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Entonces para n = k + 1:
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
2 2 2 2 2 kk ( + 1)( 2k+ 1)
2
1 + 2 + 3 + …+ k + ( k + 1)
=
+ ( k + 1)
=
6
=
3 2 2k + 3k
+ k
6
2 + k + 2k + 1
3 2 2k + 9k + 13k + 6
=
6
k 1 k
= +
→
( )( + +
=
= + + + +
2
+ 1
+ 3 + 2
1+ 2+ 3+ + + + 1=
+ + 1=
2
2
=
=
1
2 11 ( + 1)( 2⋅ 1+ 1)
b) Si n = 1→
1 =
6
2)( 2k 3)
6
( k 1)( k 2)( 2( k 1) 1)
6
+
kk ( )
k k
… k k
k
( k )( k + 2)
2
( k + 1)(( k + 1) + 1)
=
2
⎡ + ⎤
3 11 ( 1)
c) Si n = 1 → 1 = ⎢ ⎥
⎣
⎢ 2 ⎦
⎥
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
⎡
3 3 3 3 3 kk ( + 1)
⎤
1 + 2 + 3 + …+ k + ( k+
1)
= ⎢ ⎥ + ( k + 1)
⎣⎢
2 ⎦⎥
3 =
2 2
4 3 2 3 2
k ( k + 2k+ 1)
3 2
k + 2k + k + 4k
+ 12k + 4
=
+ k + 3k + 3k+ 1=
4
4
=
4 3 2 k 6k 13k 12k 4
=
4
2 2
k 1 k 2
4
+ + + + 2
( + )( + ) ⎡ ( k+ 1)(( k+
1) + 1)
⎤
= = ⎢
⎥
⎣
⎢ 2 ⎦
⎥
Dados los polinomios:
P(x) = 3x4 + 8x3 − 15x2 − 32x + 12
Q(x) = 2x4 + x3 − 16x2 + 3x + 18
determina los polinomios A(x) y B(x) de menor grado que cumplan que:
P(x) ⋅ A(x) + Q(x) ⋅ B(x) = 0
P( x) ⋅ A( x) + Q( x) ⋅ B( x) = 0 → P( x) ⋅ A( x) =−Q( x) ⋅ B( x)
→ Ax ( ) Q( x)
=−
B( x)
P( x)
P( x) = 3x + 8x −15x − 32x + 12 = ( x− 2)( x+ 2)( x+ 3)( 3x
4 3 2 −1)
Q( x) = 2x + x − 16x + 3x + 18 = ( x− 2)( x + 1)( x + 3)( 2x−3 4 3 2 )
Ax ( ) Q( x)
( x− 2)( x + 1)( x + 3)( 2x−3) ( x + 1)( 2x−3) =− =− =−
B( x)
P( x)
( x − 2)( x + 2)( x + 3)( 3x− 1)
( x + 2)( 3x −1)
Así, A(x) =−2x 2 + x + 3 y B(x) = 3x 2 + 5x − 2.
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SOLUCIONARIO
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