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2 Presentación El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento de presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolución de todos los ejercicios y problemas formulados en el <strong>libro</strong> del alumno. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisición de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el <strong>libro</strong> del alumno. 1 Números reales LITERATURA Y MATEMÁTICAS El código Da Vinci SOLUCIONARIO 1 El profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en su clase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en la pizarra: 1,618 Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de sus alumnos. –¿Alguien puede decirme qué es este número? Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentaba al fondo levantó la mano. –Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe. –Muy bien, Stettner. Aquí os presento a Phi. –Que no debe confundirse con pi –añadió Stettner con una sonrisa de suficiencia. –Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un número muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué? Stettner seguía en su papel de gracioso. –¿Porque es muy bonito? Todos se rieron. –En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse como el número más bello del universo. Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso. […] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguió Langdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían características dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón de Phi a 1. –La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando las luces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, girasoles…]– trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguos creían que ese número había sido predeterminado por el Creador del Universo. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientos dieciocho como «La Divina Proporción». DAN BROWN 1+ 5 1+ 5 En realidad, el valor del número Phi es Φ= . Los números1,618 y 2 2 son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. ¿Por qué? ¿Qué error se comete al tomar 1,618 como valor de Phi? 1,618 es un número racional, ya que es un decimal exacto. Phi es un número irracional, ya que 5 lo es y al sumar o dividir un número irracional por un entero el resultado es un número irracional. 1+ 5 Como = 1, 61803…; el error cometido es menor que una diez milésima. 2 44 Números reales ANTES DE COMENZAR… RECUERDA 001 Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen. 27 44 4 002 003 0,7 −16 685,0091 0,7 es un número decimal periódico puro. −0,0201 67 −456,89 −16 es un número entero. 685,0091 −0,0201 y −456,89 son números decimales exactos. 67 es un número natural. 27 34 y son números racionales. 44 8 − es número decimal periódico mixto. Expresa en forma de fracción. 0,22 −34,03 25,012 0,1043 −2,302 = 11 22. 511 0,22 = 25,012 = −2,302 50 900 −1123 . 521 −34,03 33 4995 . = = 0,1043 Obtén el valor absoluto de los números. 7 0 −1 −6 2 (−6)2 ⏐7⏐ = 7 ⏐−1⏐ = 1⏐ (−6) 2 ⏐ = 36 ⏐0⏐ = 0 ⏐−6 2 ⏐ = 36 Calcula las siguientes potencias. a) 3 b) f) (−5) 7 c) (−2) d) h) 2 5 004 ⎛ ⎜ −3 ⎞ ⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎝ −2 ⎟⎠ ⎛ ⎞ ⎜ 4 ⎜ − ⎝ 9 ⎟⎠ ⎛ ⎜ 5 ⎞ ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 4 e) 5 6 g) Las unidades de medida con que se mide la cantidad de información son: Byte = 2 8 bits Megabyte = 2 10 Kilobytes Kilobyte = 2 10 bytes Gigabyte = 2 10 Megabytes Expresa, en forma de potencia y en notación científica, las siguientes cantidades de información en bits y bytes. a) Disco duro de 120 Gb. c) Disquete de 1,44 Mb. b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. d) CD-Rom de 550 Mb. a) 120 Gb = 120 210 2 10 2 10 bytes = 15 2 33 bytes = 15 2 41 bits 120 Gb = 1,2885 1011 bytes = 3,2985 1013 bits b) 512 Mb = 29 210 · 210 bytes = 229 bytes = 237 bits 512 Mb = 5,3687 · 108 bytes = 1,3743 1011 bits c) 1,44 Mb = 1,44 · 210 · 210 bytes = 1,44 220 bytes = 1,44 228 bits 1,44 Mb = 1,5099 106 bytes = 3,8655 · 10 8 bits d) 550 Mb = 550 · 210 · 2 10 bytes = 550 · 2 20 bytes = 550 · 2 28 bits 550 Mb = 5,7672 · 108 bytes = 1,4764 10 11 143 bits PARA FINALIZAR… Si es una fracción irreducible: a) ¿Cuándo es equivalente a ? b) ¿Y cuándo es equivalente a ? a) b) ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab →b 2 = ab a = b Como b es distinto de cero: b = a Si una fracción es irreducible, ¿son las fracciones y irreducibles? Como los divisores de a + b son los divisores comunes de a y los de b. (a + b) y a · b no tienen divisores comunes, por tanto la fracción es irreducible. Como los divisores de a − b son los divisores comunes de a y los de b. (a − b) y a · b no tienen divisores comunes, por tanto la fracción es irreducible. Demuestra la siguiente igualdad: log = 1. 