Mecánica Clásica

Mario Cosenza
Mecánica Clásica
Versión B-13

Mecánica Clásica
Versión B-13

a Claudia

Mi propósito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo.
Quizás nada hay en la naturaleza más antiguo que el movimiento, respecto al cual los
libros escritos por filósofos no son ni pocos ni pequeños; no obstante, he descubierto,
experimentando, algunas propiedades que merecen ser conocidas.
Galileo Galilei, Diálogos Sobre Dos Nuevas Ciencias.

Fórmulas vectoriales
Identidades
A · (B × C) = (A × B) · C = C · (A × B) = (C × A) · B = B · (C × A) (1)
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) (2)
(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) (3)
Derivadas de sumas
∇(f + g) = ∇f + ∇g (4)
∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B (5)
∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B (6)
Derivadas de productos
∇(fg) = f∇g + g∇f (7)
∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A (8)
∇ · (fA) = f(∇ · A) + A · ∇f (9)
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) (10)
∇ × (fA) = f(∇ × A) − A × (∇f) (11)
∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B (12)
Derivadas segundas
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ 2 A (13)
∇ · (∇ × A) = 0 (14)
∇ × (∇f) = 0 (15)
Teoremas integrales
∫ b
(∇f) · dl = f(b) − f(a) (16)
a
∫
∮
(∇ · A) dV = A · ˆn dS Teorema de Gauss (divergencia) (17)
V
S
∫
∮
(∇ × A) · ˆn dS = A · dl Teorema de Stokes (18)
S
C
∫
∮
(f∇ 2 g − g∇ 2 f) dV = (f∇g − g∇f) · ˆn dS Teorema de Green (19)
V
S

Índice general
1. Ecuaciones de movimiento 9
1.1. Mecánica de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Mecánica de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. Principios variacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5. Principio de mínima acción y ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . 41
1.6. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios sistemas. . . . . . . . . . 47
1.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2. Leyes de conservación y simetrías 71
2.1. Momento conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3. Conservación del momento lineal y homogeneidad del espacio . . . . . . . 76
2.4. Conservación del momento angular e isotropía del espacio . . . . . . . . . 77
2.5. Conservación de la energía y homogeneidad del tiempo . . . . . . . . . . . 79
2.6. Teorema de Euler para la energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7. Potenciales dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.8. Sistemas integrables y sistemas caóticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.9. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3. Fuerzas centrales 99
3.1. Problema de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2. Potencial efectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Ecuación diferencial de la órbita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4. Problema de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.6. Estabilidad de órbitas circulares y ángulo de precesión. . . . . . . . . . . . 129
3.7. Dispersión en campo de fuerza central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7

8
4. Oscilaciones pequeñas 151
4.1. Oscilaciones en una dimensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad. . . . . . . . . . . . 155
4.3. Modos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5. Movimiento de cuerpos rígidos 179
5.1. Velocidad angular de un cuerpo rígido y ángulos de Euler. . . . . . . . . . 179
5.2. Energía cinética y tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.3. Momento angular de un cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.4. Ecuaciones de movimiento para cuerpos rígidos. . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.5. Ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6. Dinámica Hamiltoniana 223
6.1. Ecuaciones de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.2. Sistemas dinámicos, espacio de fase y Teorema de Liouville. . . . . . . . . 230
6.3. Paréntesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.4. Transformaciones canónicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.5. Transformaciones canónicas infinitesimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.6. Propiedades de las transformaciones canónicas. . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.7. Aplicaciones de transformaciones canónicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.8. Ecuación de Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.9. Variables de acción-ángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
A. Lagrangiano de una partícula relativista 295
B. Transformaciones de Legendre 307
C. Teorema del virial. 309
D. Bibliografía 311

Capítulo 1
Ecuaciones de movimiento
1.1. Mecánica de una partícula
La Mecánica consiste en el estudio del movimiento, o de la evolución de la posición
de partículas o sistemas (muchas partículas) en el tiempo. Actualmente, la Mecánica
Clásica se enmarca dentro de un campo más general denominado Sistemas Dinámicos,
que involucra el estudio de la evolución o cambios de estado de variables en el tiempo
en sistemas generales, de acuerdo a reglas deterministas: éstos incluyen sistemas físicos,
quimicos, biológicos, sociales, económicos, etc.
La Mecánica Clásica se refiere a fenómenos que ocurren en escalas macróscopicas;
es decir, no incluye fenómenos cuánticos (nivel atómico). La Mecánica Clásica provee
descripciones válidas de fenómenos en una extensa escala espacial que va desde el orden
de 100 nm (R. Decca et al., Phys. Rev. Lett. 94, 240401 (2005)) hasta distancias
cosmológicas.
El origen del método científico está directamente vinculado a la primeras formulaciones
cuantitativas de la Mecánica Clásica, realizadas por Galileo con base en sus
experimentos. La Mecánica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construido
toda la Física.
Figura 1.1: Galileo Galilei (1564-1642).
9

10
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Durante el siglo XX, la Mecánica Clásica se encontró con varias limitaciones para
explicar nuevos fenómenos. Las subsecuentes soluciones de estas dificultades implicaron
extensiones del campo de estudio de la Mecánica, y condujeron a tres grandes revoluciones
intelectuales o cambios de paradigmas científicos:
i. Limitación para explicar fenómenos a altas velocidades o a altas energías, lo que
condujo a la Teoría de Relatividad (Especial y General).
ii. Limitación para explicar fenómenos a escala atómica o microscópica, lo cual dio
origen a la Mecánica Cuántica.
iii. Limitación del concepto de predicción en sistemas dinámicos deterministas no lineales,
que condujo al desarrollo del Caos y al estudio actual de Sistemas Complejos.
Para describir el movimiento en Mecánica, se requieren algunos conceptos básicos.
Un sistema de referencia es una convención necesaria para asignar una posición o
ubicación espacial a una partícula u objeto con respecto a un origen o punto escogido O.
Se asume que una partícula tiene asociada una cantidad de masa m.
La posición de una partícula en un sistema de referencia puede describirse mediante
un conjunto de coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, el
vector de posición r = (x, y, z) da la ubicación de una partícula en el espacio con respecto
a un origen O. Las componentes del vector de posición en coordenadas cartesianas
también se denotan como x 1 ≡ x, x 2 ≡ y, x 3 ≡ z.
Figura 1.2: Posición de una partícula en un sistema de coordenadas cartesianas.
El vector de posición de una partícula en movimiento depende del tiempo, r(t) =
(x(t), y(t), z(t)). El cambio del vector de posición en el tiempo constituye el movimiento.
El tiempo t se considera un parámetro real en Mecánica Clásica que permite establecer
el orden en el cual ocurren los eventos; en particular, es necesario para especificar las
posiciones sucesivas que una partícula en movimiento ocupa en el espacio. Asumimos que
el parámetro t posee la propiedad de incremento monotónico a medida que r(t) cambia:
a través de sucesivas posiciones: dados dos valores t 1 y t 2 tales que t 2 > t 1 , entonces la
partícula ocupa la posición r(t 2 ) después de la posición r(t 1 ).
El vector de desplazamiento infinitesimal se define como
dr = r(t + dt) − r(t). (1.1)

1.1.
MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 11
La velocidad de una partícula se define como
v ≡ dr
dt
En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad se pueden expresar como
v x = dx
dt ,
v y = dy
dt ,
(1.2)
v z = dz
dt . (1.3)
Las componentes de la velocidad también se denotan co,o v 1 = v x , v 2 = v y , v 3 = v z .
La aceleración se define como
a = dv
dt = d2 r
dt 2 . (1.4)
Se acostumbra usar la siguiente notación para las derivadas con respecto al tiempo,
ẋ ≡ dx
dt ,
ẍ ≡ d2 x
dt 2 . (1.5)
El momento lineal o cantidad de movimiento es la cantidad vectorial
p = mv, (1.6)
donde m es la masa de la partícula.
Una partícula puede experimentar interacciones con otras partículas. Las interacciones
entre partículas están asociadas a sus propiedades intrínsecas y se manifiestan como
fuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interacción electromagnética está asociada a la carga
eléctrica, mientras que la interacción gravitacional depende de la masa. La suma de las
fuerzas debido a interacciones con otras partículas o agentes externos se denomina fuerza
total (neta) sobre la partícula; se denota por F. Las fuerzas son cantidades vectoriales.
Las fuerza neta sobre una partícula puede afectar su estado de movimiento.
Figura 1.3: Isaac Newton (1642-1727).
Las Leyes de Newton describen el movimiento de una partícula sujeta a una fuerza.
Las Leyes de Newton son leyes de la Naturaleza basadas en observaciones experimentales.

12
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
I. Primera Ley de Newton:
Una partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si la fuerza
total sobre ella es nula (también se llama Ley de inercia).
II. Segunda Ley de Newton:
Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una partícula con
masa m y velocidad v está descrito por la ecuación
III. Tercera Ley de Newton:
F = dp
dt = d(mv) . (1.7)
dt
Si F ji es la fuerza que ejerce una partícula j sobre una partícula i, y F ij es la fuerza
que ejerce la partícula i sobre la partícula j, entonces
F ji = −F ij . (1.8)
La Tercera Ley también es conocida como Ley de acción y reacción.
La Segunda Ley de Newton establece una relación causa (fuerza) ↔ efecto (cambio
de momento). La Primera Ley de Newton es consecuencia de la Segunda Ley: si F = 0,
entonces v = constante.
La Segunda Ley de Newton es una ecuación vectorial, es decir, equivale a tres ecuaciones,
una para cada componente cartesiana:
Si m es constante,
F i = dp i
, i = 1, 2, 3. (1.9)
dt
F = ma = m d2 r
dt 2 . (1.10)
La Segunda Ley de Newton, Eq. (1.10), es una ecuación diferencial de segundo orden para
r(t). La solución r(t) está determinada por dos condiciones iniciales, r(t o ), v(t o ). Este
es el principio del determinismo en Mecánica Clásica, y que ha sido fundamental en el
desarrollo del método científico. A finales del siglo XX, se encontró que el determinismo
no necesariamente implica predicción, en el sentido de que existen sistemas dinámicos no
lineales en los cuales perturbaciones infinitesimales de sus condiciones iniciales pueden
conducir a trayectorias muy diferentes. Este es el origen de la moderna Teoría del Caos.
Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominan
sistemas de referencia inerciales. En ausencia de fuerzas, una partícula en reposo en un
sistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante.
Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecen
términos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas explícitas
en el sistema. Esos términos adicionales se denominan fuerzas ficticias y son debidos a
la aceleración del sistema de referencia.

1.1.
MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 13
Ejemplos de la Segunda Ley de Newton:
1. Un sistema no inercial: péndulo en un sistema acelerado (x ′ , y ′ , z ′ ).
Figura 1.4: Péndulo en un sistema acelerado.
El sistema (x ′ , y ′ , z ′ ) posee una aceleración a en la dirección x, visto desde un
sistema fijo (x, y, z). En el sistema acelerado, la componente en la dirección x ′ de la
fuerza que actúa sobre la masa del péndulo es f x ′ = T sin θ, pero esta masa está en
reposo en ese sistema; esto implica que ẍ ′ = 0. Luego, una fuerza adicional ficticia
igual a −T sin θ debe anular a f x ′, de modo que no haya fuerza neta en la dirección
x ′ . En el sistema (x, y, z), la Segunda Ley de Newton da simplemente T sin θ = ma.
La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza ficticia en un sistema de referencia
en rotación (Cap. 5).
2. Oscilador armónico simple.
Figura 1.5: Oscilador armónico simple.
La fuerza del resorte sobre la masa m es proporcional y opuesta al desplazamiento
x desde la posición de equilibrio, tomada como x = 0, i.e., F = −kxˆx, donde k es
la constante del resorte. Entonces,
F = ma ⇒ −kx = mẍ (1.11)
⇒ ẍ + ω 2 x = 0, (1.12)
donde ω 2 ≡ k/m. La Eq. (1.12) es la ecuación del oscilador armónico, cuya solución
es
x(t) = A cos ωt + B sin ωt (1.13)

14
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
También se puede escribir
x(t) = C sin(ωt + φ), (1.14)
con A = C sin φ, B = C cos φ. Los coeficientes A y B están determinados por las
condiciones iniciales x(0) y ẋ(0) = v(0),
x(0) = A (1.15)
ẋ(t) = −ωA sin ωt + Bω cos ωt (1.16)
ẋ(0) = Bω ⇒ B = v(0)
ω . (1.17)
Luego,
x(t) = x(0) cos ωt + v(0)
ω
sin ωt. (1.18)
3. Sistema de masa variable: movimiento de un cohete.
Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional de
la Tierra. La masa del cohete en un tiempo t es m. La velocidad del cohete en
t es v, y la velocidad de los gases expulsados es u. Sea dm la masa de los gases
expulsados (asumida negativa) en un instante t + dt.
Figura 1.6: Cohete en movimiento vertical.
Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la única componente y de la fuerza,
−mg = dp
dt
p(t + dt) − p(t)
= . (1.19)
dt
Tenemos
y
p(t) = mv, (1.20)
p(t + dt) = (m + dm)(v + dv) + (−dm)u. (1.21)

1.1.
MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 15
Usamos la velocidad del cohete relativa a los gases,
Luego,
v rel = (v + dv) − u. (1.22)
p(t + dt) − p(t) = mv + m dv + v dm + dm dv (1.23)
Sustituyendo en la Eq. (1.19), obtenemos
−
v dm − dm dv + dm v rel − mv
= m dv + v rel dm.
−mg = m dv
dt + v dm
rel
dt . (1.24)
La Eq. (1.24) se conoce como la ecuación del cohete. Si dm = −R (pérdida de
dt
masa por unidad de tiempo, R = cte positiva), entonces
−mg = −v rel R + m dv
dt ⇒ ma = v rel R − mg. (1.25)
De la ecuación del cohete, se puede obtener la variación de la velocidad del cohete,
dm
m v rel + dv = −g dt. (1.26)
Integrando entre un valor inicial de masa m 0 en t ′ = 0 y un valor final m f en t ′ = t,
tenemos
v rel
∫ f
4. Partícula en un medio viscoso.
0
dm
m + ∫ f
0
dv = −g
∫ t
⇒ v f − v 0 = v rel ln
dt ′
0
(
m0
m f
)
− gt. (1.27)
Figura 1.7: Partícula en medio viscoso.
La fuerza sobre una partícula en un medio viscoso se puede considerar proporcional
a la velocidad de la partícula, F = −γv, donde γ es un coeficiente de fricción
característico del medio. Supongamos que la partícula se mueve en la dirección x.
La Segunda Ley de Newton, F = ma, da:
−γv = m dv
dt . (1.28)

16
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Integrando obtenemos,
v = c 1 e −(γ/m)t , c 1 = v(0),
v(t) = v(0)e −(γ/m)t = dx
dt , (1.29)
∫
x(t) = v(0) e −(γ/m)t dt,
= − v(0)m e −(γ/m)t + c 2 . (1.30)
γ
La constante c 2 se determina usando la condición inicial x(0),
luego,
x(0) = − v(0)m
γ
+ c 2
c 2 = x(0) + − v(0)m , ; (1.31)
γ
x(t) = x(0) + v(0)m
γ
(
1 − e −(γ/m)t) . (1.32)
Se define el momento angular de una partícula ubicada en la posición r y cuya velocidad
es v, como la cantidad vectorial
l ≡ r × p = mr × v. (1.33)
El torque ejercido por una fuerza F sobre una partícula ubicada en r se define como
La Ec. (1.34) se puede expresar como
τ ≡ r × F. (1.34)
τ = r × F = r × dp
dt
d(r × p)
= − dr
dt dt × p
= dl
dt + ✘✘ ✘✿ 0
v × p
⇒
τ = dl
dt . (1.35)
La Ec. (1.35) implica la conservación del momento angular: si τ = 0, entonces l =
constante. Esto significa que cada componente del vector l es una constante.
En particular, una fuerza de la forma F = f(r)ˆr, se denomina una fuerza central.
La fuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas, tenemos
τ = 0. Luego, el momento angular se conserva en presencia de fuerzas centrales.

1.1.
MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 17
La energía cinética de una partícula se define como la cantidad escalar
T ≡ 1 2 mv2 . (1.36)
Se define el trabajo realizado por una F externa sobre una partícula para llevarla
desde una posición r 1 hasta una posición r 2 , como la integral de línea
W 12 ≡
∫ 2
1
F · ds, (1.37)
donde ds es el vector tangente a la trayectoria que une la posición r 1 con la posición r 2 .
Figura 1.8: Trayectoría de un partícula entre r 1 y r 2, sujeta a una fuerza F.
Note que ds = dr = vdt. Luego, si m es constante, podemos escribir,
∫ 2
( ) dv
W 12 = m · (v dt). (1.38)
dt
Usamos la relación d(v · v) = 2v · dv = d(v 2 ), para expresar
1
W 12 = 1 ∫ 2
2 m d(v · v) = 1 ∫ 2
2 m d(v 2 )
1
= 1 2 mv2 2 − 1 2 mv2 1,
1
= T 2 − T 1 . (1.39)
Luego, el trabajo realizado por una F externa para llevar una partícula desde la posición
r 1 hasta la posición r 2 depende solamente de la diferencia de la energía cinética que posee
la partícula en r 2 y la energía cinética que posee en r 1 .
Note que si se utiliza la misma fuerza y una misma trayectoria B para ir del punto 1
al punto 2 que para volver de 2 a 1, entonces
∫ 2
F · ds
1
} {{ }
camino B
∫ 1
= − F · ds
2
} {{ }
camino B
⇒ W 12 (B) = −W 21 (B), (1.40)
puesto que ds(1 → 2) = −ds(2 → 1) para la misma trayectoria.

18
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si W 12 realizado por una F externa es independiente de la trayectoria entre r 1 y r 2 ,
entonces F se llama fuerza conservativa. Es decir; si F es conservativa, y A y B son dos
caminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces
∫ 2
F · ds
1
} {{ }
camino A
=
∫ 2
F · ds
1
} {{ }
camino B
(1.41)
Figura 1.9: Dos trayectorias distintas para ir del punto 1 al punto 2.
Luego, si F es conservativa, la Ec. (1.41) y la Ec. (1.40) implican que
∫ 2
F · ds
1
} {{ }
camino A
+
∫ 1
F · ds = 0 (1.42)
2
} {{ }
camino B
Figura 1.10: Contorno cerrado C.
Puesto que los caminos A y B son arbitrarios, tenemos que para una F conservativa,
∮
F · ds = 0, (1.43)
C
es decir; la integral de una F conservativa a lo largo de un contorno cerrado arbitrario C
es cero.
Usando el Teorema de Stokes, la Ec. (1.43) para una fuerza conservativa se puede
escribir como
∮ ∫
F · ds = (∇ × F) · da = 0 (1.44)
C
S
donde S es el área encerrada por el contorno cerrado C. Puesto que C es arbitrario, la
Ec. (1.44) implica para una fuerza conservativa,
∇ × F = 0. (1.45)

1.1.
MECÁNICA DE UNA PARTÍCULA 19
Por otro lado, la identidad vectorial ∇ × ∇φ = 0 implica que la fuerza conservativa F
debe ser proporcional al gradiente de alguna función escalar. Se define la función V (r)
tal que
F = −∇V (r). (1.46)
Luego, para una fuerza conservativa
W 12 = −
= −
∫ 2
1
∫ 2
1
∇V · ds = −
∫ 2
1
( 3∑
i=1
)
∂V
dx i
∂x i
dV = V 1 − V 2 . (1.47)
Para toda fuerza, el trabajo W 12 es igual al cambio de energía cinética, T 2 − T 1 . En
sistemas conservativos, el trabajo también está relacionado con cambios de otra función
escalar que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2.
La funcion escalar V (r) se denomina energía potencial y expresa la energía almacenada
en un sistema, relacionada con la posición o configuración de los elementos constituyentes
del sistema. Por ejemplo, una partícula en campo gravitacional tiene una energía
potencial que depende de su posición; un resorte estirado o comprimido posee una energía
potencial almacenada capaz de convertirse en trabajo.
La Ec. (1.47) para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.39) válida para cualquier
fuerza, conduce a la relación
V 1 − V 2 = T 2 − T 1 ,
T 1 + V 1 = T 2 + V 2 . (1.48)
La energía mecánica total de una partícula se define como la cantidad escalar:
La Ec. (1.48) implica que
E ≡ T + V. (1.49)
E 1 = E 2 . (1.50)
Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia mecánica total es constante en
cualquier punto para sistemas conservativos,
E = T + V = constante. (1.51)
Si la función energía potencial depende del tiempo, además de las coordenadas,
V (r, t), la energía mecánica total puede no conservarse. Consideremos la derivada
Tenemos
dE
dt = d dT
(T + V ) =
dt dt + dV
dt . (1.52)
dT
dt
= mv · dv
dt
= F · v. (1.53)

20
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculamos la derivada total con respecto al tiempo de V (r, t) = V (x, y, z, t),
dV (r)
dt
=
3∑
i=1
∂V
∂x i
ẋ i + ∂V
∂t
= ∇V · v +
∂V
∂t . (1.54)
Luego,
dE
dt
= F · v + ∇V · v +
∂V
∂t
= −∇V · v + ∇V · v +
∂V
∂t
donde hemos empleado F = −∇V , para un sistema conservativo. Luego,
(1.55)
dE
dt = ∂V
∂t . (1.56)
La Ec. (1.56) es la condición para la conservación de la energía mecánica: la energía
mecánica total es constante si la energía potencial V no depende explicitamente del
tiempo,
∂V
∂t = 0 ⇒ dE = 0 ⇒ E = constante. (1.57)
dt
La energía potencial también puede ser definida para sistemas no conservativos; en esos
casos V depende explícitamente tanto de la posición como del tiempo. La fuerza correspondiente
puede expresarse como el gradiente de esta energía potencial. Sin embargo, el
trabajo hecho para mover una partícula entre los puntos 1 y 2 ya no es V 1 − V 2 , puesto
que V cambia con el tiempo cuando la partícula se mueve. La energía total puede ser
definida también como E = T + V ; sin embargo, la cantidad E no se conserva durante
el movimiento.
1.2. Mecánica de un sistema de partículas
Consideremos un conjunto de N partículas en un sistema de referencia cartesiano.
Sean m i y r i la masa y la posición de la partícula i, respectivamente, con i = 1, . . . , N.
Definimos el vector r ij ≡ r j − r i , que va en la dirección de la partícula i a la partícula j.
Figura 1.11: Sistema de partículas en un sistema de referencia cartesiano.

1.2.
MECÁNICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 21
El vector de posición del centro de masa de un sistema de partículas se define como
∑
R ≡ ∑ i m ∑
ir i i
=
m ir i
, (1.58)
M T
i m i
donde M T = ∑ i m i es la masa total del sistema.
La velocidad del centro de masa es
v cm = dR
dt = 1
M T
∑
El momento lineal total del sistema de N partículas es
P T = ∑ i
p i = ∑ i
i
m i
dr i
dt . (1.59)
dr i
m i
dt = M dR
T
dt = M T v cm . (1.60)
Luego, el momento total P T es equivalente al momento de una partícula que posea la
masa total del sistema, moviéndose con la velocidad del centro de masa del sistema.
Supongamos que existen fuerzas sobre las partículas, tanto internas como externas al
sistema. Denotamos por F ji la fuerza que la partícula j ejerce sobre la partícula i, y por
F ext (i) la fuerza total debida a influencias externas sobre la partícula i.
Recordemos que las fuerzas de interacción entre dos partículas i y j obedecen la
Tercera Ley de Newton,
F ji = −F ij . (1.61)
Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es más restrictiva. Si F ij es central,
F ij = k|F ji |r ij , (1.62)
entonces las fuerzas sobre las partículas van en la dirección (paralela o antiparalela) del
vector r ij . Esta condición sobre fuerzas centrales se conoce como forma fuerte de la ley
de acción y reacción. Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condición; por
ejemplo, las fuerzas magnéticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales.
.
Figura 1.12: Tercera Ley de Newton, en sus dos formas.
La ecuación de movimiento para la partícula i puede expresarse como
∑
j≠i
F ji + F ext (i) = dp i
dt = d2 (m i r i )
dt 2 , (1.63)

22
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde ∑ N
i≠j F ji es la suma de las fuerzas internas sobre la partícula i, debido a las
interacciones con las otras partículas.
Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las partículas en
la Ec. (1.63),
∑ ∑ ✟✯
0
F ji + ∑
✟✟✟
✟i
j
i
F ext (i) = ∑ i
ṗ i = ∑ i
d 2
dt 2 (m ir i ) . (1.64)
El primer término es cero porque las fuerzas se anulan en pares debido a la Tercera Ley,
∑ ∑
F ji = ∑ ∑
F ij = − ∑ ∑
F ij = − ∑ ∑
F ji ⇒ ∑ ∑
F ji = 0. (1.65)
i j
j i
j i
i j
i j
Luego, si m i es constante ∀i, la Ec. (1.64) queda
∑
F ext (i) = ∑
i
i
m i
d 2 r i
dt 2 . (1.66)
Usando la definición del centro de masa, la Ec. (1.58), se puede expresar como
Luego,
∑
F ext (i) = ∑
i
i
F ext (total) ≡ ∑ i
m i
d 2 r i
dt 2
= M T
d 2 R
dt 2 . (1.67)
F ext (i) = dP T
dt , (1.68)
La Ec. (1.68) constituye una ecuación de movimiento para el centro de masa. Luego,
si F ext (total) = 0, entonces P T es constante. Es decir, si la fuerza externa total sobre
un sistema de partículas es cero, entonces el momento lineal total P T del sistema se
conserva.
El momento angular de la partícula i es
l i = r i × p i . (1.69)
Entonces, el momento angular total del sistema de partículas es
l T = ∑ i
l i = ∑ i
(r i × p i ) = ∑ i
(r i × m i v i ). (1.70)
Si definimos la posición r ′ i de la partícula i con respecto al centro de masa del sistema,
tenemos
r ′ i = r i − R, (1.71)
y su velocidad con respecto al centro de masa será
v i ′ = v i − v cm . (1.72)

1.2.
MECÁNICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 23
Figura 1.13: Posición relativa de una partícula con respecto al centro de masa.
Entonces, en términos del centro de masa podemos escribir
l T = ∑ i
(r ′ i + R) × m i (v ′ i + v cm ) (1.73)
= ∑ ( )
∑
0
(r ′ i × m i v i) ′ +
i
✟ ✟✟✟✟✟✯ m i r ′ i × v cm
i
( ) 0 ( )
∑
∑
+ R ×
✟ ✟✟✟✟✟✯ m i v i
′ + R × m i v cm . (1.74)
i
i
Para mostrar los términos que se anulan en la Ec. (1.74), calculamos
M T R = ∑ i
= ∑ i
= ∑ i
m i r i
m i (r ′ i + R)
m i r ′ i + M T R
⇒
∑ i
m i r ′ i = 0. (1.75)
Del mismo modo,
∑
m i v i ′ = ∑
i
i
m i
dr ′ i
dt = d dt
( ∑
i
m i r ′ i
Entonces, la Ec. (1.74) para el momento angular total queda
)
= 0. (1.76)
l T = ∑ i
(r ′ i × p ′ i) + R × (M T v cm ) . (1.77)
Luego, el momento angular total de un sistema de partículas consta de dos contribuciones:
1) el momento angular del centro de masa, R × (M T v cm );
2) el momento angular relativo al centro de masa, ∑ i (r′ i × p′ i ).

24
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculemos la derivada temporal de l T ,
dl T
dt
=
N∑
i=1
= ∑ i
= ∑ i
d
dt (r i × p i )
✘ ✘ ✘ ✘✘✘✿ 0
(v i × mv i ) + ∑ i
⎛
r i × ⎝F ext (i) + ∑ j≠i
r i × p˙
i
F ji
⎞
⎠
= ∑ i
∑ ∑
r i × F ext (i) +
✘ ✘✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘✿ 0
(r i × F ji ). (1.78)
i j≠i
Las sumas en el segundo término de la Ec. (1.78) se pueden expresar en pares de la forma,
r i × F ji + r j × F ij = (r j − r i ) × F ij = r ij × F ij , (1.79)
puesto que F ji = −F ij , de acuerdo a la Tercera Ley de Newton. Si además suponemos que
se cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte, F ij = k|F ji |r ij . Luego, r ij ×F ij = 0
y el segundo término de la Ec. (1.78) se anula.
Entonces,
dl T
dt
= ∑ i
= ∑ i
r i × F ext (i)
τ i (externo) = τ T (externo). (1.80)
La Ec. (1.80) expresa la conservación del momento angular total de un sistema de partículas:
si el torque externo total τ (externo total) = 0, entonces l T = constante.
También se puede calcular la energía cinética de un sistema de partículas en la forma
T total = 1 ∑
m i vi 2 . (1.81)
2
En coordenadas del centro de masa, v i = v ′ i + v cm, y podemos escribir
i
T total = 1 ∑
m i (v i ′ + v cm ) · (v i ′ + v cm )
2
i
= 1 ∑
m i vcm 2 + 1 ∑
m i v i
′2 + 1 2
2
2 2v cm · ∑
m i v i. ′ (1.82)
Pero ∑ m i v i ′ = d dt (∑ m i r ′ i ) = 0; luego
i
i
i
T total = 1 2 M T v 2 cm + 1 2
∑
mi v ′2
i , (1.83)

1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 25
Es decir, energía cinética total de un sistema de partículas contiene dos contribuciones,
1) la energía cinética del centro de masa, 1 2 M T VCM 2 ;
2) la energía cinética relativa al centro de masa, 1 ∑
2 mi v i ′2.
El trabajo para realizar un cambio de una configuración 1 de las partículas a una
configuración 2 es
de
W (conf1 ⇒ conf2) = ∑ i
∫ conf2
conf1
∫ conf2
= ∑ i conf1
= 1 ∑
∫ conf2
m i d(vi 2 )
2
i conf1
( )
1 ∑
= m i vi
2 −
2
i
= T conf2 − T conf1 .
F i · ds i (1.84)
m i
dv i
dt · (v idt)
conf2
(
1
2
)
∑
m i vi
2
Finalmente, la energía potencial de un sistema de partículas se puede expresar a partir
F T = ∑ i
F i = ∑ i
i
conf1
∑ ∑ ✟✯
0
F ext (i) + F ji . (1.85)
✟✟✟
✟j
j≠i
Si F ext (i) es conservativa, se puede escribir como F ext (i) = −∇V ext (i). Luego,
( ∑
F T = −∇
i
V ext (i)
)
. (1.86)
Se define la energía potencial total como la suma
V T = ∑ i
V ext (i). (1.87)
1.3. Coordenadas generalizadas
Consideremos un sistema de N partículas, i = 1, 2, . . . , N, cuyos vectores de posición
son {r 1 , r 2 , . . . , r N }. Cada vector de posición posee tres coordenadas, r i = (x i , y i , z i ). El
sistema de N partículas con posiciones {r 1 , r 2 , . . . , r N } está descrito por 3N coordenadas.
En general existen restricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo,
el movimiento ocurre sobre un plano (z = cte), o sobre un círculo (x 2 + y 2 = cte), sobre
una esfera (x 2 +y 2 +x 2 = cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar como
relaciones algebraicas o funcionales entre las coordenadas.

26
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si un sistema posee k restricciones, éstas se puede expresar como k funciones o relaciones
que ligan las coordenadas:
f 1 (r 1 , r 2 , . . . , t) = 0,
f 2 (r 1 , r 2 , . . . , t) = 0,
.
f k (r 1 , r 2 , . . . , t) = 0.
(1.88)
Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de igualdades algebraicas se llaman
restricciones holonómicas. El número de coordenadas independientes cuando existen
k restricciones holonómicas es s = 3N − k.
La cantidad s determina los grados de libertad del sistema, o el número mínimo de
coordenadas necesarias para describir el movimiento del sistema. Los grados de libertad
definen un conjunto de coordenadas generalizadas, denotadas por {q 1 , q 2 , . . . , q s }, el cual
tiene asociado un conjunto de velocidades generalizadas { ˙q 1 , ˙q 2 , . . . , ˙q s }.
Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sino
que pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, o
inclusive pueden ser otras variables físicas. Las coordenadas generalizadas {q 1 , q 2 , . . . , q s }
están relacionadas con las coordenadas cartesianas {r 1 , r 2 , . . . , r N } por un conjunto de
transformaciones:
r 1 = r 1 (q 1 , q 2 , . . . , t),
r 2 = r 2 (q 1 , q 2 , . . . , t),
.
r N = r N (q 1 , q 2 , . . . , t).
(1.89)
En general, el conjunto de ligaduras f α (r 1 , r 2 , . . . , r N , t) = 0, α = 1, 2, . . . , k, y las
transformaciones r i (q 1 , q 2 , . . . , q s , t) = r i , i = 1, 2, . . . , N, permiten expresar las coordenadas
generalizadas en términos de las coordenadas cartesianas, q j = q j (r 1 , r 2 , . . . , r N , t),
j = 1, 2, . . . , s. Es decir, en principio, las transformaciones r i ↔ q j son invertibles.
También pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cuales
se denominan restricciones no holonómicas. Éstas se expresan como desigualdades o
en forma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas.
Ejemplos de restricciones y coordenadas generalizadas:
1. Péndulo plano.
Consiste en una partícula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de una
varilla rígida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo está fijo, tal que
la varilla cual puede girar en un plano vertical.

1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 27
Figura 1.14: Péndulo simple con longitud l y masa m.
Hay dos restricciones, k = 2,
z = 0 ⇒ f 1 (x, y, z) = z = 0. (1.90)
x 2 + y 2 = l 2 ⇒ f 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 − l 2 = 0. (1.91)
Luego, s = 3(1)−2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistema
sugiere escoger q = θ como coordenada generalizada. Las transformaciones r(q) son
x = l sin θ (1.92)
y = −l cos θ (1.93)
(
⇒ θ = tan −1 − x )
. (1.94)
y
2. Péndulo doble.
Consiste en un péndulo plano que cuelga de otro péndulo plano. Hay dos partículas
(N = 2) y seis coordenadas cartesianas correspondientes a r 1 y r 2 .
Figura 1.15: Péndulo doble.

28
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Hay k = 4 restricciones:
f 1 = z 1 = 0
f 2 = z 2 = 0
f 3 = x 2 1 + y 2 2 − l 2 1 = 0
f 4 = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 − l 2 2 = 0.
(1.95)
Luego, hay s = 3(2) − 4 = 2 coordenadas generalizadas. La figura sugiere las
coordenadas generalizadas q 1 = θ 1 y q 2 = θ 2 . Las transformaciones r i (q) son
x 1 = l 1 sin θ 1
y 1 = −l 1 cos θ 1
x 2 = l 1 sin θ 1 + l 2 sin θ 2
y 2 = −l 1 cos θ 1 − l 2 cos θ 2 .
(1.96)
Las transformaciones inversas son
(
θ 1 = tan −1 − x )
1
(1.97)
y 1
( )
θ 2 = tan −1 x1 − x 2
. (1.98)
y 2 − y 1
Entonces, q 1 = θ 1 y q 2 = θ 2 son coordenadas generalizadas.
3. Polea simple (máquina de Atwood).
Figura 1.16: Polea simple.
En este problema N = 2. Las restricciones se pueden expresar como
f 1 = y 1 + y 2 − c 1 = 0
f 2 = x 1 − c 2 = 0
f 3 = x 2 − c 3 = 0
f 4 = z 1 = 0
f 5 = z 2 = 0,
(1.99)
donde c 1 , c 2 , c 3 son constantes. Luego, k = 5 y s = 3(2) − 5 = 1. Se puede escoger
q = y 1 , o q = y 2 como la coordenada generalizada.

1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 29
4. Partícula dentro de un cono invertido con ángulo de vértice α, cuyo eje es vertical.
Figura 1.17: Partícula moviéndose dentro de un cono con su eje vertical.
Hay una partícula N = 1, y 3 coordenadas cartesianas para su posición r = (x, y, z).
Hay una restricción, k = 1,
f 1 (x, y, z) = r − z tan α = (x 2 + y 2 ) 1/2 − z tan α = 0. (1.100)
Entonces, hay s = 3(1) − 1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomar
como q 1 = r, q 2 = θ. Las transformaciones r(q) son
y las transformaciones inversas son
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z = r cot α,
( y
)
ϕ = tan −1 = q 1
x
r = z tan α = q 2 .
(1.101)
(1.102)
5. Partícula deslizando sobre un aro en rotación uniforme sobre su diamétro.
Figura 1.18: Partícula deslizando sobre aro de radio a, el cual rota sobre su diámetro vertical
con velocidad angular ω.

30
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La velocidad angular de rotación del aro sobre eje z es ω, asumida constante. Luego,
ϕ = ωt.
Restricciones:
f 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − a 2 = 0,
y
= tan ϕ = tan ωt
x
⇒ f 2 (x, y, z, t) = y − x tan ωt = 0.
(1.103)
La función f 2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas como
del tiempo. Tenemos k = 2; luego, s = 3(1) − 2 = 1. La coordenada generalizada
apropiada es q = θ.
Las transformaciones de coordenadas r(q) son
z = a cos θ
x = a sin θ cos ωt
y = a sin θ sin ωt.
(1.104)
En Mecánica Clásica, el tiempo t no es considerado como una coordenada, sino
como un parámetro.
6. Restricción no holonómica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.
Figura 1.19: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha:
condición de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instantáneo.
Existe la restricción z = cte. Sea θ el ángulo que forma el vector velocidad v con
respecto a la dirección −ŷ. La condición de rodar sin deslizar se expresa como
ds = vdt = Rdϕ ⇒ v = R ˙ϕ. (1.105)
Figura 1.20: Proyección del movimiento del aro sobre el plano (x, y).
Las componentes de la velocidad v son
ẋ = v sin θ = R ˙ϕ sin θ
ẏ = −v cos θ = −R ˙ϕ cos θ.
(1.106)

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 31
Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holonómicas
para las coordenadas,
dx − Rdϕ sin θ = 0
(1.107)
dy + Rdϕ cos θ = 0.
Las coordenadas generalizadas son (x, y) para ubicar el punto de apoyo instantáneo
P , más (θ, ϕ) para ubicar un punto cualquiera sobre el aro; luego s = 4.
7. Una restricción no holonómica: partícula dentro de una esfera de radio R.
La ligadura se expresa |r i | ≤ R.
Figura 1.21: Ligadura no holonómica: partícula dentro de una esfera.
1.4. Principios variacionales.
Consideremos dos puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) fijos en el plano (x, y), unidos por una
trayectoria y = y(x), xɛ[x 1 , x 2 ], tal que y(x 1 ) = y 1 y y(x 2 ) = y 2 , y cuya derivada es
y ′ (x) = dxḞigura dy
1.22: Función y(x) que pasa por dos puntos sobre el plano (x, y).
Definimos una funcional como una función de varias variables f(y, y ′ , x) cuyos argumentos
son funciones y sus derivadas. Una funcional es una función de funciones dadas.
Una funcional asigna un número a una función, mientras que una función asigna un
número a otro número.
Por ejemplo, consideremos la funcional f(y, y ′ , x) = y(x) + y ′ (x). Para la función
y(x) = 3x + 2, tenemos f(y, y ′ , x) = 3x + 5; mientras que para y(x) = x 2 , f(y, y ′ , x) =
x 2 + 2x. El valor resultante de una funcional dada depende de la función y.

32
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
En los problemas de extremos en el cálculo diferencial buscamos el valor de una
variable para el cual una función es máxima o mínima. En cambio, los problemas de
extremos en el cálculo variacional consisten en encontrar la función que hace que una
integral definida sea extrema.
Principio variacional:
Dada una funcional f(y, y ′ , x), ¿cuál es la y(x) que hace que la integral definida
de línea:
∫ x2
I = f(y, y ′ , x)dx , (1.108)
x 1
tenga un valor extremo (máximo ó mínimo) entre x 1 y x 2 .
Note que I es una integral definida y, por tanto, da como resultado un número cuyo
valor depende de la función y(x) empleada en el argumento de la funcional dada
f(y, y ′ , x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y ′ (x)), entonces cualquier
otra trayectoria cercana a y(x) definida entre x 1 y x 2 debe incrementar (o disminuir) en
valor de la integral I, es decir, debe variar I.
Se emplea la notación δI para indicar la variación de I. Luego, δI = 0 implica que I
es extremo.
El principio variacional sobre I requiere que δI = 0 para una f dada, lo cual implica
una condición sobre y(x). Para encontrar esta condición, supongamos que y(x) es la
función que pasa por x 1 y x 2 , y que hace δI = 0. Ahora, consideremos una trayectoria
cercana a y(x) definida como
y(x, α) = y(x) + α η(x), (1.109)
donde α es un parámetro que mide la desviación con respecto a la función y(x) y η(x) es
una función arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe η ′ (x)), tal que se anule en los
puntos x 1 y x 2 : η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0. Entonces y(x, α) también pasa por (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ):
y(x 1 , α) = y(x 1 ) = y 1 (1.110)
y(x 2 , α) = y(x 2 ) = y 2
Figura 1.23: Trayectoria y(x, α) = y(x) + α η(x).
Note que y(x, 0) = y(x). Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, α),
I =
∫ x2
x 1
f(y(x, α), y ′ (x, α), x)dx = I(α), (1.111)

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 33
es decir, I es una función del parámetro α. La condición extrema δI = 0 cuando α = 0,
implica que
dI(α)
dα ∣ = 0, (1.112)
α=0
lo cual a su vez implica una condición sobre f y sobre y(x). Calculemos dI/dα,
Pero,
=
∫ x2
∫
dI
x2
dα = df(y(x, α), y ′ (x, α), x)
dx (1.113)
x 1
dα
[ ∂f ∂y ∂f ∂y ′ ]
(x, α) +
∂y ∂α ∂y ′ ∂α (x, α) dx.
x 1
∂y
∂α (x, α) = η(x); ∂y ′
∂α
(x, α) =
∂
∂α
puesto que α y x son independientes. Luego,
dI
dα = ∫ x2
x 1
( ) dy
= d
dx dx
[ ∂f ∂f dη
η(x) +
∂y ∂y ′ dx
( ) ∂y
= dη
∂α dx
(1.114)
]
dx. (1.115)
El segundo término se integra por partes, usando (uv) ′ = u ′ v + uv ′ ⇒ ∫ ∫ uv ′ dx = uv −
u ′ vdx,
∫ x2
∣
∂f dη ∂f ∣∣∣
x 2
∫ x2
( )
x 1
∂y ′ dx =
dx ∂y ′ η(x) d ∂f
−
x 1 x 1
dx ∂y ′ η(x)dx, (1.116)
pero,
∂f
∂y ′ η(x) ∣ ∣∣∣
x 2
puesto que η(x 2 ) = η(x 1 ) = 0. Luego:
Evaluando en α = 0,
dI
dα∣ =
α=0
∫ x2
x 1
dI
dα = ∫ x2
x 1
x 1
= ∂f
∂y ′ (η(x 2) − η(x 1 )) = 0 (1.117)
[ ∂f
∂y − d
dx
( ∂f
∂y ′ )]
η(x)dx = 0. (1.118)
[ ∂f
∂y − d ( ∫ ∂f
x2
dx ∂y
)]α=0
′ η(x)dx = M(x)η(x) = 0 , (1.119)
x 1
donde
[ ∂f
M(x) =
∂y − d ( ∂f
dx ∂y
)]α=0
′ . (1.120)
Cuando α = 0, el integrando es una función de x solamente: M(x)η(x). Luego, la condición
dI ∣
dα α=0
= 0 ⇒ M(x)η(x) = 0. Pero como η(x) es una función arbitraria no nula,
entonces debemos tener M(x) = 0. Se acostumbra escribir esta condición en la forma
( )
d ∂f
dx ∂y ′ − ∂f = 0. (1.121)
∂y

34
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La Ec. (1.121) es la ecuación de Euler, y expresa la condición que debe satisfacer la
función y(x) que hace δI = 0 para una integral definida I de una funcional f(y, y ′ , x)
dada. La Ec. (1.121) es una ecuación diferencial de segundo orden para y(x), cuya solución
permite encontrar y(x) para las condiciones dadas.
Figura 1.24: Leonhard Euler (1707-1783).
Ejemplos.
1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia más corta entre dos
puntos dados en un plano.
Figura 1.25: Trayectoria más corta entre dos puntos del plano (x, y).
El elemento de distancia sobre el plano es
La distancia entre (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) es
I =
∫ 2
1
ds =
∫ x2
x 1
ds = √ dx 2 + dy 2 . (1.122)
√
1 +
( dy
dx
) 2
dx =
∫ x2
x 1
f(y, y ′ ) dx, (1.123)

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 35
donde f(y, y ′ ) = √ 1 + (y ′ ) 2 .
Buscamos la trayectoria y(x) que da el valor mínimo de la integral I; es decir, que
hace δI = 0. La ecuación de Euler es la condición que satisface esa y(x),
( )
d ∂f
dx ∂y ′ − ∂f = 0. (1.124)
∂y
Tenemos
∂f
∂y = 0,
∂f
∂y ′ = y ′
√
1 + (y′ ) . (1.125)
2
Luego, la ecuación de Euler conduce a
y ′
√
1 + (y′ ) 2 = c = constante, (1.126)
y ′ =
c
√
1 − c
2 ≡ a (1.127)
⇒ y = ax + b, (1.128)
donde a y b son constantes.
2. Superficie mínima de revolución.
Encontrar el perfil y(x) entre x 1 , x 2 que produce el área mínima de revolución
alrededor del eje y.
Figura 1.26: Superficie mínima de revolución de y(x) alrededor de eje y.
El elemento de área de revolución alrededor de eje y es
dA = 2πx ds = 2πx √ dx 2 + dy 2 . (1.129)
Área de revolución generada por y(x),
∫ ∫ x2
A = dA = 2π x √ 1 + (y ′ ) 2 dx. (1.130)
x 1

36
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Identificamos en el integrando la funcional
f(y, y ′ x) = x √ 1 + (y ′ ) 2 . (1.131)
La ecuación de Euler,
requiere las derivadas,
( )
d ∂f
dx ∂y ′ − ∂f
∂y
= 0, (1.132)
∂f
∂y = 0,
∂f
∂y ′ = xy ′
√ . (1.133)
1 + y
′2
Sustituyendo en la ecuación de Euler, obtenemos
xy ′
√
1 + y
′2
= a = constante (1.134)
y ′ = dy
dx =
∫
⇒ y = a
a
√
x2 − a 2 (1.135)
dx
√
x2 − a 2 (1.136)
= a ln(x + √ x 2 − a 2 ) + k. (1.137)
Los valores de las constantes a y k se determinan con (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ). Si escribimos
k = b − a ln a, la Ec. (1.137) también se puede expresar como
( ) (
y − b x + √ )
x
= ln
2 − a 2
a
a
que es la ecuación de una catenaria.
3. Braquistocrona (del griego, “tiempo más corto”).
( = cosh −1 x
)
a
(1.138)
( ) y − b
⇒ x = a cosh , (1.139)
a
Encontrar la trayectoria y(x) de una partícula en el campo gravitacional terrestre
que da el menor tiempo posible para ir de un punto (x 1 , y 1 ) a otro punto (x 2 , y 2 )
sin fricción, partiendo del reposo (v 0 = 0).
Fijamos el punto (x 1 , y 1 ) = (0, 0). Para este problema, escogemos la dirección del
eje y hacia abajo, con el fin de obtener la función y(x).
Si v es la magnitud de la velocidad a lo largo de la trayectoria, entonces el elemento
de tiempo para recorrer una distancia infinitesimal ds a lo largo de la trayectoria
es
dt = ds
v . (1.140)

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 37
Figura 1.27: Problema de la braquistocrona.
El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es
∫ 2 ∫
ds 2
√
t 1→2 =
v = dx2 + dy 2
. (1.141)
v
1
En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la partícula es
F = mgy ŷ, y por lo tanto la energía potencial es V = −mgy, tal que V (y = 0) = 0.
Puesto que v 0 = 0, la conservación de la energía E = T + V da
1
0 = 1 2 mv2 − mgy ⇒ v = √ 2gy. (1.142)
Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es
∫ 2
√
dx2 + dy
t 1→2 = √ 2
, (1.143)
2gy
la cual se puede expresar como
La integral t 1→2 es del tipo
t 1→2 =
I =
1
∫ y2
y 1
∫ y2
√
1 + (x ′ ) 2
dy . (1.144)
2gy
y 1
f(x, x ′ , y)dy , (1.145)
donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identificamos la funcional
√
f(x, x ′ 1 + (x
, y) =
′ ) 2
. (1.146)
2gy
La ecuación de Euler correspondiente es
d
dy
( ∂f
∂x ′ )
− ∂f
∂x = 0 . (1.147)

38
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Puesto que ∂f = 0, la ecuación de Euler queda
∂x
∂f
∂x ′ = x ′
√ √ = c = constante. (1.148)
2gy 1 + (x′ )
2
Note que la ecuación de Euler para la funcional f(x, x ′ , y) resulta más sencilla que
la ecuación correspondiente a una funcional f(y, y ′ , x) en este caso. Luego,
√
x ′ = dx
dy = 2gyc 2
1 − 2gyc 2 (1.149)
∫ √
∫ √ y
y
⇒ x =
1
2gc
− y dy = dy, (1.150)
2R − y 2
donde hemos llamado 2R ≡ 1/2gc 2 . Haciendo el cambio de variable
tenemos
∫ √ (1 − cos θ)
x = R
y = R(1 − cos θ), dy = R sin θdθ, (1.151)
(1 + cos θ) sin θ dθ = R ∫ √ (1 − cos θ) 2
(1 − cos 2 θ)
sin θ dθ
∫
= R (1 − cos θ) dθ = R(θ − sin θ) + k. (1.152)
Luego, la trayectoria queda parametrizada en términos de la variable θ,
y = R(1 − cos θ), (1.153)
x = R(θ − sin θ), (1.154)
la cual corresponde a una cicloide que pasa por (x 1 , y 1 ) = (0, 0), con k = 0..
Figura 1.28: Trayectoria de la cicloide.
La constante R se determina con el punto (x 2 , y 2 ) y da al valor del radio de la
circunferencia que genera la cicloide. Algunos puntos ayudan a trazar la cicloide,
θ = π 2 ⇒ y = R, x = π R; θ = π ⇒ x = πR, y = 2R; θ = 2π ⇒ x = 2πR, y = 0.
2

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 39
Figura 1.29: Johann Bernoulli (1667 -1748).
El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la Física. Fue planteado
originalmente por Galileo, quien pensó que la trayectoría más corta era un arco de
circunferencia. El problema fue estudiado años después por Johann Bernoulli, cuyo
trabajo condujo a la fundación del cálculo variacional.
Principios variacionales y ecuaciones de Euler para funcionales de varias variables.
Consideremos una funcional de varias variables
tal que la integral definida
f (y i (x), y ′ i(x), . . . , x) , , i = 1, 2, . . . , s (1.155)
I =
∫ x2
x 1
f (y i (x), y ′ i(x), x) dx (1.156)
adquiera un valor extremo, i.e., δI = 0, para las funciones y i (x), i = 1, 2, . . . , s.
Figura 1.30: Trayectorias y 1(x) y y 2(x) en el espacio (x, y 1, y 2).

40
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde
Consideremos ahora una funcional de trayectorias perturbadas:
f (y i (x, α), y ′ i(x, α), . . . , x) , i = 1, 2, . . . , s. (1.157)
y las η i (x) son funciones arbitrarias que satisfacen
y i (x, α) = y i (x) + αη i (x), (1.158)
η i (x 1 ) = η i (x 2 ) = 0. (1.159)
Consideremos la integral definida con las funciones y i (x, α) como argumentos,
I(α) =
∫ x2
x 1
f[y i (x, α), y ′ i(x, α), x]dx. (1.160)
La condición de que I(0) sea extremo, o que δI = 0, implica que
dI
dα∣ = 0. (1.161)
α=0
Calculamos
donde
dI
dα = ∫ x2
∂y i (x, α)
∂α
x 1
s∑
i=1
= η i (x);
[ ∂f ∂y i
∂y i ∂α + ∂f ∂y ′ ]
i
∂y i
′ dx, (1.162)
∂α
∂y i ′ (x, α)
= η ′
∂α
i(x). (1.163)
El segundo término en la suma de la Ec. (1.162) se integra por partes:
∫ x2
x 1
∂f
0 x
∂y i
′ η i(x)dx ′ ∂f
2
=
✟
∂y ✟✟✟✟✟✯ i
′ η i (x)
∣
x 1
∫ x2
−
en virtud de la condición Ec. (1.159) sobre las funciones η i (x). Luego,
La condición
implica las s condiciones
dI
dα = ∫ x2
d
dx
( ∂f
s∑
x −1 i=1
∂y ′ i
x 1
( )
d ∂f
dx ∂y i
′ η i (x)dx , (1.164)
[ ∂f
− d ( )] ∂f
∂y i dx ∂y i
′ η i (x)dx. (1.165)
dI
dα∣ = 0 , (1.166)
α=0
)
− ∂f
∂y i
= 0, i = 1, 2, . . . , s (1.167)
que corresponden a s ecuaciones de Euler, una para cada función y i (x).

1.5. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y ECUACIONES DE LAGRANGE. 41
1.5. Principio de mínima acción y ecuaciones de Lagrange.
Consideremos un sistema descrito por s coordenadas {q 1 , q 2 , . . . , q s } y sus correspondientes
s velocidades generalizadas { ˙q 1 , ˙q 2 , . . . , ˙q s }.
Definimos una funcional escalar de {q j }, { ˙q j } y t, dado por
L(q j , ˙q j , t) = T − V, (1.168)
donde T y V son la energía cinética y la energía potencial del sitema, expresadas en términos
de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(q j , ˙q j , t) se denomina
Lagrangiano del sistema.
Por ejemplo, la energía cinética y la energía potencial de un oscilador armónico simple
son, respectivamente,
y el Lagrangiano correspondiente es
T = 1 2 mẋ2 ; V = 1 2 kx2 , (1.169)
L = 1 2 mẋ2 − 1 2 kx2 . (1.170)
En principio, todo sistema mecánico, se puede caracterizar por un Lagrangiano L.
Supongamos que el estado del sistema en los instantes de tiempo t = t 1 y t = t 2
está descrito por
t 1 : {q j (t 1 )}, { ˙q j (t 1 )} ; t 2 : {q j (t 2 )}, { ˙q j (t 2 )}. (1.171)
La acción del sistema se define como la integral definida
S =
∫ t2
t 1
L(q j , ˙q j , t) dt . (1.172)
Figura 1.31: Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759).

42
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Principio de mínima acción:
La evolución del sistema entre el estado en t 1 y el estado en t 2 es tal que S
sea mínima, es decir, δS = 0 (S es un extremo).
El Principio de mínima acción es un principio variacional; establece que las ecuaciones
de movimiento de un sistema, en términos de sus coordenadas generalizadas, pueden
formularse a partir del requerimiento de que una cierta condición sobre S sea satisfecha.
El Principio de mínima acción fue formulado en distintas formas por Maupertuis y
por Hamilton; también se llama Principio de Hamilton.
Sean q j = q j (t) las trayectorias para las cuales S adquiere un valor extremo. Consideremos
la variación de q j como q j (t) + δq j (t), y la variación de ˙q j como ˙q j (t) + δ ˙q j (t).
Supongamos extremos fijos t 1 y t 2 . Luego δq j (t 1 ) = δq j (t 2 ) = 0.
La variación de q j produce un incremento en el valor de S. La variación en S cuando
q j (t) es reemplazado por q j (t) + δq j (t), y ˙q j por ˙q j (t) + δ ˙q j (t), es
δS =
=
∫ t2
t 1
∫ t2
t 1
δL(q j , ˙q j , t)dt
∫ t2
L(q j + δq j , ˙q j + δq j , t)dt − L(q j , ˙q j , t)dt. (1.173)
t 1
El principio de mínima acción requiere que
∫ t2 s∑
[ ∂L
δS =
δq j + ∂L ]
δ ˙q j dt = 0. (1.174)
∂q j ∂ ˙q j
t 1
Similar a la integral I, podemos expresar el segundo término como
donde
∫ t2
t 1
j=1
δL d
δ ˙q j dt (δq j)dt = ∂L ∣ ∣∣∣
t 2
∫ t2
δq j −
∂ ˙q j t 1 t 1
∂L
∂ ˙q j
δq j
∣ ∣∣∣
t 2
Luego, la condición δS = 0 implica s ecuaciones:
d
dt
d
dt
( δL
δ ˙q j
)
δq j , (1.175)
t 1
= 0. (1.176)
( ∂L
∂ ˙q j
)
− ∂L
∂q j
= 0, i = 1, . . . , s. (1.177)
Las Ecs. (1.177) se denominan ecuaciones de Lagrange. Constituyen s ecuaciones diferenciales
acopladas de segundo orden para las s coordenadas q j (t) que describen la evolución
del sistema en el tiempo.
Se pueden establecer las siguientes analogías entre el Principio de mínima acción y
un principio variacional:
S =
∫ t2
t 1
L(q j , ˙q j , t)dt ↔ I =
∫ x2
x 1
f(y i , y ′ i, x)dx (1.178)

1.5. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y ECUACIONES DE LAGRANGE. 43
L(q j , ˙q j , t) ↔ f(y i , y ′ i, x)
t ↔ x
q j ↔ y i
˙q j ↔ y i
′
δq j (t) ↔ η j (x)
δ ˙q j (t) ↔ η ′ j(x).
Figura 1.32: Joseph Louis de Lagrange (1736-1827).
Las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda Ley de Newton si las
coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesianas de las partículas
del sistema. Para ver esto, consideremos N partículas: α = 1, 2, . . . , N. Llamemos j a las
componentes cartesianas de la partícula α: x j (α) Asumamos las coordenadas cartesianas
como coordenadas generalizadas: q j = x j (α).
La energía cinética del sistema es
La energía potencial es
T =
N∑
3∑
α=1 i=1
1
2 m αẋ 2 i (α). (1.179)
V =
El Lagrangiano está dado por
L = T − V =
N∑
3∑
α=1 i=1
N∑
V α (r(1), r(2), . . . , r(N)). (1.180)
α=1
1
2 m αẋ 2 i (α) −
N∑
V α (r(1), r(2), . . . , r(N)). (1.181)
α=1
La ecuación de Lagrange para la coordenada x j (α) es
( )
d ∂L
−
∂L = 0. (1.182)
dt ∂ẋ j (α) ∂x j (α)

44
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculamos
∂L
∂ẋ j (α)
∂L
∂x j (α)
=
∂T
∂ẋ j (α) = m(α)ẋ j(α) = p j (α),
= − ∂V α
∂x j (α) = F j(α).
Sustitución en la ecuación de Lagrange para x j (α) da
dp j (α)
dt
= F j (α), (1.183)
lo que corresponde a la componente j de la 2 da ley de Newton para la partícula α.
Sumando sobre todas las partículas,
pero
N∑
α=1
P j =
dp j (α)
dt
=
N∑
F j (α) = componente j de la fuerza total (1.184)
α=1
N∑
p j (α) = componente j del momento lineal total. (1.185)
α=1
Luego,
dP j
= F j (total) (1.186)
dt
lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para el sistema. Luego,
si q j = x j (α), es decir, si las coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas
cartesianas, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda ley de Newton para
el sistema.
Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teoría del movimiento; los
resultados de la formulación Lagrangiana o de la formulación Newtoniana del movimiento
de un sistema dado son los mismos; tan sólo la descripción y el método usado para obtener
esos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto físico.
Las leyes de Newton enfatizan causas externas (fuerzas) actuando sobre un cuerpo,
mientras que la formulación Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares (energías
cinética y potencial) asociadas con el cuerpo. En contraste con el punto de vista Newtoniano
de causa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de mínima acción describe
éste como el resultado de un propósito de la Naturaleza.
Las ecuaciones de Lagrange son más generales que la segunda Ley de Newton; además
de sistemas mecánicos clásicos, se pueden aplicar para todo sistema donde se puede
definir un Lagrangiano, incluyendo medios contínuos, campos, Mecánica Cuántica. El
Principio de Mínima acción sugiere una conexión profunda entre la Física y la Geometría,
una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de varias teorías físicas. Como
veremos, una ventaja de la formulación Lagrangiana es que permite descubrir simetrías
fundamentales presentes en sistemas físicos.

1.5. PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y ECUACIONES DE LAGRANGE. 45
Las ecuaciones de movimiento de muchos sistemas, además de sistemas mecánicos,
pueden derivarse a partir de algún principio variacional. Por ejemplo, el Principio de
Fermat establece que la propagación de la luz entre dos puntos dados en un medio
sigue la trayectoria que corresponde al tiempo mínimo. A partir de ese principio, pueden
obtenerse las leyes de la Óptica Geométrica.
Figura 1.33: Pierre de Fermat (1601-1665).
Propiedades de las ecuaciones de Lagrange.
1) Las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes si a su Lagrangiano se le
agrega una derivada total temporal de una función f(q j , t).
Sea L(q j , ˙q j , t) el Lagrangiano del sistema para el cual δS = 0. Entonces, el nuevo
Lagrangiano será
L ′ (q j , ˙q j , t) = L(q j , ˙q j , t) + df(q j, t)
. (1.187)
dt
La nueva acción es
Luego,
S ′ =
=
∫ t2
t 1
∫ t2
L ′ (q j , ˙q j , t)dt
t 1
L(q j , ˙q j , t)dt + f(q(t 2 ), t 2 ) − f(q j (t 1 ), t 1 ). (1.188)
δS ′ = δS + δf(q j (t 2 ), t 2 ) − δf(q j (t 1 ), t 1 ), (1.189)
pero f(q j (t 2 ), t 2 ) y f(q j (t 1 ), t 1 ) son cantidades fijas cuya variación es cero. Luego δS =
δS, y la condición δS = 0 ⇒ δS ′ = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento que se
derivan de L y de L ′ son equivalentes.
2) La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante con respecto al conjunto de
coordenadas generalizadas utilizadas en un sistema.

46
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La derivación de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordenadas
generalizadas específicas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange no depende
de un conjunto particular de coordenadas {q i }. Se puede escoger otro conjunto de s
coordenadas generalizadas independientes {Q i }, y las ecuaciones de Lagrange también
se cumplen en esas coordenadas.
Sea {q i }, i = 1, . . . , s, un conjunto de coordenadas generalizadas para un sistema con
s grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(q i , ˙q i , t). Las ecuaciones de Lagrange para
estas coordenadas son
d
dt
( ∂L
∂ ˙q j
)
− ∂L
∂q j
= 0. (1.190)
Supongamos una transformación a otro conjunto de coordenadas generalizadas {Q i },
i = 1, . . . , s, de la forma
q i = q i (Q 1 , Q 2 , . . . , Q s , t), (1.191)
la cual se conoce como una transformación puntual. Entonces, el Lagrangiano expresado
como función de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas L(Q i , ˙Q i , t) también
satisface las ecuaciones de Lagrange
d
dt
( ∂L
∂ ˙Q i
)
− ∂L
∂Q i
= 0. (1.192)
Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.191) calculamos
˙q i = dq i
dt =
s∑ ∂q i
∂Q k
k=1
˙Q k + ∂q i
∂t . (1.193)
Luego,
˙q i = ˙q i (Q 1 , . . . , Q s , ˙Q 1 , . . . , ˙Q s , t). (1.194)
Entonces, el Lagrangiano se puede expresar como función de las nuevas coordenadas y
velocidades generalizadas,
L(q 1 , . . . , q s , t) = L[q i (Q 1 , . . . , Q s , t), ˙q i (Q 1 , . . . , Q s , ˙Q 1 , . . . , ˙Q s , t), t]. (1.195)
Tenemos,
y
Notemos que
∂L
∂ ˙Q i
=
∂L
∂Q i
=
s∑
j=1
( ∂L ∂q j
+ ∂L )
∂ ˙q j
, (1.196)
∂q j ∂Q i ∂ ˙q j ∂Q i
⎛
s∑
0 ⎞
⎜
⎝ ∂L ∂q
∂q ✓ ✓✼ j
j
✓∂ ˙Q
+ ∂L ∂ ˙q j ⎟
i ∂ ˙q j ∂ ˙Q ⎠ =
i
j=1
∂ ˙q j
∂ ˙Q i
=
s∑
k=1
∂q j
∂Q k
∂ ˙Q k
∂ ˙Q i
=
s∑
k=1
s∑
j=1
∂L
∂ ˙q j
∂ ˙q j
∂ ˙Q i
. (1.197)
∂q j
∂Q k
δ ik = ∂q j
∂Q i
. (1.198)

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.47
Luego,
⎛
⎞
( )
d ∂L
dt ∂ ˙Q
− ∂L = d s∑
⎝
∂L ∂q j
⎠ −
i ∂Q i dt ∂ ˙q j ∂Q i
=
j=1
s∑
j=1
( ∂L ∂q j
+ ∂L )
∂ ˙q j
∂q j ∂Q i ∂ ˙q j ∂Q i
s∑
[ ( ∂qj d ∂L
− ∂L )
+ ∂L ( d ∂q j
− ∂ ˙q )]
j
. (1.199)
∂Q i dt ∂ ˙q j ∂q j ∂ ˙q j dt ∂Q i ∂Q i
j=1
El primer término en la Ec. (1.199) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.190). Por otro lado,
∂ ˙q j
=
∂ ( ) dqj
= d ( ) ∂qj
, (1.200)
∂Q i ∂Q i dt dt ∂Q i
por lo cual, el segundo término en la Ec. (1.199) también se anula. Luego,
( )
d ∂L
dt ∂ ˙Q
− ∂L = 0. (1.201)
i ∂Q i
Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transformaciones
puntuales de las coordenadas generalizadas.
Por ejemplo, consideremos una partícula en un plano. Las ecuaciones de Lagrange
para la partícula en coordenadas cartesianas {q i } = {x, y} tienen la misma forma que las
correspondientes ecuaciones en coordenadas polares {Q i } = {r, ϕ}, donde las relaciones
q i = q i (Q j , t) son
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ.
1.6. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios
sistemas.
1. Péndulo simple.
Figura 1.34: Coordenada generalizada θ para el péndulo simple.

