Mecánica Clásica

1.2.
MECÁNICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 23
Figura 1.13: Posición relativa de una partícula con respecto al centro de masa.
Entonces, en términos del centro de masa podemos escribir
l T = ∑ i
(r ′ i + R) × m i (v ′ i + v cm ) (1.73)
= ∑ ( )
∑
0
(r ′ i × m i v i) ′ +
i
✟ ✟✟✟✟✟✯ m i r ′ i × v cm
i
( ) 0 ( )
∑
∑
+ R ×
✟ ✟✟✟✟✟✯ m i v i
′ + R × m i v cm . (1.74)
i
i
Para mostrar los términos que se anulan en la Ec. (1.74), calculamos
M T R = ∑ i
= ∑ i
= ∑ i
m i r i
m i (r ′ i + R)
m i r ′ i + M T R
⇒
∑ i
m i r ′ i = 0. (1.75)
Del mismo modo,
∑
m i v i ′ = ∑
i
i
m i
dr ′ i
dt = d dt
( ∑
i
m i r ′ i
Entonces, la Ec. (1.74) para el momento angular total queda
)
= 0. (1.76)
l T = ∑ i
(r ′ i × p ′ i) + R × (M T v cm ) . (1.77)
Luego, el momento angular total de un sistema de partículas consta de dos contribuciones:
1) el momento angular del centro de masa, R × (M T v cm );
2) el momento angular relativo al centro de masa, ∑ i (r′ i × p′ i ).