Teoría de Conjuntos

Capítulo 5
Construcción de los
Ordinales
5.1. Buenos órdenes e inducción
Se ha visto que en un conjunto bien ordenado todos los subconjuntos no
vacíos tienen un primer elemento. El teorema de inducción es una consecuencia
de esta importante propiedad, a continuación lo enunciaremos para conjuntos
bien ordenados arbitrarios y veremos también versiones del teorema de inducción
para el conjunto de los números naturales.
Lo que hace que funcione el principio de inducción matemática
[P(0)&∀n(P(n) ⇒ P(n +1))⇒∀nP(n)]
es el buen orden de los naturales.
Supongamos que no todos los naturales tienen la propiedad P;es decir,
{n |¬P(n)} 6= ∅.
Por el buen orden de los naturales habría un primer elemento de este conjunto;
es decir habría un m para el que valdría ¬P(m) pero también, por ser m
el primer elemento, valdría P(m − 1).
Esto es justamente lo que queda excluído en la prueba por inducción; por
ello demostramos
∀n(P(n) ⇒ P(n +1))
¿Se puede extender este método para que sirva no sólo con los conjuntos
numerables, sino también con los transfinitos (supernumerables)? La respuesta
es afirmativa, lo veremos ahora.
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