48
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Vimos que la coordenada generalizada es el ángulo θ. Entonces,
x = l sin θ,
y = −l cos θ,
ẋ = l ˙θ cos θ
ẏ = l ˙θ sin θ
Expresamos T y V en función de θ y ˙θ,
T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 ml2 ˙θ2 . (1.202)
Entonces, el Lagrangiano es
V = mgy = −mgl cos θ. (1.203)
L = T − V = 1 2 ml2 ˙θ2 + mgl cos θ. (1.204)
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L
∂θ = 0 (1.205)
Calculamos los términos
∂L
∂θ
= −mgl sin θ,
∂L
∂ ˙θ = ml2 ˙θ,
Luego, la ecuación de Lagrange queda como
d
dt
( ) ∂L
∂ ˙θ
= ml 2 ¨θ. (1.206)
ml 2 ¨θ + mgl sin θ = 0, (1.207)
¨θ + g l
sin θ (1.208)
que es la conocida ecuación del péndulo simple.
2. Oscilador armónico.
Figura 1.35: Oscilador armónico simple.
Usando la coordenada generalizada x, tenemos
T = 1 2 mẋ2 , V = 1 2 kx2 , (1.209)
L = T − V = 1 2 mẋ2 − 1 2 kx2 . (1.210)

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.49
La ecuación de Lagrange para x es
d
dt
( ∂L
∂ẋ
)
− ∂L = 0. (1.211)
∂x
Calculamos
Luego, obtenemos
∂L
∂ẋ = mẋ ;
∂L
∂x
= −kx. (1.212)
mẍ + kx = 0,
ẍ + ω 2 x = 0, (1.213)
donde ω 2 ≡ k/m.
3. Partícula libre.
La condición de estar libre significa que no hay fuerza neta sobre la partícula,
F = −∇V = 0. Luego, V = constante para una partícula libre.
a) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas es
Las ecuaciones de Lagrange
conducen a
d
dt
L = T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ). (1.214)
( ∂L
∂ẋ i
)
− ∂L
∂x i
= 0, i = 1, 2, 3, (1.215)
∂L
∂ẋ i
= mẋ i = constante, (1.216)
que expresan la conservación de la componente i del momento lineal de la partícula.
b) Lagrangiano en coordenadas esféricas.
Figura 1.36: Coordenadas esféricas para una partícula.

50
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Las coordenadas se expresan como
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ.
(1.217)
Las velocidades son
ẋ = ṙ sin θ cos ϕ + r ˙θ cos θ cos ϕ − r ˙ϕ sin θ sin ϕ
ẏ = ṙ sin θ sin ϕ + r ˙θ cos θ sin ϕ + r ˙ϕ sin θ cos ϕ
ż = ṙ cos θ − r ˙θ sin θ.
(1.218)
Substitución en L da
L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ˙θ2 + r 2 ˙ϕ 2 sin 2 θ). (1.219)
4. Partícula en el campo gravitacional terrestre.
Figura 1.37: Partícula en el campo gravitacional terrestre..
El movimiento en el campo gravitacional uniforme de la Tierra ocurre en un plano
vertical; i.e., s = 2. Tomamos las coordenadas cartesianas (x, y) como coordenadas
generalizadas. Supongamos que la partícula posee posición inicial (x o , y o ) y
velocidad inicial (v ox , v oy ). Entonces,
La ecuación de Lagrange para x es
la cual resulta en
T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ), V = mgy (1.220)
L = T − V = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) − mgy. (1.221)
d
dt
( ∂L
∂ẋ
)
− ∂L = 0, (1.222)
∂x
mẍ = 0 ⇒ ẍ = 0 (1.223)
⇒ x = b 1 t + b 2 , (1.224)

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.51
con b 1 y b 2 constantes. Usando las condiciones iniciales en t = 0, obtenemos
La ecuación de Lagrange para y es
lo que conduce a
d
dt
x(t) = x o + v ox t. (1.225)
( ∂L
∂ẏ
)
− ∂L = 0, (1.226)
∂y
mÿ + mg = 0 ⇒ ÿ = −g (1.227)
Usando las condiciones iniciales, podemos expresar
⇒ y = − 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 . (1.228)
y(t) = y o + v oy t − 1 2 gt2 (1.229)
La trayectoria descrita por la partícula es una parábola,
y(x) = y o + v oy
(x − x o ) −
g (x − x o ) 2 . (1.230)
v ox
2v 2 ox
La trayectoria parabólica corresponde a la minima acción; mientras que la cicloide
corresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.
5. Partícula moviéndose sobre un cono invertido en el campo gravitacional terrestre.
Figura 1.38: Partícula moviéndose sobre un cono invertido.
Coordenadas generalizadas son q 1 = ϕ y q 2 = r. Entonces,
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z = r cot α.
Las velocidades correspondientes son
ẋ = ṙ cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ
ẏ = ṙ sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ
ż = ṙ cot α.
(1.231)
(1.232)

52
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Energía cinética,
Energía potencial,
T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 )
Por lo tanto, el Lagrangiano L = T − V es
La ecuación de Lagrange para ϕ es
donde
Luego,
= 1 2 m[ṙ2 (1 + cot 2 α) + r 2 ˙ϕ 2 ]
= 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r ˙ϕ 2 ). (1.233)
V = mgz = mgr cot α. (1.234)
L = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙ϕ 2 ) − mgr cot α. (1.235)
d
dt
( ∂L
∂ ˙ϕ
)
− ∂L = 0, (1.236)
∂ϕ
∂L
= 0, (1.237)
∂ϕ
∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = cte ≡ l z . (1.238)
La cantidad constante es la componente l z del momento angular en términos de
las coordenadas generalizadas, lo que se puede verificar calculando la componente
cartesiana l z = m(xẏ − yẋ), y usando las Ecs. (1.231) y (1.232). La componente
l z se conserva porque la componente τ z del vector de torque total producido por
las fuerzas actuantes sobre la partícula (su peso y la fuerza normal ejercida por la
superficie del cono) es cero.
La ecuación de Lagrange para r es
d
dt
( ∂L
∂ṙ
)
− ∂L = 0, (1.239)
∂r
donde
Luego,
∂L
∂r = mr ˙ϕ2 − mg cot α,
∂L
∂ṙ = mṙ csc2 α. (1.240)
¨r csc 2 α − r ˙ϕ 2 + g cot α = 0, (1.241)
¨r − r ˙ϕ 2 sin 2 α + g sin α cos α = 0. (1.242)

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.53
6. Péndulo doble.
Consiste en un péndulo de longitud l 1 y masa m 1 , del cual cuelga un segundo
péndulo de longitud l 2 y masa m 2 .
Figura 1.39: Péndulo doble.
Coordenadas generalizadas son q 1 = θ 1 , q 2 = θ 2 . Luego,
x 1 = l 1 sin θ
y 1 = −l 1 cos θ
⇒ ẋ 1 = l 1 ˙θ1 cos θ 1
⇒ ẏ 1 = l 1 ˙θ1 sin θ 1
(1.243)
x 2 = l 1 sin θ + l 2 sin θ 2
y 2 = −l 1 cos θ − l 2 cos θ 2
⇒ ẋ 2 = l 1 ˙θ1 cos θ 1 + l 2 ˙θ2 cos θ 2
⇒ ẏ 2 = l 1 ˙θ1 sin θ 1 + l 2 ˙θ2 sin θ 2
(1.244)
La energía cinética de partícula 1 es
La energía cinética de partícula 2 es
T 1 = 1 2 m 1v 2 1 = 1 2 m 1(ẋ 2 1 + ẏ 2 1) = 1 2 m 1l 2 1 ˙θ 2 1. (1.245)
T 2 = 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 m 2(ẋ 2 2 + ẏ 2 2)
= 1 2 m 2[l 2 1 ˙θ 2 1 + l 2 2 ˙θ 2 2 + 2l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 (cos θ 1 cos θ 2 + sin θ 1 sin θ 2 )]
= 1 2 m 2[l 2 1 ˙θ 2 1 + l 2 2 ˙θ 2 2 + 2l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 cos(θ 1 − θ 2 )]. (1.246)
Las energías potenciales de las partículas se pueden expresar como
V 1 = m 1 gy 1 = −m 1 gl 1 cos θ 1 (1.247)
V 2 = m 2 gy 2 = −m 2 g(l 1 cos θ 1 + l 2 cos θ 2 ). (1.248)
La energía cinética del sistema es T = T 1 +T 2 y la energía potencial es V = V 1 +V 2 .
El Lagrangiano del sistema es L = T − V , lo que conduce a
L = 1 2 (m 1 + m 2 )l 2 1 ˙θ 2 1 + 1 2 m 2l 2 2 ˙θ 2 2 + m 2 l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 cos(θ 1 − θ 2 )
+ (m 1 + m 2 )gl 1 cos θ 1 + m 2 gl 2 cos θ 2 . (1.249)

54
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ecuación de Lagrange para θ 1 ,
donde
d
dt
d
dt
( ∂L
∂ ˙θ 1
)
− ∂L
∂θ 1
= 0, (1.250)
∂L
∂θ 1
= −m 2 l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 sin(θ 1 − θ 2 ) − (m 1 + m 2 )gl 1 sin θ 1
∂L
∂ ˙θ 1
= (m 1 + m 2 )l1 2 ˙θ 1 + m 2 l 1 l 2 ˙θ2 cos(θ 1 − θ 2 )
( ∂L
∂ ˙θ 1
)
= (m 1 + m 2 )l 2 1 ¨θ 1 + m 2 l 1 l 2 [¨θ 2 cos(θ 1 − θ 2 ) − ˙θ 2 ( ˙θ 1 − ˙θ 2 ) sin(θ 1 − θ 2 ].
Por lo tanto, la ecuación de Lagrange para θ 1 queda
(m 1 +m 2 )l 2 1 ¨θ 1 +m 2 l 1 l 2 ¨θ2 cos(θ 1 −θ 2 )+m 2 l 1 l 2 ˙θ2 2 sin(θ 1 −θ 2 )+(m 1 +m 2 )gl 1 sin θ 1 = 0.
(1.251)
Ecuación de Lagrange para θ 2 es
donde
d
dt
d
dt
( ∂L
∂ ˙θ 2
)
− ∂L
∂θ 2
= 0, (1.252)
∂L
∂θ 2
= m 2 l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 sin(θ 1 − θ 2 ) − m 2 gl 2 sin θ 2
∂L
∂ ˙θ 2
= m 2 l2 2 ˙θ 2 + m 2 l 1 l 2 ˙θ1 cos(θ 1 − θ 2 )
( ∂L
∂ ˙θ 2
)
= m 2 l 2 2 ¨θ 2 + m 2 l 1 l 2 [¨θ 1 cos(θ 1 − θ 2 ) − ˙θ 1 ( ˙θ 1 − ˙θ 2 ) sin(θ 1 − θ 2 ].
Luego, la ecuación de Lagrange para θ 2 queda
m 2 l 2 2 ¨θ 2 + m 2 l 1 l 2 ¨θ1 cos(θ 1 − θ 2 ) − m 2 l 1 l 2 ˙θ2 1 sin(θ 1 − θ 2 ) + m 2 gl 2 sin θ 2 = 0. (1.253)
Despejando ¨θ 1 y ¨θ 2 , las ecuaciones de Lagrange para θ 1 y θ 2 se pueden expresar
como
¨θ 1 = g(sin θ 2 cos ∆θ − µ sin θ 1 ) − (l 2 ˙θ2 2 + l 1 ˙θ2 1 cos ∆θ) sin ∆θ
l 1 (µ − cos 2 ∆θ)
¨θ 2 = gµ(sin θ 1 cos ∆θ − sin θ 2 ) − (µl 1 ˙θ2 1 + l 2 ˙θ2 2 cos ∆θ) sin ∆θ
l 2 (µ − cos 2 ∆θ)
(1.254)
, (1.255)
donde ∆θ ≡ θ 1 − θ 2 , y µ ≡ 1 + m 1 /m 2 . Las ecuaciones de movimiento del péndulo
doble son no lineales y acopladas para θ 1 y θ 2 .

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.55
7. Péndulo con soporte deslizante horizontalmente sin fricción.
Figura 1.40: Péndulo con soporte deslizante.
Coordenadas generalizadas son q 1 = x 1 y q 2 = θ.
x 2 = x 1 + l sin θ, ẋ 2 = ẋ 1 + l ˙θ cos θ
y 2 = −l cos θ, ẏ 2 = l ˙θ sin θ.
Energía cinética,
T = 1 2 m 1ẋ 2 1 + 1 2 m 2(ẋ 2 1 + l 2 ˙θ2 + 2ẋ 1 ˙θl cos θ). (1.256)
Energía potencial,
V = m 2 gy 2 = −m 2 gl cos θ. (1.257)
Lagrangiano,
L = T − V = 1 2 (m 1 + m 2 )ẋ 2 1 + 1 2 m 2(l 2 ˙θ2 + 2ẋ 1 ˙θl cos θ) + m2 gl cos θ. (1.258)
Ecuación de Lagrange para x 1 ,
donde
∂L
∂x 1
= 0,
d
dt
Luego, la ecuación para x 1 queda
( ∂L
∂ẋ 1
)
− ∂L
∂x 1
= 0, (1.259)
∂L
∂ẋ 1
= (m 1 + m 2 )ẋ 1 + m 2 ˙θl cos θ. (1.260)
(m 1 + m 2 )ẋ 1 + m 2 l ˙θ cos θ = cte ≡ P x , (1.261)
esta ecuación expresa la conservación de la componente P x del momento lineal total
en dirección del eje x, puesto que no hay fuerzas netas en esa dirección.
Ecuación de Lagrange para θ,
d
dt
( ∂L
∂ ˙θ
)
− ∂L = 0, (1.262)
∂θ

56
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde
∂L
∂θ = −m 2lẋ 1 ˙θ sin θ − m2 gl sin θ;
Por lo tanto, la ecuación de Lagrange para θ es
∂L
∂ ˙θ = m 2ẋ 1 l cos θ + m 2 l 2 ˙θ. (1.263)
l¨θ + ẍ 1 cos θ − ẋ 1 ˙θ sin θ + ẋ1 ˙θ sin θ + g sin θ = 0, (1.264)
8. Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.
l¨θ + ẍ 1 cos θ + g sin θ = 0. (1.265)
Figura 1.41: Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.
Un punto cualquiera en el aro puede ubicarse con dos coordenadas, x y θ, las
cuales están ligadas por una restricción no holonómica, que es la condición de
rodar sin deslizar: ẋ = R ˙θ. Luego, hay un grado de libertad; se puede escoger como
coordenada generalizada a x ó a θ.
La energía cinética del aro es
donde T cm es la energía cinética de translación,
y T
rel. ′ al CM
es la energía cinética de rotación,
La energía potencial es
Entonces, el Lagrangiano es
T = T cm + T ′ relativa al CM (1.266)
T cm = 1 2 mẋ2 , (1.267)
T ′ rel. al CM = 1 2 I ˙θ 2 = 1 2 (mR2 ) ˙θ 2 = 1 2 mR2 ˙θ2 . (1.268)
V = mgh = mg(l − x) sin α. (1.269)
L = T − V = 1 2 mẋ2 + 1 2 mR2 ˙θ2 − mg(l − x) sin α. (1.270)

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.57
Sustituyendo ˙θ = ẋ/R en L, obtenemos
L = mẋ 2 + mgx sin α − mgl sin α. (1.271)
El término constante mgl sin α se puede suprimir en L, pues no afecta las ecuaciones
de movimiento. La ecuación de Lagrange para x es
( )
d ∂L
− ∂L
dt ∂ẋ ∂x = 0 (1.272)
donde
∂L
∂x
= mg sin α,
∂L
∂ẋ
= 2mẋ. (1.273)
Luego,
ẍ − g sin α = 0. (1.274)
2
El aro baja por el plano rodando sin deslizar, con la mitad de la aceleración que
tendría si simplemente deslizara sin fricción.
9. Péndulo de longitud l y masa m cuyo soporte gira en un circulo de radio a en un
plano vertical, con velocidad angular constante ω.
Figura 1.42: Péndulo con soporte en movimiento circular uniforme.
Expresamos φ = ωt. Luego,
x = a cos ωt + l sin θ, ẋ = −ωa sin ωt + l ˙θ cos θ (1.275)
y = a sin ωt − l cos θ, ẏ = ωa cos ωt + l ˙θ sin θ. (1.276)
Energía cinética,
T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 m[a2 ω 2 + l 2 ˙θ2 + 2aωl ˙θ(sin θ cos ωt − cos θ sin ωt)]. (1.277)
Energía potencial,
El Lagrangiano es
V = mgy = mg(a sin ωt − l cos θ). (1.278)
L = T − V = 1 2 m[l2 ˙θ2 + 2aωl ˙θ sin(θ − ωt)] + mgl cos θ, (1.279)

58
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde hemos omitido términos constantes (a 2 ω 2 ) y la derivada total df = mga sin ωt,
dt
con f = − mga cos ωt.
ω
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L = 0. (1.280)
∂θ
donde
∂L
∂θ
∂L
(
∂
) ˙θ
d ∂L
dt ∂ ˙θ
= maωl ˙θ cos(θ − ωt) − mgl sin θ,
= ml 2 ˙θ + maωl sin(θ − ωt),
= ml 2 ¨θ + maωl( ˙θ − ω) cos(θ − ωt).
Sustituyendo en la ecuación de Lagrange para θ, obtenemos
l 2 ¨θ + aωl ˙θ cos(θ − ωt) − aω 2 l cos(θ − ωt) − aωl ˙θ cos(θ − ωt) + gl sin θ = 0, (1.281)
lo cual queda como
¨θ − aω2
l
cos(θ − ωt) + g sin θ = 0. (1.282)
l
Note que si ω = 0, la Ec. (1.282) corresponde a la ecuación de movimiento de un
péndulo simple.
En este sistema, ∂V ≠ 0, por lo que la energía total E = T + V no se conserva;
∂t
se requiere un suministro continuo de energía para mantener girando el soporte del
péndulo con velocidad angular ω constante.
10. Péndulo de resorte.
Figura 1.43: Péndulo de resorte.

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.59
El movimiento de la partícula ocurre en el plano vertical (x, y). Definimos k como
la constante del resorte, l es la longitud del resorte en reposo (en ausencia de la
masa m), y r es la longitud del resorte con la masa m.
Las coordenadas generalizadas son q 1 = r y q 2 = θ. Entonces,
x = r sin θ
y = −r cos θ,
ẋ = r ˙θ cos θ + ṙ sin θ
ẏ = r ˙θ sin θ − ṙ cos θ.
(1.283)
La energía cinética es
T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ˙θ2 ). (1.284)
La energía potencial es
Entonces, el Lagrangiano es
V = 1 2 k(r − l)2 − mgr cos θ. (1.285)
L = T − V = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ˙θ2 ) − 1 2 k(r − l)2 + mgr cos θ. (1.286)
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L = 0, (1.287)
∂θ
la cual se puede escribir como
La ecuación de Lagrange para r es
que da como resultado,
r¨θ + 2ṙ ˙θ + g sin θ = 0. (1.288)
d
dt
( ∂L
∂ṙ
)
− ∂L = 0, (1.289)
∂r
¨r − r ˙θ 2 + k (r − l) − g cos θ = 0. (1.290)
m

60
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
11. El soporte de un péndulo plano de masa m y longitud l rota sin fricción con velocidad
angular uniforme ω alrededor del eje vertical z.
a) Encontrar la ecuación de movimiento del péndulo.
b) Encontrar el ángulo de equilibrio del péndulo.
Figura 1.44: Péndulo con soporte giratorio.
La coordenada generalizada es q = θ.
a) Para encontrar la ecuación de movimiento, expresamos
x = l sin θ cos ωt,
y = l sin θ sin ωt,
z = −l cos θ,
(1.291)
y las velocidades
La energía cinética es
ẋ = l ˙θ cos θ cos ωt − lω sin θ sin ωt
ẏ = l ˙θ cos θ sin ωt + lω sin θ cos ωt
ż = l ˙θ sin θ.
(1.292)
T = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) = 1 ( )
2 ml2 ˙θ2 + ω 2 sin 2 θ . (1.293)
La energía potencial correspondiente es
El Lagrangiano es
V = mgz = −mgl cos θ. (1.294)
L = T − V = 1 ( )
2 ml2 ˙θ2 + ω 2 sin 2 θ + mgl cos θ . (1.295)
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L = 0, (1.296)
∂θ

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.61
la cual resulta en
¨θ − ω 2 sin θ cos θ + g l
sin θ = 0 . (1.297)
b) En los puntos de equilibrio, las fuerzas netas se anulan y las coordenadas generalizadas
q j satisfacen la condición ¨q j = 0 (aceleración se hace cero).
El ángulo de equilibrio θ o del péndulo está dado por la condición ¨θ = 0 en la
ecuación de movimiento,
Hay dos posibles soluciones,
12. Regulador volante.
¨θ = 0 ⇒ ω 2 sin θ o cos θ o = g l sin θ o (1.298)
sin θ o = 0 ⇒ θ o = 0, (1.299)
ω 2 cos θ 0 = g ( l ⇒ θ o = cos −1 g
)
ω 2 . (1.300)
l
Figura 1.45: Regulador volante.
El punto O en extremo superior está fijo. La longitud a de la varilla es constante.
La masa m 2 se mueve sin fricción sobre el eje vertical y que pasa por el punto
O, mientras que las masas dos masas m 1 giran con velocidad angular constante ω
alrededor del eje y.
Las coordenadas para m 2 son
x 2 = 0
y 2 = −2a cos θ
z 2 = 0
(1.301)
Las coordenadas para una de las masas m 1 son
y 1 = −a cos θ,
x 1 = a sin θ sin ωt,
z 1 = a sin θ cos ωt.
(1.302)

62
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Coordenadas para la otra masa m 1 ,
y 1 ′ = y 1 ,
x ′ 1 = −x 1 ,
z 1 ′ = −z 1 .
(1.303)
Hay un solo grado de libertad. Se puede tomar la coordenada generalizada q = θ.
Tenemos,
T = 1 2 2m 1(ẋ 2 1 + ẏ 2 1 + ż 2 1) + 1 2 m 2ẏ 2 2
= m 1 (a 2 ˙θ2 + ω 2 a 2 sin 2 θ) + 2m 2 a 2 ˙θ2 sin 2 θ.
V = 2m 1 gy 1 + m 2 gy 2 = −2m 1 ga cos θ − 2m 2 ga cos θ.
L = T − V = m 1 (a 2 ˙θ2 + ω 2 a 2 sin 2 θ) + 2m 2 a 2 ˙θ2 sin 2 θ + 2(m 1 + m 2 )ga cos θ.
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L = 0, (1.304)
∂θ
donde
∂L
(
∂
) ˙θ
d ∂l
dt ∂ ˙θ
∂L
∂θ
= 2m 1 a 2 ˙θ + 4m2 a 2 ˙θ sin 2 θ,
= 2m 1 a 2 ¨θ + 4m2 a 2 (¨θ sin 2 θ + 2 ˙θ 2 sin θ cos θ),
= 2m 1 ω 2 a 2 sin θ cos θ + 4m 2 a 2 ˙θ2 sin θ cos θ − 2(m 1 + m 2 )ga sin θ,
Sustituyendo en la ecuación de Lagrange, obtenemos
2¨θa 2 (m 1 + 2m 2 sin 2 θ) + 4m 2 a 2 ˙θ2 sin θ cos θ (1.305)
−2m 1 ω 2 a 2 sin θ cos θ + 2(m 1 + m 2 )ga sin θ = 0,
Note que si ω = 0 y m 2 = 0, la ecuación se reduce a
que es la ecuación del péndulo simple.
¨θ + g sin θ = 0, (1.306)
a
13. Encuentre la ecuación de movimiento de una partícula de masa m que se mueve en
una dimensión x, cuyo Lagrangiano es
L = 1 2 m(ẋ2 − ω 2 x 2 )e γt , (1.307)
donde las constantes γ y ω son cantidades reales y positivas.

1.6. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS.63
La ecuación de Lagrange es
d
dt
( ) ∂L
− ∂L = 0, (1.308)
∂ẋ ∂x
donde
lo que conduce a
∂L
∂ẋ = meγt ẋ,
∂L
∂x = −mω2 xe γt , (1.309)
ẍ + ω 2 x + γẋ = 0, (1.310)
que es la ecuación de un oscilador armónico amortiguado. La fuerza restauradora
es −mω 2 x y la fuerza de fricción proporcional a la velocidad es −γmẋ. Note que
T = 1 2 mẋ2 e γt , V = 1 2 mω2 x 2 e γt . (1.311)
La energía mecánica total no se conserva en este sistema, puesto que ∂V
∂t ≠ 0.

64
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
1.7. Problemas
1. El principio de Fermat establece que la propagación de la luz entre dos puntos
dados sigue la trayectoria de mínimo tiempo.
a) Determine la trayectoria de un rayo de luz dentro de un disco cristalino de radio
a, grosor despreciable, y cuyo índice de refracción n varia radialmente como
a) n(r) = a/r.
b) n(r) = a/r 2 .
c) Encuentre n(r) tal que un rayo de luz dentro de este disco describa una trayectoria
circular.
2. Calcule la trayectoria que da la distancia más corta entre dos puntos sobre la
superficie de un cono invertido, con ángulo de vértice α. Use coordenadas cilíndricas.
3. Determine la curva y(x) para la cual alcanza su valor extremo la integral I =
[
(y ′ ) 2 − y 2] dx, tal que y(0) = 0, y(π/2) = 1.
∫ π/2
0
4. Calcule el valor mínimo de la integral
I =
∫ 1
0
[
(y ′ ) 2 + 12xy ] dx,
donde la función y(x) satisface y(0) = 0 y y(1) = 1.
5. En los páramos andinos se encuentra el pueblo A y, a una distancia de 2π Km
al este de A, está el pueblo B. El terreno entre estos dos pueblos es muy irregular
y no hay carreteras asfaltadas. Sin embargo, la experiencia ha indicado que
la velocidad de un ciclista en bicicleta montañera en esa zona se puede expresar
aproximadamente como v = 10(Km/h) e y/3 , donde y es la distancia en Km medida
perpendicularmente a la línea recta que une A y B. ¿Cuál es el mínimo tiempo que
tardaría un ciclista entre los pueblos A y B.
6. La forma adoptada por una cuerda uniforme de densidad ρ que cuelga suspendida
entre dos puntos en un campo gravitacional corresponde al mínimo de su energía
potencial. Determine esa forma.

1.7. PROBLEMAS 65
7. Encuentre la geodésica (i.e. la trayectoria de menor distancia) entre los puntos
P 1 = (a, 0, 0) y P 2 = (−a, 0, π) sobre la superficie x 2 +y 2 −a 2 = 0. Use coordenadas
cilíndricas.
8. Un cuerpo se deja caer desde una altura h y alcanza el suelo en un tiempo T . La
ecuación de movimiento concebiblemente podría tener cualquiera de las formas
y = h − g 1 t, y = h − 1 2 g 2t 2 , y = h − 1 4 g 3t 3 ;
donde g 1 , g 2 , g 3 son constantes apropiadas. Demuestre que la forma correcta es
aquella que produce el mínimo valor de la acción.
9. El Lagrangiano de una partícula de masa m es
L = m2 ẋ 4
12
+ mẋ 2 f(x) − f 2 (x),
donde f(x) es una función diferenciable de x. Encuentre la ecuación de movimiento.
10. Encuentre la ecuación de movimiento de un péndulo paramétrico, el cual consiste en
un péndulo de masa m cuya longitud se hace variar de la forma l = l o (1 + b sin ωt).
11. Una varilla de peso despreciable está suspendida de un extremo, de modo que puede
oscilar en un plano vertical. Una partícula de masa m se desliza sin fricción a lo
largo de la varilla.
a) Encuentre la energía de la partícula.
b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partícula.
12. Una partícula de masa m se mueve sin fricción sobre un aro de radio R, el cual gira
con velocidad angular uniforme ω alrededor de su diámetro vertical.
a) Derive la ecuación de movimiento de la partícula.
b) Encuentre la posición de equilibrio de la partícula.
13. Una partícula de masa m se desliza sin fricción sobre un aro de radio a, el cual rota
con velocidad angular constante ω alrededor de su diámetro horizontal. ¿Cuál es la
ecuación de movimiento de la partícula.

66
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
14. Obtenga las ecuaciones de movimiento de un péndulo esférico, es decir, una partícula
de masa m suspendida de una varilla rígida, sin peso y sin fricción, cuya longitud
es l
15. Un aro de radio R y masa despreciable cuelga de un punto de su borde de modo que
puede oscilar en su plano vertical. Una partícula de masa m se desliza sin fricción
sobre el aro. Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partícula.
16. Un péndulo compuesto está formado por una varilla de masa despreciable y longitud
l, con un extremo fijo y el otro conectado al punto medio de una segunda varilla sin
masa de longitud a, (a < l), en cuyos extremos hay dos masas m 1 y m 2 . Las varillas
pueden rotar sin fricción en un mismo plano vertical. Encuentre las ecuaciones de
movimiento de este sistema.
17. Un sistema consiste en una partícula de masa m que se mueve verticalmente colgada
de un resorte de constante k y de la cual cuelga a su vez un péndulo de longitud l y
masa m. Desprecie la masa de la varilla del péndulo y considere que éste se mueve
en un plano vertical. Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.
18. Encuentre la ecuación de movimiento para el parámetro angular θ en el problema
de la braquistocrona.
19. Una manera de simular gravedad en una nave espacial es mediante rotación. Considere
un péndulo de longitud l y masa m dentro de una nave, y cuyo soporte gira
en un círculo de radio R con velocidad angular constante ω en el mismo plano del
péndulo. Calcule ω tal que el ángulo θ con respecto a la dirección radial describa
el mismo movimiento que tendría este péndulo colgado verticalmente de un punto
fijo en el campo gravitacional terrestre.

1.7. PROBLEMAS 67
20. Una partícula de masa m y carga q 1 se mueve sin fricción sobre la superficie de una
esfera de radio R en el campo gravitacional terrestre. Otra carga q 2 se encuentra
fija en el punto más bajo de la esfera.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la primera carga.
b) Encuentre la posición de equilibrio de la primera carga.
21. Una masa m unida a una cuerda se mueve sin fricción sobre una mesa tal que el
otro extremo de la cuerda pasa a través de un agujero en la mesa y está halado por
alguien. Inicialmente, la masa se mueve en un círculo, con energía E. La cuerda es
halada a continuación, hasta que el radio del círculo se reduce a la mitad. ¿Cuánto
trabajo se hizo sobre la masa.
22. Una partícula de masa m y carga q se desliza sin fricción sobre una varilla de masa
despreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un extremo fijo. En
el extremo fijo de la varilla hay una carga puntual fija −q, la cual está conectada a
la partícula móvil mediante un resorte de constante k.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partícula.
b) Calcule la energía del sistema.
23. Una cuerda de masa despreciable pasa a través una polea fija y soporta una masa
2m en un extremo. En el otro extremo de la cuerda se encuentra una masa m y,
colgando de ésta por medio de un resorte de constante k, hay otra masa m.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Encuentre la posición de la masa que cuelga del resorte en función del tiempo.

68
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
24. Dos masas, m 1 y m 2 , están conectadas por una cuerda de longitud l a través de
un agujero en el vértice de un cono vertical con ángulo de vértice α, de manera
que m 1 se mueve sobre la superficie interior del cono y m 2 cuelga verticalmente.
Desprecie la fricción.
a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Calcule el radio de equilibrio de m 1 .
25. Una partícula de masa m está atada a una cuerda de masa despreciable fija a un
cilindro de radio R. La partícula se puede mover sobre un plano horizontal sin
fricción. Inicialmente, la cuerda se encuentra totalmente enrollada alrededor del
cilindro, de modo que la partícula toca al cilindro. Se le da un impulso radial a
la partícula, tal que ésta adquiere una velocidad inicial v 0 y la cuerda comienza a
desenrrollarse.
a) Encuentre la ecuación de movimiento en términos de una coordenada generalizada
apropiada.
b) Encuentre la solución que satisface las condiciones iniciales.
c) Calcule el momento angular de la partícula con respecto al eje del cilindro,
usando el resultado de (b).
26. Una partícula de masa m 1 cuelga de una varilla de masa despreciable y longitud l,
cuyo punto de soporte consiste en otra partícula de masa m 2 que se mueve horizontalmente
sujeta a dos resortes de constante k cada uno. Encuentre las ecuaciones
de movimiento.
27. Un aro uniforme de radio a y masa m rueda sin deslizar dentro de un cilindro fijo
de radio R, (R > a). Encuentre el período para pequeñas oscilaciones del aro.

1.7. PROBLEMAS 69
28. Una partícula de masa m se desliza sin fricción por un cable recto muy largo, el
cual está conectado en un punto P perpendicularmente a una varilla de longitud
l, formando un plano vertical en el campo gravitacional terrestre. La varilla gira
con respecto a su otro extremo fijo O en el plano vertical, con velocidad angular
constante ω. Las masas de la varilla y del cable son despreciales.
a) ¿Se conserva la energía mecánica de la partícula.
b) Encuentre y resuelva la ecuación de movimiento de la partícula.

70
CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Capítulo 2
Leyes de conservación y
simetrías
2.1. Momento conjugado
Dado un sistema caracterizado por un Lagrangiano L(q j , q˙
j , t), se define la cantidad
p j ≡ ∂L
(2.1)
∂q˙
j
como el momento conjugado (o canónico) asociado a la coordenada generalizada q j .
La cantidad p j no tiene necesariamente unidades de momento lineal; puede también
corresponder a momento angular u a otras cantidades.
Si un Lagrangiano L de un sistema no contiene explícitamente una coordenada q j
(puede contener q˙
j , t), se dice que q j es una coordenada cíclica o ignorable.
Si q j es cíclica, entonces
∂L
= 0, (2.2)
∂q j
y la ecuación de Lagrange para una coordenada cíclica q j resulta en
( )
d ∂L
= dp j
= 0, (2.3)
dt ∂q˙
j dt
⇒ p j = cte. (2.4)
Es decir, el momento conjugado p j asociado a una coordenada ciclica q j es constante.
Luego, la cantidad p j = cte constituye una cantidad conservada, llamada también una
primera integral del movimiento.
En general, si el Lagrangiano de un sistema no depende explícitamente de una coordenada
que representa un desplazamiento en una dirección espacial dada, la componente
del momento lineal correspondiente a esa dirección se conserva.
71

72
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Similarmente, si un sistema posee un eje de simetría rotacional, o simetría axial,
entonces su Lagrangiano no depende explícitamente de la coordenada que describe el
ángulo de rotación alrededor de ese eje. Como consecuencia, la componente del momento
angular del sistema correspondiente a ese eje, se conserva.
Ejemplos.
1. El Lagrangiano de una partícula libre es
L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ). (2.5)
Las tres coordenadas cartesianas x j = {x, y, z} son cíclicas, puesto que
∂L
∂x j
= 0. (2.6)
Los momentos conjugados correspondientes son p j = ∂L , i = 1, 2, 3. Luego,
∂x˙
j
p j = ∂L = mx˙
j = cte. (2.7)
∂x˙
j
Las tres componentes p x , p y , p z del momento lineal son constantes y, por lo tanto,
el momento lineal total de la partícula se conserva. Esto es consecuencia de la
ausencia de fuerza neta (o potencial constante o cero) en el sistema.
2. Partícula sobre un cono invertido.
Vimos en el Cap. 1 que el Lagrangiano de este sistema es
L(r, ϕ, ṙ, ˙ϕ, t) = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙ϕ 2 ) − mgr cot α. (2.8)
La coordenada ϕ, que representa el ángulo de rotación alrededor del eje z, es cíclica,
∂L
∂ϕ = 0 ⇒ p ϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = cte. (2.9)
El momento conjugado p ϕ asociado con la coordenada angular ϕ es constante.
Para identificar la cantidad constante p ϕ , consideremos el momento angular de la
partícula,
i j k
l = r × mv = m
x y z
∣ ẋ ẏ ż ∣ , (2.10)
donde
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ ,
(2.11)

2.2. TEOREMA DE NOETHER 73
Calculemos la componente z de l,
ẋ = ṙ cos ϕ − r ˙ϕ sin ϕ
ẏ = ṙ sin ϕ + r ˙ϕ cos ϕ .
(2.12)
l z = m(xẏ − yẋ) = mr 2 ˙ϕ. (2.13)
Luego, la cantidad conservada, p ϕ = mr 2 ˙ϕ ≡ l z , es la componente z del momento
angular de la partícula.
2.2. Teorema de Noether
Vimos en el Cap. 1 que las ecuaciones de movimiento son invariantes si el Lagrangiano
de un sistema se transforma mediante la adición de una derivada total de alguna función
f(q j , t) dependiente solamente de las coordenadas y del tiempo.
Sea
∫ t2
S = L dt (2.14)
t 1
la acción correspondiente a un Lagrangiano L. Consideremos la transformación
L ′ = L + df(q j, t)
dt
. (2.15)
La acción asociada con L ′ es
∫ t2
∫ t2
∫ t2
( ) df
S ′ = L ′ dt = L dt + dt
t 1 t 1 t 1
dt
= S + [f(q j (t 2 ), t 2 ) − f(q j (t 1 ), t 1 )] = S + cte. (2.16)
Luego,
δS = δS ′ . (2.17)
El principio de mínima acción implica δS = δS ′ = 0. Luego, las ecuaciones de Lagrange
derivadas de este principio usando L o L ′ , tienen la misma forma; es decir, son invariantes
ante la transformación (2.15).
Una transformación infinitesimal L → L ′ = L + δL que no modifica las ecuaciones de
movimiento representa una simetría del sistema (también llamada simetría de la acción).
Se dice que la acción es invariante bajo tal transformación.
Teorema de Noether en Mecánica Clásica.
Si la acción de un sistema con Lagrangiano L(q j , ˙q j , t) is invariante bajo
la transformación infinitesimal de coordenadas q j ′ = q j + δq j que cambia el
Lagrangiano a L ′ = L+δL, tal que δL = df(qj,t) , para alguna función f(q j , t),
entonces la cantidad
J =
s∑
j=1
dt
∂L
δq j − f (2.18)
∂q˙
j

74
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
constituye una cantidad conservada asociada a esa transformación. La función
J se denomina corriente de Noether.
Demostración:
La transformación q ′ j = q j + δq j (donde t es fijo, δt = 0) produce la siguiente
variación δL en el Lagrangiano L(q j , ˙q j , t),
δL(q j , ˙q j , t) =
s∑
j=1
∂L
∂q j
δq j +
Usando las ecuaciones de Lagrange, tenemos
s∑ d
δL =
dt
j=1
⎛
= d s∑
⎝
dt
j=1
( ∂L
∂ ˙q j
)
δq j +
s∑
j=1
s∑
j=1
∂L
δ ˙q j . (2.19)
∂q˙
j
∂L d
∂q˙
j dt (δq j)
⎞
∂L
δq j
⎠ . (2.20)
∂ ˙q j
Según el teorema, la variación δL se puede escribir δL = df(q j, t)
; luego
dt
⎛ ⎞
d
s∑
⎝
∂L
δq j
⎠ = df(q j, t)
dt ∂ ˙q
j=1 j dt
⎛
⎞
⇒ d s∑
⎝
∂L
δq j − f⎠ = 0
dt ∂ ˙q
j=1 j
⎛
⎞
s∑
⇒ J ≡ ⎝
∂L
δq j − f⎠ = cte. (2.21)
∂ ˙q j
j=1
Figura 2.1: Emily Noether (1882-1935).

2.2. TEOREMA DE NOETHER 75
El Teorema de Noether establece que a cada simetría que posee un sistema, le corresponde
una cantidad conservada. Las simetrías y sus cantidades conservadas asociadas
permiten conocer propiedades de un sistema y hacer predicciones sobre el comportamiento
del mismo, sin necesidad de obtener soluciones exactas de las ecuaciones de movimiento
del sistema (las cuales pueden ser dificiles de encontrar en muchos casos). Las ecuaciones
de movimiento son ecuaciones diferenciales de segundo orden en el tiempo para las q j ,
mientras que las cantidades conservadas J contienen derivadas de primer orden para las
q j , en principio posibles de resolver si existen suficientes simetrías en el sistema.
El Teorema de Noether se extiende también a Mecánica Cuántica, Electromagnetismo,
Teorías de Campos, etc., y tiene una importancia fundamental en la Física.
Ejemplos.
1. Consideremos una partícula en movimiento vertical en el campo gravitacional terrestre,
con condiciones inciales y(0) = y o y ẏ(0) = v o . El Lagrangiano es
L = 1 2 mẏ2 − mgy. (2.22)
La transformación de coordenadas y ′ = y + δy con δy = cte, equivale a sumar una
constante a la energía potencial y deja invariante la ecuación de movimiento. El
cambio en L es
δL = ∂L ∂L
0
δy +
∂y ∂ẏ ✒ δẏ = −mgy δy. (2.23)
Escribimos
δL = df
(2.24)
dt
⇒ f = −mgt δy. (2.25)
Luego, la cantidad conservada J es
lo que conduce a una ecuación de primer orden
de donde obtenemos
J = ∂L δy − f = cte (2.26)
∂ẏ
⇒ mẏ δy + mgy δy = cte, (2.27)
y donde hemos usado las condiciones inciales dadas.
ẏ = c − gt, (2.28)
ẏ(t) = v o − gt (2.29)
y(t) = y o + v o t − 1 gt, (2.30)
2

76
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
2.3. Conservación del momento lineal y homogeneidad
del espacio
Como una aplicación del Teorema de Noether, demostraremos la relación entre la
conservación del momento lineal y la homogeneidad del espacio; es decir, la simetría de
traslación en un sistema.
Consideremos como ejemplo el Lagrangiano de una partícula libre, de masa m, moviéndose
con velocidad v = (ẋ, ẏ, ż),
L = 1 2 mv2 = 1 3∑
2 m ẋ 2 i . (2.31)
Supongamos la transformación infinitesimal r ′ = r + δr, donde δr = (δx 1 , δx 2 , δx 3 ) es
constante. Esto es
x ′ i = x i + δx i ,
ẋ ′ i = ẋ (2.32)
i (δẋ i = 0) .
i=1
Figura 2.2: Translación espacial infinitesimal.
Esta transformación corresponde a una translación espacial infinitesimal en una dirección
arbitraria, i.e., representa la homogeneidad del espacio. La variación del Lagrangiano
de la partícula libre bajo esta transformación resulta
δL =
3∑
i=1 ✓
0
∂L
✓ ✓✼ δx i +
∂x i
3∑
i=1
∂L
∂ẋ i
✚ ✚❃0 δẋ i = 0. (2.33)
Esta variación puede ponerse en la forma δL = df(qj,t)
dt
si escogemos f igual a una
constante c. La cantidad conservada J es
J =
3∑
j=1
∂L
∂ẋ j
δx j − f =
3∑
mẋ j δx j − c = cte (2.34)
j=1

2.4. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR E ISOTROPÍA DEL ESPACIO77
⇒
3∑
mẋ j δx j = cte (2.35)
j=1
Puesto que los δx j son constantes arbitrarias, esta expresión es constante sólo si cada
término en la suma; es decir, cada componente del momento lineal del sistema, es
constante,
mẋ j ≡ p j = cte , (2.36)
Luego, la homogeneidad del espacio implica la conservación del momento lineal total.
En un sistema donde existe simetría translacional en una dirección espacial específica,
la componente del momento lineal del sistema en esa dirección se conserva. Si q j = x j
(coordenada generalizada es una coordenada cartesiana) es cíclica, entonces
∂L
= 0 ⇒ p j = ∂L = cte. (2.37)
∂x j ∂x˙
j
Si una coordenada generalizada cartesiana no aparece explicitamente en L, la componente
del momento lineal asociada con esa coordenada es constante.
2.4. Conservación del momento angular e isotropía
del espacio
Isotropía espacial significa que las propiedades mecánicas de un sistema no varían
cuando éste es rotado en el espacio. El Teorema de Noether permite demostrar la relación
entre la isotropía del espacio y la conservación del momento angular de un sistema.
Consideremos una partícula en la posición r = (x, y, z). Supongamos una rotación
infinitesimal del vector r alrededor de un eje, manteniendo su magnitud y su origen O
fijo. Sea δϕ la magnitud constante del ángulo rotado y cuya dirección de rotación sobre
el eje está definida por la regla de la mano derecha.
Figura 2.3: Rotación infinitesimal δϕ = δϕẑ alrededor del eje z.

78
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
El vector de posición transformado es
r ′ = r + δr, (2.38)
donde el vector δr = (δx, δy, δz) tiene dirección perpendicular al plano (r, δϕ) y magnitud
δr = r sin θ δϕ, y donde θ es el ángulo entre δϕ y r. Luego, se puede expresar
y la rotación infinitesimal del vector r corresponde a
δr = δϕ × r , (2.39)
r ′ = r + δϕ × r. (2.40)
Si suponemos eje z como el eje de rotación, δϕ = δϕ ẑ. Luego,
i j k
δr = δϕ × r =
0 0 δϕ
∣ x y z ∣
(2.41)
de donde obtenemos,
y
δx =
δy =
δẋ =
δẏ =
−y δϕ
x δϕ,
−ẏ δϕ
ẋ δϕ,
(2.42)
(2.43)
con δz = δż = 0. Estas transformaciones representan una rotación infinitesimal del plano
(x, y) alrededor del eje z en un ángulo δϕ.
Como ejemplo, apliquemos esta transformación infinitesimal a una partícula libre de
masa m que se mueve sobre el plano (x, y), cuyo Lagrangiano es
L = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2) . (2.44)
La variación de L bajo la transformación infinitesimal de rotación resulta en
δL =
3∑
i=1 ✓
0
∂L
✓ ✓✼ δx i +
∂x i
3∑
i=1
∂L
∂ẋ i
δẋ i = −mẋẏ δϕ + mẏẋ δϕ = 0 (2.45)
Luego, δL = df(q j, t)
dt
implica que f = c=constante. La cantidad conservada J es
J =
3∑
j=1
∂L
∂ẋ j
δx j − f = m(−yẋ + xẏ)δϕ − c = cte; (2.46)
es decir,
m(xẏ − yẋ) ≡ l z = cte. (2.47)

2.5.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y HOMOGENEIDAD DEL TIEMPO 79
En general, si un sistema posee simetría rotacional alrededor de un eje (simetría
axial), se conserva la componente del momento angular en la dirección de ese eje. Si una
coordenada generalizada q j = ϕ es un ángulo que representa una rotación alrededor de
un eje y es cíclica, entonces
Si el eje de rotación es z, entonces p ϕ = l z = cte.
∂L
= ∂L
∂q j ∂ϕ = 0 ⇒ p ϕ = ∂L = cte. (2.48)
∂ ˙ϕ
2.5. Conservación de la energía y homogeneidad del
tiempo
Homogeneidad del tiempo significa que las propiedades mecánicas de un sistema no
dependen del intervalo de tiempo en el cual se observen. Esta simetría está relacionada
con la conservación de energía.
En un sistema homogéneo en el tiempo, L no depende explícitamente de t: L(q j , ˙q j );
luego ∂L
∂t = 0.
Calculemos el cambio total de L con respecto al tiempo en tal sistema:
dL
dt =
s∑
[ ∂L
q˙
j + ∂L ]
¨q j
∂q j ∂q˙
j
j=1
0
∂L
+ ✓ ✓✼
✓ ∂t . (2.49)
Sustituimos la ecuación de Lagrange, ∂L = d ( ) ∂L
,
∂q j dt ∂q˙
j
dL
dt = ∑ [ ( ) d ∂L
q˙
j + ∂L ]
¨q j
dt ∂q˙
j
j ∂q˙
j
⎡ ⎤
= ∑ ( )
d ∂L
q˙
j = d ⎣ ∑ ∂L
q˙
j
⎦ . (2.50)
dt ∂q˙
j
j dt ∂q˙
j j
Luego,
[
d ∑
dt
i
⇒ ∑ j
]
∂L
q˙
j − L
∂q˙
j
= 0 (2.51)
∂L
q˙
j − L = cte. (2.52)
∂q˙
j
Definimos la función de energía de un sistema como
E(q j , q˙
j ) ≡
s∑
j=1
∂L
q˙
j − L . (2.53)
∂q˙
j

80
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Luego, en sistemas homogéneos en el tiempo, la función de energía del sistema se conserva.
E(q j , q˙
j ) = cte. (2.54)
La función de energía se puede calcular para cualquier sistema, pero es constante sólo
si ∂L
∂t
= 0. Sistemas para los cuales E(q j, q˙
j ) es constante, se llaman sistemas conservativos.
Veremos bajo qué condiciones la función de energía es igual a T + V .
En el Cap. 6 veremos que la función de energía, expresada en términos de las coordenadas
q j y de sus momentos conjugados p j , recibe el nombre de Hamiltoniano del sistema
y se designa como H(q j , p j ) ≡ ∑ s
j=1 p jq˙
j − L.
2.6. Teorema de Euler para la energía cinética
Una función f(y 1 , . . . , y s ) es homogénea de grado (orden) n si, ∀λ ∈ R, satisface:
f(λy 1 , . . . , λy s ) = λ n f(y 1 , . . . , y s ). (2.55)
Ejemplos.
1. f(x 1 , ..., x s ) = ∑ s
i=1 xm i ,
f(λx 1 , ..., λx s ) = ∑ i λm x m i = λ m ∑ i xm i = λ ms f ( f es homogénea).
2. f(x 1 , ..., x s ) = ∏ s
i=1 xm i ,
f(λx 1 , ..., λx s ) = ∏ i λm x m i = λ m ∏ i xm i = λ m f (f es homogénea).
3. f(x 1 , ..., x s ) = ∑ s
i=1 sin x i,
f(λx 1 , ..., x s ) = ∑ i sin(λx i) ≠ λ n ∑ i sin x i = λ n f
(f no es homogénea).
Teorema de Euler para funciones homogéneas.
Si f(y 1 , . . . , y s ) es una función homogénea de grado n, entonces f satisface:
s∑
i=1
También se puede escribir como
y i
∂f
∂y i
= nf . (2.56)
∇f · y = nf. (2.57)

2.6. TEOREMA DE EULER PARA LA ENERGÍA CINÉTICA 81
Demostración:
Si f es homogénea, satisface la Ec. (2.55). Derivemos ambos lados de la
Ec. (2.55) con respecto a λ:
En el lado izquierdo de la Ec. (2.55), sustituimos z i ≡ λy i ,
f(λy 1 , λy 2 , ..., λy s ) = f(z 1 , z 2 , ..., z s ) (2.58)
y derivamos,
d
dλ f(λy 1, ..., λy s ) = df
dλ (z 1, ..., z s )
= ∑ ∂f ∂z i
∂z
i i ∂λ = ∑ ∂f
y i
∂z
i i
= ∑ ∂f ∂y i
y i = 1 ∑ ∂f
y i . (2.59)
∂y
i i ∂z i λ ∂y
i i
Derivamos el lado derecho de la Ec. (2.55),
d
dλ [λn f(y 1 , ..., y s )] = nλ n−1 f + λ n ∑ i
0
∂f ∂y
✓ ✓✼ i
∂y i ✓∂λ , (2.60)
puesto que y i y λ son independientes. Igualando ambos lados,
1 ∑ ∂f
y i = nλ n−1 f , (2.61)
λ ∂y
i i
lo cual es válido ∀λ. En particular, haciendo λ = 1, tenemos el Teorema de
Euler para funciones homogéneas,
∑
i
∂f
∂y i
y i = nf . (2.62)
Aplicación del Teorema de Euler a la energía cinética.
En general, la energía cinética de un sistema es una función cuadrática de las velocidades
generalizadas
s∑
T ( ˙q 1 , . . . , ˙q s ) = T jl ˙q j ˙q l , (2.63)
donde los coeficientes T jl pueden contener parámetros (masa, longitud, etc.) y coordenadas
del sistema. Por ejemplo, la energía cinética del péndulo doble con s = 2 (Cap. 1)
contiene coeficientes T 12 no nulos. Luego, T es una función homogénea de segundo orden
en las ˙q j : T (λ ˙q 1 , . . . , λ ˙q s ) = λ 2 T ( ˙q 1 , . . . , ˙q s ). Entonces T satisface el Teorema de Euler,
j,l=1
∑ ∂T
q˙
i = 2T. (2.64)
∂q˙
i
k

82
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Esto se puede aplicar a la función de energía de un sistema. Supongamos que la
energía potencial de un sistema depende tanto de las coordenadas como de las velocidades
generalizadas: V (q j , ˙q j ). Entonces L = T ( ˙q j ) − V (q j , ˙q j ), y la función de energía
correspondiente es
E(q j , q˙
j ) = ∑ j
= 2T − ∑ j
∂L
q˙
j − L = ∑ ∂q˙
j
j
∂T
q˙
j − ∑ ∂q˙
j
j
∂V
q˙
j − T + V = T + V − ∑ ∂q˙
j
j
∂V
q˙
j − [T − V ]
∂q˙
j
∂V
q˙
j . (2.65)
∂q˙
j
Si la energía potencial V es independiente de las velocidades, ∂V
∂ ˙q j
= 0; entonces la función
de energía es igual a la energía mecánica total, E(q j , q˙
j ) = T + V . Si V depende de q˙
j ,
la función de energía contiene términos adicionales a T + V .
En todo caso, la función de energía se conserva si ∂L
∂t = 0.
2.7. Potenciales dependientes de la velocidad
Existen sistemas en los cuales la energía potencial depende de las coordenadas y de
las velocidades, V (q j , q˙
j ). Por ejemplo, la fuerza total (y por tanto el potencial) de una
partícula cargada en un campo electromagnético depende de la velocidad de la partícula.
En estos sistemas también se puede definir una función de energía E(q j , q˙
j ).
Consideremos el Lagrangiano para una partícula en un potencial dependiente de la
velocidad V = V (r, ṙ), en coordenadas cartesianas,
donde
La ecuación de Lagrange para x i es
L = T − V = T (ṙ) − V (r, ṙ), (2.66)
T (ṙ) = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ẋ 2 ). (2.67)
d
dt
( ) ∂L
− ∂L = 0. (2.68)
∂x˙
i ∂x i
Sustitución de las derivadas parciales de L conduce a
(
d ∂T
− ∂V )
+ ∂V = 0,
dt ∂x˙
i ∂x˙
i ∂x i
(2.69)
( )
d ∂T
= − ∂V + d ( ) ∂V
dt ∂x˙
i ∂x i dt ∂x˙
i
(2.70)
⇒ mẍ i = − ∂V
∂x i
+ d dt
( ) ∂V
≡ F i , (2.71)
∂x˙
i
donde F i se denomina componente i de la fuerza generalizada sobre la partícula. Las
fuerzas generalizadas dependen de la velocidad.

2.7. POTENCIALES DEPENDIENTES DE LA VELOCIDAD 83
Lagrangiano de una partícula en un campo electromagnético.
Un importante ejemplo de fuerza generalizada es aquella experimentada por una
partícula en un campo electromagnético.
Experimentalmente, se sabe que una partícula de masa m y carga q, moviéndose con
velocidad v, en presencia de un campo eléctrico E(r, t) y un campo magnético B(r, t)
está sujeta a una fuerza
F = q
(E + v )
c × B , (2.72)
llamada fuerza de Lorentz, donde c es la velocidad de la luz. La contribución del campo
magnético a esta fuerza depende de la velocidad, por lo que F constituye una fuerza
generalizada.
Para encontrar el potencial V asociado a la fuerza de Lorenz y el correspondiente
Lagrangiano de una partícula en un campo electromagnético, consideremos primero las
ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t):
∇ · E = 4πρ (2.73)
∇ × E + 1 ∂B
c ∂t = 0 (2.74)
∇ · B = 0 (2.75)
∇ × B − 1 ∂E
c ∂t = 4π J.
c
(2.76)
La Ec. (2.75) implica B = ∇ × A, donde A(r, t) se denomina potencial vector. Sustituyendo
B en la Ec. (2.74),
∇ × E + 1 c
∇ ×
∂
∂t
(
E + 1 c
(∇ × A) = 0 (2.77)
)
∂A
= 0 . (2.78)
∂t
El término entre paréntesis en la Ec. (2.78) debe ser proporcional al gradiente de una
cantidad escalar; se escoge
E + 1 c
∂A
∂t
⇒ E = −∇φ − 1 c
= −∇φ (2.79)
∂A
∂t . (2.80)
La cantidad φ(r, t) se denomina potencial escalar. Luego, la fuerza de Lorentz, Ec. (2.72),
se puede expresar en términos de los potenciales φ(r, t) y A(r, t) como
[
F = q −∇φ − 1 ∂A
c ∂t + v ]
c × (∇ × A) . (2.81)
Para encontrar la energía potencial V (r, ṙ) de la cual se deriva esta fuerza generalizada,
consideremos el término v × (∇ × A). Usamos la identidad vectorial
∇(A · v) = A ×✘ ✘✘✘✿ 0
(∇ × v) + v × (∇ × A) + ✘ ✘✘ ✘ ✘✿ 0
(A · ∇)v + (v · ∇)A, (2.82)

84
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
donde se anulan términos porque el operador ∇ contiene derivadas espaciales y, aplicado
a v, da cero pues v es independiente de las coordenadas r. Luego,
donde
Sustituyendo en Ec. (2.81),
Usando
obtenemos,
cuya componente F i es
v × (∇ × A) = ∇(A · v) − (v · ∇)A, (2.83)
(v · ∇)A =
3∑
i=1
[
F = q −∇φ + 1 c ∇(A · v) − 1 c (v · ∇)A − 1 c
dA
dt =
3∑
i=1
ẋ i
∂A
∂x i
. (2.84)
]
∂A
. (2.85)
∂t
∂A
ẋ i + ∂A
∂A
= (v · ∇)A +
∂x i ∂t ∂t , (2.86)
[
F = q −∇
(φ − 1 )
c A · v − 1 c
[
F i = q − ∂ (
φ − 1 )
∂x i c A · v − 1 c
]
dA
dt
(2.87)
]
dA i
. (2.88)
dt
Comparando con la expresión general de la fuerza generalizada Ec. (2.71):
vemos que la energía potencial satisface
F i = − ∂V + d ( ) ∂V
, (2.89)
∂x i dt ∂x˙
i
∂V
= q ∂ (
φ − 1 )
∂x i ∂x i c A · v (2.90)
∂V
= − q ∂ẋ i c A i , (2.91)
lo que lleva a
V = q
(φ − 1 )
c A · v . (2.92)
El Lagrangiano de una partícula en un campo electromagnético es entonces
L = T − V = 1 2 mv2 − qφ + q A · v, (2.93)
c

2.8. SISTEMAS INTEGRABLES Y SISTEMAS CAÓTICOS. 85
y la función de energía correspondiente
E = ∑ j
∂L
∂ẋ j
ẋ j − L, (2.94)
da como resultado,
E = 1 2 mv2 + qφ. (2.95)
Luego, para una partícula en un campo electromagnético, E ≠ T + V , puesto que V
depende de la velocidad de la partícula. Sin embargo, E se conserva puesto que ∂L
∂t = 0.
Note que E no depende del potencial vector A y, por tanto, tampoco depende del campo
magnético B. El campo magnético no realiza trabajo, puesto que la fuerza magnética
siempre es perpendicular a la velocidad.
2.8. Sistemas integrables y sistemas caóticos.
Las cantidades conservadas constituyen primeras integrales del movimiento de un
sistema. Denotamos por I k (q j , ˙q j ) = C k , donde C k = constante, y k = 1, . . . , n, el
conjunto de cantidades conservadas en un sistema. En general, estas cantidades se pueden
emplear para reducir el número de ecuaciones de Lagrange a integrar en el sistema.
Un sistema con s grados de libertad es integrable si posee, al menos, s cantidades
conservadas; es decir, si n = s.
Las s cantidades conservadas de un sistema integrable constituyen un conjunto de s
ecuaciones para las s velocidades generalizadas, las cuales se pueden reducir, en principio,
a una ecuación diferencial de primer orden con respecto al tiempo para una coordenada
generalizada. Esta, a su vez, en principio puede ser integrada. A partir de la integración
de esa coordenada, las soluciones para todas las coordenadas q j (t) pueden ser expresadas
en términos de integrales explícitas, denominadas cuadraturas.
Aunque las coordenadas en sistemas integrables pueden determinarse en función de
integrales, el cálculo exacto de ellas, en muchos casos, puede resultar dificil.
Si un sistema con s grados de libertad tiene menos de s cantidades conservadas
(n < s), se denomina no integrable. Un sistema para el cual existen más cantidades
conservadas que grados de libertad (n > s), se llama superintegrable. Existen pocos
sistemas superintegrables conocidos; un ejemplo es el problema de dos cuerpos sujetos a
interacción gravitacional (Cap. 3).
La integrabilidad es un tipo de simetría en sistemas dinámicos que conduce a soluciones
cuyo comportamiento en el tiempo es regular; es decir, periódico o estacionario. Un
sistema no integrable, en cambio, puede ser caótico. El fenómeno de caos consiste en la
extrema sensibilidad de la evolución de las variables de un sistema dinámico determinista
ante pequeños cambios en sus condiciones iniciales. La no integrabilidad es una condición
necesaria, pero no suficiente, para la existencia de caos en un sistema. Los sistemas
caóticos se caracterizan por la existencia de no linealidad en las ecuaciones que rigen su
dinámica.

