INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL - Alexander Gelbukh

Y entonces, ¿para que usar otras limitaciones complementarias? La diferencia
consiste en que las condiciones (2.3-1) reflejan una preferencia, es decir, se
permite buscar un extremo fuera de este intervalo; por lo contrario, las condiciones
(2.3-2) prohiben cualquier salida del área.
Aquí se consideran los métodos de programación no lineal. Todos estos métodos
empiezan su movimiento en dirección del punto mínimo local. Generalmente las
funciones de criterio con las cuales se trata tienen muchos extremos y por lo tanto
hay que tomar algunos puntos aleatorios en la sub-área (2.3-1) y después realizar
la búsqueda desde cada punto como punto inicial. Enseguida es necesario tomar
el punto mínimo con el menor valor de la función, pero si se tiene una información
más exacta sobre el comportamiento de la función de criterio, entonces se puede
usar otra manera de búsqueda que sea más eficaz. Esta es la aplicación de la así
llamada función de preferencia.
La idea consiste en lo siguiente: una función original se cambia por otra para que
no tenga el mínimo local en una vecindad del mínimo absoluto. La función de
preferencia se toma en la forma:
( p)
C x − x (2.3-3)
( p)
( p)
( p)
( p)
donde x = ( x1
, x2
,... xn
) es el punto de preferencia y C es llamado el
coeficiente de multa. Este miembro se añade a la función de criterio obteniéndose
una función suma de dos funciones, claro que si más se aleja del punto x (p) , más
se sanciona. Este enfoque es análogo a los métodos de funciones de multa
descritos en los trabajos clásicos [Fiacco, 1968] y en la literatura [Himmelblau,
1992].
¿Cómo hay que asignar este coeficiente de multa C?
Primeramente se considera una función unidimensional f(x). En este caso (2.3-3)
se presenta como una diferencia absoluta C |x – x (p) |. Considérese que esta
función f(x) satisface la condición de Lipschitz, es decir,
~
f ( x − ≤ L x − x , para ∀ x x ∈ ( a ~ , ) (2.3-4)
1
) f ( x2
)
1
2
1, 2
b
donde ( a ~ , b
~ )es un intervalo de preferencia y L es la constante de Lipschitz. A
propósito si la función es suave dentro de ( a ~ , b
~ ) entonces se puede evaluar L.
Realmente la desigualdad se presentaría en la siguiente forma conocida:
´
f ( x1 ) − f ( x2
) ≤ max f ( x)
x1
− x2
donde x ∈ ( a ~ ~ , b ) . Por eso se puede decir que L = max f ´( x)
, donde x ∈ ( a ~ ~ , b ) .
Este máximo existe, ya que la función f(x) es suave y su sub-área está limitada.
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