Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
6. Considere un péndulo formado por una varilla de longitud l y masa despreciable de
la cual cuelga una partícula de masa m 1 . El soporte del péndulo consiste en otra
partícula de masa m 2 , libre de moverse en una dirección horizontal. Encuentre las
ecuaciones de movimiento para este sistema en la formulación hamiltoniana.
7. El elemento de volumen en el espacio de fase n-dimensional para el sistema dinámico
dx
dt = f(x) es n∏
∆Γ = dx i .
Demuestre que
d(∆Γ)
dt
i=1
= ∇ · f ∆Γ.
8. La ecuación de movimiento unidimensional amortiguado y forzado de una partícula
de masa m sujeta a un resorte de constante k es
ẍ + 2λẋ + ω 2 x = A cos νt,
donde ω 2 = k/m, λ > 0 es el coeficiente de fricción del medio, A es la amplitud
de la fuerza externa que actúa sobre la partícula y ν es la frecuencia de esa fuerza.
Demuestre que este sistema es disipativo.
9. El atractor de Rössler se genera con el siguiente sistema:
ẋ = −y − z
ẏ = x + ay
ż = b + xz − cz
donde a, b, c son parámetros.
a) Encuentre la condición para que este sistema sea disipativo.
b) Calcule los puntos fijos de este sistema en función de los parámetros.
10. El Hamiltoniano de un sistema es
H = q 1 p 1 − q 2 − p 2 − aq 2 1 + bq 2 2 ,
donde a y b son constantes.
a) Obtenga las ecuaciones de Hamilton para este sistema.
b) ¿Cuáles de las siguientes funciones son integrales de movimiento para este sistema
f = p 1 − aq 1
q 2
; g = q 1 q 2 ; h = p 1 p 2 2.
11. a) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulación Hamiltoniana de un
péndulo de masa m y longitud l, cuyo soporte se mueve sin fricción sobre la parábola
y = ax 2 en el plano vertical (x, y).
b) Determine si existe alguna cantidad conservada en el sistema.