86
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Ejemplos.
Consideremos algunos sistemas estudiados en el Cap. 1:
1. Oscilador armónico simple: s = 1, C 1 = E = cte, n = 1; es integrable.
2. Péndulo simple: s = 1, C 1 = E = cte, n = 1; es integrable.
3. Partícula sobre un cono: s = 2, C 1 = l z = cte, C 2 = E = cte, n = 2; es integrable.
4. Péndulo doble: s = 2, C 1 = E = cte, n = 1; no es integrable.
5. Péndulo cuyo suporte gira en un círculo con velocidad angular constante: s = 1,
n = 0; no es integrable.
6. Péndulo de resorte: s = 2, C 1 = E = cte, n = 1; no es integrable.
El péndulo doble constituye un ejemplo de un sistema no integrable que exhibe comportamiento
caótico. En los ejemplos del Cap. 1 obtuvimos las ecuaciones de Lagrange
para los ángulos θ 1 y θ 2 que describen los grados de libertad de este sistema,
¨θ 1 = g(sin θ 2 cos ∆θ − µ sin θ 1 ) − (l 2 ˙θ2 2 + l 1 ˙θ2 1 cos ∆θ) sin ∆θ
l 1 (µ − cos 2 ∆θ)
¨θ 2 = gµ(sin θ 1 cos ∆θ − sin θ 2 ) − (µl 1 ˙θ2 1 + l 2 ˙θ2 2 cos ∆θ) sin ∆θ
l 2 (µ − cos 2 ∆θ)
(2.96)
, (2.97)
donde ∆θ ≡ θ 1 − θ 2 , y µ ≡ 1 + m 1 /m 2 . Las ecuaciones de movimiento del péndulo doble
contienen funciones no lineales de θ 1 y θ 2 . Una función f(x) es no lineal si f(x + y) ≠
f(x) + f(y).
Figura 2.4: Izquierda: Coordenadas y parámetros del péndulo doble. Derecha: Movimiento
caótico de la partícula m 2 en el espacio.

2.8. SISTEMAS INTEGRABLES Y SISTEMAS CAÓTICOS. 87
Un sistema caótico presenta una evolución irregular e impredecible de sus variables
dinámicas debido a la existencia de sensibilidad extrema ante cambios infinitesimales
en las condiciones iniciales de esas variables. Dos trayectorias que parten de condiciones
iniciales arbitrariamente cercanas, pueden evolucionar de maneras muy diferentes, aunque
la dinámica está regida por las mismas ecuaciones (Fig. (2.4)). Esto conlleva a limitaciones
prácticas en la capacidad de predicción del comportamiento de sistemas deterministas
no lineales.
Figura 2.5: Caos en una realización experimental del péndulo doble. Arriba: θ 1 vs. t. Abajo: θ 2
vs. t. En cada gráfica, se muestra la evolución del ángulo a partir de dos condiciones iniciales
muy cercanas, ∆θ 1(0) = ∆θ 2(0) = 10 −3 .
Si consideramos el límite de pequeñas amplitudes de las oscilaciones, θ 1 → 0 y θ 2 → 0,
las ecuaciones de movimiento pueden linealizarse usando la aproximación sin x ≈ x, y
cos x ≈ 1, para x → 0, quedando
¨θ 1 ≈ g(θ 2 − µθ 1 )
l 1 (µ − 1)
¨θ 2 ≈ gµ(θ 1 − θ 2 )
l 2 (µ − 1)
(2.98)
. (2.99)
En este caso no se observa caos; el movimiento del sistema consiste en la superposición
de dos modos de oscilación periódica con sus correspondientes frecuencias: un modo en
fase (θ 1 = θ 2 ) y otro modo en fases opuestas (θ 1 = −θ 2 ). (Capítulo 4).
El límite de pequeñas amplitudes equivale a valores pequeños de la energía del sistema.
Luego, el comportamiento del péndulo doble puede ser regular para ciertas condiciones,
a pesar de que el sistema es no integrable.

88
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Otro ejemplo de un sistema no integrable, no lineal y caótico, es el péndulo de resorte,
cuyas ecuaciones de movimiento también las calculamos en el Cap. 1,
r¨θ + 2ṙ ˙θ + g sin θ = 0, (2.100)
¨r − r ˙θ 2 + k (r − l) − g cos θ = 0. (2.101)
m
Este sistema exhibe comportamiento caótico para ciertos valores de su energía.
Figura 2.6: Movimiento en el plano (x, y) de la partícula en el péndulo de resorte, para diferentes
valores de su energía E. Izquierda: comportamiento regular. Derecha: caos.
Note que no se requieren muchas variables (hay solamente dos grados de libertad en
el péndulo doble o en el péndulo de resorte) para la ocurrencia de caos en un sistema.
Se ha descubierto que el caos es un fenómeno universal en la Naturaleza. Sistemas
no lineales físicos, químicos, biólogicos, fisiológicos, económicos, sociales, etc. presentan
comportamiento caótico; el cual se manifiesta con propiedades universales independientemente
del contexto.
2.9. Movimiento unidimensional.
El caso más simple de integrabilidad es un sistema con un sólo grado de libertad q, el
cual se denomina sistema unidimensional. El Lagrangiano de un sistema unidimensional
tiene la forma general
L = T ( ˙q 2 ) − V ef (q) = 1 2 a ˙q2 − V ef (q) , (2.102)
donde el factor a representa algunos parámetros, como masa, etc., y V ef (q) corresponde
a un potencial efectivo que contiene términos dependientes de la coordenada q.

2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 89
Puesto que ∂L
∂t
= 0, la energía es una cantidad conservada,
E = ∂L ˙q − L = cte,
∂ ˙q
= 1 2 a ˙q2 + V ef (q) = cte. (2.103)
Hay un grado de libertad y una cantidad conservada; el sistema es integrable. De la
cantidad conservada E, se puede determinar t(q) en términos de una integral,
˙q = dq
√
2
dt = a (E − V ef(q)) (2.104)
√ ∫ a dq
t(q) = √ + cte. (2.105)
2 E − Vef (q)
Luego, en principio, se puede invertir t(q) para obtener q(t). Para que la solución q(t)
sea real, el movimiento puede ocurrir solamente para valores de q tales que E ≥ V ef (q).
Un sistema integrable con varios grados de libertad puede reducirse, en principio, a
un sistema unidimensional con una energía de la forma Ec. (2.103).
Período de un movimiento unidimensional.
La condición de integrabilidad de sistemas unidimensionales permite calcular el período
de movimientos oscilatorios en esos sistemas. Consideremos un sistema descrito por la
coordenada cartesiana q = x y cuya energía potencial es V ef = V (x). Entonces, a ≡ m.
El Lagrangiano del sistema es L = T − V = 1 2 mẋ2 − V (x) y la ecuación de movimiento
correspondiente es
mẍ = − dV
dx . (2.106)
La energía total es
E = 1 2 mẋ2 + V (x) = cte. (2.107)
Puesto que 1 2 mẋ2 = E − V (x) ≥ 0, el movimiento sólo puede ocurrir para valores de x
tal que E ≥ V (x). En la Fig. (2.7), esto corresponde a las regiones x ∈ [x 1 , x 2 ], x ≥ x 3 .
Los puntos de retorno (o estacionarios) son aquellos donde la velocidad instantánea
es cero, es decir, ẋ = 0. Luego, los puntos de retorno corresponden a los valores de x tales
que V (x) = E. La Ec. (2.105) implica que en los puntos de retorno, ẋ = 0 (velocidad
instantánea es cero). En la Fig. (2.7), x 1 , x 2 y x 3 son puntos de retorno, dados por:
V (x 1 ) = E, V (x 2 ) = E, V (x 3 ) = E.
Los puntos de equilibrio x = x o son aquellos donde la fuerza instantánea se anula,
f(x o ) = dV
dx ∣ = 0, (2.108)
xo
o equivalentemente, donde la aceleración es cero, ẍ = 0.

90
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Figura 2.7: Energía potencial de un sistema unidimensional con energía constante E. Movimiento
puede ocurrir en los intervalos marcados en gris sobre el eje x. x o es un punto de equilibrio
estable; mientras que x ′ o es un punto de equilibrio inestable.
Un punto de equilibrio x o es estable si x o +δx, donde δx es una pequeña perturbación,
tiende en el tiempo al valor x o . Un punto de equilibrio estable corresponde a un mímino
del potencial V (x).
Si
Si
d 2 V
dx 2 ∣ ∣∣∣xo
> 0, x o es un punto de equilibrio estable. (2.109)
d 2 V
dx 2 ∣ ∣∣∣xo
< 0, x o es un punto de equilibrio inestable. (2.110)
Si el rango del movimiento posible está entre dos puntos de retorno, x ∈ [x 1 , x 2 ], el
movimiento es finito y oscilatorio. Entonces, debe existir un punto de equilibrio estable
x = x o en el intervalo [x 1 , x 2 ]; es decir, existe un mínimo de V (x) en ese intervalo.
El período de oscilación entre los puntos de retorno es
√ m
T (E) = 2
2
∫ x2
x 1
dx
√
E − V (x)
. (2.111)
Ejemplos.
1. Consideremos una partícula de masa m moviéndose sobre un cono vertical con
ángulo de vértice α.
El Lagrangiano de este sistema fue calculado en el Cap. 1,
L = T − V = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙ϕ 2 ) − mgr cot α . (2.112)
Este sistema es integrable; posee dos grados grados de libertad, r y ϕ, y dos cantidades
conservadas, C 1 = l z y C 2 = E, asociadas con la simetría axial alrededor del
eje z, ∂L
∂L
= 0, y con la homogeneidad del tiempo, = 0, respectivamente.
∂ϕ ∂t

2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 91
La componente z del momento angular es
l z = mr 2 ˙ϕ, (2.113)
y la energía del sistema es
E = T + V = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙ϕ 2 ) + mgr cot α . (2.114)
Sustituyendo ˙ϕ =
l z
en la ecuación para E, podemos expresar
mr2 E = 1 2 mṙ2 csc 2 α + 1 + mgr cot α
2 mr2 l 2 z
= 1 2 mṙ2 csc 2 α + V ef (r). (2.115)
La Ec. (2.115) tiene la forma de la energía de un sistema unidimensional, Ec. (2.103),
donde identificamos a = m csc 2 α, y
Luego, de la Ec. (2.115) podemos obtener
√ ∫ m
t(r) =
2 csc α
l 2 z
V ef (r) = 1 + mgr cot α . (2.116)
2 mr2 dr
√
E − Vef (r) . (2.117)
2. Período de un oscilador armónico con una E dada.
Figura 2.8: Energía potencial de un oscilador armónico con energía total E.
Las energía potencial es
V (x) = 1 2 kx2 (2.118)
La energía total es
E = T + V = 1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 = cte. (2.119)

92
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Los puntos de retorno corresponden a
E = V (x) ⇒ E = 1 2 kx2 (2.120)
√
2E
⇒ x 1,2 = ±
k
(2.121)
El período se calcula como
T (E) = √ ∫ √ 2E
k
2m √ 2E − k
√
dx
2m
= 2
√E − 1 E
2 kx2
∫ √ 2E
k
0
dx
√ . (2.122)
1 − k
2E x2
Para calcular esta integral, usamos el cambio de variables,
x =
√
2E
k sin θ, dx = √
2E
k
cos θ dθ (2.123)
tal que x = 0 → θ = 0; x =
√
2E
k → θ = π 2 . (2.124)
Sustituyendo,
√ √ ∫ π
2m 2E 2 cos θ dθ
T (E) = 2
√ (2.125)
E k 0 1 − sin 2 θ
√ m
= 4
k · π √ m
2 = 2π k = 2π ω , (2.126)
donde ω 2 ≡ k/m. El período T de un oscilador armónico simple es independiente
de E y, por tanto, de la amplitud del movimiento.
3. Período de un péndulo simple con amplitud θ 0 .
Figura 2.9: Péndulo simple con amplitud θ 0.

2.9. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL. 93
La energía es
E = T + V = 1 2 ml2 ˙θ2 − mgl cos θ. (2.127)
Despejamos ˙θ,
˙θ = dθ
√
2
dt = √
E + mgl cos θ.
ml 2 (2.128)
Luego, la integral para el tiempo da
√ ∫ m
t = l
2
dθ
√ . E + mgl cos θ
(2.129)
Los puntos de retorno están dados por
Calculamos el período,
T (E) =
√ m
4l
2
√
T (θ 0 ) = 2 √ l
2
g
Usando
E = V (θ 0 ) = −mgl cos θ 0 ⇒ θ 1,2 = ±θ 0 . (2.130)
∫ θ0
0
∫ θ0
0
dθ
√ E + mgl cos θ
(2.131)
dθ
√ cos θ − cos θ0
. (2.132)
cos θ = cos(2θ/2) = cos 2 (θ/2) − sin 2 (θ/2) = 1 − 2 sin 2 (θ/2) , (2.133)
se puede expresar
T (θ 0 ) = 2
= 2
√
∫
l
θ0
g 0
√
l
g
dθ
√
sin 2 (θ 0 /2) − sin 2 (θ/2)
∫
1
θ0
sin(θ 0 /2) 0
Hacemos el siguiente cambio de variables:
Entonces,
sin y = sin(θ/2)
sin(θ 0 /2)
dθ
√
1 − sin2 (θ/2)
sin 2 (θ 0/2)
. (2.134)
⇒ cos y dy = cos(θ/2) dθ. (2.135)
2 sin(θ 0 /2)
cos(θ/2) =
√
1 − sin 2 (θ/2)
√
= 1 − sin 2 (θ 0 /2) sin 2 y . (2.136)
dθ =
cos y
2 sin(θ 0 /2)
cos(θ/2) dy
=
2 sin(θ 0 /2) cos y
√
dy. (2.137)
1 − sin 2 (θ 0 /2) sin 2 y

94
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Hacemos el cambio de límites: θ = 0 → y = 0; θ = θ 0 → y = π 2 .
Luego, la integral en la Ec. (2.134) queda
T (θ 0 ) = 4
√
∫
l π/2
g 0
dy
√
1 − sin 2 (θ 0 /2) sin 2 y
. (2.138)
La integral definida (2.138) es una integral elíptica de la primera clase. Se puede
obtener una aproximación de esta integral para θ 0 ≪ 1 (θ 0 pequeño). Entonces,
sin(θ 0 /2) ≈ θ 0 /2, y la Ec. (2.138) se convierte en
√
l
T (θ 0 ) ≈ 4
g
∫ π/2
0
√
dy
1 − θ2 0
4 sin2 y
Usamos la siguiente expansión de Taylor para x ≪ 1,
y obtenemos
. (2.139)
(1 ± x) n ≈ 1 ± nx + . . . (2.140)
⇒ (1 − x) −1/2 ≈ 1 + 1 2 x + . . . (2.141)
√
l
T (θ 0 ) ≈ 4
2
∫ π/2
La integral del segundo término en la Ec. (2.142) es
∫ π/2
Luego, hasta segundo orden en θ 0 ,
√
l
T (θ 0 ) ≈ 4
g
√
l
≈ 2π
g
0
0
(
)
1 + θ2 0
8 sin2 y dy . (2.142)
( y
sin 2 y dy =
2 − sin(2y) )∣ ∣∣∣
π/2
= π 4
4 . (2.143)
0
( π
2 + π 32 θ2 0 + . . .)
( )
1 + θ2 0
. (2.144)
16
El período de un péndulo simple depende, en segundo orden, de la amplitud θ 0 y
por tanto de la energía total E.

2.10. PROBLEMAS 95
2.10. Problemas
1. Dos partículas con masas m 1 y m 2 están unidas por un resorte de constante k y
longitud en reposo l, de manera que pueden deslizarse sin fricción sobre una mesa.
Asuma que el resorte no se dobla.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Encuentre e identifique las cantidades conservadas.
c) Calcule el período de una oscilación a lo largo del resorte.
2. Una partícula de masa m y carga q está sujeta a un potencial electromagnético
dado por φ = 0 y A = 1 2B × r, donde B es un campo magnetico uniforme y constante.
a) Verifique que B = ∇ × A.
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partícula en coordenadas cilíndricas.
c) Encuentre las cantidades conservadas.
3. Considere un sistema con el siguiente Lagrangiano:
L = 1 2 a(ẋ2 sin 2 y + ẏ 2 ) + 1 2 b(ẋ cos y + ż)2 ,
donde a y b son constantes.
a) Derive las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Calcule e identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema.
c) Calcule la energía del sistema.
d) Suponga que y(t) = y o = cte. es una solución. ¿Cuáles son x(t) y z(t) en este
caso.
4. Una partícula de masa m se mueve con velocidad v sujeta al potencial
V (r, v) = U(r) + n · l ,
donde r es el radio vector medido desde el origen del sistema de referencia, l es el
momento angular con respecto a ese origen, n es un vector fijo en el espacio y U(r)
es una función escalar.
a) Encuentre la fuerza ejercida sobre la partícula.
b) Obtenga las ecuaciones de movimiento de la partícula en coordenadas cartesianas.
c) ¿Existe alguna cantidad constante.
5. Una partícula de masa m y energía total E se mueve en la dirección x con energía
potencial V (x) = k|x| n (k, n constantes), tal que el período del movimento es T .
a) Encuentre los puntos de retorno de la partícula.
b) Calcule el período resultante si la energía total se duplica.
c) Demuestre que el período no cambia si el potencial corresponde al de un oscilador
armónico simple.

96
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
6. Un aro de masa m y radio a puede girar libremente en un plano horizontal alrededor
de un eje perpendicular que pasa por su centro. A lo largo del aro se encuentra
enrollado un resorte de constante k, con un extremo fijo y el otro extremo conectado
a una partícula de masa m, la cual desliza sin fricción sobre el aro.
a) Resuelva las ecuaciones de movimiento resultantes para este sistema.
b) Demuestre que existen dos cantidades conservadas en el sistema.
7. Un péndulo de masa m y longitud l está construido de modo que oscila en un plano
perpendicular a un disco de masa M y radio R que puede rotar libremente sin
fricción alrededor del eje vertical que pasa por su centro. Desprecie la masa de los
soportes del péndulo.
a) Obtenga las ecuaciones de movimiento para este sistema.
b) Identifique las cantidades conservadas. ¿Es integrable este sistema.
c) Determine las condiciones iniciales del péndulo para que el disco rote con velocidad
angular constante.
8. Dos masas, m 1 y m 2 , están conectadas por una cuerda a través de un agujero en
una mesa sin fricción, de manera que m 1 se mueve sobre la superficie de la mesa y
m 2 cuelga de la cuerda, moviéndose verticalmente.
a) Determine las ecuaciones de movimiento del sistema.
b) Identifique las cantidades conservadas.
c) Encuentre la posición de equilibrio del sistema.
d) Si m 1 se encuentra inicialmente en reposo a una distancia a del agujero, determine
la velocidad de m 2 cuando m 1 alcanza el agujero.

2.10. PROBLEMAS 97
9. Una partícula de masa m puede moverse sin fricción sobre la superficie z = k(x 2 +
y 2 ), donde z es la dirección vertical y k = cte.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partícula.
b) ¿Es integrable este sistema.
10. Una partícula de masa m se mueve en la dirección x con energía potencial V (x) =
k|x| (k = constante), tal que en un instante dado su velocidad en el origen es v o .
a) Obtenga la ecuación de movimiento de la partícula.
b) Calcule la frecuencia del movimiento.
11. Una partícula de masa m está unida a un resorte de constante k y longitud en
reposo L o , de modo que puede moverse sin fricción sobre un plano horizontal. A la
partícula se le proporciona una velocidad v o perpendicular al resorte cuando éste
está en reposo.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de la partícula.
b) Calcule la velocidad de la partícula cuando la longitud del resorte es 2L o .
12. Una varilla de masa despreciable y longitud l tiene un extremo en una pared vertical
y el otro en el suelo. En el punto medio de la varilla hay una partícula fija de masa
m. Ignore la fricción.
a) Encuentre la ecuación dinámica del sistema.
b) Si la varilla se suelta del reposo, formando un ángulo α con el suelo, calcule la
velocidad de la masa cuando ésta choca contra el suelo.
13. Una partícula de masa m se mueve en el potencial unidimensional
V (x) = − V 0
cosh 2 αx .
a) Muestre que el movimiento de la partícula es finito si su energía E < 0, y es
infinito si E ≥ 0.
b) Encuentre los puntos de retorno y el mínimo posible valor de E.
c) Para el movimiento finito, encuentre el período en función de E.
14. Determine la trayectoria de una partícula de masa m y carga q, moviéndose con
velocidad v en el campo electromagnético E = E o ẑ, B = B o ẑ, donde E o y B o son
constantes.

98
CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
15. Una partícula que se mueve sobre una superficie esférica suave de radio R gira
horizontalmente en la dirección ecuatorial con frecuencia ω. Encuentre la distancia
z que puede descender la partícula, si ω 2 R ≫ g, i.e., z ≪ R.
16. El Lagrangiano de un sistema se puede expresar como
L = m 2
(
aẋ 2 + 2bẋẏ + cẏ 2) − k 2
(
ax 2 + 2bxy + cy 2) ,
donde a, b, y c son constantes, pero sujetas a la condición b 2 − ac ≠ 0. Encuentre
las ecuaciones de movimiento para este sistema.
17. Considere una máquina de Atwood tal que una de las masas se mueve verticalmente
mientras la otra puede oscilar libremente sobre un plano vertical en el campo
gravitacional terrestre. La longitud de la cuerda que une las dos masas a través de
la polea es fija.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema.
b) Encuentre la energía total del sistema.
c) ¿Es integrable este sistema.

Capítulo 3
Fuerzas centrales
3.1. Problema de dos cuerpos.
Consideremos dos partículas con masas m 1 y m 2 ubicadas en posiciones r 1 y r 2 ,
respectivamente, con respecto a un origen O en un sistema de referencia inercial. Supongamos
que las partículas interaccionan mediante un potencial que depende solamente de
sus posiciones relativas, V (r 1 , r 2 ) = V (r 2 − r 1 ). Este sistema se conoce como el problema
de dos cuerpos.
Figura 3.1: Posiciones de las dos partículas y de su centro de masa.
El sistema posee 6 grados de libertad, correspondientes a las 3 coordenadas espaciales
del vector de posición r 1 de la partícula 1 y a las 3 coordenadas del vector de posición
r 1 de la partícula 2.
Definimos
r = r 2 − r 1 : posición relativa de 2 con respecto a 1. (3.1)
R = m 1r 1 + m 2 r 2
m 1 + m 2
: posición del centro de masa (CM). (3.2)
99

100
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Denotamos las posiciones relativas al centro de masa como
r ′ 1 = r 1 − R, (3.3)
r ′ 2 = r 2 − R, (3.4)
las cuales se pueden expresar en función del vector r,
r ′ 1 = r 1(m 1 + m 2 ) − m 1 r 1 − m 2 r 2
(m 1 + m 2 )
r ′ 2 = r 2(m 1 + m 2 ) − m 1 r 1 − m 2 r 2
(m 1 + m 2 )
= m 2(r 1 − r 2 )
(m 1 + m 2 ) = − m 2
(m 1 + m 2 ) r (3.5)
= m 1(r 2 − r 1 )
(m 1 + m 2 ) = m 1
r. (3.6)
(m 1 + m 2 )
Figura 3.2: Posiciones relativas al centro de masa.
La energía cinética total del sistema es la suma de la energía cinética del centro de
masa más la energía cinética relativa al centro de masa,
T = T cm + T rel , (3.7)
donde
y
T cm = 1 2 M T Ṙ2 = 1 2 (m 1 + m 2 )Ṙ 2 , (3.8)
T rel = 1 2 m 1ṙ ′2 + 1 2 m 2ṙ ′2
= 1 m 1 m 2 2
2 (m 1 + m 2 ) 2 ṙ2 + 1 m 2 1m 2
2 (m 1 + m 2 ) 2 ṙ2
= 1 (m 1 m 2 2 + m 2 1m 2 )
2 (m 1 + m 2 ) 2 ṙ 2
= 1 m 1 m 2
)ṙ2
2 (m 1 + m 2
donde hemos definimos la masa reducida,
= 1 2 µṙ2 , (3.9)
µ ≡ m 1m 2
(m 1 + m 2 ) . (3.10)

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 101
El Lagrangiano del sistema se puede expresar como
L(r, R, ṙ, Ṙ) = T − V (r 2 − r 1 ) = 1 2 (m 1 + m 2 )Ṙ 2 + 1 2 µṙ2 − V (r) . (3.11)
Los 6 grados de libertad del sistema se describen mediante las componentes de los vectores
r y R. Las componentes cartesianas de R son coordenadas cíclicas, lo que implica que
M T Ṙ = cte, (3.12)
donde M T = m 1 + m 2 ; es decir, el momento lineal total del sistema se conserva (debido
a que no hay fuerzas externas). El centro de masa se mantiene en reposo o se mueve con
velocidad constante, v cm = Ṙ = cte. Recordemos que
F externa total = 0 ⇒ P T = M T Ṙ = cte ⇒ Ṙ = cte. (3.13)
La conservación del momento lineal total está asociada a la simetría traslacional del
problema de dos cuerpos. Luego, existen 3 cantidades conservadas correspondientes a las
componentes del momento lineal total o, equivalentemente, a las tres componentes de la
velocidad del centro de masa.
El término T cm correspondiente a la energía cinética del centro de masa es, por lo
tanto, constante y se puede omitir en el Lagrangiano, Ec. (3.11), quedando
L = 1 2 µṙ2 − V (r) , (3.14)
lo cual es equivalente al Lagrangiano de una partícula de masa µ moviéndose con velocidad
ṙ en el potencial V (r). El problema de dos cuerpos se reduce a encontrar las
ecuaciones de movimiento de una partícula de masa µ en la posición relativa r(t) con
respecto a un origen O ′ ubicado en una de las dos partículas (Fig. 3.3). Note que este
sistema de referencia centrado en una de las partículas es un sistema no inercial, pues su
origen O ′ está acelerado.
Figura 3.3: Equivalencia del problema de dos cuerpos.
El problema puede simplificarse aún más si se consideran potenciales centrales; es
decir, si V (r) es función de la magnitud |r| = r solamente. En ese caso, el potencial es
V (r) y la fuerza sobre cualquiera de las partículas, en coordenadas esféricas, es
F = −∇V (r) = − ∂V ˆr = f(r)ˆr. (3.15)
∂r

102
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Una fuerza con esta forma se denomina fuerza central. Luego, si la fuerza de interacción
entre las dos partículas es una fuerza central, el torque resultante es cero,
τ = r × f(r)ˆr = 0 (3.16)
⇒ l = r × p = cte. (3.17)
El vector momento angular total l se conserva. Luego, tanto la dirección como la magnitud
de l son constantes, lo que proporciona una cuarta y una quinta cantidad conservada,
respectivamente. Como l es perpendicular al plano (r, p), la constancia de la dirección de
l implica que el movimiento siempre ocurre sobre ese mismo plano. Luego, el movimiento
de la partícula de masa equivalente µ está confinado al plano (r, p) y, por lo tanto, se
puede describir mediante dos coordenadas.
Figura 3.4: Coordenadas polares sobre el plano del movimiento perpendicular a l.
Luego, escogiendo la dirección de l en la dirección z, el plano del movimento es
(x, y). La simetría radial sugiere escoger coordenadas polares (r, θ) como coordenadas
generalizadas sobre el plano del movimiento. Entonces,
x = r cos θ ; ẋ = ṙ cos θ − r ˙θ sin θ (3.18)
y = r sin θ ; ẏ = ṙ sin θ + r ˙θ cos θ (3.19)
Luego, ṙ 2 = ( ẋ 2 + ẏ 2) (
= ṙ 2 + r 2 θ ˙
), 2 y el Lagrangiano Ec. (3.14) para un potencial
central resulta en
L = 1 ) (ṙ
2 µ 2 + r 2 θ˙
2 − V (r). (3.20)
A partir de las simetrías contenidas en el Lagrangiano, Ec. (3.20), se pueden obtener
las restantes cantidades conservadas en el sistema.
La coordenada θ es cíclica, pues ∂L = 0. Entonces, la ecuación de Lagrange para θ
∂θ
da
d
dt
( ∂L
∂ ˙θ
)
− ∂L
∂θ = 0 (3.21)
⇒ ∂L
∂ ˙θ = µr2 ˙θ = cte. (3.22)

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 103
La cantidad conservada es el momento conjugado a la coordenada angular θ y corresponde
a la magnitud del momento angular de la partícula de masa µ,
l = µr 2 ˙θ = cte. (3.23)
Por otro lado, L en la Ec. (3.20) es independiente del tiempo y el potencial es independiente
de las velocidades, por lo que la energía mecánica total se conserva,
∂L
∂t
La energía E provee una sexta cantidad conservada,
= 0 ⇒ E = T + V = cte. (3.24)
E = 1 2 µ (ṙ 2 + r 2 ˙θ2 ) + V (r)
l 2
= 1 2 µṙ2 + 1 + V (r) = cte. (3.25)
2 µr2 Entonces, en el problema de dos cuerpos existen seis grados de libertad y al menos seis
cantidades conservadas; luego, se trata de un sistema integrable.
Figura 3.5: Coordenadas del movimiento de la masa reducida.
Las cantidades conservadas, E y l, permiten la integración de las coordenadas r y θ.
La Ec. (3.25) corresponde a un problema de movimiento unidimensional en la coordenada
r, el cual es integrable (Sec. 2.9). A partir de la Ec. (3.25) obtenemos
√
ṙ = dr (
)
dt = 2
E − V (r) −
l2
µ
2µr 2 . (3.26)
Usando como condición inicial en t = 0 los valores de coordenadas r = r 0 , θ = θ 0 ,
podemos obtener t(r),
√ ∫ µ r
dr
t(r) = √
, (3.27)
2 r 0
E − V (r) −
l2
2µr 2
y, mediante inversión, podemos obtener r(t) en función de tres constantes de integración:
r 0 , E, l.

104
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Del mismo modo, la Ec. (3.23) permite la integración de θ,
Sustituyendo la Ec. (3.26), obtenemos
˙θ = dθ
dt = l
µr 2 (3.28)
⇒ dθ =
l dt
µr2 (3.29)
⇒ dθ
dr = l dt
µr 2 dr . (3.30)
dθ
dr = l √ µ 1
√
µr 2 . (3.31)
2
E − V (r) −
l2
2µr 2
Usando las condiciones iniciales en t = 0, r = r 0 , θ = θ 0 , podemos expresar
θ =
√ l ∫ r
2µ
r 0
dr
√
r 2 E − V (r) −
+ θ 0 (3.32)
l2
lo cual da θ(r). Sustitución de r(t), da θ(r(t)) = θ(t), por lo que las coordenadas r y θ
pueden determinarse en función del tiempo. En total hay cuatro constantes de integración,
E, l, r 0 , θ 0 , θ 0 , para las coordenadas r y θ. Las cuatro constantes aparecen porque
tenemos una ecuación de Lagrange para r y otra para θ, ambas de segundo orden, y las
cuales requieren dos constantes de integración cada una.
Cabe observar que las constantes E y l aparecen también el problema de un potencial
central en Mecánica Cuántica.
En resumen, las seis cantidades conservadas que permiten integrar las seis coordenadas
en el problema de dos cuerpos sujetos a un potencial central V (r) son
Las tres componentes del vector velocidad del centro de masa Ṙ. Se expresan como
I 1 = ẋ cm = cte, I 2 = ẏ cm = cte, I 3 = ẏ cm = cte. Esto reduce el problema al
movimiento del vector de posición relativa r (tres coordenadas).
La dirección del momento angular l. Esto reduce el movimiento a un plano (dos
coordenadas). Se puede expresar como I 4 = z = 0.
La magnitud del momento angular. Se expresa como I 5 = µr 2 ˙θ = l. Esto permite
reducir una coordenada.
La energía total. Corresponde a I 6 = 1 2 µṙ2 + 1 2 µr
+V (r) = E. Esto permite reducir
2
el problema de dos cuerpos a un problema unidimensional equivalente.
La integración explícita de θ en la Ec. (3.32) (y la de t en la Ec. (3.27)) en términos
de funciones elementales depende de la forma funcional del potencial V (r).
l 2

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 105
El cambio de variable
u = 1 r ⇒ du = − 1 dr , (3.33)
r2 generalmente resulta útil al considerar integrales en el problema de dos cuerpos. Mediante
este cambio, la Ec. (3.32) se convierte en
∫ 1
u
θ = θ 0 −
1
u 0
√
2µE
−
l 2
du
2µV (u)
l 2 − u 2 . (3.34)
Las formas funcionales físicamente más relevantes de potenciales centrales son V (r) =
kr n+1 , donde k = cte. Las fuerzas correspondientes son de la forma
f(r) = − ∂V
∂r ∝ rn . (3.35)
Por ejemplo, el exponente n = −1 corresponde a V = cte y f(r) = 0, es decir a una
partícula libre. El valor n = −2 describe la fuerza gravitacional, mientras que n = 1
corresponde a un oscilador armónico esférico.
Sustitución de V (u) = ku −(n+1) en la Ec. (3.34) da la integral
∫ 1
u
θ = θ 0 −
1
u 0
du
√
2µE
l 2 − 2µk
, (3.36)
l 2 u−(n+1) − u 2
la cual es integrable en términos de funciones elementales para ciertos valores de n.
Si el integrando en la Ec. (3.36) tiene la forma R(u, √ au 2 + bu + c),
∫
du
R(u, √ au 2 + bu + c) , (3.37)
la integral se puede expresar en términos de funciones circulares sin −1 u, cos −1 u. Para
que esto ocurra, el exponente de u −(n+1) en el integrando de la Ec. (3.36) debe tener,
cuando mucho, un valor igual a 2; es decir, puede tomar los valores −(n + 1) = 0, 1, 2.
Luego, los posibles valores de n para potenciales integrables en términos de funciones
circulares son
n = −1, −2, −3. (3.38)
Estos valores incluyen los casos n = −1 para el potencial V = cte, y n = −2 correspondiente
al potencial gravitacional
V (r) = − k r . (3.39)
El caso n = 1, correspondiente al potencial de un oscilador armónico esférico V (r) = kr 2 ,
tambien se puede integrar en la Ec. (3.36). Haciendo el cambio de variable
x = u 2 ⇒ du =
dx
2 √ x , (3.40)

106
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
la integral en la Ec. (3.36) resulta en
∫
dx
√
2µE
2
l 2 x − 2µk
, (3.41)
l 2 − x 2
la cual tiene un integrando de la forma Ec. (3.37) y, por tanto, es integrable en términos
de funciones circulares.
3.2. Potencial efectivo.
Hemos encontrado que el Lagrangiano del problema de dos cuerpos que interactuan
mediante el potencial central V (r) se reduce a
Vimos que la ecuación de Lagrange para θ da
L = 1 2 µ (ṙ 2 + r 2 ˙ θ 2 )
− V (r) (3.42)
l = µr 2 ˙θ = cte. (3.43)
Por otro lado, la ecuación de Lagrange para r es
( )
d ∂L
− ∂L
dt ∂ṙ ∂r = 0 , (3.44)
donde calculamos,
∂L
∂ṙ = µṙ
∂L
∂r = µr θ ˙2
− ∂V
∂r
Sustitución en la ecuación de Lagrange para r resulta en
(3.45)
Sustituyendo ˙θ =
µ¨r = − ∂V
∂r + µr ˙θ 2 . (3.46)
l , la ecuación Ec. (3.46) para r queda
µr2 La fuerza radial f(r) debida al potencial central V (r) es
µ¨r = − ∂V
∂r + l2
µr 3 (3.47)
f(r) = − ∂V
∂r . (3.48)

3.2. POTENCIAL EFECTIVO. 107
Luego, tenemos
lo cual se puede expresar como
donde
µ¨r = f(r) + l2
µr 3 , (3.49)
µ¨r = f ef (r) , (3.50)
f ef (r) ≡ f(r) + l2
µr 3 (3.51)
se denomina fuerza efectiva radial. Esta fuerza efectiva surge de las contribuciones de la
fuerza central f(r) = − ∂V y de la fuerza centrífuga
∂r
F c ≡
l2
µr 3 = µr ˙θ 2 . (3.52)
Esta fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece en el sistema de referencia no
inercial que estamos usando para describir el movimiento, cuyo origen ubicado en una de
las partículas, se encuentra acelerado.
Fuerzas centrífugas son típicas de movimientos en campos centrales con l ≠ 0. Por
ejemplo, en el movimiento circular uniforme de una partícula que gira con velocidad
angular constante ˙θ = ω, velocidad tangencial v = ωr y posee momento angular l =
rmv = mr 2 ω, aparece una fuerza centrífuga cuando se describe el movimiento desde la
perspectiva de la partícula,
F c = mv2
r
= mrω 2 = l2
mr 3 . (3.53)
Figura 3.6: Movimiento circular uniforme.
A partir de la fuerza efectiva Ec. (3.51), se puede definir una energía potencial efectiva,
donde
f ef (r) ≡ − ∂V ef
∂r
V ef (r) = V (r) +
(3.54)
l2
2µr 2 . (3.55)

108
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
La energía total Ec. (3.25) puede entonces expresarse como
E = 1 2 µṙ2 +
l2
2µr 2 + V (r)
= 1 2 µṙ2 + V ef (r) = cte , (3.56)
lo que resulta equivalente a la energía total de una partícula de masa µ, moviéndose en
la dimensión r con energía potencial V ef (r).
El movimiento radial puede analizarse a partir de la Ec. (3.56). La condición ṙ 2 ≥ 0
implica que este movimento ocurre para valores de r tales que E ≥ V ef (r). Los puntos
de retorno del movimiento radial están dados por la condición ṙ = 0 en la Ec. (3.56), es
decir,
E = V ef (r) =
l2
+ V (r) (3.57)
2µr2 ⇒ Er 2 − V (r)r 2 − l2
2µ = 0 , (3.58)
la cual constituye una ecuación algebraica de grado al menos cuadrático en r; luego
pueden existir al menos dos raíces reales, r = r min , r = r max . Si existe un rango de
valores r ∈ [r min , r max ] para el cual E ≥ V ef (r), entonces el movimiento está confinado a
una región anular en el plano (r, θ).
Figura 3.7: Movimiento radial y angular.
Si
r max < ∞ ⇒ movimiento es finito, oscilatorio en r, (3.59)
r max → ∞ ⇒ movimiento sin retorno, (3.60)
r min = r max ⇒ movimiento circular. (3.61)
Por otro lado, notamos que
˙θ =
l
µr 2 ≥ 0 , (3.62)

3.2. POTENCIAL EFECTIVO. 109
lo cual significa que la velocidad angular ˙θ nunca cambia de signo; el ángulo θ siempre
se incrementa en el tiempo y, como consecuencia, el movimiento siempre ocurre en una
misma dirección sobre el plano del movimiento (r, θ). En cambio, la distancia radial r(t)
puede aumentar o disminuir en el tiempo.
Ejemplos.
1. Dibujar esquemáticamente el potencial efectivo resultante del potencial V = − k r y
analizar los tipos de movimiento posibles para diferentes valores de la energía.
La fuerza gravitacional es
El potencial efectivo es
V ef = V (r) +
f(r) = − ∂V
∂r = − k r 2 . (3.63)
l2
2µr 2 = −k r + l2
2µr 2 . (3.64)
Figura 3.8: Potencial efectivo para V (r) = − k r .
El valor mínimo del potencial efectivo ocurre para un radio r = r 0 dado por
∂V ef
∂r ∣ = 0. (3.65)
r=r0
Posibles movimientos para diferentes valores de la energía E:
a) E = E 1 > 0 ⇒ r min > 0 y r max → ∞; órbita abierta.
b) E = E 2 = 0 ⇒ r min > 0 y r max → ∞; órbita abierta.
c) E = E 3 < 0 ⇒ r ∈ [r min , r max ]; movimiento radial oscilatorio.
d) E = E 4 = V ef (min) < 0 ⇒; r min = r max = r 0 ; órbita circular con r = r 0 .

110
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
2. Potencial efectivo para el potencial V = 1 2 kr2 , correspondiente a un oscilador
armónico tridimensional.
La magnitud de la fuerza radial es
f(r) = − ∂V
∂r
= −kr. (3.66)
El potencial efectivo es
V ef (r) = 1 2 kr2 +
l2
2µr 2 . (3.67)
Figura 3.9: Potencial efectivo para V (r) = 1 2 kr2 . El movimiento ocurre en la región r ∈
[r min , r max]
.
La condición E ≥ V ef (r) implica que existen puntos de retorno r min , r max ≠ 0; es
decir, el movimiento radial es oscilatorio y la órbita es elíptica.
Las componentes de la fuerza radial f = −krˆr son
f x = −kx , f y = −ky . (3.68)
El movimiento radial es el resultado de dos oscilaciones simples, perpendiculares
entre sí, con igual frecuencia ω 2 x = ω 2 y = k/µ.
3. Caracterizar los movimientos posibles en el potencial efectivo correspondiente al
potencial V = − k r 3 .
La fuerza radial es
y el potencial efectivo es
f(r) = − 3k
r 4 , (3.69)
V ef (r) = − k r 3 +
l2
2µr 2 . (3.70)
El potencial efectivo exhibe un máximo V ef (max) que representa una barrera de
potencial si E < V ef (max) .
Los posibles movimientos son

3.2. POTENCIAL EFECTIVO. 111
a) E = E 1 > V ef (max) ; movimiento existe ∀ r.
b) E = E 2 < V ef (max) ; hay dos puntos de retorno r 1 y r 2 que satisfacen E = V ef .
El movimiento ocurre para r ∈ [0, r 1 ] y para r ≥ r 2 . En Mecánica Clásica, el
movimiento es imposible para r ∈ [r 1 , r 2 ].
Figura 3.10: Potencial efectivo para V = − k
r 3 . Movimiento radial ocurre en las regiones r ≤ r 1
y r ≥ r 2.
4. ¿Cuál es la condición para que una partícula caiga al centro de atracción de un
potencial central; es decir, para que r min = 0.
Consideremos la Ec. (3.25),
la cual implica que
es decir,
E = 1 2 µṙ2 +
l2
+ V (r) , (3.71)
2µr2 1
2 µṙ2 = E − V (r) − l2
2µr 2 > 0 , (3.72)
Er 2 − V (r)r 2 − l2
2µ > 0 . (3.73)
Tomando el límite r → 0, obtenemos la condición
lím [V
r→0 (r)r2 ] < − l2
2µ . (3.74)
Consideremos un potencial atractivo de la forma V (r) = −k/r n . La condición
Ec. (3.74) con l ≠ 0 implica n > 2. El potencial V (r) = −k/r 3 del ejemplo anterior
(n = 3) permite caer al centro, r min = 0. Por otro lado, el potencial gravitacional
V (r) = −k/r (n = 1) no permite alcanzar r min = 0.
El caso n = 2, correspondiente a V (r) = −k/r 2 , requiere k > l2
para caer al
2µ
centro de atracción.

112
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
3.3. Ecuación diferencial de la órbita.
En la Sec. 3.1 vimos que, dado V (r) y cuatro constantes (E, l, r 0 , θ 0 ), se pueden
determinar t(r) (y por tanto r(t)) y θ(r), mediante integración y que, en particular,
existen formas de potenciales V (r) integrables explícitamente en términos de funciones
circulares.
Consideremos ahora el problema inverso; es decir, dada una órbita r(θ) determinar
el potencial V (r) (y la fuerza f(r)) que produce ésta órbita. Esto es posible mediante la
obtención de la ecuación diferencial de la órbita.
Consideremos la ecuación de movimiento Ec (3.49) para r(t),
µ¨r − l2
= f(r) = −∂V
µr3 ∂r
(3.75)
La Ec. (3.75) se puede transformar en una ecuación diferencial para r(θ). Las derivadas
temporales de r(t) se pueden expresar
ṙ = dr
dt = dr dθ
dθ dt = l dr
µr 2 dθ
(3.76)
donde hemos usado ˙θ =
l
µr 2 .
En general, para una función g(θ),
⇒
dg
dt
d
dt
= dg
dθ
=
dθ
dt =
l dg
µr 2 dθ
(3.77)
l d
µr 2 dθ . (3.78)
Luego,
¨r = d dt
=
( ) dr
dt
l d
µr 2 dθ
= d ( ) l dr
dt µr 2 dθ
( l dr
µr 2 dθ
(3.79)
)
. (3.80)
Sustitución en la Ec. (3.75) da
( )
l d l dr
r 2 dθ µr 2 − l2
dθ µr 3 = −∂V ∂r . (3.81)
Usando el cambio de variables,
u = 1 r , (3.82)
du
dθ = − 1 dr dr
r 2 = −u2
dθ dθ , (3.83)

3.3.
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ÓRBITA. 113
y expresando el lado derecho de la Ec. (3.81) en términos de u,
∂V
∂r = ∂V
∂u
la Ec. (3.81) se puede expresar como
∂u
∂r = − 1 ∂V
r 2 ∂u
= −u2
∂V
∂u , (3.84)
l 2 d ( ) du
µ u2 + l2
dθ dθ µ u3 = −u 2 ∂V
∂u , (3.85)
es decir,
l 2 µ
[ d 2 u
dθ 2 + u ]
= − ∂V
∂u
(3.86)
La Ec. (3.86) constituye la ecuación diferencial de la órbita para r(θ) = 1/u(θ) en
términos del potencial V (r) = V (1/u).
Esta ecuación de la órbita se puede usar para encontrar el potencial (o la fuerza)
central que da lugar a una órbita dada, o para determinar la órbita resultante de un
potencial (o fuerza) dado.
Ejemplo.
1. Encontrar el potencial V (r) que produce la órbita
r(θ) = r o e −aθ , r o , a constantes. (3.87)
Tenemos
u = 1 r = 1 r o
e aθ . (3.88)
Luego,
La Ec. (3.86) para la órbita queda
Entonces,
d 2 u
dθ 2 = a2
r o
e aθ = a 2 u. (3.89)
l 2 µ (a2 + 1)u = − ∂V
∂u . (3.90)
V (u) = − 1 l 2
2 µ (a2 + 1)u 2 ⇒ V (r) = − k , k = cte. (3.91)
r2

114
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
3.4. Problema de Kepler.
El problema de Kepler se refiere al movimiento en un campo central correspondiente
a la fuerza gravitacional
f(r) = − k r 2 ⇒ V (r) = − k r . (3.92)
donde k = Gm 1 m 2 , y G = 6,674 × 10 −11 N(m/Kg) 2 es la constante universal gravitacional.
La forma de la fuerza gravitacional fue descubierta por Isaac Newton y la constante
G fue determinada experimentalmente por Henry Cavendish (1731-1810).
Figura 3.11: Monumento a Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630) en Praga.
La órbita r(θ) correspondiente a este potencial puede ser determinada a partir de la
ecuación diferencial de la órbita, Ec. (3.86),
l 2 ( d 2 )
u
µ dθ 2 + u = − ∂V
∂u . (3.93)
Para el potencial gravitacional, V = −ku, obtenemos
d 2 u
dθ 2 + u = k µ l 2 , (3.94)
que es una ecuación diferencial ordinaria inhomogénea de segundo orden. Su solución es
u(θ) = u h + u p , (3.95)
donde u p es una solución particular y u h es la solución de la ecuación homogénea
u ′′ h + u h = 0. (3.96)

3.4. PROBLEMA DE KEPLER. 115
La solución de la ecuación homogénea se puede expresar como
u h = A cos(θ − θ 0 ) , A, θ 0 ctes, (3.97)
mientras que una solución particular de la Ec. (3.94) es
Luego, la solución general de la Ec. (3.94) es
u p = k µ l 2 . (3.98)
u(θ) = kµ
l 2 + A cos(θ − θ 0) (3.99)
⇒ 1 r = kµ
l 2 [1 + e cos(θ − θ 0)] , (3.100)
que corresponde la ecuación de una sección cónica en coordenas polares, cuya forma
general está dada por
q
= 1 + e cos θ, (3.101)
r
con q y e constantes. La constante e se denomina excentricidad y la constante q es el
latus de la cónica.
La órbita también puede obtenerse por integración explícita mediante la Ec. (3.34)
∫
du
θ = θ 0 − √ , (3.102)
2µE 2µV (u)
l 2 −
l 2 − u 2
la cual, con V (u) = −ku queda
∫
θ = θ 0 −
La integral es del tipo
∫
du
√
au2 + bu + c = 1 √ −a
cos −1 [
du
√
2µE
l 2 + 2µk
. (3.103)
l 2 u − u2
(b + 2au)
− √
b2 − 4ac
]
, (3.104)
donde
a = −1, b = 2µk
l 2 , c = 2µE
l 2 . (3.105)
b 2 − 4ac = 4µ2 k 2
l 4 + 4 2µE ( 2µk
l 2 =
b + 2au = 2µk
l 2 − 2u =
) 2 ( )
l 2 1 + 2E2
µk 2 (3.106)
( ) ( )
2µk
l 2 1 − l2
µk u . (3.107)

116
Luego,
√
⎛
⎞
l 2
θ = θ 0 − cos −1 µk u − 1
⎜√
⎟
⎝
1 + 2El2 ⎠
µk 2
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
(3.108)
1 + 2El2
µk 2 cos(θ 0 − θ) = l2
u − 1. (3.109)
µk
Escogiendo la condición inicial θ 0 = 0 para t = 0 y despejando u = 1/r,
( √
)
1
r = µk
l 2 1 + 1 + 2El2
µk 2 cos θ
(3.110)
obtenemos que la órbita r(θ) tiene la forma general de la ecuación de una sección cónica
en coordenadas polares cuyo origen se encuentra en uno de los focos, Ec. (3.101).
Identificamos la excentricidad de la órbita,
y el latus de la cónica,
e =
El latus corresponde al valor de r para θ = π 2
, r(π/2) = q.
√
1 + 2El2
µk 2 (3.111)
q = l2
µk . (3.112)
Figura 3.12: Latus q y perihelio r min de la órbita en el problema de Kepler.
La distancia mínima al foco ubicado en r min se denomina perihelio (si se trata de
órbita alrededor del Sol) o perigeo (si es una órbita alrededor de la Tierra), y corresponde
al ángulo θ = 0,
r(0) =
q
1 + e = r min. (3.113)

3.4. PROBLEMA DE KEPLER. 117
Sustituyendo q y e, obtenemos
( ) l
2
r min =
1 +
µk
√
1 + 2El2
µk 2 . (3.114)
El movimiento de la masa reducida µ en el potencial V = −k/r sigue la trayectoria
de una cónica dada por la Ec. (3.110). El tipo de cónica (circunferencia, elipse, parábola,
hipérbola) que describe la partícula de masa µ en el potencial V (r) = −k/r depende del
valor de la excentricidad e y, por tanto, de la energía total E, segun la Ec. (6.152).
La órbita de cada una de las partículas m 1 y m 2 , separadas por una distancia r, es
una sección cónica con un foco en el centro de masa del sistema.
Figura 3.13: Potencial efectivo para el problema de Kepler.
El movimiento radial ocurre en el potencial efectivo V ef = −k/r + l 2 /2µr 2 , correspondiente
al potencial V (r) = −k/r, Fig. (3.13). Las órbitas posibles descritas por la
Ec. (3.110) y compatibles con este potencial efectivo son
1. E = − µk2
2l 2
⇒ e = 0, circunferencia de radio r o = q = l2
µk .
2. E < 0 ⇒ e < 1, elipse (movimiento radial finito, r ∈ [r min , r max ] ).
3. E = 0 ⇒ e = 1, parábola (movimiento infinito, r max → ∞).
4. E > 0 ⇒ e > 1, hipérbola (movimiento infinito, r max → ∞).
Analicemos estas órbitas con más detalle.
1. Órbita circular.
La ecuación de la cónica Ec. (3.101) con e = 0 describe una partícula con energía
E = − µk2
2l 2 , (3.115)

118
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
moviéndose en una órbita circular de radio
r o = q = l2
µk = k
2|E| . (3.116)
El radio r o corresponde al valor mínimo de la V ef ,
∂V ef
∂r ∣ = 0 . (3.117)
ro
La energía de la órbita circular es igual al mínimo de la V ef ,
l2
E = V ef (r o ) = − k +
r o 2µro
2 . (3.118)
La velocidad angular del movimiento circular con radio r o es
√
˙θ =
l k
= . (3.119)
2. Órbita elíptica.
La ecuación de la cónica Ec. (3.101)
µr 2 o
µr 3 o
q
= 1 + e cos θ , (3.120)
r
para e < 1 (E < 0) corresponde a una elipse en coordenadas polares con centro en uno
de los focos.
Los puntos de retorno del movimiento radial con E < 0 están dados por
Sustitución de q y e da
θ = 0 ⇒ r = r min =
q
1 + e , (3.121)
θ = π ⇒ r = r max =
q
1 − e . (3.122)
( √ )
r min = − k 1 − 1 + 2El2
2E
µk 2
( √
r max = − k
2E
1 +
, (3.123)
)
1 + 2El2
µk 2 . (3.124)
Estos valores de r min y r max también corresponden a las raíces de la ecuación E = V ef ,
E = V ef = − k r +
l2
2µr 2 ⇒ Er 2 + kr − l2
2µ = 0 . (3.125)

3.4. PROBLEMA DE KEPLER. 119
Figura 3.14: Parámetros de la órbita elíptica.
La distancia r min se llama perihelio y la cantidad r max se denomina afelio, para órbitas
elípticas alrededor del Sol (para órbitas alrededor de la Tierra estas cantidades se llaman
perigeo y apogeo, respectivamente). Se puede escribir
r min =
k (1 − e) ,
2 |E|
(3.126)
r max =
k (1 + e) .
2 |E|
(3.127)
El semieje mayor de la elipse a satisface la relación (Fig. (3.14))
r min + r max = 2a (3.128)
luego,
Se puede expresar también
a =
k
2 |E| , o a = q
1 − e 2 . (3.129)
r min = a (1 − e) , (3.130)
r max = a (1 + e) . (3.131)
La distancia entre el centro geométrico de la elipse y cualquier foco es
a − r min = ae. (3.132)
La ecuación de la elipse, Ec. (3.101), también puede expresarse en coordenadas cartesianas
(x, y) con origen O en el foco.
En coordenadas cartesianas (x ′ , y ′ ) con origen O ′ en el centro geométrico de la elipse,
la ecuación Ec. (3.101) corresponde a
x ′2
a 2 + y′2
b 2 = 1 , (3.133)
donde a y b son los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

120
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Figura 3.15: Coordenadas cartesianas (x ′ , y ′ ) con origen O ′ en el centro geométrico de la elipse.
Mediante la transformación
x ′ = x + ae, y ′ = y , (3.134)
la ecuación de la elipse Ec. (3.101) puede escribirse en coordenas cartesianas con centro
en el foco de atracción,
(x + ae) 2
a 2 + y2
b 2 = 1 . (3.135)
El semieje menor b puede obtenerse evaluando el punto (x = 0, y = q) en la Ec. (3.135),
q
b = √ = a √ 1 − e 2 . (3.136)
1 − e
2
3. Órbita parabólica.
La ecuación de la cónica Ec. (3.101) con e = 1 describe una parábola
q
= 1 + cos θ . (3.137)
r
La energía correspondiente de la partícula es E = 0. La distancia r min corresponde a
mientras que
θ = 0 ⇒ r min = q 2 = l2
2µk , (3.138)
θ = π ⇒ r max → ∞ . (3.139)
La condición E = 0 en la Ec. (3.25) implica que la velocidad radial ṙ de la partícula
en r max = ∞ es cero.
Geométricamente, una parábola es el conjunto de puntos P tales que d 1 = d 2 , donde
d 1 es la distancia al foco de atracción f y d 2 es la distancia perpendicular a la recta
denominada directriz, Fig.(3.16). El punto correspondiente a (θ = π/2, r = q) indica que
la distancia perpendicular entre el eje y y la recta directriz es igual a q.
4. Órbita hiperbólica.
Corresponde a la Ec. (3.101) de una cónica con e > 1, (E > 0). La órbita es abierta,
r max = ∞, y el perihelio corresponde a
θ = 0 ⇒ r min = q
1 + e . (3.140)

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL. 121
Figura 3.16: Órbita parabólica. Un punto P de la parábola satisface d1 = d2.
Órbitas hiperbólicas aparecen en problemas de dispersión en campos de fuerzas centrales
y serán estudiadas en la Sec. 3.7.
La Fig. (3.17) muestra el diagrama de órbitas posibles en el problema de Kepler.
Figura 3.17: Tipos de órbitas en el potencial de Kepler V (r) = −k/r, correspondientes a un
mismo valor de r min = r o = l 2 /µk.
3.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal.
La Primera Ley de Kepler establece que una partícula (planeta) sujeta al
potencial V (r) = −k/r, con E < 0, describe una órbita elíptica.
Por otro lado, vimos en la Sec. 3.1 que un potencial central V (r) implica la conservación
del momento angular
l = µr 2 ˙θ = cte. (3.141)

122
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
El hecho de que la magnitud l sea constante puede interpretarse geométricamente.
Figura 3.18: Área barrida por el radio vector r(t) en un intervalo de tiempo dt.
El diferencial de área barrida por el radio vector r en un tiempo infinitesimal dt es
dA = 1 2 (rdθ)r = 1 2 r2 dθ .
El área barrida por unidad de tiempo es
dA
dt = 1 dθ
r2
2 dt = 1 2 r2 ˙θ (3.142)
Usando Ec. (3.141),
dA
dt
⇒ dA
dt
= 1 2 r2 ( l
µr 2 )
= l = cte (3.143)
2µ
La Ec. (3.143) constituye la Segunda Ley de Kepler:
La velocidad areal es constante bajo fuerzas centrales, i.e., el radio vector
barre áreas iguales en tiempos iguales.
En órbitas elípticas, la velocidad angular aumenta cerca del centro (foco) de atracción
y disminuye lejos de éste.
Si la órbita es finita, r ∈ [r min , r max ], el área A encerrada por la órbita es finita y
resulta barrida por el radio r en un tiempo igual al período del movimiento T p ,
A =
l ∫ Tp
dt =
l
2µ 0 2µ T p . (3.144)

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL. 123
Figura 3.19: Segunda Ley de Kepler para fuerzas centrales.
En particular, si la órbita es una elipse, A = πab, donde a es el semieje mayor, y b es el
semieje menor. Vimos que b = a √ 1 − e 2 y q = a(1 − e 2 ), luego
donde hemos usado,
A = πa 2√ 1 − e 2 = πa 3/2 q 1/2
√
= πa 3/2 l 2
Igualando Ec.(3.144) con Ec.(3.145), y despejando T p tenemos
µk , (3.145)
q = l2
µk . (3.146)
T p = 2π
√
µa
3
k , (3.147)
lo que constituye la Tercera Ley de Kepler en su forma exacta.
En el sistema solar, supongamos que M es la masa del Sol y m es la masa del
planeta que describe una órbita elíptica. Entonces, podemos asumir m/M

124
es decir,
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
T 2 p ∝ a 3 , (3.151)
donde la constante de proporcionalidad es la misma para todos los planetas del sistema
solar. Esta es la forma de la Tercera Ley descubierta originalmente por Kepler.
En resumen, tenemos las tres Leyes de Kepler:
1. Primera Ley: los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, el cual se
encuentra en uno de los focos de la elipse. (Consecuencia de la forma V (r) = − k r ).
2. Segunda Ley: el área barrida por unidad tiempo por el radio vector que va desde
el Sol al planeta es constante: A ˙ = cte. (Consecuencia de potencial central V (r) y,
por tanto, de l = cte).
3. Tercera Ley: el cuadrado del período del movimiento es proporcional al cubo del
semieje mayor de la órbita, para todos los planetas: Tp
2 ∝ a 3 . (Consecuencia de
l = cte y de la forma V (r) = − k r ).
La Tercera Ley de Kepler se ha empleado en el descubrimiento de nuevos planetas fuera
del sistema solar, denominados exoplanetas. El período orbital se puede determinar a
partir de la observación del período del corrimiento Doppler en el espectro de algunas
estrellas de masa conocida.
Figura 3.20: Diagrama de masa versus distancia de exoplanetas y planetas del sistema solar,
identificados por sus iniciales. (Physics Today, p. 46, mayo 2009).

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL. 125
Ecuación de Kepler.
La dependencia temporal de la coordenada radial r(t) en una órbita elíptica puede
obtenerse por integración de la Ec. (3.27) para el potencial V = −k/r,
√ ∫ µ dr
t = √
, (3.152)
2
E −
l2
2µr 2 + k r
donde
E = − k 2a < 0 . (3.153)
Expresemos l en términos de los parámetros de la elipse a y e,
e 2 = 1 + 2El2
µk 2 = 1 − l2
aµk
(3.154)
⇒ l 2 = (1 − e 2 )aµk. (3.155)
Sustituyendo en la integral Ec. (3.152), tenemos
√ ∫ µ dr
t = √
2
− k 2a − (1 − e2 )ak
2r 2 + k r
√ ∫ µ r dr
= √
2 k √
−r2 − (1 − e
2a
2 )a 2 + 2ra
=
√ µa
k
∫
rdr
√
e2 a 2 − (r − a) 2 . (3.156)
Haciendo el cambio de variables
r = a(1 − e cos ψ) , (3.157)
dr = ae sin ψ dψ , (3.158)
la integral Ec. (3.156) queda
t =
=
=
√ ∫ µa a(1 − e cos ψ) ae sin ψ dψ
k ea √ 1 − cos 2 ψ
√ ∫ µa
3
(1 − e cos ψ) dψ
k
√
µa
3
(ψ − e sin ψ) + cte. (3.159)
k
Escogemos la condición inicial r(0) = r min = a(1 − e) en t = 0; lo que implica ψ = 0
para t = 0; luego la cte = 0 en la Ec. (3.159).

126
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Usando la Tercera Ley de Kepler,
T p = 2π
√
µa
3
k , (3.160)
definimos la frecuencia angular del movimiento
√
ω ≡ 2π k
=
T p µa 3 . (3.161)
Luego, la dependencia temporal del radio en una órbita elíptica en el problema de Kepler
puede expresarse mediante las relaciones paramétricas
ωt = ψ − e sin ψ, (3.162)
r = a(1 − e cos ψ), (3.163)
que se conocen como ecuaciones de Kepler. Estas ecuaciones permiten encontrar la distancia
radial r(t) en función del tiempo, a través del parámetro ψ, dados los parámetros
geométricos de la elipse a y e. Consecuentemente, puede encontrarse el ángulo θ(t) mediante
la ecuación
q
= 1 + e cos θ(t) . (3.164)
r(t)
El parámetro ψ en la ecuación de Kepler se denomina anomalía excéntrica de la elipse
y puede interpretarse geométricamente. Consideremos la Fig. (3.21).
Figura 3.21: Definición de la anomalía excéntrica ψ.
donde,
P es un punto sobre la elipse con semiejes a y b, y excentricidad e.
Q es un punto sobre la circunferencia de radio a que circunscribe la elipse.
ψ es el ángulo denominado anomalía excéntrica.
θ se denomina anomalía verdadera.
a es el semieje mayor.
b es el semieje menor.

3.5. LEYES DE KEPLER Y DEPENDENCIA TEMPORAL. 127
r min = a(1 − e) es el perihelio.
r max = a(1 + e) es el afelio.
q = a(1 − e 2 ) es el latus.
El punto P (x, y) satisface la ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas, Ec. (3.135),
(x + ae) 2
a 2
+ y2
b 2 = 1 . (3.165)
De la Fig. (3.21) tenemos,
cos ψ = x + ae , (3.166)
a
y sustituyendo en la ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas, podemos obtener
En términos de a y e,
y
= sin ψ . (3.167)
b
x = a(cos ψ − e) (3.168)
y = b sin ψ = a √ 1 − e 2 sin ψ (3.169)
(usando b = a √ 1 − e 2 ). La coordenada radial r del punto P puede expresarse
luego,
r 2 = x 2 + y 2 = a 2 (cos ψ − e) 2 + a 2 (1 − e 2 ) sin 2 ψ = a 2 (1 − e cos ψ) 2 , (3.170)
r = a(1 − e cos ψ) , (3.171)
que es el cambio de variable usado en la Ec. (3.157) para la integración de t. La Ec. (3.171)
corresponde a la ecuación de la órbita elíptica en términos de la anomalía excéntrica.
La relación entre los ángulos θ y φ puede determinarse comparando la Ec. (3.171)
con la ecuación de la elipse en coordenadas polares,
Empleando la relación q = a(1 − e 2 ), obtenemos
q
= 1 + e cos θ . (3.172)
r
1 − e cos ψ = (1 − e2 )
1 + e cos θ
⇒
(3.173)
cos ψ = e + cos θ
1 + e cos θ . (3.174)

128
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Ejemplo.
1. Similitud mecánica y período orbital para potenciales centrales V (r) = −kr −n .
Una similitud mecánica es una transformación de las escalas de longitud y de tiempo
que deja invariante la forma de la ecuación de movimiento de una partícula.
La ecuación de movimiento de una partícula de masa m en este potencial es
m¨r = −∇V (r) = − kn ˆr. (3.175)
rn+1 Sea a = (r min + r max ) la longitud que caracteriza el tamaño de una órbita finita;
por ejemplo el semieje mayor en una órbita elíptica, y sea T el tiempo requerido
para recorrer esa distancia; por ejemplo, el período de una órbita elíptica sería 2T .
Consideremos la transformación
donde λ y τ son constantes. Entonces
r ′ = λr, t ′ = τt, (3.176)
dr
= τ dr ′
dt λ dt ′ , (3.177)
d 2 r
dt 2 = d ( ) dr
= τ ( )
d dr
′
dt dt λ dt dt ′ = τ 2 d 2 r ′
. (3.178)
λ dt
′2
La ecuación de movimiento en las nuevas variables r ′ y t ′ se transforma como
( ) τ
2
m¨r ′ = −λ (n+1) kn
λ
r ′(n+1) ˆr′ . (3.179)
La ecuación de movimiento preserva su forma si
τ = λ (n+2)/2 . (3.180)
Por otro lado, la longitud característica a y el tiempo característico T se transforman
según las relaciones
a ′ = λa, T ′ = τT. (3.181)
Luego,
Entonces, podemos escribir
T ′ ( ) a
′ (n+2)/2
T = . (3.182)
a
T ∝ a (n+2)/2 , (3.183)
donde la constante de proporcionalidad T ′ /a ′(n+2)/2 toma su valor en algun sistema
de referencia. Para n = 1 tenemos el potencial gravitacional y la Ec. (3.183) reproduce
la Tercera Ley de Kepler, T ∝ a 3/2 . Para n = −2, el potencial corresponde a
un oscilador armónico tridimensonal, y la Ec. (3.183) indica que el período de la
órbita es independiente de su tamaño o amplitud.