1 a+ b a b+ b b a a + b a − b 145 b a · b a · b a+ b a · b a−b a · b 99 + k 146 ∑ k= 1 k = a + a b + b = a 144 b a + 1 a a + b a b + 1 b b + b b 1 1 99 99 99 1+ k 1 1+ k 1 1+ k ∑log = ∑ log = ∑log = k= 1 k k= 1 2 k 2 k= 1 k 99 1 1 = ∑( log( 1+ k) −logk)= ( log100 −log1)= 1 2 k= 1 2 2 a) 34 = 81 e) b) f) (−5) 7 =−78.125 c) (−2) 6 = 64 g) d) h) 25 ⎛ 5 ⎞ ⎜ 25 ⎜⎜ = 32 ⎝ 7 ⎟ ⎠ 49 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎜⎜ − ⎝ ⎟ ⎠ =− ⎛ − ⎞ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎛ 5 ⎞ ⎜ 3125 . ⎜⎜ =− ⎝ −2 ⎟ ⎠ 32 4 64 9 729 =− 3 27 5 125 5 2 3 3 3 3 SOLUCIONARIO −34 8 1 −2300 . 999 · Demuestra estas igualdades. a) loga (b c) = loga b + loga c b) loga = loga b −loga c a) Por la definición de logaritmos: loga (b c) = x loga b = y loga c = z ax = b c a y = b a z = c ay a z = b c a y + z = b c loga (b c) = y + z Es decir: loga (b c) = loga b + loga c b) Por la definición de logaritmos: loga = x loga b = y a loga c = z x = a y = b a z a = c y−z y a b b = z a c c ⎛ b ⎞ Es decir: ⎜ loga = loga b − loga c ⎝⎜ c ⎠⎟ ⎛ b ⎞ log ⎜ a = y − z ⎝⎜ c ⎠⎟ = 147 ⎛ b ⎞ ⎜ ⎝⎜ c ⎠⎟ ⎛ ⎜ b ⎞ ⎝⎜ c ⎠⎟ b c Demuestra la siguiente igualdad: log (a 2 − b2 ) = log (a + b) + log (a − b) log (a + b) + log (a − b) = log [(a + b)(a − b)] = log (a2 − b2 ) Si el área de esta figura es 10 cm2 148 149 , ¿cuál es su altura? La longitud de la base mide: 1 + 2 cm D C Calculamos la altura: 10 = ( 1+ 2) h h 10 10 − 10 2 h = = =− 10 + 10 2 cm 1+ 2 −1 150 Dos piezas móviles de una máquina se desplazan a la misma velocidad. La primera pieza describe una circunferencia de radio 5 cm y la segunda se desplaza de un extremo al otro del diámetro de esa 1 A 1 B circunferencia. Si ambas piezas parten del mismo punto, ¿coincidirán en algún momento? Suponemos que ambas piezas parten de A. Llamamos v a la velocidad que llevan los dos móviles. A 5 cm B La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por la circunferencia en los puntos A y B es: 5π(k − 1). Siendo k un número natural. La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por el diámetro en los puntos A y B: 10(k − 1). Siendo k un número natural. Las distancias recorridas por el móvil que se desplaza por la circunferencia son números irracionales, mientras que las distancias recorridas por el móvil que se desplaza por el diámetro son números naturales, por tanto nunca coincidirán ambos móviles. 5 SOLUCIONARIO 1 45
Índice Unidad 1 Números reales 4 Unidad 2 Aritmética mercantil 46 Unidad 3 Polinomios y fracciones algebraicas 82 Unidad 4 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 118 Unidad 5 Funciones 178 Unidad 6 Funciones elementales 210 Unidad 7 Límite de una función 258 Unidad 8 Derivada de una función 308 Unidad 9 Estadística unidimensional 368 Unidad 10 Estadística bidimensional 400 Unidad 11 Probabilidad 434 Unidad 12 Distribuciones binomial y normal 460 Tablas de distribución 493 3
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f(x) es decreciente en (−; −2,4
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029 b) Dom f = − {0} 1 1 lim →
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032 033 SOLUCIONARIO Se han constru
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038 039 040 041 042 Halla la tasa d
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045 046 047 048 049 x + 6 Si fx ( )
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052 053 054 055 SOLUCIONARIO 2 2 2
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062 063 2 1 b) y' = 2x ln ( x + 3)
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067 068 069 Aplica las reglas de de
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072 073 074 075 Calcula la derivada
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078 079 SOLUCIONARIO Aplica la regl
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082 083 Calcula la derivada de esta
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086 ¿Son continuas y derivables la
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088 089 SOLUCIONARIO Decide si esta
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091 c) f'( x) = 2 2x ⋅ x − ( x
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093 094 095 SOLUCIONARIO x Halla lo
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097 Estudia y representa las funcio
