Teoría de Conjuntos

8.6. PRODUCTO CARTESIANO 41
6. ∀xy ( [\ hx, yi = x)
7. ∀xy ( \ S hx, yi = x ∩ y)
8. ∀AB ((A ⊆ B) → ( [ A ⊆ [ B))
9. ∀AB ((∀A ((A ∈ A) → (A ⊆ B)) → ( [ A ⊆ B))
10. ∀A (A ⊆ P( [ A))
11. ∀AB ((A ∈ B) → (PA ∈ PP [ B))
12. ∀AB ((B 6= ∅) → (A ∪ ( \ B)= \ {A ∪ x | x ∈ B}))
8.6. Producto Cartesiano
Pruébese que son verdaderas las propiedades siguientes en la teoría ZF.
1. ∃ABC (A ∪ (B × C) 6= (A × B) ∪ (A × C))
2. ∀ABC (((A × B = A × C) ∧ (A 6= ∅)) → (B = C))
3. ∀AB (A × [ B = [ {A × z | z ∈ B})
4. ∀AB (A × B = B × A ↔ A = B ∨ A = ∅∨B = ∅)
5. ∀AB (A × \ B = \ {A × z | z ∈ B})
6. ∀AB (( \ (A × B) 6= ∅) → (∃x (A = {x})))
8.7. Relaciones Binarias
Demuéstrese que las siguientes propiedades sobre relaciones son teoremas de
ZF.
1. ∀R ((¬(R es una relación)) → (R * Dom R × Rang R)))
2. ∃RS (Dom (R ∩ S) 6= (Dom R ∩ Dom S))
3. ∀RS (Rang (R ∩ S) ⊆ (Rang R ∩ Rang S))
4. ∃RS (Rang (R ∩ S) 6= Rang R ∩ Rang S)
5. ∃RS (Rang (R − S) 6= Rang R − Rang S)
6. ∀RS (Rang (R − S) ⊇ (Rang R − Rang S))