3.6. ESTABILIDAD DE ÓRBITAS CIRCULARES Y ÁNGULO DE PRECESIÓN.129
3.6. Estabilidad de órbitas circulares y ángulo de precesión.
El radio r o de una órbita circular descrita por una partícula sujeta a un potencial
efectivo
V ef (r) = V (r) +
l2
2µr 2 (3.184)
está dado por la condición
∂V ef
∂r
∣ = 0, o f ef (r o ) = 0. (3.185)
ro
Luego, el radio r o satisface la relación
∂V
∂r ∣ − l2
ro
µr 3 o
= 0. (3.186)
La órbita circular es estable si r o corresponde al valor mínimo del potencial efectivo
V ef (min) = V ef (r o ), es decir,
∂ 2 V ef
∂r 2 ∣ ∣∣∣ro
> 0 (3.187)
⇒ ∂2 V
∂r 2 ∣ ∣∣∣ro
+ 3l2
µr 4 o
> 0. (3.188)
La fuerza central sobre una partícula en la órbita circular de radio r o es
f(r o ) = − ∂V
∣ = − l2
∂r µro
3 , (3.189)
donde el signo menos indica que la fuerza es atractiva. Luego, en términos de f(r o ), la
condición de estabilidad de una órbita circular de radio r o , Ec. (3.188), se puede expresar
como
− ∂f
∂r ∣ − 3f(r o)
> 0
ro
r o
⇒ 3f(r o)
r o
∣
ro
+ ∂f
∂r ∣ < 0 . (3.190)
ro
Supongamos una oscilación radial de pequeña amplitud η alrededor del radio de la
órbita circular r o , tal que η/r o ≪ 1. Esta oscilación para r entre los valores r min y r max
puede ocurrir si la energía de la partícula es E > V ef (r o ).
Consideremos una pequeña desviación del radio r o ,
r = r o + η, (3.191)

130
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Figura 3.22: Oscilaciones radiales alredededor de una órbita circular de radio r o.
y hagamos la expansión de Taylor de V ef (r) alrededor de r o ,
∂V ef
V ef (r) = V ef (r o ) +
✚
∂r ✚✚✚❃0
∣ (r − r o ) + 1
ro
2
∂ 2 V ef
∂r 2 ∣ ∣∣∣ro
(r − r o ) 2 + . . . (3.192)
El primer término en la Ec. (3.192) es una constante, V ef (r o ) = cte, la cual puede ser
suprimida del potencial efectivo, y el segundo término se anula en virtud de la Ec. (3.185).
Luego, podemos escribir hasta segundo orden en el parámetro pequeño η,
V ef (r) = 1 2
∂ 2 V ef
∂r 2 ∣ ∣∣∣ro
(r − r o ) 2 + . . . ≈ 1 2 Kη2 , (3.193)
donde hemos llamado
K ≡ ∂2 V ef
∂r 2 ∣ ∣∣∣ro
= cte . (3.194)
Figura 3.23: Desviación η alrededor de la órbita circular de radio r o en un potencial efectivo
V ef .
La fuerza efectiva correspondiente es
f ef (r) = − ∂V ef
∂r
≈ − ∂2 V ef
∂r 2 ∣ ∣∣∣ro
(r − r o ) = −Kη . (3.195)

3.6. ESTABILIDAD DE ÓRBITAS CIRCULARES Y ÁNGULO DE PRECESIÓN.131
La ecuación de movimiento, Ec. (3.50),
µ¨r = f ef (r) (3.196)
para la coordenada radial cerca del equilibrio, r = r o + η, resulta en
µ¨η = −Kη , (3.197)
puesto que ¨r = ¨r 0 + ¨η = ¨η, (r o = cte). Esta ecuación corresponde a un oscilador armónico,
¨η + ωrη 2 = 0 , (3.198)
con frecuencia de oscilación radial
ω 2 r = K µ = 1 µ
∂ 2 V ef
∂r 2 ∣ ∣∣∣r0
. (3.199)
Se denomina ángulo de precesión ∆θ al ángulo recorrido en el plano del movimento
durante un período de oscilación radial T r , y está dado por
donde
∆θ = ˙θ T r = 2π ˙θ
ω r
, (3.200)
˙θ =
es la velocidad angular de la órbita circular. Sustituyendo en la Ec. (3.200), tenemos
∆θ = 2π
l
µr 2 0
(
1
µ
l
µr 2 0
(3.201)
∂ 2 V ef
∂r 2 ∣ ∣∣∣r0
) −1/2
. (3.202)
Figura 3.24: Ángulo de precesión ∆θ durante un período de oscilación radial.
La dirección del perihelio r min cambia en un ángulo ∆θ durante la precesión de la
órbita. La condición para que ocurra precesión es que ∆θ < 2π, es decir, ˙θ < ω r .

132
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Ejemplos.
1. Si f(r) = −kr n , (k > 0), determinar los valores del exponente n que producen
órbitas circulares estables.
Tenemos
∂f
∂r = −knrn−1 (3.203)
La condición de estabilidad Ec. (3.190) da
−3kr n−1
o
− nkr n−1
o < 0,
n > −3 . (3.204)
En particular, la fuerza gravitacional (n = −2) y la fuerza de un resorte (Ley de
Hooke) (n = 1) producen órbitas circulares estables.
2. Calcular ∆θ para oscilaciones radiales alrededor de una órbita circular de radio r o
para una partícula en el potencial V (r) = g(r) − k r
, con k cte.
El potencial efectivo es
y su derivada es
El radio r o satisface
∂V ef
∂r
V ef = V (r) +
l2
2µr 2
= g(r) − k r + l2
2µr 2 , (3.205)
∂V ef
∂r
∣
∣
ro
= g′ (r) + k r 2 − l2
µr 3 . (3.206)
= g ′ (r o ) + k r 2 o
− l2
µr 3 o
= 0 , (3.207)
luego
La frecuencia radial es
ω 2 r = 1 µ
l = [ µ ( g ′ (r o )r 3 o + kr o
)] 1/2
. (3.208)
∣
∂ 2 V ef ∣∣∣ro
∂r 2 = 1 (
g ′′ (r o ) − 2k )
µ
ro
3 + 3l2
µr0
4 . (3.209)
Sustituyendo l 2 ,
[
ωr 2 = 1 µ
g ′′ (r o ) − 2k
ro
3 + 3 ro
4
= 1 µ
(
g ′′ (r o ) + 3 r o
g ′ (r o ) + k r 3 o
]
(g ′ (r o )ro 3 + kr o )
)
. (3.210)

3.6. ESTABILIDAD DE ÓRBITAS CIRCULARES Y ÁNGULO DE PRECESIÓN.133
La velocidad angular es
˙θ =
l
µr 2 o
[ ( 1 g ′ (r o )
=
+ k )] 1/2
µ r o ro
3 . (3.211)
Luego,
∆θ = 2π
( ˙θ
ω r
)
⎛
= 2π ⎜
⎝
(
= 2π
g ′ (r o )
r o
+ k r 3 0
g ′′ (r o ) + 3 g′ (r o )
r o
+ k r 3 0
⎞
⎟
⎠
g ′ (r o )r 2 o + k
g ′′ (r o )r 3 o + 3g ′ (r o )r 2 o + k
1/2
) 1/2
. (3.212)
Note que si g = 0 (o g es constante), es decir, si V (r) = −k/r, entonces ∆θ = 2π,
i.e., no hay precesión.
El potencial gravitacional V (r) = −k/r no produce precesión (i.e., ∆θ = 2π).
Una órbita elíptica en el problema de Kepler no precesa (mantiene la dirección
del perihelio constante). Si se observa precesión, debe existir alguna perturbación
adicional al potencial V (r) = −k/r. En el sistema solar, la órbita del planeta
Mercurio presenta un ángulo de precesión de 43 ′′ (segundos de arco) por siglo,
cuya explicación fue dada por Einstein usando la Teoría de Relatividad General.
Figura 3.25: Precesión de la órbita del planeta Mercurio.

134
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Una órbita es cerrada si las coordenadas r y θ se repiten periódicamente. Para que
una órbita sea cerrada, ésta debe ser finita r ∈ [r min , r max ].
El ángulo θ en función de r puede calcularse mediante la Ec. (3.32),
θ =
√ l ∫ r
2µ
r 0
r 2 √
dr
E − V (r) −
+ θ 0 . (3.213)
l2
2µr 2
El ángulo de precesión barrido por el perihelio durante un período de oscilación radial
r min → r max → r min corresponde a
∆θ =
√ 2l ∫ rmax
2µ
r min
r 2 √
E −
dr
. (3.214)
l2
2µr 2 − V (r)
La órbita se cierra si
∆θ =
( m
n
)
2π , m, n, enteros, (3.215)
es decir, si ∆θ es una fracción racional de 2π. Por otro lado, el ángulo de precesión
está dado por
( ) ˙θ
∆θ = 2π , (3.216)
ω r
luego,
˙θ
ω r
= m n
⇒ nT r = mT θ . (3.217)
Una órbita es cerrada si el cociente ˙θ/ω r es un número racional. Después de n períodos
radiales (r min → r max → r min ), el perihelio completa m revoluciones (m2π) y la órbita
se cierra (se repite). Si ˙θ/ωr es un número irracional, la órbita resultante se denomina
cuasiperiódica y nunca se cierra.
Por ejemplo, si ∆θ = 2π/3, m = 1 y n = 3, la órbita se cierra después de 3 períodos
de oscilación radial, Fig. (3.26).
Figura 3.26: La órbita es cerrada si ∆θ/2π es igual a un número racional.

3.7.
DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 135
Teorema de Bertrand:
Las únicas formas funcionales de potenciales V (r) que producen órbitas cerradas
son V (r) ∝ 1 r (Kepler) y V (r) ∝ r2 (oscilador armónico).
Figura 3.27: Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900).
La mayoría de las órbitas observadas en el Universo (sistemas planetarios, estrellas
binarias, etc) son cerradas. Las pequeñas desviaciones detectadas de órbitas cerradas se
pueden atribuir a la presencia de otros cuerpos.
3.7. Dispersión en campo de fuerza central.
Dispersión (scattering) en un campo de fuerza central consiste en la desviación de la
trayectoria de una partícula con E > 0 debida a la interacción con un potencial V (r),
que puede ser atractivo o repulsivo. La partícula describe una trayectoria abierta desde
r = ∞ hasta r = r min y retorna a r = ∞, cambiando la dirección de su velocidad v.
El ángulo entre la dirección de la velocidad inicial y la dirección de la velocidad final se
denomina ángulo de dispersión χ.
En el problema de Kepler, la trayectoria de una partícula dispersada con E > 0 describe
una órbita hiperbólica. Ésta puede ser de dos tipos:
1) Potencial de Kepler atractivo: V = − k r .
Consideremos la ecuación de la órbita, Ec. (3.86),
donde u = 1/r. Para V = −ku, esta ecuación resulta en
l 2 µ (u′′ + u) = − dV
du , (3.218)
u ′′ + u = µk
l 2 , (3.219)
la cual es una ecuación diferencial inhomogénea ordinaria de segundo orden. Su solución
tiene la forma
u = u h + u p , (3.220)

136
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
donde u h es la solución de la ecuación homogénea
y u p es una solución particular. Se puede verificar que
mientras que la ecuación homogénea tiene como solución
Luego, la solucion se puede expresar
u ′′ h + u h = 0 , (3.221)
u p = kµ
l 2 , (3.222)
u h = A cos(θ − θ 0 ) . (3.223)
u = 1 r = kµ (1 + e cos θ) , (3.224)
l2 con la condición θ = 0 → r = r min y e = cte. Esta corresponde a la hipérbola
donde identificamos
puesto que E > 0. De la Ec. (3.225) obtenemos
q
= 1 + e cos θ , (3.225)
r
q = l2
µk , e = √
1 + 2El2
µk 2 > 1 , (3.226)
r min =
q , para θ = 0 , (3.227)
1 + e
r max → ∞ para cos θ max = − 1 e ⇒ θ max > π 2 . (3.228)
Figura 3.28: Órbita hiperbólica para V (r) = −k/r.
El potencial atractivo produce una desviación de la trayectoria que encierra al foco.
El ángulo de dispersión χ corresponde al ángulo entre las asíntotas: χ = 2θ max − π.

3.7.
DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 137
2) Potencial de Kepler repulsivo (por ejemplo, fuerza de Coulomb entre cargas del
mismo signo): V (r) = k r .
f(r) = − ∂V
∂r ˆr = k ˆr (3.229)
r2 La ecuación de la órbita en este caso es
u ′′ + u = − kµ
l 2 (3.230)
y su solución es u = u h + u p , donde u h es la solucion de la ecuación homogénea,
Ec. (3.221), y
u p = − kµ
l 2 (3.231)
luego, se puede expresar
u = 1 r = µk (e cos θ − 1) (3.232)
l2 con la condición θ = 0 → r = r min . Esto es
lo que corresponde a un hipérbola que no encierra al foco.
De la Ec. (3.233) obtenemos
q
= e cos θ − 1 (3.233)
r
r min =
q , para θ = 0 , (3.234)
e − 1
r max → ∞ , para cos θ max = 1 e ⇒ θ max < π 2 . (3.235)
La órbita no tiene intersección con el eje y. El potencial repulsivo causa una desviación
de la trayectoria hacia fuera del foco. El ángulo de dispersión es χ = π − 2θ max .
Figura 3.29: Órbita hiperbólica para V (r) = k/r.

138
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Ángulo de dispersión en un potencial central.
Consideremos una partícula de masa M en el foco y una partícula incidente desde
r → ∞ con una masa m ≪ M, en una órbita hiperbólica simétrica con respecto al eje x.
Tenemos que µ ≈ m, y asumimos que la energía inicial es E = 1 2 mv2 0.
Figura 3.30: Dispersión en un potencial repulsivo V (r).
El ángulo de dispersión χ es el ángulo entre la dirección del vector velocidad inicial
v 0 y la dirección del vector velocidad final v f .
Se define el parámetro de impacto b como la distancia perpendicular entre la dirección
de la velocidad inicial v 0 de la partícula incidente y la asíntota adyacente. Los datos
iniciales que se emplean generalmente en problemas de dispersión en campos centrales
son b y E.
Figura 3.31: Parámetro de impacto.
Puesto que la fuerza es central, la magnitud del momento angular es constante y se
puede expresar como
Luego,
donde hemos sustituido v 2 0 = 2E/m. Note que
l = rp sin(π − α) = mv 0 r sin α = mv 0 b (3.236)
e =
√
l 2 = m 2 v 2 0b 2 = 2Emb 2 (3.237)
1 + 2El2
mk 2
√
( ) 2 2Eb
= 1 + . (3.238)
k

3.7.
DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 139
El ángulo θ max está dado por la integral
sustituyendo l,
θ max =
√ l ∫ rmax
2m
r min
∫ ∞
θ max = b
r min
dr
√
r 2 E − V (r) −
dr
, (3.239)
l2
2mr 2
√
r 2 1 − V (r)
. (3.240)
E
− b2
r 2
Conociendo θ max , el ángulo de dispersión χ puede determinarse geométricamente.
Como una aplicación del cálculo del ángulo de dispersión de una partícula incidente
en un potencial central, consideremos un potencial de Coulomb repulsivo V (r) = k/r
entre una partícula situada en el foco con carga q = Ze y una partícula incidente con
carga q ′ = Z ′ e, energía E > 0 y parámetro de impacto b. Luego k = qq ′ = ZZ ′ e 2 .
La integral Ec. (3.240) con el cambio de variable
u = 1 r ,
du = −dr
r 2 , (3.241)
se convierte en
∫ um
du
θ max = b
0
√1 − k , (3.242)
E u − b2 u 2
donde los nuevos límites son u = 0 (r → ∞) y u m = 1/r min .
De la ecuación de una hipérbola en un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.233),
tenemos
La integral en la Ec. (3.242) da
r min =
q
e − 1
(3.243)
q u m = e − 1 (3.244)
l 2
mk u m = e − 1 (3.245)
1 + 2Eb2
k
u m = e (3.246)

140
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Luego,
⎡
( )
⎤u m
1 + 2b2 E
θ max = cos −1 k u ⎢√
( )
⎣
2 ⎥
2bE ⎦
1 +
k
0
⎡
⎤
= ✘ ✘ ✘ ✘✿ 0
cos −1 (1) − cos −1 1
⎢√
( )
⎣
2 ⎥
2bE ⎦ . (3.247)
1 +
k
1
cos θ max = √
( )
≡ 1
2
2bE
e , (3.248)
1 +
k
que es el mismo resultado que se obtiene directamente de la órbita hiperbólica correspondiente
a un potencial de Kepler repulsivo, Ec. (3.235). Podemos obtener
( ) ] 2 2bE
cos 2 θ max
[1 + = 1
k
( ) 2 2bE 1
=
k cos 2 − 1
θ max
( ) 2 2bE
= tan 2 θ max
k
tan θ max = 2bE
k . (3.249)
El ángulo de dispersión χ para un potencial de Coulomb repulsivo es
Luego,
tan θ max =
χ = π − 2θ max ⇒ θ max = π 2 − χ 2 . (3.250)
Sustituyendo en Ec. (3.249), obtenemos
( χ
)
cot = 2bE
2 k
sin(π/2 − χ/2)
cos(π/2 − χ/2) = cos(χ/2) ( χ
)
sin(χ/2) = cot . (3.251)
2
(3.252)
lo que permite expresar el ángulo de dispersión en función de datos iniciales b, E, y de
la constante k del potencial.
Consideremos los casos límites:

3.7.
DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 141
( χ
)
1. b = 0 ⇒ cot = 0 ⇒ χ = π. Choque frontal; la partícula retrocede completamente.
2
( χ
)
2. b → ∞ ⇒ cot → ∞ ⇒ χ = 0. No hay dispersión; la partícula pasa muy lejos
2
del centro repulsivo.
Sección eficaz de dispersión.
Generalmente se emplea un haz de partículas idénticas en experimentos de dispersión.
Las diferentes partículas en el haz tienen distintos parámetros de impacto con respecto
al centro de fuerza y, por lo tanto, son dispersadas con diferentes ángulos χ.
Se define la intensidad del flujo I como el número de partículas incidentes por unidad
de área y por unidad de tiempo,
I = # part. . (3.253)
A × t
Figura 3.32: Flujo de partículas incidentes sobre un blanco situado en f.
Las partículas en el haz incidente que poseen un mismo valor de b son dispersadas
en un cono con vértice en el foco f y ángulo de vértice χ, puesto que el problema posee
simetría axial. Este cono encierra un ángulo sólido Ω (Fig. (3.33)).
El diferencial de ángulo sólido dΩ es
Figura 3.33: Dispersión en ángulo sólido dΩ.
dΩ = dA
r 2
=
(2πr sin χ)(rdχ)
r 2 = 2π sin χdχ. (3.254)

142
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Sea n(Ω) el número partículas que son desviadas dentro del ángulo sólido Ω por
unidad de tiempo. Se define la sección eficaz de dispersión σ(Ω) como la fracción de
partículas incidentes que son desviadas dentro del ángulo sólido Ω por unidad de tiempo,
σ(Ω) = n(Ω)
I
. (3.255)
Note que la sección eficaz posee unidades de área. Luego, la expresión
dσ(Ω) = σ(Ω) dΩ , (3.256)
corresponde a la fracción de partículas dispersadas por unidad de tiempo en dΩ; es decir,
representa la probabilidad de dispersión en un diferencial de ángulo sólido dΩ.
La conservación del número de partículas por unidad de tiempo implica que
Esto es,
# part. incidentes entre b y b + db
t
=
I2πb db = Iσ(Ω) dΩ,
# part. dispersadas en ángulo dΩ
t
. (3.257)
2πb db = σ(Ω)2π sin χ dχ, (3.258)
luego, la sección eficaz σ(Ω) en función del ángulo de dispersión χ es
σ(χ) =
b
db
sin χ ∣dχ∣ , (3.259)
donde se toma el modulo de la derivada para garantizar que σ(χ) sea positivo, puesto
que representa una probabilidad.
Como una aplicación de la Ec. (3.259), consideremos el experimento de Rutherford
que condujo al descubrimiento del núcleo atómico. En este caso k = ZZ ′ e 2 , donde el
núcleo, que actúa como centro dispersor, tiene una carga Ze y las partículas incidentes
son partículas α (núcleos de helio), con carga Z ′ = 2e.
Figura 3.34: Experimento de Rutherford.
De la Ec. (3.252), tenemos
b =
k ( χ
)
2E cot , (3.260)
2

3.7.
DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 143
luego 1 ,
Sustituyendo en la Ec. (3.259), 2
σ(χ) =
k2
8E 2
∣ ∣∣∣ db
dχ∣ = k ( χ
)
4E csc2 . (3.261)
2
cot(χ/2) csc 2 (χ/2)
2 sin(χ/2) cos(χ/2) = 1 ( k
4 2E
) 2 ( csc 4 χ
)
, (3.262)
2
la cual es la sección eficaz encontrada experimentalmente por Rutherford 3 .
Note que σ(χ) es grande para χ → 0; lo que indica que la mayoría de las partículas
α pasan sin desviarse mucho. Sin embargo, para χ = π, σ(π) alcanza su valor mínimo,
no nulo; es decir, existe una probabilidad pequeña de observar partículas α dispersadas
completamente hacia atrás.
Figura 3.35: Sección eficaz de dispersión en función de χ en el experimento de Rutherford.
Figura 3.36: Ernest Rutherford (1871-1937).
1 Usamos d cot x = − csc 2 x.
dx
2 Usamos sin χ = 2 sin χ 2 cos χ 2 .
3 Una expresión similar para σ(χ) se obtiene en Mecánica Cuántica con el potencial V (r) = k/r.

144
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
3.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz.
Consideremos una partícula de masa m sujeta a la fuerza central f(r) = f(r)ˆr.
Entonces,
dp
dt = f(r) = f(r)ˆr = f(r)r r . (3.263)
Consideremos la derivada de la cantidad vectorial p × l,
0
d dp
(p × l) =
dt dt × l + dl
✁ ✁✕
✁dt × p = dp
dt
× (r × mv) , (3.264)
puesto que l es constante en un campo de fuerza central. Luego,
[ (
d
(p × l) = mf(r) r × r × dr )]
. (3.265)
dt r
dt
Usando la identidad vectorial
tenemos
a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) , (3.266)
[ (
d
(p × l) = mf(r) r r · dr )
− r 2 dr ]
. (3.267)
dt r dt dt
Esta expresión puede ser simplificada notando que
luego,
d
dr
(r · r) = 2r ·
dt dt = d dt (r2 ) = 2r dr
dt , (3.268)
[
d
dt (p × l) = mf(r) r dr
dt − r dr ]
. (3.269)
dt
Esta expresión puede simplicarse aún más si notamos que
esto es
luego,
d
( r
)
= dr 1
dt r dt r − r dr
r 2 dt , (3.270)
−r 2 d dt
( r
r
)
= r dr
dt − r dr
dt , (3.271)
d
dt (p × l) = d ( r
)
−mf(r)r2 . (3.272)
dt r
Consideremos la fuerza gravitacional en el problema de Kepler, f(r) = − k r 2 . Entonces,
d
dt (p × l) = mk d ( r
)
, (3.273)
dt r

3.8. EL VECTOR DE LAPLACE-RUNGE-LENZ. 145
es decir,
lo cual implica que el vector
d
(p × l − mkˆr) = 0 (3.274)
dt
A ≡ p × l − mkˆr = cte. (3.275)
El vector A se denomina vector de Laplace-Runge-Lenz y constituye otra cantidad conservada
en el problema de Kepler.
Figura 3.37: Vector de Laplace-Runge-Lenz en varias posiciones sobre una órbita Kepleriana.
De la definición de A se puede ver que
A · l = 0 , (3.276)
puesto que l es perpendicular a p × l y a r. Luego, de la ortogonalidad entre A y l, se
deriva que el vector A debe yacer sobre el plano del movimiento, el cual es perpendicular
a la dirección de l. La dirección de A es contante y apunta en la dirección del radio vector
del perihelio de la órbita. Luego, en el problema de Kepler, la dirección del perihelio se
mantiene constante; lo cual significa que no hay precesión.
Figura 3.38: Ángulo entre r y la dirección fija de A.
Si θ es el ángulo entre r y la dirección fija de A, el producto escalar de r y A da
r · A = Ar cos θ = r · (p × l) − mkr . (3.277)

146
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
luego,
o sea,
El producto triple es
r · (p × l) = l · (r × p) = l 2 , (3.278)
Ar cos θ = l 2 − mkr (3.279)
l 2 r = mk (
1 + A mk cos θ )
, (3.280)
la cual se puede escribir como
q
r = 1 + A cos θ , (3.281)
mk
donde q = l 2 /mk. Esto es, la ecuación de la órbita en coordenadas polares puede ser
deducida directamente a partir del vector de Laplace-Runge-Lenz. Comparando con la
ecuación de la órbita para el problema de Kepler, Ec. (3.101), vemos que la magnitud de
A es
A = mke . (3.282)
La magnitud de A también puede expresarse como
( )
A 2 = m 2 k 2 e 2 = m 2 k 2 1 + 2El2
mk 2 = m 2 k 2 + 2mEl 2 . (3.283)
Luego, la dirección del vector A provee una nueva cantidad conservada en el problema
de Kepler, pero su magnitud es dependiente de otras integrales del movimiento, l y E.
Figura 3.39: Izquierda: Pierre-Simon Laplace (1749 -1827). Centro: Carl Runge (1856-1927).
Derecha: Wilhem Lenz (1888-1957).
El sistema de dos cuerpos sujetos a la fuerza gravitacional que varía como el inverso
del cuadrado de la distancia constituye un sistema superintegrable, pues existen seis
grados de libertad (tres para cada partícula) y siete cantidades conservadas: las tres
componentes de la velocidad del centro de masa v cm , la dirección del momento angular
l, su magnitud l, la energía E y la dirección del vector de Laplace-Runge-Lenz A.

3.9. PROBLEMAS 147
3.9. Problemas
1. La velocidad angular máxima de cierto satélite alrededor del Sol es cuatro veces su
velocidad angular mínima.
a) Encuentre la excentricidad de la órbita del satélite.
b) Determine en cuánto debe disminuir su energía para caer en una órbita circular
con el mismo momento angular que su órbita original.
2. Dos partículas se mueven una alrededor de la otra en órbitas circulares con período
T , bajo la influencia de su mutua atracción gravitacional. Suponga que el movimiento
de ambas partículas es detenido repentinamente en un instante dado, y que
las partículas se dejan caer una hacia la otra. Encuentre el tiempo que tardan en
chocar.
3. Una partícula de masa m se mueve sin fricción sobre la superficie z = r 2 (coordenadas
cilíndricas), donde z es la dirección vertical.
a) Encuentre la condición de estabilidad de una órbita circular de radio r o sobre
esta superficie.
b) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de esta órbita
circular.
4. La sonda espacial Mariner IV fue diseñada para viajar de la Tierra a Marte en una
órbita elíptica alrededor del sol, con perihelio igual al radio de la órbita terrestre,
R T = 1UA, y afelio igual al radio de la órbita de Marte, R M = 1,5UA. Ambas
órbitas pueden considerarse aproximadamente circulares. Desprecie los efectos gravitacionales
de ambos planetas sobre el Mariner IV .
a) ¿Cuántos meses tardó el Mariner IV en llegar a Marte.
b) Calcule con qué velocidad relativa a la Tierra debió ser lanzado el Mariner IV
y con cuál dirección.
5. Un cometa de masa m se mueve en una trayectoria parabólica alrededor del sol y
cruza la órbita terrestre. Suponga que la órbita terrestre es circular y que está en el
mismo plano que la trayectoria del cometa. Encuentre el máximo número de días
que el cometa puede permanecer dentro de la órbita de la Tierra.
6. Una partícula se mueve en el potencial V (r) = a r + b
r 2 .
a) Determine la órbita de la partícula.
b) Dibuje esquemáticamente el potencial efectivo para este sistema.
7. Una partícula con momento angular l describe la órbita r = a(1 + cos θ).
a) Encuentre la fuerza central que produce esta órbita.
b) Calcule el período de esta órbita.
c) Determine la energía mínima que debe tener la partícula para escapar de esta
órbita.

148
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
8. Una partícula de masa m se mueve en un círculo de radio R bajo la influencia de
la fuerza de Yukawa
f(r) = − k r 2 e−r/a .
a) Determine la condición sobre la constante a tal que el movimento circular sea
estable.
b) Calcule el momento angular de la partícula.
c) Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de esta órbita
circular.
9. Encuentra la relación entre la distancia radial y el tiempo para un asteroide con
energía igual a cero, sujeto a la atracción solar.
10. Un planeta de masa m gira alrededor de una estrella de masa M. La estrella
está rodeada de un plasma de densidad uniforme ρ, que alcanza a envolver la
órbita del planeta.
a) Calcule el período de una órbita circular estable de radio r = r o para el planeta.
b) Calcule el momento angular de esta órbita circular.
c) Encuentre el ángulo de precesión, si la órbita circular es ligeramente perturbada.
11. Una partícula describe la órbita r = aθ 2 , con a = constante. Encuentre la fuerza
que causa esta órbita.
12. Se observa que un cometa está a 10 8 km del Sol y se mueve con una velocidad de
50,9 km/s que forma un ángulo de 45 o con el radio vector dirigido desde el Sol.
a) Determine los parámetros e y q de la órbita del cometa.
b) Calcule el ángulo al cual fue observado el cometa.
c) Calcule el período del cometa.
13. Una partícula se mueve en el potencial V (r) = a/r p + b/r q , donde a y b son
constantes.
a) Encuentre los valores de p y q que producen la órbita r = kθ 2 , con k constante.
b) Encuentre los valores de las constantes a y b en ese caso.
c) Determine y dibuje el potencial efectivo para esta órbita.
14. Un satélite se encuentra en una órbita circular de radio r o alrededor de la Tierra.
En un instante dado, los cohetes propulsores incrementan la velocidad tangencial
del satélite en un 20 %.
a) Calcule la excentricidad de la órbita resultante.
b) Calcule el apogeo de la órbita resultante del satélite.
15. Una partícula de masa m gira en un círculo de radio a, sometida a la fuerza central
f(r) = −kr (oscilador armónico esférico).
a) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la óbita
circular, si ésta es ligeramente perturbada.
b) Calcule el ángulo de precesión durante una oscilación radial.

3.9. PROBLEMAS 149
16. Dos partículas con masas m 1 y m 2 se sueltan en reposo cuando están separadas
por una distancia R. Calcule las velocidades de las partículas cuando la separación
entre ellas es r.
17. Una partícula de masa m se mueve en el potencial V (r) = − k r e−r/a , donde k > 0
y a > 0 son constantes.
a) Encuentre la condición de estabilidad de una órbita circular de radio r o .
b) Determine el período de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de esta órbita
circular.
18. Imagine una “escalera espacial“ que consiste en satélite terrestre formado por una
larga varilla uniforme alineada a lo largo de la dirección radial desde el centro de la
Tierra y colocada en órbita estacionaria ecuatorial. El extremo inferior de la varilla
alcanza a tocar la superficie de la Tierra. Calcule la longitud de la varilla.
19. La trayectoria de una partícula con momento angular l en un campo central se
puede describir por r = a cos θ.
a) Encuentre el potencial asociado a esta trayectoria.
b) Si la partícula se encuentra a una distancia a del centro de atracción, calcule el
tiempo que la partícula tarda en caer al centro.
c) Determine la energía total de la partícula.
20. Una partícula de masa m y momento angular l se mueve en el potencial V = −k/r 2 .
a) Encuentre la condición para que la partícula caiga al centro de atracción.
b) Determine la órbita descrita por la partícula para alcanzar el centro.
21. Una partícula se mueve en una órbita dada por r = R e −αθ , donde R y α son
constantes.
a) Encuentre la fuerza que causa esta órbita.
b) Si la partícula se encuentra inicialmente a una distancia R del centro de atracción,
calcule el tiempo que tarda en caer al centro.
c) ¿Cuántas revoluciones completa la partícula hasta alcanzar el centro.
22. La Tierra se mueve en una órbita casi circular de radio 1,5 × 10 8 km alrededor
del Sol con una velocidad de 30 km/s. Se observa que la velocidad de un cometa
alrededor del Sol es 10 km/s en su perihelio y 10 km/s en su afelio.
a) Calcule la distancia del afelio para el cometa.
b) Calcule el período del cometa alrededor del Sol.

150
CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
23. Una partícula describe una órbita circular bajo la influencia de una fuerza central
atractiva f(r) = −k/r n , dirigida hacia un punto fijo en el círculo.
a) Demuestre que la fuerza debe variar como el inverso de la quinta potencia de la
distancia, es decir, n = 5.
b) Demuestre que la energía total de la partícula es cero.
c) Encuentre el período del movimiento.
24. Calcule el ángulo de precesión del perihelio de una partícula con momento angular l
y masa m moviéndose alrededor de una estrella de masa M que produce el potencial
V (r) = − GMm
r
+ ɛ , donde ɛ es una constante muy pequeña.
r2 25. Calcule la sección eficaz diferencial σ(χ) para dispersión de partículas con velocidad
v o en el potencial V (r) = k r 2 .
26. La sección eficaz total de dispersión σ T se define como
∫
∫ π
σ T = σ(Ω)dΩ = 2π σ(χ)dχ,
donde χ es el ángulo de dispersión. Calcule σ T para partículas con energía E en el
potencial
{ k
V (r) = r − k a , r < a.
0, r > a.
0

Capítulo 4
Oscilaciones pequeñas
4.1. Oscilaciones en una dimensión.
Consideremos un sistema con un grado de libertad, o reducible a un problema unidimensional
q. La energía total se puede expresar como
E = 1 2 a ˙q2 + V ef (q) , (4.1)
donde a representa parámetros constantes del sistema, como la masa de la partícula, etc,
y V ef (q) corresponde a un potencial efectivo. El Lagrangiano correspondiente es
L = 1 2 a ˙q2 − V ef (q) , (4.2)
La ecuación de movimiento para q, obtenida del Lagrangiano, se puede escribir como
donde la fuerza efectiva f ef (q) es
a¨q = f ef (q) , (4.3)
f ef (q) = − ∂V ef
∂q . (4.4)
La posición de equilibrio q 0 de la coordenada q está dada por la condición
f ef (q 0 ) = 0 ⇒ ∂V ef
∂q ∣ = 0 . (4.5)
q0
El equilibrio es estable si V ef (q 0 ) corresponde a un mímino del potencial efectivo V ef (q);
es decir,
∣
∂Vef
2 ∣∣∣q0
∂q 2 > 0 . (4.6)
151

152
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Figura 4.1: Pequeño desplazamiento η alrededor de la posición de equilibrio estable q 0.
Consideremos un desplazamiento pequeño η alrededor de un punto de equilibrio estable
q 0 ,
η
q = q 0 + η, con ≪ 1 . (4.7)
q 0
El valor del potencial V ef (q) = V ef (q 0 + η) cerca del punto de equilibrio q 0 se puede
obtener mediante una expansión de Taylor de V ef (q) alrededor de q = q 0 ,
∂V ef
V ef (q) = V ef (q 0 + η) = V (q 0 ) +
✚
∂q ✚✚✚❃0
∣ η + 1
q0
2
∂ 2 V ef
∂q 2 ∣ ∣∣∣q0
η 2 + · · · , (4.8)
donde V ef (q 0 ) es un valor constante y el segundo término se anula debido a la condición
de equilibrio Eq. (4.5). Luego, despreciando términos muy pequeños en potencias de η de
orden superior al cuadrático, se puede escribir el potencial cerca del punto de equilibrio
V ef (q) = V ef (q 0 + η) = 1 2 Kη2 , (4.9)
donde η = q − q 0 es el desplazamiento desde el equilibrio y
K ≡ ∂2 V ef
∂q 2 ∣ ∣∣∣q0
= constante > 0 . (4.10)
Luego, cerca del valor de equilibrio q 0 , el potencial corresponde al de un oscilador armónico.
La ecuación de movimiento para η se obtiene sustituyendo q = q 0 + η en la Ec. (4.3),
a¨η = − ∂V ef
∂q (q 0 + η) = − ∂V ef ∂η
∂η ∂q
a¨η = −Kη. (4.11)
Entonces, la ecuación de movimiento para el pequeño desplazamiento η es
¨η + ω 2 η = 0, (4.12)

4.1. OSCILACIONES EN UNA DIMENSIÓN. 153
donde
ω 2 ≡ K a = 1 a
∂ 2 V ef
∂q 2 ∣ ∣∣∣q0
(4.13)
es la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones alrededor de q 0 .
La Eq. (4.12) tiene solución
η(t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt = A cos(ωt + ϕ), (4.14)
donde A es la amplitud de las oscilaciones y ϕ es la fase. En general, se emplea la notación
compleja
e i(ωt+ϕ) = cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ). (4.15)
Luego,
η(t) = Re[Ae i(ωt+ϕ) ] = Re(ce iωt ), (4.16)
donde c = Ae iϕ es la amplitud compleja. Se acostumbra escribir simplemente
η(t) = ce iωt , (4.17)
sobreentendiéndose que se toma la parte real de esta expresión para η. Las soluciones
de ecuaciones de movimiento para sistemas oscilatorios escritas en forma compleja son
convenientes porque la expresión e ix no cambia su forma bajo integración o diferenciación.
Ejemplo.
1. Encontrar la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor de un radio de equilibrio
r 0 para una partícula de masa m moviéndose sobre un cono vertical con ángulo de
vértice α.
Figura 4.2: Pequeñas oscilaciones alrededor de radio r 0 para una partícula sobre un cono.
El Lagrangiano de este sistema fue calculado en los capítulos anteriores. La energía
cinética es
T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙θ2 ) . (4.18)

154
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
La energía potencial es
El Lagrangiano es
V = mgz = mgr cot α . (4.19)
L = T − V = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙θ2 ) − mgr cot α . (4.20)
La ecuación de movimiento para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L
∂θ = 0 . (4.21)
El ángulo θ es una coordenada cíclica,
La ecuación para r es
la cual resulta en
Sustituyendo ˙θ =
∂L
∂θ = 0 ⇒ ∂L
∂ ˙θ = mr2 ˙θ = lz = cte. (4.22)
d
dt
( ) ∂L
− ∂L
∂ṙ ∂r = 0 , (4.23)
m¨r csc 2 α − mr ˙θ 2 + mg cot α = 0 . (4.24)
l z
, podemos expresar la Ec. (4.24) como
mr2 m¨r =
l2 z
mr 3 sin2 α − mg sin α cos α , (4.25)
la cual tiene la forma de un problema unidimensional Ec. (4.3), con m = a, y donde
podemos identificar la fuerza efectiva
f ef (r) = − ∂V ef
∂r = l2 z
mr 3 sin2 α − mg sin α cos α . (4.26)
La posición de equilibrio r o está dada por
El potencial efectivo es
f ef (r 0 ) = − ∂V ef
∂r
l2 z
⇒
m 2 r0
3
∣ = 0 (4.27)
r0
= g cos α
sin α
⇒ r 3 0 = l2 z tan α
m 2 g
(4.28)
. (4.29)
V ef (r) = l2 z sin 2 α
2mr 2 + mgr sin α cos α , (4.30)

4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 155
luego,
∣
∂ 2 V ef ∣∣∣r0
∂r 2 = 3l2 z sin 2 α
mr0
4 = 3mg sin α cos α ≡ K . (4.31)
r 0
La frecuencia angular para pequeñas oscilaciones alrededor de r 0 es
ω 2 = K m = 1 m
∂ 2 V ef
∂r 2 ∣ ∣∣∣r0
= 3g
r 0
sin α cos α, (4.32)
y el movimiento de la pequeña oscilación η = r − r 0 se puede expresar en la forma
de la Ec. (4.12).
4.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad.
Consideremos un sistema con s grados de libertad cuya energía potencial es V (q 1 , . . . , q s ).
La configuración de equilibrio de este sistema corresponde a un conjunto de valores
{q 0i : i = 1, . . . , s}; donde los q 0i están dados dados por las s condiciones
∂V
∂q i
∣ ∣∣∣q0i
= 0 , i = 1, 2, . . . , s. (4.33)
La configuración de equilibrio {q 0i } es estable si los valores q 0i , ∀i, corresponden a un
mínimo de V (q 1 , q 2 , . . . , q s ):
∂ 2 V
∂qi
2 ∣ > 0 . (4.34)
q0i
Figura 4.3: Potencial V (q 1, q 2), mostrando las posiciones de equilibrio (q 01, q 02).

156
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Consideremos pequeñas oscilaciones alrededor de las posiciones de equilibrio estable
q 0i . La pequeña desviación del equilibrio correspondiente a la coordenada q i la denotaremos
por η i ,
η i
q i = q 0i + η i , con ≪ 1 . (4.35)
q 0i
El valor del potencial V (q 1 , . . . , q s ) cerca de la configuración de equilibrio se puede
obtener mediante la expansión de Taylor en varias variables de V (q 1 , . . . , q s ) alrededor
de {q 0i }, con q i = q 0i + η i ,
V (q 1 , . . . , q s ) = V (q 01 , . . . , q 0s ) + ∑ ( ∂V
∂q
i ✚ ✚✚✚✚❃0 η i +
i
)q 1 ∑ ∑
( ∂ 2 )
V
η i η j + · · · ,
0i
2 ∂q
i j i ∂q j q i0,q j0
(4.36)
donde V (q 01 , . . . , q 0s ) es un valor constante. Luego, cerca de la configuración de equilibrio
q i = q 0i + η i , el potencial se puede expresar como
V (q 1 , . . . , q s ) = V (η 1 , . . . , η s ) = 1 ∑
V ij η i η j , (4.37)
2
donde definimos los coeficientes
( ∂ 2 V
V ij ≡
. (4.38)
∂q i ∂q j
)(q 0i,q 0j)
Estos coeficientes son simétricos, i.e., V ij = V ji , y dependen de propiedades locales del
potencial cerca de la configuración de equilibrio y, por tanto, son característicos de cada
sistema.
La energía cinética del sistema cerca de la configuración de equilibrio también puede
expresarse en función de los pequeños desplazamientos η i ,
T = 1 ∑
T ij ˙q i ˙q j = 1 ∑
T ij
2
2
(✚˙q ✚❃0 0i + ˙η i )( ✚ ˙q ✚❃ 0
0j + ˙η j ) , (4.39)
i,j
(los valores q 0i son constantes). Luego,
i,j
i,j
T = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j , (4.40)
2
i,j
donde los coeficientes T ij = T ji representan parámetros constantes que dependen de
propiedades del sistema (masas, longitudes, etc.).
El Lagrangiano del sistema cerca de la configuración de equilibrio es
L = T − V = 1 ∑
(T ij ˙η i ˙η j − V ij η i η j ) i, j = 1, 2, . . . , s. (4.41)
2
i,j

4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 157
La ecuación de movimiento para una pequeña desviación del equilibrio η k es
d
dt
( ∂L
∂ ˙η k
)
− ∂L
∂η k
= 0. (4.42)
Evaluamos los términos
⎛
∂L
= 1 ∑
T ij (δ ik ˙η j + δ jk ˙η i ) = 1 ⎝ ∑ T kj ˙η j + ∑ ∂ ˙η k 2
2
i,j
j
i
∂L
= − 1 ∑
(V ij δ ik η j + V ij δ jk η i ) = − ∑ V kj η j .
∂η k 2
i,j
j
T ik ˙η i
⎞
⎠ = ∑ j
T kj ˙η j ,
Luego, la ecuación de movimiento Ec. (4.42) para la desviación η k queda
∑
(T kj ¨η j + V kj η j ) = 0 , (4.43)
j
donde cada término de la suma tiene la forma de una ecuación para un oscilador armónico.
Existen s ecuaciones de movimiento de este tipo para el sistema, k = 1, 2, . . . , s. La
solución de la Ec. (4.43) tiene la forma
η j (t) = a j e iωt , (4.44)
donde ω es la frecuencia del movimiento oscilatorio. Sustituyendo en la Ec. (4.43), junto
con ¨η j = −ω 2 a j e iωt , obtenemos
∑
(−ω 2 T kj + V kj )a j e iωt = 0
j
⇒ ∑ j
(V ij − ω 2 T ij )a j = 0 , (4.45)
donde hemos renombrado el índice k → i. El conjunto de ecuaciones Ec. (4.45) para
los grados de libertad i = 1, 2, . . . , s constituye un sistema de s ecuaciones lineales homogéneas
para los coeficientes a j , con j = 1, 2, . . . , s. Como ejemplo, consideremos el
sistema Ec. (4.45) con s = 2,
i = 1 : (V 11 − ω 2 T 11 )a 1 + (V 12 − ω 2 T 12 )a 2 = 0
i = 2 : (V 21 − ω 2 T 21 )a 1 + (V 22 − ω 2 T 22 )a 2 = 0.
(4.46)
En general, existe solución no trivial η j (t) ≠ 0 si a j ≠ 0, ∀j. Esta condición se
cumple para los coeficientes a 1 , . . . , a s en el sistema Ec. (4.45) si el determinante de estos
coeficientes es cero:
det ∣ ∣
∣V ij − ω 2 T ij = 0 . (4.47)
La condición Ec. (4.47) constituye una ecuación algebraica de grado s para ω 2 , que se
denomina ecuación característica. Las s raíces de la ecuación característica dan como

158
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
resultado s valores para las frecuencias ω 2 , llamadas frecuencias características del sistema,
que corresponden a los diferentes modos de oscilaciones del sistema alrededor de
su configuración de equilibrio.
Las frecuencias ω deben ser reales para que las soluciones tengan sentido físico. Si
alguna ω es compleja, entonces se puede escribir como ω = a + bi y, por lo tanto,
e iωt = e iat e −bt . Como consecuencia, la solución η(t) ∝ e −bt crece o decrece en el tiempo
y la energía no se conservaría, E ∝ e −bt .
Ejemplos.
1. Encontrar las frecuencias de un sistema de dos partículas de masa m conectadas
mediante resortes horizontales, cada uno con constante k y longitud en reposo l.
El sistema posee dos grados de libertad (s = 2). Consideremos pequeños desplazamientos
del equilibrio η 1 y η 2 , con x i = x 0i + η i , como se muestra en la Fig. (4.4).
Figura 4.4: Oscilaciones de dos partículas conectadas mediante resortes horizontales.
La energía cinética en función de los pequeños desplazamientos del equilibrio es
donde identificamos los coeficientes
T = 1 2 m ˙η2 1 + 1 2 m ˙η2 2 = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j (4.48)
2
i,j
T 11 = m, T 22 = m, T 12 = T 21 = 0. (4.49)
La energía potencial del sistema en términos de los pequeños desplazamientos del
equilibrio es
V = 1 2 kη2 1 + 1 2 k(l′ − l) 2 + 1 2 kη2 2 = 1 2 k[η2 1 + (η 2 − η 1 ) 2 + η 2 2] , (4.50)
donde hemos usado la siguiente relación, observando la Fig. (4.4),
l ′ − l = (x 2 − x 1 ) − (x 02 − x 01 ) = η 2 − η 1 . (4.51)

4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 159
Luego,
V = 1 2 [2kη2 1 + 2kη2 2 − 2kη 1 η 2 ] = 1 ∑
V ij η i η j , (4.52)
2
donde podemos identificar los los coeficientes
V 11 = 2k, V 22 = 2k, V 12 = V 21 = −k. (4.53)
La condición Ec. (4.47) para este sistema es
∣ V 11 − ω 2 T 11 V 12 − ω 2 T 12
V 21 − ω 2 T 21 V 22 − ω 2 T 22
∣ ∣∣∣
= 0 . (4.54)
i,j
Sustituyendo los coeficientes T ij y V ij , tenemos
∣ 2k − ω2 m −k
−k 2k − ω 2 m
∣ = 0. (4.55)
La ecuación característica resultante es
Luego,
(2k − ω 2 m) 2 − k 2 = 0, (4.56)
2k − ω 2 m = ±k, (4.57)
⇒ ω 2 = 2k ± k
m . (4.58)
ω 1 =
√
3k
m , ω 2 =
√
k
m . (4.59)
2. Encontrar las frecuencias para pequeñas oscilaciones de un péndulo doble.
Figura 4.5: Péndulo doble.
Las energías cinética y potencial de este sistema fueron calculadas en el Cap. 1 en
términos de las coordenadas generalizadas θ 1 y θ 2 ,
T = 1 2 (m 1 + m 2 )l 2 1 ˙θ 2 1 + 1 2 m 2l 2 2 ˙θ 2 2 + m 2 l 1 l 2 ˙θ1 ˙θ2 cos(θ 1 − θ 2 ) , (4.60)

160
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
V = −(m 1 + m 2 )gl 1 cos θ 1 − m 2 gl 2 cos θ 2 . (4.61)
Las posiciones de equilibrio están dadas por
∂V
∂θ 1
∣ ∣∣∣θ01
= 0 ,
∂V
∂θ 2
∣ ∣∣∣θ02
= 0 ⇒ θ 01 = 0, θ 02 = 0. (4.62)
La energía potencial es mínima para estos valores de las coordenadas en el equilibrio.
Consideremos pequeñas oscilaciones alrededor de la configuración de equilibrio,
θ 1 = θ 01 + η 1 = η 1 , θ 2 = θ 02 + η 2 = η 2 , (4.63)
donde η 1 y η 2 son pequeños. Luego, cerca del equilibrio,
cos θ 1 = cos η 1 ≃ 1 − η2 1
2 , cos θ 2 = cos η 2 ≃ 1 − η2 2
2 , (4.64)
cos(θ 1 − θ 2 ) = cos(η 1 − η 2 ) ≃ 1 − 1 2 (η 1 − η 2 ) 2 . (4.65)
Manteniendo términos hasta segundo orden, obtenemos
T = 1 2 (m 1 + m 2 )l 2 1 ˙η 2 1 + 1 2 m 2l 2 2 ˙η 2 2 + m 2 l 1 l 2 ˙η 1 ˙η 2 , (4.66)
V = 1 2 (m 1 + m 2 )gl 1 η1 2 + 1 2 m 2gl 2 η2 2 , (4.67)
donde se han suprimido términos constantes en V .
Comparando con las formas generales cerca del equilibrio, tenemos
T = 1 2
obtenemos los coeficientes
∑
T ij ˙η i ˙η j , V = 1 ∑
V ij η 1 η j , (4.68)
2
i,j
i,j
T 11 = (m 1 + m 2 )l1, 2 T 22 = m 2 l2, 2 T 12 = T 21 = m 2 l 1 l 2
V 11 = (m 1 + m 2 )gl 1 , V 22 = m 2 gl 2 , V 12 = V 21 = 0.
(4.69)
Los coeficientes V ij también pueden obtenerse directamente como
V 11 =
V 22 =
( ∂ 2 )
V
∂θ 2 1
( ∂ 2 )
V
∂θ 2 2
(θ 01,θ 02)
(θ 01,θ 02)
= (m 1 + m 2 )gl 1 , (4.70)
= m 2 gl 2 , (4.71)
( ∂ 2 V
V 12 = V 21 =
= 0. (4.72)
∂θ 1 ∂θ 2
)(θ 01,θ 02)

4.3. MODOS NORMALES. 161
La condición Ec. (4.47) para estos coeficientes es
∣ V 11 − ω 2 T 11 −ω 2 T 12
−ω 2 T 21 V 22 − ω 2 T 22
∣ ∣∣∣
= 0 . (4.73)
La ecuación característica es
(V 11 − ω 2 T 11 )(V 22 − ω 2 T 22 ) − (ω 2 ) 2 T 2 12 = 0. (4.74)
Con el cambio de notación ω 2 ≡ x, tenemos
Luego,
V 11 V 22 − (T 11 V 22 + T 22 V 11 )x + (T 11 T 22 − T 2 12)x 2 = 0. (4.75)
x = ω 2 = (T 11V 22 + T 22 V 11 ) ± √ (T 11 V 22 + T 22 V 11 ) 2 − 4(T 11 T 22 − T 12 )V 11 V 22
2(T 11 T 22 − T 12 ) 2 ,
donde sustituimos los términos
(4.76)
T 11 V 22 − T 22 V 11 = (m 1 + m 2 )m 2 gl 2 1l 2 + (m 1 + m 2 )m 2 l 1 l 2 2 = (m 1 + m 2 )m 2 gl 1 l 2 (l 1 + l 2 )
T 11 T 22 − T12 2 = (m 1 + m 2 )m 2 l1l 2 2 2 + m 2 2l1l 2 2 2 = m 1 m 2 l1l 2 2
2
V 11 V 22 = (m 1 + m 2 )m 2 l 1 l 2 g 2 .
Luego,
ω1,2 2 g
[
= (m 1 + m 2 )(l 1 + l 2 ) ± √ ]
(m 1 + m 2 )[(m 1 + m 2 )(l 1 + l 2 )
2m 1 l 1 l 2 − 4m 1 l 1 l 2 ] .
2
(4.77)
En el caso m 1 ≫ m 2 , las frecuencias tienden a los valores correspondientes a oscilaciones
independientes de dos péndulos simples,
ω 2 1,2 =
g
2m 1 l 1 l 2
[m 1 (l 1 + l 2 ) ± m 1 (l 1 − l 2 )] (4.78)
⇒ ω 2 1 = g l 1
, ω 2 2 = g l 2
. (4.79)
4.3. Modos normales.
Hemos visto que las s ecuaciones de movimiento para un sistema con s grados de
libertad que realiza pequeñas oscilaciones {η 1 , η 2 , . . . , η s } alrededor de los valores de
equilibrio de sus coordenadas generalizadas {q 01 , q 02 , . . . , q 0s } son
∑
(T ij ¨η j + V ij η j ) = 0, i = 1, 2, . . . , s. (4.80)
j

162
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
La solución particular de la forma η j (t) = a j e iωt conduce a las s ecuaciones
∑
(V ij − ω 2 T ij )a j = 0 i = 1, 2, . . . , s. (4.81)
La condición Ec. (4.47)
j
det ∣ ∣ Vij − ω 2 T ij
∣ ∣ = 0 , (4.82)
implica la existencia de soluciones no triviales a j ≠ 0, ∀j, y permite calcular las s frecuencias
de las pequeñas oscilaciones mediante las soluciones del polinomio característico
resultante de la Ec. (4.47). Denotamos estas frecuencias por w k , k = 1, 2, . . . , s.
Para cada ω k , existe una solución η j (t) = a j (ω k )e iω kt y, por lo tanto, existe un sistema
de s ecuaciones del tipo Ec. (4.81) para los coeficientes a j (ω k ). Por ejemplo, para s = 2,
i = 1 : (V 11 − ωk 2T 11)a 1 + (V 12 − ωk 2T 12)a 2 = 0
i = 2 : (V 21 − ωk 2T 21)a 1 + (V 22 − ωk 2T 22)a 1 = 0 .
(4.83)
Hay 2 ecuaciones para cada ω k , (k = 1, 2). Sustitución de una ω k da 2 ecuaciones lineales
para a 1 (ω k ) y a 2 (ω k ) que permiten obtener las amplitudes relativas a 1(ω k )
a 2 (ω k ) .
Note que, puesto que las frecuencias ω k son reales, los coeficientes a j (ω k ) también
deben ser reales.
La solución general de la ecuación de movimiento para el pequeño desplazamiento
η j (t) consiste en la superposición de las soluciones particulares correspondientes a cada
ω k ,
η j (t) = ∑ c k a j (ω k )e iωkt , (4.84)
k
donde c k son coeficientes que representan la fase compleja. Cabe recordar que se debe
tomar la parte real para tener las soluciones oscilatorias físicas.
Definimos las coordenadas o modos normales del sistema como
ξ k ≡ c k e iω kt , k = 1, 2, . . . , s. (4.85)
Luego, se puede escribir
η j (t) = ∑ k
a j (ω k )ξ k , (4.86)
es decir, la solución general es una combinación lineal de las coordenadas normales. En
el caso de s = 2, las soluciones generales para los pequeños desplazamientos son
η 1 = a 1 (ω 1 )ξ 1 + a 1 (ω 2 )ξ 2 , η 2 = a 2 (ω 1 )ξ 1 + a 2 (ω 2 )ξ 2 . (4.87)
Cada coordenada normal ξ k satisface la ecuación
¨ξ k + ω 2 kξ k = 0 , (4.88)
que corresponde a un oscilador armónico simple. Luego, cada ξ k describe una oscilación
global del sistema con una sola frecuencia ω k : todas las partículas oscilan con la misma

4.3. MODOS NORMALES. 163
frecuencia ω k , pero con amplitudes a j (ω k ) que pueden ser distintas entre sí. Por ejemplo,
para el modo normal ξ 2 , con s = 2, tenemos
η 1 = a 1 (ω 2 )ξ 2 , η 2 = a 2 (ω 2 )ξ 2 , (4.89)
es decir, cada uno de los 2 grados de libertad oscila con la frecuencia ω 2 alrededor de su
posición de equilibrio, pero con amplitudes respectivas a 1 (ω 2 ) y a 2 (ω 2 ).
En general, la configuración de un modo normal ξ k está dada por las amplitudes
relativas correspondientes a ese modo; es decir, por los cocientes de las amplitudes a i(ω k )
a j (ω k ) .
En sistemas que presentan oscilaciones pequeñas con varios grados de libertad, la
frecuencia mayor corresponde al modo normal con amplitudes en fases opuestas.
Ejemplos.
1. Encontrar las frecuencias y la configuración de los modos normales de vibración en
un modelo de la molécula lineal CO 2 .
Figura 4.6: Modelo de la molécula triatómica lineal CO 2.
M es la masa del átomo C; m es masa de los átomos O; l es la separación entre las
posiciones de equilibrio de los átomos; la constante k describe la interacción C-O
como un resorte; l 1 , l 2 , miden las distancias entre los átomos fuera del equilibrio.
Sean x 01 , x 02 , x 03 las posiciones de equilibrio de las tres partículas, respectivamente.
Consideremos pequeños desplazamientos del equilibrio,
La energía cinética es
η i = x i − x 0i , i = 1, 2, 3. (4.90)
T = 1 2 mẋ2 1 + 1 2 Mẋ2 2 + 1 2 mẋ2 3
= 1 2 m ˙η2 1 + 1 2 M ˙η2 2 + 1 2 m ˙η2 3. (4.91)

164
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
La energía potencial es
V = 1 2 k(l 1 − l) 2 + 1 2 k(l 2 − l) 2 , (4.92)
donde
l 1 − l = (x 2 − x 1 ) − (x 02 − x 01 ) = η 2 − η 1 , (4.93)
l 2 − l = (x 3 − x 2 ) − (x 03 − x 02 ) = η 3 − η 2 . (4.94)
Luego,
V = 1 2 k(η 2 − η 1 ) 2 + 1 2 k(η 3 − η 2 ) 2
= 1 2 k(η2 1 + 2η2 2 + η3 2 − 2η 1 η 2 − 2η 2 η 3 ). (4.95)
Comparando con las formas generales cerca del equilibrio,
T = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j , V = 1 ∑
V ij η i η j , (4.96)
2
2
i,j
identificamos los coeficientes T ij ,
i,j
T 11 = m T 12 = 0 T 13 = 0
T 21 = 0 T 22 = M T 23 = 0
T 31 = 0 T 32 = 0 T 33 = m,
(4.97)
y los coeficientes V ij ,
V 11 = k V 12 = −k V 13 = 0
V 21 = −k V 22 = 2k V 23 = −k
V 31 = 0 V 32 = −k V 33 = k.
(4.98)
Las frecuencias están dadas por la condición det |V ij − ω 2 T ij | = 0; es decir,
k − ω 2 m −k 0
−k 2k − ω 2 M −k
= 0, (4.99)
∣ 0 −k k − ω 2 m ∣
la cual conduce a la siguiente ecuación característica cúbica para ω 2 ,
(k − ω 2 m) [ (2k − ω 2 M)(k − ω 2 m) − k 2] − k 2 (k − ω 2 m) = 0 (4.100)
⇒ ω 2 (k − ω 2 m) [ k(M + 2m) − ω 2 Mm ] = 0. (4.101)
con soluciones
ω 1 = 0 , ω 2 =
√
k
m , ω 3 =
√
k
m
(
1 + 2m )
. (4.102)
M

4.3. MODOS NORMALES. 165
Las frecuencias ω 2 y ω 3 para la molécula de CO 2 se encuentran en el infrarrojo. La
frecuencia angular ω 1 = 0 corresponde a una traslación uniforme de la molécula,
puesto que la Ec. (4.88) implica
¨ζ 1 = 0 ⇒ ˙ζ 1 = cte ⇒ reposo o velocidad constante. (4.103)
La ecuación para las amplitudes a j
∑
(V ij − ωkT 2 ij )a j = 0, (4.104)
equivale a un sistema de 3 ecuaciones para cada ω k ,
j
i = 1 : (k − ωk 2m)a 1 − ka 2 = 0
i = 2 : −ka 1 + (2k − ωk 2M)a 2 − ka 3 = 0
i = 3 : −ka 2 + (k − ωk 2m)a 3 = 0.
(4.105)
Para ω 1 ,
a 1 (ω 1 ) = a 2 (ω 1 ) = a 3 (ω 1 ). (4.106)
Figura 4.7: Configuración del modo normal correspondiente a ω 1.
Para ω 2 ,
luego,
k − ω 2 2m = 0, (4.107)
a 2 (ω 2 ) = 0, a 1 (ω 2 ) = −a 3 (ω 2 ). (4.108)
Figura 4.8: Configuración del modo normal correspondiente a ω 2.
Para ω 3 , tenemos
(
k − ω3m 2 = k − k 1 + 2m )
= − 2mk
M M
(4.109)

166
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
luego,
a 1 (ω 3 ) = a 3 (ω 3 ) (4.110)
a 2 (ω 3 ) = k − ω2 3m
a 1 (ω 3 ) = − 2m k
M a 1(ω 3 ) (4.111)
Figura 4.9: Configuración del modo normal correspondiente a ω 3.
La configuración de los modos normales refleja el hecho que el momento lineal total
de la molécula es constante, puesto que la fuerza externa total sobre la molécula es
cero.
2. Encontrar las frequencias de pequeñas oscilaciones y los modos normales de un
péndulo con soporte deslizante horizontalmente.
Figura 4.10: Péndulo con soporte deslizante horizontalmente.
El Lagrangiano de este sistema ya fue obtenido en el Cap. 1. La energía cinética es
y la energía potencial,
T = 1 2 (m 1 + m 2 )ẋ 2 1 + 1 2 m 2(l 2 ˙θ2 + 2lẋ 1 ˙θ cos θ) , (4.112)
Las posiciones de equilibrio son θ 0 = 0, x 0 ; luego
V = −m 2 gl cos θ. (4.113)
η 1 = x 1 − x 0 , η 2 = θ − θ 0 = θ. (4.114)
Para pequeños desplazamientos, cos θ = cos η ≈ 1 − η2
2 . Luego,
T = 1 2 (m 1 + m 2 ) ˙η 2 1 + 1 2 m 2(l 2 ˙η 2 2 + 2l ˙η 1 ˙η 2 ) (4.115)

4.3. MODOS NORMALES. 167
V = 1 2 m 2glη2. 2 (4.116)
Comparando con las formas generales cerca del equilibrio,
identificamos los coeficientes V ij ,
V = 1 ∑
V ij η i η j ,
2
i,j
(4.117)
T = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j ,
2
(4.118)
i,j
V 11 = 0, V 12 = 0
V 21 = 0, V 22 = m 2 gl
(4.119)
y los coeficientes T ij ,
T 11 = (m 1 + m 2 ), T 12 = m 2 l
T 21 = m 2 l, T 22 = m 2 l 2 .
(4.120)
Las frecuencias están dadas por la condición det |V ij − ω 2 T ij | = 0,
∣ −ω2 T 11 −ω 2 T 12
−ω 2 T 21 V 22 − ω 2 T 22 , ∣ = 0 (4.121)
la cual conduce a la siguiente ecuación característica cuadrática para ω 2 ,
cuyas soluciones son
(ω 2 ) 2 T 2 12 + ω 2 T 11 (V 22 − ω 2 T 22 ) = 0, (4.122)
ω 2 1 = 0, (4.123)
ω2 2 T 11 V 22 (m 1 + m 2 )m 2 gl
=
T 11 T 22 − T12
2 =
(m 1 + m 2 )m 2 l 2 − m 2 = (m 1 + m 2 ) g
2 l2 m 1 l . (4.124)
Note que si m 1 → ∞ (soporte fijo), entonces ω 2 2 = g/l, correspondiente a la frecuencia
para pequeñas oscilaciones de un péndulo simple.
La ecuación para las amplitudes a j
∑
(V ij − ωkT 2 ij )a j = 0, (4.125)
equivale a un sistema de 2 ecuaciones para cada ω k ,
j
i = 1 : −ωk 2(m 1 + m 2 )a 1 − ωk 2m 2la 2 = 0
i = 2 : −ωk 2m 2la 1 − (m 2 gl − ωk 2m 2l 2 )a 2 = 0.
(4.126)
Para ω 1 = 0, las amplitudes del modo correspondiente resultan en
a 2 (ω 1 ) = 0, a 1 (ω 1 ) = arbitrario. (4.127)

168
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Figura 4.11: Configuración del modo normal correspondiente a ω 1.
Para ω 2 ,
a 1 (ω 2 )
a 2 (ω 2 ) = − m 2 l
< 0, (4.128)
(m 1 + m 2 )
es decir, en este modo las partículas se mueven siempre con amplitudes opuestas.
Figura 4.12: Configuración del modo normal correspondiente a ω 2.
3. Dos osciladores armónicos con masas m 1 y m 2 , acoplados verticalmente mediante
resortes de constante k y longitud en reposo l.
Figura 4.13: Osciladores armónicos acoplados verticalmente.
Las posiciones de equilibrio de las masas m 1 y m 2 son y 01 y y 02 , respectivamente.
Los pequeños desplazamientos del equilibrio son η 1 = y 1 − y 01 , η 2 = y 2 − y 02 .

