Teoría de Conjuntos

10 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
2.2. Igualdad, inclusión y conjunto vacío
Definiciones:
A/∈ B es la abreviación de no pertenencia ¬(A ∈ B)
Igualdad (Axioma de extensionalidad). ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B) → A = B
“Si todo elemento lo es de A si y sólo si lo es también de B entonces A y
B coinciden”.
Inclusión, subconjunto: A ⊆ B ”A está incluido en B” (A es subconjunto
de B), es una abreviatura de ∀x(x ∈ A → x ∈ B)) (todo elemento de A
es elemento de B).
Inclusión estricta: A ⊂ B es una abreviatura de (A ⊆ B) ∧ (A 6= B).
Conjunto vacío: ∅ es el único conjunto tal que ∀x(x /∈∅) ”para todo x,
x no pertenece a ∅” (ningún elemento pertenece a ∅)’
Teoremas: Los resultados siguientes son teoremas que se deducen de manera
directa de las definiciones anteriores
1. ∀A( ∅⊆A)
2. ∀A (A ⊆ A)
3. ∀AB ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) → (A = B))
4. ∀ABC ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) → (A ⊆ C))
2.3. Operaciones
Definiciones
Unión. A ∪ B = {x/ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B))} A unión B está formado por
los elementos que están en A oenB. Se verifica: ∀x(x ∈ A ∪ B ↔ (x ∈
A) ∨ (x ∈ B))
Intersección A ∩ B = {x/ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} A intersección B está
formado por los elementos que están en A y también en B. Se verifica:
∀x(x ∈ A ∩ B ↔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B))
Diferencia A−B = {x/ (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)} A menos B está formado por
los elementos que están en A pero no en B. Se verifica: ∀x(x ∈ A − B ↔
(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B))