Teoría de Conjuntos

18 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES
3.10. Relaciones de Orden
Definiciones
R es una relación de orden (parcial) si y sólo si R es una relación y R es
reflexiva y antisimétrica y transitiva
R es un orden (parcial) sobre A si y sólo si Camp R = A y R es una
relación de orden
R es un orden lineal si y sólo si
conectada
R es una relación de orden y R esta
R es un orden lineal sobre A si y sólo si Camp R = A y R es una relación
de orden lineal
Un conjunto parcialmente ordenado es un par hA, Ri formado por un conjunto
A y un orden parcial sobre A.
Un conjunto linealmente ordenado es un par hA, Ri formado por un conjunto
A y un orden lineal sobre A.
Sea hA, Ri un conjunto parcialmente ordenado y sea Y ⊆ A.
Un elemento a ∈ Y es un elemento minimal de Y si y sólo si ¬∃x(x ∈
Y ∧ hx, ai ∈ R).
Un elemento a ∈ Y es primer elemento de Y (mínimo de Y ) si y sólo si
∀x(x ∈ Y → ha, xi ∈ R).
Un conjunto parcialmente ordenado hA, Ri , está bien fundado si cada
subconjuntonovaciodeA posee elemento minima.
Cuando hA, Ri está linealmente ordenado y bien fundado decimos que está
bien ordenado.
Notación: Habitualmente escribiremos ≤ en vez de R para relaciones de orden,
y hA, ≤i para conjuntos ordenados tanto parcial como linealmente.
Teoremas
1. ∀R ((R es un orden lineal ) → (R es un orden parcial))
2. Si hA, ≤i esta linealmente ordenado y Y ⊆ A entonces (a es elemento
minimal de Y si y sólo si a es primer elemento de Y )
3. hA, ≤i está bien ordenado syss (para cada Y ⊆ A se cumple ∃x(x ∈ Y ∧ x
es primer elemento de Y ))
4. Sea hA, ≤i un conjunto parcialmente ordenado. hA, ≤i esta bien fundado
syss no hay ninguna sucesion {a n } ∞ n=0 de elementos de A tal que a n+1 a 1 >a 2 >...)