4.3. MODOS NORMALES. 169
La energía potencial del sistema es
V = 1 2 k(y 1 − l) 2 + 1 2 k(y 2 − y 1 − l) 2 − m 1 gy 1 − m 2 gy 2 . (4.129)
Las posiciones de equilibrio están dadas por
∣
∂V
= 0,
∂y 1
∣∣∣(y01,y 02)
∣
∂V
= 0 ; (4.130)
∂y 2
∣∣∣(y01,y 02)
esto es,
lo que conduce a
∣
∂V
= k(y 01 − l) − k(y 02 − y 01 − l) − m 1 g = 0 (4.131)
∂y 1
∣∣∣(y01,y 02)
∣
∂V
= k(y 02 − y 01 − l) − m 2 g = 0, (4.132)
∂y 2
∣∣∣(y01,y 02)
y 01 = l + (m 1 + m 2 )g
k
, y 02 = y 01 + l + m 2g
k . (4.133)
La energía potencial, Ec. (4.129), se puede expresar en términos de los pequeños
desplazamientos,
V = 1 2
∑
i,j
∣
V ij η i η j , donde V ij = ∂2 V
. (4.134)
∂y i ∂y j
∣∣∣(y01,y 02)
Luego,
V 12 =
∂2 V
V 11 = ∂2 V
∂y 2 1
V 22 = ∂2 V
∂y 2 2
∣ = 2k (4.135)
(y01,y 02) ∣ = k (4.136)
(y01,y 02)
∣
= −k = V 21 . (4.137)
∂y 1 ∂y 2
∣∣∣(y01,y 02)
La energía cinética es
T = 1 2 m 1ẏ 2 1 + 1 2 m 2ẏ 2 2 = 1 2 m 1 ˙η 2 1 + 1 2 m 2 ˙η 2 2 . (4.138)
Comparando con la forma
T = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j , (4.139)
2
i,j

170
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
tenemos
T 11 = m 1 , T 12 = 0 = T 21 , T 22 = m 2 . (4.140)
Las frecuencias de oscilación están dadas por la condición det |V ij − ω 2 T ij | = 0,
∣ V ∣ 11 − ω 2 T 11 V 12 − ω 2 T 12 ∣∣∣ V 21 − ω 2 T 21 V 22 − ω 2 =
T 22
∣ 2k − ∣ ω2 m 1 −k ∣∣∣
−k k − ω 2 = 0 (4.141)
m 2
Note que la energía potencial gravitacional no influye en las frecuencias de las
oscilaciones, sólo cambia las posiciones de equilibrio de las partículas. Luego,
Llamando x = ω 2 , tenemos
x = ω 2 ± =
(2k − m 1 ω 2 )(k − m 2 ω 2 ) − k 2 = 0. (4.142)
m 1 m 2 x 2 − k(m 1 + m 2 )x + k 2 = 0 , (4.143)
[
√ ]
k
(m 1 + 2m 2 ) ± m 2 1
2m 1 m + 4m2 2 . (4.144)
2
Las ecuaciones para las amplitudes ∑ j (V ij − ω 2 T ij )a j = 0, resultan
(2k − ω 2 k m 1)a 1 − ka 2 = 0
−ka 1 + (k − ω 2 k m 2)a 2 = 0
(4.145)
Para ω 1 = ω + ,
a 1 (ω 1 )
a 2 (ω 1 ) = 1 − 1 2
⎡
(
⎣
⇒ a 1(ω k )
a 2 (ω k ) = 1 − m 2ωk
2 . (4.146)
k
1 + 2 m 2
m 1
)
+
√
1 + 4
(
m2
⎤
) 2
⎦ < 0 . (4.147)
m 1
En el modo normal correspondiente a ω 1 = ω + , las amplitudes están siempre en
fases opuestas.
Para ω 2 = ω − ,
a 1 (ω 2 )
a 2 (ω 2 ) = 1 − 1 2
⎡
(
⎣
1 + 2 m 2
m 1
)
−
√
1 + 4
(
m2
⎤
) 2
⎦ > 0 . (4.148)
m 1
Para el modo normal asociado a ω 2 = ω − , las amplitudes están en fase.

4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS. 171
4.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas.
Consideremos el movimiento de pequeñas oscilaciones de un sistema sobre el cual
actúa una fuerza externa. Supongamos, además, que el movimiento ocurre en un medio
cuyo efecto sobre el movimento no puede ser despreciado. Cuando una partícula se mueve
en un medio, éste ejerce una fuerza de resistencia o fricción sobre la partícula que tiende
a retrasar su movimiento. La energía suministrada por la fuerza externa a la partícula
en movimiento eventualmente se disipa en el medio en forma de calor. Los movimientos
oscilatorios en presencia de fuerzas externas y de fricción, se denominan oscilaciones
forzadas y amortiguadas.
Para velocidades suficientemente pequeñas, se sabe experimentalmente que la fuerza
de fricción sobre un cuerpo que se mueve en un medio es opuesta a la dirección de la
velocidad del cuerpo y proporcional a su magnitud. Esto es, f fr = −αv, donde α > 0 es
el coeficiente de fricción característico del medio.
La fuerza externa puede tener cualquier forma; aqui consideraremos el caso de fuerzas
oscilatorias porque tienen mucho interés y aplicaciones en sistemas físicos. Esto es,
supondremos fuerzas externas de la forma F ext = f cos νt, donde f y ν son la amplitud
y la frecuencia angular de la fuerza, respectivamente.
Por simplicidad, consideremos un partícula que realiza un movimiento oscilatorio con
un grado de libertad, sujeto a una fuerza externa y amortiguado. Tomando en cuenta las
consideraciones anteriores, la ecuación de movimiento de la partícula es
mẍ = −kx − αẋ + f cos νt. (4.149)
Esta ecuación también describe el movimiento de un modo normal de un sistema con
varios grados de libertad, forzado y amortiguado en un medio homogéneo.
La Ec. (4.149) se puede escribir como
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = f cos νt, (4.150)
m
donde ω 2 = k/m y hemos definido la constante 2λ ≡ α/m. La Ec. (4.150) se puede
escribir en forma compleja como
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = f m eiνt . (4.151)
La Ec. (4.151) es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea. Su solucion tiene la
forma x = x h +x p , donde x h es la solución de la ecuación homogénea y x p es una solución
particular de la Ec. (4.151). La solución de la Ec. (4.150) corresponde a la parte real de
la solución de la Ec. (4.151).
Buscamos una solución particular de la Ec. (4.151) en la forma
x p = B e iνt = b e i(νt+δ) , (4.152)
donde B = b e iδ es una amplitud compleja, y b, δ ∈ R son parámetros a determinar.
Sustitución de x p en la Ec. (4.151) conduce a
−ν 2 b + i2λνb + ω 2 b = f m e−iδ . (4.153)

172
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
Igualando la parte real y la parte imaginaria en ambos lados de la Ec. (4.153), tenemos
b(ω 2 − ν 2 ) = f cos δ,
m
(4.154)
2λνb = − f sin δ,
m
(4.155)
de donde obtenemos
2λν
tan δ =
ν 2 − ω 2 , (4.156)
b = f 1
. (4.157)
m [(ω 2 − ν 2 ) 2 + 4ν 2 λ 2 1/2
]
Tomando la parte real de x p , tenemos
La solución x h satisface la ecuación homogénea
x p = b cos(νt + δ). (4.158)
ẍ h + 2λẋ h + ω 2 x h = 0. (4.159)
Buscamos una solución en la forma x h = e irt , donde r es un parámetro a determinar.
Sustitución en la Ec. (4.159) conduce a la siguiente ecuación para r,
La Ec. (4.160) da dos valores complejos para r,
donde hemos definido
r 2 − i2λr − ω 2 = 0. (4.160)
r 1,2 = iλ ± √ ω 2 − λ 2 = iλ ± γ, (4.161)
γ ≡ √ ω 2 − λ 2 , (4.162)
y hemos asumido que ω > λ, de manera que exista movimiento oscilatorio para tiempo
asintótico. Luego, la solución general de la ecuación homogénea Ec. (4.159) debe ser la
combinación lineal de e ir1t y e ir2t , que son complejos conjugados. Entonces, podemos
expresar x h como
x h = e −λt [ Ae iγt + A ∗ e −iγt]
= 2 e −λt Re [ A e iγt] , (4.163)
donde A = (a/2) e iφ es una amplitud compleja, con a, φ ∈ R. Tomando la parte real de
x h , obtenemos
x h = a e −λt cos(γt + φ). (4.164)
Luego, la solución de la ecuación de movimiento, Ec. (4.151), es
x(t) = a e −λt cos(γt + φ) + b cos(νt + δ). (4.165)

4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS. 173
Para tiempos suficientamente grandes, t ≫ 1/λ, el primer término en la Ec. (4.165) decae,
y el movimiento está determinado por el segundo término, el cual representa el estado
asintótico y estacionario del sistema. Esto es, el movimiento estacionario corresponde a
la solución
x e (t) = b cos(νt + δ). (4.166)
La respuesta del sistema en el estado estacionario esta desfasada en un factor δ con
respecto a la fuerza externa. En el movimiento estacionario, existe un flujo de energía
que entra y sale del sistema. La energía es continuamente absorbida por el sistema desde
la fuerza externa, y disipada en el medio por la fricción.
La frecuencia de resonancia de la fuerza externa ν R es aquella para la cual la respuesta
del sistema exhibe su máxima amplitud. El valor de ν R se puede determinar a partir de
la condición
db
dν ∣ = 0, (4.167)
νR
donde b es la amplitud dada por la Ec. (4.157). Calculamos la derivada como
db
dν = f m
2ν[(ω 2 − ν 2 ) − 2λ 2 ]
. (4.168)
[(ω 2 − ν 2 ) 2 + 4ν 2 λ 2 ]
3/2
La condición Ec. (4.167) conduce al valor de la frecuencia de resonancia,
ν R = ω 2 − 2λ 2 . (4.169)
El valor de la amplitud de respuesta del sistema en resonancia es
b max = f m
1
. (4.170)
2λ(ω 2 − λ 2 )
1/2
En ausencia de fricción, λ = 0; entonces ν R = ω y b → ∞. Luego, el amortiguamiento
reduce el valor de la frecuencia de resonancia y limita el crecimiento de la amplitud en
resonancia. Note que si ω 2 < 2λ 2 , la frecuencia ν R tiene un valor imaginario y no hay
resonancia; la amplitud b simplemente decrece con el incremento de ν.

174
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
4.5. Problemas
1. Una partícula de masa m se mueve sin fricción sobre la superficie z = kr 2 (coordenadas
cilíndricas), donde z es la dirección vertical y k es constante.
a) Encuentre la condición de estabilidad de una órbita circular de radio r o sobre
esta superficie.
b) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones radiales alrededor de esta órbita
circular.
2. Una partícula de masa M cuelga de una varilla de masa despreciable y longitud l,
cuyo punto de soporte consiste en otra partícula de masa m sujeta horizontalmente
a dos resortes de constante k cada uno.
a) Encuentre las frecuencias de pequeñas oscilaciones para este sistema.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente la configuración de los modos normales
correspondientes a esas frecuencias.
3. Un péndulo triple consiste en tres masas, λm, m y m, unidas por varillas de longitud
l cada una.
a) Determine el valor del parámetro λ tal que una de las frecuencias para pequeñas
oscilaciones de este sistema sea igual a la frecuencia de un péndulo simple de longitud
l/2 y masa m.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente el modo normal correspondiente a esta
frecuencia del sistema.

4.5. PROBLEMAS 175
4. Considere dos péndulos de longitud l y masa m cada uno, acoplados por un resorte
de constante k.
a) Encuentre las frecuencias de pequeñas oscilaciones del sistema.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente las configuraciones de los modos normales
correspondientes a estas frecuencias.
5. Encuentre las frecuencias y las configuraciones de los modos normales correspondientes
a pequeñas oscilaciones longitudinales del sistema de dos masas y tres resortes
mostrado en la figura.
6. Considere un sistema formado por tres partículas de masa m cada una, las cuales
se mueven sin fricción sobre una circunferencia de radio R, conectadas entre sí por
resortes idénticos de constante k a lo largo de la circunferencia.
a) Encuentre las frecuencias para pequeñas oscilaciones de este sistema.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente la configuración de los modos normales
correspondientes a estas frequencias.
7. Calcule las frecuencias y las configuraciones de correspondientes los modos normales
para pequeñas oscilaciones transversales de un sistema formado por dos masas m,
conectadas entre sí y a las paredes por resortes horizontales de constante k cada
uno.

176
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
8. Dos partículas con masa m y carga +q cada una están conectadas entre sí y a paredes
fijas mediante resortes iguales de constante k y longitud en reposo l. Encuentre
la ecuación característica para las frecuencias del sistema.
9. Encuentre las frecuencias para oscilaciones verticales y los correspondientes modos
normales para el sistema de tres masas y tres resortes mostrado en la figura.
10. Un bloque de masa m se encuentra unido por medio de un resorte de constante k
a una cuña de masa M y altura h que forma un ángulo α con la horizontal, como
se muestra en la figura. La masa M puede deslizarse sobre la superficie horizontal.
Desprecie la fricción.
a) Calcule las frecuencias de pequeñas oscilaciones del sistema alrededor del equilibrio.
b) Encuentre y dibuje esquemáticamente las configuraciones relativas de los modos
normales correspondientes a cada frecuencia del sistema.
11. Considere una masa m colgada verticalmente de un resorte de constante k en el
campo gravitacional terrestre, e inmersa en un medio viscoso cuyo coeficiente de
fricción es α.
a) Encuentre la ecuación de movimiento de la masa.
b) Encuentre la trayectoria en función del tiempo.
c) Describa el estado estacionario del sistema.

4.5. PROBLEMAS 177
12. Un sistema consiste en dos aros, de radio a y masa m cada uno, que pueden girar
sin fricción alrededor de ejes que pasan por sus respectivos centros fijos. Los aros
están conectados entre ellos por un resorte de constante k 1 , y a su vez cada uno
está conectado a una pared fija mediante un resorte de constante k 2 .
a) Calcule las frecuencias para pequeñas oscilaciones en este sistema.
b) Encuentre y dibuje las configuraciones de los modos normales correspondientes
a cada frecuencia del sistema.

178
CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS

Capítulo 5
Movimiento de cuerpos rígidos
5.1. Velocidad angular de un cuerpo rígido y ángulos
de Euler.
Un cuerpo rígido es un sistema de partículas cuyas distancias mutuas son fijas, i.e.,
no varían en el tiempo. Por ejemplo, los cuerpos sólidos, las estructuras fijas, andamios,
son cuerpos rígidos.
La descripción del movimiento de un cuerpo rígido se puede hacer en términos de la
posición de su centro de masa y de la orientación relativa del cuerpo en el espacio. Esto
requiere de dos sistemas de coordenadas:
1. Un sistema inercial o laboratorio, denotado por (x, y, z).
2. Un sistema en movimiento, fijo en el cuerpo, con origen en el centro de masa,
identificado por (x 1 , x 2 , x 3 ).
Mediante estos sistemas de coordenadas, un pequeño desplazamiento general del cuerpo
rígido se puede representar como la suma de dos movimientos:
1. Translación del centro de masa, sin cambiar la orientación relativa entre (x, y, z) y
(x 1 , x 2 , x 3 ).
2. Rotación de las coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) alrededor de un eje que pasa por el centro
de masa.
La posición R de cualquier punto P del cuerpo rígido en un instante dado con respecto
al sistema de referencia del laboratorio (x, y, z) es
donde
R = R cm + r (5.1)
R cm : posición del centro de masa con respecto al laboratorio (x, y, z). (5.2)
r : posición de P con respecto al sistema fijo en el cuerpo (x 1 , x 2 , x 3 ). (5.3)
179

180
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.1: Sistemas de coordenadas para un cuerpo rígido.
Consideremos un desplazamiento infinitesimal de P en el laboratorio,
dR = dR cm + dr. (5.4)
Un cambio infinitesimal dr en las coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) sólo puede deberse a un
cambio de dirección del vector r, no a un cambio de su magnitud (puesto que la distancia
de P al centro de masa es fija). Luego, un cambio dr debe ser el resultado de una rotación
infinitesimal alrededor de un eje dado instantáneo que pasa por el centro de masa del
cuerpo rígido.
Sea dΦ la magnitud el ángulo infinitesimal de rotación alrededor del eje que pasa por
el centro de masa cuya dirección es dΦ. El sentido de la rotación se asigna según la regla
de la mano derecha, con el pulgar derecho apuntando en la dirección dΦ.
Figura 5.2: Rotación infinitesimal alrededor de un eje instantáneo con dirección dΦ que pasa
por el centro de masa.
Sea θ el ángulo entre la dirección dΦ y el vector r. El vector dr es perpendicular al
plano (dΦ, r). Su magnitud es dr = (r sin θ)dΦ y su dirección está dada por
dr = dΦ × r (5.5)

5.1. VELOCIDAD ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO Y ÁNGULOS DE EULER.181
Luego,
y la variación en el tiempo es
lo cual puede escribirse como
donde
v = dR
dt
V cm = dR cm
dt
Ω = dΦ
dt
dR = dR cm + dΦ × r (5.6)
dR
dt = dR cm
+ dΦ
dt dt × r (5.7)
v = V cm + Ω × r (5.8)
: velocidad de P en el laboratorio (x, y, z). (5.9)
: velocidad de traslación del centro de masa en (x, y, z). (5.10)
: velocidad angular instantánea de rotación. (5.11)
La dirección de la velocidad angular Ω es la misma que la del vector dΦ. En general,
la dirección y la magnitud de Ω pueden cambiar durante el movimiento del cuerpo rígido.
En un instante dado, todos los puntos del cuerpo están girando con la misma velocidad
angular Ω.
Figura 5.3: Velocidad angular Ω alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.
La ubicación de un punto P de un cuerpo rígido en el sistema de referencia del
laboratorio (x, y, z) está dada por el vector R cm y por la dirección del vector r, ya que
la magnitud de r no puede cambiar. La dirección de r está dada por la orientación
relativa de los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ) del sistema de referencia fijo en el cuerpo con respecto a
los ejes (x, y, z) del sistema de referencia del laboratorio. La descripción de la orientación
relativa entre dos sistemas de coordenadas cartesianas requiere de tres ángulos entre los
respectivos ejes de cada sistema. Luego, un cuerpo rígido posee en total 6 grados de
libertad: tres coordenadas para la posición del centro de masa en el laboratorio y tres
ángulos para describir la orientación del cuerpo con respecto al sistema del laboratorio.

182
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Se escogen como ángulos convenientes los ángulos de Euler, por cuanto éstos describen
de manera natural los movimientos giratorios de un cuerpo rígido, tal como un trompo.
Figura 5.4: Angulos de Euler φ, θ y ψ.
Para determinar la orientación de los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ) con respecto a los ejes (x, y, z)
mediante los ángulos de Euler, hacemos coincidir los orígenes de ambos sistemas, O y
CM. Los ángulos de Euler se definen de acuerdo a las rotaciones de los ejes (x 1 , x 2 , x 3 )
con respecto a los ejes fijos (x, y, z), mostradas en la Fig. (5.4), de la siguiente manera:
(a) Angulo de precesión, φ ∈ [0, 2π]: ángulo de rotación con respecto al eje z, sobre el
plano (x, y), medido desde el eje x hasta el eje x 1 = N, donde N es la línea de intersección
del plano (x 1 , x 2 ) con el plano (x, y), y se denomina línea nodal.
(b) Angulo de nutación, θ ∈ [0, π]: ángulo de rotación con respecto a la línea nodal N,
medido desde z hasta x 3 .
(c) Angulo de rotación, ψ ∈ [0, 2π]: ángulo de rotación con respecto al eje x 3 , sobre el
plano (x 1 , x 2 ), medido desde N a x 1 .

5.1. VELOCIDAD ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO Y ÁNGULOS DE EULER.183
Figura 5.5: Movimientos de un cuerpo rígido en términos de ángulos de Euler. P : precesión φ
(rotación alrededor de un eje fijo en el laboratorio); N: nutación θ (inclinación con respecto al
eje fijo; y R: rotación ψ (rotación del cuerpo sobre sí mismo).
Las velocidades angulares correspondientes a los ángulos de Euler apuntan en las
siguientes direcciones, siguiendo la regla de la mano derecha:
(a) ˙φ: dirección z;
(b) ˙θ: dirección lineal nodal N, perpendicular al plano (x 3 , z);
(c) ˙ψ: dirección x 3 .
Figura 5.6: Angulos de Euler y sus respectivas velocidades.
Las componentes ( ˙ψ 1 , ˙ψ 2 , ˙ψ 3 ) de ˙ψ sobre los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ) son:
˙ψ 3 = ˙ψ, en dirección del eje x 3 , (5.12)
˙ψ 2 = 0, (5.13)
˙ψ 1 = 0. (5.14)

184
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Componentes ( ˙θ 1 , ˙θ 2 , ˙θ 3 ) de ˙θ en la Fig. (5.7):
˙θ 1 = ˙θ cos ψ, (5.15)
˙θ 2 = − ˙θ sin ψ, (5.16)
˙θ 3 = 0, puesto que ˙θ es perpendicular a x 3 . (5.17)
Figura 5.7: Izquierda: componente ˙φ 3 y proyección de ˙φ sobre el plano (x 1, x 2). Derecha: Componentes
˙φ 2 y ˙φ 2 de la proyección de ˙φ sobre el plano (x 1, x 2).
Componentes ( ˙φ 1 , ˙φ 2 , ˙φ 3 ) de ˙φ:
˙ φ 3 = ˙φ cos θ. (5.18)
La proyección de ˙φ sobre el plano (x 1 , x 2 ) es igual a ˙φ sin θ. Para visualizar las componentes
˙φ 2 y ˙φ 2 sobre el plano (x 1 , x 2 ), consideremos la Fig. (5.7). Las componentes ˙φ 2 y
˙φ 2 son
˙φ 1 = ( ˙φ sin θ) sin ψ (5.19)
˙φ 2 = ( ˙φ sin θ) cos ψ. (5.20)
La velocidad angular instantánea Ω del cuerpo rígido es una combinación de rotaciones
asociadas a los tres ángulos de Euler. Las componentes del vector Ω = (Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 )
en el sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) se pueden expresar en términos de los ángulos de Euler (θ, φ, ψ)
y de sus correspondientes velocidades angulares ( ˙θ, ˙φ, ˙ψ).
Consideremos
Ω i = ˙θ i + ˙φ i + ˙ψ i , i = 1, 2, 3. (5.21)
Luego, reagrupando componentes y sustituyendo en la Ec. (5.21), tenemos
Ω 1 = ˙φ sin θ sin ψ + ˙θ cos ψ (5.22)
Ω 2 = ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ (5.23)
Ω 3 = ˙ψ + ˙φ cos θ. (5.24)

5.2.
ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA. 185
5.2. Energía cinética y tensor de inercia.
La energía potencial de interacción entre las partículas de un cuerpo rígido es constante;
toda la energía potencial del cuerpo equivale a la energía potencial de su centro
de masa.
Por otro lado, la energía cinética de un cuerpo rígido cuya velocidad angular instantánea
es Ω, está dada por
T = 1 2
cuerpo
∑
j
m j v 2 j , j = 1, 2, . . . (5.25)
donde la sumatoria sobre j se extiende a todas las partículas del cuerpo, m j es la masa
de la partícula j del cuerpo y v j es su velocidad, dada por la Ec. (5.8),
v j = V cm + Ω × r j , (5.26)
donde r j = (x 1 (j), x 2 (j), x 3 (j)). La velocidad angular Ω es la misma para todas las
partículas del cuerpo. Luego,
T = 1 ∑
m j (V cm + Ω × r j ) 2
2
= 1 2
j
∑
j
m j V 2
cm + ∑ j
m j V cm · (Ω × r j ) + 1 ∑
m j (Ω × r j ) 2 . (5.27)
2
j
El primer término en la Ec. (5.27) es
⎛
1 ∑
m j Vcm 2 = 1 ⎝ ∑
2
2
j
j
m j
⎞
⎠ V 2
cm = 1 2 M V 2
cm. (5.28)
donde M = ∑ j m j es la masa total del cuerpo.
El segundo término en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectorial
a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b), la cual conduce a
⎛ ⎞
∑
m j V cm · (Ω × r j ) = ∑ m j r j · (V cm × Ω) = (V cm × Ω) · ⎝ ∑ m j r j
⎠ = 0 , (5.29)
j
j
✚ ✚✚✚✚✚❃0
j
puesto que en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de masa
∑
j
R cm =
m jr j
= 0. (5.30)
M
El tercer término en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectorial
(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c), la cual da
(Ω × r j ) 2 = (Ω × r j ) · (Ω × r j ) = Ω 2 r 2 j − (Ω · r j ) 2 (5.31)

186
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Sustituyendo en la Ec. (5.27), tenemos
T = 1 2 M V 2
cm + 1 2
∑ [
m j Ω 2 rj 2 − (Ω · r j ) 2] (5.32)
j
= T cm + T rot , (5.33)
donde el primer término es la energía cinética de traslación del cuerpo y el segundo
término corresponde a la contribución debida a la rotación del cuerpo rígido.
Se puede expresar
Ω i = ∑ Ω k δ ik , i, k = 1, 2, 3, (5.34)
k
Ω 2 = ∑ Ω 2 i = ∑ ∑
Ω i Ω k δ ik = ∑ Ω i Ω k δ ik , (5.35)
i
i k
i,k
( ) ( )
∑ ∑
(Ω · r j ) 2 = Ω i x i (j) Ω k x k (j) = ∑ Ω i Ω k x i (j)x k (j) . (5.36)
i
k
i,k
En lo que sigue, suprimiremos el índice j de las partículas en la componentes de r j , i.e.,
x k (j) → x k . Luego,
T rot = 1 2
cuerpo
∑
j
∑ (
m j Ωi Ω k rj 2 )
δ ik − Ω i Ω k x i x k
i,k
= 1 ∑ ∑ ( )
Ω i Ω k m j r
2
2
j δ ik − x i x k , (5.37)
i,k
j
donde i, k = 1, 2, 3 y el índice j cuenta las partículas del cuerpo. La Ec. (5.37) se puede
escribir en la forma
T rot = 1 ∑
I ik Ω i Ω k , (5.38)
2
donde hemos definido el tensor de inercia del cuerpo rígido como
i,k
I ik ≡ ∑ j
m j
(
r
2
j δ ik − x i x k
)
. (5.39)
El tensor de inercia se puede expresar como una matriz,
⎛
⎞
I 11 I 12 I 13
I = ⎝ I 21 I 22 I 23
⎠
I 31 I 32 I 33
⎛ ∑
j m j(x 2 2 + x 2 3) − ∑ j m jx 1 x 2 − ∑ j m ⎞
jx 1 x 3
= ⎝ − ∑ j m jx 2 x 1
∑j m j(x 2 1 + x 2 3) − ∑ j m jx 2 x 3
− ∑ j m jx 3 x 1 − ∑ ⎠
j m ∑
. (5.40)
jx 3 x 2 mj (x 2 1 + x 2 2)

5.2.
ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA. 187
El tensor de inercia es simétrico, I ik = I ki , por lo que posee solamente seis componentes
independientes. El tensor I ik es una propiedad del cuerpo rígido que caracteriza
la distribución de masa del cuerpo en torno a los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ). Físicamente, cada componente
del tensor de inercia expresa la resistencia o inercia de un cuerpo a ser rotado en
torno a un eje dado. Por ejemplo, I 33 mide la resistencia del cuerpo a ser rotado alrededor
del eje x 3 .
Con una escogencia adecuada de los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ) para cuerpos simétricos, es posible
hacer que I sea diagonal: I ik = 0, si i ≠ k. En ese caso,
T rot = 1 2 (I 11Ω 2 1 + I 22 Ω 2 2 + I 33 Ω 2 3). (5.41)
Para una distribución continua de masa, pasamos al límite continuo ∑ j m j → ∫ ρdV ,
donde ρ es la densidad y dV = dx 1 dx 2 dx 3 es el elemento de volumen del cuerpo. En ese
caso, el tensor de inercia se expresa como
∫
I ik = ρ(r)[r 2 δ ik − x i x k ] dV . (5.42)
Teorema de los ejes paralelos.
Sea I ik el tensor de inercia de un cuerpo rígido, expresado en el sistema de coordenadas
(x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de masa del cuerpo. Entonces, en un sistema diferente
de coordenadas fijas (x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3), cuyo origen O ′ se encuentra en una posición a con
respecto al centro de masa del cuerpo, el tensor de inercia es
I ′ ik = I ik + ∑ j
m j (a 2 δ ik − a i a k ). (5.43)
Figura 5.8: Diferentes sistemas de coordenadas fijas para un cuerpo rígido.
Si i = k, tenemos como ejemplo,
I 33 ′ = I 33 + ∑ m j (a 2 − a 2 3)
= I 33 + ∑ m j (a 2 1 + a 2 2)
= I 33 + Ma 2 ⊥ , (5.44)

188
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
donde M es la masa total del cuerpo y a ⊥ = a 2 1 + a 2 2 es la distancia perpendicular entre
ejes x 3 y x ′ 3. En general,
I ′ ii = I ii + Ma 2 ⊥ , (5.45)
donde a ⊥ es la distancia perpendicular entre ejes x i y x ′ i .
Demostración:
El tensor de inercia en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de
masa del cuerpo, es
I ik = ∑ ( )
m j r
2
j δ ik − x i x k . (5.46)
j
Supongamos un sistema diferente de coordenadas fijas (x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3), cuyo origen O ′ se
encuentra en una posición a con respecto al centro de masa del cuerpo. La posición de
un punto P del cuerpo en el sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) es
Luego, en el sistema de coordenadas (x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3), tenemos
r j = a + r ′ j, (5.47)
⇒ x i = a i + x ′ i. (5.48)
I ′ ik = ∑ j
m j (r ′2
j δ ik − x ′ ix ′ k) , (5.49)
donde
r ′2
j
= (r j − a) 2 = r 2 j + a 2 − 2 ∑ l
x l a l . (5.50)
Sustituyendo,
I ik ′ = ∑ j
= ∑ j
−2 ∑ j
[(
m j rj 2 + a 2 − 2 ∑ ) ]
x l a l δ ik − (x i − a i )(x k − a k ) (5.51)
l
( ) ∑
m j r
2
j δ ik − x i x k + m j (a 2 δ ik − a i a k ) (5.52)
∑
m j x l a l δ ik + ∑ j
l
j
m j x i a k + ∑ m j x k a i (5.53)
j
Pero en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ), tenemos
⎛ ⎞✟✯ 0
∑
m j x i a k = a k
⎝ ∑ m j x i (j) ⎠ = 0,
j
✟ ✟✟✟✟✟✟ j
(5.54)
⎛
⎞✟✯ 0
∑
m j x k a i = a i
⎝ ∑ m j x k (j) ⎠ = 0.
j
✟ ✟✟✟✟✟✟ j
(5.55)

5.2.
ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA. 189
Además,
Luego tenemos,
⎛ ⎞
∑ ∑
m j x l a l = ∑ ✟✯
0
a l
⎝ ∑ m j x l (j) ⎠ = 0. (5.56)
j l
l ✟✟✟✟✟
✟
j
I ik ′ = I ik + ∑ m j (a 2 δ ik − a i a k ). (5.57)
j
Ejemplos.
1. Momentos de inercia de un aro uniforme, de masa M y radio R.
Figura 5.9: Aro.
Sea x 3 el eje perpendicular al plano del aro. Entonces,
∫
I 33 =
(x 2 1 + x 2 2)ρ dV = R 2 ∫
ρ dV = MR 2 . (5.58)
Puesto que el cuerpo posee simetría axial con respecto al eje x 3 , tenemos I 11 = I 22 .
Luego,
2. Momentos de inercia de un cuerpo plano.
I 11 = I 22 = I 33
2 = 1 2 MR2 . (5.59)
Figura 5.10: Cuerpo rígido plano.

190
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Llamemos (x 1 , x 2 ) al plano del cuerpo rígido. Entonces el eje x 3 es perpendicular
al cuerpo y r j = (x 1 (j), x 2 (j), 0), ∀j. Luego,
I 11 = ∑ j
I 22 = ∑ j
m j x 2 2, (5.60)
m j x 2 1, (5.61)
I 33 = ∑ m j (x 2 1 + x 2 2). (5.62)
Es decir que, para todo cuerpo rígido plano, se cumple
I 33 = I 11 + I 22 . (5.63)
3. Cilindro uniforme de altura h, radio R y masa M.
Figura 5.11: Cilindro.
El elemento de volumen en coordenadas cilíndricas es dV = h r dr dθ, donde r 2 =
x 2 1 + x 2 2. La densidad de masa es ρ =
M
πR 2 h . Entonces,
∫
I 33 = ρ (x 2 1 + x 2 2) dV
= ρ
∫ R
hr 2 r dr
∫ 2π
0
0
dθ
= 1 2 MR2 . (5.64)
Por simetría, los momentos de inercia I 11 = I 22 .
∫
∫
∫
I 11 = ρ (x 2 2 + x 2 3) dV = ρ x 2 2 dV + ρ
x 2 3 dV. (5.65)
Primer término:
∫
ρ x 2 2 dV = ρ h
= ρ h
∫ R ∫ 2π
0
∫ R
0
0
r 3 dr
(r sin θ) 2 r dr dθ
∫ 2π
0
sin 2 θ dθ = ρhπ R4
4 = 1 4 MR2 . (5.66)

5.2.
ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA. 191
Segundo término:
Luego,
∫
ρ
∫ h/2
x 2 3 dV = ρ
−h/2
∫ R
x 2 3 dx 3 r dr
0
∫ 2π
= 1
12 Mh2 . (5.67)
0
dθ
I 11 = 1 12 Mh2 + 1 4 MR2
= M )
(R 2 + h2
= I 22 . (5.68)
4 3
Note que si R → 0, tenemos una varilla uniforme de longitud h y masa M.
Figura 5.12: Varilla de longitud L.
En ese caso,
I 33 = 0, (5.69)
I 11 = I 22 = 1 12 ML2 (5.70)
donde hemos llamado h = L.
Por otro lado, si h → 0 tenemos un disco uniforme de masa M y radio R. Entonces,
I 33 = 1 2 MR2 . (5.71)
I 11 = I 22 = I 33
2 . (5.72)

192
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
4. Momentos de inercia de una esfera uniforme, de masa M y radio R.
Figura 5.13: Cuerpo rígido esférico.
La simetría esférica implica que I 11 = I 22 = I 33 . Por otro lado, la suma
I 11 + I 22 + I 33 = 2 ∑ j
m j (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3) = 2 ∑ j
m j r 2 j . (5.73)
Luego, para una esfera
3I 11 = 2 ∑ j
m j r 2 j . (5.74)
Para una distribución continua y uniforme de masa, tenemos
I 11 = 2 ∫
r 2 ρ dV = 2 ∫ R
3
3 ρ r 2 (4πr 2 ) dr = 2 ∫ R
3 4πρ r 4 dr = 2 3 4πρR5 5 . (5.75)
Sustituyendo la densidad de masa ρ =
0
3M
4πR 3 , obtenemos
0
I 11 = I 22 = I 33 = 2 5 MR2 . (5.76)
Si tenemos un cascarón esférico de radio R y masa M, la densidad de masa se puede
expresar como ρ =
M δ(r − R), donde δ(r − R) es la función delta de Dirac, tal
4πR2 que δ(r − R) = 0 si r ≠ R. Se puede verificar que
∫
M = ρ dV =
M ∫
4πR 2 4πr 2 δ(r − R) dr. (5.77)
Luego, los momentos de inercia de un cascarón esférico de radio R y masa M son
I 11 = I 22 = I 33 = 2 ∫
r 2 ρ dV
3
= 2 ∫ R
3 ρ 4πr 4 δ(r − R) dr
0
= 2 3 MR2 . (5.78)

5.2.
ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA. 193
5. Energía cinética de un elipsoide (I 11 ≠ I 22 ≠ I 33 ) que rota sobre eje AB con
velocidad angular ω, y sobre eje CD con velocidad angular ν, como se muestra en
la Fig. (5.14).
Figura 5.14: Elipsoide en rotación simultánea sobre dos ejes perpendiculares.
Escogemos eje AB en la dirección x 3 . Entonces los ejes x 1 y x 2 rotan alrededor de
AB = x 3 . La dirección de ω es a lo largo de x 3 y la dirección de ν está sobre el
plano (x 1 , x 2 ).
Figura 5.15: Velocidad angular ν sobre el plano (x 1, x 2).
La velocidad angular del cuerpo es Ω = (Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 ), donde
Ω 3 = ω (5.79)
Ω 1 = ν cos ωt (5.80)
Ω 2 = ν sin ωt (5.81)
Luego,
T = T rot = 1 2 I 11Ω 2 1 + 1 2 I 2Ω 2 22 + 1 2 I 33Ω 2 3
= 1 2 (I 11 cos 2 ωt + I 22 sin 2 ωt)ν 2 + 1 2 I 33ω 2 . (5.82)

194
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
6. Energía cinética de un cilindro de masa M y radio a, rodando sin deslizar dentro
de una superficie cilíndrica de radio R > a.
Figura 5.16: Cilindro rodando sin deslizar dentro de otro cilindro.
donde
La velocidad de traslación del centro de masa es
T = T cm + T rot , (5.83)
T cm = 1 2 MV 2
cm . (5.84)
V cm = (R − a) ˙θ . (5.85)
Sea x 3 = z el eje del cilindro rodante. Entonces Ω = Ω 3 ˆx 3 , y
T rot = 1 2 I 33Ω 2 3 . (5.86)
Figura 5.17: Condición de rodar sin deslizar para el cilindro de radio a.
La condición de rodar sin deslizar implica que
Luego,
V cm = ds
dt = a ˙ψ = aΩ 3 . (5.87)
Ω 3 = V cm
a
(R − a) ˙θ
= . (5.88)
a

5.2.
ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA. 195
Sustitución en la Ec. (5.83) da
Para el cilindro rodante,
Sustituyendo,
T = 1 2 M(R − a)2 ˙θ2 + 1 2 I (R − a) 2
33
a 2 ˙θ2 . (5.89)
I 33 = 1 2 Ma2 . (5.90)
T = 1 2 M(R − a)2 ˙θ2 + 1 4 M(R − a)2 ˙θ2 = 3 4 M(R − a)2 ˙θ2 . (5.91)
7. Consideremos una varilla de longitud L y masa M. Calcular el momento de inercia
I ′ 22 con respecto a un eje x ′ 2 que pasa por un extremo de la varilla, paralelo a eje
x 2 .
Figura 5.18: Ejes paralelos x 2 y x ′ 2 para un varilla de longitud L.
Tenemos a = (0, 0, −L/2) y a ⊥ = a = L/2.
Luego,
I ′ 22 = I 22 + Ma 2 ⊥ (5.92)
= I 22 + M L2
4
(5.93)
= 1
12 ML2 + 1 4 ML2 (5.94)
= 1 3 ML2 . (5.95)

196
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
5.3. Momento angular de un cuerpo rígido.
El momento angular de un sistema depende del origen de coordenadas con respecto
al cual estén definidas las posiciones de las partículas del sistema. Para cuerpos rígidos
es conveniente escoger el centro de masa para definir el momento angular del cuerpo,
l = ∑ j
r j × p j = ∑ j
m j (r j × v j ), (5.96)
donde r j es el vector de posición de la particula j en las coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ).
Figura 5.19: Sistema de referencia para definir el momento angular de un cuerpo rígido.
La velocidad de la partícula j en este sistema se debe sólo a la rotación y está dada
por
v j = Ω × r j , (5.97)
donde Ω es la velocidad angular instantánea del cuerpo. Luego,
l = ∑ j
m j r j × (Ω × r j ). (5.98)
Usando la identidad vectorial A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C, podemos expresar
l = ∑ j
m j [r 2 j Ω − (r j · Ω)r j ] (5.99)
Consideremos la componente i del vector l,
l i = ∑ [
m j rj 2 Ω i − x i (j) ∑ ]
x k (j)Ω k
j
k
= ∑ [ ∑
m j Ω k rj 2 δ ik − ∑ ]
x i (j)x k (j)Ω k
j k
k
= ∑ ∑
m j Ω k [rj 2 δ ik − x i (j)x k (j)]
j k
= ∑ ∑ [
Ω k m j r
2
j δ ik − x i (j)x k (j) ] (5.100)
k j

5.3. MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO. 197
Recordemos que el tensor de inercia es
I ik = ∑ j
m j [r 2 j δ ik − x i (j)x k (j)]. (5.101)
Luego, podemos escribir la componente l i como
En forma vectorial esto es
l i =
3∑
I ik Ω k . (5.102)
k=1
donde I es la forma matricial del tensor de inercia, Ec. (5.40).
En particular, si I es diagonal,
l = I Ω , (5.103)
l 1 = I 11 Ω 1 (5.104)
l 2 = I 22 Ω 2 (5.105)
l 3 = I 33 Ω 3 (5.106)
Note que, en general, el momento angular l no es paralelo a la dirección de la velocidad
angular Ω.
Figura 5.20: Momento angular l y velocidad angular Ω de un cuerpo rígido.
En el caso en que Ω tenga solamente una componente sobre un eje x k , i.e. Ω = Ωˆx k ,
entonces l es paralelo a Ω, es decir, l = I kk Ωˆx k . Igualmente, para cuerpos con simetría
esférica, I 11 = I 22 = I 33 , y l = I 11 Ω.
Ejemplo.
1. Rotación libre de un trompo.
Un trompo es un cuerpo rígido que posee dos momentos principales de inercia
iguales, por ejemplo I 11 = I 22 ≠ I 33 . Se escoge x 3 como el eje de simetría axial.
Los ejes x 1 y x 2 pueden apuntar en cualquier dirección, manteniendo su mutua
perpendicularidad.

198
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Un trompo libre de torque tiene τ = 0 y, por lo tanto l = cte. Por ejemplo, la
fuerza de gravedad no ejerce torque sobre un trompo en caída libre. Escogemos la
dirección constante del vector l en la dirección del eje z, sobre el plano (x 2 , x 3 ).
Entonces, l 1 = 0. La simetría axial implica que la descripción del movimiento no
depende del valor del ángulo ψ; podemos fijar ψ = 0. Esto equivale a escoger la
dirección del eje x 1 paralela a la linea nodal.
Figura 5.21: Rotación de un trompo libre.
Sea θ el ángulo entre la dirección de l y el eje x 3 . Las componentes de l son entonces
l 1 = 0 (5.107)
l 2 = l sin θ, (5.108)
l 3 = l cos θ. (5.109)
En términos de los ángulos de Euler, las componentes de l (con ψ = 0) se pueden
expresar como
Luego,
l 1 = I 11 Ω 1 = I 11 ˙θ (5.110)
l 2 = I 22 Ω 2 = I 11 ˙φ sin θ (5.111)
l 3 = I 33 Ω 3 = I 33 ( ˙ψ + ˙φ cos θ) . (5.112)
0 = I 11 ˙θ ⇒ θ = cte , (5.113)
es decir, no hay movimiento de nutación en un trompo libre. Por otro lado,
l sin θ = I 11 ˙φ sin θ ⇒ ˙φ =
l
I 11
= cte , (5.114)
es decir, el eje axial x 3 del trompo precesa con velocidad angular constante ˙φ
alrededor de la dirección fija de l, describiendo un cono con vértice en el centro de
masa del trompo y cuyo ángulo de vértice es θ. Entonces, todo el plano (x 2 , x 3 )
rota con velocidad angular ˙φ = cte alrededor de l.

5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS. 199
La velocidad angular de rotación del trompo sobre su eje de simetría x 3 se obtiene
de
l cos θ = I 33 ( ˙ψ + ˙φ cos θ) (5.115)
⇒ ˙ψ = l cos θ (I 11 − I 33 )
= cte .
I 11 I 33
(5.116)
Las componentes de la velocidad angular Ω son
Ω 1 = ˙θ = 0 (5.117)
Ω 2 = l sin θ = cte
I 11
(5.118)
Ω 3 = l cos θ = cte,
I 33
(5.119)
es decir que Ω yace siempre sobre el plano (x 2 , x 3 ). Como el plano (x 2 , x 3 ) rota
alrededor de l, entonces Ω también precesa alrededor de la dirección fija de l con
˙φ = cte.
5.4. Ecuaciones de movimiento para cuerpos rígidos.
Las ecuaciones de Lagrange para cuerpos rígidos pueden plantearse en términos de
los ángulos de Euler, que describen los grados de libertad correspondientes al movimiento
de rotación del cuerpo.
La energía cinética de rotación de un cuerpo rígido está dada por la Ec. (5.38),
T rot = 1 ∑
I ik Ω i Ω k , (5.120)
2
i,k
Las componentes Ω i de la velocidad angular pueden expresarse en función de los
ángulos de Euler (θ, φ, ψ) y de sus correspondientes velocidades,
Ω 1 = ˙φ sin θ sin ψ + ˙θ cos ψ (5.121)
Ω 2 = ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ (5.122)
Ω 3 = ˙ψ + ˙φ cos θ. (5.123)
La energía potencial del cuerpo corresponde a la energía potencial de su centro de
masa, y en general también puede expresarse en términos de los ángulos de Euler. Luego,
el Lagrangiano de un cuerpo rígido puede expresarse como
L = T − V = L(θ, φ, ψ, ˙θ, ˙φ, ˙ψ). (5.124)
En general, las ecuaciones de Lagrange para cuerpos rígidos pueden ser complicadas.
Los casos mas simples son los que presentan simetrías, como los cuerpos con simetría
axial (trompos) o esférica.

200
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Ejemplos.
1. Como ejemplo de ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido, consideremos un
trompo en el campo gravitacional terrestre, y cuyo punto inferior está fijo (también
llamado trompo de Lagrange).
Sean I 11 = I 22 ≠ I 33 los momentos de inercia del trompo, m la masa del trompo,
y llamemos h la distancia desde el centro de masa al punto inferior fijo O.
Figura 5.22: Trompo con punto inferior fijo.
Para este problema conviene tomar, tanto el origen del sistema de coordenadas fijo
en el cuerpo (x 1 , x 2 , x 3 ) como el origen del sistema del laboratorio (x, y, z), en el
punto O.
La energía potencial del trompo, con respecto a O, es
V = mgz = mgh cos θ. (5.125)
Consideremos los momentos de inercia con respecto al sistema de coordenadas
con origen en O, el cual está ubicado en a = (0, 0, −h) con respecto al sistema
de coordenadas con origen en el centro de masa. De acuerdo al teorema de ejes
paralelos, los momentos de inercia con respecto a los ejes del sistema centrado en
O son
I ′ ik = I ik + m(a 2 δ ik − a i a k ), (5.126)
donde m es la masa del cuerpo. Luego,
I ′ 11 = I 11 + mh 2 (5.127)
I ′ 22 = I ′ 11 (5.128)
I ′ 33 = I 33 (5.129)

5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS. 201
La energía cinética de traslación del centro de masa puede ser considerada constante
(el trompo no se traslada, debido al punto fijo O). La energía cinética de rotación
es
T rot = 1 2 (I′ 11Ω 2 1 + I ′ 22Ω 2 2 + I ′ 33Ω 2 3), (5.130)
donde las componentes de la velocidad angular Ω están dadas en función de los
ángulos de Euler, Ec. (5.121). Sustitución da
T rot = 1 2 I′ 11( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + 1 2 I 33( ˙ψ + ˙φ cos θ) 2 . (5.131)
También se hubiera podido tomar ψ = 0 (eje x 1 igual a la linea nodal) en las componentes
de la velocidad angular, debido a la simetría axial del trompo alrededor
del eje x 3 .
El Lagrangiano del sistema es
L = T − V = 1 2 I′ 11( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + 1 2 I 33( ˙ψ + ˙φ cos θ) 2 − mgh cos θ. (5.132)
La ecuación de Lagrange para ψ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙ψ
− ∂L = 0. (5.133)
∂ψ
La coordenada ψ es cíclica,
∂L
∂ψ = 0 (5.134)
⇒ ∂L
∂ ˙ψ = I 33( ˙ψ + ˙φ cos θ) = I 33 Ω 3 = l 3 = cte. (5.135)
La ecuación de Lagrange para φ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙φ
− ∂L = 0. (5.136)
∂φ
La coordenada φ también es cíclica,
∂L
∂φ = 0 (5.137)
⇒ ∂L
∂ ˙φ = (I′ 11 sin 2 θ + I 33 cos 2 θ) ˙φ + I 33 ˙ψ cos θ = l z = cte. (5.138)
Para interpretar las cantidades conservadas relacionadas con las coordenas cíclicas
ψ y φ, notamos que el torque ejercido por el peso del trompo (fuerza externa) es
τ = hmg(ẑ × ˆx 3 ), el cual tiene dirección perpendicular al plano (x 3 , z), al igual que
el vector dl del cambio de momento angular del trompo. Luego, no hay componentes
del torque en las direcciones ˆx 3 ni ẑ, como tampoco hay cambios del vector momento
angular en esas direcciones, por lo que l 3 = cte y l z = cte.

202
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.23: Dirección del vector torque y del vector de cambio de momento angular dl.
Para obtener la ecuación para θ, notamos que existe una tercera cantidad conservada,
∂L
= 0 ⇒ E = T + V = cte. (5.139)
∂t
Luego,
E = 1 2 I′ 11( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + 1 2 I 33( ˙ψ + ˙φ cos θ) 2 + mgh cos θ = cte. (5.140)
Despejando ˙ψ y ˙φ de la Ecs. (5.135) y (5.138), tenemos
˙φ = (l z − l 3 cos θ)
I ′ 11 sin2 θ
(5.141)
˙ψ = l 3 − I 33 ˙φ cos θ
= l 3
− (l z − l 3 cos θ) cos θ
. (5.142)
I 33 I 33 I 11 ′ sin2 θ
Sustituyendo en la ecuación Ec. (5.140), obtenemos
lo cual se puede escribir como
E = 1 2 I′ 11 ˙θ 2 + (l z − l 3 cos θ) 2
2I ′ 11 sin2 θ
+ l2 3
2I 33
+ mgh cos θ, (5.143)
E ′ = 1 2 I′ 11 ˙θ 2 + V ef (θ) = cte, (5.144)
donde
E ′ = E − l2 3
2I 33
= cte, (5.145)
V ef (θ) = (l z − l 3 cos θ) 2
2I ′ 11 sin2 θ
+ mgh cos θ. (5.146)
Luego la Ec. (5.144) constituye un problema unidimensional para la coordenada θ
con un potencial efectivo dado por la Ec. (5.146). Note que
V ef (θ = 0) → ∞, V ef (θ = π) → ∞. (5.147)

5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS. 203
Figura 5.24: Esquema del potencial efectivo V ef (θ).
El potencial efectivo V ef (θ) posee un valor mínimo para un ángulo θ 0 tal que
∂V ef
∂θ ∣ = 0. (5.148)
θ0
El movimiento en el ángulo θ ocurre para E ′ ≥ V ef (θ). Los puntos de retorno θ 1 y
θ 2 están dados por las soluciones de la ecuación
E ′ = V ef (θ) = (l z − l 3 cos θ) 2
2I ′ 11 sin2 θ
+ mgh cos θ, (5.149)
luego, el movimiento ocurre en el intervalo θ ∈ [θ 1 , θ 2 ].
De la Ec. (5.144) obtenemos
y
√
˙θ = dθ
dt = 2(E ′ − V ef (θ))
I 11
′
t(θ) = √ I ′ 11
∫
dθ
√
2 (E′ − V ef (θ))
(5.150)
(5.151)
La integral en la Ec. (5.151) corresponde a una integral de funciones elípticas.
En principio, t(θ) permite obtener θ(t) por inversión. Sustitución de θ(t) en las
Ecs. (5.141) y (5.142) permite calcular ψ(t) y φ(t) por integración directa. Luego,
el trompo de Lagrange es un sistema integrable: existen tres grados de libertad ψ,
φ y θ, y tres cantidades conservadas, l 3 , l z y E, asociadas a simetrías del sistema.
El período de nutación es
T nut = 2 √ I ′ 11
∫ θ2
θ 1
dθ
√
2 (E′ − V ef (θ))
(5.152)
La velocidad angular de precesión ˙φ,dada por la Ec. (5.141), cambia su dirección
instantánea en los puntos de retorno θ 1 y θ 2 , dependiendo del signo de (l z −l 3 cos θ)
en esos puntos, según los siguientes casos,

204
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
a) ˙φ > 0 siempre (l z > l 3 cos θ, ∀ θ).
b) ˙φ cambia de signo en θ 1 ó en θ 2 (el sentido del movimiento depende de
condiciones iniciales).
c) ˙φ = 0 en θ 1 ó en θ 2 (l z = l 3 cos θ 1,2 ).
Figura 5.25: Movimiento de nutación en θ y de precesión en φ. Izquierda: ˙φ > 0, no cambia de
signo. Centro: ˙φ cambia de signo en θ = θ1. Derecha: ˙φ = 0 en θ = θ1.
Puesto que el trompo tiene simetría axial, se puede tomar ψ = 0 en las componentes
de la velocidad angular; luego Ω 1 = ˙θ. La velocidad angular de nutación ˙θ es una
función periódica (con un período largo) en el tiempo.
Figura 5.26: Velocidad angular de nutación ˙θ = Ω 1
simétrico, I 11 = I 22 ≠ I 33 con su punto inferior fijo.
en función del tiempo para un trompo
2. Trompo de Kovalevskaya.
Además del trompo de Lagrange, se conoce otro caso integrable de un trompo
simétrico, I 11 = I 22 ≠ I 33 , en un campo gravitacional con un punto fijo. Supongamos
que el vector de posición d del centro de masa con respecto al punto fijo O
se encuentra sobre el plano (x 1 , x 2 ) del sistema de coordenadas fijo en el cuerpo;
esto es, d = (d 1 , d 2 , 0), y supongamos que los momentos principales de inercia con
respecto al sistema fijo en el espacio satisfacen la condición
I ′ 11 = I ′ 22 = 2I ′ 33. (5.153)

5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS. 205
Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya, y es un problema famoso
de la Mecánica.
Figura 5.27: Trompo de Kovalevskaya. Izquierda: Posición d del centro de masa con respecto
al punto fijo O. Derecha: Proyección del vector d en la dirección z corresponde a la altura h del
centro de masa.
Note que si d = (0, 0, h), tenemos un trompo de Lagrange con momentos de inercia
dados por la Ec. (5.153).
Definamos el vector unitario
ẑ ≡ u = (u 1 , u 2 , u 3 ), (5.154)
cuyas componentes en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) fijo en el cuerpo son
u 1 = sin θ sin ψ (5.155)
u 2 = sin θ cos ψ (5.156)
u 3 = cos θ. (5.157)
La energía cińetica del cuerpo se debe a su rotación y corresponde a
T rot = 1 2 (I′ 11Ω 2 1 + I ′ 22Ω 2 2 + I ′ 33Ω 2 3). (5.158)
La energía potencial V del trompo corresponde a la energía potencial del centro
de masa (cm) en el campo gravitacional terrestre. La altura h del centro de masa
sobre el eje z es
h = d sin ψ sin θ, (5.159)
donde ψ es el ángulo entre d y la lineal nodal N. Luego, podemos escribir
V = mgh = mgd sin θ sin ψ. (5.160)

206
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Entonces, el Lagrangiano del sistema en términos de los ángulos de Euler es
L =
( ) 2 ( ) 2
I 33
′ ˙φ sin θ sin ψ + ˙θ cos ψ + I
′
33 ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ
(
˙ψ + ˙φ
) 2
cos θ − mgd sin θ sin ψ
+ I′ 33
2
= I ′ 33( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + I′ 33
2
(
˙ψ + ˙φ
) 2
cos θ − mgd sin θ sin ψ. (5.161)
La coordenada φ es cíclica, por lo que su momento conjugado es constante,
∂L
∂ ˙φ = 2I′ ˙φ
(
33 sin 2 θ + I 33
′ ˙ψ + ˙φ cos θ)
cos θ
[
= I 33 ′ ˙φ(1 + sin 2 θ) + ˙ψ
]
cos θ ≡ l z = cte. (5.162)
La cantidad conservada es la componente z del momento angular, puesto que el
torque ejercido por la fuerza gravitacional no posee componente en la dirección z.
El Lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, lo que implica que la energía
mecánica total se conserva,
E = T + V = cte.
= I ′ 33( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + I′ 33
2
(
˙ψ + ˙φ
) 2
cos θ + mgd sin θ sin ψ. (5.163)
El sistema posee tres grados de libertad (los ángulos de Euler) y dos cantidades
conservadas E y l z , relacionadas con las simetrías explícitas del Lagrangiano del
sistema. Sofia Kovalevskaya encontró una tercera cantidad conservada no trivial,
cuya relación con las simetrías del sistema no es en absoluto evidente,
K ≡
(
Ω 2 1 − Ω 2 2 − mgd ) 2
I 33
′ u 1 +
(
2Ω 1 Ω 2 − mgd ) 2
I 33
′ u 2 = cte. (5.164)
Sustitución de Ω 1 , Ω 2 y u 2 , en términos de los ángulos de Euler conduce, después
del álgebra correspondiente, a
(
K = ˙θ2 − ˙φ
) 2 2 sin 2 mgd
[(
θ + 2 θ 2 − ˙φ
)
2 sin 2 θ sin ψ − 2 ˙θ ˙φ
]
sin θ cos ψ sin θ
+
I ′ 33
( ) 2 mgd
sin 2 θ. (5.165)
I ′ 33
La existencia de la constante K, junto con E y l z , permite que este sistema sea
integrable, aunque el procedimiento matemático para reducir las ecuaciones de movimiento
es bastante laborioso. La simetría asociada con la cantidad conservada K
no es evidente. El método desarrollado por Kovalevskaya para encontrar esta cantidad
conservada sigue siendo un problema de investigación. Se han descubierto unos
pocos sistemas dinámicos que poseen cantidades conservadas para ciertos valores
de sus parámetros, y que están relacionadas con simetrías no triviales del sistema.

5.4. ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RÍGIDOS. 207
Figura 5.28: Izquierda: Sofia Kovalevskaya (1850 -1891). Derecha: Movimiento del eje del trompo
de Kovalevskaya en el espacio. A pesar de su apariencia, el movimiento no es caótico.
3. Si I 11 ≠ I 22 ≠ I 33 , el trompo es asimétrico. En ese caso, l 3 no se conserva; no existen
suficientes simetrías en el Lagrangiano, por lo que el sistema no es integrable. Bajo
estas condiciones, el movimiento es caótico para ciertos valores de parámetros.
Figura 5.29: Movimiento caótico de un trompo asimétrico con su punto inferior fijo. (a) Ω 1 en
función del tiempo. (b) Diferencia ∆Ω 1 en función de t para dos trayectorias correspondientes a
dos condiciones iniciales separadas en ∆Ω 1(0) = 10 −6 . (c) Movimiento del trompo en el espacio.

