INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Alexander Gelbukh

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CAPITULO II. Propuesta de solución Este capitulo es el capitulo principal del trabajo. Ante todo desde el punto de vista de la optimización se consideran los requisitos para una función de criterio que permiten determinar los parámetros de las fuentes contaminantes. Se lleva a cabo una modificación al método NM propuesta en la literatura de optimización. Se investiga el comportamiento de este variando sus parámetros. Se propone una forma de utilizar información a priori en base a la función de preferencia. Para localizar en forma mas eficiente el mínimo global se realiza la combinación de los métodos de búsqueda aleatoria y NM. Al final del capítulo se propone otra forma de búsqueda en un espacio de dimensión grande. 2.1 Función de criterio 1. Requisitos para una función de criterio Como ya se mencionó en el capitulo anterior, el enfoque sobre la búsqueda de parámetros de las fuentes se reduce a la búsqueda de un mínimo global de una función de criterio que refleja la diferencia entre los datos de observación y los datos de la modelación. La selección del criterio es un procedimiento subjetivo, depende de la experiencia del usuario, de la precisión de los datos de observación, etc., pero hay unos requisitos generales los cuales deben satisfacer todas estas funciones. La referencia sobre un ejemplo de aplicación a la Geofísica en donde se describen estos requisitos, se da en [Alexandrov, 1987]. Como se definió en el párrafo 1.1, una función de criterio se presenta en la forma siguiente: f(x 1 ,x 2 ,...x n )=f [F m (X, D), F o (D)] Donde: f = valor de la función de criterio, F m = resultados de la modelación, F o = datos de observación, X = {x 1 ,x 2 ,...x n } =parámetros del modelo aceptado, D = dominio de simulación. En caso de que el modelo aceptado describa correctamente los procesos que se observan, entonces es posible encontrar un punto (x* 1 ,x* 2 ,...,x* m ) en el espacio de los parámetros donde F m (x* 1 ,x* 2 ,...,x* m , D) = F o (D). Por eso todas las funciones del tipo: 28
f(x 1 ,x 2 ,...x m ) = f [F m (x 1 ,x 2 ,...,x m , D) - F o (D)] satisfacen la condición f [.]=0. Además es mas cómodo tener f[.] ≥ 0 para analizar la distancia entre el valor corriente de la función de criterio y su mínimo global. Por ejemplo, se puede tomar: donde p=1,2,4,... f(x 1 ,x 2 ,...x m )=1/n ∑ n k= 1 |F m (x 1 ,x 2 ,...,x m , D k ) - F o (D k )| p Para recalcar las diferencias grandes entonces p debe ser un número grande, en caso contrario se puede elegir p=1. Se pueden usar diversos tipos de funciones, por ejemplo, n f(x 1 ,x 2 ,...x m ) = exp (∑ |F m (x 1 ,x 2 ,...,x m , D k ) - F o (D k )| 2 ) etc. k= 1 Pero en cualquier caso, lo ideal es utilizar la función más simple para simplificar la interpretación de los resultados finales. Resulta cómodo cuando la función de criterio puede ser interpretada fácilmente por el usuario. Por ejemplo, la función puede ser homogénea dimensionalmente para los datos de observación, y en este caso la dimensión es [µg/cm 3 ]. Con este punto de vista el último criterio no es cómodo (no tiene ningún sentido), y el criterio anterior debe corregirse: n f(x 1 ,x 2 ,...x m )= (∑ |F m (x 1 ,x 2 ,...,x m , D k ) - F o (D k )| p ) 1/p k= 1 Es recomendable que la función de criterio: - no dependa de la cantidad de datos de observación y que - dependa de la precisión de medición. En este caso se puede usar, por ejemplo, la función: f(x 1 ,x 2 ,...x m )= ( [∑ n k= 1 α k |F m (x 1 ,x 2 ,...,x m , D k ) - F o (D k )| p ] / n ) 1/p (2.1-1) donde α k = coeficiente que refleja la precisión de los datos de observación en el punto k. Obviamente que en el punto mínimo global el valor de función f(.) debe ser cercano al error promedio de medida. Este hecho se usa para evaluar si el mínimo alcanzado es un mínimo local o global. Cabe mencionar nuevamente que la mayoría de las funciones de criterio que se usan en aplicaciones reales tienen muchos extremos locales. Generalmente los parámetros del modelo (x 1 ,x 2 ,...x n ) tienen naturaleza distinta y por eso sus valores se diferencian en algunos ordenes. Bajo esta condición, los 29
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