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099 2 c) Punto de corte con el eje
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c) Dom f = − {2} es una asíntot
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Punto de corte con los ejes: (0, 0)
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Puntos de corte con el eje X: − 2
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102 103 2 f( 1+ h) −f( 1) 21 ( +
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107 108 109 La recta cuya ecuación
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113 114 115 Representa la función
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119 120 Si la función es derivable
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126 127 3 2 Sea fx ()= 12x − 16x
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001 002 003 004 005 006 007 008 ANT
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005 006 a) Estatura xi fi hi Fi Hi
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010 011 Construye las tablas de fre
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014 015 016 1. 190 Media: x = =59,5
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022 023 18 a) x = = 3 Mo = 2 y 5 (d
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027 028 029 En una revista leemos q
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034 035 036 Construye la tabla de f
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040 041 042 La tabla refleja el nú
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045 046 La estatura, en cm, de las
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Los resultados que han obtenido son
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050 d) En la variable tiempo que ta
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054 8+ 2b+ 3⋅ 2+ 4c x = 13 , →
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43 x = 5 = 86 , 419 2 σ= − 86 ,
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060 061 En un concurso de televisi
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063 21. 250 a) x = = 425 50 9. 156.
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068 Si la edad media de las profeso
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001 002 003 ANTES DE COMENZAR… RE
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003 004 b) Datos Frecuencias relati
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008 009 010 011 Y 1 1 Indica la dep
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016 60 21 a) x = = 12 y = = 4,2 5 5
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020 021 Estudia la correlación ent
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023 024 A partir de los diagramas d
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026 027 Construye la tabla de doble
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037 038 El volumen de las chimeneas
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040 SOLUCIONARIO Determina la recta
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043 044 Se cree que el número de z
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046 047 Una empresa está investiga
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054 a) ¿Qué cotización tendrá A
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057 El ángulo que forman las dos r
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030 En una caja tenemos carteles co
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039 040 041 Los médicos de un hosp
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056 057 a) PRS ( / 3) = 1 2 b) PV (
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060 061 d) PA ( 1 ∩ R2) + PR ( 1
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065 066 067 c) d) 13 12 13 PR ( 1
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072 Tenemos dos urnas iguales, una
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003 004 b) Respuesta abierta. La fu
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La función de distribución es:
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029 030 031 Calcula las probabilida
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062 063 En un instituto se han comp
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065 a) PX P X PX P 32 , − μ = 06
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069 070 Las bolas para rodamiento s
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494 Tabla de distribución binomial
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Dirección de arte: José Crespo Pr
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