208
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
5.5. Ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos.
En el ejemplo de un trompo simétrico con su punto inferior fijo, vimos como las
ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido se pueden derivar a partir del Lagrangiano
del sistema expresado en términos de ángulos de Euler.
Alternativamente, es posible derivar las ecuaciones de movimiento a partir de las
relaciones de tranformación de cantidades vectoriales, desde el sistema de coordenadas
del laboratorio (x, y, z) al sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de masa y que se
mueve con el cuerpo. Para hacer esto, consideremos que los orígenes de ambos sistemas
de coordenadas coinciden y observemos un vector A en ambos sistemas. El sistema
(x 1 , x 2 , x 3 ) puede rotar con una velocidad angular intantánea Ω. Un cambio infinitesimal
en el vector A observado en ambos sistemas de coordenadas solamente puede diferir
debido al efecto causado por la rotación de los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ), es decir,
dA (x,y,z) = dA (x1,x 2,x 3) + dA rot . (5.166)
El cambio dA rot causado por la rotación de (x 1 , x 2 , x 3 ) no modifica la magnitud del
vector A, sino su dirección, al igual que un vector posición r de una partícula del cuerpo
rígido mantiene su magnitud en el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo. En ese caso,
vimos que un cambio dr es el resultado de una rotación infinitesimal dΦ alrededor de
un eje instantáneo que pasa por el origen del sistema (x 1 , x 2 , x 3 ), y está dado por la
Ec. (5.5), dr = dΦ × r. Luego,
dA rot = dΦ × A, (5.167)
donde dΦ = Ω dt. La variaciones temporales del vector A, vistas por dos observadores
en los sistemas de coordenadas (x, y, z) y (x 1 , x 2 , x 3 ), están relacionadas por
( ) ( )
dA
dA
=
+ Ω × A. (5.168)
dt
dt
(x,y,z)
(x 1,x 2,x 3)
Esta relación es general para cualquier vector A.
En particular, si A = l,
( ) ( )
dl
dl
=
dt
(x,y,z)
dt
( ) dl
Pero el torque en el sistema (x, y, z) es τ =
dt
τ =
(x 1,x 2,x 3)
+ Ω × l. (5.169)
. Luego, podemos escribir
(x,y,z)
( ) dl
+ Ω × l. (5.170)
dt
(x 1,x 2,x 3)
La Ec. (5.170) constituye el conjunto de ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos.
Las componentes de l en el sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) están dadas por l i = ∑ k I ikΩ k . Luego,
la componente i de la Ec. (5.170) es
τ i = ∑ k
I ik ˙Ωk + (Ω × l) i (5.171)

5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS. 209
Si I ik es diagonal, podemos escribir las ecuaciones de Euler como
τ 1 = I 11 ˙Ω1 + Ω 2 Ω 3 (I 33 − I 22 )
τ 2 = I 22 ˙Ω2 + Ω 1 Ω 3 (I 11 − I 33 )
τ 3 = I 33 ˙Ω3 + Ω 1 Ω 2 (I 22 − I 11 )
(5.172)
Ejemplos.
1. Movimiento de un cuerpo rígido asimétrico libre, (τ = 0), con I 33 > I 22 > I 11 .
Puesto que no hay torque, l = cte, i.e., la dirección y la magnitud del vector
momento angular son constantes. Por otro lado, el Lagrangiano de este sistema es
independiente del tiempo; luego la energía E = T rot se conserva. Existen tres grados
de libertad (los tres ángulos de Euler) y tres cantidades conservadas (dirección de
l, magnitud l y E); por lo tanto, este sistema es integrable.
El movimiento se analiza más fácilmente en términos de las componentes Ω i de la
velocidad angular en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ), usando las ecuaciones
de Euler para cuerpos rígidos, Ecs. (5.172). La dirección del vector l, vista en
el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) fijo en el cuerpo, no es constante; pero la
magnitud l y la energía, que son cantidades escalares, sí lo son.
La magnitud de la velocidad angular en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) es
donde hemos utilizado l i = I ii Ω i .
La energía es
l 2 = l 2 1 + l 2 2 + l 2 3 = I 2 11Ω 2 1 + I 2 22Ω 2 2 + I 2 33Ω 2 3 = cte, (5.173)
E = 1 2
(
I11 Ω 2 1 + I 22 Ω 2 2 + I 33 Ω 2 )
3 = cte. (5.174)
Luego, las componentes de l satisfacen el par de ecuaciones
l 2 1
2EI 11
+ l2 2
2EI 22
+ l2 3
2EI 33
= 1 (5.175)
l 2 1 + l 2 2 + l 2 3 = l 2 . (5.176)
La primera ecuación describe un elipsoide en las componentes (l 1 , l 2 , l 3 ) con semiejes
√ 2EI11 , √ 2EI 22 y √ 2EI 33 , donde √ 2EI 33 es el semieje mayor y √ 2EI 11 es el
semieje menor. La segunda ecuación corresponde a una esfera de radio igual a l
en el sistema (x 1 , x 2 , x 3 ). Ambas ecuaciones deben satisfacerse simultáneamente.
Luego, el movimiento relativo del vector l descrito en el sistema de coordenadas
(x 1 , x 2 , x 3 ) debe ocurrir sobre una trayectoria de intersección de las dos superficies,
el elipsoide y la esfera, vistas en ese sistema. La condición para que exista tal
intersección es que el radio de la esfera se encuentre entre el semieje menor y el
semieje mayor del elipsoide, es decir,
2EI 11 < l 2 < 2EI 33 . (5.177)

210
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.30: Movimiento de l en (x 1, x 2, x 3) para un cuerpo rígido asimétrico libre.
Las intersecciones de la esfera con el elipsoide corresponden a curvas cerradas alrededor
de los ejes x 1 y x 3 . Luego, el movimiento del vector l relativo al sistema
(x 1 , x 2 , x 3 ) fijo en el cuerpo debe ser periódico; durante un período de oscilación el
vector l describe una especie de superficie cónica alrededor de x 1 o de x 3 , y regresa
a su posición original.
Las ecuaciones de Euler (5.172) para un cuerpo asimétrico libre, con τ 1 = τ 2 =
τ 3 = 0, son
I 11 ˙Ω1 + Ω 2 Ω 3 (I 33 − I 22 ) = 0
I 22 ˙Ω2 + Ω 1 Ω 3 (I 11 − I 33 ) = 0
(5.178)
I 33 ˙Ω3 + Ω 1 Ω 2 (I 22 − I 11 ) = 0.
Estas tres ecuaciones, junto con las dos cantidades conservadas l (Ec. (5.173)) y
E (Ec. (5.174)), constituyen un sistema integrable. En efecto, multiplicando la
Ec. (5.174) por 2I 33 y restando la Ec. (5.173), obtenemos
2EI 33 − l 2 = I 11 (I 33 − I 11 )Ω 2 1 + I 22 (I 33 − I 22 )Ω 2 2. (5.179)
Despejamos Ω 1 en función de Ω 2 ,
Ω 2 1 = (2EI 33 − l 2 ) − I 22 (I 33 − I 22 )Ω 2 2
I 11 (I 33 − I 11 )
. (5.180)
Por otro lado, multiplicando la Ec. (5.174) por 2I 11 y restando ésta de la Ec. (5.173),
tenemos
l 2 − 2EI 11 = I 22 (I 22 − I 11 )Ω 2 2 + I 33 (I 33 − I 11 )Ω 2 3. (5.181)
Despejando Ω 3 en función de Ω 2 ,
Ω 2 3 = (l2 − 2EI 11 ) − I 22 (I 22 − I 11 )Ω 2 2
. (5.182)
I 33 (I 33 − I 11 )
Sustituyendo las expresiones de Ω 1 y de Ω 2 en la segunda de las ecuaciones Ec. (5.178),
˙Ω 2 = Ω 1 Ω 2
(I 33 − I 11 )
I 22
, (5.183)

5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS. 211
obtenemos una ecuación diferencial que depende solamente de Ω 2 ,
˙Ω 2 = dΩ 2
dt
=
1 [
(2EI33 − l 2 ) − I
I 22 [I 11 I 33 ] 1/2 22 (I 33 − I 22 )Ω 2 ] 1/2
2
× [ (l 2 − 2EI 11 ) − I 22 (I 22 − I 11 )Ω 2 2] 1/2
. (5.184)
De la Ec. (5.184), podemos calcular t = t(Ω 2 ) mediante integración explícita en
términos de funciones elípticas y, por inversión, obtenemos Ω 2 (t). Sustitución de
Ω 2 (t) en Ec. (6.321) y en la Ec. (5.182) permite obtener Ω 1 (t) y Ω 3 (t), respectivamente.
La dependencia temporal de los ángulos de Euler (θ, φ, ψ) para el cuerpo rígido
asímetrico puede obtenerse sustituyendo las soluciones Ω i (t) en las Ecs. (5.22); sin
embargo, el procedimiento es laborioso.
Este ejemplo ilustra las dificultades matemáticas generadas por la presencia de no
linealidades en sistemas dinámicos, aunque éstos sean integrables.
Puesto que el movimiento del vector l relativo al sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) es periódico,
podemos simplificar las ecuaciones Ecs. (5.178) considerando el movimiento de pequeñas
oscilaciones de l alrededor de los ejes x 1 , x 2 y x 3 .
i) Pequeñas oscilaciones de l alrededor de x 1 .
Supongamos que las componentes l 2 y l 3 son pequeñas. Entonces, las relaciones
l 2 = I 22 Ω 2 , l 3 = I 33 Ω 3 , (5.185)
implican que también las componentes Ω 2 y Ω 3 son pequeñas. Luego, el producto
Ω 2 Ω 3 es muy pequeño y puede ser despreciado en la ecuación de Euler para ˙Ω 1 en
las Ecs. (5.178), lo cual da
˙Ω 1 ≈ 0 ⇒ Ω 1 ≈ cte. (5.186)
Entonces, la segunda y la tercera de las ecuaciones de Euler Ecs. (5.178) dan
˙Ω 2 = (I 33 − I 11 )
I 22
Ω 1 Ω 3 (5.187)
˙Ω 3 = − (I 22 − I 11 )
I 33
Ω 1 Ω 2 . (5.188)
Derivando respecto al tiempo la Ec. (5.187) o la Ec. (5.188), y sustituyendo el
resultado en la otra ecuación, tenemos
¨Ω 2,3 = − (I 33 − I 11 )(I 22 − I 11 )
I 22 I 33
Ω 2 1 Ω 2,3 , (5.189)
la cual se puede escribir como la ecuación de un oscilador armónico,
¨Ω 2,3 = −ω 2 x 1
Ω 2,3 , (5.190)

212
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
con ωx 2 1
> 0, donde
ω x1
= Ω 1
√
(I 33 − I 11 )(I 22 − I 11 )
I 22 I 33
, (5.191)
es la frecuencia de pequeñas oscilaciones estables del vector l alrededor del eje x 1 .
ii) Pequeñas oscilaciones de l alrededor del eje x 3 .
En este caso, asumimos que las componentes l 1 y l 2 son pequeñas y, por lo tanto,
Ω 1 y Ω 2 también son pequeñas. Despreciando el producto Ω 1 Ω 2 en la ecuación de
Euler para ˙Ω 3 en las Ecs. (5.178), obtenemos
I 33 ˙Ω3 ≈ 0 ⇒ Ω 3 ≈ cte. (5.192)
La primera y la segunda de las ecuaciones Ecs. (5.178) dan
las cuales conducen a
con ωx 2 3
> 0, donde
˙Ω 1 = − (I 33 − I 22 )
I 11
Ω 3 Ω 2 (5.193)
˙Ω 2 = (I 33 − I 11 )
I 22
Ω 3 Ω 1 , (5.194)
¨Ω 1,2 = − (I 33 − I 22 )(I 33 − I 11 )
I 11 I 22
Ω 2 3 Ω 1,2 (5.195)
¨Ω 1,2 = −ω 2 x 3
Ω 1,2 , (5.196)
ω x3
= Ω 3
√
(I 33 − I 22 )(I 33 − I 11 )
I 11 I 22
. (5.197)
es la frecuencia de pequeñas oscilaciones estables del vector l alrededor del eje x 3 .
iii) Pequeñas oscilaciones de l alrededor del eje x 2 . Entonces, tomamos las componentes
l 1 y l 3 pequeñas y también Ω 1 y Ω 3 . Entonces el producto Ω 1 Ω 3 puede
despreciarse en la ecuación de Euler para ˙Ω 3 en las Ecs. (5.178), lo cual da
I 22 ˙Ω2 ≈ 0 ⇒ Ω 2 ≈ cte. (5.198)
La primera y la tercera de las ecuaciones Ecs. (5.178) dan
˙Ω 1 = − (I 33 − I 22 )
I 11
Ω 3 Ω 2 (5.199)
˙Ω 3 = − (I 22 − I 11 )
I 33
Ω 2 Ω 1 . (5.200)

5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS. 213
las cuales llevan a
¨Ω 1,3 = (I 33 − I 22 )(I 22 − I 11 )
I 11 I 33
Ω 2 2Ω 1,3 (5.201)
¨Ω 1,3 = ω 2 x 2
Ω 1,3 , (5.202)
con ωx 2 2
> 0, donde
ω (x2) = Ω 2
√
(I 33 − I 22 )(I 22 − I 11 )
I 11 I 33
. (5.203)
En este caso, la solución Ω 1,3 = Ke ω (x 2 )t crece con el tiempo y, por lo tanto, las
componentes l 1 y l 3 aumentan. Luego, el vector l se aleja del eje x 2 y el movimiento
de pequeñas oscilaciones de l alrededor de x 2 es inestable.
2. El girocompás.
Es un instrumento usado en la navegación que permite indicar el Norte geográfico
sin referencia al campo magnético terrestre. Consiste en un disco con momentos
principales de inercia I 11 = I 22 ≠ I 33 , el cual gira con velocidad angular constante
ω alrededor del eje perpendicular a su plano, que llamamos x 3 . Simultáneamente,
el disco puede rotar libremente un ángulo θ alrededor de un eje perpendicular a x 3 ,
como se muestra en la Fig. (5.31).
Figura 5.31: Girocompás.
Sea ν la magnitud de la velocidad angular de la Tierra alrededor de su eje Norte-
Sur, y supongamos que ω ≫ ν. Llamemos α al ángulo de latitud sobre el Ecuador
del instrumento. Consideremos el sistema de coordenadas (x, y, z) fijo en la Tierra
y el sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de masa del disco, como se indica
en la Fig. (5.32).

214
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.32: Sistemas de referencia (x, y.z) y (x 1, x 2, x 3) para el girocompás. Izquierda: velocidad
angular de la Tierra y latitud α del instrumento. Derecha: vista instantánea del girocompás
desde el eje x 2, paralelo al eje y y a la dirección de ˙θ. NS: dirección Norte-Sur local corresponde
al eje z.
Las componentes de la velocidad angular de la Tierra en (x, y.z) son
ν x = 0 (5.204)
ν y = ν sin α (5.205)
ν z = ν cos α (5.206)
Supongamos que la dirección de ˙θ en un instante dado está sobre el eje x 2 (simetría
del disco permite esta simplificación). Entonces, las componentes de la velocidad
angular instantánea Ω del disco en (x 1 , x 2 , x 3 ) se pueden expresar como (Fig. (5.32))
Ω 1 = −ν z sin θ = −ν cos α sin θ (5.207)
Ω 2 = ν y + ˙θ = ν sin α + ˙θ (5.208)
Ω 3 = ν z cos θ + ω = ν cos α cos θ + ω (5.209)
Puesto que el instrumento es libre de rotar sobre el eje y, no hay componente del
torque en dirección de y, que corresponde en este instante al eje x 2 . Entonces,
consideremos la ecuación de Euler Ec. (5.172) correspondiente a τ 2 = 0,
Sustitución de las componentes de Ω da
τ 2 = I 22 ˙Ω2 + Ω 1 Ω 3 (I 11 − I 33 ) = 0. (5.210)
I 11 ¨θ + (I33 − I 11 )ν cos α sin θ (ν cos α cos θ + ω) = 0. (5.211)
dondehemos usado I 11 = I 22 . Pero ω ≫ ν ⇒ ω ≫ ν cos α cos θ. Luego, podemos
escribir
I 11 ¨θ + (I33 − I 11 )νω cos α sin θ ≈ 0 (5.212)

5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS. 215
La Ec. (5.212) tiene la misma forma que la ecuación de movimiento de un péndulo
simple. En el límite de pequeñas oscilaciones en θ, tenemos sin θ ≈ θ. Luego,
¨θ + (I 33 − I 11 )
I 11
νω cos α θ ≈ 0 (5.213)
La Ec. (5.213) es similar a la ecuación de un oscilador armónico,
donde
¨θ + ω 2 c θ ≈ 0 (5.214)
ω 2 c = (I 33 − I 11 )
I 11
νω cos α (5.215)
es la frecuencia para pequeñas oscilaciones del eje x 3 del disco alrededor del eje z,
que apunta hacia el Norte. Luego, el punto de equilibrio θ = 0 de la oscilación del
eje x 3 señala la dirección del Norte geográfico.
Notemos que la medida directa de la frecuencia de oscilación ω c en la Ec. (5.214)
permite a su vez calcular la latitud α sin ninguna referencia externa. Por ejemplo,
3. Efecto Coriolis.
ω c = 0 ⇒ α = π 2
, Polo Norte. (5.216)
ω c = máxima ⇒ α = 0, Ecuador. (5.217)
Una aplicación importante de la Ec. (5.168) es la descripción del movimiento de
una partícula en un sistema en rotación, y por tanto, no inercial.
Figura 5.33: Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843).
Sean (x, y, z, ) un sistema inercial (por ejemplo, con respecto a las estrellas fijas)
y (x 1 , x 2 , x 3 ) un sistema de coordenadas en rotación (por ejemplo, la Tierra) con
velocidad angular constante Ω relativa al sistema inercial. Entonces, la Ec. (5.168)
aplicada al vector de posición r de la partícula desde el origen común de ambos
sistemas da
v = v rot + Ω × r, (5.218)

216
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
donde suprimimos el subíndice (x, y, z) en las cantidades referidas al sistema inercial
y usamos el subíndice “rot” en lugar de (x 1 , x 2 , x 3 ) para las cantidades medidas en
el sistema en rotación.
La derivada temporal del vector v vista por dos observadores en los sistemas de
coordenadas (x, y, z) y (x 1 , x 2 , x 3 ) está dada a su vez por la Ec. (5.168),
( )
dv dv
dt = + Ω × v. (5.219)
dt
Sustituyendo Ec. (5.218) en la Ec. (5.219), tenemos
( )
dv dvrot
=
+ Ω × v rot + Ω × (v rot + Ω × r)
dt dt
rot
( )
dvrot
=
+ 2Ω × v rot + Ω × (Ω × r). (5.220)
dt
rot
Multiplicando por la masa de la partícula m, la Ec. (5.220) queda
m dv ( )
dt = m dvrot
+ 2mΩ × v rot + mΩ × (Ω × r). (5.221)
dt
rot
La ecuación de movimiento en el sistema inercial (x, y, z) es simplemente
Entonces, la Ec. (5.221) puede expresarse como
rot
F − 2mΩ × v rot − mΩ × (Ω × r) = m
F = m dv
dt . (5.222)
(
dvrot
dt
)
. (5.223)
rot
Luego, para un observador en el sistema en rotación, el movimiento de la partícula
se describe como si ésta estuviera sujeta a una fuerza efectiva
( )
dvrot
F ef = m
, (5.224)
dt
rot
donde
e identificamos
F ef = F + Fc + F cf , (5.225)
F cf = −mΩ × (Ω × r) (5.226)
como la fuerza centrífuga, cuya magnitud es la expresión familiar F cf = mΩ 2 r sin θ,
donde θ es el ángulo entre Ω y r, mientras que el término
Fc = 2m v rot × Ω (5.227)
se denomina fuerza de Coriolis. Tanto la fuerza de Coriolis como la fuerza centrífuga
son fuerzas ficticias, introducidas por un observador en el sistema no inercial en
rotación para describir el movimiento de una partícula.

5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS. 217
Figura 5.34: Desviación de la trayectoria de un proyectil en la Tierra debida al efecto Coriolis.
Izquierda: hemisferio Norte. Derecha: hemisferio Sur.
4. Movimiento libre de un trompo simétrico (I 11 = I 22 ≠ I 33 ).
En este caso, τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0, y l es constante. Tomamos la dirección constante
de l en la dirección z.
Figura 5.35: Movimiento libre de un trompo.
Las ecuaciones de Euler (5.172) se reducen a
I 11 ˙Ω1 = −Ω 2 Ω 3 (I 33 − I 11 )
I 11 ˙Ω2 = Ω 1 Ω 3 (I 33 − I 11 )
I 33 ˙Ω3 = 0.
(5.228)

218
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
La tercera equación da Ω 3 = cte. Puesto que l 3 = l cos θ, tenemos
l 3 = I 33 Ω 3 = l cos θ ⇒ Ω 3 = l cos θ
I 33
= cte ⇒ θ = cte. (5.229)
La primera y la segunda ecuación se pueden entonces escribir como
donde definimos
˙Ω 1 = −ωΩ 2 (5.230)
˙Ω 2 = −ωΩ 1 , (5.231)
ω = (I 33 − I 11 )
I 11
Ω 3 = (I 33 − I 11 )
I 11 I 33
l cos θ = cte. (5.232)
Luego,
¨Ω 1 = −ω ˙Ω 2 ⇒ ¨Ω 1 = −ω 2 Ω 1 . (5.233)
Las soluciones para Ω 1 y Ω 2 son
Ω 1 = A cos ωt
Ω 2 = A sin ωt
(5.234)
donde A = (Ω 2 1 + Ω 2 2) 1/2 es constante. Luego, Ω rota con respecto a la dirección
fija de l, manteniendo su proyección Ω 3 sobre el eje x 3 constante mientras que su
proyección sobre el plano (x 1 , x 2 ) rota con velocidad angular constante ω.
La velocidad angular de precesión ˙φ, tanto del eje x 3 como del vector Ω, alrededor
de l (eje z) se puede calcular a partir de
l 2 = I 22 Ω 2 = l sin θ. (5.235)
Sustituyendo la expresión de Ω 2 en términos de los ángulos de Euler, y tomando
ψ = 0 (usando la simetría axial del trompo), tenemos
I 22 ˙φ sin θ = l sin θ ⇒ ˙φ =
l
I 11
. (5.236)
La velocidad angular de rotación ˙ψ del trompo sobre su eje x 3 se puede calcular
usando
Ω 3 = ˙ψ + ˙φ cos θ (5.237)
⇒ ˙ψ = Ω 3 − ˙φ cos θ (5.238)
= l cos θ − l cos θ (5.239)
I 33 I 11
= (I 33 − I 11 )
I 11 I 33
l cos θ = ω. (5.240)

5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS. 219
Figura 5.36: Rotación del vector Ω en los sistemas de referencia (x, y, z) y (x 1, x 2, x 3).
El vector Ω ejecuta dos rotaciones, vistas desde los dos sistemas de referencia:
una rotación en el sistema (x, y, z) describiendo un cono alrededor de la dirección
z = l, con velocidad angular de precesión ˙φ; y una rotación en el sistema (x 1 , x 2 , x 3 )
describiendo otro cono alrededor del eje x 3 del trompo, con velocidad angular ω =
˙ψ. El vector l también rota con velocidad angular ˙ψ alrededor de x 3 , visto desde el
sistema (x 1 , x 2 , x 3 ).

220
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
5.6. Problemas
1. Una moneda de masa m y radio a está rodando sin deslizar por el suelo con velocidad
v, describiendo una circunferencia de radio R y manteniendo un ángulo
constante α con respecto al suelo. Determine α.
2. Un placa uniforme, formada por un triángulo con dos lados iguales de longitud a,
rota con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa por uno de esos lados.
a) Calcule el vector de momento angular de la placa.
b) Calcule la energía cinética de la placa.
3. Un trompo uniforme de masa M con su extremo inferior fijo en el suelo está girando
sobre su eje de simetría con velocidad angular Ω, inicialmente en posición vertical
(θ = 0, ˙θ = 0). Los momentos principales de inercia son I 3 , I 1 = I 2 . El centro de
masa se ubica a una distancia a del punto inferior del trompo.
a) Encuentre las cantidades conservadas en el sistema en función de las condiciones
iniciales.
b) Calcule el ángulo máximo que se puede inclinar el trompo.
4. Un disco uniforme de masa m y radio a está girando con velocidad angular constante
Ω alrededor de un eje que pasa por su centro y que forma un ángulo θ con la normal
a la superficie del disco.
a) Calcule el valor de θ para que el ángulo entre la velocidad angular y el momento
angular del disco sea de 15 o .
b) Encuentre la energía cinética del disco.
5. Calcule los momentos principales de inercia de un cono uniforme de masa M, altura
h y base circular de radio R.
6. Una placa semicircular uniforme de masa m y radio a se encuentra sobre una
superficie plana. Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones de la placa alrededor
de su posición de equilibrio.
7. Un aro de masa M y radio R está girando con velocidad angular constante Ω
alrededor de un eje que pasa por su centro y que forma un ángulo α con la normal
al plano del aro. Calcule la magnitud y dirección del momento angular del aro.
8. Un cilindro de densidad uniforme ρ, radio R y altura h gira con velocidad angular
constante ω alrededor de su eje longitudinal. El cilindro tiene una cavidad esférica
de radio R/2 tangente a su eje. Calcule la energía cinética del cilindro.

5.6. PROBLEMAS 221
9. Una varilla uniforme de longitud 2l posee sus extremos en contacto sin fricción con
un aro vertical fijo de radio R > l. Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones
de la varilla.
10. Un hemisferio sólido y uniforme de masa M y radio R se encuentra sobre una superficie
plana. Calcule la frecuencia de pequeñas oscilaciones del hemisferio alrededor
de su posición de equilibrio.
11. Una varilla de masa m y longitud l tiene un extremo en una pared y el otro en el
suelo. Desprecie la fricción.
a) Encuentre la ecuación de movimiento de la varilla.
b) Si la varilla se suelta desde el reposo, formando un ángulo α con el suelo, calcule
la velocidad de su centro de masa cuando la varilla choca contra el suelo.
c) Determine el tiempo que tarda en chocar.

222
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
12. Una placa rectangular uniforme, de masa m y lados a y 2a, está rotando con
velocidad angular constante ω alrededor de una de sus diagonales.
a) Encuentre la energía cinética de rotación de la placa.
b) Determine la magnitud del momento angular de la placa.
c) Encuentre el ángulo entre el momento angular y la velocidad angular.
13. Encuentre la frecuencia para pequeñas oscilaciones de un péndulo plano formado
por varilla de masa despreciable, con un extremo fijo y el otro extremo unido a una
esfera de radio R y masa M.
14. Tres estrellas, con masas m 1 , m 2 y m 3 , se encuentran ubicadas en el espacio formando
los vértices de un triángulo equilátero. Determine la velocidad angular del
movimiento de rotación tal que esta configuración permanezca invariante.
15. Un cono circular uniforme de altura h, ángulo de vértice α y masa m rueda sobre
su lado sin deslizar sobre un plano horizontal.
a) Encuentre la energía cinética.
c) Calcule el tiempo requerido para retornar a la posición original del cono.
b) Calcule las componentes del momento angular del cono.
16. Una bola de densidad uniforme rueda sin deslizar sobre un disco que gira en un
plano horizontal con velocidad angular Ω. La bola se mueve en un círculo de radio
r centrado en el eje del disco, con velocidad angular ω. Encuentre ω.

Capítulo 6
Dinámica Hamiltoniana
6.1. Ecuaciones de Hamilton.
La formulación de la Mecánica a partir del Lagrangiano L(q i , ˙q i , t), i = 1, 2, . . . , s,
describe el movimiento de un sistema en términos de sus coordenadas y velocidades
generalizadas, lo cual se denomina el espacio de configuración (q i , ˙q i ).
Otra descripción alternativa del movimiento de un sistema es posible en términos de
sus coordenadas generalizadas q i y de sus momentos conjugados p i , lo cual se llama el
espacio de fase (p i , q i ) del sistema. El espacio de fase es empleado para representar la
evolución de sistemas en diversas áreas de la Física, tales como Mecánica Estadística y
Sistemas Dinámicos.
Veamos cómo transformar la descripción del movimiento desde el espacio de configuración
(q 1 , ˙q i ) al espacio de fase (p i , q i ). Consideremos un sistema cuyo Lagrangiano es
L(q i , ˙q i , t). El diferencial total del Lagrangiano como función de sus argumentos es
dL(q i , ˙q i , t) = ∑ i
∂L
∂q i
dq i + ∑ i
∂L
d ˙q i + ∂L dt. (6.1)
∂q˙
i ∂t
Los momentos conjugados asociado a las coordenadas generalizadas {q i } son
p i = ∂L
∂ ˙q i
= p i (q i , ˙q i , t) i = 1, 2, . . . , s. (6.2)
A partir del conjunto de Ecs. (6.2) es posible, en principio, obtener las velocidades generalizadas
˙q i como función de los momentos p i , las coordenadas q i y t,
˙q i = ˙q i (p i , q i , t) i = 1, 2, . . . , s. (6.3)
Las ecuaciones de Lagrange correspondientes se pueden escribir
d
dt
( ∂L
∂ ˙q i
)
= ∂L
∂q i
(6.4)
⇒ ṗ i = ∂L
∂q i
. (6.5)
223

224
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Sustitución en la Ec. (6.1) da
dL = ∑ i
ṗ i dq i + ∑ i
p i d ˙q i + ∂L dt , (6.6)
∂t
lo que se puede expresar como
dL = ∑ ( ∑
ṗ i dq i +
i
i
d(p i ˙q i ) − ∑ i
˙q i dp i
)
+ ∂L dt ; (6.7)
∂t
es decir,
( ∑
d
i
p i ˙q i − L
)
= ∑ i
˙q i dp i − ∑ i
ṗ i dq i − ∂L dt . (6.8)
∂t
El lado izquierdo de la Ec. (6.8) corresponde al diferencial total de una función de varias
variables. El lado derecho de la Ec. (6.8), que contiene los diferenciales dp i , dq i y dt,
indica que los argumentos de esta función son (p i , q i , t). Si expresamos las velocidades
generalizadas ˙q i = ˙q i (p i , q i , t), podemos definir esta función como
H(p i , q i , t) ≡ ∑ i
p i ˙q i − L = ∑ i
p i ˙q i (p i , q i , t) − L(q i , ˙q i (p i , q i , t), t) . (6.9)
La función H(p i , q i , t) se llama el Hamiltoniano del sistema. Entonces, la Ec. (6.8) se
puede escribir como
dH(q i , p i , t) = ∑ i
˙q i dp i − ∑ i
ṗ i dq i − ∂L dt . (6.10)
∂t
Por otro lado, como función de sus argumentos (q i , p i , t), el diferencial total del Hamiltoniano
es
dH(q i , p i , t) = ∑ ∂H
dq i + ∑ ∂H
dp i + ∂H dt. (6.11)
∂q
i i ∂p i ∂t
Comparando términos en las Ecs. (6.10) y (6.11), tenemos
además de
˙q i = ∂H ,
∂p i
(6.12)
ṗ i = − ∂H ,
∂q i
(6.13)
∂H
∂t = −∂L ∂t . (6.14)
Las ecuaciones Ecs. (6.12) y (6.13) se denominan ecuaciones de Hamilton y constituyen
un sistema de 2s ecuaciones diferenciales de primer orden con respecto al tiempo para q i
y p i , i = 1, 2, . . . , s. Las soluciones q i (t) y p i (t) de las ecuaciones de Hamilton requieren

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON. 225
2s constantes de integración relacionadas con las s condiciones iniciales q i (0) para las
coordenadas y las p i (0) s condiciones iniciales para los momentos. El estado dinámico
del sistema en un tiempo t se puede representar como un punto (q i (t), p i (t)) en el espacio
de fase euclideano 2s-dimensional (q i , p i ), donde cada coordenada q i y cada momento
p i corresponde a un eje cartesiano de ese espacio. Las soluciones de las ecuaciones de
Hamilton corresponden a una trayectoria (q i (t), p i (t)) en el espacio de fase 2s-dimensional
(q i , p i ) que pasan por el punto (q i (0), p i (0)).
Figura 6.1: Trayectoria en el espacio de fase.
Note que el Hamiltoniano H es equivalente a la función de energía (Cap. 1) expresada
en variables del espacio de fase,
E(q i , ˙q i ) = ∑ i
∂L
∂ ˙q i
˙q i − L(q i , ˙q i , t)
= ∑ i
p i ˙q i − L = H(q i , p i , t) en coordenadas (q i , p i ). (6.15)
Por otro lado,
dH
dt (q i, p i , t) = ∂H
∂t + ∑ i
= ∂H
∂t + ∑ i
∂H
˙q i + ∑ ∂q i
i
∂H ∂H
− ∑ ∂q i ∂p i
i
∂H
∂p i
ṗ i
∂H ∂H
= ∂H
∂p i ∂q i ∂t .
Es decir, si el Hamiltoniano no depende explicitamente del tiempo, entonces H(q i , p i ) es
constante. Similarmente, si el Lagrangiano L no depende explicitamente de t, la función
de energía es constante.
Si el Hamiltoniano es constante, la ecuación H(q i , p i ) = cte representa una superficie
de (2s − 1) dimensiones sobre la cual se mueve la trayectoria (q i (t), p i (t)) en el espacio
de fase 2s-dimensional. La trayectoria correspondiente a un sistema oscilatorio debe ser
una curva cerrada sobre la superficie H(q i , p i ) = cte, de modo que los valores de las
coordenadas y de los momentos del sistema se repiten en el tiempo.
Un sistema caracterizado por un Lagrangiano siempre tiene un Hamiltoniano asociado.
En la formulación Lagrangiana, el movimiento de un sistema con s grados de libertad

226
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
se describe en términos de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en
el tiempo para las coordenadas generalizadas q i , (i = 1, 2, . . . , s); mientras que en la
formulación Hamiltoniana, la dinámica del sistema se expresa mediante 2s ecuaciones
diferenciales de primer orden con respecto al tiempo: s ecuaciones para las coordenadas
q i y s ecuaciones para los momentos conjugados p i . Formalmente, el Hamiltoniano corresponde
a una transformación de Legendre del Lagrangiano (Apéndice C). Desde el punto
de vista matemático, ambas formulaciones son equivalentes. Sin embargo, la formulación
Hamiltoniana permite conectar la Mecánica Clásica con otras áreas de la Física, tales
como Sistemas Dinámicos, Mecánica Estadística y Teorías de Campos.
Figura 6.2: William Rowan Hamilton (1805-1865).
Ejemplos.
1. Encontrar las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico en la formulación
Hamiltoniana.
El Lagrangiano es
puesto que s = 1, hay un momento conjugado:
El Hamiltoniano es
L = T − V = 1 2 m ˙q2 − 1 2 kq2 . (6.16)
p = ∂L
∂ ˙q = m ˙q ⇒ ˙q = p m . (6.17)
H(q, p) = p ˙q − L = p ˙q − 1 2 m ˙q2 + 1 2 kq2 . (6.18)
Sustituyendo ˙q = p m ,
H(q, p) = p2
2m + 1 2 kq2 . (6.19)

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON. 227
Las ecuaciones de Hamilton son
˙q = ∂H
∂p = p m , (6.20)
ṗ = − ∂H = −kq.
∂q
(6.21)
Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico se pueden resolver, al igual
que la correspondiente ecuación de Lagrange. Derivando la Ec. (6.21) obtenemos,
¨p = −k ˙q = − k m p , (6.22)
cuya solución es
p(t) = A cos(ωt + ϕ), ω 2 = k m . (6.23)
Sustituyendo en la Ec. (6.20), obtenemos
El Hamiltoniano es independiente del tiempo, ∂H
∂t
q(t) = A sin(ωt + ϕ). (6.24)
mω
= 0, lo cual implica que
H(q, p) = p2
2m + 1 2 kq2 = cte. (6.25)
La función H(q, p) = cte corresponde a una elipse (curva unidimensional) en el
espacio de fase bidimensional (q, p) y determina los valores posibles de q(t) y p(t)
para todo tiempo t. La trayectoria descrita por q(t), p(t) se mueve sobre la elipse
H = cte.
Figura 6.3: La función H(q, p) = cte para un oscilador armónico en su espacio de fase.
2. Encontrar las ecuaciones de Hamilton para una partícula de masa m moviéndose
sobre un cono vertical cuyo ángulo en el vértice es α.
El Lagrangiano fue calculado en el Cap. 1,
L = T − V = 1 2 mṙ2 csc 2 α + 1 2 mr2 ˙ϕ 2 − mgr cot α. (6.26)

228
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Los momentos conjugados a las coordenadas r y ϕ son
Luego,
p r = ∂L
∂ṙ
= mṙ csc 2 α (6.27)
p ϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ. (6.28)
El Hamiltoniano es
ṙ =
p r
m csc 2 α
(6.29)
˙ϕ = p ϕ
mr 2 . (6.30)
H = ∑ i
p i ˙q i − L = p r ṙ + p ϕ ˙ϕ − 1 2 mṙ2 csc 2 α − 1 2 mr2 ˙ϕ 2 + mgr cot α. (6.31)
Sustituyendo ṙ y ˙ϕ, obtenemos
H(r, ϕ, p r , p ϕ ) =
Las ecuaciones de Hamilton son
Adicionalmente,
p 2 r
2m csc 2 α +
p2 ϕ
+ mgr cot α. (6.32)
2mr2 ˙ϕ = ∂H =
p ϕ
∂p ϕ mr 2 (6.33)
ṙ = ∂H p r
=
∂p r m csc 2 α
(6.34)
ṗ ϕ = − ∂H
∂ϕ = 0 ⇒ p ϕ = mr 2 ˙ϕ = cte (6.35)
ṗ r = − ∂H
∂r =
p2 ϕ
− mg cot α. (6.36)
mr3 ∂H
∂t = 0 ⇒ H(r, ϕ, p r, p ϕ ) = cte. (6.37)
La función H(r, ϕ, p r , p ϕ ) = cte describe una hipersuperficie 3-dimensional en el
espacio de fase 4-dimensional correspondiente a r, ϕ, p r , p ϕ .
3. Encontrar el Hamiltoniano de una partícula de masa m y carga q, moviéndose con
velocidad v, en un campo electromagnético E y B.
La energía potencial de la partícula en el campo electromagnético es (Cap. 2)
V = qφ − q A · v, (6.38)
c

6.1. ECUACIONES DE HAMILTON. 229
donde el potencial escalar φ y el potencial vector A están relacionados con los
campos E y B mediante
El Lagrangiano es
E = −∇φ − 1 c
∂A
∂t , B = ∇ × A . (6.39)
L = T − V = 1 2 mv2 − qφ + q A · v. (6.40)
c
En coordenadas cartesianas, L se puede expresar como
Los momentos conjugados son
luego,
L(x i , ẋ i ) = 1 3∑
2 m ẋ 2 i − qφ + q c
i=1
3∑
A i ẋ i . (6.41)
i=1
p j = ∂L
∂ẋ j
= mẋ j + q c A j ; (6.42)
ẋ j = 1 m
El Hamiltoniano de la partícula es
(
p j − q )
c A j . (6.43)
H = ∑ j
p j ẋ j − L. (6.44)
Sustituyendo la velocidad ẋ j de la Ec. (6.43), tenemos
H = 1 ∑
p j
(p j − q )
m
c A j − 1 ∑ (
p j − q ) 2
2m c A 1 q ∑
j + qφ − A j
(p j − q )
m c
c A j
j
j
j
= 1 ∑ (
p j − q ) (
m c A j p j − q )
c A j − 1 ∑ (
p j − q 2
j)
2m c A + qφ
= 1 m
=
1
2m
j
∑
j
∑
j
(
p j − q ) 2
c A 1
j −
2m
∑
j
j
(
p j − q c A j) 2
+ qφ
(
p j − q c A j) 2
+ qφ. (6.45)
Luego, el Hamiltoniano para una partícula en un campo electromagnético es
H(r, p) = 1 (
p − q ) 2
2m c A + qφ . (6.46)
Cabe destacar que el Hamiltoniano para una partícula en un campo electromagnético
en Mecánica Cuántica tiene la misma forma que en la Mecánica Clásica, Ec. (6.46).

230
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
6.2. Sistemas dinámicos, espacio de fase y Teorema
de Liouville.
Un sistema cuyo estado (o conjunto de estados) evoluciona de acuerdo a reglas determinadas
constituye un sistema dinámico. Las reglas especifican cómo cambia el estado del
sistema a partir de un estado dado. Estas reglas pueden consistir en ecuaciones diferenciales,
funciones iterativas, o por un algoritmo (conjunto de instrucciones). El conjunto
de n estados de un sistema dinámico en un instante t se puede representar por un vector
de variables de estado definido en un espacio de fase euclideano n-dimensional,
x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), . . . , x n (t)) . (6.47)
La evolución del estado x(t) en muchos sistemas físicos, químicos, biológicos, sociales,
económicos, etc., se puede describir mediante ecuaciones diferenciales de la forma
donde
dx(t)
dt
= f(x(t)), (6.48)
f(x) = (f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)) . (6.49)
Si el tiempo no aparece explícitamente en la Ec. (6.48), se dice que el sistema dinámico
es autónomo.
Los puntos fijos o estacionarios x ∗ del sistema Ec. (6.48) están dados por
dx(t)
dt
∣ = f(x ∗ ) = 0. (6.50)
x ∗
La Ec. (6.48) equivale al sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden
ẋ 1 = f 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n )
.
.
.
. (6.51)
ẋ n = f n (x 1 , x 2 , . . . , x n ).
En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n para una variable se puede
expresar como un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
para n variables. La solución del sistema de n ecuaciones diferenciales de primer
orden Ec. (6.48) para x(t) ∈ R n requiere el conocimiento de n condiciones iniciales
x(0) = (x 1 (0), x 2 (0), . . . , x n (0)).
Ejemplos.
1. Las ecuaciones de Hamilton de un sistema mecánico con s grados de libertad constituyen
un sistema dinámico 2s-dimensional, i = 1, . . . , s,
˙q i = ∂H
∂p i
= f i (q j , p j ), i = 1, . . . , s (6.52)
ṗ i = − ∂H
∂q i
= f i (q j , p j ), i = s + 1, . . . , 2s (6.53)

6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.231
2. El modelo de Lotka-Volterra describe la evolución de dos poblaciones, predadores
y presas, en un sistema ecológico, mediante las ecuaciones
ċ = αc − βcz = f 1 (c, z)
ż = −γz + δcz = f 2 (c, z), (6.54)
donde c representa el número de presas (por ejemplo conejos), y z corresponde al
número de sus depredadores (por ejemplo zorros). Las derivadas ċ, ż representan
la tasa de crecimiento de cada población, respectivamente. Los parámetros son: α:
tasa de nacimiento de las presas; β: tasa de presas comidas por los depredadores;
γ: tasa de muerte de los depredadores; δ: tasa de crecimiento de los depredadores
alimentándose de las presas.
Figura 6.4: Espacio de fase bidimensional (c, z) en el modelo de Lotka-Volterra para valores
dados de los parámetros α, β, γ y δ.
3. Las ecuaciones de Lorenz, propuestas originalmente como un modelo simplificado
de variables climáticas, forman un sistema dinámico no lineal, tridimensional,
ẋ = −ax + ay = f 1 (x, y, z),
ẏ = −xz + rx − y = f 2 (x, y, z), (6.55)
ż = xy − bz = f 3 (x, y, z).
El fenómeno de caos fue descubierto por primera vez en estas ecuaciones. Para
cierto rango de valores de los parámetros a, b, y r, este sistema es caótico; es decir,
presenta sensibilidad extrema ante cambios de las condiciones iniciales. En ese caso,
la trayectoria x(t) = (x, y, z) es aperiódica (no se cierra) y describe una intrincada
estructura geométrica en el espacio de fase, denominada atractor de Lorenz.

232
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Figura 6.5: Atractor de Lorenz.
Teorema de existencia y unicidad.
Dado un sistema dinámico descrito por la Ec. (6.48),
dx(t)
dt
= f(x(t))
definido en un subespacio U ∈ R n , tal que f(x) satisface la propiedad de
Lipschitz,
|f(y) − f(x)| ≤ k |y − x|
donde |x| ≡ ∣ x
2
1 + x 2 2 + · · · + x 2 ∣ 1/2 n , para algún k < ∞, y dado un punto
x(0) ∈ U, existe una solución única x(t) que satisface esta ecuación para
t ∈ (0, τ) con condición inicial x(0).
Figura 6.6: Teorema de unicidad en un espacio de fase tridimensional.
La propiedad de Lipschitz (no singularidad) es, en general, satisfecha por las funciones
que describen sistemas físicos.

6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.233
El vector de estado del sistema x(t) en el espacio de fase se asemeja a un vector de
posición de una partícula en un sistema de coordenadas espaciales cartesianas. El vector
f(x) describe la velocidad dx/dt y es siempre tangente a la trayectoria x(t) en el espacio
de fase.
El teorema de unicidad constituye el fundamento matemático del principio del determinismo
y de la predicción en la Física: el estado de un sistema en un instante dado
está determinado unívocamente por su estado en un instante anterior.
Figura 6.7: Situaciones prohibidas por el Teorema de Unicidad en el espacio de fase: dos trayectorias
no pueden surgir del mismo punto (izquierda); dos trayectorias no pueden intersectarse
(centro); una trayectoria no puede cruzarse a sí misma (derecha).
Un conjunto de condiciones iniciales en el espacio de fase de un sistema se denomina
un ensemble. Un ensemble puede interpretarse como un conjunto de sistemas idénticos o
réplicas con diferentes condiciones iniciales, o como diferentes realizaciones de un mismo
sistema en un instante inicial.
Figura 6.8: Evolución de un ensemble en el espacio de fase.
Cada punto en el ensemble evoluciona de acuerdo con la ecuación dinámica del sistema,
Ec. (6.48), dando lugar a un estado x(t) en un tiempo t. Denotamos por Γ(t) el
volumen ocupado por el conjunto de puntos x(t) en el espacio de fase en el tiempo t.
Debido a la evolución del sistema, Γ cambia en el tiempo. El teorema de unicidad establece
que no puede surgir más de una trayectoria a partir de cualquiera condición inicial.
Como consecuencia, Γ no puede aumentar en el tiempo. Es decir, el teorema de unicidad
implica que en un sistema dinámico siempre debe ocurrir
dΓ
dt
≤ 0. (6.56)

234
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Supongamos que el volumen Γ(t) esta encerrado por una superficie S en el espacio
de fase. El cambio de Γ en el tiempo está dado por el número total de trayectorias
que atraviesan (entran o salen) S por unidad de tiempo. El número de trayectorias que
atraviesan un diferencial de area da por unidad de tiempo se comporta como un flujo
de “partículas” a través de da, y es igual a dx · da, donde da es el vector normal al
dt
diferencial de area.
Figura 6.9: Flujo de trayectorias a través de una superficie S que encierra un volumen Γ en el
espacio de fase.
Entonces, el cambio de Γ en el tiempo es igual al flujo total por unidad de tiempo a
través de S,
∮
dΓ dx
=
dt
S dt · da (flujo total a través de S por unidad de tiempo)
∮ ∫
= f · da = ∇ · f dΓ ′ (Teorema de la divergencia), (6.57)
S
donde el diferencial de volumen en el espacio de fase es
y
Γ
dΓ ′ = dx 1 dx 2 · · · dx n =
∇ · f = ∇ ·
( ) dx
=
dt
n∏
dx i , (6.58)
i=1
n∑
i=1
∂ẋ i
∂x i
. (6.59)
Luego, la condición Ec. (6.56) que satisface todo sistema dinámico, equivale a
dΓ
= 0,
dt
si ∇ · f = 0, (6.60)
dΓ
< 0,
dt
si ∇ · f < 0. (6.61)
Un sistema de ecuaciones tal que ∇·f > 0 viola el teorema de unicidad y no representa
a un sistema dinámico.

6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.235
Teorema de Liouville.
El volumen representado por un ensemble de un sistema mecánico (que obedece
las ecuaciones de Hamilton) en su espacio de fase es constante, Γ = cte,
i.e.,
dΓ
dt = 0.
Demostración:
La dinámica del sistema está descrita por las ecuaciones de Hamilton,
˙q i = ∂H
∂p i
,
ṗ i = − ∂H
∂q i
,
donde
Luego,
f =
( ∂H
, − ∂H ) ( ∂H
= , . . . , ∂H , − ∂H , . . . , − ∂H )
. (6.62)
∂p i ∂q i ∂p 1 ∂p s ∂q 1 ∂q s
∇ · f = ∑ ( ∂ ˙qi
+ ∂ṗ )
i
(6.63)
∂q
i i ∂p i
= ∑ ( ∂ 2 )
H
−
∂2 H
= 0 (6.64)
∂q
i i ∂p i ∂p i ∂q i
⇒
dΓ = 0. (6.65)
dt
Figura 6.10: Joseph Liouville (1809-1882).
Los sistemas dinámicos que satisfacen ∇ · f = 0 ( dΓ
dt
= 0) se llaman conservativos,
mientras que los sistemas tales que ∇ · f < 0 ( dΓ
dt
< 0) se denominan disipativos.

236
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Los sistemas Hamiltonianos son conservativos; el volumen de un ensemble puede
cambiar su forma en el tiempo, pero no su tamaño, mientras se mueve sobre la superficie
H = cte. La evolución de un ensemble en el espacio de fase de un sistema Hamiltoniano
es similar al movimiento de un fluido incompresible en el espacio real.
En los sistemas disipativos, las trayectorias en el espacio de fase convergen asintóticamente
a un objeto geométrico que tiene un volumen (o dimensión) menor que el espacio
de fase que lo contiene, y que se denomina atractor del sistema. Esta situación es típica
de los sistemas con fricción y de los sistemas fuera de equilibrio.
Figura 6.11: Evolución esquemática de un ensemble en el espacio de fase de un sistema disipativo
(izquierda), y de un sistema conservativo (derecha).
Ejemplos.
1. Las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico
conducen a
˙q = p m = f 1(q, p), (6.66)
ṗ = −kq = f 2 (q, p), (6.67)
∇ · f = ∂f 1
∂q + ∂f 2
= 0. (6.68)
∂p
Este sistema es conservativo, como corresponde a todo sistema Hamiltoniano.
2. Las ecuaciones de Lorenz Ecs. (6.55) dan
∇ · f = ∂f 1
∂x + ∂f 2
∂y + ∂f 3
= −(a + b + 1). (6.69)
∂z
Luego, el sistema de Lorenz es disipativo si a + b + 1 > 0. Estas son las condiciones
que producen el atractor de Lorenz en la Fig. (6.5).

6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.237
El teorema de Liuoville tiene importantes implicaciones. Una consecuencia de este
teorema, es que las trayectorias en el espacio de fase eventualmente retornan arbitrariamente
cerca de su punto de origen, i.e., de sus condiciones iniciales.
Teorema de recurrencia de Poincaré.
Consideremos alguna condición inicial x(0) = (q i (0), p i (0)) en un espacio de
fase finito D de un sistema Hamiltoniano. Entonces, para cualquier vecindad
finita U de x(0), existen trayectorias originadas en puntos de U que eventualmente
retornan a U.
Demostración:
Consideremos imágenes sucesivas de la evolución de U bajo las ecuaciones
de Hamilton, en intervalos de tiempo ∆t. Denotamos por C(U) la imagen
de U después de un intervalo ∆t. Sucesivas imágenes corresponden a C n (U),
donde C n indica la composición o iteración n-ésima de C. Existen dos posibilidades:
las imágenes sucesivas de U se intersectan, o no lo hacen. Si éstas
imágenes no se intersectan, entonces en cada iteración, un volumen de D igual
al volumen de U se ocupa y, por tanto, no puede pertenecer a ninguna imagen
subsiguiente. Puesto que el volumen D es finito, no es posible acomodar
un número infinito de volúmenes finitos dentro de D. Luego, las imágenes
sucesivas de U se deben intersectar después de un número finito de iteraciones.
Supongamos que C i (U) se intersecta con C j (U), con i j. Entonces,
las pre-imágenes C i−1 (U) y C j−1 (U) de estos subconjuntos también deben
intersectarse, puesto que la pre-imagen de un punto en la intersección pertenece
a ambos subconjuntos. Esto puede ser continuado hasta que finalmente
C i−j (U) intersecta a U. Luego, después de i − j iteraciones de la evolución
C, existe un conjunto de puntos inicialmente en U que retornan a U.
El teorema de recurrencia de Poincaré no establece el tiempo requerido para el retorno
cercano a las condiciones iniciales de un sistema dinámico Hamiltoniano; este tiempo
puede ser extremadamente largo, especialmente si el espacio de fase posee alta dimensión.
Figura 6.12: Henri Poincaré (1854 - 1912).

238
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
6.3. Paréntesis de Poisson.
Consideremos una función general f(q i , p i , t) definida en el espacio de fase (q i , p i ),
i = 1, 2, . . . , s, de un sistema. La derivada total con respecto al tiempo de esta función es
df
dt = ∑ ( ∂f
˙q i + ∂f )
ṗ i + ∂f
∂q
i i ∂p i ∂t . (6.70)
Las ecuaciones de Hamilton para este sistema son
˙q i = ∂H
∂p i
, (6.71)
ṗ i = − ∂H
∂q i
. (6.72)
Sustituyendo las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.70), tenemos
df
dt = ∑ i
( ∂f ∂H
− ∂f )
∂H
+ ∂f
∂q i ∂p i ∂p i ∂q i ∂t . (6.73)
Definimos el paréntesis de Poisson de H con f como la operación
[f, H] ≡ ∑ ( ∂f ∂H
− ∂f )
∂H
. (6.74)
∂q
i i ∂p i ∂p i ∂q i
Luego, podemos escribir
df
∂f
= [f, H] +
dt ∂t . (6.75)
Si f es una cantidad conservada en el espacio de fase, o una primera integral del
movimiento, entonces df
dt
= 0, y f satisface
∂f
∂t
+ [f, H] = 0. (6.76)
Si, adicionalmente, la integral del movimiento f no depende explícitamente del tiempo,
[f, H] = 0.
En general, dadas dos funciones f(q i , p i , t) y g(q i , p i , t) en el espacio de fase, podemos
definir el Paréntesis de Poisson de f y g como la operación
[f, g] ≡ ∑ ( ∂f ∂g
− ∂f )
∂g
. (6.77)
∂q
i i ∂p i ∂p i ∂q i
El paréntesis de Poisson puede ser considerado como una operación entre dos funciones
definidas en un espacio algebraico que asigna otra función en ese espacio.
El paréntesis de Poisson es un operador que posee las siguientes propiedades (características
de lo que se denomina álgebra de Lie):

6.3.
PARÉNTESIS DE POISSON. 239
1. [f, g] = −[g, f] , [f, f] = 0 (antisimetría).
2. [f, c] = 0 , si c = cte.
3. [af 1 + bf 2 , g] = a[f 1 , g] + b[f 2 , g], a, b = ctes. (operador lineal).
4. [f 1 f 2 , g] = f 1 [f 2 , g] + f 2 [f 1 , g], (no asociativo).
5. [f, [g, h]]+[g, [h, f]]+[h, [f, g]] = 0 (suma de permutaciones cíclicas es cero). Esta
propiedad se conoce como la identidad de Jacobi.
Estas propiedades pueden demostrarse directamente a partir de la definición en la Ec. (6.74).
Adicionalmente, puesto que los p i y q i representan coordenadas independientes en el espacio
de fase, tenemos ∀f,
⎛
[q i , f] = ∑ 0 ⎞
⎜
⎝ ∂q i ∂f ∂q
−
∂q k ∂p ✓ ✓✼ i ∂f ⎟
⎠ = ∑ ∂f
δ ik = ∂f , (6.78)
k
k
✓∂p k ∂q k ∂p k ∂p i
k
[p i , f] = ∑ k
⎛
0
⎜ ∂p
⎝ ✓ ✓✼ i ∂f
✓ ∂q k ∂p k
⎞
− ∂p i ∂f ⎟
⎠ = − ∑ ∂p k ∂q k
k
δ ik
∂f
∂q k
= − ∂f
∂q i
. (6.79)
Note que si f = p j , ó f = q j ,
[q i , q j ] = 0, [p i , p j ] = 0, [q i , p j ] = δ ij . (6.80)
Utilizando paréntesis de Poisson, las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse
˙q i = ∂H =
∂p i
[q i , H] (6.81)
ṗ i = − ∂H =
∂q i
[p i , H]. (6.82)
Figura 6.13: Siméon Denis Poisson (1781-1840).
En Mecánica Cuántica, la operación [A, B] = AB − BA se denomina el conmutador
de los operadores A y B. En particular, [q i , p j ] = iδ ij . La estructura algebraica de la
Mecánica Clásica se preserva en la Mecánica Cuántica.

240
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Ejemplos.
1. Las componentes del momento angular l = r × p son
l x = yp z − zp y , l y = zp x − xp z , l z = xp y − yp x . (6.83)
Calcular los siguientes paréntesis de Poisson para las componentes de p y l:
a) [p y , l x ] = − ∂l x
∂y = −p z (6.84)
b) [p x , l x ] = − ∂l x
∂x = 0 (6.85)
c) [p z , l y ] = − ∂l x
∂z = p y (6.86)
d) [p x , l y ] = − ∂l y
∂x = p z (6.87)
e) [l x , l y ] = ∑ ( ∂lx ∂l y
− ∂l )
x ∂l y
∂q
i i ∂p i ∂p i ∂q i
( ∂lx ∂l y
=
− ∂l ) (
x ∂l y ∂lx ∂l y
+ − ∂l ) (
x ∂l y ∂lx ∂l y
+ − ∂l )
x ∂l y
∂x ∂p x ∂p x ∂x ∂y ∂p y ∂p y ∂y ∂z ∂p z ∂p z ∂z
= (−p y )(−x) − yp x
= xp y − yp x = l z . (6.88)
f) [l y , l z ] = l x . (6.89)
g) [l z , l x ] = l y .
En general, [l i , l j ] = ɛ ijk l k . En Mecánica Cuántica, estas relaciones corresponden a
[l i , l j ] = ɛ ijk il k .
2. Calcular [r, p], donde r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 .
[r, p] = [r, p x ] î + [r, p y] ĵ + [r, p z] ˆk. (6.90)
Calculamos la componente
[r, p x ] = ∑ ( ∂r ∂p x
− ∂r )
∂p x
∂q
i i ∂p i ∂p i ∂q i
= ∂r ∂p x
= x ∂x ∂p x r . (6.91)
Similarmente,
Luego,
[r, p y ] = y r , [r, p z] = z r . (6.92)
[r, p] = x r î + y r ĵ + z r ˆk = r = ˆr . (6.93)
r

6.3.
PARÉNTESIS DE POISSON. 241
Teorema de Poisson.
Si f y g son ambas constantes de movimiento, entonces, [f, g] = cte.
Demostración:
Si f y g son constantes de movimiento, entonces satisfacen
df
dt = 0,
dg
dt = 0 . (6.94)
Calculemos
d
dt [f, g] = ∂ [f, g] + [[f, g], H]. (6.95)
∂t
Calculemos la derivada parcial
∂
∂t [f, g] = ∑ ( ∂ 2 f ∂g
+ ∂f ∂ 2 g
− ∂2 f ∂g
− ∂f ∂ 2 )
g
∂t∂q
i
i ∂p i ∂q i ∂t∂p i ∂t∂p i ∂q i ∂p i ∂t∂q i
= ∑ ( ( ) ∂ ∂f ∂g
−
∂ ( ) ) ∂f ∂g
∂q
i i ∂t ∂p i ∂p i ∂t ∂q i
+ ∑ ( ( )
∂f ∂ ∂g
− ∂f ( ))
∂ ∂g
∂q
i i ∂p i ∂t ∂p i ∂q i ∂t
[ ] [ ∂f
=
∂t , g + f, ∂g ]
. (6.96)
∂t
Usando la identidad de Jacobi, tenemos
[[f, g], H] = − [[g, H] , f] − [[H, f] , g] . (6.97)
Sustituyendo Ec. (6.96) y Ec. (6.97) en Ec. (6.95), tenemos
[ ] [
d
∂f
dt [f, g] = ∂t , g + f, ∂g ]
− [[g, H] , f] − [[H, f] , g]
∂t
[ ] [ ∂f
=
∂t , g + f, ∂g ]
+ [f, [g, H]] + [[f, H] , g]
∂t
[ ] [
∂f
=
∂t + [f, H] , g + f, ∂g ]
∂t + [g, H] [ ] [ df
=
dt , g + f, dg ]
= 0 (6.98)
dt
⇒ [f, g] = cte. (6.99)
El Teorema de Poisson puede ser útil para encontrar una nueva constante de movimiento
en un sistema, si se conocen dos de ellas.
La condición de integrabilidad de un sistema puede expresarse en el lenguaje de los
paréntesis de Poisson, de la siguiente manera:

242
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Un sistema con s grados de libertad es integrable si existen s funciones independientes
I i (q 1 , . . . , q s , p 1 , . . . , p s ), i = 1, . . . , s, cuyos paréntesis de Poisson
mutuos son cero,
[I i , I j ] = 0. ∀i, j = 1, . . . , s. (6.100)
Luego, I i (q 1 , . . . , q s , p 1 , . . . , p s ) = C i , donde cada C i es una constante, debido a la
propiedad 2 de los paréntesis de Poisson. En sistemas conservativos, el Hamiltoniano
H(q i , p i ) será una de las constantes del movimiento.
La trayectoria q i (t), p i (t) de un sistema integrable con s grados de libertad debe
satisfacer simultáneamente las s condiciones I k (q 1 , . . . , q s , p 1 , . . . , p s ) = C k en su espacio
de fase 2s-dimensional. Cada relación I k (q i , p i ) = C k representa una superficie (2s − 1)-
dimensional sobre la cual se encuentra la trayectoria q i (t), p i (t). Luego, la trayectoria yace
sobre una superficie s-dimensional que corresponde a la intersección de las s superficies
I k (q i , p i ) = C k .
6.4. Transformaciones canónicas.
La escogencia del conjunto específico de coordenadas generalizadas {q i } es arbitraria.
Por ejemplo, las posiciones de un sistema de partículas en el espacio pueden ser descritas
por diferentes sistemas de coordenadas {q i }: cartesianas, esféricas, cilíndricas, etc. Las
ecuaciones de Lagrange en términos de un conjunto dado {q i } tienen la forma
d
dt
( ∂L
∂ ˙q i
)
− ∂L
∂q i
= 0. (6.101)
En la Sec. 1.6, vimos que la derivación de las ecuaciones de Lagrange no depende del
conjunto de coordenadas generalizadas específicas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones
de Lagrange no depende de un conjunto particular de coordenadas {q i }. Se puede escoger
otro conjunto de s coordenadas independientes {Q i = Q i (q j , t)}, y las ecuaciones de
Lagrange también se cumplen en esas coordenadas,
d
dt
( ∂L
∂ ˙Q i
)
− ∂L
∂Q i
= 0. (6.102)
En la formulación Hamiltoniana, las coordenadas q i y los momentos conjugados p i
son considerados como un conjunto de 2s variables independientes en un espacio de
fase 2s-dimensional. En términos de estas variables, el Hamiltoniano es H(q i , p i , t). Las
ecuaciones de Hamilton correspondientes son
˙q i = ∂H
∂p i
,
ṗ i = − ∂H
∂q i
. (6.103)
Consideremos un cambio de variables en el espacio de fase que incluya tanto las
coordenadas como momentos,
Q i = Q i (q j , p j , t), P i = P i (q j , p j , t). (6.104)

6.4. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 243
Este tipo de transformaciones se denomina transformaciones puntuales en el espacio de
fase y, en principio, son invertibles, i.e., q i = q i (Q j , P j , t), p i = p i (Q j , P j , t). Denotamos
por H ′ (Q i , P i , t) al Hamiltoniano en términos de las nuevas variables {Q i , P i }.
En contraste con la formulación Lagrangiana, la forma de las ecuaciones de Hamilton,
en general, no se preserva en las nuevas coordenadas y momentos {Q i , P i }. Por ejemplo,
supongamos un sistema con Hamiltoniano H(q i , p i ) en el cual se cumplen las ecuaciones
de Hamilton Ecs. (6.103), y consideremos la siguiente transformacion puntual {q i , p i } →
{Q i , P i } en el espacio de fase,
Q i = −p i , P i = q i (6.105)
El Hamiltoniano en la nuevas variables será H ′ (Q i , P i ). Las ecuaciones de Hamilton en
las variables {Q i , P i } se transforman de acuerdo a
˙q i = ∂H =⇒ P
∂p ˙ i = ∂H′ = ∑ ( )
∂H
′
∂Q k
+ ∂H′ ∂P k
i ∂p i ∂Q k ∂p i ∂P k ∂p i
k
∂H ′
δ ik = − ∂H′ . (6.106)
∂Q k ∂Q i
ṗ i = − ∂H =⇒ −
∂q ˙Q i = − ∂H′ = − ∑
i ∂q i
k
= − ∑ k
( )
∂H
′
∂Q k
+ ∂H′ ∂P k
∂Q k ∂q i ∂P k ∂q i
= − ∑ k
∂H ′
∂P k
δ ik = − ∂H′
∂P i
. (6.107)
Luego, en las variables {Q i , P i } también se satisfacen las ecuaciones de Hamilton. Sin
embargo, es fácil notar que la transformación puntual
Q i = p i , P i = q i , (6.108)
no preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton en las variables {P i , Q i }.
Una transformación puntual de variables del espacio de fase que mantiene invariante
la forma de las ecuaciones de Hamilton, se denomina transformación canónica.
∣ ∣∣∣∣ H(q i , p i , t)
→ Transformación canónica → H ′ (Q i , P i , t)
∣ ˙q i = ∂H ∣∣∣∣ Q i = Q i (q j , p j , t)
˙Q i = ∂H′ (6.109)
∂p i ∂P
∣ i
ṗ i = − ∂H ∣∣∣∣ P i = P i (q j , p j , t)
P˙
i = − ∂H′
∂q i ∣ ∂Q i
Las transformaciones canónicas son particularmente útiles cuando aparecen coordenadas
cíclicas en las nuevas variables {Q i , P i }, es decir, cuando el Hamiltoniano transformado
H ′ (Q i , P i , t) no depende explícitamente de alguna coordenada Q j o momento

244
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
conjugado P j . En ese caso, la ecuación de Hamilton correspondiente a esa coordenada
o momento se hace cero, y por lo tanto existe una cantidad conservada asociada a la
variable cíclica.
La condición para que una transformación {q i , p i } → {Q i , P i } sea canónica puede
derivarse a partir de la equivalencia del Principio de Mínima Acción en ambos conjuntos
de variables del espacio de fase.
Consideremos el Principio de Mínima Acción para las variables {q i , p i },
S =
δS = 0 ⇒ δ
∫ t2
L dt
t 1
(∫ t2
t 1
)
L dt = 0, (6.110)
el cual implica que se cumplen las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, las ecuaciones
de Hamilton en las variables {q i , p i }. En términos del Hamiltoniano
H(q i , p i , t) = ∑ i
p i ˙q i − L, (6.111)
tenemos
( ∫ )
t2 ∑
δS = δ p i ˙q i − H dt = 0. (6.112)
t 1 i
En las variables {Q i , P i } se debe cumplir el Principio de Mímina Acción,
( ∫ )
t2 ∑
δS ′ = δ P i ˙Q i − H ′ dt = 0, (6.113)
t 1
i
para que también se cumplan las ecuaciones de Hamilton en {Q i , P i }.
Ambas formulaciones del Principio de Mínima Acción conducen a ecuaciones equivalentes
si los integrandos en la Ec. (6.110) y la Ec. (6.113) difieren, a lo sumo, en
una derivada total con respecto al tiempo de una función arbitraria F de las variables
{Q i , P i }, {q i , p i } y t; esto es,
∑
p i ˙q i − H = ∑
i
i
P i ˙Q i − H ′ + dF
dt , (6.114)
pues, en este caso,
(∫ t2
)
δS = δS ′ dF
+ δ
t 1
dt dt = δS ′ + δ[F (t 2 ) − F (t 1 )] = δS ′ . (6.115)
Por lo tanto, las ecuaciones de Hamilton que se derivan de la condición δS = 0 en las
variables {q i , p i } tienen la misma forma que las ecuaciones de Hamilton que se deducen
de la condición δS ′ = 0 en las variables {Q i , P i }.

