Teoría de Conjuntos

8.10. PROPIEDADES DE CIERTAS RELACIONES 43
8.10. Propiedades de ciertas relaciones
1. ∀R ((R es reflexiva ) ↔ (I Camp R ⊆ R))
2. ∀R ((R es simétrica ) ↔ ((R −1 ) −1 = R −1 ))
3. ∀R ((R es transitiva ) ↔ (R/R ⊆ R))
4. ∀R ((R es irreflexiva ) ↔ (R ∩ I Camp R = ∅))
5. ∀R ((R es asimétrica ) ↔ (R ∩ R −1 = ∅))
6. ∀R ((R es antisimétrica ) ↔ (R ∩ R −1 ⊆ I Dom R ))
7. ∀R ((R esta conectada ) ↔ ( ((Camp R × Camp R) − I Camp R ) ⊆
(R ∪ R −1 )))
8. ∀R ((R esta fuertemente conectada ) ↔ ( (Camp R × Camp R) ⊆
(R ∪ R −1 )))
9. ∀R ((R es euclidea ) ↔ ((R −1 /R) ⊆ R))
10. ∀R ((R es incestuosa ) ↔ ((R −1 /R) ⊆ (R/R −1 )))
8.11. Relaciones de Equivalencia
Pruébese que las siguientes propiedades sobre relaciones de equivalencia son
teoremas de ZF:
1. ∀R ((R es una relación de equivalencia) → ((∀xy(x, y ∈ CampR) →
(([x] R
=[y] R ) ∨ ([x] R
∩ [y] R = ∅))))
2. ∀R ((R es una relación de equivalencia ) ↔ ((R/R −1 )=R))
8.12. Relaciones de Orden
1. ∀R ((R es un orden lineal ) → (R −1 es un orden lineal))
2. Sea hA, ≤i un conjunto parcialmente ordenado. Existe un conjunto Y de
subconjuntos de A tal que hA, ≤i ∼ = hY,⊆i
8.13. Funciones, Composición
Demuéstrese los siguientes teoremas sobre funcciones en ZF.
1. ∅ es una función
2. ∀fg ((f es función ∧ g es función ∧ Domf = Domg ∧ ∀x((x ∈
Domf) → (f(x) =g(x))) → f = g)