movilizar
nuestras energías, nuestros esfuerzos y nuestros trabajos.
A todos los que estamos aquí presentes nos compete la tarea de hacer que los niños y
niñas de la Escuela Infantil comiencen su relación con el conocimiento matemático de
forma funcional y operativa. Es en los primeros niveles educativos donde se
encuentran todos los niños, sin excepción. Tenemos el compromiso social y ético de su
promoción educativa. No pueden quedar excluidos de una completa educación
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¿Qué es hacer matemáticas en la Escuela Infantil? LUISA RUIZ HIGUERAS
matemática. Tampoco pueden quedar excluidos del placer de aprender Matemáticas
con sentido. Es de justicia.
8. Referencias
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Paris: Hatier
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Comiti, C. (Ed.) Didactique des disciplines scientifiques et formation des
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dictada en FAMAT (Facultad de Matemáticas- Guanajuato- México). Documento
inédito.
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à venir. Conférence plénière donné le 26 octobre 2006 dans le cadre des
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desde la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en didáctique des
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En Chamorro, C. (Ed.) Didáctica de las Matemáticas en Infantil. Madrid: Pearson
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(Ed.) Didáctica de las Matemáticas en Infantil. Madrid: Pearson Prentice Hall.
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