6.4. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 245
Luego, la condición para que una transformación {q i , p i } → {Q i , P i } sea canónica
puede escribirse como
dF
dt = ∑ i
p i ˙q i − ∑ i
P i ˙Q i + (H ′ − H). (6.116)
La función F se llama función generadora de la transformación canónica {Q i , P i } →
{q i , p i }. Dada una F (q i , p i , Q i , P i , t), su derivada dF
dt
debe satisfacer la condición Ec. (6.116)
para que la transformación {q i , p i } → {Q i , P i } sea canónica. Entonces, las derivadas parciales
de F con respecto a sus argumentos, contenidas en la expresión de dF
dt , permiten
establecer la relación entre las variables {Q i , P i } y {q i , p i }. Luego, la función F genera
una conexión entre ambos conjuntos de coordenadas y momentos que garantiza que las
ecuaciones de Hamilton preserven su forma bajo esta transformación.
Las funciones generadores pueden no depender de todas las variables (q i , p i , Q i , P i , t) y
tener forma arbitraria. Para ver cómo una transformación canónica surge de una función
generadora, consideremos las siguientes formas de funciones generadoras básicas:
1. F 1 = F 1 (q i , Q i , t).
Calculemos la derivada total con respecto al tiempo,
dF 1
dt
= ∑ i
( ∂F1
∂q i
˙q i + ∂F 1
∂Q i
˙Q i
)
+ ∂F 1
∂t . (6.117)
Compararando con la condición Ec. (6.116) para funciones generadoras, tenemos
p i = ∂F 1
∂q i
= p i (q, Q, t) (6.118)
P i = − ∂F 1
∂Q i
= P i (q, Q, t) (6.119)
H ′ = H + ∂F 1
∂t
(6.120)
La función F 1 genera la transformación canónica p i = p i (q, Q, t), P i = P i (q, Q, t),
a través de sus derivadas parciales.
2. F 2 = F 2 (q i , P i , t).
dF 2
dt
= ∑ i
( ∂F2
˙q i + ∂F )
2
P˙
i
∂q i ∂P i
+ ∂F 2
∂t
(6.121)
Para comparar con la condición Ec. (6.116),
dF
dt = ∑ i
p i ˙q i − ∑ i
P i ˙Q i + (H ′ − H),
sustituimos
d
dt (P iQ i ) = P i ˙Q i + Q i ˙ P i → P i ˙Q i = d dt (P iQ i ) − Q i ˙ P i , (6.122)

246
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
de modo que la Ec. (6.116) se puede expresar
(
d
F + ∑ )
P i Q i = ∑ ( )
p i ˙q i + Q i P˙
i + (H ′ − H), (6.123)
dt
i
i
donde el lado izquierdo es la derivada total de una función arbitraria de (Q i , P i , q i , p i ).
Comparando con la Ec. (6.121), obtenemos
p i = ∂F 2
∂q i
= p i (q, P, t) (6.124)
Q i = ∂F 2
∂P i
= Q i (q, P, t) (6.125)
F 2 = F + ∑ i
P i Q i (6.126)
H ′ = H + ∂F 2
∂t . (6.127)
3. F 3 = F 3 (p i , Q i , t)
dF 3
dt
= ∑ i
( ∂F3
ṗ i + ∂F )
3 ˙Q i + ∂F 3
∂p i ∂Q i ∂t
(6.128)
La condición Ec. (6.116) puede expresarse como
(
d
F − ∑ )
p i q i = ∑ )
(−q i ṗ i − P i ˙Q i + H ′ − H (6.129)
dt
i
i
donde hemos sustituido
p i ˙q i = d dt (p iq i ) − q i ṗ i (6.130)
Comparando con la Ec. (6.128), tenemos
q i = − ∂F 3
∂p i
= q i (p, Q, t) (6.131)
P i = − ∂F 3
∂Q i
= P i (p, Q, t) (6.132)
F 3 = F − ∑ i
p i q i (6.133)
H ′ = H + ∂F 3
∂t . (6.134)
4. F 4 = F 4 (p, P, t).
dF 4
dt
= ∑ i
( ∂F4
p˙
i + ∂F )
4
P˙
i
∂p i ∂P i
+ ∂F 4
∂t
(6.135)

6.4. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 247
La condición Ec. (6.116) puede expresarse como
(
d
F − ∑ p i q i + ∑ )
Q i P i = ∑ (
)
−q i ṗ i + Q i P˙
i + H ′ − H (6.136)
dt
i
i
i
donde hemos sustituido
p i ˙q i = d dt (p iq i ) − q i ṗ i ,
P i ˙Q i = d dt (P iQ i ) − Q i ˙ P i (6.137)
Comparando con la Ec. (6.135), tenemos
q i = − ∂F 4
∂p i
= q i (p, P, t) (6.138)
Q i = ∂F 4
∂P i
= Q i (p, P, t) (6.139)
F 4 = F + ∑ i
P i Q i − ∑ i
p i q i (6.140)
H ′ = H + ∂F 4
∂t . (6.141)
La transformación canónica asociada a una función generadora F es una propiedad
característica de la función F ; no depende del Hamiltoniano de un sistema específico. Por
lo tanto, una transformación canónica dada {q i , p i , t} → {Q i , P i , t} puede emplearse para
transformar diversos Hamiltonianos; su utilidad en cada caso dependerá del problema
específico. La relación entre el Hamiltoniano H(q i , p i , t) y el Hamiltoniano transformado
H ′ (Q i , P i , t) resultante de la transformación canónica {q i , p i , t} → {Q i , P i , t} generada
por una F siempre es
H ′ = H + ∂F
∂t . (6.142)
Luego, si F es independiente del tiempo, entonces H = H ′ .
Dada una función generadora F , es posible encontrar una transformación canónica
asociada a F . El problema inverso tambien se puede plantear en algunos casos; es decir,
dada una transformación canónica, en principio es posible obtener la función generadora
que produce esa transformación. Por ejemplo, consideremos una transformación
p i = p i (q, Q, t), (6.143)
P i = P i (q, Q, t), (6.144)
la cual posee la forma de la transformación canónica asociada a una función generadora de
tipo F 1 . Luego, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales
para F 1
∂F 1
∂q i
= p i (q, Q, t), (6.145)
∂F 1
∂Q i
= P i (q, Q, t), (6.146)
las cuales, en principio, pueden integrarse para encontrar F 1 .

248
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Ejemplos.
1. Encontrar la transformación canónica generada por la función F 2 (q i , P i ) = ∑ i q iP i .
Las transformaciones entre las coordenadas (q i , p i ) y (Q i , P i ) producidas por una
función generadora de tipo F 2 (q i , P i , t) conducen a
p i = ∂F 2
∂q i
= P i (6.147)
Q i = ∂F 2
∂P i
= q i . (6.148)
Luego, la transformación canónica {q i , p i } → {Q i , P i } generada por esta F 2 corresponde
a la transformación identidad.
2. Encontrar la transformación canónica {q i , p i } → {Q i , P i }, i = 1, 2, generada por la
función G = q 1 (P 1 + 2p 2 ) + p 2 P 2 .
La función es de la forma G(q 1 , P 1 , p 2 , P 2 ). Calculamos la derivada
dG
dt
= ∂G
∂q 1
˙q 1 + ∂G
∂P 1
˙ P 1 + ∂G
∂p 2
ṗ 2 + ∂G
∂P 2
˙ P 2
= (P 1 + 2p 2 ) ˙q 1 + q 1 ˙ P 1 + (2q 1 + P 2 )ṗ 2 + p 2 ˙ P 2 . (6.149)
Debemos comparar con la condición general Ec. (6.116) que debe cumplir una
transformación canónica,
dF
dt
2∑
2∑
= p i ˙q i − P i ˙Q i + (H ′ − H)
i=1 i=1
= p 1 ˙q 1 + p 2 ˙q 2 − P 1 ˙Q 1 − P 2 ˙Q 2 + (H ′ − H). (6.150)
Para llevar la Ec. (6.150) a la forma de la Ec. (6.149), expresamos
y sustituimos en la Ec. (6.150),
p 2 ˙q 2 = d dt (p 2q 2 ) − q 2 ṗ 2
P 1 ˙Q 1 = d dt (P 1Q 1 ) − Q 1 ˙ P 1
P 2 ˙Q 2 = d dt (P 2Q 2 ) − Q 2 ˙ P 2
dF
dt = p 1 ˙q 1 − q 2 ṗ 2 + Q 1 ˙ P 1 + Q 2 ˙ P 2 + d dt (p 2q 2 − P 1 Q 1 − P 2 Q 2 ) + (H − H ′ ) (6.151)
d
dt (F + P 1Q 1 + P 2 Q 2 − p 2 q 2 ) = p 1 ˙q 1 − q 2 ṗ 2 + Q 1 ˙ P 1 + Q 2 ˙ P 2 + (H − H ′ ). (6.152)

6.5. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS INFINITESIMALES. 249
El lado izquierdo es la derivada total de una función que depende de las variables
(q i , p i , Q i , P i ), i = 1, 2, por lo tanto, la Ec. (6.152) sigue correspondiendo a
la condición general para una transformación canónica, Ec. (6.116). Comparando
Ec. (6.149) y Ec. (6.152), tenemos
G = F + P 1 Q 1 + P 2 Q 2 − p 2 q 2
p 1 = P 1 + 2p 2 , Q 1 = q 1
−q 2 = 2q 1 + P 2 , Q 2 = p 2
Luego, la transformación canónica {q i , p i } → {Q i , P i } generada por G es
P 1 = p 1 − 2p 2 ,
Q 1 = q 1
P 2 = −2q 1 − q 2
Q 2 = p 2 .
6.5. Transformaciones canónicas infinitesimales.
En el Capítulo 2 vimos que una transformación infinitesimal de coordenadas, q ′ i =
q i + δq i , en el espacio de configuración de un sistema, que deja invariante las ecuaciones
de Lagrange, constituye una simetría del sistema e implica la existencia de una cantidad
conservada asociada a esa simetría. Denominamos corriente de Noether a la cantidad
conservada.
Podemos extender el concepto de transformaciones infinitesimales al espacio de fase
{q i , p i }, mediante una transformación de las coordenadas y momentos conjugados.
Consideremos una transformación infinitesimal de la forma
Q i = q i + ɛ f i (q j , p j ), (6.153)
P i = p i + ɛ g i (q j , p j ), (6.154)
donde f i (q j , p j ), g i (q j , p j ) son funciones dadas y ɛ → 0. Para que la transformación
Ecs. (6.153)-(6.154) sea canónica, debe existir una función generadora para ella. Podemos
considerar las Ecs. (6.153)-(6.154) como una desviación infinitesimal de una transformación
identidad, la cual, como vimos en un ejemplo anterior, posee la función generadora
F 2 (q i , P i ) = ∑ i q iP i . Entonces, podemos asumir que la función generadora de la transformación
infinitesimal Ecs. (6.153)-(6.154) corresponde a una pequeña desviación de
aquella correspondiente a transformación identidad; esto es,
F 2 (q i , P i ) = ∑ i
q i P i + ɛ G(q i , P i ), (6.155)
donde G(q i , P i ) es una función a ser determinada.

250
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
La transformación canónica generada por esta función de tipo F 2 (q i , P i , t) es
p i = ∂F 2
∂q i
= P i + ɛ ∂G
∂q i
(6.156)
Q i = ∂F 2
∂P i
= q i + ɛ ∂G
∂P i
. (6.157)
Comparando las Ecs. (6.153)-(6.154) y Ecs. (6.156)-(6.157), obtenemos las condiciones
para G(q i , P i ),
f i = ∂G
∂P i
, (6.158)
g i = − ∂G
∂q i
. (6.159)
Si existe tal función G(q i , P i ), entonces la transformación infinitesimal Ecs. (6.153)-
(6.154) es canónica. La función G(q i , P i ) es la función generadora de esa transformación
canónica infinitesimal. Por otro lado, si la función F 2 (q i , P i ) y, por tanto G(q i , P i ),
está dada, entonces la correspondiente transformación infinitesimal puede determinarse
mediante las Ecs. (6.156)-(6.157).
Podemos expresar la función f i , hasta primer orden en ɛ, como
f i = ∂G
∂P i
= ∑ j
= ∑ j
( ∂G ∂p j
+ ∂G )
∂q j
∂p j ∂P i ∂q j ∂P i
( )
∂G
δ ij + O(ɛ)
∂p j
= ∂G
∂p i
+ O(ɛ). (6.160)
Como una importante aplicación de una función generadora de una transformación
canónica infinitesimal, supongamos que G(q, P ) = H(q, p) y ɛ = dt en F 2 (q i , P i ); esto es
F 2 (q i , P i ) = ∑ i
q i P i + H(q i , p i ) dt. (6.161)
Entonces, hasta primer orden en dt, podemos escribir las Ecs. (6.156)-(6.157) como
Usando las ecuaciones de Hamilton
podemos expresar
P i = p i − ∂H
∂q i
dt, (6.162)
Q i = q i + ∂H
∂P i
dt ≃ q i + ∂H
∂p i
dt. (6.163)
˙q i = ∂H
∂p i
,
ṗ i = − ∂H
∂q i
, (6.164)
P i = p i + ṗ i dt ≃ p i (t + dt), (6.165)
Q i = q i + ˙q i dt ≃ q i (t + dt). (6.166)

6.6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 251
Entonces, el Hamiltoniano es la función generadora de la transformación canónica
infinitesimal que corresponde a la evolución temporal de las coordenadas y momentos de
un sistema en el espacio de fase.
Consideremos el comportamiento del Hamiltoniano bajo una transformación canónica
infinitesimal generada por una función G. Supongamos una función general K(q i , p i )
definida en el espacio de fase. El cambio en la función K debido a una transformación
canónica infinitesimal, Ecs. (6.153)-(6.154), es
δK = K(Q i , P i ) − K(q i , p i )
= K(q i + ɛf i , p i + ɛg i ) − K(q i , p i )
= ɛ ∑ ( ∂K
f i + ∂K )
g i
∂q
i i ∂p i
= ɛ ∑ ( ∂K ∂G
− ∂K )
∂G
∂q
i i ∂p i ∂p i ∂q i
= ɛ [K, G]. (6.167)
Supongamos ahora que K = H; entonces el cambio en el Hamiltoniano bajo una
transformación canónica infinitesimal está dado por
δH = ɛ [H, G]. (6.168)
Si el Hamiltoniano es invariante ante la transformación canónica infinitesimal, debemos
tener δH = 0 y, por lo tanto,
[H, G] = 0 ⇒ dG
dt
= 0, (6.169)
puesto que ∂G
∂t
= 0. Luego, si el Hamiltoniano de un sistema es invariante bajo una
transformación canónica infinitesimal, la función generadora de esa transformación es
una cantidad conservada, δH = 0 ⇒ G = cte. Este resultado establece la conexión
entre simetrías y leyes de conservación para un sistema, y es equivalente al Teorema de
Noether en el formalismo Hamiltoniano. En comparación con la descripción Lagrangiana,
la relación entre invariancia y constantes de movimiento se expresa de manera más simple
en la formulación Hamiltoniana.
6.6. Propiedades de las transformaciones canónicas.
Sea
Q i = Q i (q j , p j , t), (6.170)
P i = P i (q j , p j , t), (6.171)
una transformación canónica. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

252
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
1. Los paréntesis de Poisson entre ambos conjuntos de variables satisfacen
[Q i , P j ] (p,q) = δ ij = [q i , p j ] (p,q) = [Q i , P j ] (P,Q) . (6.172)
Igualmente,
[P i , P j ] (p,q)
= [P i , P j ] (P,Q) = 0, (6.173)
[Q i , Q j ] (p,q)
= [Q i , Q j ] (P,Q) = 0. (6.174)
2. El paréntesis de Poisson de dos funciones es invariante bajo una transformación
canónica,
[f, g] (p,q) = [f, g] (P,Q) , (6.175)
donde
[f, g] (p,q) = ∑ k
[f, g] (P,Q)
= ∑ k
( ∂f
∂q k
( ∂f
∂Q k
∂g
− ∂f )
∂g
, (6.176)
∂p k ∂p k ∂q k
∂g
− ∂f
∂P k ∂P k
)
∂g
. (6.177)
∂Q k
Demostración de la Propiedad 1:
Supongamos que en las variables (p, q) se cumplen las ecuaciones de Hamilton para
un H(q, p),
˙q k = ∂H
∂p k
(q, p) ,
ṗ k = − ∂H
∂q k
(q, p) (6.178)
Si la transformación (p, q) → (P, Q) es canónica, entonces existe un Hamiltoniano transformado
H ′ (P, Q) tal que
˙Q i = ∂H′
∂P j
(Q, P ) ,
P˙
i = − ∂H′ (Q, P ) , (6.179)
∂Q j
y existe una función generadora F de la transformación canónica, tal que
H = H ′ − ∂F
∂t . (6.180)
Por otro lado,
˙Q i (p j , q j , t) = ∑ k
( ∂Qi
∂q k
˙q k + ∂Q i
∂p k
ṗ k
)
+ ∂Q i
∂t . (6.181)

6.6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 253
Sustituyendo las Ecs. (6.178), tenemos
˙Q i = ∑ ( ∂Qi
k
( ∂Qi ∂H ′
− ∂Q i
∂q k ∂p k ∂q k
= ∑ k
= ∑ k
− ∑ k
+ ∑ k
∂H
− ∂Q )
i ∂H
+ ∂Q i
∂q k ∂p k ∂p k ∂q k ∂t
⎡
∂Q i
⎣ ∑
∂q k
j
⎡
∂Q i
∂p k
⎣ ∑ j
[ ( ∂ ∂F
∂q k ∂t
˙Q i = ∑ j
∂ 2 F
∂p k ∂t − ∂Q i ∂H ′
+ ∂Q i
∂p k ∂q k ∂p k
( ∂H
′
∂Q j
∂Q j
∂p k
+ ∂H′
∂P j
∂P j
∂p k
) ⎤ ⎦
( ∂H
′
∂Q j
∂Q j ∂q k
) ∂Qi
∂p k
−
∂H ′
∂P j
[ ∑
k
+ ∂H′
∂P j
∂P j
∂q k
) ⎤ ⎦
∂ ( ∂F
∂p k ∂t
Reagrupando terminos y cambiando el orden de las sumas, tenemos
( ∂Qi ∂P j
− ∂Q ) ]
i ∂P j
∂q k ∂p k ∂p k ∂q k
es decir,
Para que se satisfaga ˙Q i = ∂H′
∂P i
+ ∑ [
∂H ′ ∑
∂Q
j j
k
[ ] ∂F
+
∂t , Q i
(p,q)
˙Q i = ∑ ∂H ′
[Q i , P j ] (p,q) + ∑ ∂P
j j
j
[ ] ∂F
+
∂t , Q i
(p,q)
i) [Q i , P j ] (p,q) = δ ij .
El primer término en la Ec. (6.184) entonces da
∂ 2 )
F
+ ∂Q i
∂q k ∂t ∂t
) ] ∂Qi
+ ∂Q i
∂q k ∂t . (6.182)
( ∂Qi ∂Q j
− ∂Q ) ]
i ∂Q j
∂q k ∂p k ∂p k ∂q k
+ ∂Q i
∂t ; (6.183)
∂H ′
∂Q j
[Q i , Q j ] (p,q)
+ ∂Q i
∂t . (6.184)
en la Ec. (6.184), debemos tener necesariamente,
∑
ii) [Q i , Q j ] (p,q) = 0.
El segundo término en la Ec. (6.184) entonces se anula.
j
∂H ′
∂P j
δ ij = ∂H′
∂P i
. (6.185)

254
iii)
[ ] ∂F
∂t , Q i + ∂Q i
= 0.
∂t
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Si calculamos ˙ P i (p, q, t) y comparamos con ˙ P i = − ∂H′
∂Q i
, obtenemos adicionalmente
Demostración de la propiedad 2:
[P i , P j ] (p,q) = 0. (6.186)
[f, q] (p.q) = ∑ k
= ∑ k
− ∑ k
( ∂f
∂q k
⎡
⎣ ∑ j
⎡
⎣ ∑ j
∂g
− ∂f )
∂g
∂p k ∂p k ∂q k
( ∂f ∂Q j
+ ∂f )
∂P j ∑
∂Q j ∂q k ∂P j ∂q k
j
( ∂f
∂Q j
∂Q j
∂p k
+ ∂f
∂P j
∂P j
∂p k
) ∑
j
( ∂g
∂Q j
∂Q j
∂p k
+ ∂g
∂P j
∂P j
∂p k
) ⎤ ⎦
(6.187)
( ∂g ∂Q j
+ ∂g ) ⎤ ∂P j
⎦ .
∂Q j ∂q k ∂P j ∂q k
Reagrupando términos y cambiando el orden de las sumas, tenemos
[f, q] (p.q) = ∑ [
∂f ∂g ∑
( ∂Qj ∂P j
− ∂Q ) ]
j ∂P j
∂Q
j j ∂P j ∂q k ∂p k ∂p k ∂q k
k
− ∑ [
∂f ∂g ∑
( ∂Qj ∂P j
− ∂Q ) ]
j ∂P j
∂P
j j ∂Q j ∂q k ∂p k ∂p k ∂q k
k
+ ∑ ∑
( ∂f ∂Q j ∂g ∂Q j
+ ∂f ∂P j
∂Q
k j j ∂q k ∂Q j ∂p k ∂P j ∂q k
− ∂f
∂Q j
∂Q j
∂p k
∂g ∂Q j
− ∂f ∂P j
∂Q j ∂q k ∂P j ∂p k
∂g
∂P j
∂P j
∂p k
)
∂g ∂P j
. (6.188)
∂P j ∂q k
El tercer término (doble suma) es igual a cero; luego podemos reagrupar los dos primeros
términos
[f, g] (p,q) = ∑ ( ∂f ∂g
− ∂f )
∂g ∑
( ∂Qj ∂P j
− ∂Q )
j ∂P j
∂Q
j j ∂P j ∂P j ∂Q j ∂q k ∂p k ∂p k ∂q k
k
= [f, g] (P,Q) [Q j , P j ] (p,q) , (6.189)
pero [Q j , P j ] (p,q) = 1; luego,
[f, g] (p,q) = [f, g] (P,Q) .

6.6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 255
Ejemplos.
1. Demostrar que la evolución temporal de una condición inicial en el espacio de fase
es una transformación canónica.
Figura 6.14: Evolución infinitesimal en el espacio de fase.
Consideremos la evolución de una condición inicial en el espacio de fase en un
intervalo de tiempo infinitesimal,
(q i (t 0 ), p i (t 0 )) → (q i (t 0 + dt), p i (t 0 + dt)) (6.190)
Sean q i = q i (t 0 ) y p i = p i (t 0 ), y definamos las nuevas coordenadas y momentos
P j = p j (t 0 + dt) = p j (t 0 ) + ṗ j dt + · · ·
= p j + ṗ j dt + · · ·
Q j = q j (t 0 + dt) = q j (t 0 ) + ˙q j dt + · · ·
= q j + ˙q j dt + · · ·
(6.191)
Luego, manteniendo solamente términos de primer orden en dt,
( ∂Qi ∂P j
− ∂Q )
i ∂P j
∂q k ∂p k ∂p k ∂q k
[Q i , P j ] (p,q) = ∑ k
= ∑ k
= ∑ k
= ∑ k
∂Q i ∂P j
∂q k ∂p k
( ∂qi
∂q k
+ ∂ ˙q i
∂q k
dt
(
δ ik + ∂ ˙q i
[
δ ik δ jk +
) (
dt
∂q k
) ( ∂pj
+ ∂ṗ )
j
dt
∂p k ∂p k
δ jk + ∂ṗ j
∂p k
dt
)
(
)
∂ ˙q i ∂ṗ j
δ jk + δ ik dt
∂q k ∂p k
= ∑ k
( ∂ ˙qi
= δ ij + + ∂ṗ )
j
dt . (6.192)
∂q j ∂p i
]

256
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Usamos las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.192),
y obtenemos,
˙q i = ∂H
∂p i
,
ṗ j = − ∂H
∂q j
, (6.193)
( ∂ 2 )
H
[Q i , P j ] (p,q) = δ ij + −
∂2 H
δt = δ ij . (6.194)
∂q j ∂p i ∂p i ∂q j
Por lo tanto, la transformación infinitesimal Ec. (6.191) es canónica. Esta transformación
puede escribirse
P j =
Q j =
p j (t 0 ) − ∂H
∂q i
(q i (t 0 ), p i (t 0 )) dt + · · ·
q j (t 0 ) + ∂H
∂p j
(q i (t 0 ), p i (t 0 )) dt + · · · ,
(6.195)
Luego, el Hamiltoniano actúa como la función generadora de la transformación
infinitesimal (q i (t 0 ), p i (t 0 )) → (Q i , P i ). Como la condición inicial puede tomarse en
cualquier punto de la trayectoria, la evolución temporal de un sistema en el espacio
de fase es una transformación canónica inducida por el Hamiltoniano del sistema.
2. Demostrar que la siguiente transformación es canónica:
P 1 = p 1 − 2p 2 , Q 1 = q 1
P 2 = −2q 1 − q 2 , Q 2 = p 2
(6.196)
Las transformaciones canónicas deben satisfacer la propiedad [Q i , P j ] (p,q) = δ ij ,
∀i, j. Calculamos, para la transformación Ec. (6.196), los siguientes paréntesis de
Poisson,
( ∂Q1 ∂P 1
− ∂Q )
1 ∂P 1
∂q i ∂p i ∂p i ∂q i
[Q 1 , P 1 ] (p,q) = ∑ i
=
[Q 2 , P 2 ] (p,q) =
[Q 2 , P 1 ] (p,q) =
[Q 1 , P 2 ] (p,q) =
( ∂Q1 ∂P 1
− ∂Q )
1 ∂P 1
+
∂q 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂q 1
( ∂Q1 ∂P 1
− ∂Q )
1 ∂P 1
= 1.
∂q 2 ∂p 2 ∂p 2 ∂q 2
( ∂Q2 ∂P 2
− ∂Q ) (
2 ∂P 2 ∂Q2 ∂P 2
+
− ∂Q )
2 ∂P 2
= 1.
∂q 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂q 1 ∂q 2 ∂p 2 ∂p 2 ∂q 2
( ∂Q2 ∂P 1
− ∂Q ) (
2 ∂P 1 ∂Q2 ∂P 1
+
− ∂Q )
2 ∂P 1
= 0.
∂q 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂q 1 ∂q 2 ∂p 2 ∂p 2 ∂q 2
( ∂Q1 ∂P 2
− ∂Q ) (
1 ∂P 2 ∂Q1 ∂P 2
+
− ∂Q )
1 ∂P 2
= 0.
∂q 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂q 1 ∂q 2 ∂p 2 ∂p 2 ∂q 2
Luego la transformación Ec. (6.196) es canónica.

6.7. APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 257
6.7. Aplicaciones de transformaciones canónicas.
Una transformación canónica (q i , p i ) → (P i , Q i ) es particularmente conveniente cuando
el cambio de variables es tal que alguna coordenada Q j o momento P j no aparece
explícitamente en el Hamiltoniano transformado H ′ (Q i , P i , t). Se dice que esa coordenada
o momento es cíclica para H ′ . Por ejemplo, si
entonces, la ecuación de Hamilton para el momento P j es
∂H ′
∂Q j
= 0 , (6.197)
P˙
j = − ∂H′ = 0 ⇒ P j = cte. (6.198)
∂Q j
Es decir, el momento P j es una cantidad conservada. En este caso, las ecuaciones de
Hamilton resultan más fáciles de integrar en las nuevas variables (P i , Q i ) que en las
variables originales (q i , p i ). Una vez encontradas las soluciones (P i (t), Q i (t)), la transformación
canónica puede ser empleada para expresar la solución en las variables originales
q i = q i (Q i (t), P i (t), t), p i = p i (Q i (t), P i (t), t).
Como una aplicación de este procedimiento, consideremos un oscilador armónico simple
cuyo Hamiltoniano es
H(q, p) = p2
2m + 1 2 kq2 = 1
2m (p2 + m 2 ω 2 q 2 ) , (6.199)
donde ω 2 = k/m.
Busquemos una transformación canónica (p, q) → (P, Q) donde Q sea cíclica en el
nuevo Hamiltoniano H ′ (Q, P ). La forma de H (suma de dos términos cuadráticos) en la
Ec. (6.199) sugiere una transformación canónica del tipo
p = f(P ) cos Q,
q = f(P )
mω sin Q, (6.200)
donde f(P ) es una función de P a ser determinada. Sustituyendo la transformación
Ecs. (6.200) en H(q, p), tenemos el Hamiltoniano transformado en las nuevas variables
H ′ (Q, P ) = H ′ (P ) = 1
2m [f(P )]2 , (6.201)
luego, H ′ es independiente de Q. Para encontrar la función f(P ), busquemos la función
generadora que produce la transformación Ecs. (6.200). De estas ecuaciones obtenemos
p = mωq cot Q ⇒ p = p(q, Q), (6.202)
lo cual corresponde a una transformación asociada a una función generadora del tipo
F 1 (q, Q), pues recordemos que
p = ∂F 1
∂q
P = − ∂F 1
∂Q
= p(q, Q), (6.203)
= P (q, Q). (6.204)

258
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Sustituyendo la Ec. (6.202) en la Ec. (6.203), tenemos
∂F 1
∂q
= mωq cot Q, (6.205)
lo cual implica que
mientras que
Despejando q,
F 1 (q, Q) = mωq2
2
cot Q, (6.206)
P = − ∂F 1
∂Q = mωq2 csc 2 Q . (6.207)
2
q =
√
2P
mω
Sustituyendo q en la Ec. (6.202), obtenemos
sin Q = q(Q, P ). (6.208)
p = √ 2mωP cos Q = p(Q, P ). (6.209)
Comparando con la forma de la transformación propuesta Ecs. (6.200), vemos que
f(P ) = (2mωP ) 1/2 . (6.210)
Por otro lado, puesto que F 1 (q, Q) es independiente del tiempo, ∂F 1
∂t
= 0, tenemos
Luego,
H(q, p) = H ′ (Q, P ). (6.211)
H ′ (Q, P ) = 1 [
(p(Q, P )) 2 + m 2 ω 2 (q(Q, P )) 2] = ωP, (6.212)
2m
donde vemos que la coordenada Q es cíclica en el Hamiltoniano transformado H ′ (Q, P ).
Puesto que
∂H
= 0 ⇒ H = E = cte, (6.213)
∂t
donde E es la energía total del sistema. Luego,
H ′ = ωP = E ⇒ P = E ω
= cte. (6.214)
Las ecuaciones de Hamilton para Q y P dan
P ˙ = − ∂H′
∂Q = 0 ⇒ P = cte ⇒ P = E ω .
˙Q = ∂H′
∂P
= ω ⇒ Q(t) = ωt + ϕ .

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 259
Sustituyendo en q(P, Q) y p(P, Q), obtenemos
√
2E
q = sin(ωt + ϕ), (6.215)
mω2 donde
p = √ 2Em cos(ωt + ϕ), (6.216)
( 2E
mω 2 ) 1/2
es la amplitud de la oscilación y ϕ es la fase.
6.8. Ecuación de Hamilton-Jacobi.
Hemos visto que una transformación canónica (q i , p i , t) → (P i , Q i , t) puede ser usada
para encontrar las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para un sistema con un Hamiltoniano
H(q i , p i , t), mediante las soluciones de esas ecuaciones para un Hamiltoniano
transformado en nuevas variables H ′ (Q i , P i , t), tal que alguna (o varias) coordenada Q j
sea cíclica en H ′ . Una vez encontrada la solución en las nuevas variables (Q i (t), P i (t)), las
relaciones de la transformación canónica pueden ser empleadas para expresar la solución
en las variables originales
q i = q i (Q i (t), P i (t), t) , p i = p i (Q i (t), P i (t), t). (6.217)
Alternativamente, es posible buscar una transformación canónica (q i , p i , t) → (P i , Q i , t)
tal que las nuevas coordenadas y momentos (P i , Q i ) correspondan a 2s constantes, las cuales
pueden expresarse en función de las 2s condiciones iniciales (q i (0), p i (0)), i = 1, . . . , s.
En este caso, el nuevo Hamiltoniano H ′ (Q i , P i ) es constante y todas las Q i y P i son
cíclicas en H ′ . Entonces, las ecuaciones de transformación que relacionan las nuevas y
viejas variables proporcionan directamente la solución del problema del movimiento,
q = q(q i (0), p i (0), t) , p = p(q i (0), p i (0), t). (6.218)
Figura 6.15: Trayectoria q i(t) que pasa por los puntos q i(t 1) y q i(t 2).
En particular, si requerimos que la transformación canónica que conduce a nuevos
momentos y coordenadas constantes, P i ≡ α i = cte, Q i ≡ β i = cte, sea tal que

260
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
H ′ (Q i , P i ) = 0, entonces debe existir una función generadora F tal que
H + ∂F
∂t
= 0. (6.219)
La condición que debe cumplirse para que tal transformación canónica exista, es la ecuación
de Hamilton-Jacobi, y corresponde a la Ec. (6.219) para una F apropiada.
Figura 6.16: Carl Gustav Jacobi (1804-1851).
Para derivar la ecuación de Hamilton-Jacobi y la función generadora apropiada, consideremos
la acción de un sistema,
S =
∫ t2
t 1
L(q i , ˙q i , t) dt . (6.220)
El valor de la acción S, como integral definida, depende del conjunto de trayectorias
{q i (t)} que satisfacen la ecuaciones de Lagrange correspondientes. Para esas trayectorias,
el valor de S es mímino (extremo).
Supongamos que el tiempo t 2 es variable, i.e, t 2 = t. Entonces, la acción dependerá de
las trayectorias y del tiempo, S = S(q i , t). Luego, como función de sus argumentos q i y
t, la derivada temporal de la acción es
dS
dt = ∑ i
∂S
˙q i + ∂S
∂q i ∂t . (6.221)
Por otro lado, si t 2 = t en la definición de la acción Ec. (6.220), tenemos
dS
dt = L = ∑ i
p i ˙q i − H(ṗ i , q i , t). (6.222)
Comparando Ec. (6.221) con Ec. (6.222), obtenemos las relaciones
p i = ∂S (q i , t) ,
∂q i
(6.223)
∂S
∂t (q i, t) + H(p i , q i , t) = 0 , (6.224)

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 261
las cuales se pueden expresar mediante la ecuación
( )
∂S
∂S
∂t (q i, t) + H , q i , t
∂q i
= 0 . (6.225)
La Ec. (6.225) es la ecuación de Hamilton-Jacobi.
Comparando la Ec. (6.219) con la ecuación de Hamilton-Jacobi Ec. (6.225), vemos
que la acción S puede interpretarse como una función generadora capaz de producir la
transformación canónica buscada. Más aún, la acción S puede interpretarse como una
función generadora de tipo F 2 (q i , P i , t), Ec. (6.121), que satisface la Ec. (6.219) y tal que
P i = α i = cte, Q i = β i = cte.
Calculamos la derivada total de F 2 (q i , P i , t),
dF 2
dt
= ∂F2
∂q i
= ∑ i
( ∂F2
˙q i + ∂F )
2
P˙
i
∂q i ∂P i
+ ∂F 2
∂t . (6.226)
Usando la relación p i satisfecha por las funciones generadoras de tipo F 2 , la
condición Ec. (6.219) que debe cumplir F = F 2 , y el hecho que P ˙ i = 0, tenemos
dF 2
dt
= ∑ i
p i ˙q i − H, (6.227)
que es análoga a la Ec. (6.222) satisfecha por S. Luego, la acción debe poseer la forma
S(q i , P i , t), donde P i = α i = cte. Si comparamos las relaciones satisfechas por una función
F 2 (q i , P i , t) y por S(q i , P i , t), tenemos
p i = ∂F 2
∂q i
(q i , P i , t)
Q i = ∂F 2
∂P i
(q i , P i , t)
H ′ = H + ∂F 2
∂t
∣
p i = ∂S
∂q i
(q i , P i , t) = p i (q i , P i , t)
Q i = ∂S
∂P i
(q i , P i , t) = Q i (q i , P i , t)
0 = H + ∂S
∂t
(6.228)
donde P i = cte = α i y Q i = cte = β i . Entonces H ′ (P i , Q i ) = cte. Luego, para que
exista una transformación canónica (p i , q i ) → (P i , Q i ) = (α i , β i ), Ec. (6.228), generada
por F 2 = S, tal que H ′ (P i , Q i ) = 0, debe cumplirse la ecuación de Hamilton-Jacobi,
H + ∂S
∂t
= 0. (6.229)
Note que la solución S(q i , P i , t) de la ecuación de Hamilton-Jacobi, o más bien, las
derivadas parciales de S, proporcionan la transformación (p i , q i , t) → (P i , Q i , t). Por
otro lado, las constantes P i y Q i se pueden expresar, en principio, en términos de las
2s condiciones iniciales (q i (0), p i (0)). Luego, el proceso de solución de la ecuación de

262
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Hamilton-Jacobi para un sistema suministra la trayectoria q i (t) = q i (q i (0), p i (0), t) y
p i (t) = p i (q i (0), p i (0), t) como resultado adicional. Consequentemente, la ecuación de
Hamilton-Jacobi constituye el método más poderoso para encontrar la integración general
de las ecuaciones de movimiento de un sistema.
Matemáticamente, la ecuación de Hamilton-Jabobi corresponde a una ecuación en
derivadas parciales de primer orden para S(q i , t) en s + 1 variables,
∂S
∂t (q 1, . . . , q s , t) + H
(
q 1 , . . . , q s , ∂S
∂q 1
, ∂S
∂q 2
. . . , ∂S
∂q s
, t
)
= 0. (6.230)
La solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.230), para la acción S(q i , t)
requiere de s+1 constantes de integración. Pero S no figura explícitamente como incógnita
en la Ec. (6.230), sólo aparecen sus derivadas con respecto a las q i y t. Luego, si S es
solución de la Ec. (6.230), entonces S + cte, también es una solución. Por lo tanto, una
de las (s + 1) constantes de integración es irrelevante para la solución. Las s constantes
deben ser las P i = α i , para que la acción tenga la forma S(q i , P i , t). Luego, la solución
de la ecuación de Hamilton-Jacobi puede expresarse en la forma
S = S(q 1 , . . . , q s , P 1 , . . . , P s , t) = S(q i , α i , t), i = 1, . . . , s. (6.231)
Si el Hamiltoniano H es independiente del tiempo, entonces H es constante e igual
a la energía total del sistema, H(q i , p i ) = cte = E. En ese caso, se puede buscar una
solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi, Ec. (6.230), por separación de variables; esto
es, suponemos que la solución S tiene la forma
S(q i , P i , t) = S(q i , α i , t) = W (q i , P i ) − E t = W (q i , α i ) − E t (6.232)
La función W (q i , P i ) = W (q i , α i ) se llama función característica o principal de Hamilton.
En ese caso, sustitución de S en la Ec. (6.230) resulta en una ecuación para la función
W (q i , P i ), de la forma ( )
∂W
H (q i , E, P j ), q i = E , (6.233)
∂q i
donde P 1 = α 1 = E, P j = α j , j = 2, . . . , s. La Ec. (6.233) se denomina ecuación de
Hamilton-Jacobi independiente del tiempo.
En particular, si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la coordenada constante
Q 1 = β 1 asociada a P 1 = E satisface
Q 1 = ∂S
∂P 1
= ∂S
∂E
= ∂W
∂E − t = β 1. (6.234)
La función característica de Hamilton W (q i , P i ), que satisface la Ec. (6.233), puede
interpretarse como una función generadora de tipo F 2 (q i , P i ), independiente del tiempo,
que produce una transformación canónica (q i , p i ) → (Q i , P i ) tal que las coordenadas Q i
son cíclicas en el nuevo Hamiltoniano; es decir, H ′ (P i ).

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 263
En efecto, con esta condición sobre H ′ , los nuevos momentos P i son constantes, pues
P˙
i = − ∂H′ (P i )
= 0 ⇒ P i = α i = cte. (6.235)
∂Q i
Entonces, H ′ (P i ) = H ′ (α i ) = cte. La función generadora F 2 (q i , P i ) = W (q i , P i ) =
W (q i , α i ) satisface la relación
Puesto que H(q i , p i ) = E, tenemos
H ′ = H + ∂F 2
∂t
⇒ H ′ = H. (6.236)
H(q i , p i ) = E = H ′ (P i ). (6.237)
Las relaciones de la transformacion canónica generada por W (q i , P i ) corresponden a
p i = ∂W
∂q i
, (6.238)
Q i = ∂W
∂P i
. (6.239)
Luego, la relación H(q i , p i ) = E se puede expresar como
( )
∂W
H (q i , P i ), q i = E , (6.240)
∂q i
que es la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo satisfecha por la función
característica W (q i , P i ).
El método de separación de variables para buscar una solución de la ecuación de
Hamilton-Jacobi también puede emplearse cuando una coordenada es cíclica. Una coordenada
q k cíclica no aparece explícitamente en el Hamiltoniano y, por lo tanto, tampoco
aparece en la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi. Si el Hamiltoniano es constante,
entonces se puede buscar una solución de esta ecuación en la forma
Entonces,
S(q i , P i , t) = W (q j , P i ) + P k q k − Et, j ≠ k. (6.241)
p k = ∂S
∂q k
= P k = α k = cte. (6.242)
La constante P k = α k es justamente el valor constante del momento conjugado p k asociado
a la variable cíclica q k . La presencia del término −Et en la expresión Ec. (6.241)
para un sistema conservativo corresponde a la separación de la variable t, que no aparece
explícitamente en el Hamiltoniano.
En ciertos sistemas, es posible encontrar una solución por separación de variables en
forma aditiva; esto es, suponemos la acción de la forma
S(q i , P i , t) = W (q i , P i ) − Et =
s∑
W k (q k , P i ) − Et, (6.243)
k=1

264
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
donde cada función W k depende solamente de una coordenada q k . Si una coordenada
q k es cíclica, tomamos W k = P k q k . Las relaciones de la transformacion canónica se
convierten en
p k = ∂W k
∂q k
(q k , P 1 , . . . , P s ) , (6.244)
Q k = ∂W k
∂P k
(q k , P 1 , . . . , P s ) . (6.245)
Entonces, es posible reducir el problema de la ecuación de Hamilton-Jacobi a un conjunto
de s ecuaciones diferenciales de primer orden, una ecuación para cada función W k que
depende de q k y de constantes α i = P i . Cada ecuación permite encontrar la correspondiente
W k mediante una integración explícita sobre la coordenada q k . En este caso, se
dice que el sistema es completamente separable.
Aunque la ecuación de Hamilton-Jacobi para un sistema dinámico dado puede ser
completamente separable en un sistema de coordenadas, puede no serlo en otro. En general,
no existen condiciones de separabilidad a priori; aunque consideraciones de simetría
pueden ayudar. Por ejemplo, un problema con simetría esférica comúnmente puede ser
separable en coordenadas esféricas.
Ejemplos.
1. Ecuación de Hamilton-Jacobi para un oscilador armónico simple y obtención de la
trayectoria (q(t), p(t)) y de la acción asociada a este sistema.
El Hamiltoniano es
H(q, p) = 1 (
p 2 + m 2 ω 2 q 2) . (6.246)
2m
La acción para este sistema con s = 1 tiene la forma S(q, t). La ecuación de
Hamilton-Jacobi es
∂S
(q, t) + H(p, q) = 0. (6.247)
∂t
Hay una sóla relación para el momento,
p = ∂S (q, t) (6.248)
∂q
y, sustituyendo en la Ec. (6.247), obtenemos la ecuación de Hamilton-Jacobi para
el oscilador armónico,
[ (∂S
∂S
∂t + 1 ) ]
2
+ m 2 ω 2 q 2 = 0. (6.249)
2m ∂q
Puesto que ∂H
∂t
= 0, el Hamitoniano es constante e igual a la energía total del
sistema, H = E. Luego, podemos buscar una solución de la Ec. (6.249) mediante
separación de variables,
S(q, E, t) = W (q, E) − E t, (6.250)

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 265
donde P = E = α es la única constante de integración para la Ec. (6.249). Sustitución
en la Ec. (6.249) da
[ (∂W ) ]
2
1
+ m 2 ω 2 q 2 = E . (6.251)
2m ∂q
Calculamos W (q, E),
∂W
∂q = (2mE − m2 ω 2 q 2 ) 1/2 , (6.252)
Luego,
W (q, E) = √ ∫ √ 1 − mω
2mE
2 q 2
dq. (6.253)
2E
S(q, E, t) = √ ∫ √ 1 − mω
2Em
2 q 2
dq − Et. (6.254)
2E
La función S(q, E, t) permite encontrar las relaciones de la transformación canónica
generada por S a partir de sus derivadas parciales,
La relación Ec. (6.256) da
p = ∂S
∂q = ∂W
∂q
(6.255)
Q = ∂S
∂P = ∂S = β = cte.
∂E
(6.256)
Q = ∂S √ ∫ m
∂E = 2E
Integrando la Ec. (6.257), obtenemos 1
y despejando q,
q(Q, E, t) =
La relación Ec. (6.255) da
√
Q + t = 1 ω sin−1 (ωq
dq
1 − mω2 q 2
2E
− t. (6.257)
√ m
2E
)
, (6.258)
√
2E
mω 2 sin(ωt + β′ ), β ′ = Qω = cte. (6.259)
1 R dx
√1−ax 2 = 1 √ a
sin −1 `√ a x´
p = ∂W
∂q = √ 2mE − m 2 ω 2 q 2 ; (6.260)

266
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
sustituyendo q de la Ec. (6.259), tenemos
p(Q, E, t) = √ 2mE cos(ωt + β ′ ). (6.261)
Las constantes Q = β y P = E se pueden expresar en términos de las condiciones
iniciales q(0) = q 0 y p(0) = p 0 . Evaluando las Ecs. (6.259) y (6.261) en t = 0,
tenemos
√
2E
q 0 = sin(ωQ), (6.262)
mω2 Luego,
p 0 = √ 2mE cos(ωQ). (6.263)
tan(ωQ) = mω q 0
p 0
⇒ Q = 1 ω tan−1 (
mω q 0
p 0
)
. (6.264)
Evaluando la Ec. (6.260) en t = 0,
E = 1 (
p
2
2m 0 + m 2 ω 2 q0
2 )
= P. (6.265)
Las Ecs. (6.259) y (6.261), junto con las relaciones (6.264) y (6.265), expresan la
solución de las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico en términos de
las condiciones iniciales, p = p(q 0 , p 0 , t) y q = q(q 0 , p 0 , t).
Aunque la solución explícita para la acción S no es necesaria para la obtención de
la trayectoria p(q 0 , p 0 , t) y q(q 0 , p 0 , t), la cantidad S puede encontrarse a partir de
la integración de la Ec. (6.254),
S(q, E, t) = √ ∫ √ 1 − mω 2 q 2
2Em
dq − Et
2E
= √ ∫ √
2Em 1 − q2
[
√
2Em
= 1 2
q
dq − Et
a2 (1 − q2
a 2 ) 1/2
+ a sin −1 ( q
a
) ] − Et, (6.266)
√
2E
donde a ≡
mω 2 . Sustituyendo q de la Ec. (6.259) en la Ec. (6.266), podemos
obtener S como función de t,
S(t) = 1 2 a√ 2Em [ sin(ωt + β ′ ) cos(ωt + β ′ ) + sin −1 (sin(ωt + β ′ )) ] − Et
= E [ 1
ω 2 sin 2(ωt + β′ ) + (ωt + β )]
′ − Et
= E 2ω sin 2(ωt + β′ ), (6.267)
donde las constantes han sido suprimidas en la Ec. (6.267).

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 267
2. Separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas esféricas
en un sistema con simetría azimutal.
Consideremos una partícula en un potencial con simetría azimutal alrededor del
eje z (independiente del ángulo φ) en coordenadas esféricas de la forma,
V (r, θ) = a(r) + b(θ)
r 2 . (6.268)
donde a(r) y b(θ) son funciones dadas. En particular, el problema de Kepler corresponde
a a(r) = −k/r y b(θ) = 0. El Lagrangiano correspondiente a este sistema,
en coordenadas esféricas (Cap. 1), es
L = 1 (
2 m(ṙ2 + r 2 ˙θ2 + r 2 ˙ϕ 2 sin 2 θ) − a(r) + b(θ) )
r 2 . (6.269)
Para este sistema, se obtiene el siguiente Hamiltoniano
(
)
H(r, θ, φ, p r , p θ , p φ ) = 1
(
p 2 r + p2 θ
2m r 2 +
p2 φ
r 2 sin 2 + a(r) + b(θ) )
θ
r 2 . (6.270)
La acción para este sistema es una función S(r, θ, φ, t). Los momentos satisfacen
La ecuación de Hamilton-Jacobi es
p r = ∂S
∂r , (6.271)
p θ = ∂S
∂θ , (6.272)
p φ = ∂S
∂φ . (6.273)
∂S
∂t
+ H = 0. (6.274)
Sustituyendo H y los momentos en la Ec. (6.274), obtenemos la ecuación de Hamilton-
Jacobi para este sistema,
[ (∂S
∂S
∂t + 1 ) 2
+ 1 ( ) 2 ∂S 1
2m ∂r r 2 +
∂θ r 2 sin 2 θ
( ) ] 2 [ ∂S
+ a(r) + b(θ) ]
∂φ
r 2 = 0.
(6.275)
Puesto que el Hamiltoniano es independiente del tiempo y la coordenada φ es
cíclica, podemos buscar una solución en la forma separable
S(r, θ, φ, P 1 , P 2 , P 3 , t) = W r (r, E, P φ , P 3 ) + W θ (θ, E, P φ , P 3 ) + P φ φ − Et, (6.276)
donde hemos tomado W φ = P φ φ, y P 1 = E, P 2 = P φ y P 3 son constantes.

268
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Las Ecs. (6.273) y (6.276) implican que p φ = P φ = cte. La cantidad constante p φ
es el valor de la componente l z del momento angular.
Sustituyendo S en la Ec. (6.275), obtenemos
( ) [ 2
1 ∂Wr
+ a(r) + 1 (∂Wθ ) 2
2m ∂r
2mr 2 + 2m b(θ)]
∂θ
+
p 2 φ
2mr 2 sin 2 = E, (6.277)
θ
lo cual se puede expresar como
( ) [ 2 (∂Wθ ) 2
r 2 ∂Wr
+ 2mr 2 a(r) − 2mr 2 E = −
+ 2m b(θ)]
−
p2 φ
∂r
∂θ
sin 2 θ . (6.278)
En términos de las coordenadas, el lado izquierdo del la Ec. (6.278) corresponde a
una función que depende solamente de r, mientras que el lado derecho representa
a una función dependiente solamente de θ. Entonces, para que ambos lados sean
iguales en la Ec. (6.278), ambas funciones deben ser iguales a una misma constante,
( ) 2 ∂Wθ
+ 2m b(θ) + p2 φ
∂θ
sin 2 θ = P 3, (6.279)
r 2 ( ∂Wr
∂r
) 2
+ 2mr 2 a(r) − 2mr 2 E = −P 3 , (6.280)
donde hemos fijado la constante como −P 3 , puesto que las funciones W r y W θ
deben depender de las tres constantes E, p φ , P 3 . Despejando, tenemos
[
] 1/2
∂W θ
∂θ = P 3 − 2m b(θ) −
p2 φ
sin 2 , (6.281)
θ
∂W r
∂r = [
2m
Mediante integración obtenemos
∫ [
W θ (θ, p φ , P 3 ) = P 3 − 2m b(θ) −
W r (r, E, P 3 ) =
(
E − P 3
2mr 2 − a(r) )] 1/2
. (6.282)
p2 φ
sin 2 θ
] 1/2
dθ, (6.283)
∫ [
2m (E − a(r)) − P 3
r 2 ] 1/2
dr, (6.284)
y ya teniamos W φ = p φ φ. Luego, el sistema es completamente separable.
La acción correspondiente es
S =
∫ [
2m (E − a(r)) − P ] 1/2
3
r 2 dr
+
∫ [ ] 1/2
P 3 − 2m b(θ) −
p2 φ
sin 2 dθ
θ
+ p φ φ − E t. (6.285)

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 269
Las coordenadas constantes Q 1 , Q 2 y Q 3 de la transformación canónica generada
por S satisfacen las relaciones
Q 1 = ∂S
∂E =
Q 2 = ∂S
∂p φ
=
Q 3 = ∂S
∂P 3
=
∂W r
∂E (r, E, P 3) − t = Q 1 (r, E, P 3 , t), (6.286)
∂W θ
(θ, p φ , P 3 ) + φ =
∂p φ
Q 2 (θ, φ, p φ , P 3 ), (6.287)
∂W r
+ ∂W θ
∂P 3 ∂P 3
= Q 3 (r, θ, E, φ, P 3 ). (6.288)
La Ec. (6.286) permite encontrar la solución r = r(E, P 3 , Q 1 , t). Esta solución para r
se puede sustituir en la Ec. (6.288), y entonces las Ecs. (6.287) y (6.288) constituyen
un sistema de dos ecuaciones para θ y φ, las cuales pueden resolverse dando como
resultado θ = θ(E, p φ , P 3 , Q 1 , Q 2 , Q 3 , t) y φ = φ(E, p φ , P 3 , Q 1 , Q 2 , Q 3 , t).
Por otro lado, consideremos las Ecs. (6.271)-(6.272) para los momentos
p r = ∂S
∂r = ∂W r
∂r = p r(r, E, P 3 ), (6.289)
p θ = ∂S
∂θ = ∂W θ
∂θ = p θ(θ, P 3 , p φ ). (6.290)
Sustitución de las soluciones para las coordenadas r y θ en estas ecuaciones conduce
a las soluciones para los momentos p r y p θ (p φ es una constante) en función del
tiempo y de las constantes E, p φ , P 3 , Q 1 , Q 2 , Q 3 .
Luego, el método de la ecuación de Hamilton-Jacobi permite obtener la solución
completa de las ecuaciones de movimiento (coordenadas y momentos) en términos
de las seis constantes E, p φ , P 3 , Q 1 , Q 2 , Q 3 .
3. Relación entre la ecuación de onda de Schrödinger de la Mecánica Cuántica y la
ecuación de Hamilton-Jacobi de la Mecánica Clásica.
Figura 6.17: Erwin Schrödinger (1887-1961).
Consideremos, por simplicidad, la ecuación de Schrödinger unidimensional para la
función de onda Ψ(x, t) de una partícula de masa m en el potencial V (x, t),
i ∂Ψ
∂t = − 2 ∂ 2 Ψ
+ V (x, t)Ψ . (6.291)
2m ∂x2

270
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Suspongamos una solución de la forma
Ψ(x, t) = R(x, t)e i S(x,t) , (6.292)
donde R(x, t) es la parte real que da la amplitud de la función de onda y S(x, t) es
la fase correspondiente.
Calculamos las derivadas parciales
∂Ψ
∂t = ˙Ψ = Ṙe i S + i RṠe i S =
(
Ṙ + i )
RṠ e i S . (6.293)
Ψ ′ = ∂Ψ
∂x = (
R ′ + i RS′ )
e i S . (6.294)
Ψ ′′ = ∂2 Ψ
∂x 2 =
=
[
R ′′ + i ] (
(R′ S ′ + RS ′′ ) e i S + R ′ + i ) i
RS′ S′ e i S
[R ′′ + 2 i R′ S ′ + i RS′′ − 1 ]
2 RS′2 e i S . (6.295)
Sustituyendo las derivadas de Ψ en la Ec. (6.291), tenemos
(
i Ṙ + i )
RṠ = −
(R 2 ′′ + 2 i 2m R′ S ′ + i RS′′ − 1 )
2 RS′2 + V R. (6.296)
En el límite clásico → 0, la Ec. (6.296) queda
la cual se puede escribir como
−RṠ = 1
2m RS′2 + V R, (6.297)
∂S
∂t + 1
2m
Pero el Hamiltoniano de la partícula es
( ) 2 ∂S
+ V = 0. (6.298)
∂x
H = p2
+ V, (6.299)
2m
y el momento, en términos de la acción clásica S, es
p = ∂S
∂x . (6.300)
Luego, la Ec. (6.298) es la ecuación de Hamilton-Jacobi para la fase S(x, t).
( )
∂S ∂S
∂t + H ∂x , x = 0. (6.301)
En el límite clásico, la fase S(x, t) de la función de onda Ψ(x, t) corresponde a la
acción y satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi.

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 271
6.9. Variables de acción-ángulo.
Supongamos que tenemos un sistema dinámico con las siguientes condiciones:
(1) su Hamiltoniano H(q i , p i ) es constante,
(2) el sistema es completamente separable,
(3) sus movimientos son finitos.
La condición (1) implica que podemos escribir la ecuación Hamilton-Jacobi independiente
del tiempo para el sistema,
( )
∂W
H (q i , P i ), q i = E , (6.302)
∂q i
donde P i = α i = cte. Debido a la condición (2), podemos expresar la función característica
de Hamilton como
W (q 1 , . . . , q s , α 1 , . . . , α s ) =
s∑
W i (q i , α 1 , . . . , α s ). (6.303)
Como vimos en la sección anterior, W constituye la función generadora tipo F 2 (q i , P i )
de la transformación canónica (q i , p i ) → (Q i , α i ), cuyas relaciones están dadas por
i=1
p i = ∂W i
∂q i
(q i , α 1 , . . . , α s ) , (6.304)
Q i = ∂W i
∂α i
(q i , α 1 , . . . , α s ) . (6.305)
El nuevo Hamiltoniano entonces tiene la forma H ′ (α 1 , . . . , α s ) = E.
La Ec. (6.304) implica la relación funcional
p i = p i (q i , α 1 , . . . , α s ), (6.306)
la cual define una curva o trayectoria sobre el plano (q i , p i ) que depende de los parámetros
α 1 , . . . , α s . Esta curva es una proyección sobre el plano (q i , p i ) de la trayectoria del sistema
en su espacio de fase 2s-dimensional. Adicionalmente, la condición (3) implica que esta
curva debe ser una órbita cerrada o periódica en el plano (q i , p i ), que denotamos por C i .
Existe una tal órbita C i en cada uno de los planos (q i , p i ) del espacio de fase.
La órbita C i en un plano (q i , p i ) refleja la periodicidad de las variables conjugadas p i
y q i , y puede ser de dos tipos:
1. Libración: ocurre cuando los valores de ambos, q i y p i , se repiten, trazando una
órbita cerrada. En este caso, tanto q i como p i , son funciones periódicas en el tiempo.
El oscilador armónico y el problema de Kepler con E < 0 son ejemplos de este tipo
de órbitas. Las órbitas de libración son curvas cerradas que no siempre son elipses.

272
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
2. Rotación: corresponde a una órbita tal que p i es una función periódica de q i , con
período q 0 i . Los valores de p i están acotados, pero los de q i pueden incrementarse
indefinidamente. Ejemplos son los movimientos de un cuerpo rígido libre y de un
trompo simétrico con un punto fijo, donde la coordenada q i es un ángulo que puede
incrementarse en 2π sin cambio en la configuración del sistema. En general, la
coordenada q i asociada a este tipo de órbita corresponde a un ángulo de rotación.
.
Figura 6.18: (a) Libración. (b) Rotación. (c) Libración y rotación en el espacio de fase de un
péndulo simple.
Ambos tipos de órbitas periódicas pueden aparecer en un sistema dinámico, dependiendo
de los valores de sus parámetros. El péndulo simple es un ejemplo clásico, donde
la coordenada q es el ángulo θ con respecto a la vertical. La energía del sistema es
E =
de donde obtenemos la órbita en el plano (q, p),
p2
− mgl cos q , (6.307)
2ml2 p(q, E) = ± √ 2ml 2 (E + mgl cos q) . (6.308)
Si E < mgl, entonces q oscila entre los puntos de retorno q 1,2 = ± cos −1 (− E
mgl
)
, para
los cuales p = 0. Bajo estas condiciones, la trayectoria en el plano (q, p) es una órbita
cerrada y corresponde a un movimiento periódico de libración. Por otro lado, si E > mgl,
todos los valores del ángulo q son físicamente posibles, y q se incrementa indefinidamente
para producir un movimiento periódico del tipo de rotación. En este caso, el péndulo
posee suficiente energía para dar la vuelta en una dirección por encima de la posición
vertical invertida q = π y, por lo tanto, continúa rotando en esa dirección.

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 273
Cada órbita C i tiene un período asociado; es decir, las variables q i y p i en el plano
(q i , p i ) se repiten en el tiempo. En general, los períodos de las órbitas C i pueden ser
distintos entre sí; como consequencia la trayectoria de todo el sistema en su espacio
de fase puede no ser periódica, en el sentido de que todas las 2s variables q i y p i se
repitan al cabo de un determinado intervalo de tiempo. Recordemos que las órbitas C i
son proyecciones en los distintos planos (q i , p i ) de la trayectoria del sistema en su espacio
de fase; todas las proyecciones no tienen que cerrarse necesariamente después de un
período de tiempo dado.
Las variables de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas y momentos, denotados
por (ϕ i , J i ), que resultan convenientes para describir la coexistencia de múltiples
movimientos periódicos en la dinámica de sistemas completamente separables con movimientos
finitos, i. e., que satisfacen las condiciones (1), (2) y (3).
Para esta clase de sistemas, podemos introducir una transformación canónica (q i , p i ) →
(ϕ i , J i ) tal que las nuevas coordenadas ϕ i sean cíclicas en el nuevo Hamiltoniano, i. e.,
H ′ (J 1 , . . . , J s ) = E. Definimos los nuevos momentos como las variables de acción
J i ≡ 1
2π
∮
C i
p i dq i , (6.309)
donde la integral se realiza sobre un ciclo completo de la coordenada q i a lo largo de la
órbita C i que yace en el plano (q i , p i ), ya sea retornando al valor inicial de q i o sobre un
intervalo qi 0.
Puesto que el sistema es completamente separable, podemos usar la Ec. (6.304) para
escribir
∮
J i =
C i
∂W i
∂q i
(q i , α 1 , . . . , α s ) dq i = J i (α 1 , . . . , α s ) = cte, (6.310)
debido a que las α i son constantes. La Ec. (6.310) constituye un sistema de s ecuaciones
para las s variables de acción J i en función de las α i , las cuales puede ser invertidas
para obtener α i = α i (J 1 , . . . , J s ). Luego, las variables J i son un conjunto de funciones
independientes que pueden ser usadas como los nuevos momentos constantes. Entonces,
el nuevo Hamiltoniano se puede escribir H ′ (J 1 , . . . , J s ) = cte.
La función característica de Hamilton, que es generadora de la transformación canónica
(q i , p i ) → (ϕ i , J i ), debe tener la forma W (q i , J i ) = ∑ i W i(q i , J 1 , . . . , J s ). Las relaciones
de la transformación son
p i = ∂W i
∂q i
(q i , J 1 , . . . , J s ) , (6.311)
ϕ i = ∂W i
∂J i
(q i , J 1 , . . . , J s ) . (6.312)
Para entender el significado de las variables de ángulo, calculemos el cambio de una
variable ϕ i en un ciclo completo de la coordenada q i sobre una órbita C i , dado por
∮
∮ ( )
∂ ∂Wi
∆ϕ i = dϕ i =
dq i =
∂ ∮
∂W i
dq i
C i C i
∂q i ∂J i ∂J i C i
∂q i
∮
∂
= p i dq i = 2π ∂J i
= 2π . (6.313)
∂J i C i
∂J i

274
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Luego, un ciclo completo de q i corresponde a un cambio de ϕ i en 2π; la variable ϕ i se
puede interpretar como un ángulo de rotación tal que el período de la órbita C i equivale
a una rotación completa de ϕ i manteniendo J i constante. Puesto que no todas las
órbitas tienen el mismo período, no todas las variables de ángulo ϕ i realizan una rotación
completa al mismo tiempo, aunque todas las variables de acción correspondientes
se mantienen constantes.
Las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables son
J˙
i = − ∂H′ (J j )
= 0 , (6.314)
∂ϕ i
˙ϕ i = ∂H′ (J j )
∂ϕ i
≡ ω i (J j ) = cte. (6.315)
Las Ecs. (6.314) confirman que las J i son constantes, mientras las Ecs. (6.315) definen s
funciones constantes ω i (J j ). Adicionalmente, las Ecs. (6.315) conducen a
ϕ i = ω i t + θ i , (6.316)
donde θ i equivale a una fase inicial para cada variable ϕ i . Cada nueva coordenada ϕ i
se comporta efectivamente como un ángulo que se incrementa con una correspondiente
velocidad angular constante ω i ; de alli su nombre variables de ángulo. El período correspondiente
de ϕ i es
T i =
2π
ω i (J j ) , (6.317)
el cual es igual al período de la órbita C i . Entonces, las Ecs. (6.315) permiten obtener directamente
las frecuencias de las órbitas periódicas del sistema, sin hacer aproximaciones
de pequeños desplazamientos y sin necesidad de resolver explícitamente las ecuaciones
de movimiento.
En resumen, el empleo de las variables de acción-ángulo permite encontrar las múltiples
frecuencias del movimiento de un sistema que satisface las condiciones (1)-(3), mediante
el siguiente procedimiento:
1. Escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,
( )
∂Wi
H (q i , α 1 , . . . , α s ), q i = E . (6.318)
∂q i
2. Separar la Ec. (6.318) en s ecuaciones para las derivadas ∂Wi
∂q i
(q i , α 1 , . . . , α s ). La
separación provee las constantes α 1 = E, α 2 , . . . , α s .
3. Calcular las variables de acción,
∮
∂W i
J i = (q i , α 1 , . . . , α s ) dq i = J i (α 1 , . . . , α s ). (6.319)
∂q i
C i
4. Invertir las relaciones J i (α 1 , . . . , α s ) para obtener α i = α i (J 1 , . . . , J s ).

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 275
5. Sustituir α i (J 1 , . . . , J s ) en las derivadas ∂Wi
∂q i
(q i , α 1 , . . . , α s ) que aparecen en la
Ec. (6.318), para obtener H ′ (J 1 , . . . , J s ).
6. Calcular las frecuencias
ω i (J j ) = ∂H′
∂ϕ i
(J 1 , . . . , J s ). (6.320)
La descripción del movimiento de un sistema finito completamente separable resulta
simple en términos de las variables de acción-ángulo: cada órbita C i trazada sobre el
plano (q i , p i ) es equivalente a una rotación sobre una circunferencia de un ángulo ϕ
con velocidad ángular constante ω i . El radio de la circunferencia corresponde al valor
constante J i .
En lenguaje topológico, cada curva cerrada C i se distorsiona continuamente en una circunferencia,
denotada en topología por el símbolo S 1 , debido a la transformación canónica
(q i , p i ) → (ϕ i , J i ). La trayectoria en el espacio de fase yace en todas esas s circunferencias
simultáneamente. Si s = 2, hay 2 circunferencias; para cada punto (ϕ 1 , J 1 ) de la primera
circunferencia S 1 existe una segunda circunferencia S 1 con valores de (ϕ 2 , J 2 ). Es decir,
a cada punto de S 1 está asociada otra S 1 . Esto describe un toroide, designado por
T 2 = S 1 ×S 1 . Entonces, la trayectoria transcurre sobre el toroide T 2 . Aunque esto se puede
visualizar con uno o dos grados de libertad; es más difícil de hacerlo para s en general.
En ese caso, la trayectoria tiene lugar sobre un s-toroide T s = S 1 × · · · × S 1 . Las variables
de acción-ángulo proveen una representación geométrica elegante del movimiento. de un
sistema completamente separable.
Figura 6.19: Variables de acción-ángulo y una trayectoria sobre un toroide para un sistema con
s = 2.
La trayectoria sobre un toroide T 2 es cerrada si el cociente de las frecuencias ω 1 /ω 2
es un número racional. En tal caso, se dice que la trayectoria es periódica. Si ω 1 /ω 2 es
igual a un número irracional; entonces la trayectoria se denomina cuasiperiódica, y en
su evolución cubre uniformemente toda la superficie del toroide. Del mismo modo, una
trayectoria sobre un s-toroide T s es cerrada o periódica si ω i /ω j es racional ∀i, j, mientras
que una trayectoria es cuasiperiódica si ω i /ω j es irracional ∀i, j.
Mediante variables de acción-ángulo, diferentes sistemas con el mismo número s de
grados de libertad pueden ser mapeados sobre un s-toroide. Luego, el movimiento sobre
un s-toroide constituye un tipo de sistema dinámico universal que abarca la dinámica de
sistemas separables aparentemente diferentes.

276
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Ejemplos.
1. Encontrar la frecuencia de un oscilador armónico usando variables de acción-ángulo.
El Hamiltoniano es
H(q, p) =
( p
2
2m + 1 2 kq2 )
= E = cte. (6.321)
Las órbitas H(q, p) = cte en el plano (q, p) corresponden a elipses.
Figura 6.20: Órbitas en espacio de fase (q, p) para el oscilador armónico y variables de acciónángulo
(J, ϕ) correspondientes.
El momento es
p = ∂W
∂q . (6.322)
Sustituyendo en la Ec. (6.321), tenemos
( ) 2
1 ∂W
+ 1 2m ∂q 2 kq2 = E, (6.323)
de donde
La variable de acción es
J = 1
2π
= 1
2π
= 1
2π
√
∂W
∂q = 2m
(E − 1 )
2 kq2 . (6.324)
∮
p dq = 1 ∮
∂W
C 2π C ∂q dq
√
∮ √
2mE 1 − k
C 2E q2 dq
√
∫ qmax
√
2mE 4
0
1 − k
2E q2 dq, (6.325)
puesto que un ciclo C equivale √ a cuatro veces la variación de la coordenada q desde
2E
0 hasta el valor q max =
k
, para el cual p = 0.

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 277
√
Con el cambio variables sin x =
J = 1
2π
k
2E
Luego, el Hamiltoniano en términos de J es
q, obtenemos
√
√
∫ 2E π/2
2mE
k 4 cos 2 x dx
0
= 4 π
√ m
k E π 4 = √ m
k E . (6.326)
La frecuencia del movimiento es
√
k
H ′ (J) = E = J. (6.327)
m
˙ϕ = ω = ∂H′
∂J = √
k
m . (6.328)
2. Encontrar el período del movimiento de una partícula de masa m y velocidad v que
choca elásticamente entre dos paredes paralelas separadas por una distancia L.
Figura 6.21: Partícula chocando elásticamente entre dos paredes paralelas. Izquierda: espacio
físico. Derecha: espacio de fase (q, p).
La energía de la partícula es constante,
y el Hamiltoniano correspondiente es
Usando
E = 1 2 mv2 = cte , (6.329)
H = p2
= E. (6.330)
2m
p = ∂W
∂q , (6.331)
obtenemos la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo,
( ) 2
1 ∂W
= E. (6.332)
2m ∂q

278
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Luego,
p = ∂W
∂q = √ 2mE . (6.333)
La variable de acción da
J = 1 ∮
p dq
2π C
= 1 √
∮
2mE dq
2π
C
= 1 √
∫ L
2mE 2 dq = L √
2mE . (6.334)
2π
π
Luego, p = πJ/L. El Hamiltoniano como función de J es
H ′ (J) =
y la frecuencia del movimiento está dada por
En términos de los datos L y v,
0
π2
2mL 2 J 2 , (6.335)
˙ϕ = ω = ∂H′
∂J = π2
J. (6.336)
mL2 ω =
π2 L √ π 2mE =
mL 2 π L v (6.337)
Luego, el período resulta en
T = 2π ω = 2L v . (6.338)
3. Una partícula se mueve sin fricción sobre un cilindro vertical de radio R en el campo
gravitacional terrestre, conservando su energía E y alcanzando una altura máxima
h despues de cada choque contra el suelo. Encontrar las frecuencias del movimiento
usando variables de acción-ángulo.
Figura 6.22: Partícula moviéndose sobre un cilindro vertical.

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 279
Hay dos grados de libertad, θ y z. El Lagrangiano del sistema es
El Hamiltoniano es
H =
L = 1 2 m(R2 ˙θ2 + ż 2 ) − mgz. (6.339)
p2 θ
2mR 2 + p2 z
+ mgzE = cte. (6.340)
2m
La ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo tiene la forma
( )
∂W
H , q i , α i = E. (6.341)
∂q i
Buscamos solución por separación de variables. Asumimos la función característica
de Hamilton en la forma W = W θ (θ, α 1 , α 2 ) + W z (z, α 1 , α 2 ), con α 1 = E.
Los momentos correspondientes son
Sustituyendo en la Ec. (6.340), tenemos
( ) 2
1 ∂Wθ
2mR 2 + 1
∂θ 2m
lo cual se puede expresar como
1
2m
p θ = ∂W θ
∂θ , (6.342)
p z = ∂W z
∂z . (6.343)
( ) 2 ∂Wz
+ mgz = E, (6.344)
∂z
( ) 2 ∂Wz
+ mgz = E − 1 ( ) 2 ∂Wθ
∂z
2mR 2 (6.345)
∂θ
El lado izquierdo en la Ec. (6.345) es función de z solamente y el lado derecho es
una función de θ. Ambos lados deben ser iguales a la misma constante, α 2 = cte.
Entonces, podemos escribir
1
2m
( ) 2 ∂Wz
+ mgz
∂z
) 2
= α 2 (6.346)
= α 2 (6.347)
E − 1 ( ∂Wθ
2mR 2 ∂θ
Luego,
∂W θ
∂θ = R √ 2m √ E − α 2 = cte , (6.348)

280
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
y la variable de acción J θ está dada por
J θ = 1 ∮
p θ dθ
2π C θ
= 1 ∮ ( ) ∂Wθ
dθ
2π C θ
∂θ
= 1
2π R √ 2m √ ∮
E − α 2
C θ
= R √ 2m √ E − α 2 = p θ . (6.349)
Por otro lado,
∂W z
∂z = √ 2mα 2 − 2m 2 gz , (6.350)
y la variable de acción J z correspondiente es
J z = 1
2π
∮
C z
p z dz = 1
2π
∮
dθ
C z
√
2mα2 − 2m 2 gz dz . (6.351)
Figura 6.23: Izquierda: Órbita Cz en el plano (z, pz). En z = 0, el momento pz cambia de signo
de −p ∗ z a p ∗ z = m √ 2gh. Derecha: Órbita C θ en el plano (θ, p θ ).
La integral sobre la órbita C z corresponde a un ciclo de z = 0 a z = h y viceversa.
J z = 1
2π 2 ∫ h
0
= 1 π
√
2m2 g
= 1 π
√
2m2 g 2 3
= 2 √
2m2 g
3π
=
√
2mα2 − 2m 2 gz dz (6.352)
√
α2
− z dz (6.353)
0 mg
( ) ∣ 3/2 α2 ∣∣∣∣
0
mg − z (6.354)
h
( ) 3/2 α2
(6.355)
mg
∫ h
1
3πg √ m (2α 2) 3/2 . (6.356)

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 281
Para escribir H ′ (J z , J θ ), debemos expresar p z y p θ en términos de J z y J θ . Obtuvimos
J θ = p θ . De la Ec (6.356) tenemos
luego,
α 2 = (3πg√ m J z ) 2/3
, (6.357)
2
p 2 z =
Sustituyendo en H, obtenemos
Las frecuencias están dadas por
( ) 2 ∂Wz
= 2mα 2 − 2m 2 gz
∂z
= (3πgm 2 J z ) 2/3 − 2m 2 gz. (6.358)
H ′ (J z , J θ ) = 1
2mR 2 J 2 θ + 1
2m (3πm2 gJ z ) 2/3 = E. (6.359)
˙ϕ θ = ω θ = ∂H′
∂J θ
=
˙ϕ z = ω z = ∂H′
∂J z
=
J θ
p θ
mR 2 = mR 2 , (6.360)
[
1 (3πm 2 g) 2 ] 1/3
. (6.361)
3m J z
Podemos expresar las frecuencia en términos de E y h. Cuando z = h, el momento
p z = 0. Entonces, de la Ec (6.358) obtenemos
y
J z = 2 3
De la Ec (6.349), podemos expresar
Luego,
α 2 = mgh (6.362)
m
π
√
2gh3 . (6.363)
p θ = R √ 2m √ E − mgh . (6.364)
√ √
2 E
ω θ =
− gh , (6.365)
R m
√ g
ω z = π
2h . (6.366)
El período del movimiento en z es
√
T z = 2π 2h
= 2
ω z g , (6.367)
que es igual al tiempo de vuelo entre dos choques consecutivos contra el suelo.

282
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
4. Encontrar las frecuencias del movimiento en el problema de Kepler utilizando variables
de acción-angulo.
El problema de Kepler se refiere en el potencial central V (r) = − k r
. Puesto que el
vector momento angular se conserva en un potencial central, el movimiento ocurre
en un plano perpendicular a la dirección de ese vector.
Usando coordenadas polares (r, θ) sobre el plano del movimiento, el Hamiltoniano
de una partícula de masa reducida µ en un potencial V (r) se puede expresar como
H(r, θ, p r , p θ ) = 1 ( )
p 2 r + p2 θ
2µ r 2 + V (r) = E. (6.368)
Asumimos separación de variables; luego escribimos los momentos
Sustituyendo en H, obtenemos
p r = ∂W r
∂r , (6.369)
p θ = ∂W θ
∂θ . (6.370)
1
2µ
lo cual se puede escribir como
[ (∂Wr ) 2
r 2 +
∂r
( ) 2 ∂Wr
+ 1 ( ) 2 ∂Wθ
∂r 2µr 2 + V (r) = E, (6.371)
∂θ
( ) 2 ∂Wθ
+ 2µ (V − E)]
= −
∂θ
( ) 2 ∂Wθ
. (6.372)
∂θ
El lado izquierdo de la Ec. (6.372) depende solamente de r, mientras que el lado
derecho depende de θ. Luego, ambos lados deben ser constantes e iguales. Entonces
debemos tener
∂W θ
∂θ = α θ = cte, (6.373)
( ∂Wr
∂r
) 2
+ 2µ (V − E) = − α2 θ
r 2 . (6.374)
La Ec. (6.373) implica que p θ = α θ = cte. El valor constante de p θ es la magnitud
del momento angular l. Entonces,
J θ = 1 ∮
p θ dθ = 1 ∮ ( ) ∂Wθ
dθ = 1 ∮
α θ dθ = α θ . (6.375)
2π C θ
2π C θ
∂θ 2π C θ
De las Ecs. (6.374) y (6.375), obtenemos
√
∂W r
∂r
= 2µ(E − V ) − J θ
2
r 2 . (6.376)

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 283
La variable de acción J r está dada por
J r = 1 ∮
p r dr = 1
2π C r
2π
= 1
2π
∮C r
√
∮
( ∂Wr
C r
∂r
)
dr
2µ(E − V ) − J θ
2 dr. (6.377)
r2 Puesto que consideramos movimientos finitos, en un ciclo C r la coordenada radial
varía dos veces entre los valores r = r min y r = r max . Entonces,
J r = 1
2π 2 ∫ rmax
= 1 π
r min
∫ rmax
1
r min
r
√
2µ
(
E + k )
− J θ
2
r r 2
dr
√
2µEr 2 + 2µkr − Jθ 2 dr. (6.378)
Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que r min y r max son las raíces de
2µEr 2 + 2µkr − l 2 = 2µEr 2 + 2µkr − J 2 θ = 0 , (6.379)
(puesto que J θ = l) dadas por
⎛ √ ⎞
r min = − k ⎝1 − 1 + 2EJ θ
2 ⎠
2E
µk 2 , (6.380)
⎛ √
r max = − k
2E
⎝1 +
⎞
1 + 2EJ θ
2 ⎠
µk 2 . (6.381)
Para realizar la integración en la Ec. (6.378) de una manera más simple, usamos el
siguiente artilugio. Obtenemos primero la derivada parcial
∂J r
∂E = µ π
∫ rmax
r min
La integral en la Ec. (6.382) es de la forma
r
√
2µEr2 + 2µkr − J 2 θ
dr . (6.382)
∫
√
r
√
ar2 + br + c dr = ar2 + br + c
a
+
( )
b
b + 2ar
2(−a) 3/2 sin−1 b 2 , (6.383)
− 4ac

284
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
donde identificamos a = 2µE, b = 2µk y c = −J 2 θ . Evaluamos
b
2(−a) 3/2 =
b 2 − 4ac = 2µk
b + 2ar max = −2µk
b + 2ar min = 2µk
k
2 √ , (6.384)
2µ (−E)
3/2
√
√
1 + 2EJ θ
2
µk 2 (6.385)
√
1 + 2EJ 2 θ
µk 2 , (6.386)
1 + 2EJ 2 θ
µk 2 . (6.387)
El primer término en la integración Ec. (6.383) se anula al evaluarlo en ambos
límites r min y r max . Entonces la integral Ec. (6.382) evaluada en esos límites da
∂J r
∂E = µ π
k
2 √ 2µ (−E) 3/2 π
= k 2
√ µ
2 (−E)−3/2 . (6.388)
En el problema de Kepler tenemos E < 0 para una órbita finita.
Ahora integramos la Ec. (6.388) y obtenemos
J r = C + k
√ µ
2 (−E)−1/2 , (6.389)
donde C es una constante de integración. Para determinar C, notamos que la
expresión Ec. (6.389) debe ser válida para cualquier órbita con E < 0 en el problema
de Kepler. En particular, consideremos una órbita circular con r = cte. Entonces,
r min = r max y J r = 0 para esa órbita. La energía correspondiente a una órbita
circular es
E = − µk2
2Jθ
2 . (6.390)
Entonces, la Ec. (6.389) para una órbita circular da
√ √
µ 2Jθ
2 0 = C + k
2 µk 2 ⇒ C = −J θ . (6.391)
Luego,
J r = −J θ + k
√ µ
2 (−E)−1/2 . (6.392)
El Hamiltoniano en función de las variables de acción se puede expresar como
H ′ µk 2
(J r , J θ ) = E = −
2(J r + J θ ) 2 . (6.393)

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 285
Las frecuencias están dadas por
ω θ = ∂H′ µk 2
=
∂J θ (J r + J θ ) 3 , (6.394)
ω r = ∂H′ µk 2
=
∂J r (J r + J θ ) 3 . (6.395)
Las frecuencias radial y angular son iguales, lo que implica que la órbita es cerrada,
como se espera.
Para expresar la frecuencia en función de la energía, sustituimos
√ µ
J r + J θ = k
2(−E)
en la Ec. (6.394) y obtenemos
(6.396)
ω θ = 2 k
√ 2
µ (−E)3/2 = 2 k
√ 2
µ |E|3/2 . (6.397)
Recordemos del Cap. 3 (Sec. 3.4) que el semieje mayor de una órbita elíptica está relacionado
con la energía por
a =
k
2|E| . (6.398)
Entonces, podemos escribir ω θ en función del semieje mayor como
√
k
ω θ =
µ a−3/2 = 2π , (6.399)
T θ
donde T θ es el período de la órbita. Luego,
que es la Tercera Ley de Kepler (Cap. 3).
T θ = 2π
√ µ
k a3/2 , (6.400)
5. La temprana formulación de la Mecánica Cuántica de Bohr y Sommerfeld para el
átomo de hidrógeno, incluía los siguientes postulados:
a) Cuantización de las variables de acción,
J k ≡ 1 ∮
p k dq k = n k , (6.401)
2π C k
donde n i es un número entero y es la constante de Planck dividida por 2π.
b) La frecuencia de la radiación emitida cuando un electrón cambia discontinuamente
su movimiento, desde una órbita con energía E i a otra órbita con
energía E f , es
ν = E i − E f
h
. (6.402)

286
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
El potencial del átomo de hidrógeno corresponde al potencial de Coulomb, V (r) =
−e 2 /r, que es similar al potencial de Kepler con k = e 2 . Luego, en términos de las
variables de acción, la energía del electrón en una órbita está dada por la Ec. (6.393),
mk 2
E = −
2(J r + J θ ) 2 . (6.403)
donde hemos tomado µ ≈ m, masa del electrón. Utilizando la hipótesis de cuantización,
obtenemos
E = − me4
2 2 n 2 , (6.404)
donde n es un número entero, ya que la suma de dos números enteros es otro entero.
Entonces, la frecuencia emitida en una transición E i → E f satisface
( )
ν = 1 me 4 1
h 2 2 − 1 n 2 . (6.405)
i
Usando ν = c/λ, podemos expresar la longitud de la onda emitida como
( )
1
λ = R 1
∞ − 1 n 2 , (6.406)
i
n 2 f
n 2 f
donde
R ∞ ≡
me4
4πc 3 , (6.407)
es la constante de Rdyberg. Esta teoría temprana permitió explicar las longitudes
de onda de las líneas principales observadas en el espectro del hidrógeno.

6.10. PROBLEMAS 287
6.10. Problemas
1. Considere una varilla de peso despreciable suspendida por un extremo fijo, de modo
que puede oscilar en un plano vertical. Una partícula de masa m se mueve sin
fricción a lo largo de la varilla.
a) Obtenga las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana.
b) Indique si hay alguna cantidad conservada.
2. El Lagrangiano de un sistema se puede expresar
L = q˙
2 1 +
q˙
2 2
+ k 1 q1 2 + k 2 q˙
1 q˙
2 ,
a + bq 1
donde a, b, k 1 , k 2 son constantes. Encuentre las ecuaciones de movimiento en la
formulación Hamiltoniana.
3. El Hamiltoniano de una partícula es
H = p2
2m − a · p − b · r,
donde a y b son vectores constantes.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento.
b) Si inicialmente la partícula se encuentra en reposo en la posición r o , encuentre
su posición en función del tiempo.
c) Determine el Lagrangiano del sistema.
4. El Lagrangiano de un sistema es
L = aẋ 2 + b ẏ
x + cẋẏ + fy2 ẋż + gẏ − k √ x 2 + y 2 ,
donde a, b, c, f, g y k son constantes.
a) Encuentre el Hamiltoniano del sistema.
b) Encuentre las cantidades conservadas en el sistema.
5. El modelo de Lotka-Volterra para la dinámica de predadores z y presas c se describe
mediante las ecuaciones
ċ = αc − βcz
ż = −γz + δcz,
donde α, β, γ, δ son parámetros positivos.
a) Encuentre las condiciones para que este sistema sea conservativo.
b) Encuentre las transformaciones de variables que permiten expresar estas ecuaciones
en la forma adimensional
ẋ = x(1 − y)
ẏ = µy(x − 1).
c) Encuentre una cantidad conservada en términos de las variables adimensionales.

288
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
6. Considere un péndulo formado por una varilla de longitud l y masa despreciable de
la cual cuelga una partícula de masa m 1 . El soporte del péndulo consiste en otra
partícula de masa m 2 , libre de moverse en una dirección horizontal. Encuentre las
ecuaciones de movimiento para este sistema en la formulación hamiltoniana.
7. El elemento de volumen en el espacio de fase n-dimensional para el sistema dinámico
dx
dt = f(x) es n∏
∆Γ = dx i .
Demuestre que
d(∆Γ)
dt
i=1
= ∇ · f ∆Γ.
8. La ecuación de movimiento unidimensional amortiguado y forzado de una partícula
de masa m sujeta a un resorte de constante k es
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = A cos νt,
donde ω 2 = k/m, λ > 0 es el coeficiente de fricción del medio, A es la amplitud
de la fuerza externa que actúa sobre la partícula y ν es la frecuencia de esa fuerza.
Demuestre que este sistema es disipativo.
9. El atractor de Rössler se genera con el siguiente sistema:
ẋ = −y − z
ẏ = x + ay
ż = b + xz − cz
donde a, b, c son parámetros.
a) Encuentre la condición para que este sistema sea disipativo.
b) Calcule los puntos fijos de este sistema en función de los parámetros.
10. El Hamiltoniano de un sistema es
H = q 1 p 1 − q 2 − p 2 − aq 2 1 + bq 2 2 ,
donde a y b son constantes.
a) Obtenga las ecuaciones de Hamilton para este sistema.
b) ¿Cuáles de las siguientes funciones son integrales de movimiento para este sistema
f = p 1 − aq 1
q 2
; g = q 1 q 2 ; h = p 1 p 2 2.
11. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana de un
péndulo de masa m y longitud l, cuyo soporte se mueve sin fricción sobre la parábola
y = ax 2 en el plano vertical (x, y).
b) Determine si existe alguna cantidad conservada en el sistema.

6.10. PROBLEMAS 289
12. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento de un péndulo esférico de longitud a y
masa m, con coordenadas (θ, φ), en la formulación Hamiltoniana.
b) Evalúe el siguiente paréntesis de Poisson para este sistema: [l x , p φ ].
13. El Lagrangiano de un trompo con un punto fijo, moviéndose en el campo gravitacional
terrestre, en términos de los ángulos de Euler es
(
L = I ˙θ2 33 + ˙φ
)
2 sin 2 θ + I (
33 ˙ψ +
2
˙φ
) 2
cos θ − mgd sin θ sin ψ,
donde I 33 es el momento de inercia con respecto al eje de simetría axial del trompo,
m es su masa, y d es la distancia entre el punto fijo del trompo y su centro de masa.
Este sistema se conoce como el trompo de Kovalevskaya.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana.
b) ¿Cuáles son las cantidades conservadas para este sistema
c) Demuestre que la siguiente cantidad, denominada la constante de Kovalevskaya
y no asociada a ninguna simetría obvia, se conserva en este sistema,
(
K = ˙θ2 − ˙φ
) 2 2 sin 2 mgd
[(
θ + 2 θ 2 −
I ˙φ
)
2 sin 2 θ sin ψ − 2 ˙θ ˙φ
]
sin θ cos ψ sin θ
33
( ) 2 mgd
+
sin 2 θ. (6.408)
I 33
14. El siguiente Hamiltoniano bidimensional
H = 1 2 (p2 x + p 2 y) + 1
24
[
e (2y+2√ 3x) + e (2y−2√ 3x) + e −4y] − 1 8 ,
aparece asociado a una red de Toda, un sistema de gran interés en Física No Lineal.
a) Encuentre las ecuaciones de movimiento para este sistema.
b) Demuestre que este sistema posee la siguiente cantidad conservada
I = 8p x (p 2 x − 3p 2 y) + (p x + √ 3p y )e (2y−2√ 3x) + (p x − √ 3p y )e (2y+2√ 3x) − 2p x e −4y .
La existencia de las constantes de movimiento H e I hace que este sistema sea
integrable. Sin embargo, la cantidad I no está relacionada con ninguna simetría
evidente del sistema.
c) Calcule I en el límite de x y y pequeños.
15. El Hamiltoniano de una partícula que se mueve en dos dimensiones es:
H = |p| n − a|r| −n ,
a = cte.
a) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para el movimiento.
b) Determine el Lagrangiano del sistema.
b) ¿Cuál de las siguientes funciones es una integral de movimiento para este sistema
f = r · p − Ht , g = |p|.
n

290
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
16. El vector de Laplace-Runge-Lenz para el problema de Kepler se define como A =
p × l − mkˆr. Calcule [A i , l j ].
17. Evalúe los siguientes paréntesis de Poisson:
a) [l, (r · p)]; b) [p, r n ]; c) [p, (a · r) n ];
donde a es un vector constante.
18. Considere la transformación de coordenadas
q 2m = Q 2 + P 2 , P = Q tan np ;
donde m y n son constantes.
a) Determine los valores de m y n para los cuales esta transformación es canónica.
b) Encuentre una función generadora de tipo F 3 (p, Q) para esta transformación
canónica.
19. Una partícula de masa m = 1 se mueve sin fricción a lo largo de una varilla que
gira extendida sobre una superficie horizontal con velocidad angular constante ω.
a) Demuestre que las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para este sistema
son
q = iλ [P e −ωt + Qe ωt ] ,
p = −iλω [P e −ωt − Qe ωt ] ;
donde q es la coordenada que describe la posición de la partícula sobre la varilla, p
es el momento, y P, Q y λ son constantes.
b) Calcule el valor de λ para que una transformación de variables (q, p) a (Q, P )
sea canónica.
20. Considere la transformación de coordenadas y momentos
Q = q α e βp , P = q α e −βp ;
donde α y β son constantes.
a) Determine α y β tal que esta transformación sea canónica.
b) Demuestre que una función generadora de esta transformación es
F = − Q2
2 e2p .

6.10. PROBLEMAS 291
21. a) Demuestre que la siguiente transformación es canónica:
x =
y =
1
√ mω
( √ 2P 1 sin Q 1 + P 2 ),
1
√ mω
( √ 2P 1 cos Q 1 + Q 2 ),
p x = 1 2√ mω(
√
2P1 cos Q 1 − Q 2 ),
p y = 1 2√ mω(−
√
2P1 sin Q 1 + P 2 ).
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulación hamiltoniana en
términos de las variables (Q 1 , Q 2 , P 1 , P 2 ) para una partícula de masa m y carga q
que se mueve en el plano (x, y), sujeta al potencial vector A = (−yB/2, xB/2, 0),
usando ω = qB/mc.
22. Considere la transformación infinitesimal de traslación
R = r + ɛ a, P = p ,
donde a es un vector fijo en el espacio y ɛ es un parámetro infinitesimal. Encuentre
G tal que esta transformación sea generada por la función F 2 = r · P + ɛG(r, P).
23. Una partícula de masa m se mueve en una dimensión q con una energía potencial
V (q) y sometida a una fuerza de fricción −2mγ ˙q.
a) Demuestre que el Lagrangiano del sistema es
[ ]
1
L = e 2γt 2 m ˙q2 − V (q) .
b) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para la partícula.
c) Si V (q) = 1 2 mω2 q 2 , ω = cte, demuestre que la función generadora
F 2 (q, P, t) = e γt qP
permite transformar a un Hamiltoniano constante.
24. Las ecuaciones de transformación entre dos conjuntos de coordenadas son
Q = log(1 + √ q cos p),
P = 2(1 + √ q cos p) √ q sin p.
a) Demuestre que la transformación es canónica.
b) Demuestre que la función generadora de esta transformación es
F 3 (p, Q) = −(e Q − 1) 2 tan p.

292
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
25. Considere la transformación infinitesimal de rotación
R = r + ɛ(Φ × r)
P = p + ɛ(Φ × p) ,
donde Φ es el vector a lo largo del eje de rotación, |Φ| = φ es el ángulo de rotación
y ɛ es un parámetro infinitesimal.
a) Demuestre que esta transformación es canónica.
b) Suponga que esta transformación es generada por la función F 2 = r·P+ɛG(r, P).
Determine G.
26. Una partícula de masa m se suelta en reposo desde una altura h a lo largo de un
plano inclinado sin fricción, el cual forma un ángulo α con el suelo.
a) Encuentre la posición de la partícula sobre el plano en función del tiempo, a
partir de la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
b) Encuentre el momento de la partícula en función del tiempo.
27. La energía cinética relativista de una partícula de masa m es
T = √ (cp) 2 + (mc 2 ) 2 ,
donde c es la velocidad de la luz. Considere una partícula relativista sujeta a la
fuerza gravitacional terrestre F = −mgŷ, tal que inicialmente se suelta del reposo
en y = 0. Determine la trayectoria de la partícula en función del tiempo a partir
de la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
28. Encuentre la expresión de la acción correspondiente a un péndulo simple a partir
de la ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
29. a) Empleando la correspondiente ecuación de Hamilton-Jacobi, calcule la posición
en función del tiempo para una partícula libre con masa m y energía E que se
encuentra en el origen en t = 0.
b) Encuentre la acción en función del tiempo.
30. Una partícula de masa m y energía E se mueve en el potencial unidimensional
V (q) = k/q 2 , donde k es constante.
a) Encuentre la acción S(q, t) asociada a esta partícula.
b) Encuentre la posición de la partícula en función del tiempo.
31. Una partícula sujeta a un potencial unidimensional posee el siguiente Hamiltoniano
H = p2
2m − A mtx,
donde A = cte. Si inicialmente la partícula se encuentra en x = 0 con velocidad v o ,
calcule su trayectoria.

6.10. PROBLEMAS 293
32. Un proyectil de masa m se lanza con velocidad v o desde el suelo, formando un
ángulo α con la horizontal.
a) Encuentre la trayectoria del proyectil en función del tiempo, usando el formalismo
de Hamilton-Jacobi.
b) Encuentre la acción para este sistema.
33. Considere un oscilador armónico bidimensional de masa m y cuyas constantes de
resorte son k x y k y en las direcciones x y y, respectivamente.
a) Encuentre las coordenadas y momentos de la parícula en función del tiempo
utilizando ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema.
b) Encuentre la acción para este sistema.
34. Una partícula con carga q y masa m se mueve en un plano sujeta a un potencial
central V = 1 2 kr2 y a un campo magnético perpendicular al plano, tal que A =
1
2 B × r.
a) Determine la ecuación de Hamilton-Jacobi para este sistema, en coordenadas
polares.
b) Encuentre la solución para la trayectoria de la partícula en términos de integrales
explícitas.
35. Considere una curva cerrada C(t) en un instante t en el espacio de fase (q i , p i ) de
un sistema. Demuestre que la integral
I = ∑ ∮
p i dq i
i C(t)
es una constante del movimiento.
36. Una partícula de masa m se encuentra inicialmente en x = 0 con velocidad v oˆx y
se mueve en el potencial unidimensional
(
V (x) = k sin 2 x
)
,
a
x
∈ [−π/2, π/2],
a
y V (x) = ∞, para x a
/∈ [−π/2, π/2], con k, a constantes. Utilizando la ecuación de
Hamilton-Jacobi, encuentre el período de oscilación de la partícula en este potencial
si x ≪ a.
37. Una partícula con masa m y energía E se mueve periódicamente en el potencial
unidimensional V = k|x|, k = cte. Usando variables de acción-ángulo, encuentre el
período del movimiento de la partícula.
38. Una partícula de masa m se mueve en una dimensión sujeta al potencial V (x) =
k sec 2 (x/a).
a) Encuentre una expresión para la acción S utilizando ecuación de Hamilton-
Jacobi para este sistema.
b) Encuentre la frecuencia de las oscilaciones de la partícula usando variables de
acción-ángulo. Calcule esta frecuencia en el límite de pequeñas amplitudes.

294
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
39. Una partícula de masa m y energía E se mueve en el potencial unidimensional
a) Dibuje el espacio de fase del sistema.
b) Calcule la variable de acción.
V (q) = 1 2 kq2 + λ , k, λ = cte, q > 0.
q2 40. Considere un oscilador armónico con masa m y constante de resorte k que puede
moverse en un plano.
a) Encuentre el Hamiltoniano del sistema en coordenadas polares.
b) Calcule las frecuencias del movimiento usando variables de acción-ángulo.
41. Utilizando el método de las variables de acción-ángulo, demuestre que el período
de libración de un péndulo simple, de masa m y longitud l, y cuya amplitud inicial
es θ 0 , se puede expresar como
T = 2 √ 2
√
l
g
∫ θ0
0
dθ
√ cos θ − cos θ0
.
42. Considere una partícula de masa m sujeta a moverse sin fricción sobre un cono
invertido, con ángulo de vertice β, en el campo gravitacional terrestre. Calcule las
frecuencias del movimiento mediante el uso de variables de acción-ángulo para este
sistema.

Apéndice A
Lagrangiano de una partícula
relativista
Hacia finales del siglo XIX, la Física consistía en dos grandes teorías para explicar la
mayoría de los fenómenos conocidos hasta entonces:
Mecánica, expresada en las leyes de Newton, que presentaba una descripción unificada
de los fenómenos del movimiento.
Electromagnetismo, contenido en las ecuaciones de Maxwell, que representaba la
unificación de la descripción de los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos, y
que condujo al descubrimiento de las ondas electromagnéticas y de la naturaleza
de la luz.
En sus estudios sobre el movimiento, Galileo estableció el principio de relatividad:
Principio de Relatividad de Galileo.
Las leyes de la Mecánica son las mismas en diferentes sistemas de coordenadas
inerciales que se encuentran en movimiento relativo uniforme.
Dados dos sistemas de coordenadas S con origen O, y S’ con origen O ′ , tal que O ′ se
mueve con velocidad constante v con respecto a O, las transformaciones de Galileo entre
estos sistemas de coordenadas son
r ′ = r − vt
t ′ = t
(A.1)
Si v = vˆx, las transformaciones de Galileo resultan en
x ′ = x − vt
y ′ = y
z ′ = z
t ′ = t
(A.2)
295

296
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Figura A.1: Transformaciones de Galileo para sistemas inerciales en movimiento relativo.
Derivando con respecto al tiempo la Ec. (A.1), se obtiene la suma de velocidades,
dr
dt = dr′
dt ′ + v
⇒ u = u ′ + v, (A.3)
puesto que dt = dt ′ y donde u es la velocidad de una partícula medida en S y u ′
corresponde a la velocidad de esa partícula medida en S’. En particular, si v = vˆx, la
suma de velocidades da
u ′ x = u x − v.
(A.4)
La forma de las leyes de Newton es invariante bajo las transformaciones de Galileo.
Consideremos la Segunda Ley de Newton en S’,
Tenemos,
m d2 r ′
dt ′2 = −∇′ V (r ′ ) = F(r ′ ). (A.5)
d 2 r ′
dt ′2
Por otro lado, notamos que para cualquier f,
dr ′
dt ′ = dr
dt − v,
= d ( ) dr
dt dt − v = d2 r
dt 2 .
(A.6)
(A.7)
y similarmente
Luego,
∇ ′ =
∂f
∂x ′ = ∂f
∂x
∂f
∂y ′ = ∂f
∂y ,
∂x
∂x ′ = ∂f
∂x
∂f
∂z ′ = ∂f
∂z
(A.8)
(A.9)
( ) ( ∂
∂x ′ , ∂
∂y ′ , ∂ ∂
∂z ′ =
∂x , ∂ ∂y , ∂ )
= ∇ (A.10)
∂z

297
La coordenada r ′ se puede expresar, en general, como la distancia entre la partícula en
consideración y otra partícula (o influencia externa) con la cual aquella interactúa. Es
decir,
r ′ = r ′ i − r ′ j = r i − r j = r.
(A.11)
Luego, ∇ ′ V (r ′ ) = ∇V (r). De acuerdo a las transformaciones de Galileo Ec. (A.1), la
Ec. (A.5) en el sistema de referencia S’ se expresa en el sistema S como
m d2 r
= −∇V (r) = F(r).
dt2 (A.12)
Por lo tanto, la Segunda ley de Newton es invariante (conserva su forma) bajo las transformaciones
de Galileo, y el principio de relatividad de Galileo es válido para estas transformaciones.
Sin embargo, en contraste con el comportamiento de las leyes de la Mecánica, las
leyes del Electromagnetismo no son invariantes ante las transformaciones de Galileo.
Las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t) son
∇ · E = 4πρ
∇ × E + 1 ∂B
c ∂t = 0
∇ · B = 0
∇ × B − 1 ∂E
c ∂t = 4π c J
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
Note que las ecuaciones de Maxwell contienen términos de la forma ∂Ej
∂t
(r, t), donde
E j es la componente j del campo eléctrico (también contienen términos similares para el
campo magnético).
Consideremos la componente E j (r ′ , t ′ ) en S’. Entonces,
∂E j
∂t ′ (r′ , t ′ ) = ∑ i
∂E j ∂x ′ i
∂x ′ i ∂t ′ + ∂E j
∂t ′
= − ∑ i
∂E j
∂x ′ v i + ∂E j
i ∂t
(A.17)
donde hemos usado las transformaciones de Galileo
⇒
x ′ i = x i − v i t, t ′ = t (A.18)
∂x′ i
∂t ′
= ∂x′ i
∂t = −v i.
(A.19)
Luego,
∂E j
= ∂E j
∂t ∂t ′ + v · ∇ ′ E j . (A.20)
Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de
Galileo sólo si v = 0; es decir, conservan su forma solamente en un sistema de referencia
inercial en reposo con respecto al medio en el cual se propaga la luz. (El “medio”
correspondiente al vacío se denominaba éter).
Ante esta situación, se presentan los siguientes escenarios posibles:

298
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
1. Las transformaciones de Galileo son correctas, tanto para la Mecánica como para el
Electromagnetismo, lo cual implica que las ecuaciones de Maxwell son incorrectas.
2. Las transformaciones de Galileo son válidas para la Mecánica en todo sistema
inercial, pero las ecuaciones de Maxwell sólo son válidas en un sistema inercial en
reposo con respecto al éter (v = 0).
3. Tanto las leyes de la Mecánica como las del Electromagnetismo son invariantes en
todo sistema inercial, pero no bajo las transformaciones de Galileo. Esto implica
que las leyes de Newton son incorrectas y que se requiere otra transformación de
coordenadas.
El éxito de las ecuaciones de Maxwell en la predicción de las ondas electromagnéticas
(experimentos de Hertz, Marconi, y otros) sugiere descartar el escenario (i). Por otro
lado, la falla en la detección del movimiento relativo al éter (experimento de Michelson-
Morley) requiere descartar la posibilidad (ii). El escenario (iii) fue el camino elegido por
Einstein en 1905.
Postulados de la Relatividad Especial.
1) Las leyes de la Naturaleza (los resultados de los experimentos) son las
mismas en todos los sistemas inerciales.
2) La velocidad de la luz es constante en todos los sistemas inerciales.
Según el postulado 1, la ecuación de onda electromagnética se cumple en los sistemas
de referencia S y S’. El postulado 2 implica que la forma de una onda electromagnética
debe ser igual en los sistemas de referencia inerciales S y S’. Entonces, consideremos un
pulso esférico de luz emitido en el origen O de S en el instante t = t ′ = 0, cuando ambos
orígenes O y O ′ coinciden.
Figura A.2: Pulso electromagnético emitido cuando los orígenes O y O ′ coinciden.
Luego,
En S: |r| = ct
En S’: |r ′ | = ct ′ (A.21)

299
donde c es la magnitud constante de la velocidad de la luz en ambos sistemas. En términos
de las coordenadas en cada sistema, tenemos
En S: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2
En S’: x ′2 + y ′2 + z ′2 = c 2 t ′2 .
(A.22)
Las relaciones (A.22) no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Esto se
puede verificar sustituyendo las transformaciones Ecs. (A.2) en la relación (A.22) para
S’, lo que da
x 2 − 2vxt + v 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ,
(A.23)
y lo cual es distinto de la expresión correspondiente en S.
Las transformaciones compatibles con los postulados de la Relatividad deben ser
lineales en t y en x para preservar la forma de una onda esférica en ambos sistemas de
coordenadas. Además, deben tender a las transformaciones de Galileo cuando la velocidad
relativa entre los dos sistemas es pequeña, puesto que la suma de velocidades derivada
de esas transformaciones, Ec. (A.3), funciona en las práctica en tales situaciones. La
simetría de los sistemas sugiere invarianza en las coordenadas y, x perpendiculares a la
dirección del movimiento. Entonces, si la velocidad de O ′ es v = vˆx, supongamos unas
transformaciones de la forma
x ′ = γ(x − vt)
t ′ = γ(t − fx)
y ′ = y
z ′ = z
(A.24)
donde γ y f son factores o funciones a determinar. Sustitución de las transformaciones
(A.24) en la relación (A.22) para S’ consistente con el segundo postulado, da
x 2 γ 2 (1 − c 2 f 2 ) + 2(fc 2 − v)γ 2 xt + y 2 + z 2 =
(1 − v2
c 2 )
γ 2 c 2 t 2 .
(A.25)
Comparando con la relación (A.22) para S, requerimos
fc 2 − v = 0
(A.26)
( )
γ 2 1 − v2
c 2 = 1 (A.27)
γ 2 (1 − f 2 c 2 ) = 1
(A.28)
lo cual conduce a
f = v c 2 , γ = (
1 − v2
c 2 ) −1/2
.
(A.29)

300
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Luego, las transformaciones buscadas son
x ′ =
x − vt √
1 − v2
c 2
t − v
t ′ = c 2 x
√
1 − v2
c 2
y ′ = y
z ′ = z
(A.30)
Las Ecs. (A.30) son las transformaciones de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell (y la
ecuación de una onda electromagnética) son invariantes bajo estas transformaciones.
Se acostumbra emplear la notación β ≡ v/c, con la cual las transformaciones de
Lorentz se escriben en forma compacta como
x ′ = γ(x − βct)
t ′ = γ
(t − β )
c x
y ′ = y
z ′ = z.
(A.31)
Note que β ≤ 1 y γ ≥ 1.
En el límite de pequeñas velocidades v ≪ c, tenemos β ≪ 1 y γ ≈ 1, y las transformaciones
de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo,
x ′ ≈ x − vt
t ′ ≈ t.
(A.32)
Las transformaciones de Lorentz inversas se pueden obtener haciendo v → −v, x →
−x ′ , t → t ′ , en las Ecs. (A.31),
x = γ(x ′ + βct ′ t = γ
(t ′ + β )
c x′
y = y ′
z = z ′ .
(A.33)
A partir de las transformaciones de Lorentz se obtiene la regla de adición de velocidades,
( )
u ′ x = dx′ dx dt
dt ′ = γ − βc
dt
′
dt ′ ,
dx
dt ′ = dx
dt
dt
dt ′ = u dt
x
dt ′
(A.34)

301
luego,
lo cual conduce a
u ′ x = γ (u x − βc) dt
( ) dt
′ −1
dt ′ = γ (u x − βc) , (A.35)
dt
dt ′ (
dt = γ 1 − β )
c u x , (A.36)
u ′ x =
u x − v
1 − β . (A.37)
c u x
La relación inversa de la suma de velocidades se obtiene haciendo v → −v, u x → u ′ x, en
la Ec. (A.37),
u x =
u′ x + v
1 + β . (A.38)
c u′ x
Contracción de la longitud.
Consideremos un objeto de longitud L o en reposo a lo largo del eje x en el sistema S.
Luego, independiente de t,
L o = x 2 − x 1 ,
(A.39)
Consideremos la longitud del objeto medida en el sistema S’. Un observador en S’
debe realizar una medida de los extremos x ′ 2 y x ′ 1 simultáneamente en S’, es decir, para
un mismo tiempo t ′ ,
L ′ = x ′ 2(t ′ ) − x ′ 1(t ′ ).
(A.40)
Figura A.3: Contracción de la longitud.
Las transformaciones de Lorentz, Ecs. (A.31), dan las coordenadas x 1 y x 2 en S para
un mismo tiempo t ′ en S’ ,
x 2 = γ(x ′ 2 + βct ′ )
x 1 = γ(x ′ 1 + βct ′ )
⇒ x 2 − x 1 = γ(x ′ 2 − x ′ 1) .
(A.41)

302
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Luego,
L ′ = L o
γ = L o
√
1 − v2
c 2 .
(A.42)
Como γ > 1, la longitud L ′ del objeto medida en S’ es menor que la longitud L o en S
donde el objeto se encuentra en reposo.
Dilatación del tiempo.
Un observador con un reloj en S, presente en dos eventos que ocurren en las mismas
coordenadas con respecto al observador, mide el tiempo propio entre esos eventos. El
tiempo propio entre dos eventos que ocurren en un mismo punto x de S es
τ ≡ t 2 (x) − t 1 (x).
(A.43)
Las transformaciones de Lorentz inversas, Ecs. (A.33), dan para ese intervalo de
tiempo en S’,
∆t ′ = t ′ 2 − t ′ 1 = γ
(t 2 − β )
c x − γ
(t 1 − β )
c x = γ(t 2 − t 1 ). (A.44)
Luego,
∆t ′ τ
= γτ = √ .
1 − v2
c 2
(A.45)
Figura A.4: Un observador en S mide el tiempo propio entre dos eventos que ocurren en las
mismas coordenadas en S.
Puesto que γ > 1, el intervalo de tiempo medido en S’ es mayor que el tiempo propio
medido en S. En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo más corto posible
entre dos eventos.

303
Dinámica relativista.
Los postulados de la Relatividad y las transformaciones de Lorentz son compatibles
con las ecuaciones de Maxwell, pero requieren modificaciones de las leyes de Newton.
Einstein propuso redefinir el momento lineal de una partícula que se mueve con velocidad
u en un sistema S, del siguiente modo
p i = m dx i
dτ ,
(A.46)
donde τ es el tiempo propio (el tiempo medido en el sistema donde la partícula está en
reposo), el cual está definido unívocamente (tiene el mismo valor) para todos los observadores
inerciales. Tenemos,
dx i
dτ = dx i
dt
Luego, el momento relativista es
p =
dt
dτ = dx i
dt
√
1
1 − u2
c 2 = γu i . (A.47)
mu
√
1 − u2
c 2 = mγu , (A.48)
donde u es la velocidad de la partícula en el sistema de referencia S.
La Segunda Ley de Newton relativista se escribe entonces,
F = dp
dt .
(A.49)
donde p está definido en la Ec. (A.48). En esta forma, la Segunda Ley de Newton es
invariante bajo las transformaciones de Lorentz,
dp
dt = dp′
dt ′ .
(A.50)
Note que en el límite de bajas velocidades, β = v c
≪ 1, obtenemos p ≈ mu.
Invariantes relativistas.
Existen cantidades escalares que tienen el mismo valor en todos los sistemas inerciales.
Por ejemplo,
γ 2 (1 − β 2 ) = 1
(A.51)
tiene el mismo valor en todos los sistemas. Multiplicando por la constante m 2 c 4 , obtenemos
otra cantidad invariante,
m 2 c 4 = m 2 c 4 γ 2 − p 2 c 2 = cte.
(A.52)
Una cantidad cuyo valor es independiente del sistema de coordenadas se denomina invariante
de Lorentz.

304
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Energía relativista.
Si definimos la cantidad
entonces podemos expresar
E ≡ γmc 2 ,
E 2 − p 2 c 2 = m 2 c 4 = cte.
(A.53)
(A.54)
Los términos en la Ec. (A.54) poseen unidades de energía al cuadrado. Luego, la cantidad
E es un tipo de energía que se puede interpretar físicamente si hacemos una expansión
en términos de β = v c ≪ 1,
E = mc 2 (1 − β 2 ) −1/2 = mc
[1 2 + 1 ]
2 β2 − O(β 4 )
(A.55)
Luego,
E = mc 2 + 1 2 mv2 + · · ·
(A.56)
El primer término en la Ec. (A.56) es constante y no depende de la velocidad de la
partícula,
E o = mc 2 ,
(A.57)
por lo que representa la energía en reposo de la masa m. El segundo término en la
Ec. (A.56) corresponde a la energía cinética de la partícula para bajas velocidades. Luego,
la cantidad E se interpreta como la energía total relativista de una partícula libre,
E =
Lagrangiano para una partícula relativista.
mc2 √
1 − v2
c 2 = mc 2 + T rel . (A.58)
Las leyes de Newton se cumplen en Relatividad con la definición apropiada de p,
dada en la Ec. (A.48). Luego, las ecuaciones de Lagrange también se deben cumplir para
un Lagrangiano L definido apropiadamente,
d
dt
( ∂L
∂ẋ i
)
− ∂L
∂x i
= 0.
(A.59)
Consideremos una partícula con velocidad v y posición r en un potencial V (r). Luego,
∂L
∂ẋ i
= p i = γmẋ i ,
∂L
= ∂V = F i .
∂x i ∂x i
(A.60)
Supongamos la velocidad a lo largo del eje x i , i.e., ẋ i = v. Entonces,
∂L
= ∂L
∂ẋ i ∂v = γmv ,
(A.61)

305
luego, la dependencia funcional del Lagrangiano con la velocidad es
∫
∫
v dv
L(v) = m √ = mc 2 β dβ
√ ,
1 − v2
1 − β
2
c 2
lo cual da
L(v) = −mc 2 (1 − β 2 ) 1/2 .
Para β ≪ 1, L(v) se aproxima a la energía cinética newtoniana
L(v) ≈ 1 2 mv2 + · · ·
(A.62)
(A.63)
(A.64)
Luego, el Lagrangiano para una partícula relativista debe tener la forma L = L(v)−V (r),
es decir,
√
L = −mc 2 1 − v2
c 2 − V (r).
(A.65)
Note que L ̸= E − V , y L ̸= T rel − V . Sin embargo, puesto que L no depende
explícitamente del tiempo, la función de energía es una cantidad constante para este
sistema,
E = ∑ i
∂L
∂ẋ i
ẋ i − L = cte.
(A.66)
Utilizando L de la Ec. (A.65), obtenemos
∑
i
E = m ẋiẋ i
√ + mc2√ 1 − β 2 + V,
1 − β
2
(A.67)
lo cual se reduce a
E =
mc2 √
1 − β
2 + V = E + V = cte.
(A.68)
La inclusión de potenciales dependientes de la velocidad no representa problema, y
se hace del mismo modo que en el caso no relativista. En particular, recordemos que
en Mecánica Clásica la energía potencial de una partícula con carga q que se mueve
con velocidad v en un campo electromagnético caracterizado por los potenciales ϕ y A
está dada por
V = qϕ − q c A · v .
(A.69)
La fuerza de Lorentz sobre una partícula en un campo electromagnético se deriva de
este potencial. Luego, el Lagrangiano relativista para una partícula en un campo electromagnético
es
√
L = −mc 2 1 − v2
c 2 − qϕ + q c A · v.
(A.70)

306
APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Ejemplo.
1. Partícula con masa m sujeta a la fuerza F = ma, donde a es una constante.
El potencial es V = −max y el Lagrangiano relativista es
L = −mc 2√ 1 − β 2 + max,
(A.71)
donde β = ẋ/c. La ecuación de Lagrange para x da:
( )
d β
√ = a dt 1 − β
2 c . (A.72)
Integrando, tenemos
β
√ = at + α
1 − β
2 c
⇒ β =
at + α
√
c2 + (at + α) 2
(A.73)
donde α es una constante de integración. Integrando otra vez,
∫
(at + α)dt
x = c √
c2 + (at + α) 2
x − x 0 = c a
(√
c2 + (at + α) 2 − √ c 2 + a 2 )
(A.74)
(A.75)
donde hemos introducido la condición inicial x = x 0 en t = 0. Si la partícula se
encuentra en reposo ẋ(0) = 0 en el origen x 0 en t = 0, entonces α = 0 y tenemos
(x + c2
a 2 ) 2
− c 2 t 2 = c4
a 2 ,
(A.76)
lo cual corresponde a una hipérbola en el plano (x, t). Note que en el límite no
relativista, β ≪ 1, la Ec. (A.73) da la trayectoria parábolica usual en el plano
(x, t),
x ≈ 1 2 at2 + αt + x 0 .
(A.77)

Apéndice B
Transformaciones de Legendre
Dada una función f(x), con x como variable, una transformación de Legendre permite
encontrar otra función g(y) que contiene la misma información que f(x), usando como
argumento la pendiente y = f ′ (x).
Figura B.1: Transformación de Legendre.
Cada punto (f, x) en la curva f(x) define una línea recta que pasa por un punto (0, b)
con pendiente y = f ′ (x).
El conjunto de todas las rectas (y, b) describe las envolventes de la curva f(x) y
contiene la misma información que f(x). Ambas descripciones, en términos de (f, x) o
de (y, b), son equivalentes.
De la Fig. (B.1), tenemos
y = f − b
x
⇒ (−b) = yx − f
(B.1)
Por otro lado,
y(x) = df
dx
⇒ x = x(y) (inversión). (B.2)
307

308
APÉNDICE B. TRANSFORMACIONES DE LEGENDRE
Definimos la función
g(y) ≡ yx(y) − f(x(y)).
(B.3)
La función g(y) se denomina la transformada de Legendre de f(x). Matemáticamente,
los puntos (g, y) corresponden a (−b, y) y, por lo tanto, describen la misma curva que
f(x).
Si tenemos una función de s variables f(x 1 , x 2 , . . . , x s ), existen s derivadas
y i = ∂f
∂x i
= y i (x 1 , x 2 , . . . , x s ), (i = 1, 2, . . . , s). (B.4)
Mediante inversión, es posible obtener las s variables
x i = x i (y 1 , y 2 , . . . , y s ).
(B.5)
La transformada de Legendre de f(x 1 , x 2 , . . . , x s ) se define como
s∑
g(y 1 , y 2 , . . . , y s ) = x i y i − f(x 1 , x 2 , . . . , x s )
i=1
(B.6)
donde las variables x i se sustituyen usando las Ecs. (B.5).
La transformada de Legendre se puede aplicar a un subconjunto de los argumentos
de una función. Por ejemplo, si tenemos f(z i , x i ), se puede definir su transformada
g(z i , y i ) = ∑ i=1
z i y i − f(z i , x i ),
(B.7)
donde
y i = ∂f(z i, x i )
∂x i
= y i (x i , z i ) ⇒ x i = x i (z i , y i ). (B.8)
Las transformadas de Legendre se emplean en Termodinámica y en otras áreas de la
Física para introducir descripciones alternativas que resultan útiles para diversos sistemas.
En particular, si tenemos un sistema caracterizado por el Lagrangiano L(q i , q˙
i , t), los
momentos conjugados son
p i = ∂L = p i (q 1 , . . . , q s ).
∂q˙
i
(B.9)
Entonces, el Hamiltoniano del sistema corresponde a la transformada de Legendre del
Lagrangiano,
s∑
H(q i , p i ) = q i p i − L(q i , q˙
i , t).
(B.10)
i=1

Apéndice C
Teorema del virial.
Se trata de un teorema estadístico en Mecánica. Se refiere a promedios temporales de
cantidades dinámicas.
Consideremos un sistema de N partículas cuyas masas, posiciones y velocidades están
dados por m i , r i y v i , respectivamente, i = 1, 2, . . . , N. Entonces, la ecuación de movimiento
de la partícula i se puede expresar como
F i = ṗ i ,
(C.1)
donde F i es la fuerza neta sobre la partícula i y p i = m i v i .
La energía cinética total del sistema es
Luego,
T = 1 ∑
m i vi
2 2
i
= 1 ∑
(m i v i · v i )
2
i
= 1 ∑
(p i · v i ). (C.2)
2
i
2T = ∑ i
p i · v i
= d ∑
(p i · r i ) − ∑ dt
i
i
(r i · ṗ i ). (C.3)
Recordemos que el promedio de una variable g que toma valores discretos g 1 , g 2 , . . . , g N ,
corresponde a la cantidad
〈g〉 = 1 N∑
g i .
(C.4)
N
309
i=1

310
APÉNDICE C. TEOREMA DEL VIRIAL.
Si g(t) es una función que toma valores continuos en el tiempo, su promedio temporal
se define como
∫
1 τ
〈g〉 ≡ lím g(t)dt.
(C.5)
τ→∞ τ
Si g(t) = df , para una función f acotada, |f(t)| < ∞, entonces
dt
∫
1 τ
df f(τ) − f(0)
〈g〉 = lím dt = lím
= 0. (C.6)
τ→∞ τ 0 dt τ→∞ τ
Si tomamos el promedio temporal en todos los términos de la Ec. (C.3), y suponiendo
que los movimientos de las partículas son finitos, obtenemos el teorema del virial,
0
2〈T 〉 = −〈 ∑ i
r i · F i 〉.
(C.7)
Si F i = −∇V (r i ) (fuerzas conservativas), el teorema del virial tiene la forma
〈 〉
〈T 〉 = 1 ∑
r i · ∇V (r i ) . (C.8)
2
i
Como una aplicación, consideremos una partícula en campo central V (r) = kr n .
Entonces, el teorema del virial para esta fuerza conservativa establece que
〈T 〉 = 1 〈
r ∂V 〉
= n 〈V 〉. (C.9)
2 ∂r 2
Para el potencial de Kepler, con n = −1, el teorema del virial, Ec. (C.9), da
El promedio de la energía total se puede expresar como
〈T 〉 = − 1 〈V 〉. (C.10)
2
〈E〉 = 〈T 〉 + 〈V 〉 = constante = E
(C.11)
E = −〈T 〉 < 0,
(C.12)
puesto que 〈T 〉 siempre es una cantidad positiva. El hecho de que la energía total sea
negativa es compatible con un movimiento finito de la partícula en el potencial de Kepler
(Capítulo 3).
El potencial de un oscilador armónico corresponde a n = 2. En este caso, la Ec. (C.9)
resulta en
〈T 〉 = 〈V 〉, (C.13)
y la energía total es positiva, como se espera,
E = 〈T 〉 + 〈V 〉 = 2〈T 〉 > 0.
(C.14)

Apéndice D
Bibliografía
1. L. D. Landau and E. M. Liftshitz, Mechanics, 3rd. Edition, Pergamon Press (1976).
2. H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd. edition, Addison-Wesley
(2002).
3. H. Iro, A modern approach to Classical Mechanics, World Scientific (2002).
4. J. José and E. J. Saletan, Classical Mechanics: a contemporary approach, Cambridge
University Press (1998).
5. J. L. McCauley, Classical Mechanics: transformations, flows, integrable and chaotic
dynamics, Cambridge University Press (1997).
6. T. Tél and M. Gruiz, Chaotic Dynamics: an introduction based on Classical Mechanics,
Cambridge University Press (2006).
7. F. Scheck, Mechanics: From Newton’s Laws to Deterministic Chaos, 5th. edition,
Springer (2010).
8. J. Michael Finn, Classical Mechanics, Infinity Science Press LLC (2008).
9. T. W. B. Kibble and F. H. Berkshire, Classical Mechanics, Imperial College Press
(2004).
10. G. J. Sussman and J. Wisdom, Structure and interpretation of Classical Mechanics,
MIT Press (2001).
11. M. G. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag (1990).
12. A. J. Lichtenberg and M.A. Lieberman, Regular and Chaotic Dynamics, 2nd. Edition,
Springer-Verlag (1992).
13. D. Ter Haar, Elements of Hamiltonian Mechanics, Pergamon Press (1971).
14. G. L. Kotkin and V. G. Serbo, Collection of problems in Classical Mechanics, Pergamon
Press (1971).
311

312
APÉNDICE D. BIBLIOGRAFÍA